Complex3(06)

Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y)

(1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5).

(2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número real x; (0, 1) = i

é chamado de unidade imaginária;

(x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

(3) (x1, y1) = (x2, y2) Se

<=> x1 = x2 e y1 = y2

z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então

(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i

Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0) Calcular z1 + z2 , z1 x z2

e z12

Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z1 - z2 = z3 z1 =z2 + z3 ou (x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1) Assim, z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i

Divisão (inversa da multiplicação) (z1 / z2) = z3

se z1 = z2 z3, (z2 ≠ 0)

(x x - y y , x y + x y ) = (x , y )

ou

Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos: z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22 +y22 ) + (x2 y1 - x1 y2)i / (x22 +y22 ),

z2 ≠ 0.

Assim z1/ z2 = z1(1/ z2), 1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2 ≠ 0 z3 ≠ 0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

Leis para adição e subtração: a) z1 + z2 = z2 + z1

(comutativa)

b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3

(associativa)

d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3

(distributiva)

3 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por y x + yi -2 + i

i x -1

0

1

y z2

0

z1 x1

y1

x2

z1 + z2 y2 x

4 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então ------z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i) -- -= z1 + z2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados.

E também valem: _____ __ __ z1 - z2 = z1 - z2 ____ z1 z2 = z1 z__ 2 ____ __

__

(z1 / z2) = z1 / z2 e ainda: _ z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; _ z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado.

5 - Valores absolutos Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo

| z |= | x + yi |= x + y 2

2

Assim,

| z1 − z 2 | = | ( x1 − x2 ) + ( y1 − y 2 )i | = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y 2 ) 2

Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

2

|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2 e as condições |z| ≥ |R(z)| ≥ R(z) e que _ zz = x2 + y2 = |z|2

e

|z| ≥ |I(z)| ≥ I(z)

__ |z| = |z| |z1 z2| = |z1| | z2|

|z1 / z2| = |z1| / | z2|, e as desigualdades |z1 + z2| ≤ |z1| + | z2| |z1 - z2| ≥ | |z1| - | z2| |

z2 ≠ 0

Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12- 5i Calcule: a ) | z1 | = 9 + 16 = 5 b) z1 z 2 = (3 + 4i )(12 − 5i ) = 56 + 33i c) | z1 z 2 | = d)

56 2 + 332 = 4225 = 65 = 5 x13 = | z1 || z2 |

z1 3 + 4i 12 + 5i 16 + 63i 16 + 63i = x = = z 2 12 − 5i 12 + 5i 144 + 25 169

z 16 2 + 632 1 e) = = z 169 2 2

4225 65 5 | z1 | = = = 2 169 169 13 | z 2 |

6 - Forma polar Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r ≥ 0. Então x = rcos θ e y = rsen θ e z pode ser escrito como z = r (cos θ + i sen θ ) onde

r= x +y 2

2

Isto é r = |z| e θ é o argumento de z denotado por argz. Quando z ≠ 0, θ pode ser determinado por tg θ = y/ x.

Y P y

z r θ

0

X

z = 3 +i

Exemplo: Seja Então:

x

r = 3 +1 = 2

θ=

3 π = = 3 6 3

1

log o z = 2 (cos(

π 6

) +i sen(

π 6

))

7 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z1 = r1 (cos θ

1

+ i sen θ 1) e z2 = r2 (cos θ

z1 z2 = r1 r2 [cos (θ 1+ θ

2

)+ i sen (θ 1 + θ

2

2

+ i sen θ 2) é

)].

Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2) Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (θ 1+ θ + i sen ( θ 1+ θ

2

+...+θ

n

2

+...+θ

)].

Se z = r (cos θ + i sen θ )

e n ∈ Z+,

n

)+

zn = r n (cos nθ + i sen nθ ). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cosθ + i senθ ) n = cos nθ + i sen nθ . O quociente de dois números complexos é dado por (z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (θ 1- θ 2) + i sen (θ 1- θ 2)], r2 ≠ 0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- θ ) + i sen (- θ )] = (1/ r) [cos (θ ) - i sen (θ )] (caso particular). Logo z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-nθ ) + i sen (-nθ )]

Exemplos: Dados os números z1 = 2(cosπ / 6 + i sen π / 6) e z 2 = 3(cosπ / 3 + i sen π / 3), calcule: z1 z 2 = 2 x3 [cos (π / 6 + π / 3) + i sen(π / 6 + π / 3)] = 6 (cosπ / 2 + i sen π / 2) Calcule z 5 onde z = 2 + i 2 3. | z |= 4 + 4 x3 = 4 z = 2 + i 2 3 = 4[1 / 2 + ( 3 / 2)i ] = 4(cosπ / 3 + i sen π / 3), z 5 = 4 5 [cos(5π / 3) + i sen(5π / 3)] = 1024 [1 / 2 − i ( 3 / 2)] = 512 − 512 3 i

Logo,

8 - Extração de raizes Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z.

n z = zo ⇔ z = z n o

Podemos escrever z0 = r0 (cos θ

0

+ isen θ 0) ou

r0n = (cos nθ

o

+ isen nθ 0) = r (cos θ + i sen θ )

Se os ângulos são dados em radianos,

r0n = r

e

nθ 0 = θ ± 2kπ ,

k ≥ 0,

k ∈Z

θ 2kπ ± n n Por tan to, existem exatamente n raizes dist int as quando z ≠ 0, a saber θ + 2kπ θ + 2kπ z 0 = n r [cos( ) + sen( )i ] n n Agora

θ0 =

Onde k = 0, 1, ...(n-1). São os valores de z1/n . Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e θ = 0. Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z0 = 81/3 [cos (2π /3) +i sen (2π /3)] = -1 + 31/2 i k=2,

z0 = 81/3 [cos (4π /3) +i sen (4π /3)] = 1 - 31/2 i

9 - Regiões no plano complexo A origem z = 0, bem como cada ponto do círculo unitário |z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos 0 < |z| < 1

ou

0 < |z| ≤ 1

Funções Analíticas 1- Funções de uma variável complexa. Se para cada z ∈ S, o valor de uma segunda variável complexa w é determinado, então w é uma função da variável complexa z no conjunto S: w = f(z). Uma função é dita univalente em S se ela tem um valor correspondente a cada valor de z em S. Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a seguir f1(z) = z3 +2zi - 2 Neste caso é o plano complexo inteiro.

f2(z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro. f3(z) = 1/(z2+1). Neste caso f3 não está definida em z = ± i. Se u e v são funções representando a parte real e a imaginária respectivamente, então: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) Exemplo: Se f(z) = z2 = (x+yi)2, então u = x2 - y2 e v = 2xy. Se n é um inteiro não negativo e se a0 a1... an são constantes complexas, a função P(z) = a0+ a1z +...+ anzn, grau n.

an ≠ 0 é um polinômio em z, de

2- Transformação: A função z+2 pode ser vista como uma translação de cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita de z. A função w = -z leva cada ponto z na reflexão z- desse ponto no eixo real. A função w = (x2 + y2)1/2 -iy leva os pontos de cada círculo x2 + y2 = c, c ≥ 0, em alguns pontos da reta u = c, pois u = (x2 + y2)1/2 . 3 - Limites: Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z0. Lim f(z) = w0 z-->zo

Isto significa que, para cada número positivo ε , existe um número positivo δ tal que |f(z) - w0| < ε sempre que |z - z0| < δ , z ≠ z0.

Exemplo sobre a determinação de limites. Seja

lim f(z) = lim (z2 - 1) / (z - 1) = 2 z-->1

z-->1

Prova: Para z = 1, f(z) não existe. Para z ≠ 1, temos f(z) = z + 1. Assim, |f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| < ε que 0 < |z -1| < δ .

sempre

Daí a condição de limite é satisfeita bastando que ε = δ . Quando o limite de uma função f existe em z0, esse limite tem um único valor.

Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z0: lim f(z) = w0, z--> z0

lim F(z) = W0 z--> z0

Então: lim [f(z) + F(z)] = w0 + W0, lim[f(z)F(z)] = w0W0 z--> z0 z--> z0 E se w0 ≠ 0, lim [f(z) / F(z)] = w0 / W0 z--> z0 O limite de um polinômio P(z) = a0 + a1z +...+anzn é o valor desse polinômio em z0, para todo z0, lim P(z) = P(z0). z--> z0

4 - Continuidade Uma função f é contínua num ponto z0 se, e somente se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas: a) f(z0) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z0) z-->z0 z-->z0 Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua soma e produto também o são, e o seu quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o denominador se anula. Logo a condição c) acima pode ser escrita como: |f(z) - f(z0)| < ε

sempre que |z - z0| < δ .

Para cada número positivo ε existe um número δ satisfazendo a condição acima.

Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é contínua em z0.

5 - A derivada A derivada f ’, ou df /dz, de f em z0 é, então, definida por f ' ( z 0 ) = lim ∆z →0

se o limite existe.

f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ), ∆z

Exemplo: Seja f(z) = z2. Mostre que f ’(zo) = 2z0 em qualquer z0. Sabemos que

lim ∆z →0

f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = ∆z

( z 0 + ∆z ) 2 − ( z 0 ) 2 = lim ∆z ∆z →0 lim (2 z 0 + ∆z ) = 2 z 0 ∆z →0

6 - Fórmulas de derivação A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos complexos é que nos complexos o lim na definição de f ’(z) é de dimensão dois. Assim temos: d(c) / dz = 0, c --> constante

d(z) / dz = 1

d(cw) / dz = c (dw / dz). Se as derivadas w1’(z) e w2’(z) de duas funções w1 e w2 existem, então d(w1 + w2 ) / dz = d(w1) / dz + d(w2 ) / dz = w1’(z) + w2’(z) d(w1 w2 ) / dz = w1(z) w2’(z) + w1’(z) w2(z)

E, se w2(z) ≠ 0, d(w1 / w2 ) / dz = [w2(z) w1’(z) - w1(z) w2’(z)] / [w2(z)]2 Para a função composta w1(w2), com w1’(t) existe em t = w2(t) e w2’(z)

então,

d[w1(w2)] / dz = [dw1 / dw2] [dw2 / dz]

Exemplo: Se w1 = z5 e w2 = 2z + 1, então d(2z+1)5 / dz = d(w25) / dz = 5w24 dw2 / dz = 10(2z+1)4.