Coeficiente Angular

Coeficiente angular Consideremos o ângulo formado no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo Ox até uma reta qualquer. Vejamos os exemplos a seguir: (I)

Lembrete! Temos sempre

(II)

0 ≤ θ < 180º .

1. Coeficiente angular Sendo θ o ângulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta o número real m tal que:

Assim, temos: (I)

(III)

(II)

(IV)

2. Determinação do coeficiente angular Vamos considerar três casos:

(I) O ângulo θ é conhecido

(II) As coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas:

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por

A( x A , y A ) e B( x B , y B ) .

A( 2,−3) e B ( − 2,5) é:

(III) A equação geral da reta é conhecida

 − a  yB − y A a , temos m = − . Substituindo esses valores em m = x −x b  B    A b

Como exemplo, vamos determinar o coeficiente angular da reta

ax + by + c = 0 , onde a = 4 e b = - 1. a −4 Sendo assim, temos que m r = − = = 4. b −1 está na forma geral

r : 4 x − y + 3 = 0 , a qual vemos que

Assim, temos que:

m=− q=−

a → coeficiente angular b

c → coeficiente linear ( valor que a reta int ercepta o eixo Oy ) b

3. Equação de uma reta r conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo

( Q ≠ P ) , podemos escrever:

m=

P( x0 , y 0 ) , P ∈ r e Q( x, y ) um ponto qualquer de r

y − y0 ⇒ y − y 0 = m( x − x 0 ) x − x0

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por

P(1,2) , sendo m = 3.

x0 = 1 e y 0 = 2 , o que nos dá y − y 0 = m( x − x0 ) ⇒ y − 2 = 3( x − 1) ⇒ y − 2 = 3 x − 3 ⇒ 3 x − y − 1 = 0 , que é a equação geral da reta r.

Assim, temos