Circuitos Trifasicos

VI

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

A maior parte da geração, transmissão e utilização em alta potência da energia elétrica envolve sistemas polifásicos, ou seja, sistemas nos quais são disponíveis diversas fontes de mesma amplitude com uma diferença de fase entre elas. Por possuir vantagens econômicas e operacionais, o sistema trifásico é o mais difundido. Uma Fonte Trifásica é constituída de três fontes de tensões iguais defasadas 120° uma da outra. As figuras abaixo apresentam o esquema de um gerador trifásico com as tensões produzidas

VI.1 Produção da Tensão Trifásica: Alternador Trifásico: A

Rotor

VAA

Enrolamento de Induzido

VBB

VCC

B’

C’ N

Enrolamento de Campo

S

B

2

4

6

8

wt

C 120°

Estator A’

Supondo o rotor girando no sentido anti-horário com 3600 rpm (f = 60 Hz)1 seu campo magnético corta os rolamentos do induzido, induzindo neles as tensões senoidais ilustrados na figura. Estas tensões atingem seus valores máximos e mínimos com uma distância de 1/3 de um período, ou seja, com uma defasagem de 120°, e isto devido ao deslocamento espacial de 120° dos enrolamentos do induzido. Como resultado, visto que as bobinas são iguais (mesma seção e mesmo número de espiras), o alternador produz 3 tensões de mesmo valor eficaz com uma defasagem de 120 ° entre elas. Normalmente estas tensões são geradas em 13,8 kV. Tem-se portanto: e AA' = 19500 sen(377t ) V ⇒ E& AA' = 13,8∠0° kV e BB ' = 19500 sen(377t + 120°) V ⇒ E& BB ' = 13,8∠120° kV e ' = 19500 sen(377t + 240°) V ⇒ E& ' = 13,8∠240° kV CC

pois 19500

1

n=

CC

2

= 13,8 kV que é o valor eficaz do módulo da tensão.

120. f 120.60 = = 3600 rpm , onde n = velocidade, f = freqüência e p = número de pólos da máquina. 2 p

Eletrotécnica Geral – VI. Circuitos Trifásicos

O diagrama fasorial destas tensões é apresentado a seguir. E& BB '

E& AA' 120°

E& AA'

ou

E& BB '

E& CC '

120°

E& AA' + E& BB ' + E& CC ' = 0

E& CC ' Razões que levam a preferência pelo sistema trifásico:

1. permite transmissão de potência de forma mais econômica. 2. Em sistemas trifásicos o módulo do campo girante total é constante, o que não ocorre em outros sistemas polifásicos (todos os sistemas polifásicos com n × 3 fases apresentam esta característica, mas com n>1 estes sistemas não são interessantes economicamente). 3. a potência p(t) é constante (no monofásico é pulsante): p(t) = e AA ' i A + e BB' i B + e CC' i C = 3EIcos ∅

VI.2 Sistemas em Triângulo e Estrela A

B

C

A figura ao lado apresenta de maneira esquemática os três enrolamentos de um gerador trifásico.

A'

B'

C'

Os terminais destes enrolamentos são ligados para diminuir o número de linhas necessárias para as conexões em relação às cargas. Desta maneira pode-se ter dois tipos de ligações que são apresentadas nas duas próximas seções. Nomenclatura: •

Tensão de linha: é a tensão entre duas linhas.

•

Tensão de fase: é a tensão no enrolamento ou na impedância de cada ramo.

•

Corrente de linha: é a corrente na linha que sai do gerador ou a corrente solicitada pela carga.

•

Corrente de fase: é a corrente no enrolamento do gerador, ou na impedância de cada ramo.

VI.2.1 Ligação em ∆ A figura abaixo apresenta o esquema de ligações que deve ser realizado com os três enrolamentos do gerador para que se obtenha uma conexão em ∆. © DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE

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Eletrotécnica Geral – VI. Circuitos Trifásicos

A

B

B'

C

A

≡ A'

B C' A'

B'

C

C'

Quando um gerador tem seus enrolamentos ligados em ∆, as tensões de linha & & ( E A , E B , E& C ) são iguais as tensões de fase ( E& AB , E& BC , E& CA ) e as correntes de linha ( I& A , I&B , I&C ) são diferentes das correntes de fase ( I& , I& , I& ). A figura abaixo apresenta a nomenclatura AB

BC

CA

utilizada para as tensões e correntes em um circuito em ∆.

I&A

A

A

I&AB

I&CA

I&BC

E& AB

E& CA

I&B

C

B

E& BC

B C

I&C Em circuitos em ∆ as correntes de linha são iguais as correntes de fase multiplicadas por raiz de três. VI.2.2 Ligação em Y A figura abaixo apresenta o esquema de ligações que deve ser realizado com os três enrolamentos do gerador para que se obtenha uma conexão em Y. A A

B

C

≡ A'

B'

C'

B N

N

C

Quando um gerador tem seus enrolamentos ligados em Y, as tensões de linha & & ( E AN , E BN , E& CN ) são diferentes das tensões de fase ( E& AB , E& BC , E& CA ) e as correntes de linha © DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE

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( I& A , I&B , I&C ) são iguais as correntes de fase ( I& AB , I&BC , I&CA ). A figura abaixo apresenta a nomenclatura utilizada para as tensões e correntes em um circuito em Y. I&A

A

I&B

E& AB

E& AN

E& BN

I&N

N

B

N E& CN

I&C

I&A + I&B + I&C = I&N

E& CA

E& BC

C A figura abaixo mostra as tensões de fase e de linha em um diagrama fasorial adotando & E AN como referência. C

Aplicando a lei de Kirchoff para as tensões

E& CA

E& CN

tem-se: E& AB − E& AN + E& BN = 0 ou

E& AN

E& BC

A

N E& BN

E& AB = E& AN − E& BN = E& AN + E& NB

E& AB

B

O diagrama abaixo apresenta o diagrama anterior de outra forma. Pode-se obter trigonométricas:

C

E& AB

E& NB E& CN 60°

N E& BN

χ χ

as

seguintes

x = E AN . cos 30° =

relações

3 .E AN 2

E AB = 2.x = 3.E AN 30°

E& AN

E& AB

B

A

E então: E& AB = 3.E AN ∠30° De maneira análoga tem-se: E& BC = 3.E BN ∠270° E& CA = 3.ECN ∠150°

Ou seja, em circuitos em Y as tensões de linha são iguais as tensões de fase multiplicadas por raiz de três.

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VI.3 Seqüências de Fase: A ordem na qual as tensões ou correntes atingem seus valores máximos é denominada seqüência de fase. Assim, a seqüência ABC indica que a tensão VAA’ atinge seu valor máximo antes da tensão VBB’ e esta antes da tensão VCC’. O mesmo vale para qualquer outra seqüência. A figura abaixo já apresentada no início do capítulo apresenta a seqüência ABC. VAA

2

VBB

4

VCC

6

8

wt

120°

Nos geradores que têm as bobinas conectadas em Y, considerando-se que & E AN = E l 3 ∠90° , E& BN = E l 3 ∠ − 30° e E& CN = E l 3 ∠ − 150° define-se que o mesmo tem a seqüência ABC, ou seqüência direta, quando em relação a um ponto fixo, os três vetores de tensão girando no sentido anti-horário passarem pelo ponto fixo com a seguinte ordem: A, B e C. Para a situação em que E& AN = E l 3 ∠ − 150° , E& BN = E l 3 ∠ − 30° e E& = E 3 ∠90° define-se que o mesmo tem a seqüência CBA, ou seqüência inversa(cf. CN

l

figura abaixo). Seqüência CBA (Inversa)

Seqüência ABC (Direta)

E& CN

E& AN

• Ponto Fixo

• Ponto Fixo N

N

E& CN

E& BN

E& AN

E& BN

Nos geradores que têm as bobinas conectadas em ∆, considerando-se que & E AB = E l ∠120° , E& BC = E l ∠0° e E& CA = El ∠ − 120° define-se que o mesmo tem a seqüência ABC, ou seqüência direta, quando em relação a um ponto fixo, os três vetores de tensão girando no sentido anti-horário passarem pelo ponto fixo com a seguinte ordem: AB, BC e CA (observar que as primeiras letras dão a seqüência ABC). Para a situação em que E& AB = E l ∠180° , E& BC = E l ∠ − 60° e E& CA = E l ∠60° define-se que o mesmo tem a seqüência CBA, ou seqüência inversa.

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Seqüência ABC (Direta)

Seqüência CBA (Inversa) E& CA

E& AB • Ponto Fixo

E& AB

E& BC

• Ponto Fixo

E& BC

E& CA

VI.3.1 Ângulos das Tensões Após o estabelecimento de uma seqüência arbitrária pode descobrir o valor dos ângulos de cada uma das tensões trifásica. A figura abaixo apresenta estas tensões (conexões em Y e ∆) com a seqüência ABC. Ao se adotar E& BC como referência, pode-se descobrir as demais tensões.

A E& AB = E& l ∠120° V E& BC = E& l ∠0° V E& CA = E& l ∠ − 120° V

N C

E E& AN = l ∠90° V 3 E E& BN = l ∠ − 30° V 3 E E& CN = l ∠ − 150° V 3

B

A figura abaixo apresenta as tensões (conexões em Y e ∆) para a seqüência CBA, adotando-se neste caso E& AB como referência. A partir da referência pode-se descobrir então as demais tensões.

B

A N

E& AB = El ∠0° V E& BC = El ∠120° V E& CA = El ∠ − 120° V

E E& AN = l ∠30° V 3 E E& BN = l ∠150° V 3 E E& CN = l ∠ − 90° V 3

C

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VI.4 Carga Equilibrada Ligada em ∆ A figura abaixo apresenta uma carga trifásica equilibrada ligada em ∆. Cada uma das impedâncias tem valor Z& = 5∠45° Ω . O gerador está ligado com a seqüência ABC e o valor da tensão de linha é de 220 V. Para esta configuração após a figura, são apresentados os valores de tensão e corrente para a carga em questão e é traçado um diagrama fasorial completo das tensões e correntes.

I&A

A

A

I&AB

E& AB

E& CA

I&B

Z&

B

B

I&BC

Z&

I&C

E& BC

Z&

I&CA

C

Para a seqüência ABC tem-se com E& BC na referência: E& AB = 220∠120° V E& BC = 220∠0° V E& = 220∠ − 120° V CA

C

Para uma carga ligada em ∆ as correntes de fase são iguais as correntes de linha divididas por raiz de três. Os ângulos das correntes de linha são determinados pela seqüência adotada. Para a seqüência ABC com I& A como referência tem-se: A

N C

B

E& 220∠120° I& AB = AB = = 44∠75° A 5∠45° Z& E& 220∠0° = 44∠ − 45° A I&BC = BC = & 5∠45° Z E& 220∠ − 120° I&CA = CA = = 44∠ − 165° A 5∠45° Z&

As correntes de linha são dadas por: I& A = I& AB − I&CA = 44∠75° − 44∠ − 165° I& A = 76,21∠45° A I& = I& − I& = 44∠ − 45° − 44∠75° B

BC

AB

I&B = 76,21∠ − 75° A I&C = I&CA − I&BC = 44∠ − 165° − 44∠ − 45° I& = 76,21∠165° A C

Conforme pode-se observar os módulos das correntes são iguais e para uma carga equilibrada ligada em ∆, a corrente de linha é 3 vezes a corrente de fase: I A = I B = I C = 76,21 A I AB = I BC = I CA = 44 A

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I l 76,21 = = 3 If 44

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A seguir é apresentado o diagrama fasorial para o circuito alimentado com a seqüência ABC.

150

E& AB

100

I&A

I& AB

50

I&C

0

I&CA

E& BC

I&BC

-50

I&B

-100 -150

E& CA -100

0

100

200

Se o circuito fosse alimentado com a seqüência CBA, os fasores seriam diferentes, embora os módulos destes sejam iguais. Abaixo é apresentado o diagrama fasorial que resultaria se a carga fosse alimentada com a seqüência CBA.

150

E& CA

100

I&C

50

I&CA I&AB

0 -50

I&BC

I&A

I&B

E& BC

-100 -150

E& AB -100

0

100

200

Em um circuito ligado em ∆ com a seqüência ABC, as correntes de fase estão adiantadas de 30° das correntes de linha (cf. figuras acima). Para uma carga com 3 impedâncias iguais Z∠θ ° ligadas em ∆ e alimentadas com a seqüência ABC, onde E& AB = El ∠φ A ° , tem-se que E& E ∠φ ° E I&AB = AB = AB A = AB ∠φ A − θ ° . Assim pode-se dizer que para a seqüência ABC E& AB Z& Z ∠θ ° Z está adiantada em relação a I&A de θ + 30°. Para a seqüência CBA E& AB está atrasada em relação a I& de θ - 30°. Assim, os ângulos das correntes de linha nas seqüências ABC e CBA são dados A

respectivamente por: © DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE

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Seqüência CBA

Seqüência ABC ∠ I& A = ∠ E& AB − θ − 30° ∠ I&B = ∠ E& BC − θ − 30° ∠ I&C = ∠ E& CA − θ − 30°

∠ I& A = ∠ E& AB − θ + 30° ∠ I&B = ∠ E& BC − θ + 30° ∠ I&C = ∠ E& CA − θ + 30°

VI.5 Carga Equilibrada em Y a 4 Condutores A figura abaixo apresenta uma carga trifásica equilibrada ligada em Y. Cada uma das impedâncias tem valor Z& = 20∠ − 30° Ω . O gerador está ligado com a seqüência CBA e o valor da tensão de linha é de 220 V. Para esta configuração após a figura, são apresentados os valores de tensão e corrente para a carga em questão e é traçado um diagrama fasorial completo das tensões e correntes. I&A

A

E& AB

E& AN

E& CA

I&B

B E& BN

I&N

Z&

Z& N

N E& BC

E& CN

I&C

Z&

C Para uma carga ligada em Y a 4 condutores a tensão fase-neutro é dada pela tensão de fase dividida por raiz de três. Deste modo o módulo das tensões fase-neutro é igual a 127,02 V. Os ângulos das tensões fase-neutro são determinados pela seqüência adotada. Para a seqüência CBA, com E& BA = 220∠0º V como referência ( E& BA = − E& AB ), tem-se que: C

E& BC N A

220 ∠ − 150° = 127,02∠ − 150° V E& AN = 3 220 = 220∠ − 60° V E& BN = ∠ − 30° = 127,02∠ − 30° V 3 220 = 220∠60° V E& CN = ∠90° = 127,02∠90° V 3

E& AB = 220∠180° V

B

E& CA

As correntes são dadas por: E& 127,02∠ − 150° I& A = AN = = 63,51∠ − 120° A 2∠ − 30° Z& E& 127,02∠ − 30° I&B = BN = = 63,51∠0° A & 2∠ − 30° Z

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E& 127,02∠90° = 63,51∠120° A I&C = CN = 2∠ − 30° Z& &I = I& + I& + I& = 0 N A B C

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Eletrotécnica Geral – VI. Circuitos Trifásicos

A seguir são apresentados os diagramas fasorial para o circuito alimentado com a seqüência CBA. E& CN 100

50

I&C

0

-50

I&B

30°

E& AN -100

E& BN

I&A -50

0

50

100

Se o circuito fosse alimentado com a seqüência ABC, os fasores seriam diferentes, embora os módulos destes fossem iguais. Abaixo é apresentado o diagrama fasorial que resultaria se a carga fosse alimentada com a seqüência ABC.

E& AN 100

I&A

50

0

-50

I&B

30°

E& CN -100

E& BN

I&C -50

0

50

100

Para uma carga com 3 impedâncias iguais Z∠θ ° ligadas em Y e alimentadas com a E seqüência ABC, onde E& AN = l ∠φ ° , pode-se observar que 3 E& E ∠φ ° E AN = ∠φ − θ ° , ou seja, os ângulos das correntes são dados pelos ângulos I& A = AN = AN & Z ∠θ ° Z Z das tensões subtraídos do ângulo θ independentemente da seqüência. Seqüência ABC ou CBA ∠ I& A = ∠ E& AN − θ ∠ I&B = ∠ E& BN − θ ∠ I&C = ∠ E& CN − θ

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VI.6 Circuito Monofásico Equivalente para Cargas Equilibradas. Normalmente circuitos trifásicos com cargas equilibradas podem ser solucionados mais facilmente ao se transformar o circuito trifásico em seu monofásico equivalente. Nesta seção serão apresentados os métodos empregados nesta transformação. Somente circuitos em Y podem ser transformados em um circuito monofásico equivalente. Desta maneira sempre que se tem um circuito (alimentação/carga) em delta deve-se primeiro transformá-lo para Y (alimentação/carga) para depois transformar o circuito em seu monofásico equivalente. Para um circuito em ∆ com três impedâncias Z& iguais tem-se que: & Z& Y = Z ∆

3

As relações entre os módulos das tensões e correntes de linha e as tensões e correntes de fase já foram apresentadas, da mesma maneira que os ângulos destas tensões e correntes, que são determinados pela seqüência adotada. A seguir as relações entre os módulos são dadas novamente. Circuito em ∆:

Circuito em Y:

I l = 3. I f

Il = I f

El = E f

E l = 3. E f

As próximas seções apresentam as transformações para circuitos monofásicos para cargas equilibradas ligadas em Y e ∆. VI.6.1 Carga em Y A seguir apresenta-se o circuito equivalente monofásico para uma carga ligada em Y a 4 Ef El fios. Para este caso tem-se que: I f = I l = = Z 3.Z Il = I A A

Il

B

El = E AN

Z&

Z& N

N

Ef

Z&

Z& C

Exemplo 1: Para uma carga trifásica indutiva ligada em Y com Z& = 20∠30° Ω alimentada por uma tensão de 220 V (linha), solicita-se que a partir do equivalente monofásico se calcule as correntes de linha sabendo que a seqüência da alimentação é CBA. Para a seqüência CBA, com - E& AB como referência, tem-se que: © DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE

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E AB 220 ⇒ E& AN = ∠ − 150° = 127,02∠ − 150° V 3 3 E 220 = BC ⇒ E& BN = ∠ − 30° = 127,02∠ − 30° V 3 3 E 220 = CA ⇒ E& CN = ∠90° = 127,02∠90° V 3 3

C

E AN = E BN ECN

N A

B

A corrente de linha do equivalente monofásico é dada por: Il =

Ef Z

=

E AN 127,02 = = 6,35 A . Z 20

Deseja-se calcular os valores fasoriais de &I AN , &I BN , &I CN . Conforme apresentado anteriormente, para um circuito em Y (seqüência ABC ou CBA), os ângulos das correntes são dados pelos ângulos das tensões subtraídos do ângulo θ. Desta maneira tem-se que: I& AN = 6,35∠ − 150° − 30° = 6,35∠ − 180° A I&BN = 6,35∠ − 30° − 30° = 6,35∠ − 60° A I& = 6,35∠90° − 30° = 6,35∠60° A CN

VI.6.2 Carga em ∆ A seguir apresenta-se o circuito equivalente monofásico para uma carga ligada em ∆. I A = Il = 3.I f

A

I CA = I f =

Il 3

A

EAB = Ef

B

C

Z&∆

Z&∆

Z&∆

B

C

Como explicado anteriormente o primeiro passo para a obtenção do circuito equivalente monofásico para um circuito (alimentação/carga) em ∆, é dado pela transformação deste em um circuito em Y. A tensão de fase em um circuito Y é igual à tensão de linha dividido por raiz de três e a corrente de linha é igual a corrente de fase. Assim tem-se: I A = Il B

A N

A E EAN = E f = l 3

Z&∆ 3

B

Z& ∆ 3

N

Z&∆ 3 C

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C

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Eletrotécnica Geral – VI. Circuitos Trifásicos

De maneira resumida tem-se que: Y ⇒ I l = I f , E l = 3.E f e I l = I f = ∆ ⇒ I l = 3. I f , E l = E f e I f =

Ef Z∆

=

Ef ZY

⇒ Il =

El 3.E l = 3.Z Y 3.Z Y

El I E 3. E l ⇒ l = l ⇒ Il = Z∆ Z∆ 3 Z∆

Z& Z& Y = ∆ 3 A corrente de linha dos circuito em Y e ∆ são equivalentes. Assim, o circuito monofásico equivalente é dado por: I lY = I l∆ ⇒ I fY = I lY E fY = Z Y . I fY ⇒ E fY = Z Y . I lY

I lY =

E fY ZY

=

3.E fY

=

Z∆

3.E lY 3.Z ∆

=

3.E lY Z∆

Exemplo 2: Para uma carga trifásica indutiva ligada em ∆, com Z& = 5∠45° Ω , alimentada por uma tensão de 220 V (linha) com seqüência da alimentação ABC e considerando E& BC na referência, solicita-se que a partir do equivalente monofásico se calcule as correntes de linha. Para a seqüência ABC tem-se que: E& AB = 220∠120° V E& BC = 220∠0° V E& = 220∠240° V

A corrente de linha monofásico é dada por: I lY =

do

equivalente

3.E lY 3.220 = = 76,21 A Z∆ 5

CA

como o circuito original estava em ∆, a corrente de fase é dada por: If =

I l 76,21 = = 44 A 3 3

Conforme explicado, em um circuito ∆ com a seqüência ABC, E& AB está adiantada em relação a I&A de θ + 30°. Assim, as correntes de linha são dadas por: I& A = I l ∠120° − θ − 30 = I l ∠120° − 45° − 30° = 76,21∠45° A I&B = I l ∠0° − θ − 30 = I l ∠0° − 45° − 30° = 76,21∠ − 75° A I& = I ∠240° − θ − 30 = I ∠240° − 45° − 30° = 76,21∠165° A C

l

l

Exemplo 3: Uma carga equilibrada em ∆ com Z& ∆ = 9,0∠ − 30° Ω e uma carga equilibrada em Y com Z& Y = 5,0∠45° Ω são alimentadas por um sistema trifásico com seqüência ABC com tensão de linha de 480 V. Deseja-se obter as correntes de linha usando o circuito equivalente monofásico. Deve-se primeiramente transformar a carga em ∆ em uma carga em Y. Assim tem-se: Z& 9,0∠ − 30° Z& Y' = ∆ = = 3,0∠ − 30° Ω 3 3

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Eletrotécnica Geral – VI. Circuitos Trifásicos

O circuito equivalente monofásico é dado então por: Il

480 3

Z&Y' = 3,0∠ − 30°

Z&Y = 5,0∠45° Ω

Pode-se agora calcular a impedância monofásica equivalente. Assim: 3∠ − 30°.5∠45 15∠15° Z& eq = 3∠ − 30° // 5∠45° = = = 2,32∠ − 3,36° Ω 3∠ − 30° + 5∠45 6,46∠18,36° corrente de linha monofásica é dada então por: Il =

El 480 = = 119,45 A 3.Z eq 3.2,32

Com a seqüência ABC e considerando E& BC na referência, tem-se: E& AB = 480∠120° V E& BC = 480∠0° V E& = 480∠240° V

Desta maneira as correntes são dadas por: I&A = 119,45∠120° − 30° + 3,36° = 119,45∠93,36° V I&B = 119,45∠0° − 30° + 3,36° = 119,45∠ − 26,64° V I& = 119,45∠240° − 30° + 3,36° = 119,45∠213,36° V C

CA

VI.7 Sistemas Desequilibrados A seguir são apresentados sistemas nos quais as cargas trifásicas não são iguais. Cargas trifásicas diferentes são chamadas cargas desequilibradas. Para cada uma das configurações são apresentadas as equações necessárias à solução do circuito. VI.7.1 Carga em ∆ A resolução de um circuito com uma carga desequilibrada ligada em ∆ consiste em calcular as correntes de fase &I AB , &I BC e &I CA para após, utilizando estas correntes e a Lei das Correntes de Kirchoff calcular as correntes de linha. Desta maneira tem-se que: & & & &I = E AB , &I = E BC , &I = E CA AB BC CA Z& 1 Z& 3 Z& 2 e utilizando a LCK: &I = &I − &I A AB CA

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&I = &I − &I B BC AB

&I = &I − &I C CA BC

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I&A

A

A

I&AB

E& AB E& CA

I&B

I&CA

Z&3

I&C

E& BC

Z& 2 I&BC

B

B

Z&1

C

C

VI.7.2 Carga em Y com Neutro Em um sistema com uma carga trifásica ligada em Y com neutro, o condutor neutro transporta a corrente não equilibrada. As correntes nas impedâncias são as próprias correntes de linha que são desiguais e não apresentam simetria. Estas correntes não simétricas e a corrente no neutro são dadas por: & &I = E AN A & Z 1

& &I = E BN B & Z 2

& &I = E CN C & Z 3

&I = &I + &I + &I N A B C

I&A A

E& AB

E& AN E& CA

I&B

B

E& BN

Z&1

Z& 2

I&N

N

N E& BC

E& CN

Z& 3

I&C

C

VI.7.3 Carga em Y sem Neutro Existem três métodos de solução: (1) utilização do método das correntes de malha; (2) transformação da carga em Y em uma carga em ∆; (3) utilização do método do deslocamento do neutro. O primeiro método já foi estudado. Para o segundo método deve-se conhecer as fórmulas para a transformação da impedância em Y para uma impedância em ∆. Esta transformação é apresentada a seguir: A

A

≡

Z& A Z&C C

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Z& B B

Z& 3

C

Z&1

Z&2

B

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Z& .Z& + Z& A .Z& C + Z& B .Z& C Z& 1 = A B Z&

Z& .Z& + Z& A .Z& C + Z& B .Z& C Z& 2 = A B Z&

C

A

Z& .Z& + Z& A .Z& C + Z& B .Z& C Z& 3 = A B Z& B Ou seja, cada impedância é dada pela razão da soma dos produtos das impedâncias duas a duas pela impedância que lhe é oposta. Uma vez obtido o triângulo de impedâncias, resolve-se normalmente. O terceiro método que utiliza o deslocamento do neutro é apresentado a seguir. Para este método deve ser construído o triângulo de tensões apresentado abaixo a direita. I&A

A

A

E& AB

I&B

B

Z&1

Z& 2

E& CA

0

E& B 0

E& BC I&C

E& C 0

O E& A0

N

Z& 3

C

C

B

Do circuito obtém-se as seguintes equações: I&A + I&B + I&C = 0 Aplicando-se a lei de Ohm para as impedâncias tem-se: E& A0 E& B 0 E& C 0 + + =0 Z&1 Z& 2 Z& 3 E& B 0 + E& AB E& B 0 E& B 0 − E& BC + + =0 Z&1 Z& 2 Z& 3 Como as tensões E& AB e E& BC são conhecidas pode-se obter a tensão E& B 0 . A partir do triângulo das tensões pode-se obter as tensões E& A0 = E& B 0 + E& AB e E& C 0 = E& B 0 − E& BC e então obter as correntes nas linhas: E& I&A = A0 Z&1

E& I&B = B 0 Z& 2

E& I&C = C 0 Z& 3

A tensão de deslocamentos é dada então por: E& 0 N = E& BN − E& B 0 Exemplo 4: Um sistema ABC, 220 V trifásico a três fios possui uma carga ligada em Y com Z&1 = 5,0∠30° Ω , Z& 2 = 10,0∠ − 20° Ω e Z& 3 = 8,0∠0° Ω . Deseja-se obter as correntes de linha em cada carga e a tensão de deslocamento do neutro considerando E& BC como referência.

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A

B

+

E& AB 10,0∠ − 20° Ω

E& BC

I&2

E& AB = 220∠120° V E& BC = 220∠0° V E& = 20∠240° V

5,0∠30° Ω

N

+ -

As tensões de fase com a seqüência ABC são:

I&1

-

8,0∠0° Ω

CA

C

[ ] [ ][ ]

1. A solução pelo método das malhas é dada por E& = Z& . I& , ou seja: 220∠120° 13,73 − j 0,92 − 10∠ − 20°   I&1  220∠0°  =  − 10∠ − 20° 17,40 − j 3,72. &  e tem-se:      I 2 

I&1 = 19,15∠74,20° A . I&2 = 20,67∠36,19° A

Pode-se então determinar as correntes de linha/fase: I& A = I&1 = 19,15∠74,20° A I&B = I&2 − I&1 = 13,05∠ − 28,57° A I& = − I& = 20,67∠ − 143,81° A C

2

E para um circuito em Y a três fios deve-se ter I&A + I&B + I&C = 0 que pode ser utilizado para verificar-se a exatitude dos cálculos. Pode-se então calcular a tensão de deslocamento de neutro: E& B 0 = I&B .Z& B = 13,05∠ − 28,51°.10∠ − 20° = 130,5∠ − 48,51° V 220 E& 0 N = E& BN − E& B 0 = ∠ − 30° − 130,5∠ − 48,51° = 41,56∠55,48° V 3 2. Solução pelo método de deslocamento do neutro: E& B 0 + E& AB E& B 0 E& B 0 − E& BC + + =0 Z&1 Z& 2 Z& 3 E& B 0 + 220∠120° E& B 0 E& − 220∠0° + + B0 =0 5∠30° 10∠ − 20° 8∠0° E& B 0 = 130,5∠ − 48,45° V E& A0 = E& B 0 + E& AB = 95,78∠104,17° V E& = E& − E& = 165,36∠ − 143,80° V C0

B0

BC

Pode-se então determinar as correntes de linha/fase: E& I& A = A0 = 19,16∠74,17° A Z&1 E& I&C = C 0 = 20,67∠ − 143,80° A Z&

E& I&B = B 0 = 13,05∠ − 28,45° A Z& 2

3

Pode-se então calcular a tensão de deslocamento de neutro: E& 0 N = E& BN − E& B 0 = 41,42∠55,53° V © DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE

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VI.8 Potência Trifásica VI.8.1 Potência em Cargas Trifásicas Equilibradas Como as impedâncias de fase das cargas equilibradas em ∆ ou Y tem correntes iguais, a potência de fase é igual a um terço da potência total. Supondo uma carga ligada em Y tem-se: Pfase = E f .I f . cos φ PT = 3.E f .I f . cos φ como E f =

El 3

e I f = Il

PT = 3.El .I l . cos φ Para uma carga ligada em ∆, chega-se ao mesmo resultado. Portanto: P = 3.E l .I l . cos φ

[W ]

Q = 3.E l .I l . sen φ

[VAR]

S = 3.E l .I l

[VA]

FP = cos φ

Exemplo 5: Uma carga equilibrada em ∆ com Z& ∆ = 12∠30° Ω e uma carga ligada em Y com Z& Y = 5,0∠45° Ω são alimentadas por um sistema trifásico com E l = 208 V . Determinar a corrente na linha, todas as potências e o fator de potência. Na resolução deste exercício será utilizada a técnica de redução ao monofásico equivalente. Assim o primeiro passo é transformar a carga em ∆ em uma carga em Y. Assim: Z& 12∠30° Z& Y = ∆ = = 4∠30° Ω 3 3 Pode-se então determinar a impedância equivalente (cf. exemplo 3): Z& eq = 4∠30° // 5∠45° =

20∠75° = 2,24∠36,62 Ω 8,92∠38,38°

Com impedância equivalente pode-se determinar a corrente na linha. Como a carga está ligada em ∆ o cálculo da corrente é feito da seguinte maneira: E l = I f .Z eq ⇒ I f =

El 3.Z eq

⇒ 3. I l =

El El 208 ⇒ Il = = = 53,57 A Z eq 3. Z eq 3.2,24

Pode-se então calcular as potências:

θ = ∠Z eq = 36,62° FP = cos φ = cos(36,62°) = 0,80 atrasado P = 3.E l .I l . cos φ = 3.208.53,57.0,8 = 15490 W Q = 3.E l .I l . sen φ = 3.208.53,57. sen(36,62°) = 11512 VAR S = 3.E l .I l = 3.208.53,57 = 19294 VA

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VI.8.2 Potência em Cargas Trifásicas Desequilibradas Com impedâncias diferentes tem-se correntes diferentes e potências por fase diferentes. Logo deve-se calcular a potência em cada fase e depois somá-las (somente as potências ativa e reativa). Pf 1 = E f 1 .I f 1 . cos φ1 [W ]

Q f 1 = E f 1 .I f 1 . sen φ1 [VAR]

Pf 2 = E f 2 .I f 2 . cos φ 2 [W ]

Q f 2 = E f 2 .I f 2 . sen φ 2 [VAR]

Pf 3 = E f 3 .I f 3 . cos φ 3 [W ]

Q f 3 = E f 3 .I f 3 . sen φ 3 [VAR]

PT = P1 + P2 + P3 [W ]

QT = Q1 + Q2 + Q3 [VAR]

S = PT + jQT [VA] FP = cos φ =

PT ST

Exemplo 6: Um sistema trifásico, 220 V, alimenta as seguintes cargas ligadas em Y a 4 fios: Z& A = 5∠30° Ω , Z& B = 10∠ − 20° Ω e Z& C = 8∠0° Ω . Pede-se determinar as potências por fase e as potências totais. O primeiro passo é a determinação das correntes solicitadas pelas impedâncias. Assim: IA =

E AN E AB 220 = = = 25,40 A ZA 3.Z A 3.5

IB =

E BN E 220 = BC = = 12,70 A ZB 3.Z B 3.10

IC =

ECN ECA 220 = = = 15,88 A ZC 3.Z C 3.8

Pode-se agora determinar as potências ativas nas fases: 220 .25,40. cos(30°) = 2794 W 3 220 PB = E BN . I B . cosφ B = .12,70. cos( −20°) = 1516 W 3 220 PC = ECN . I C . cosφC = .15,88. cos(0°) = 2017 W 3 PA = E AN . I A . cosφ A =

Da mesma maneira pode-se calcular potências reativas nas fases: 220 .25,40. sen(30°) = 1613 VAR 3 220 Q B = E BN . I B . sen φ B = .12,70. sen( −20°) = −552 VAR 3 220 QC = ECN . I C . sen φC = .15,88. sen(0°) = 0 VAR 3

Q A = E AN . I A . sen φ A =

As potências ativas e reativas totais são: PT = PA + PB + PC = 2794 + 1516 + 2017 = 6327 W QT = Q A + Q B + QC = 1613 − 552 + 0 = 1061 VAR

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A potência aparente total e o fator de potência total são dados por: S T = S&T = PT + jQT = 6327 + j1061 = 6415 VA FP = cosφ =

PT 6327 = = 0,99 atrasado S T 6415

VI.8.3 Cargas Trifásicas e o Método dos Dois Watímetros Dois watímetros ligados em qualquer duas linhas de um sistema trifásico de três fios indicará a potência trifásica total absorvida pelo circuito. Este valor é dado pela soma das leituras dos dois watímetros. Poderá haver indicação de leitura negativa em um dos watímetros, entretanto a soma das duas leituras sempre será positiva ou nula. Considerando os dois watímetros colocados nas linhas A e C, as duas leituras serão dadas por: P1 = E AB . I A . cos(∠entre E& AB e I& A ) P = E . I . cos(∠entre E& e I& ) 2

CB

C

CB

C

PT = P1 + P2 Para o caso de carga equilibrada, com El e I l sendo respectivamente a tensão e corrente de linha e θ o ângulo da impedância, as expressões acima podem ser escritas como: P1 = El .I l . cos(θ + 30º )

P2 = El .I l . cos(θ − 30º ) PT = P1 + P2

A figura abaixo apresenta a colocação dos dois watímetros em um circuito com uma carga ligada em ∆. A

A

I&A E& AB

Z& BC

Z& AB B

B

Z& CA

C

E&CB I&C

C

O fator de potência, que pode ser indutivo ou capacitivo dependendo da carga, pode ser determinado experimentalmente como sendo:

(

FP = cos tg −1θ

)

e

tgθ =

 W − W1   3 .  2  W2 + W1 

onde W2 eW1 são respectivamente as leituras dos watímetros 2 e 1.

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Exemplo 7: Uma fonte trifásica com seqüência ABC, com E& AB = 220∠0° V na referência tem uma carga ligada em ∆ não equilibrada, conforme figura abaixo. Obter as correntes de linha e a potência total consumida através do método dos dois watímetros, com estes colocados nas fases A e B e também pela soma das potências por fase. I&A

A

A

E& CA

20 Ω

25∠90° Ω

E& AB

I&B B

B

15∠30° Ω

I&C

E& BC

E& AB = 220∠0° V E& BC = 220∠ − 120° V E& = 220∠120° V CA

C

C

O primeiro passo é a determinação das correntes solicitadas pelas impedâncias. Assim: E& 220∠0° I& AB = AB = = 8,8∠ − 90 = (0 − j8,8) A Z& A 25∠90° E& 220∠ − 120° I&BC = BC = = 14,67∠ − 150° = ( −12,7 − j 7,33) A & 15∠30° ZB E& 220∠120° = 11,0∠120° = ( −5,5 + j 9,53) A I&CA = CA = & Z 20∠0° C

Pode-se então calcular as correntes de linha: I& A = I& AB − I&CA = 8,8∠ − 90° − 11,0∠120° = 19,14∠ − 73,30° A I&B = I&BC − I& AB = 14,67∠ − 150° − 8,8∠ − 90° = 12,78∠173,40° A I& = I& − I& = 11,0∠120° − 14,67∠ − 150° = 18,33∠66,87° A C

CA

BC

Pode-se agora passar ao cálculo das potências, primeiramente pelo método dos dois watímetros (observar que a tensão no primeiro watímetro é E& AC que é igual a − E& CA que vale 220∠ − 60° V ): P1 = E AC . I A . cos(∠entre E& AC e I&A ) = 220.19,14. cos( −60° + 73,30°) = 4098 W P = E . I . cos(∠entre E& e I& ) = 220.12,78. cos(240° − 173,40°) = 1117 W 2

BC

B

BC

B

PT = P1 + P2 = 4098 + 1117 = 5214 W Em seguida calcula-se a potência pelo método das potências de fase (observar que os ângulos dos fatores de potência são os ângulos das impedâncias): PAB = E AB . I AB . cosφ AB = 220.8,8. cos(90°) = 0 W PBC = E BC . I BC . cosφ BC = 220.14,67. cos(30°) = 2795 W PCA = ECA . I CA . cosφCA = 220.11. cos(0°) = 2420 W PT = PAB + PBC + PCA = 0 + 2795 + 2420 = 5215 W Obs.: com o método das potências de fase não é necessário conhecer-se a seqüência adotada.

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VI.8.4 Cargas Trifásicas e o Método dos Três Watímetros Este método é utilizado quando se tem um sistema em Y a 4 fios (com neutro). Neste método cada watímetro é colocado em uma fase e a potência total é dada pela soma das potências medidas por cada watímetro. Assim: PA = E AN .I A . cos φ A

PB = E BN .I B . cos φ B

PC = E CN .I C . cos φ C

PT = PA + PB + PC

A figura abaixo apresenta a colocação dos três watímetros em um circuito com uma carga ligada em Y a 4 fios. I&A I&A

A

E& AN

E& AN

I&B

B

I&B

E& BN

E& BN

Z&1

Z& 2

I&N

N

N

E& CN

E& CN

Z& 3

I&C

I&C

C

Exemplo 8: Uma fonte trifásica com seqüência CBA, com E& BC = 220∠0° V na referência tem uma carga ligada em Y a 4 fios não equilibrada, conforme figura abaixo. Obter as correntes de linha e a potência total consumida através do método dos três watímetros. I&A A

E& AN

220 E& AN = ∠ − 150° = 127,02∠90° V 3 220 E& BN = ∠ − 30° = 127,02∠ − 30° V 3 220 E& CN = ∠90° = 127,02∠ − 150° V 3

I&B

10∠− 20°Ω

B

E& BN

I&N

N

E& CN

I&C

N

5∠30 ° Ω

8∠0° Ω

C

O primeiro passo é a determinação das correntes solicitadas pelas impedâncias. Assim: E& 127,02∠90° I& A = AN = = 25,40∠60° A 5∠30° Z& A

E& 127,02∠ − 30° I&B = BN = = 12,70∠ − 10 A 10∠ − 20° Z& B

E& 127,02∠ − 150° I&C = CN == = 15,88∠ − 150 A & 8∠0° ZC Pode-se então calcular as potências medidas pelos três watímetros (observar que os ângulos dos fatores de potência são os ângulos das impedâncias):

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PA = E AN .I A . cosφ A = 127,02.24,40. cos(30°) = 2794 W PB = E BN . I B . cosφ B = 127,02.12,70. cos( −20°) = 1516 W PC = ECN . I C . cosφC = 127,02.15,88. cos(0°) = 2017 W PT = PA + PB + PC = 2794 + 1516 + 2017 = 6327 W Observar que novamente a seqüência de fase utilizada não foi utilizada para o cálculo das potências.

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