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Aulas Extras

Números Complexos

Números Complexos 1ª) Resolver a equação: x2 + 1 = 0 x2 = -1 Solução em R S={ }

Solução em C x2 = -1 x = ±√-1 i = √-1 (unidade imaginária) S = {i, -i}

Números Complexos 2ª) Resolva a equação: x2 – 6x + 13 = 0 a=1

b = -6

c = 13

Δ = b2 – 4.a.c Δ = (-6)2 – 4.(1).(13) Δ = 36 – 52 Δ = – 16

Solução em R: S = { } Solução em C:

Números Complexos C

R Q Z

N

3.i   π   0,333…   3   7   5   2  +3/5    √2   5-­‐  .i  

Imagin.: Im = C - R

Números Complexos z = a + b.i

a = Parte Real b = Parte Imaginária

1) z = 3 + 2.i

2) w = 7 - i

3) x = - 5i

4) y = 10

Re(z) = 3

Re(w) = 7

Re(x) = 0

Re(y) = 10

Im(z) = 2

Im(w) = -1

Im(x) = - 5

Im(y) = 0

Imaginário Puro

Real

Números Complexos Determinar os valores reais de a que fazem com que o número complexo z = a2 + a.i – 2.i – 4 seja: a) Real b) Imaginário Puro

Números Complexos Dois números complexos são iguais se eles tem a mesma parte real e a mesma parte imaginária. Exemplo: Calcule a e b de modo que: (2a – b) + 3.i = -2 + (-a + b).i 2a – b = -2 -a + b = 3

a=1eb=4

Números Complexos Soma-se parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Exemplo: Sendo z1 = -3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2 z1 + z2 = (-3 + 4i) + (2 – i) = -1 + 3i

Números Complexos C. Multiplicação Lembrar da propriedade distributiva. Exemplo: Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1· z2. z1.z2 = (3 + 2i).(2 + 4i) z1.z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2 z1.z2 = - 2 + 16i

i2 = - 1

Números Complexos D. Conjugado de um número complexo Conjugado: Trocar o sinal da parte imaginária z = a + b.i Exemplos 1º) z1 = 2 – 3i ⇒ z1 2 3i 1 4i 2º) z2 = –1 – 4i ⇒ z 2 3º) z3 = –3i ⇒ z 3 3i 4º) z4 = 2 ⇒ z 4 2

z

a

bi

Números Complexos Simétrico de um número complexo Simétrico: Trocar o sinal da parte real z = a + b.i Exemplos 2 3i 1º) z1 = 2 – 3i ⇒ z '1 2º) z2 = –1 – 4i ⇒ z '2 1 4i 3i 3º) z3 = –3i ⇒ z '3 2 4º) z4 = 2 ⇒ z '4

z'

a

bi

Números Complexos E. Divisão Multiplicar pelo conjugado da parte de baixo Exemplo Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i

Números Complexos Potências de i: i1= i

i5= i

i2= -1 i3= -i i4= 1

i6= -1 i7= -i i8= 1

Calcule o valor de i103 + i1000

Números Complexos (Unicamp 2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i é a raiz quadrada de -1 Então i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i1000 vale a) 0. b) 1. c) i. d) -i

Números Complexos Números Complexos: 3+2i; -2 + i; -i Plano Complexo

Imagin. Afixo

2 1 -2

0 -1

3

Real

Números Complexos Considere um número complexo z = a + bi no plano complexo. Módulo: Distância da origem b |z|² = a² + b²

|z| a

|z|

a2 b2

Números Complexos Exemplo: z1 = 3 + 2i |z1|² = (3)² + (2)² |z1|² = 9 + 4

2 |z1|

|z1|² = 13 3

|z1|

13

Números Complexos Exemplo: z2 = -1 + 3i |z2|² = (-1)² + (3)² 3 |z2|

-1

|z2|² = 1 + 9 |z2|² = 10

|z 2 |

10

Números Complexos Chamamos argumento do número complexo z a medida θ do arco com centro em O tomado a partir do semi-eixo real positivo até a semi-reta OP no sentido anti-horário. θ

Números Complexos Considere z = a + bi Se 0 < θ < 90º, 2º Q

3º Q

1º Q

4º Q

a > 0 e b > 0.

Se 90º < θ < 180º,

a < 0 e b > 0.

Se 180º < θ < 270º,

a < 0 e b < 0.

Se 270º < θ < 360º,

a > 0 e b < 0.

Números Complexos Exemplos 1º) Calcular o argumento do número complexo z = 2 – 2i. 2º) Calcular o argumento do número complexo z = -2

3º) Calcular o argumento do número complexo z = -2 + 2√3.i

Números Complexos Forma algébrica: z = a + bi

cos b

a │z │ θ a

a z

z . cos

b z

sen b

z .sen

z

z . cos

z .sen

z

z . cos

i.sen

Números Complexos Exemplos 1º) Colocar o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica.

z 1

z . cos z

45o

2

i.sen

12 12

z

2

45o 1

z

2. cos 45

o

i.sen45

o

Números Complexos Exemplos 2º) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = – 2i.

z z -2

z . cos

2. cos 270o

i.sen i.sen270o

Números Complexos Escrever o número z = −1 −√3.i na forma trigonométrica.

Números Complexos Consideremos os números complexos não nulos: z1 = │z1│.(cos θ1 + i.sen θ1) z2 = │z2│.(cos θ2 + i sen θ2) z1.z2 = │z1│.│z2│[cos (θ1+θ2)+ i.sen (θ1+θ2)] No produto de dois números complexos _______________ multiplicam-se os módulos e ___________ somam-se os argumentos.

Números Complexos Exemplo Calcular o produto dos números complexos z = 2.(cos 50°+ i.sen 50°) e w = 3.(cos 20°+ i.sen 20°). z.w =

6.(cos 70°+ i.sen 70°)

Números Complexos Consideremos os números complexos não nulos: z1 = │z1│.(cos θ1 + i.sen θ1) z2 = │z2│.(cos θ2 + i sen θ2)

z1 z2

z1 . cos z2

1

2

i.sen

1

2

dividem-se os Na divisão de dois números complexos ___________ módulos e _____________ diminuem-se os argumentos.

Números Complexos Considere o número complexos não nulos: z = │z│.(cos θ + i.sen θ) zn

n

z . cos nθ

i.sen nθ

Na potência de um número complexo faz-se a mesma potência do ________ multiplica-se o expoente pelo módulo e _____________ argumento.

Números Complexos Exemplo: Calcule o valor de (1+i)10

Números Complexos

FIM