Centro de gravedad de un semicírculo de masa M y radio R 1 1 El área del semicírculo es A = πR 2 y su masa M = σπR 2 . Consideramos que el círculo está 2 2
contenido en el plano XY.
1º Método. Integración Como el semicírculo tiene un eje de simetría, el centro de gravedad del semicírculo está sobre dicho eje, las coordenadas x e y son iguales por lo que sólo es necesario calcular la coordenada y: yG =
1 M
∫∫ ydm . A
Debido a la simetría, cada producto ydm existe a ambos lados del eje de simetría, por lo que la integral extendida al área A del semicírculo puede considerarse como 2 veces la integral extendida al área del cuarto de circulo, en el que y x
varía entre 0 y R; además y puede expresarse en función del ángulo ϕ,
dy
y
el cual para el cuarto de círculo varía entre 0 y π/2. A una distancia y
del eje horizontal se considera un elemento diferencial de masa dm = σxdy , por lo que π
1 yG = M
2 ∫∫A ydm = M π
2σ 2 y σ xdy = RsenϕR cos ϕR cos ϕdϕ ∫∫ M ∫0 A/ 2
2σR 3 ⎛ 1 ⎞ 2 2σR 3 3 − cos 3 ϕ yG = ⎜ − ⎟ ∫ d cos ϕ = − 2 M ⎝ 3⎠0 ⎛ σπR ⎞ ⎟⎟ 3⎜⎜ 2 ⎝ ⎠ 2º Método. Aplicación del teorema de Guldin
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π 2
0
=
4R 3π
Cuando el semicírculo de la figura gira en torno a un eje horizontal, engendra una esfera de 4 volumen V = πR 3 mientras que el centro de gravedad describe una circunferencia de longitud 3 Lcircunferencia = 2πyG de forma que
gravedad es yG =
⎛ πR 2 ⎞ 4 3 ⎟⎟ de forma que la coordenada y del centro de πR = (2πyG )⎜⎜ 3 ⎝ 2 ⎠
4R 3π
yG