SESSION 2009
MPM2006
CONCOURS COMMUNS POlYTECHNICflIlS
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
*** NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
*** Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. Remarques: Il n'est pas demandé le détail des calculs sur la copie lorsque le candidat aura besoin de calculer un déterminant, un produit de matrices, l'inverse d'une matrice ou tout autre calcul. Par exemple, pour un déterminant, il pourra se contenter d'écrire le déterminant à calculer et de donner la réponse . .- On rappelle que le candidat doit indiquer les théorèmes utilisés et lorsqu 'il s'agira des théorèmes de Bézou~ et Gauss il indiquera leur nom . PREMIER EXERCICE
SoïtE un ffi-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P un polynôme à coefficients réels. 1. Si À est une valeur propre de u, démontrer que P(),) est une valeur propre de l'endomorphisme P(u) de E. 2. On suppose que P( u) est l'endomorphisme nul: P( u)
= O.
(a) Montrer que toute valeur propre de u est racine de P. (b) Réciproquement, toute racine de P est-elle valeur propre de u? 3. On suppose dans cette question que E est un ffi-espace vectoriel de dimension impaire et que u est un endomorphisme de E vérifiant u 3 - u 2 + u - id = O. Déterminer le spectre de u.
DEUXIÈME EXERCICE
On
sa structure canonique et on note + e3 et TI le vectoriel d'équation 2x au plan TI et S matrice
1.
que (u, v,
II et
2.
+
s dans
est une
de
(u, v, w).
3. En
: RÉSULTANT
I.
et propriétés
pet q
non nuls, soit
p
q
p
bkX k=O
k
k=O
C[X] avec ap =1= 0, =1= o. P et Q est le nombre
noté
bû b1
Q)=
un du polynôme 1+
et Q = 4 +
+
Q)
+7X3,
+
1 0 2 1 3 2 0 3 0 0
0 4 0 0 5 4 1 6 5 2 7 6 3 0 7
Q) pourra être notée
matrice servant à définir
= det et E
1.
par:
+
où u est bijective que u est une
on suppose que u est bijective,
~V.U'U'uu,
que P et Q sont
entre eux.
2/4
on suppose que P et Q sont premiers entre eux, et en que est 2. de u On note B = ,. )) une E et canomque 1L par rapport aux bases B et que Q) '1 0 si et si, Pet Q sont premiers entre eux = 0 si et si, P et Q ont au moins une commune 3. .lL",a,~.u..L'" multiple ')
} <."
Pde
(b) Application : +aX+b
une
une condition nécessaire et une racine multiple.
pour que le
II. 4.
de Bézout cette question, on note P = X 4 + (a) en la première entre eux.
1 et Q = que les
Ba) de
+1.
et Q sont
deqX]
que
=1.
trouver un Déterminer tous
matrice
en
couples (A, B) de polynômes de
+
= 1.
alors
pourra commencer par remarquer que, si (A, B) est un couple Ao) = 5.
u puis
d'une considère
r
de représentation paramétrique
{ y(t) et
la courbe
= t2 t t2 - t + 1
r,
on
pour t JR. les
infinies.
se donne polynômes Pet Q à coefficients réels et l'on pose, pour P(t) - x et = Q(t) y. que si un l'v! de à de représentation paramétrique
{ les fonctions polynômes A et déduire l'v! de x2 +
pour t ont une racine commune. (x, y) à la courbe 2xy - 4y
+3
r
O.
3/4
(c) définie sur
brièvement et sans calcul, à partir la par q(x, + 2xy, la nature de la - 2xy
4y
+3
la f'A"",'-""
O.
6. Nombre algébrique En utilisant les -7,
déterminer un à Quelles sont les autres racines
4 ayant comme racine
4/4