Ccp-maths2

  • April 2020
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  • Words: 719
  • Pages: 4
SESSION 2009

MPM2006

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNICflIlS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

*** NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

*** Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. Remarques: Il n'est pas demandé le détail des calculs sur la copie lorsque le candidat aura besoin de calculer un déterminant, un produit de matrices, l'inverse d'une matrice ou tout autre calcul. Par exemple, pour un déterminant, il pourra se contenter d'écrire le déterminant à calculer et de donner la réponse . .- On rappelle que le candidat doit indiquer les théorèmes utilisés et lorsqu 'il s'agira des théorèmes de Bézou~ et Gauss il indiquera leur nom . PREMIER EXERCICE

SoïtE un ffi-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P un polynôme à coefficients réels. 1. Si À est une valeur propre de u, démontrer que P(),) est une valeur propre de l'endomorphisme P(u) de E. 2. On suppose que P( u) est l'endomorphisme nul: P( u)

= O.

(a) Montrer que toute valeur propre de u est racine de P. (b) Réciproquement, toute racine de P est-elle valeur propre de u? 3. On suppose dans cette question que E est un ffi-espace vectoriel de dimension impaire et que u est un endomorphisme de E vérifiant u 3 - u 2 + u - id = O. Déterminer le spectre de u.

DEUXIÈME EXERCICE

On

sa structure canonique et on note + e3 et TI le vectoriel d'équation 2x au plan TI et S matrice

1.

que (u, v,

II et

2.

+

s dans

est une

de

(u, v, w).

3. En

: RÉSULTANT

I.

et propriétés

pet q

non nuls, soit

p

q

p

bkX k=O

k

k=O

C[X] avec ap =1= 0, =1= o. P et Q est le nombre

noté

bû b1

Q)=

un du polynôme 1+

et Q = 4 +

+

Q)

+7X3,

+

1 0 2 1 3 2 0 3 0 0

0 4 0 0 5 4 1 6 5 2 7 6 3 0 7

Q) pourra être notée

matrice servant à définir

= det et E

1.

par:

+

où u est bijective que u est une

on suppose que u est bijective,

~V.U'U'uu,

que P et Q sont

entre eux.

2/4

on suppose que P et Q sont premiers entre eux, et en que est 2. de u On note B = ,. )) une E et canomque 1L par rapport aux bases B et que Q) '1 0 si et si, Pet Q sont premiers entre eux = 0 si et si, P et Q ont au moins une commune 3. .lL",a,~.u..L'" multiple ')

} <."

Pde

(b) Application : +aX+b


une

une condition nécessaire et une racine multiple.

pour que le

II. 4.

de Bézout cette question, on note P = X 4 + (a) en la première entre eux.

1 et Q = que les

Ba) de

+1.

et Q sont

deqX]

que

=1.

trouver un Déterminer tous

matrice

en

couples (A, B) de polynômes de
+

= 1.

alors

pourra commencer par remarquer que, si (A, B) est un couple Ao) = 5.

u puis

d'une considère

r

de représentation paramétrique

{ y(t) et

la courbe

= t2 t t2 - t + 1

r,

on

pour t JR. les

infinies.

se donne polynômes Pet Q à coefficients réels et l'on pose, pour P(t) - x et = Q(t) y. que si un l'v! de à de représentation paramétrique

{ les fonctions polynômes A et déduire l'v! de x2 +

pour t ont une racine commune. (x, y) à la courbe 2xy - 4y

+3

r

O.

3/4

(c) définie sur

brièvement et sans calcul, à partir la par q(x, + 2xy, la nature de la - 2xy

4y

+3

la f'A"",'-""

O.

6. Nombre algébrique En utilisant les -7,

déterminer un à Quelles sont les autres racines

4 ayant comme racine

4/4