SESSION 2009
(ON COURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE
MPMI002
FILIEREMP
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
sont
Les
*** NB: Le candidat attachera la importance à. la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le sur Si un candidat est amené à rl','I'r,'r ce sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené
*** Le sujet est composé
et d'un problème indépendants.
deux
EXERCICE 1 On considère l'équation
+y 1. Résoudre (E) sur 2.
que
]-I;O[ et
des admet une
solutionsur]
1[. 1;1[.
EXERCICE 2
suite
2. Soit
tl----t
que la
1.
f
et 9
cet
. est
sur calculer:
on se
fonctions définies sur
par: et
(a) Démontrer que les
(b)
LV".\/"1''-'11''
Jet g sont
que pour tout x réel déduire que fonction cp = g +
(c) (d)
que pour tout x la valeur J.
PROBLÈME
~
est constante
dt.
valeur
7r
4
on a: 0::;;;
0
THÉORÈME DU POINT
ce
Jofol x
on a : J(x)
ET APPLICATIONS
est de démontrer le théorème du point
1, et d'en voir plusieurs applications élémentaires dans
la
et IV sont indépendantes entre
(E,
Il II)
un espace vectoriel normé.
J E
définition. Soit k E [0; 1[. On stricte de rapport k lorsque pour tout
E est une contraction
-J(y)lI::;;;kllx-
Une notation. Pour n par: r(x)
on notera
---+
Jn :
(x) avec la convention
= n fois la fonction
l'application
---+
Id.
f
1 : Le théorème du point fixe de cette partie
Il Il) est un espace
.LJU',Llu,'J>J
et
J:
---+
est une contraction
k. on
par
Xo
a et
Xn+l
= J(x n ) pour tout n entier
natureL L Pour tout n entier naturel, on pose
Un
xn+l -
Xn.
que
que pour tout n entier naturel, on a
Ilunl! : ; ; déduire que la série (b) J-'rr"""or
Un
IIJ(a)
al!.
converge.
alors que la suite (x n ) converge vers un vecteur f que f est un J que f.
(d) Démontrer que
J admet en fait un unique point
On vient donc de démontrer le tion
J:E E
qui est une contraction suite des itérés (r(a))nElN
un espace de un unique point vers ce point fixe.
Il 11), une applica et pour tout a
2/4
PARTIE
II : Exemples et contre-exemples
2. Sur la nécessité d'avoir une contraction On considère ici la fonction 9 : IR --+ IR par :
g(t)
t
1r
+-
arctan t.
2
(a) Démontrer que pour tout t réel, on a Ig'(t)1 < l. réels: Ig(x) g(y)1 < lx yi· La fonction 9 admet-elle un
?
3. Un exemple Soit f : IR --+ IR une fonction
?
une
que, pour tout x
5+1.
(a) On considère
et
natureL Démontrer en un réel que l'on nrtl,,,,,,,,pr
e
f
Un
Un+!
H ..,.'"n.u
(b) Démontrer que pour tout n
on ait:
x
où
(c) En déduire que
que l'on a pour x et y
.
+ l pour tout n entIer 5 que cette suite converge vers ) = f(x).
on a:
et tout x
est constante.
4. Un système non On s'intéresse dans cette
y) On munit IR 2 de la norme Il 1jJ : IR2 --+ IR 2 définie par :
III
U
Il
y)11 1 = Ixl
+ y), l + ~
1jJ(x, y)
+ Iyl
et on considère l'application
arctan (x - y)) .
) Il 111) est-il complet?
(a) Pourquoi Démontrer que pour tout a et b
b Prouver que 1jJ est une En
par :
que le
(e) Ici IR2 est muni
al ~ lb
on a:
al et larctanb - arctanal ~ lb - al· 2
stricte (IR2 , Il 111) dans (IR , 1111 1 ), une unique solution dans IR 2 . définie par Il (x, y) 1100 = max(lxl, Iyl) qui en fait un
stricte pour la norme
Il
1100 ?
3/4
PARTIE
5.
III : Une équation intégrale
F l'espace vectoriel
Ilflloo = On note E (a) Démontrer que (F, Il (b)
1]
applications bornées de
1Ft Pour
f
F on pose:
1·
sup
vectoriel des usemel1t que Il est une norme sur Banach.
eSDace
On admettra pour la
(c) Démontrer le suivant du cours: si (G, 1111) est un espace normé et si (gn) est une suite d'applications uniformément sur G vers une application 9 alors 9 est G
(d) 6.
déduire que
Il
un espace
considère une application l'application qui à une
Banach.
ainsi que 9 E la fonction par :
on note
->
~C'~vAv
1 1
(J)(x) = g(x)
À
K(x, y)f(y) dy pour tout x dans
1].
(a) Justifier que l'application IKI est bornée et atteint ses bornes.
On pose M IK(x, 1.
(b) Démontrer que (J) est un On suppose que en déduire qu'il
IÀI <
que est une une unique application f
g(x) = f(x)
\1
/\
E telle que:
1
y)f(y) dy pour tout x dans
1].
IV : Une application géométrique 7. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on considère un vrai triangle et sur Iv[ un point de l'axe des PM le QM le le On donc une application
(b)
que
(lR,1 1)·
Que
en
avec B
?
Fin de l'énoncé 4/4