Cat 05 - Fibonacci 01

Universidad de Viña del Mar Departamento de Ciencias Básicas

Pensamiento Matemático Semestre Otoño 2009

CITAS PARA REFLEXIONAR

El principio es la mitad del todo. Pitágoras (572 a. C. – 497 a. C.) http://www.monografias.com/trabajos7/pita/pita.shtml

El todo es más que la suma de sus partes. Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.) http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-e_aristo.htm

Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar. Hiparía (370 d. de C. – 415 d. de C.) http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematica s/web_taller_0203/mujeres/sara/hipatia.htm

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PROBLEMAS LATERALES …lee, analiza y concluye…

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(A veces nos acostumbramos a pensar en una sola dirección dando por obvio cosas que no son tan obvias. A manera de ejemplo revise los siguientes enunciados)

¿Cómo puede un pastor disponer cuatro ovejas, de tal forma que cada una de ellas esté a la misma distancia de las otras?

Al multiplicar 10 metros por 10 metros se obtienen 100 metros cuadrados. ¿Cuánto se obtiene al multiplicar 10 pesos por 10 pesos?

A principios del año 2002, un criador de animales hace un balance de sus animales y repara que tiene: 20 cerdos, 40 vacas y 60 caballos. Sin embargo a mediados del mismo año y producto de un extraño mal, comienza a llamar caballos a sus vacas. ¿Cuántos caballos tendrá el criador a mediados de año?

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INCURSIONES FIBONACCIANAS FIBONACCI 1

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ACERCA DEL NÚMERO DE MANERAS DE SUBIR UNA ESCALERA

Consideremos una escalera con n peldaños. Se plantea el problema de subir por ella de acuerdo a ciertas reglas.

Reglas para subir la escalera: Para subirla puede avanzarse de peldaño en peldaño (paso simple) o también saltarse sólo uno de ellos (paso doble). Se admiten ambos tipos de pasos en una subida. Ver esquema. ¿Cuántas maneras de subir la escalera hay? El esquema que sigue esquematiza el caso de una escalera con 4 peldaños:

• • • • •

Sube los 4 peldaños uno a uno. Sube los dos primeros de a uno y de allí se salta uno. Sube el primero y luego se salta uno. Termina de a uno. Se salta uno y luego los restantes de a uno. Se salta uno y luego nuevamente se salta uno.

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Otro esquema más simple de anotar los movimientos es el siguiente: 1 representa el paso simple y 2 representa el paso doble • • • • •

1–1–1-1 1–1-2 1–2-1 2–1-1 2-2

Nota: En general para contar el número de maneras de subir una escalera con n peldaños se propone dividir el total de maneras en dos grupos: a) Aquellas subidas en que el último paso es simple, b) aquellas subidas en que el último paso es doble. Puede demostrarse que el número de subidas: de tipo a) corresponde al número de subidas a una escalera con un peldaño menos y que el número de subidas de tipo b) corresponde al número de subidas a una escalera con dos peldaños menos.

Para el caso con 4 peldaños se cumple:

Tabla donde se indican los primeros 7 casos: Nº peldaños Nº maneras

1 1

2 2

3 3

4 5

5 8

6 13

7 21

Se trata de un problema de Recurrencia. ¿Qué significado tiene este concepto? Circo Matemático de Martin Gardner (en la dirección que sigue): http://www.librosmaravillosos.com/circomatematico/capitulo13.html