Carlo Scar Los

PROBABILIDAD de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece. •

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable. La frecuencia relativa del suceso A:

Propiedades de la frecuencia relativa: 1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø. 3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0.

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

EXPERIMENTOS O FENÓMENOS ALEATORIOS son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema. •

Conversión de una tabla en diagrama de árbol Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.

A B

TOTAL

P( A

B ) P(

P( A

) P(

TOTAL

P( A )

B)

P( B )

) P( P(

)

) 1

En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta. Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y

se les ha asociado los sucesos B y

.

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

ESTADÍSTICA

La estadística es una ciencia con base matemática referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio. Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad, y es usada para la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales. La Estadística se divide en dos ramas: •

•

La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptores numéricos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clusters, etc. La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y minería de datos.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc.

POBLACIÓN Y MUESTRA Algo importante que hay que mencionar es que no siempre se trabaja con todos los datos. Ésto por diversas razones, que pueden ser desde prácticas hasta por economía. Por ejemplo, resultaría muy costoso obtener los datos de todos los seres humanos, o impráctico (y a la vez destructivo) obtener como datos el tiempo en el que se funden las bombillas producidas por una cierta marca realizando la medición de toda la producción. El estudio conduciría a la empresa a la ruina, pues la producción entera desaparecería. Por esta razón se considera un subconjunto del total de los casos, sujetos u objetos que se estudian y que se les obtienen los datos. La población, entonces, es el total hipotético de los datos que se estudian o recopilan. Ante la imposibilidad ocasional de conseguir a la población, entonces se recurre a la muestra, que viene siendo un subconjunto de los datos de la población, pero tal subconjunto tiene que contener datos que pueden servir para posteriores generalizaciones de las conclusiones.

POBLACIÓN Y MUESTRA. Una población es el conjunto de todos los elementos que cumplen una o varias propiedades prefijadas. Ejemplos de poblaciones son: el colectivo de todos los consumidores de un determinado producto, el conjunto de tornillos fabricados en un día por una empresa, etc. Llamamos tamaño de la población al número de elementos que la componen. Si dicho número es finito, la población es finita; si por el contrario es infinito, la población es infinita. En la práctica las poblaciones son finitas, pero por consideraciones teóricas interesa estudiar poblaciones infinitas. La Estadística se interesa por el estudio de las poblaciones. Para estudiar una población se puede usar: - Un censo o encuesta exhaustiva, que consiste en observar todos y cada uno de los elementos de la población. Estadística Aplicada a la Ingeniería Civil 10

- Una muestra, que es un subconjunto de la población. Llamamos tamaño de la muestra al número de elementos que la componen. La inspección de una población por muestreo es rápida y barata. Además, en algunos casos, es la única manera práctica de observar una población; esto ocurre cuando la observación de un elemento supone su destrucción, por ejemplo cuando se intenta estudiar la resistencia de ciertos materiales.

LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Vimos que una Población o Universo de datos es un conjunto muy grande de números. Estos números pueden estar en un gran listado o puede ser un conjunto hipotético, es decir, podemos imaginar los números pero no los tenemos realmente. Una gran tabla de números ordenados al azar prácticamente no nos muestra información acerca de la población de datos. Suponiendo que disponemos de los datos del universo, ¿cómo podemos clasificar y ordenar los números para obtener más información acerca de ese universo de datos?. Una forma sería escribir los números desde el menor hasta el mayor y colocar encima de cada uno tantas cruces o cuadraditos como veces que figure repetido en la población. El número de veces que aparece repetido cada dato es la frecuencia de dicho valor. La representación gráfica que hemos visto se denomina Distribución de Frecuencias de la población. La representación gráfica nos permite ver información que antes no aparecía tan evidente. Por ejemplo, sin hacer ningún cálculo nos damos cuenta donde está aproximadamente el promedio de la población. También nos muestra cuales son los valores máximo y mínimo de la población, es decir, el rango o recorrido. En el caso anterior, los datos de la población son números enteros. Cuando los números no son enteros o cuando tenemos un número muy grande de datos, se divide el rango total en subintervalos y se cuenta el número de valores que cae dentro de cada subintervalo. Vamos a suponer, ahora, que tenemos una cierta población de N = 500 datos, por ejemplo el peso de varones adultos de 40 años. Una manera de caracterizar esta población es construir una distribución de frecuencias o gráfico de frecuencias. Para ello seguimos los pasos siguientes: 1) Tomamos nota del valor máximo y el valor mínimo de la serie de datos que estamos considerando. 2) Subdividimos el intervalo entre el máximo y el mínimo en algún número de intervalos (15 ó 20) mas pequeños iguales entre sí.

3) Contamos el número de datos que encontramos dentro de cada intervalo (Frecuencia). Por ejemplo, supongamos que en el intervalo i hay ni observaciones (S*ni = N). 4)Para construir el gráfico, colocamos en el eje de abcisas (Horizontal) los intervalos y levantamos en cada intervalo un rectángulo de altura proporcional al número ni de datos dentro del mismo. Si hacemos el área del rectángulo levantado sobre el intervalo i-ésimo igual a la frecuencia relativa ni/N, el área total bajo el histograma será igual a la unidad:

Obtenemos así un histograma que nos muestra la distribución de frecuencias de la población:

Esta distribución de frecuencias nos muestra si hay resultados que son mas frecuentes que otros; si los valores están ubicados alrededor de un valor central, si están muy dispersos o poco dispersos. Podemos observar que fracción de todas las mediciones cae por ejemplo, entre 70 y 80 Kg. Si elegimos una persona del grupo y la pesamos, el resultado es un dato que pertenece a la población de datos representada en el gráfico. Decimos, entonces, que estamos extrayendo un dato de la población de datos. Pero hay distintas maneras de elegir la persona, es decir, distintas maneras de realizar la extracción del dato. Si nos paramos frente al grupo y elegimos una persona, estaremos seleccionando al más gordo, al más flaco o al más alto (y por lo tanto pesa más que otros), de acuerdo a criterios subjetivos que no podemos evitar. En cambio, si escribimos los nombres de todas las personas en una etiqueta, metemos todas las etiquetas en una caja y luego le pedimos a alguien que retire una etiqueta, la selección no estará influida por nuestra subjetividad. En este caso,

decimos que la extracción es aleatoria. Una extracción aleatoria es aquella en que cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser elegido.

VARIABLE es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera (siempre dentro de su universo). Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por criterios o condiciones de pertenencia, al universo que les corresponde (en estos casos, el universo de la variable pasa a ser un subconjunto de un universo mayor, el que tendría sin las restricciones).

TIPOS DE VARIABLES: Los tipos de variables fundamentales, por lo menos para este tema, serán los siguientes: a. Variables Cuantitativas o Cardinales: susceptibles de medición cuantitativa; o sea son las que se describen por medio de números y las que a su vez comprenden: i. Variable Cuantitativa Discretas: son aquellas cuyo conjunto de valores es a lo sumo numerable. Sus valores pueden representarse siempre por X1, X2, … , Xn.; y sólo se pueden asociar a un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad Ejemplos:   

Número de hijos en el hogar .Páginas de un libro Variable Cuantitativa Continua: son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo de números reales, o sea que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable puede tomar cualquier valor intermedio. Ejemplos:

variable temperatura en grados Celsius (escala de intervalos). variable longitud en cm. (escala de razón). variable peso. variable tiempo Variables Cualitativas (Atributos) o Ordinales: susceptibles de ordenación, pero no de medición cuantitativa, reflejan generalmente los atributos del fenómeno. Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número, y a su vez las podemos clasificar en:    

ii.

Ordenables: aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, el nivel de estudios, etc.

No Ordenables: aquellas que sólo admiten un ordenamiento alfabético, pero no establece orden por su naturaleza,, por ejemplo el color del cabello, sexo, estado civil, etc. Nota: no obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como si fuesen continua y viceversa (por ejemplo la edad de las personas –variable continua- se trabaja en años cumplidos –variable discreta-. En otros casos las variables cualitativas (atributos) se trabajan como variables cuantitativas, por ejemplo en los concursos de belleza se recurre a un sistemade calificación por puntos.

FRECUENCIA ABSOLUTA: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por ni

FRECUENCIA RELATIVA: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi

Donde N = Tamaño de la muestra. •

FRECUENCIA ABSOLUTA (n ) de una variable estadística X , es i

i

el número de veces que aparece en el estudio este valor . A mayor tamaño de la muestra, aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N). •

FRECUENCIA RELATIVA (f ), es el cociente entre la frecuencia i

absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,

siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias (ver fig.1 y (fig.2).

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi) que presentan esta característica respecto al total de N, es decir el 100% del conjunto.

AGRUPACIÓN DE DATOS. Si una muestra consta de demasiados valores numéricamente diferentes, las gráficas correspondientes, que estudiaremos a continuación, son muy complicadas y quizás confusas, por lo que nos podría interesar simplificar los datos eliminando detalles innecesarios. Esto puede hacerse por medio del siguiente proceso de agrupación de datos. Para una muestra dada, escogemos un intervalo I , determinado por el menor y el mayor valor de la muestra, que contenga a todos los valores Subdividimos I en subintervalos que se llaman intervalos de clase; los puntos medios de estos intervalos se denominan marcas de clase. Al número de valores en cada intervalo de clase se le llama frecuencia de clase; su división entre el tamaño n de la muestra es la frecuencia relativa de clase. En muchas aplicaciones será posible obedecer las siguientes reglas que son útiles para evitar complicaciones innecesarias en el uso posterior de una muestra agrupada. - Todos los intervalos deberán tener la misma amplitud. - Los intervalos de clase se escogerán de manera que las marcas de clase correspondan a números simples. - Si un valor de una muestra coincide con el punto extremo común de dos intervalos de clases se coloca este valor en el intervalo que se encuentra a la derecha de dicho valor. Estadística Aplicada a la Ingeniería Civil 18

Ejemplo.

datos:

Para la tabla 2 podemos hacer la siguiente agrupación de los

Cuantas menos clases escojamos, será más simple la muestra agrupada, pero se perderá más información, ya que los valores originales de la muestra no aparecen explícitamente. El agrupamiento debe hacerse de tal manera que sólo se eliminen los detalles que no son esenciales. El agrupamiento siempre significará perdida de información y en consecuencia, si la inferencia estadística se basa en los datos agrupados, se pueden crear problemas de variedad de grados de exactitud, que dependerán de los métodos de inferencia empleados. Por lo tanto, si estamos imposibilitados para juzgar los efectos de la agrupación, bajo condiciones ordinarias, debemos considerar la posibilidad de usar los datos originales no agrupados. Se observa que la muestra agrupada puede cambiar si cambiamos las marcas de clase, manteniendo las longitudes y el número de los intervalos de clase. De este modo, vemos que hay factores arbitrarios en el proceso de agrupación. De hecho si necesitamos comparar una muestra con otra previamente agrupada, es muy importante que la agrupación de datos sea similar.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/ManualCPE02p2.htm#

Introducción Una de las ramas de la Estadística más accesible a la mayoría de la población es la Descriptiva. Esta parte se dedica única y exclusivamente al ordenamiento y tratamiento mecánico de la información para su presentación por medio de tablas y de representaciones gráficas, así como de la obtención de algunos parámetros útiles para la explicación de la información. La Estadística Descriptiva es la parte que conocemos desde los cursos de educación primaria, que se enseña en los siguientes niveles y que, por lo general, no pasa a ser un análisis más profundo de la información. Es un primer acercamiento a la información y, por esa misma razón, es la manera de presentar la información ante cualquier lector, ya sea especialista o no. Sin embargo, lo anterior no quiere decir que carezca de metodología o algo similar, sino que, al contrario, por ser un medio accesible a la mayoría de la población humana, resulta de suma importancia considerar para así evitar malentendidos, tergiversaciones o errores.