Capacitancia Y Dielectricos

Departamento de Física

Septimbre 16, 2009 Código: 1807 Laboratorio de Física electricidad

©Ciencias Básicas Universidad del Norte – Colombia

EXPERIENCIA No 3. CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS Vanessa Fonseca

Andres Lastra

email: [email protected] Ingenieria Industrial

email: [email protected] Ingenieria industrial

Resumen Este informe es sobre la capacitancia y las formas en que un capacitor puede variar esta propiedad con respecto a su conductividad su carga y el potencial al que es sometido.

1. OBJETIVOS

1.1. General: •

Establecer la relación entre carga, voltaje y capacitancia para un condensador de placas paralelas.

1.2. Específicos: 1. Establecer una relación empírica entre el voltaje V y la carga Q, manteniendo la capacitancia del condensador C constante. 2. Establecer una relación empírica entre la carga Q y la capacitancia C, manteniendo el voltaje constante. 3. Establecer la relación empírica entre el voltaje V y la capacitancia C, manteniendo constante la carga Q 4. Comparar los coeficientes dieléctricos de algunos materiales comunes. 2. MARCO TEORICO

En electricidad y electrónica, un condensador, capacitor o capacitador es un dispositivo que almacena energía eléctrica, es un componente pasivo. Está formado por un par de superficies conductoras en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra), generalmente en forma de tablas, esferas o láminas, separados por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de las placas y negativa en la otra (siendo nula la carga total almacenada).

La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacidad o capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1 voltio, éstas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio. La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se suele indicar la capacidad en microµF = 10-6, nano- nF = 10-9 o pico- pF = 10-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están hechos de carbón activado para conseguir una gran área relativa y tienen una separación molecular entre las "placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos. El valor de la capacidad de un condensador viene definido por la siguiente fórmula:

en donde: C: Capacidad Q1: Carga eléctrica almacenada en la placa 1. V1 − V2: Diferencia de potencial entre la placa 1 y la 2. Nótese que en la definición de capacidad es indiferente que se considere la carga de la placa positiva o la de la negativa, ya que

aunque por convenio se suele considerar la carga de la placa positiva. En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las placas o armaduras como la naturaleza del material dieléctrico son sumamente variables. Existen condensadores formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la electrolisis. Energía almacenada El condensador almacena energía eléctrica, debido a la presencia de un campo eléctrico en su interior, cuando aumenta la diferencia de potencial en sus

terminales, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede obtener que la energía , almacenada por un condensador con capacidad C, que es conectado a una diferencia de potencial V1 − V2, viene dada por:

Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en las que se aprovecha la capacidad que aparece entre la puerta y el canal de los transistores MOS para ahorrar componentes. Comportamientos ideal y real [editar]

Fig. 1: Condensador ideal. El condensador ideal (figura 2) puede definirse a partir de la siguiente ecuación diferencial:

donde C es la capacidad, u(t) es la función diferencia de potencial aplicada a sus terminales e i(t) la corriente resultante que circula. Comportamiento en corriente continua Un condensador real en CC (DC en Inglés) se comporta prácticamente como uno ideal, esto es, como un circuito abierto. Esto es así en régimen permanente ya que en régimen transitorio, esto es, al conectar o desconectar un circuito con condensador, suceden fenómenos eléctricos transitorios que inciden sobre la d.d.p. en sus bornes (ver circuitos serie RL y RC). Comportamiento en corriente alterna

En CA, un condensador ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente que recibe el nombre de reactancia capacitiva, XC, cuyo valor viene dado por la inversa del producto de la pulsación ( ) por la capacidad, C:

Si la pulsación se expresa en radianes por segundo (rad/s) y la capacidad en faradios (F), la reactancia resultará en ohmios. Al conectar una CA senoidal v(t) a un condensador circulará una corriente i(t), también senoidal, que lo cargará, originando en sus bornes una caída de tensión, -vc(t), cuyo valor absoluto puede demostrase que es igual al de v(t). Al decir que por el condensador "circula" una corriente, se debe puntualizar que, en realidad, dicha corriente nunca atraviesa su dieléctrico. Lo que sucede es que el condensador se carga y descarga al ritmo de la frecuencia de v(t), por lo que la corriente circula externamente entre sus armaduras. El fenómeno físico del comportamiento del condensador en CA se puede observar en la figura 3. Entre los 0º y los 90º i(t) va disminuyendo desde su valor máximo positivo a medida que aumenta su tensión de carga vc(t), llegando a ser nula cuando alcanza el valor máximo negativo a los 90º, puesto que la suma de tensiones es cero (vc(t)+ v(t) = 0) en ese momento. Entre los 90º y los 180º v(t) disminuye, y el condensador comienza a descargarse, disminuyendo por lo tanto vc(t). En los 180º el condensador está completamente descargado, alcanzando i(t) su valor máximo negativo. De los 180º a los 360º el razonamiento es similar al anterior. De todo lo anterior se deduce que la corriente queda adelantada 90º respecto de la tensión aplicada. Considerando, por lo tanto, un condensador C, como el de la figura 2, al que se aplica una tensión alterna de valor:

De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna, adelantada 90º (π / 2) respecto a la tensión aplicada (figura 4), de valor:

donde forma polar:

. Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en

Figura 2. Circuitos equivalentes de un condensador en CA. Y operando matemáticamente:

Por lo tanto, en los circuitos de CA, un condensador ideal se puede asimilar a una magnitud compleja sin parte real y parte imaginaria negativa:

En el condensador real, habrá que tener en cuenta la resistencia de pérdidas de su dieléctrico, RC, pudiendo ser su circuito equivalente, o modelo, el que aparece en la figura 5a) o 5b) dependiendo del tipo de condensador y de la frecuencia a la que se trabaje, aunque para análisis más precisos pueden utilizarse modelos más complejos que los anteriores. Asociaciones de condensadores

Figura 3: Asociación serie general.

Figura 4: Asociación paralelo general.

Al igual que las resistencias, los condensadores pueden asociarse en serie (figura 4), paralelo (figura 5) o de forma mixta. En estos casos, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:

y para la asociación en paralelo:

Es decir, la media armónica de las capacidades de cada condensador. Es fácil demostrar estas dos expresiones, para la primera solo hay que tener en cuenta que la carga almacenada en las placas es la misma en ambos condensadores (se tiene que inducir la misma cantidad de carga entre las placas y por tanto cambia la diferencia de potencial para mantener la capacitancia de cada uno), y por otro lado en la asociación en "paralelo", se tiene que la diferencia de potencial entre ambas placas tiene que ser la misma (debido al modo en el que están conectados), así que cambiará la cantidad de carga. Como esta se encuentra en el numerador (C = Q / V) la suma de capacidades será simplemente la suma algebraica. Para la asociación mixta se procederá de forma análoga con las resistencias. Aplicaciones típicas Los condensadores suelen usarse para: Baterías, por su cualidad de almacenar energía. Memorias, por la misma cualidad. Filtros. Adaptación de impedancias, haciéndolas resonar a una frecuencia dada con otros componentes. Desmodular AM, junto con un diodo. El flash de las cámaras fotográficas. Tubos fluorescentes. Mantener corriente en el circuito y evitar caídas de tensión. Condensadores variables Un condensador variable es aquel en el cual se pueda cambiar el valor de su capacidad. En el caso de un condensador plano, la capacidad puede expresarse por la siguiente ecuación:

donde:

ε0: constante dieléctrica del vacío εr: constante dieléctrica o permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas A: el área efectiva de las placas d: distancia entre las placas o espesor del dieléctrico Para tener condensador variable hay que hacer que por lo menos una de las tres últimas expresiones cambien de valor. De este modo, se puede tener un condensador en el que una de las placas sea móvil, por lo tanto varía d y la capacidad dependerá de ese desplazamiento, lo cual podría ser utilizado, por ejemplo, como sensor de desplazamiento. Otro tipo de condensador variable se presenta en los diodos varicap. Tipos de dieléctrico utilizados en condensadores •

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Dieléctrico de aire. Se trata de condensadores, normalmente de placas paralelas, con dieléctrico de aire y encapsulados en vidrio. Como la permitividad eléctrica relativa es la unidad, sólo permite valores de capacidad muy pequeños. Se utilizó en radio y radar, pues carecen de pérdidas y polarización en el dieléctrico, funcionando bien a frecuencias elevadas. Dieléctrico de mica. La mica posee varias propiedades que la hacen adecuada para dieléctrico de condensadores: bajas pérdidas, exfoliación en láminas finas, soporta altas temperaturas y no se degrada por oxidación o con la humedad. Sobre una cara de la lámina de mica se deposita aluminio, que forma una armadura. Se apilan varias de estas láminas, soldando los extremos alternativamente a cada uno de los terminales. Estos condensadores funcionan bien en altas frecuencias y soportan tensiones elevadas, pero son caros y se ven gradualmente sustituidos por otros tipos. Dieléctrico de papel. El dieléctrico es papel parafinado, bakelizado o sometido a algún otro tratamiento que reduce su higroscopia y aumenta el aislamiento. Se apilan dos cintas de papel, una de aluminio, otras dos de papel y otra de aluminio y se enrollan en espiral. las cintas de aluminio constituyen las dos armaduras, que se conectan a sendos terminales. Se utilizan dos cintas de papel para evitar los poros que pueden presentar. o Dieléctrico autorregenerables. Los condensadores de papel tienen aplicaciones en ambientes industriales. Los condensadores autorregenerables son condensadores de papel, pero la armadura se realiza depositando aluminio sobre el papel. Ante una situación de sobrecarga que supere la rigidez dieléctrica del dieléctrico, el papel se rompe en algún punto, produciéndose un cortocircuito entre las armaduras, pero este corto provoca una alta densidad de corriente por las armaduras en la zona de la rotura. Esta corriente funde la fina capa de aluminio que rodea al cortocircuito, restableciendo el aislamiento entre las armaduras.

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Dieléctrico electrolítico. El dieléctrico es una disolución electrolítica que ocupa una cuba electrolítica. Con la tensión adecuada, el electrolito deposita una capa aislante muy fina sobre la cuba, que actúa como una armadura y el electrolito como la otra. Consigue capacidades muy elevadas, pero tienen una polaridad determinada, por lo que no son adecuados para funcionar con corriente alterna. La polarización inversa destruye el óxido, produciendo una corriente en el electrolito que aumenta la temperatura, pudiendo hacer arder o estallar el condensador. Existen de varios tipos: o Dieléctrico de aluminio. Es el tipo normal. La cuba es de aluminio y el electrolito una disolución de ácido bórico. Funciona bien a bajas frecuencias, pero presenta pérdidas grandes a frecuencias medias y altas. Se emplea en fuentes de alimentación y equipos de audio.  Muy utilizado en fuentes de alimentación conmutadas. o Dieléctrico de tantalio (tántalos). Es otro condensador electrolítico, pero emplea tantalio en lugar de aluminio. Consigue corrientes de pérdidas bajas, mucho menores que en los condensadores de aluminio. Suelen tener mejor relación capacidad/volumen, pero arden en caso de que se polaricen inversamente. o Dieléctrico para corriente alterna. Está formado por dos condensadores electrolíticos en serie, con sus terminales positivos interconectados. Dieléctrico de poliéster o Mylar. Está formado por láminas delgadas de poliéster sobre las que se deposita aluminio, que forma las armaduras. Se apilan estas láminas y se conectan por los extremos. Del mismo modo, también se encuentran condensadores de policarbonato y polipropileno. Este el tipo de capacitor relativamente más barato que hay. Dieléctrico styroflex. Otro tipo de condensadores de plástico, muy utilizado en radio, por responder bien en altas frecuencias y ser uno de los primeros tipos de condensador de plástico. Dieléctrico cerámico. Utiliza cerámicas de varios tipos para formar el dieléctrico. Existen tipos formados por una sola lámina de dieléctrico, pero también los hay formados por láminas apiladas. Dependiendo del tipo, funcionan a distintas frecuencias, llegando hasta las microondas. Dieléctrico síncrono. No es un condensador, sino un motor síncrono que se comporta como condensador. Dieléctrico variable. Este tipo de condensador tiene una armadura móvil que gira en torno a un eje, permitiendo que se introduzca más o menos dentro de la otra. El perfil de la armadura suele ser tal que la variación de capacidad es proporcional al logaritmo del ángulo que gira el eje. o Dieléctrico de ajuste. Son tipos especiales de condensadores variables. Las armaduras son semicirculares, pudiendo girar una de ellas en torno al centro, variando así la capacidad. Otro tipo se basa en acercar las armaduras, mediante un tornillo que las aprieta.

Se denomina dieléctricos a los materiales que no conducen la electricidad, por lo que pueden ser utilizados como aislantes eléctricos. Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la cerámica, la goma, la mica, la cera, el papel, la madera seca, la porcelana, algunas grasas para uso industrial y electrónico y la baquelita. Los dieléctricos se utilizan en la fabricación de condensadores, para que las cargas reaccionen. Cada material dieléctrico posee una constante dieléctrica k. que es conocida como a constante de proporcionalidad directa e inversamente proporcional hablando matematicamente Tenemos k para los siguiente dieléctricos: Vacío tiene k = 1; Aire (seco) tiene k = 1.00059; Teflón tiene k = 2.1; Nylon tiene k = 3.4; Papel tiene k = 3.7; Agua tiene k = 80. Los dieléctricos más utilizados son el aire, el papel y la goma. La introducción de un dieléctrico en un condensador aislado de una bateria, tiene las siguientes consecuencias: • • • • •

Disminuye el campo eléctrico entre las placas del condensador. Disminuye la diferencia de potencial entre las placas del condensador, en una relacion Vi/k. Aumenta la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica). Aumento por tanto de la capacidad eléctrica del condensador en k veces. La carga no se ve afectada, ya permanece la misma que ha sido cargada cuando el condensador estuvo sometido a un voltaje.

Normalmente un dieléctrico se vuelve conductor cuando se sobrepasa el campo de ruptura del dieléctrico. Es decir, si aumentamos mucho el campo eléctrico que pasa por el dieléctrico convertiremos dicho material en un conductor. Tenemos que la capacitancia con un dielectrico llenando todo el interior del condensador esta dado: C = kEoA / d (Donde Eo es la permitividad electrica del vacio). 3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

En esta experiencia, se indagará la relación entre la carga, el voltaje y la capacitancia de un condensador de placas paralelas, manteniendo una de estas cantidades constante, variando una de ellas y midiendo la tercera. Se insertarán materiales comunes entre las placas del condensador para determinar sus coeficientes dieléctricos. 3.1. Configuración del ordenador

1. Conecte el interfaz ScienceWorkshop al ordenador, encienda el interfaz y luego encienda el ordenador. 2. Conecte las clavijas del sensor de carga al Canal Analógico A y el del electrómetro al canal B. 3. Abra el archivo titulado: DataStudio 3.2. Calibración del sensor y montaje del equipo Caso 1: Mantenga C constante, varíe Q y mida V. Para realizar esta práctica realice un montaje como indica la figura 3.1.

En la figura 3.1 el condensador de placas paralelas está conectado al electrómetro, éste está conectado a tierra y una de las esferas a la fuente de voltaje de 1000VDC. Tener el cuidado de ubicar el condensador alejado de la fuente y de la esfera, para evitar que aquel se cargue por inducción. Caso 2: Mantenga V constante, varíe C y mida Q. En la figura 3.2 se muestra la configuración del equipo para este caso:

Las placas del condensador tienen una separación inicial de 6 cm y es conectado a la fuente de voltaje de 1000VDC. La Jaula de Faraday es conectada al electrómetro y éste a tierra. Caso 3: Mantenga C Constante, varíe V y mida Q Tener en cuenta también el montaje de la figura 3.2 para analizar este caso.

Caso 4: Mantenga Q constante, varíe C y mida V Para este caso tenga en cuenta el montaje que se muestra en la figura 3.3.

En la figura 3.3 se muestra el condensador de placas paralelas conectado a él electrómetro y este último a tierra. La fuente de voltaje se usa solamente para cargar la esfera e indirectamente el capacitor empleando el “transportador de carga” Caso 5: Coeficientes dieléctricos Para este caso se apoya en el montaje de la gráfica 3.4

En este montaje se conecta el electrómetro a las placas del condensador y éstas se separan 3mm. 3.3. Toma de datos Caso 1: Mantenga C constante, varíe Q y mida V. ( figura 3.1) •

Presione el botón cero en el electrómetro para remover cualquier carga residual al igual que en las placas del condensador.

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Separe 2mm las placas del condensador. Use el probador plano para transferir carga desde la esfera cargada a las placas del condensador. La carga es transferida simplemente tocando con el probador, primero la esfera y luego una de las placas del condensador. Si siempre tocas la esfera y la placa del condensador en el mismo lugar, se transferirá aproximadamente la misma cantidad de carga cada vez. Observe como varía el potencial medido en toque.

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Doble la separación entre las placas del condensador y observe el nuevo potencial medido

Caso 2: Mantenga V constante, varíe C y mida Q. ( figura 3.2) •

Descargue momentáneamente el probador de carga (pulsando el botón “cero” en el electrómetro) y úselo para examinar la densidad de carga del condensador usando el cilindro interno de la Jaula al medir la carga. Determine la densidad de carga en varios puntos sobre la placa del condensador – tanto en la parte interna como externa de las superficie

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Escoja un punto cerca del centro de la placa del condensador y mida la densidad de carga en esta área para diferentes separaciones de las placas (observa si está creciendo o decreciendo la capacitancia al mover las placas)

Caso 3: Mantenga C constante, varíe V y mida Q ( figura 3.2) •

El condensador de placas paralelas tiene una separación inicial de 6cm y está conectado inicialmente a una fuente de voltaje de 3000VCD. La Jaula de Faraday está conectada a el electrómetro y éste lo está a tierra.

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Mantén la separación de las placas constante y cambiar el potencial a través de las placas, para ello mover el cable de 3000 a 2000V. Examine la densidad de carga cerca del centro de una de las placas del condensador. Repita para 1000VCD.

Caso 4: Mantenga Q constante, varíe C y mida V •

Con una separación de 2mm, cargue el condensador con el “transportador de carga” realizando varios toques a las placas desde la esfera cargada.

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Incremente la separación de las placas. Mida el potencial para cada caso. Realice por lo menos 5 mediciones. Evite tocar con sus manos las placas del capacitor.

Caso 5: Coeficientes dieléctricos

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Usar la fuente de voltaje para tocar con el “transportador de carga” momentáneamente las placas y cargar el condensador cerca de 4/5 de la escala total. Registrar el voltaje que indica el electrómetro Vi

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Incrementar cuidadosamente la separación de las placas hasta que haya un suficiente espacio para insertar un dieléctrico sin que éste se tenga que forzar. Asegúrese que el dieléctrico usado esté libre de cargas residuales.

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Después de insertar el dieléctrico, retornar las placas a la separación original y registrar la nueva lectura de voltaje que indica el electrómetro Vf

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Separar las placas nuevamente y remover con cuidado la hoja del dieléctrico.

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Retornar las placas a la separación original y confirmar si la lectura del electrómetro está de acuerdo con la lectura original de Vi

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Repita el experimento para otro(s) materiales dieléctricos. 4. DATOS OBTENIDOS

GRAFICO 1; Línea roja caso 1, línea azul caso 4, y líneas marrón y azul oscuro caso 5 dieléctricos acrílico y madera respectivamente.

GRAFICO 2; línea purpura caso 2, línea verde caso 3 CASO 1 ¿cuál es la capacitancia final del sistema? El potecial o voltaje final del capacitador fue de 80 V El voltaje aumenta en proporción de 20V CASO 2 V=1000 V C1= (8.85 x10^-12)(17.8/2)^2(π)(2)/2=2.2x10^-9 d=2cm C2=1.1x10^-9 d=4cm Q=1.1x10^-6 C3=7.3x10^-10 d=6cm Q=7.3x10^-7 C4=5.5x10^-10 d=8cm Q=5.5x10^-7 CASO 3 C= 8.8X10^-10 d=5cm V1=3000V; Q=2.64X10^-6 V2=2000V; Q=1.76X10^-6 V3=1000V; Q=8.8X10^-7 CASO 4 do=2cm df=10cm Co=2.2x10^-9; V=80V; Q=1.76x10^-7 Cf=4.4x10^-10; Vf=400V CASO 5 d=3cm Co=1.46X10^-9 Vo= 80V

Q=2.2x10^-6

Qo=1.168X10^-7 V1=20V; C1=5.84X10^-9; K(acrilico)=4 V2=40V;C2=2.92X10^-9; K(madera)=2

5. ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS

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Pregunta 1: ¿Qué puede concluir acerca de la relación entre la carga Q y el voltaje V cuando la capacitancia del condensador es constante? RTA/: lo que se puede concluir de este hecho es que varían en una tasa constante y que estos no se pueden mirara de la misma manera que lo haría en otras ocasiones en la que la situación nos diría que son inversamente proporcionales y que debido a este hecho es evidente que dependen el uno del otro.

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Pregunta 2:.Cuando aumenta la separación entre las placas. ¿cómo cambia la capacitancia del capacitor? ¿Qué relación hay entonces entre la capacitancia C y la carga en sus placas cuando se mantiene constante la diferencia de potencial V? RTA/: cuando se aumenta la separación de las placas manteniendo una carga la capacitancia disminuye debido a que la separación origina que el campo se extienda y por ende el potencial también, y como es claro en todos estos casos de variación de las condiciones de capacitancia, esta aumenta o disminuye en una tasa constante, es decir a una razón constante dependiendo de la conductividad del material.

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Pregunta 3: Cuando se mantiene la carga en las placas del capacitor constante. ¿Qué relación hay entre la capacitancia del condensador y la diferencia de potencial V entre sus placas? RTA/: al igual que en los otros casos la capacitancia varía dependiendo del material y de a la carga que esta experimenta, debido a que el potencial de las placas no cambiaria sino a una tasa relacionada directamente con la caga.

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Pregunta 4: ¿Qué cambios produce en la magnitud de la capacitancia introducir un dieléctrico entre sus placas? RTA/: al introducir un dieléctrico entre las placas este funciona como un freno del campo y de su disipación entre las cargas de las placas, que aumenta la capacitación del capacitor a una tasa que la define la constante dieléctrica del material.

PREGUNTAS PROBLEMATICAS 1. ¿Qué relación empírica puedes derivar entre la carga, el voltaje y la capacitancia de un capacitor? RTA/: la relación más evidente entre la capacitancia la carga y el voltaje, es que la capacitancia depende directamente entre la relación de la carga

junto a la del voltaje que experimenta y también este puede variar dependiendo de la distancia de separación de las placas. 2. Explique ¿en qué forma actúa el dieléctrico para producir el efecto observado en la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas? RTA/: el dieléctrico funciona como un sistema neutro el cual al ser puesto entre cargas de diferentes magnitudes se polariza y retarda la disipación del campo. El cual hace variar el potencial disminuyendo el flujo de campo por medio de este. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  Sears, F.; Zemansky, M.; Young, H.; Freedman, R. Física Universitaria,

Vol. 2. Undécima edición. México, Addison Wesley Longman, 2004. 864p, ISBN: 970-26-0511-3.  Castro, D.; Olivo, A. Física Electricidad. Para Estudiantes de ingeniería,

notas de clase. Primera edición. Barranquilla: Ediciones Uninorte, 2008. 198p. ISBN: 978-958-8252-49-0.  Lea, S.; Burke, J. Física. La naturaleza de las cosas, Vol. 2. Primera

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Physics,