Campi Vettoriali

Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri

V

1

Campi Vettoriali

V.1

Introduzione

Un campo vettoriale di R3 `e una terna di funzioni F¯ : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (F1 (x, y, z); F2 (x, y, z); F3 (x, y, z)), con F1 , F2 , F3 di classe C 1 in Df . a)

Esempo: il campo elettrico ¯= Q E 4πε0 ¯ = |E|

V.2 a)

y

x

z

p ; p ; p ( x2 + y 2 + z 2 )3 ( x2 + y 2 + z 2 )3 ( x2 + y 2 + z 2 )3

! Df = R3 \{0}

Q (x2 + y 2 + z 2 )1/2 Q Q = = 4πε0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2 4πε0 (x2 + y 2 + z 2 ) 4πε0 R2

(1) (2)

Campi: Rappresentazione Geometrica Introduzione

La rappresentazione con un grafico in R3 `e poco efficace. b)

Linee di campo

  x = x(t) y = y(t) `e detta linea di campo di F¯ se ∀(x, y, z) ∈ Df il vettore Dato un campo F¯ , una curva γ :  z = z(t) F¯ (x, y, z) `e tangente a γ in P (x, y, z). c)

Linee di campo: formula

Le linee di campo sono quelle linee che soddisfano la seguente relazione di proporzionalit`a: F1 : dx = F2 : dy = F3 : dz

V.3 a)

Campi: Definizioni Introduzione

Funzione di una variabile Derivata Primitiva Integrale definito Th. Fondamentale del calcolo b)

(3)

Campi Vettoriali Rotore Potenziale scalare Circuitazione Th. Stokes

Divergenza Potenziale vettoriale Flusso Th. Gauss

Divergenza

Dato F¯ = (F1 ; F2 ; F3 ) di classe C1 , la divergenza `e: ¯ · F¯ = ∂F1 + ∂F2 + ∂F3 div F¯ = ∇ ∂x ∂y ∂z ¯ = Nota: ∇



 ∂ ∂ ∂ ; ; . ∂x ∂y ∂z

(4)

Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri c)

2

Rotore

Dato F¯ = (F1 ; F2 ; F3 ) di classe C1 , il rotore `e:   ¯ × F¯ = ∂F3 − ∂F2 ; ∂F1 − ∂F3 ; ∂F2 − ∂F1 rotF¯ = ∇ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

(5)

Nota: • la divergenza di un campo `e una funzione • il rotore di un campo `e un campo • il gradiente di una funzione `e un campo d)

Circuitazione

Sia γ una curva di R3 : • Si dice integrale del campo F¯ su una linea γ: ˆ

ˆ F¯ dγ =

γ

b

F¯ (x(t); y(t); z(t)) · T¯ · dt

(6)

a

• In particolare, se γ `e una curva chiusa, si chiama circuitazione di F¯ su γ: ˛ Cγ = F¯ dγ

(7)

γ

e)

Flusso

ˆ uno dei due versori normali ad S: Sia S ∈ R3 una superficie e N ˆ: • Si dice integrale del campo F¯ sulla superficie S, orientata secondo N ¨ ¨ ¯ ˆ · dsdt F dS = F¯ (x(s, t); y(s, t); z(s, t)) · N ˆ S,N

(8)

D

ˆu ), si dice flusso di F • In particolare se S `e una superficie chiusa e se `e orientata nel verso uscente (N attraverso S: ‹ ¯ F¯ dS (9) ΦS (F ) = ˆu S,N

f)

Potenziale scalare

Sia F¯ un campo, e sia D ∈ R3 . Si dice che F¯ ammette potenziale scalare su D se ∃V (x, y, z) tale che ¯ · V = F¯ su D. Il potenziale scalare `e l’operazione inversa del calcolo del gradiente. ∇ g)

Potenziale vettoriale

¯ = (G1 ; G2 ; G3 ) tale Sia F¯ un campo, e sia D ∈ R3 . Si dice che F¯ ammette potenziale vettoriale su D se ∃G ¯ ¯ ¯ che ∇ × G = F . Il potenziale vettoriale `e l’operazione inversa del calcolo del rotore.

V.4 a)

Campi: Teoremi Fondamentali Teorema di Gauss

Siano F¯ un campo di classe C 1 , S una superficie chiusa e T il solido delimitato da S; allora: ˚ ¯ ¯ · F¯ dxdydz ΦS (F ) = ∇ T

(10)

Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri b)

3

Teorema di Stokes

ˆ γ = ∂S orientata coerentemente; Siano F¯ un campo di classe C 1 , S una superficie orientata secondo S, allora: ¨ ¯ ¯ × F¯ dS Cγ (F ) = ∇ (11) ˆ S,N

V.5 a)

Campi Irrotazionali Definizione

¯ × F¯ ≡ ¯0 F¯ si dice irrotazionale se ∇ b)

Teorema: invarianza della circuitazione

Siano F¯ un campo irrotazionale su D, γ1 ∈ D una curva chiusa e γ2 una qualunque curva chiusa ottenuta deformando con piacere γ1 senza uscire da D; allora: Cγ1 (F¯ ) = Cγ2 (F¯ )

(12)

Inoltre se D `e semplicemente connesso si ha che Cγ1 (F¯ ) = 0. c)

Teorema: condizione necessaria per l’esistenza di un potenziale scalare

F¯ ammette potenziale scalare su D ⇒ F¯ `e irrotazionale su D d)

Teorema: condizione sufficiente per l’esistenza di un potenziale scalare  • F¯ `e irrotazionale su D ⇒ F¯ ammette potenziale scalare in D • D `e semplicemente connesso

e)

Teorema: condizione necessaria e sufficiente

I seguenti fatti sono equivalenti: i. F¯ ammette potenziale scalare su D; ii. Cγ (F¯ ) = 0 ∀γ chiusa; ˆ ˆ iii. F¯ dγ = F¯ dγ ∀γ1 , γ2 aventi gli stessi estremi. γ1

γ1

Inoltre se D `e semplicemente connesso i tre punti precedenti sono equivalenti a: iv. F¯ `e irrotazionale. f)

Formule per il calcolo di potenziali e integrali di linea

Se si verificano le condizioni in (e), allora: i. Se V `e un potenziale e γ `e una curva tra A e B, allora: ˆ F¯ dγ = V (B) − V (A)

(13)

γ

ii. Un potenziale si ottiene fissando un punto P0 (x0 ; y0 ; z0 ) ∈ D, se P (x, y, z) `e il generico punto di R3 e γ `e una qualunque curva chiusa che collega P0 e P : ˆ V (x, y, z) = F¯ dγ (14) γ

iii. In particolare se D ≡ R3 un potenziale `e: ˆ x ˆ V (x, y, z) = F1 (t, y0 , z0 )dt + x0

ˆ

y

z

F2 (x, t, z0 )dt +

y0

iv. Se D `e connesso ⇒ tutti i potenziali sono dati da V (x, y, z) + c

F3 (x, y, t)dt z0

(15)

Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri g)

4

Dimostrazione Invarianza della circuitazione (b)

Ipotesi: F¯ `e irrotazionale, γ1 ⊂ D curva chiusa, γ2 ottenuta deformando γ1 restando in D; Tesi: Cγ1 (F¯ ) = Cγ2 (F¯ ). • Considero S, la superficie ottenuta durante la deformazione γ1 → γ2 ˆ , l’orientamento di S; `e coerente con γ1 ma non con γ2 ; allora considero γ − (uguale a γ2 • Considero N 2 ma con orientazione opposta) • Si ha che ∂S = γ1 ∪ γ2−

¨

• Applico Stokes: C∂S (F¯ ) =

¯ × F¯ dS = 0 siccome ∇ ¯ × F¯ , poich`e F¯ `e irrotazionale. ∇ ˆ S,N

• Quindi C∂S (F¯ ) → Cγ1 ∪γ − (F¯ ) = 0 → Cγ1 (F¯ ) + Cγ − (F¯ ) = 0 → Cγ1 (F¯ ) − Cγ2 (F¯ ) = 0 → 2 2  Cγ1 (F¯ ) = Cγ2 (F¯ ) h)

Dimostrazione condizione necessaria per l’esistenza di un potenziale (c)

Ipotesi: F¯ ammette potenziale scalare su D; Tesi: F¯ `e irrotazionale. ¯ · V = F¯ , cio`e F1 = ∂V , F2 = ∂V , F3 = ∂V . • Per ipotesi ∃V : R3 → R tale che ∇ ∂x ∂y ∂z ˆı      ˆ kˆ  ∂ ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 ˆ ∂F3 ∂F2 ∂ ∂ ¯ ¯ − ˆı − − ˆ + − k= • Calcolo ∇ × F = ∂x ∂y ∂z = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y F F F 2 3  1    ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ ∂V ˆ = − ˆı + − ˆ + − k ∂y ∂z ∂z ∂y ∂x ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x 00 = f 00 , quindi • Per il teorema di Schwartz fxy yx

∂ ∂V ∂ ∂V = ∂y ∂z ∂z ∂y

¯ × F¯ ≡ ¯ • Applicando Schwartz e semplificando si ottiene che 0ˆı + 0ˆ  + 0kˆ → (0, 0, 0). Quindi ∇ 0, cio`e ¯ F `e irrotazionale.  i)

Dimostrazione condizione sufficiente per l’esistenza di un potenziale

Ipotesi: F¯ irrotazionale e D semplicemente connesso; Tesi:F¯ ammette potenziale scalare. • Sia γ ⊂ D una qualunque curva chiusa; siccome D `e semplicemente connesso posso costruire una superficie S il cui bordo `e γ. ¨ ¯ ¯ × F¯ dS = 0 ∀γ ⊂ D siccome ∇ ¯ × F¯ = ˆ0. • Per Stokes: Cγ (F ) = ∇ ˆ S,N

• Cγ (F¯ ) = 0 quindi, per il teorema (e), F¯ ammette potenziale scalare su D j)

Dimostrazione delle formule per il calcolo dei potenziali e degli integrali su linee ˆ i. F¯ dγ = V (B) − V (A) γ

ˆ

ˆ F¯ dγ =

• Per la definizione: γ

b

F¯ (x(t); y(t); z(t)) · T¯ · dt

a

• Il vettore tangente `e definito come: T¯ = (x0t ; yt0 ; zt0 ) =



∂x ∂y ∂z ; ; ∂t ∂t ∂t





Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri ˆ

b

5

 ∂x ∂y ∂z dt = • Quindi: (F1 ; F2 ; F3 ) · ; ; ∂t ∂t ∂t a   ˆ b ˆ b ∂V ∂x ∂V ∂y ∂V ∂z ∂ = dt = + + V (x(t); y(t); z(t))dt ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t a a ∂t • Usando il teorema fondamentale del calcolo si ottiene: 

V (x(b); y(b); z(b)) − V (x(a); y(a); z(a)) = V (B) − V (A) ˆ ii. V (x, y, z) = F¯ dγ, dove γ `e la curva che collega P0 fissato al generico punto P (x, y, z). γ

ˆ



ˆ F¯ dγ = V (P ) − V (P0 ) ⇒ V (x, y, z) = V (P0 ) +

• Per (f)i γ

F¯ dγ; γ

• Siccome D `e connesso, tutti i potenziali sono definiti a meno di una costante arbitraria, teorema (f)iv; ˆ • Sottraggo quindi V (P0 ) e ottengo V (x, y, z) = F¯ dγ.  ˆ

ˆ

x

y

z

F3 (x, y, t)dt γ ⊂ R3 z0

y0

x0

γ

F2 (x, t, z0 )dt +

F1 (t, y0 , z0 )dt +

iii. V (x, y, z) =

ˆ

• (f)ii permette di calcolare un potenziale attraverso un integrale su una linea γ ⊂ D. Lavorando in R3 γ pu`o essere scelta a piacere, in particolare la si pu`o sempre scegliere in modo che: P0 (x0 ; y0 ; z0 )   x=t y = y0 t ∈ [x0 , x] ⇓ // asse x γ0→1  z = z0 P1 (x; y0 ; z0 )   x=x y = t t ∈ [y0 , y] ⇓ // asse y γ1→2  z = z0 P2 (x; y; z0 )   x=x y = y t ∈ [z0 , z] ⇓ // asse z γ2→3  z=t P (x; y; z) ˆ ˆ ˆ ¯ ¯ • V (x, y, z) = F dγ + F dγ + F¯ dγ γ0→1

γ1→2

γ2→3

• ˆ Usando la definizione si calcolano ˆ y gli integrali sulle linee: ˆ z x F¯ (t; y0 ; z0 ) · (1; 0; 0)dt + F¯ (x; t; z0 ) · (0; 1; 0)dt + F¯ (x, y, t) · (0; 0; 1)dt = y0 z0 ˆ y ˆ z ˆx0x F1 (t, y0 , z0 )dt + F2 (x, t, z0 )dt + F3 (x, y, t)dt x0

V.6 a)

y0



z0

Campi Solenoidali Definizione

¯ · F¯ = 0 F¯ `e solenoidale se ∇ b)

Teorema: Invarianza del flusso

Siano F¯ un campo definito su D, S1 ⊂ D una superficie chiusa, S2 una superficie ottenuta deformando S1 restando in D; allora: ΦS1 (F¯ ) = ΦS2 (F¯ ) (16)

Campi Vettoriali - Alessandro Ruggeri c)

6

Teorema: condizione necessaria per l’esistenza di un potenziale vettoriale

F¯ ammette potenziale vettoriale su D ⇒ F¯ `e solenoidale in D d)

Teorema: condizione sufficiente per l’esistenza di un potenziale vettoriale  • F¯ `e solenoidale su D ⇒ F¯ ammette potenziale vettoriale in D • D `e fortemente connesso

e)

Teorema: condizione sufficiente e necessaria

I seguenti fatti sono equivalenti: i. F¯ ammette potenziale vettoriale su D; ii. ΦS (F¯ ) = 0 ∀S, superficie chiusa; ¨ ¨ ¯ iii. F dS = F¯ dS ogni volta che S1 e S2 sono due superfici con lo stesso bordo e con ˆ1 S1 , N

ˆ2 S 2 ,N

ˆ1 e N ˆ2 dello stesso verso. Inoltre, se D `e fortemente connesso, i tre punti precedenti orientamento N sono equivalenti a: (a) F¯ `e solenoidale f)

Formule per il calcolo del potenziale vettoriale e degli integrali di superficie

Se si verificano tutte le condizioni di (e), allora: ¯ = (G1 ; G2 ; G3 ), i. Se D ≡ R3 e F¯ ammette potenziale vettoriale, allora un potenziale vettoriale `e G dove: ˆ z G1 = F2 (x; y; z)dz ˆz0x ˆ z G2 = F3 (x, y, z0 )dx − F1 (x, y, z)dz (17) x0

z0

G3 = 0 e P0 (x0 ; y0 ; z0 ) `e un punto scelto a piacere ¯ `e un potenziale vettoriale di F¯ su D, tutti i suoi potenziali vettoriali sono dati da: ii. Se G ¯ ¯ ¯ : R3 → R3 . G + ∇K(x, y, z), dove ∇K ¯ su D e se S ⊂ D `e una superficie con bordo iii. Se F¯ `e un campo che ammette potenziale vettoriale G ∂S; allora: ¨ ˆ ¯ F¯ ds = Gdγ (18) ˆ S,N

g)

∂S

Dimostrazione: condizione necessaria per l’esistenza di un potenziale vettoriale

Ipotesi: F¯ ammette potenziale vettoriale su D; Tesi: F¯ `e solenoidale su D. ¯ : R3 → R3 tale che ∇ ¯ ×G ¯ = F¯ ; • Per ipotesi ∃G • Quindi: F1 =

∂G3 ∂G2 ∂G1 ∂G3 ∂G2 ∂G1 − ; F2 = − ; F3 = − ; ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

¯ · F¯ = ∂F1 + ∂F2 + ∂F3 = • Calcolo ∇ ∂x ∂y ∂z ∂ ∂G3 ∂ ∂G2 ∂ ∂G1 ∂ ∂G3 ∂ ∂G2 ∂ ∂G1 − + − + − =0 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y