Cálculo I_av1.docx
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- Words: 1,275
- Pages: 5
Sociedade de Ensino Superior Ideal LTDA - EPP FACULDADE IDEAL – UNIDADE PLANALTINA-DF Ed. Plaza Av. Independência, S/n - Planaltina, Brasília - DF, CEP: 73310-303
NOTA
E-mail: [email protected]
Nome:_______________________________________ Registro Acadêmico:______________________ Professor Ismael Rangel Ferreira Lins
Série/Turma/Período: 4º Sem/ Noturno / 2º/2018
Curso: Matemática - Licenciatura
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Data: 25/09/2018
Assinatura:_______________________________ INSTRUÇÕES
Preencha o cabeçalho com seu nome e Matricula. Se houver qualquer divergência, solicite providências ao professor. A prova tem que ser entregue de caneta azul/preta; não serão aceitas respostas em outra parte do teste a não ser nos itens indicados; não será considerada mais de uma resposta ou rasuras em hipótese alguma. O aluno terá dentro do tempo estabelecido pelo professor para responder a questão, caso não responda dentro do tempo será considerada como questão perdida. Não será permitido atender o celular ou se ausentar da sala até o termino da prova.
1ª AVALIAÇÃO – AV1 A respeito da gravura abaixo, julgue com C ou E as assertivas dadas (1,0 pt) 1. [
] lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→−3+
𝑥→−3−
+∞ 2. [ ] lim 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥→0+
3. [
] lim 𝑓(𝑥) existe
4. [
] lim 𝑓(𝑥) = −1
5. [
] lim+ 𝑓(𝑥) não existe
6. [
] 𝑓(2) não existe
𝑥→2
𝑥→−∞ 𝑥→2
QUESTÕES SEM CÁLCULOS E JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS
7. O valor do limite lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥+3−2
b) 1
a) 0
é c) 2
d) 4
e) n.d.a
𝑥
8. Se 𝐿 = lim √𝑥 2 −𝑥 então: 𝑥→2
a) 0 < 𝐿 < 1
b) 𝐿 = 0
9. O valor de lim
3𝑥 2 +4
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −7𝑥+4
a) 0
b) ½
c) 𝐿 = 1
d) 𝐿 < 0
e) n.d.a.
é c)2/3
d) 3/2
e) n.d.a
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𝑥−3
10. Se fizermos 𝑥 → 2+ , a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 tende a: a) −∞ b) 0 c) +∞ d) 1
e) n.d.a
QUESTÕES DISCURSIVAS 11. Elabore um texto explicando o que é a derivada 𝑓′(𝑎) e como podemos visualizá-la geometricamente 12. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥, use a definição para calcular: a) 𝑓′(0) b) 𝑓′(𝑥) c) 𝑓′(−1) 13. Enuncie o Teorema de D’Alembert e use-o para calcular o limite
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Sociedade de Ensino Superior Ideal LTDA - EPP FACULDADE IDEAL – UNIDADE PLANALTINA-DF Ed. Plaza Av. Independência, S/n - Planaltina, Brasília - DF, CEP: 73310-303
NOTA
E-mail: [email protected]
Nome:_______________________________________ Registro Acadêmico:______________________ Professor Ismael Rangel Ferreira Lins
Série/Turma/Período: 4º Sem/ Noturno / 2º/2018
Curso: Matemática - Licenciatura
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Data: 25/09/2018
Assinatura:_______________________________ INSTRUÇÕES
Preencha o cabeçalho com seu nome e matricula. Se houver qualquer divergência, solicite providências ao professor. A prova tem que ser entregue de caneta azul/preta; não serão aceitas respostas em outra parte do teste a não ser nos itens indicados; não será considerada mais de uma resposta ou rasuras em hipótese alguma. O aluno terá dentro do tempo estabelecido pelo professor para responder a questão, caso não responda dentro do tempo será considerada como questão perdida. Não será permitido atender o celular ou se ausentar da sala até o termino da prova.
1ª AVALIAÇÃO – AV1 - GABARITO A respeito da gravura abaixo, julgue com C ou E as assertivas dadas 1. [ C ] lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→−3+
𝑥→−3−
+∞ 2. [ E ] lim 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥→0+
3. [ E ] lim 𝑓(𝑥) existe 𝑥→2
4. [ C ] lim 𝑓(𝑥) = −1 𝑥→−∞
5. [ E ] lim+ 𝑓(𝑥) não existe 𝑥→2
6. [ E ] 𝑓(2) não existe QUESTÕES SEM CÁLCULOS E JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS
7. O valor do limite lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥+3−2
a) 0
b) 1 lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥
é
c) 2 = lim
d) 4 𝑥−1
⋅
e) n.d.a
√𝑥 + 3 + 2
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 3 + 2) 𝑥→1 (𝑥 + 3) − 4
= lim
+ 3 − 2 𝑥→1 √𝑥 + 3 − 2 √𝑥 + 3 + 2 (𝑥 − 1)(√𝑥 + 3 + 2) = lim = lim(√𝑥 + 3 + 2) = √1 + 3 + 2 = 4 𝑥→1 𝑥→1 𝑥−1
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𝑥
8. Se 𝐿 = lim √𝑥 2 −𝑥 então: 𝑥→2
𝑎) 0 < 𝐿 < 1
b) 𝐿 = 0
c) 𝑳 = 𝟏 𝐿 = lim √ 𝑥→2
9. O valor de lim
3𝑥 2 +4
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −7𝑥+4
a) 0
b) ½
d) 𝐿 < 0
e) n.d.a.
𝑥 2 2 √ √ = = =1 𝑥2 − 𝑥 22 − 2 2
é
c)2/3
d) 3/2
e) n.d.a
𝑥−3
10. Se fizermos 𝑥 → 2+ , a função 𝑓(𝑥) = 2 tende a: 𝑥 −4 𝒂) − ∞ b) 0 c) +∞ d) 1 Pela substituição direta, temos lim
𝑥−3
𝑥→2+
𝑥 2 −4
=
e) n.d.a
−1 0
, portanto o limite é infinito. Para determinar o sinal do
limite, tomamos um valor 𝑥 > 2 bem próximo de 2, por exemplo, 𝑥 = 2,1. Daí 2,1 − 3 𝑓(1,9) = <0 2,12 − 4 𝑥−3 Assim, lim 2 = −∞ 𝑥→2+ 𝑥 −4
QUESTÕES DISCURSIVAS 11. Elabore um texto explicando o que é a derivada 𝑓′(𝑎) e como podemos visualizá-la geometricamente Resposta Esperada: Seja 𝑓 uma função definida em x=a. A derivada de f em x=a é o limite 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
𝑓 ′ (𝑎) = lim
Geometricamente, 𝑓 ′ (𝑎) representa a inclinação da reta tangente t ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (a,f(a)), obtida pela aproximação das inclinações de retas secantes ao gráfico através dos pontos (a,f(a)) e (x,f(x)) Assim, quanto mais próximo x estiver de a, mais próximas as retas secantes ficam da reta tangente, e consequentemente, as inclinações das secantes vizinhas se aproximam de f’(a), que deve ser calculada através do limite acima. Página 4 de 2
12. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥, use a definição para calcular: a) 𝑓′(0) b) 𝑓′(𝑥) c) 𝑓′(−1) a) 𝑓 ′ (0) = lim
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
b) 𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
𝑥→0
ℎ→0
𝑥−0
ℎ
= lim
(𝑥 2 +2𝑥)−0
𝑥→0
= lim
ℎ→0
𝑥−0
= lim
𝑥→0
𝑥 2 +2𝑥 𝑥
= lim 𝑥 + 2 = 2 𝑥→0
[(𝑥+ℎ)2 +2(𝑥+ℎ)]−(𝑥 2 +2𝑥) ℎ
= lim
[𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 +2𝑥+2ℎ]−(𝑥 2 +2𝑥)
ℎ→0
ℎ
2𝑥ℎ + ℎ2 + 2ℎ = lim = lim (2𝑥 + ℎ + 2) ℎ→0 ℎ→0 ℎ = 2𝑥 + 2 c) Usando a fórmula 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 2 acima, teremos 𝑓 ′ (−1) = 2(−1) + 2 = 0 13. Enuncie o Teorema de D’Alembert e use-o para calcular o limite
Enunciado do Teorema de D’Alembert. Sejam 𝑃(𝑥) um polinômio e um número real a. Se 𝑃(𝑎) = 0 então P(x) é divisível por x-a. Por substituição direta, temos que x=1 é raiz de 𝑥 3 − 1 = 0 e de 𝑥 4 + 3𝑥 − 4 = 0. Aplicamos o Teorema de D’Alembert, dividindo ambos polinômios por (x-1). Feitas as devidas divisões polinomiais, extraímos as fatorações 𝑥 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 𝑥 4 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 1)(𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 4) Daí 𝑥3 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) (𝑥 2 + 𝑥 + 1) 3 lim 4 = lim = lim 3 = 3 2 2 𝑥→1 𝑥 + 3𝑥 − 4 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 4) 𝑥→1 (𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 4) 7
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Nome:_______________________________________ Registro Acadêmico:______________________ Professor Ismael Rangel Ferreira Lins
Série/Turma/Período: 4º Sem/ Noturno / 2º/2018
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Data: 25/09/2018
Assinatura:_______________________________ INSTRUÇÕES
Preencha o cabeçalho com seu nome e Matricula. Se houver qualquer divergência, solicite providências ao professor. A prova tem que ser entregue de caneta azul/preta; não serão aceitas respostas em outra parte do teste a não ser nos itens indicados; não será considerada mais de uma resposta ou rasuras em hipótese alguma. O aluno terá dentro do tempo estabelecido pelo professor para responder a questão, caso não responda dentro do tempo será considerada como questão perdida. Não será permitido atender o celular ou se ausentar da sala até o termino da prova.
1ª AVALIAÇÃO – AV1 A respeito da gravura abaixo, julgue com C ou E as assertivas dadas (1,0 pt) 1. [
] lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→−3+
𝑥→−3−
+∞ 2. [ ] lim 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥→0+
3. [
] lim 𝑓(𝑥) existe
4. [
] lim 𝑓(𝑥) = −1
5. [
] lim+ 𝑓(𝑥) não existe
6. [
] 𝑓(2) não existe
𝑥→2
𝑥→−∞ 𝑥→2
QUESTÕES SEM CÁLCULOS E JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS
7. O valor do limite lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥+3−2
b) 1
a) 0
é c) 2
d) 4
e) n.d.a
𝑥
8. Se 𝐿 = lim √𝑥 2 −𝑥 então: 𝑥→2
a) 0 < 𝐿 < 1
b) 𝐿 = 0
9. O valor de lim
3𝑥 2 +4
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −7𝑥+4
a) 0
b) ½
c) 𝐿 = 1
d) 𝐿 < 0
e) n.d.a.
é c)2/3
d) 3/2
e) n.d.a
Página 1 de 2
𝑥−3
10. Se fizermos 𝑥 → 2+ , a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 tende a: a) −∞ b) 0 c) +∞ d) 1
e) n.d.a
QUESTÕES DISCURSIVAS 11. Elabore um texto explicando o que é a derivada 𝑓′(𝑎) e como podemos visualizá-la geometricamente 12. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥, use a definição para calcular: a) 𝑓′(0) b) 𝑓′(𝑥) c) 𝑓′(−1) 13. Enuncie o Teorema de D’Alembert e use-o para calcular o limite
Página 2 de 2
Sociedade de Ensino Superior Ideal LTDA - EPP FACULDADE IDEAL – UNIDADE PLANALTINA-DF Ed. Plaza Av. Independência, S/n - Planaltina, Brasília - DF, CEP: 73310-303
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Série/Turma/Período: 4º Sem/ Noturno / 2º/2018
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Data: 25/09/2018
Assinatura:_______________________________ INSTRUÇÕES
Preencha o cabeçalho com seu nome e matricula. Se houver qualquer divergência, solicite providências ao professor. A prova tem que ser entregue de caneta azul/preta; não serão aceitas respostas em outra parte do teste a não ser nos itens indicados; não será considerada mais de uma resposta ou rasuras em hipótese alguma. O aluno terá dentro do tempo estabelecido pelo professor para responder a questão, caso não responda dentro do tempo será considerada como questão perdida. Não será permitido atender o celular ou se ausentar da sala até o termino da prova.
1ª AVALIAÇÃO – AV1 - GABARITO A respeito da gravura abaixo, julgue com C ou E as assertivas dadas 1. [ C ] lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→−3+
𝑥→−3−
+∞ 2. [ E ] lim 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥→0+
3. [ E ] lim 𝑓(𝑥) existe 𝑥→2
4. [ C ] lim 𝑓(𝑥) = −1 𝑥→−∞
5. [ E ] lim+ 𝑓(𝑥) não existe 𝑥→2
6. [ E ] 𝑓(2) não existe QUESTÕES SEM CÁLCULOS E JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS
7. O valor do limite lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥+3−2
a) 0
b) 1 lim
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥
é
c) 2 = lim
d) 4 𝑥−1
⋅
e) n.d.a
√𝑥 + 3 + 2
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 3 + 2) 𝑥→1 (𝑥 + 3) − 4
= lim
+ 3 − 2 𝑥→1 √𝑥 + 3 − 2 √𝑥 + 3 + 2 (𝑥 − 1)(√𝑥 + 3 + 2) = lim = lim(√𝑥 + 3 + 2) = √1 + 3 + 2 = 4 𝑥→1 𝑥→1 𝑥−1
Página 3 de 2
𝑥
8. Se 𝐿 = lim √𝑥 2 −𝑥 então: 𝑥→2
𝑎) 0 < 𝐿 < 1
b) 𝐿 = 0
c) 𝑳 = 𝟏 𝐿 = lim √ 𝑥→2
9. O valor de lim
3𝑥 2 +4
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −7𝑥+4
a) 0
b) ½
d) 𝐿 < 0
e) n.d.a.
𝑥 2 2 √ √ = = =1 𝑥2 − 𝑥 22 − 2 2
é
c)2/3
d) 3/2
e) n.d.a
𝑥−3
10. Se fizermos 𝑥 → 2+ , a função 𝑓(𝑥) = 2 tende a: 𝑥 −4 𝒂) − ∞ b) 0 c) +∞ d) 1 Pela substituição direta, temos lim
𝑥−3
𝑥→2+
𝑥 2 −4
=
e) n.d.a
−1 0
, portanto o limite é infinito. Para determinar o sinal do
limite, tomamos um valor 𝑥 > 2 bem próximo de 2, por exemplo, 𝑥 = 2,1. Daí 2,1 − 3 𝑓(1,9) = <0 2,12 − 4 𝑥−3 Assim, lim 2 = −∞ 𝑥→2+ 𝑥 −4
QUESTÕES DISCURSIVAS 11. Elabore um texto explicando o que é a derivada 𝑓′(𝑎) e como podemos visualizá-la geometricamente Resposta Esperada: Seja 𝑓 uma função definida em x=a. A derivada de f em x=a é o limite 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
𝑓 ′ (𝑎) = lim
Geometricamente, 𝑓 ′ (𝑎) representa a inclinação da reta tangente t ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (a,f(a)), obtida pela aproximação das inclinações de retas secantes ao gráfico através dos pontos (a,f(a)) e (x,f(x)) Assim, quanto mais próximo x estiver de a, mais próximas as retas secantes ficam da reta tangente, e consequentemente, as inclinações das secantes vizinhas se aproximam de f’(a), que deve ser calculada através do limite acima. Página 4 de 2
12. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥, use a definição para calcular: a) 𝑓′(0) b) 𝑓′(𝑥) c) 𝑓′(−1) a) 𝑓 ′ (0) = lim
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
b) 𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
𝑥→0
ℎ→0
𝑥−0
ℎ
= lim
(𝑥 2 +2𝑥)−0
𝑥→0
= lim
ℎ→0
𝑥−0
= lim
𝑥→0
𝑥 2 +2𝑥 𝑥
= lim 𝑥 + 2 = 2 𝑥→0
[(𝑥+ℎ)2 +2(𝑥+ℎ)]−(𝑥 2 +2𝑥) ℎ
= lim
[𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 +2𝑥+2ℎ]−(𝑥 2 +2𝑥)
ℎ→0
ℎ
2𝑥ℎ + ℎ2 + 2ℎ = lim = lim (2𝑥 + ℎ + 2) ℎ→0 ℎ→0 ℎ = 2𝑥 + 2 c) Usando a fórmula 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 2 acima, teremos 𝑓 ′ (−1) = 2(−1) + 2 = 0 13. Enuncie o Teorema de D’Alembert e use-o para calcular o limite
Enunciado do Teorema de D’Alembert. Sejam 𝑃(𝑥) um polinômio e um número real a. Se 𝑃(𝑎) = 0 então P(x) é divisível por x-a. Por substituição direta, temos que x=1 é raiz de 𝑥 3 − 1 = 0 e de 𝑥 4 + 3𝑥 − 4 = 0. Aplicamos o Teorema de D’Alembert, dividindo ambos polinômios por (x-1). Feitas as devidas divisões polinomiais, extraímos as fatorações 𝑥 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 𝑥 4 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 1)(𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 4) Daí 𝑥3 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) (𝑥 2 + 𝑥 + 1) 3 lim 4 = lim = lim 3 = 3 2 2 𝑥→1 𝑥 + 3𝑥 − 4 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 4) 𝑥→1 (𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 4) 7
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