Calc1

SEMANA I UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas.

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MA1111. Abril-Junio 2003

Ejercicios sugeridos para la : Práctica correspondiente a las clases del 01 y 03 de abril Temas : Propiedades de los números reales; valor absoluto ; inecuaciones. 1.- Usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, demuestre que : (a+b)2 = a2+2ab+b2 .¿ cual otra propiedad es necesaria para la validez de esta fórmula? Respuesta : (a+b)2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a+(a+b)b = (a2+ba)+(ab+b2) (1) = = ((a2 +ba)+ab)+b2(1) = (a2 +(ba+ab))+b2(2) = (a2 +(ab+ab))+b2= a2+2ab+b2 .

(1)

En (1) = se usa la propiedad asociativa de la suma ; En (2) = se usa la propiedad conmutativa de la multiplicación. Observación 1. Escribir : a2+2ab+b2 sin usar paréntesis no produce ambigüedades , gracias a la propiedad asociativa de la suma, ya que las dos expresiones : (a2+2ab)+b2 , a2+(2ab+b2) representan el mismo número. Observación 2. Hay un convenio por el cual en una fórmula, en ausencia de paréntesis que indiquen el orden en el cual hay que efectuar las operaciones, primero se efectúan todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen escritas y en segundo lugar se efectúan todas las sumas y restas. Por ejemplo : a2+2ab = (a.a)+(2ab) . 2.- Indique las propiedades de la multiplicación que se usan al efectuar el siguiente 4 despeje : 2x=4 ⇒ x = 2 = 2 . 1 1 1 1 Respuesta : 2x=4 ⇒ 2 (2x) = .4 = 2 ⇒ x (1) = 1.x = ( 2)x = (2) (3) 2 2 2 (2x) = 2 . En (1) = se usa la propiedad del neutro ; en (2) = se usa la propiedad del simétrico (inverso) ; en (3) = se usa la propiedad asociativa.

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Resuelva las siguientes inecuaciones : a) 2x-7 < 0; b) x2-5x > 0 ;

c) x2-5x ≤ -6 ;

d) - x2+5x-20 > 0

f) 4x2+12x + 9 ≤ 0 .

e) - x2+5x-20 < 0

7 7 Respuesta : 3a) {x∈R⎪ x < 2 } = (-∞, 2 ) ; 3b) {x∈R⎪ x < 0 o x > 5} = (-∞,0)∪(5,+∞) ; 3c) {x∈R⎪ 2 ≤ x ≤ 3}= [2,3] ; 3d) { } = ∅ ; 3e) R ;

3 3 3f) {x∈R⎪ x = - 2 } = { - 2 } .

4.− Resuelva las siguientes inecuaciones : x a) x+2 < 0 ; d)

2x+1 1-x ≤ 0 ;

x b) x+2 ≥ 0 ;

x c) x+2 < 1 ;

2x+1 x+2 e) 1-x ≤ 1-x ;

f) x3-6x2+11x-6 > 0 .

Respuesta : 4a) {x∈R⎪-2< x < 0 } = (-2,0) ; 4b) {x∈R⎪ x< -2 o x ≥ 0 } = (-∞, -2)∪[0,+∞) ; 4c) {x∈R⎪ x > -2 } = (-2,+∞) ; 1 1 4d) {x∈R⎪x ≤ - 2 o x > 1 }= (-∞,- 2 ]∪(1,+∞) ; 4e) {x∈R⎪x ≠ 1 }= (-∞, 1)∪(1,+∞); 4f) {x∈R⎪1 < x < 2 o x > 3 }= (1,2)∪(3,+∞). 5.- Diga, justificando, si es cierta o falsa la siguiente desigualdad : ⎪a-2b⎪< a+b, siendo a, b números reales positivos cualesquiera. En el caso que la desigualdad no sea siempre cierta, proporcione un ejemplo de dos números, a, b para los cuales no es cierta. Respuesta. Por ejemplo, con a=1 , b= 4, tenemos : ⎪a-2b⎪= 7 > 5 = a+b . Si se quiere obtener una respuesta sin estar tanteando, resolvamos la inecuación :

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⎪x-2b⎪< x+b, pensando, por ejemplo, haber fijado b . Tenemos : ⎪x-2b⎪< x+b ⇔ -(x+b) < x-2b < x+b ⇔

-x-b < x-2b x-2b < x+b

{

⎪⎧ b ⎪ ⇔ ⎨⎪x > 2 ; ⎪⎩b > 0

b por lo tanto (siendo b positivo), la desigualdad dada se cumple si y sólo si a es mayor que 2 . 6.- Resuelva las siguientes inecuaciones : a) ⎪2x+3⎪≤ 1 ;

b) ⎪2x+3⎪≥ 1 ; c) ⎪2x+1⎪+x ≤ 2 ; d) ⎪2x+4⎪-⎪x-1⎪≤ 4 .

1 1 Respuesta. 6a) [-2,-1] ; 6b) (-∞, -2]∪[-1,+∞) ; 6c) [-3, 3] ; 6d) [-9, ] . 3 7.- Diga , justificando , cuales de las siguientes afirmaciones son correctas y cuales no : a) ⎪-a⎪= a

;

b) √ ⎯ ⎯x2 = x

; c) √ ⎯ ⎯x2 = ± x

3

; d)

⎯ ⎯x3 = x √

3

; e) √ ⎯8 = ± 2 ;

f) 2x+⎪x+3⎪< 8 ⇔ - 8 < 2x+x+3 < 8 . Respuesta. 7a) es falsa, ya que no se cumple si a es negativo ; 7b) es falsa, ya que no se cumple si x es negativo ; 7c) es falsa ya que por definición el símbolo ⎯√ representa la raíz cuadrada aritmética , a saber, aquella de las dos raíces cuadradas que no es negativa ; 7d) es cierta para todo x real; 7e) es falsa, ya que (-2)3= - 8 ≠8; la raíz cúbica de un número, a, tiene el mismo signo que a; 7f) es falsa ; una afirmación correcta es : 2x+⎪x+3⎪< 8 ⇔ - (8-2x) < x+3 < 8-2x . 8.- Demuestre que ⎪x⎪< 2 ⇒ ⎪x-1⎪< 3 ⇒ ⎪x⎪< 4 . Respuesta. Observemos que : ⎪x-1⎪< 3 ⇔ -2 < x < 4 ; se tiene : ⎪x⎪< 2 ⇒ - 2 < x < 2 ⇒ - 2 < x <4 ⇒ - 4 < x < 4 ⇒ ⎪x⎪< 4 .

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9.- Resuelva las siguientes inecuaciones : a)

(x2-1)(2x+4) >0 ; x(3-x)

x-1 b) ⎪ 2-x⎪ ≥ 1 ;

x-1 c) ⎪ 2-x⎪ < 1 .

3 3 Respuesta. 9a) (-∞, -2)∪(-1, 0)∪(1, 3) ; 9b) [ 2 , 2)∪(2, +∞) ; 9c) (-∞, ] . 2 10.- Resuelva la siguiente ecuación : x+1 =√ x2-5 . ⎯⎯⎯ Respuesta. La ecuación dada no tiene soluciones. En efecto : x+1 =√ x2-5 ⇒ (x+1)2=x2-5 ⇒ x2+2x+1 = x2 - 5 ⇒ x= -3 . ⎯⎯⎯ Lo que acabamos de verificar es que : " si un número x fuese una solución, debería ser necesariamente x=-3 " ; Por lo tanto , como x = -3 no es solución, ya que -3+1= - 2 ≠ √ (-3)2-5 = ⎯√ 4 = 2 , no hay ⎯⎯⎯⎯ soluciones. 11.- Se conoce que, conectando dos resistencias R1 , R2 "en paralelo" , se genera una 1 1 1 = + R . resistencia R, tal que : R R1 2 a) Si R1 = 5 ohmios , R= 4 ohmios, ¿ cual debe ser el valor de R2 ? b) Si R1 = 5 ohmios , 2 ≤ R ≤ 4 , ¿Cual puede ser el valor de R2 ? ¿ cuales valores puede tener R2 en el caso que su valor sea un número entero de ohmios? c) Si R1 = 5 ohmios , R > 1 , ¿Cual puede ser el valor de R2 ? d) Para genéricos valores (positivos) de R1,R2 ¿es cierto que el valor de R siempre resulta estrictamente menor que R1 y R2 ? Justifique su respuesta. Respuesta. 10 5 9a) R2 = 20 ; 9b) R2 ∈ [ 3 , 20] ; si R2 es entero : R2 ∈{4, 5, 6, ..., 20} ;9c) R2 > 4 ; 9d) como R2 > 0 , resulta siempre

1 1 R > R1 luego R < R1 (y analogamente R < R2 )