Breve Resumen Del Origen De Bourbaki

TRABAJO SOBRE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

ORIGENES DEL GRUPO BOURBAKI

PRESENTADO POR:

DANIEL BUITRAGO

FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

JUNIO DE 2009

1

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN........................................................................ ............. 3

I.

ORIGENES DEL BOURBAKI............................................ 4

II.

ORIGEN DEL NOMBRE GRUPO.......................................... 7

ANEXO: VIDA DE DOS PROTAGONISTAS.......................... 10 –

–

GRUPO

DEL

PRINCIPALES

HENRI CARTAN................................................................................ 10 ANDRE WEIL.................................................................................... 12

REFERENCIAS BIBLIOGRAFIA.............................................................. 14

Y

2

INTRODUCCIÓN

Al tratar la historia de la Matemática del siglo XX no puede pasarse por alto uno de los fenómenos más influyentes después de David Hilbert (1862-1943) y Bertrand Russell (1872-1970). Se trata de Nicolás Bourbaki, y la resurrección de la matemática francesa en una época de posguerra. Además de los magníficos aportes a la literatura de la Matemática pura, Nicolás Bourbaki es admirable al mostrar lo lejos que puede llegar la iniciativa de tan sólo unos cuantos matemáticos con gran dedicación y empeño en su trabajo y compromiso científico. El presente escrito expone brevemente las principales causas que dieron origen a Nicolás Bourbaki, sus primeros años de vida y sus obras más importantes con su particular estilo. Posteriormente en un anexo se describen los aspectos más sobresalientes de dos de los protagonistas centrales de la época, impulsadores de toda una era de abstracción en sus desarrollos puristas y brillantes en los temas de la matemática moderna.

3

I.

ORIGENES DEL GRUPO BOURBAKI

Los

hechos

ocurren

en

Francia,

alrededor

de

1930.

Específicamente se podría hablar de centros de enseñanza superior como L’École Normale Superieur de París, escuela de ciencias, filosofía y artes de gran prestigio y tradición, donde estudiaron y enseñaron brillantes personajes como Galois [1], Laplace, Lagrange y Monge [2]. La primera guerra mundial deja muy afectada la producción científica en Francia, debido en gran parte a que la mayoría de los científicos habían sido asesinados [3]. Es por eso que existía una gran necesidad de reconstruir el nivel de la matemática francesa y esta tarea recaía especialmente en estas primeras promociones de matemáticos de ‘posguerra’. Paralelo

a

inconformidad

esto, con

se la

encontraba enseñanza

de

la la

matemática de la época, que se refleja en el encuentro de André Weil y Henri Cartan en Strasburgo en el verano de 1934 [4 y 5], dos matemáticos graduados de L’École Normale encargados del mismo curso de Cálculo Diferencial e Integral. Al Ilustración 1 Henri Cartanparecer

tenían numerosas discrepancias con

el texto guía tradicional que se usaba, un manual de Edouard Goursat [4], que los llevaba a replantearse y reformularse una y otra vez la forma de enseñar ciertas secciones. Con este objetivo, Cartan y Weil siguieron en comunicación, hasta finales del mismo año, cuando Weil propuso que se invitaran a otros profesores (también graduados de L’École Normale) que se hallaban en la misma situación para unir esfuerzos y solucionar el problema [4 y 5]. 4

Ilustración 2: Parte del acta de la primera reunión. La inquietud sobre un mejor libro de Análisis (tema principal de la reunión) es expresada por Weil en el primer párrafo. Tomado de [10].

En efecto, lograron involucrar inicialmente a Jean Dieudonné, Jean Delsarte, Claude Chevalley, René De Possel y Jean Leray entre otros [4 y 3] bajo la tarea de elaborar un manual de enseñanza del Cálculo acorde a sus ideas que pudieran implementar en sus clases (ver Ilustración 2). Para esto, tras numerosas reuniones en un restaurante de París, decidieron acordar un cronograma de actividades, redacción, consultas

y

presentación

de

informes

de

los

temas

que

consideraban importantes para el proyecto [4]. Sin embargo, esto les empezó a tomar mucho más tiempo del que habían previsto, por lo que decidieron hacer una nueva socialización de las tareas repartidas en Besse-en-Chandesse en julio de 1935, considerado como el primer congreso del grupo Bourbaki [4 y 3] (a pesar de que aún no habían nombrado al grupo).

5

Ilustración 3 Primer congreso Bourbaki en julio de 1935. De izquierda a derecha en pie: Henri Cartan, René de Possel, Jean Dieudonné, André Weil y un técnico de laboratorio de la universidad. Sentados: Mirlès, Claude Chevalley y Szolem Mandelbrojt (Tomado de [3])

Los integrantes más conocidos (y de acuerdo con la página oficial del grupo) para ese entonces eran Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Dieudonné, Jean Delsarte, Szolem Mandelbrojt, René de Possel y André Weil [4 y 6]. Jean Leray decidió retirarse antes del primer encuentro oficial [3]. De acuerdo con [5] a partir de esta reunión empezaron las gestiones organizacionales para la conformación oficial del grupo, ya que el objetivo inicial se había extendido mucho más de lo esperado en el proceso de investigación sobre los temas de interés del grupo, hablando inclusive de abandonar la idea de escribir textos para escribir una enciclopedia. Las

reuniones

continuaron,

además

de

sus

investigaciones

personales. Hay que tener en cuenta que la mayor parte de los miembros no sólo trabajaba para Bourbaki sino que también publicaban sus artículos personales en importantes revistas científicas (ver anexo), debido a que su actividad en el grupo no podía dejarlos atrás con respecto a la comunidad en producción matemática. El compromiso de matemáticos como Dieudonné, Weil y Cartan con el resurgimiento de la matemática moderna en uno de los países que históricamente ha sido uno de los pilares mundiales en 6

la materia, se reflejaba en su admirable dedicación a los trabajos en Bourbaki y en sus vidas profesionales. Indudablemente era un equipo brillante haciendo una labor sorprendente.

II.

ORIGEN DEL NOMBRE DEL GRUPO

En este proceso de ‘oficialización’ del grupo, faltaba por acordar su nombre. A este respecto existen numerosas teorías, así como anécdotas y mitos propiciados por los mismos

miembros

encontraron

del

divertido

grupo

que

darle

una

naturaleza misteriosa y jocosa a su denominación.

Nicolás

Bourbaki:

Oficial

de

la

Guerra franco-prusiana Según [4 y 7] una de las hipótesis que se maneja es que tomaron Ilustración 4 Retrato del General Denis Sautier Bourbaki (Tomado de [9])

el apellido Bourbaki del oficial Charles

Denis Sautier Bourbaki, general francés de origen griego que participó en la guerra franco-prusiana de 1870. Se construyó una estatua de este General en Nancy y de ahí su posible influencia al grupo debido a las frecuentes visitas que realizaban algunos de sus miembros a la Universidad de Nancy.

Nicolás Bourbaki: Charlatán de Matemáticas Otra de las versiones que se maneja es la de Weil [5 y 7] según la cual existía un personaje de barba que se hacía llamar profesor 7

Holmgren que daba una charla anual a los estudiantes de primer año de L’École Normale. Luego de una intencionalmente confusa retórica, exponía un 'Teorema de Bourbaki' un tanto extraño con el objeto de impresionar al auditorio. Según [4 y 11] se trataba de un estudiante de último año, Raoul Husson, disfrazado. Y de acuerdo con Halmos [7] se trataba de un simple actor aficionado, mientras que el nombre de pila fue idea de Eveline, la esposa de Weil [4].

El grupo llevó tan lejos al personaje ficticio que no sólo empezaron a publicar notas y artículos bajo este nombre en la revista Comptes Rendus de l'Académie de Sciences de Paris (192 (1931), 709–712) sino que le fabricaron toda una personalidad. Algunos miembros del grupo empezaron a divulgar que Nicolás Bourbaki se trataba

de

un

matemático

'poldavo'

(nacionalidad

ficticia)

perteneciente a la Real Academia de Ciencias de Poldavia que vivía ahora en Nancy [Hermann et Cie., Paris, 1.939]. Llegaron inclusive a redactar actas de nacimiento, matrimonio y muerte de éste (ver [11]). A pesar de esto, el grupo Bourbaki se centró

principalmente

en

la

elaboración de un tratado que expusiera de manera clara y rigurosa todos los aspectos de las teorías matemáticas de la época. Éste sin duda sería el proyecto más famoso y ambicioso de Ilustración 5 Portada del primer ejemplar sobre Teoria de Conjuntos de los Éléments. (Tomado de [8]).

Bourbaki, que llamarían Eléments de Mathématique.

8

El manual contiene tomos de1 Teoría de conjuntos (Théorie des ensembles), Álgebra (Algèbre), Topología (Topologie générale), Funciones de una variable real (Fonctions d'une variable réelle), Espacios vectoriales topológicos (Espaces vectoriels topologiques), Integración (Intégration), Álgebra conmutativa (Algèbre commutative), Grupos de Lie (Groupes et algèbres de Lie) y Teoría Espectral (Théories spectrales). El estilo literario de Bourbaki se centra en un rigor formalista con un alto grado de abstracción, que conduce a un énfasis que carece de ciertos componentes importantes en el buen desarrollo de una teoría matemática, que acorde con [16] han sido bastante criticadas a la obra. Falta de algoritmia y de heurística (solución de problemas) son las principales. Con respecto al contenido, existen temas que fueron deliberadamente omitidos por el grupo debido a diversas razones, entre ellas falta de interés por parte de algunos miembros o simplemente motivos personales. Algunas de estas omisiones provocaron grandes diferencias e incluso el desencanto por parte de la comunidad matemática sobre el grupo.2 De acuerdo con [16] y [19], la obra de Bourbaki excluye importantes temas de Topología general, de números ordinales y cardinales en su aparte sobre Teoría de Conjuntos, de Teoría de Grupos finitos en Álgebra, de Teoría de Números. Con respecto al Análisis, excluyen partes de la Teoría de la medida, Series Trigonométricas y series de polinomios. La lógica es casi omitida por completo debido en gran parte a Dieudonné (ver [17]) y, por supuesto, aplicaciones sobre todos los temas.3

Sin embargo, no puede negarse el gran trabajo realizado por este grupo de reconocidos matemáticos, que hoy en día sigue siendo una de las referencias más importantes a nivel de posgrado en Matemáticas y que históricamente refleja una ejemplar ilustración del impresionante avance que puede alcanzarse en una época de crisis científica con tan sólo un puñado de jóvenes emprendedores.

1Tomado de [16] 2Ver por ejemplo la omisión de la Teoría de Categorías en [18] 3Para mayor detalle sobre las temáticas excluidas ver [17] y MATHIAS, Adrian. The Ignorance Of Bourbaki: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/bourbaki.pdf

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ANEXO VIDA DE ALGUNOS DE LOS PROTAGONISTAS

Cuando se habla del Grupo Bourbaki aparecen en escena los nombres de ciertos personajes que marcaron toda una época por sus inéditos y brillantes aportes a la Matemática moderna y que tuvieron que ver directa o indirectamente con Bourbaki. Podemos empezar por aquellos que destacan en la fundación y primeros años de vida de Nicolás Bourbaki que lograron establecer toda una nueva perspectiva en cuanto a la fundamentación de las teorías matemáticas modernas.

Henri Cartan4. Miembro fundador del grupo, fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX. Hijo de Élie Cartan, también matemático y considerado como el padre de la Geometría diferencial moderna, y Marie-Louise Bianconi. Henri nace en Nancy (Francia) el 8 de julio de 1904 y cursa sus estudios secundarios en el Lycée Hoche en Versalles. En 1923 ingresa a L’École Normale Superieur en París donde conoció a André Weil y 5 años más tarde obtiene el título de Docteur ès Sciences mathématiques con una tesis sobre Análisis complejo bajo la dirección de Paul Montel. A partir de su graduación, trabaja un año en el Lycée Malherbe en Caen para después trasladarse a la facultad de Ciencias de L’Université de Lille y posteriormente a L’Université de Strasbourg. En 1931 es invitado a la universidad de Münster en Alemania, donde conoce a Heinrich Behnke y a su asistente Peter Thullen5 quien sería 4Tomado de [3] y [12]. 5Quien en su exilio en América Latina de los nazis ayudó a crear el sistema de seguridad social en Colombia.

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uno de sus mejores amigos y con quien publica conjuntamente un artículo en Mathematische Annalen (ZurTheorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer Komplexen Veränderlichen 106 (1932)), donde desarrollan lo que más tarde se conocería como el Teorema de CartanThullen. Sin embargo, no es sino hasta 1937 cuando presenta el concepto de ‘filtro’ al congreso Bourbaki. En 1940 enseña en L’Université de Paris y en L’École Normale. Pero en

1943, el hermano de Henri, Louis es sentenciado a muerte por los nazis. A pesar de esto, Cartan destaca por mantener el contacto con matemáticos alemanes y con sus trabajos, evitando que el flagelo de la guerra afectara el avance de la ciencia en los dos países. Hacia 1948 es encargado de los famosos Séminaires Cartan (creados en su honor) en L’École y visita Estados Unidos invitado por Weil, donde conoce a Samuel Eilenberg con quien escribe más adelante su más famosa obra, Homological Algebra (Princeton University Press, 1956). Henri Cartan además de sus innumerables contribuciones a Bourbaki recibió entre otras distinciones la Médaille d'or du CNRS en 1976, el más alto galardón de ciencia en Francia. El premio Wolf en 1980 y el premio Pagels. Murió a la venerable edad de 104 años en París.

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André Weil6 Nace en París el 6 de mayo de 1906, hijo del médico Bernard Weil, se enamora de las Matemáticas a muy temprana edad, aunque disfrutaba también de muchas otras actividades, como los idiomas extranjeros y las distintas culturas. Para cuando tenía 15 años, ya sabía griego, latín, alemán y meses después ya leía obras como el Bhagavad-Gita (texto sagrado hindú) en sánscrito. En el mismo año conoce a quien sería uno de sus guías por muchos años: Jaques Hadamard. Weil ingresa a L’École Normale Superieur en 1922 y tres años después aprueba el examen de Agrégation, que le permite graduarse y dedicarse a viajar por algún tiempo. Es en este período donde se interesa en las ecuaciones diofánticas y en la teoría de curvas algebraicas mientras conoce en Roma a Vito Volterra y a Richard Courant y Otto Toeplitz (estudiantes de Hilbert) en Göttingen (Alemania). Culmina su doctorado hacia 1928 en L’Université de Paris supervisado por Hadamard, con una tesis que más tarde serviría para el teorema de Mordell-Weil, una extensión del descenso infinito de Fermat. Trabaja en las universidades de Aligarh Muslim (India), Marseille y Strasbourg (Francia), donde se casa con Eveline en 1937. Es en este período también cuando se involucra con el grupo Bourbaki, donde se le considera uno de sus líderes más fervientes y activos por su admirable productividad y gran capacidad de organización. Sin embargo, la segunda guerra mundial traería desgracia a la vida de este gran matemático. Weil huye a Finlandia por dos razones: Primero, le desagradaba el servicio militar forzado y segundo, era judío. Lamentablemente, allá es capturado por las autoridades finlandesas y acusado de ser un espía. Escapa de ser ejecutado gracias a la persuasiva ayuda de Rolf Nevanlina, matemático finlandés a quien conocía hacía algún tiempo. Es deportado a Francia 6Tomado de [5], [14] y [15].

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y llevado a prisión por 5 años, después de los cuales huyó a América. Allí trabajó en universidades como Pennsylvania, Haverford College e inclusive la universidad de São Paulo en Brazil. En 1947 vuelve a Estados Unidos a la Universidad de Chicago y en 1958 trabaja en el Institute for Advanced Study en Princeton (New Jersey) hasta su retiro en 1976. Los aportes de André Weil a las distintas áreas de la Matemática son numerosos. Entre los que se destacan, están sus trabajos en geometría algebraica y teoría de números, además de su célebre prueba de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta locales y todas las colaboraciones conjuntas para las obras del grupo Bourbaki para la fundamentación de la Matemática moderna. Muere el 6 de agosto de 1998 en Princeton.

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REFERENCIAS:

[1] BELL, E.T. Men of Mathematics. 1986. [2] http://es.wikipedia.org/wiki/Escuela_Normal_Superior_(Francia) [3] JACKSON, Allyn. Interview with Henri Cartan. Notices, 1999.

[4] BOMBAL, Fernando. Nicolás Bourbaki. Real Academia de Ciencias de Madrid, 1988. [5] WEIL, André. The Apprenticeship of a Mathematician:

Autobiography. Birkhäuser Basel, 2002. [6] http://www.bourbaki.ens.fr/ [7] HALMOS, Paul. Nicolás Bourbaki. 1957.

[8] http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bourbaki,_Theorie_des_ensembles_maitrier .jpg [9] http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Bourbaki.jpg [10] Archives Bourbaki: http://math-doc.ujf-grenoble.fr/archives-bourbaki/ [11] http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki [12] http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Cartan [13] Mashaal M, Henri Cartan, de Bourbaki à l'Europe unie, Pour la Science, octobre 2008, p100-102. [14] André Weil (1906–1998). Armand Borel, Pierre Cartier, Komaravolu Chandrasekharan, Shiing-Shen Chern, and Shokichi Iyanaga. Notices, AMS. Vol. 46, Num 4. [15] Shimura, G. The map of my life. Springer, 2008. Pag. 193-210. 14

[16] http://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki [17] Mathematical Intelligencer. The Continuing Silence of Bourbaki, An Interview with Pierre Cartier, June 18 1997, Marjorie Senechal. [18] MATSON, Camilo. ¿POR QUÉ LA TEORÍA DE CATEGORÍAS NO OCUPÓ EL LUGAR DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE, DE NICOLAS BOURBAKI?. Fundación Universitaria Konrad Lorenz, junio 2008. Link presentación digital: http://www.fukl.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/EDICION_0 9_0I/bourbaki_y_la_teoria_de_categorias.pdf [19] http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html

foto Henri Cartan: http://www.telegraph.co.uk/telegraph/multimedia/archive/00795/henricartan-extra_795574f.jpg

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