Blacklittermanportfoliomanagement

Portfolio-Management mit technischen Handelsmodellen unter besonderer Berücksichtigung des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

Diplomarbeit zur Erlangung des Grades Diplom-Volkswirt

an der Technischen Universität Berlin Fakultät IV - Elektrotechnik und Informatik Lehrstuhl Statistik und Ökonometrie Studiengang Volkswirtschaftslehre

Vorgelegt von: Matr.-Nr.: 196925

Lorenzo Bertolini

aus:

Heilmannring 71 13627 Berlin Tel.: 030-44319288 [email protected]

Referent: Korreferent:

Prof. Dr. D. Friedrich Dipl.Volksw. R. Franken

Erklärung Ich versichere, die von mir vorgelegte Arbeit selbständig verfasst zu haben. Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus veröffentlichten oder nicht veröffentlichten Arbeiten anderer entnommen sind, habe ich als entnommen kenntlich gemacht. Sämtliche Quellen und Hilfsmittel, die ich für die Arbeit benutzt habe, sind angegeben. Die Arbeit hat mit gleichem Inhalt bzw. in wesentlichen Teilen noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen.

Berlin, den 18 März 2005

Lorenzo Bertolini

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis ...............................................................V Abkürzungsverzeichnis ............................................................ IX

1 Einleitung…………….. ............................................................ 1 2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle .......... 4 2.1 Grundlagen ...................................................................................................... 4 2.1.2 Rendite eines Wertpapiers…….................................................................. 4 2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers .............................................. 6 2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere................................................ 7 2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren .................................................... 8 2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ .................................................... 10 2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Annahmen des Modells.................. 10 2.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios ......................................................... 11 2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ ............................... 13 2.2.3.1 Effiziente Portfolios....................................................................... 13 2.2.3.2 Optimale Portfolios........................................................................ 15 2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall..................... 16 2.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................... 21 2.2.6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................ 22 2.2.7 Modellkritik…………………………………………….......................... 25 2.3 Index-Modell von SHARPE ......................................................................... 26 2.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE................................................. 26 2.3.2 Modellkritik…………………………………………….......................... 28 2.4 TOBIN-Separation........................................................................................ 29 2.5 Kapitalmarktmodelle.................................................................................... 31 2.5.1 Capital Asset Pricing Model……. ........................................................... 32 2.5.1.1 Annahmen...................................................................................... 32 2.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie .................................................................... 32 2.5.1.3 Die Wertpapierlinie ....................................................................... 33 2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches Risiko................................ 35 2.5.1.5 Modellkritik ................................................................................... 36 2.5.2 Arbitrage Pricing Theory…………………… ......................................... 37 I

Inhaltsverzeichnis 2.6 Performance-Messung von Portfolios..........................................................37 2.7 Fazit.................................................................................................................40

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN ..... 42 3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ ...........................42 3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens..................................44 3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens ............................................................46 3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen............48 3.4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMANModell………………….. ...............................................................48 3.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel .........................................................51 3.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACKLITTERMAN-Verfahren ................................................................52 3.5 Sensitivitätsanalysen......................................................................................54 3.6 Fazit.................................................................................................................56

4 Technische Handelsmodelle ................................................... 58 4.1 Wertpapierprognosen....................................................................................58 4.2 Technische Indikatoranalyse ........................................................................59 4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse ...................................................59 4.2.2 Methoden der technischen Analyse ..........................................................61 4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge...................................................62 4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte .................................................................63 4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence ...................................65 4.2.3.3 Relative Strength Index ..................................................................65 4.2.3.4 Bollinger Bänder ............................................................................66 4.2.3.5 Swings ............................................................................................67 4.2.3.6 Candlestick-Formationen ...............................................................67 4.3 Handelsmodelle ..............................................................................................69 4.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle......................................................69 4.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen........................70 4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen..........................................................73 4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen ..............................................74 4.4 Fazit.................................................................................................................78 II

Inhaltsverzeichnis

5 Empirischer Teil .................................................................... 80 5.1 Vorgehensweise ............................................................................................. 80 5.2 Entwicklung des Handelsmodells ................................................................ 81 5.2.1 Handelsregeln der einfachen Handelsmodelle ......................................... 81 5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum................. 86 5.2.3 Weiterentwicklung der Handelsmodelle .................................................. 88 5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle.......................................... 93 5.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios ..................................................... 93 5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale............ 95 5.3.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-ManagementModells .......................................................................................... 95 5.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells......................... 97 5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der historischen Renditen und der Handelssignale............................... 98 5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-ManagementModelle………………………………........................................... 99 5.4 Fazit .............................................................................................................. 101

6 Schlussfolgerung ...................................................................103 7 Literaturverzeichnis .............................................................105

Anhangverzeichnis ..................................................................109 Anhang………………………. ...................................................111

III

Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten .................................................. 8 Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern ........................................ 10 Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ...... 14 Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ........ 15 Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios................................... 15 Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes VierWertpapier-Portfolio ....................................................... 20 Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-WertpapierBeispielportfolios ............................................................ 22 Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel .............. 24 Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach MARKOWITZ ................................................................ 25 Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und Aktienrendite .................................................................. 27 Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im IndexModell von SHARPE....................................................... 28 Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation .................................................... 30 Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MARKOWITZ ...... 31 Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie ......................................................... 35 Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko bei steigender Diversifikation .......................................... 36 Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne Leerverkäufe ................................................................... 42 Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit Leerverkaufsrestriktionen auf eine revidierte Renditeprognose.............................................................. 43 Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz .................................... 45 Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und impliziter Renditen.......................................................... 47 Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMANRenditeerwartungen......................................................... 53 Abbildung 3.6: Referenzgewichte und BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte ............................................................ 53

V

Abbildungsverzeichnis Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation des Renditedifferentials V ..................................................... 54 Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation der Prognosegüte Ω ........ 55 Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation des Skalars τ .................. 56 Abbildung Abbildung Abbildung Abbildung Abbildung Abbildung

4.1: 4.2: 4.3: 4.4: 4.5: 4.6:

Methoden der technischen Analyse .................................... 61 Segmentierung technischer Indikatoren.............................. 62 Swing-High und Swing-Low.............................................. 67 Hammer- und Shooting-Star-Formationen .......................... 68 Aufbau eines Handelsmodells ............................................ 71 Segmentierung von Handelsmodellen................................. 71

Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN......................... 81 Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle ...... 86 Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen Handelsmodelle ............................................................... 87 Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung ............................ 89 Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung................... 90 Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln ..................................................................... 92 Abbildung 5.7: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln ................................................. 92 Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien .............................................................. 93 Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios über die Wirtschaftssektoren ......................................................... 94 Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der DAX-Aktien im Testzeitraum bei Long- bzw. ShortSignalen .......................................................................... 96 Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 0.3]........... 97 VI

Abbildungsverzeichnis Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 2] ............. 98 Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach MARKOWITZ [ohne Leerverkäufe] ........... 99 Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios .............. 100

VII

Abkürzungsverzeichnis AG: APT: CAPM: d.h.: DAX: Kap.: MVP: Portfolio-RAR: Profit/maxDD: u.d.N.: vgl.: z.B.:

Aktien Gesellschaft Arbitrage Pricing Theory Capital Asset Pricing Model das heisst Deutscher Aktien Index Kapitel Minimum Varianz Portfolio Portfolio Risk-Adjusted-Return Profit to Maximum Drawdown Ratio unter der Nebenbedingung vergleiche zum Beispiel

Aktienkürzel ALV: BAS: BAY: BMW: MEO: MUV2: DBK: DCX: DPW: DTE: EOA: RWE: SAP: SIE: VOW:

Allianz AG BASF AG Bayer AG BMW AG Metro AG Münchener Rückversicherungen AG Deutsche Bank AG Daimler Chrysler AG Deutsche Post AG Deutsche Telekom AG E.On AG RWE AG SAP AG Siemens AG Volkswagen AG

IX

1 Einleitung Der klassische Ansatz der Portfoliotheorie basiert, ausgehend von den Arbeiten von Harry Markowitz in den 50er Jahren, auf einer doppelseitigen Zielsetzung: Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gleichzeitiger Minimierung des Portfoliorisikos. Obwohl die Grundsätze der Modernen Portfolio-Theorie in der wissenschaftlichen Literatur einen festen Platz einnehmen, ist deren Einfluss auf das praktische Portfolio-Management immer noch relativ gering.1 Fischer Black und Robert Litterman haben mit der Zielsetzung, die Methoden der quantitativen Portfoliooptimierung für den praktischen Einsatz im PortfolioManagement besser anwendbar zu machen, Anfang der 90er Jahre das innovative Black-Litterman-Verfahren veröffentlicht. Dieses Verfahren erlaubt die flexible Spezifikation einer beliebigen Anzahl von Wertpapierprognosen und berechnet auf deren Grundlage, ausgehend von strategischen Referenzportfolios, neue optimale Portfoliogewichte. Das Verfahren stellt eine gelungene Umsetzung des Vorschlages von Markowitz, quantitativ berechnete erwartete Renditen mit subjektiven Prognosen zu verbinden, dar.2 Die Bewegungen der Kurse an der Börse setzen sowohl private als auch professionelle Anleger starken Emotionen wie Gier und Angst aus. Diese Emotionen können Portfolio-Manager zu irrationalen Markteinschätzungen verleiten und haben somit negative Auswirkungen auf den Investmentprozess. Handelsmodelle, die nach bewährten Handelsregeln automatische Kauf- und Verkaufssignale generieren, unterliegen diesem psychologischen Druck hingegen nicht. Außerdem bieten sie den Vorteil schneller paralleler Auswertung einer Vielzahl von Märkten durch den Einsatz von Rechnern und spezieller Software.

Ziel der Arbeit Die Zielsetzung dieser Arbeit ist es ein taktisches Portfolio-Management-Modell für ein Portfolio aus DAX-Aktien zu entwickeln, welches mit dem Black-LittermanVerfahren und den Prognosen technischer Handelsmodelle die Asset-Allocation systematisch steuert. Das Aufgabenfeld eines Portfolio-Managers der nach diesem Konzept operiert, würde sich vom kurzfristigen subjektiven Handel deutlich entfernen. Die freigesetzten 1 2

vgl. Drobetz (2002), S.2 vgl. Markowitz (1952)

1

1 Einleitung Zeit- und Energieressourcen sollten vermehrt in quantitativer Finanzmarktforschung eingesetzt werden. Außerdem könnte ein größerer Fokus auf die Analyse komplexer volkswirtschaftlicher Zusammenhänge und der Zusammenstellung mittel- bis langfristiger strategischer Portfolios gelegt werden.

Aufbau der Arbeit Im zweiten Kapitel werden zunächst die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle, allen voran die Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz und das Capital Asset Pricing Model CAPM von Sharpe, behandelt. Das BlackLitterman-Verfahren baut sowohl auf der Portfolio Selection als auch auf dem aus dem CAPM hervorgehendem Marktgleichgewicht auf. Somit bildet dieses Kapitel die Grundlagen für das Verständnis des Black-Litterman-Verfahrens. Der dritte Abschnitt der Arbeit befasst sich mit den Schwächen des MarkowitzAnsatzes bei dem praktischen Einsatz in der Asset Allocation und stellt das von Black und Litterman entwickelte innovative Verfahren zum Portfolio-Management dar. Dieses Verfahren ermöglicht die konsistente Verbindung von individuell festgelegten Referenzgewichtungen oder CAPM-Gewichtungen mit verschiedenen Arten von Prognosen und eignet sich aus diversen Gründen besser für den Einsatz im Portfolio-Management als die reine Portfolio Selection nach Markowitz. Im vierten Kapitel wird der Grundgedanke der technischen Analyse von Wertapapieren und der Aufbau von technischen Handelsmodellen dargestellt. Das fünfte Kapitel vereint die behandelten Portfolio-Management-Techniken mit den Handelssignalen eines für diesen Zweck entwickelten Handelsmodells zu einem systematischen Portfolio-Management-Modell, das ohne menschliches Zutun in der Lage sein soll, ein vom Anleger festgelegtes Wertpapierportfolio taktisch zu planen. Die Schlussfolgerungen finden sich im sechsten Kapitel.

Software In dieser Arbeit kommt außer herkömmlicher Textverarbeitungs- und Tabellenkalkulationssoftware folgende Software zum Einsatz: Omega Research TradestationTM Die Tradestation ist eines der führenden Programme zur technischen Chartanalyse, zur Entwicklung technischer Indikatoren sowie zur Entwicklung und zum Test von technischen Handelsmodellen. Mit diesem Programm werden im fünften Kapitel 2

1 Einleitung Handelsmodelle erstellt und getestet. Ein besonderer Dank geht an dieser Stelle an die J. R. C. Capital Management & Consultancy GmbH (www.jrconline.com) für die Bereitstellung dieser Software.

R R ist sowohl eine Programmiersprache als auch eine Arbeitsumgebung mit statistischem Schwerpunkt. Die R-Programmiersprache ist der Programmiersprache S, auf der die kommerzielle Statistiksoftware S-Plus basiert, sehr ähnlich. R ist eine kostenlose und frei verfügbare Software, die unter der Internetadresse www.r-project.org heruntergeladen werden kann. In dieser Arbeit wird R zur Optimierung der Portfolios, zur Programmierung der Portfolio-Management-Modelle und zur statistischen Auswertung von Daten eingesetzt.

3

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle 2.1 Grundlagen Im Folgenden werden die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie erläutert. Es werden Kennzahlen für die Rendite und das Risiko von Wertpapieren und Überlegungen über das Verhalten von Anlegern bezüglich dieser Kennzahlen dargestellt.

2.1.2 Rendite eines Wertpapiers Um die relative Wertveränderung einer in Geldeinheiten bewerteten Position zu messen, wird in der Finanzwirtschaft und Kapitalmarkttheorie auf den Begriff der Rendite zurückgegriffen. Rendite kann man auf zwei verschiedene Arten definieren, einmal diskret, als den prozentualen Wertzuwachs von einem Zeitpunkt zum anderen, zum anderen als den natürlichen Logarithmus des Zuwachsverhältnisses. Die letztere Definition bezeichnet man auch als die stetige Rendite oder log-Rendite. Die stetige Rendite ist für den Fall kontinuierlicher Verzinsung definiert. Die diskrete Rendite lässt sich durch die Formel 2.1 berechnen, die stetige Rendite durch die Formel 2.2. Pt − Pt −1 Pt −1

=

∆Pt Pt −1

=

Pt −1 Pt −1

[2.1]

Rd , t

=

mit

Rt: Pt: Pt-1:

Rendite des Wertpapiers in der Periode t Preis des Wertpapiers am Ende der Periode t Preis des Wertpapiers am Ende der Vorperiode t-1

[2.2]

Rs, t

⎛ P ⎞ = ln ⎜⎜ t ⎟⎟ = ln (Pt ) − ln (Pt −1 ) ⎝ Pt −1 ⎠

Soll die Durchschnittsrendite µd,t über T Perioden bestimmt werden, so wird in dem zeitdiskreten Fall das geometrische Mittel aus den Renditen gezogen3:

3

vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 146

4

2.1 Grundlagen

1

[2.3]

µ d ,t

⎡ T −1 ⎤T = Rd ,t (k ) = ⎢∏ (1 + Rd ,t − n )⎥ − 1 ⎣ n =0 ⎦

Die Berechnung der Durchschnittsrendite über T Perioden für den Fall stetiger Verzinsung erfolgt gemäß der Formel 2.4.4

µ s ,t = Rs ,t (k ) = ln{1 + Rd ,t (k )} = [2.4]

1 T −1 ln ∏ (1 + Rd ,t − n ) T n =0

=

1 T −1 ∑ ln(1 + Rd ,t −n ) T n =0

=

1 T −1 ∑ R s ,t − n T n =0

Im späteren Verlauf der Arbeit werden unter anderem durchschnittliche Tagesrenditen zu Jahresrenditen annualisiert. Dies geschieht umgekehrt zu den Berechnungen der Durchschnittsrenditen für den Fall diskreter Renditen nach der Formel 2.5 und für den Fall stetiger Renditen gemäß der Formel 2.6. [2.5]

µ Jahr , d = (1 + µTag , d )Tage

[2.6]

µ Jahr , s = [Tage Jahr ]* µTag , s

Jahr

−1

Bei kleinen Preisänderungen kann die stetige Rendite durch die diskrete Rendite approximiert werden und umgekehrt. Als Faustregel für die Eignung einer solchen Approximation werden Renditen unter zehn Prozent genannt. 5 Werden jedoch Annahmen über die Verteilung der Renditen getroffen, spielen auch statistische Überlegungen eine Rolle. Bereits 1990 wurde von Bachelier6 angenommen, stetige Rendite seien normal verteilt. Die Kurse selbst wären dann log-normal verteilt. Für die diskrete Rendite sei die Normalverteilungsannahme im strengen Sinn nicht anwendbar. Empirisch wird in der Regel allerdings beobachtet, dass die Dichte von Renditen im Vergleich zur Normalverteilung fat tailed ist, das heißt dass sich in den Enden der Verteilung mehr Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert als dies bei einer Normalverteilung der Fall ist.7 Diese Verteilung nennt man leptokurtische Verteilung. 4

vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147 vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147 6 In: Theorie de la speculation (1990) 7 vgl. Weber (2001), S. 27 5

5

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers Die zweite wichtige Größe der Modernen Portfolio-Theorie ist das Risiko, mit dem die Rendite eines Wertpapiers behaftet ist. Risiko liegt dann vor, wenn aufgrund der unsicheren Zukunft die Rendite einer Anlage nicht vorauszusagen ist, deren mögliche Renditen und die Eintrittswahrscheinlichkeiten dennoch bekannt sind.8 Das Risiko einer Anlage wird üblicherweise in der Form der Varianz oder der Standardabweichung der Renditen quantifiziert.9 Die zustandsabhängige Varianz σ2 eines Wertpapiers i wird durch die Formel 2.7 berechnet: [2.7] mit

S

2

Var[ Ri ] = σ = ∑ (Ris − E [Ri ]) ⋅ q s 2 i

Ri: S: Ris: qs : E[Ri]:

s =1

Rendite des Wertpapiers i Anzahl der möglichen Zustände Rendite des Wertpapiers bei Eintreten des Zustands s Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands s Erwartete Rendite10

In der Praxis wird die zukünftige Volatilität häufig durch die historische Volatilität geschätzt. Bei der Berechnung der historischen Volatilität ist die Streuung der vergangenen Renditen um die durchschnittliche historische Rendite von Relevanz. Die Formel zur Berechnung der historischen Varianz über T Perioden eines Wertpapiers lautet: [2.8]

Var [Ri ] = σ i2 =

2

1 T −1 ∑ (Ri,t −n − µ i ) T − 1 n =0

Die Annualisierung der Tagesvarianz zur Jahresvarianz vollzieht sich folgendermaßen: [2.9]

2 σ Jahr =

[Tage

2 Jahr ] * σ Tag

Aus der Varianz lässt sich ohne weiteres die Standardabweichung σ ableiten. Die Standardabweichung ist anschaulicher als die Varianz, da sie informiert, wie stark

8

vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 99 vgl. Kruschwitz (2003), S. 341 10 E[Ri] = ΣqsRis 9

6

2.1 Grundlagen die Renditen im Mittel um ihren Erwartungswert schwanken.11 Ihre Berechnung erfolgt gemäß der Formel 2.10. [2.10]

σ [ri ] = σ 2 [ri ]

2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere Kovarianz Die Kovarianz σij misst die voneinander abhängige Bewegung der Erträge zweier Wertpapiere. Ein positiver Wert der Kovarianz bedeutet, dass die Renditen der Anlagen zu gemeinsamen Schwankungen tendieren. Sollte die Kovarianz negativ sein, impliziert dies, dass die Renditen der beiden Wertpapiere sich gegensätzlich zueinander verhalten. Ein sehr kleiner Wert der Kovarianz nahe null impliziert, dass die Ausprägungen der Renditen der zwei betrachteten Investitionen unabhängig voneinander sind. Die Formel 2.11 stellt die Berechnung der zustandsabhängigen Kovarianz zwischen den Wertpapieren i und j dar.

[

Kov[ Ri , R j ] = σ ij = ∑ (Ris − µ i )(R js − µ j )q s S

[2.11]

]

s =1

Die historische Kovarianz zweier Anlagen kann anhand der folgenden Formel 2.12 berechnet werden. [2.12]

Kov[ Ri , R j ] = σ ij =

[

]

1 T −1 ⋅ ∑ (Ri ,t − n − µ i )(R j ,t − n − µ j ) T − 1 n =0

Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient ρ ist ein viel anschaulicheres Maß für den Zusammenhang von Renditeverläufen zweier Wertpapiere. Er kann durch die Kovarianz der beiden Anlagen und durch deren Standardabweichungen anhand der Formel 2.13 ermittelt werden. [2.13]

11

ρ ij =

σ ij σ iσ j

vgl. Kruschwitz (2003), S. 342

7

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

Sind sowohl der Korrelationskoeffizient als auch die Standardabweichungen von zwei Anlagen bekannt, so kann durch Umstellung der Formel 2.13 ebenfalls die Kovarianz berechnet werden: [2.14]

σ ij = ρ ij σ iσ j

Abbildung 2.1 zeigt beispielhaft die Entwicklung der Renditen von Wertpapieren mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten. Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen plus eins und minus eins annehmen, wobei ein Koeffizient von minus eins für Wertpapiere mit vollkommen gegenläufigen Renditeentwicklungen steht und ein Wert von plus eins vollkommen gleichläufige Renditeentwicklungen darstellt. Ein Korrelationskoeffizient von null besagt, dass die Renditen der zwei Anlagen unabhängig voneinander sind. Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten

2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren Entscheidungen nach Erwartungswert und Streuung von Renditen spielen in der Investitionstheorie eine wichtige Rolle.12 Das Grundprinzip dieser Entscheidungen wird als µ-σ-Prinzip bezeichnet. Ziel dieses Prinzips ist nicht ausschließlich die Maximierung der Rendite oder die Minimierung des eingegangenen Risikos, sondern die Erhöhung des Nutzens des Investors.13 Der Nutzengröße eines Anleger in einer µ-σ-Kombination ist maßgeblich von seiner Einstellung gegenüber dem Risiko abhängig. Es können drei verschiedene RenditeRisiko-Einstellungen von Anlegern unterschieden werden: Risikoaversion, Risiko12

8

vgl. Kruschwitz (2002), S. 142

2.1 Grundlagen

neutralität und Risikofreude. Risikoaverse Investoren empfinden Risiko als etwas Schlechtes; sie wären bereit, zugunsten von mehr Sicherheit auf einen Teil ihrer erwarteten Rendite zu verzichten. Risikoneutrale Anleger sind gegenüber dem Risiko indifferent, für ihre Entscheidungen ist lediglich die erwartete Rendite relevant. Risikofreudige Investoren sehen im Risiko eine Chance auf erhöhte Gewinne und wären unter Umständen bereit, eine kleinere erwartete Rendite in Kauf zu nehmen, und damit ihr Risiko zu erhöhen. Der von der erwarteten Rendite und dem Risiko abhängige Nutzen eines Anlegers kann durch seine Nutzenfunktion dargestellt werden. Die Formel 2.15 wird im empirischen Teil der Arbeit eingesetzt.14 Allerdings sind auch andere Formen von Nutzenfunktionen denkbar, wie zum Beispiel die in der Formel 2.16.15 [2.15]

U ( µ , σ ) = µ − 0 .5 ⋅ λ ⋅ σ 2

[2.16]

U (µ , σ ) = µ − λ ⋅ µ 2 + σ 2

(

)

λ stellt den Risikoaversionsparameter des Anlegers dar. Je höher der Parameter ausfällt, desto risikoaverser ist der Investor. Ein Nutzenmaximierer mit hohem λ wird bereit sein, auf eine große Menge an erwartetem Gewinn µ zu verzichten, um die Volatilität σ2 zu senken. Umgekehrt verliert das Risiko in den Überlegungen des Investors mit fallendem λ immer mehr an Relevanz. Ein λ-Wert von null stellt einen risikoneutralen Anleger dar, ein negativer λ-Wert steht für Risikofreude.16 Abbildung 2.2 stellt den möglichen Verlauf der Iso-Nutzenkurven für die drei verschiedenen Risikopräferenzen dar. Jeder Punkt, der sich auf einer solchen Kurve befindet, stellt für den Anleger denselben Nutzen dar. Kurven, die höher liegen als andere, zeigen einen höheren Nutzen, und sind somit den unteren zu präferieren. Der Anleger ist zwischen allen µ-σ-Kombinationen auf einer Iso-Nutzenkurve indifferent. Er wird die mögliche Kombination präferieren, die sich auf der höchsten IsoNutzenkurve befindet, da ihm diese den maximalen Nutzen bringt.

13

vgl. Gast (1998), S. 87 Litterman (2003), Drobetz (2002) u. a. arbeiten mit dieser Nutzenfunktion 15 vgl. Kruschwitz (2003), S. 294 16 Le/Litterman (1999) operieren mit einem Rsiskoaversionsparameter von λ = 2.5. Ist einem Portfoliomanager λ nicht bekannt, so kann er mittels 14

λ imp=(E[RM]- Rf)/ σM2 den impliziten Risikoaversionsparameter schätzen. E[RM] stellt die erwartete Rendite des Marktes oder der Benchmark dar, Rf stellt den risikofreien Zinssatz dar und σM2 ist die Renditevarianz des Marktes oder der Benchmark. [vgl. Idzorek (2004), S. 30]

9

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern

µ

µ

Risikoaversion

σ

Risikoneutralität

µ

σ

Risikofreude

σ

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Gast (1998), S. 89]

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ 2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Annahmen des Modells Der Name von Markowitz ist untrennbar mit der theoretischen Erklärung des Phänomens der Portfoliodiversifikation, das heißt der gezielten Streuung von Vermögen auf mehrere Anlagewerte, verbunden. Bereits vor der Entwicklung der PortfolioSelection-Theorie war empirisch Portfoliodiversifikation beobachtbar, allerdings fehlte jegliche plausible theoretische Herleitung dieses Verhaltens. Die auf Markowitz zurückgehenden Erkenntnisse erweitern im Kern das Denken über die Allokation von Vermögen vom eindimensionalen Rendite Aspekt17 zum zweidimensionalen Rendite-Risiko-Aspekt, dies war zuvor keinem gelungen. Hicks18 schlug beispielsweise 1939 vor, bei Investitionen einen, mit dem eingegangenen Risiko abdiskontierten, Renditeparameter als Entscheidungskriterium zu verwenden. Die entscheidungstheoretische Folge wäre allerdings eine Maximierung des mit dem Risiko abdiskontierten Renditeparameters und somit eine Konzentration des gesamten Kapitals auf die Investitionsalternative mit dem höchsten Parameterwert. Solche Erklärungsversuche verwirft Markowitz aus dem einfachen Grund, dass solch konzentrierte Portfolios in der Praxis nicht beobachtbar sind.19

17

Die alleinige Betrachtung der Rendite in der Aufteilung des Vermögens auf Wertpapiere hätte die Folge, dass das gesamte Kapital auf eine einzige, nämlich die voraussichtlich rentabelste, Anlage konzentriert werden würde. [vgl. Markowitz (1952), S. 78] 18 Markowitz (1952), S. 77 verweist auf Hicks, J. R.(1939): Value and Capital, New York, Oxford University Press, S. 126 19 vgl. Markowitz (1952), S. 77

10

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

Die Portfolio-Selection-Theorie erklärt mathematisch, dass es eine Möglichkeit gibt, Anlagen so zu kombinieren, dass man unter Einschluss von Wertpapieren deren Renditen niedrige, oder im Idealfall negative, Korrelationen aufweisen, ein Portfolio erhält, welches bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko mit sich führt. Somit wurde den Investoren ein wissenschaftlicher Ansatz geliefert, wie die Portfoliodiversifikation rational gestaltet werden sollte. Im Folgenden werden die Annahmen des Modells erläutert, und die Portfoliorendite sowie das Portfoliorisiko als Basis jeglicher portfoliotheoretischen Überlegung, dargestellt.

Annahmen der Portfolio Selection Theorie -

-

-

Die von Markowitz betrachtete Entscheidungssituation geht von einem Investor mit einem gegebenen Anfangsvermögen und einem einperiodigen Planungshorizont aus. Der Investor kann sein Kapital auf ein bestimmtes Universum von Wertpapieren verteilen und sich somit ein Portfolio zusammenstellen. Markowitz stellt die Annahme auf, Wertpapiere seien unendlich teilbar und es gäbe weder Transaktionskosten noch Steuern.20 Markowitz berücksichtigt, dass sich die zukünftigen Renditen von Wertpapieren nicht mit Sicherheit voraussagen lassen. Vielmehr seien Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die künftige Entwicklung der Wertpapierpreise bekannt, es handelt sich also um eine Entscheidungssituation unter Risiko.21 Das Modell geht von einem nutzenmaximierenden, risikoaversen Anleger aus, der durchaus bedacht ist, sein eingegangenes Risiko zu kontrollieren.22 In dem Artikel Portfolio Selection schließt Markowitz Leerverkäufe aus.23

2.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios Portfoliorendite Die erwartete Rendite eines Portfolios µP entspricht der mit ihrem Portfolioanteil gewichteten Summe der Rendite der einzelnen Wertpapiere. Formel 2.17 verdeutlicht die Berechnung der erwarteten Portfoliorendite: N

[2.17]

E [RP ] = µ P = ∑ wi ⋅ µ i i =1

20

vgl. Steiner/Bruns, S. 9 vgl. Kruschwitz (2003), S. 288 und 340 22 vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 167 23 Im weiteren Verlauf der Arbeit wird der Fall erlaubter Leerverkäufe allerdings behandelt. Die mathematische Herleitung der Portfolio Selection in diesem Fall ist im Gegensatz zu dem Fall ohne Leerverkäufe analytisch problemlos herzuleiten. Außerdem ist es in der Praxis durchaus möglich, Leerverkäufe zu tätigen, was diesen Fall ebenfalls interessant macht. 21

11

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

mit

µp : wi : µi : N:

Erwartete Portfoliorendite Anteil des Wertpapiers i im Portfolio Erwartungswert der Rendite des i´ten Wertpapiers Anzahl der Wertpapiere im Portfolio

Die erwartete Portfoliorendite kann auch in Matrizenform dargestellt werden. Hierzu sind die Matrix der Portfoliogewichte w, und die Matrix der erwarteten Wertpapierrenditen µ notwendig: [2.18]

µ P = w' µ R

mit

w' = (w1 , w2 ,....., wn )

µ R ' = (µ1 , µ 2 ,....., µ n )

und

Portfoliovarianz und Standardabweichung eines Portfolios

Das Risiko eines gesamten Portfolios wird nicht nur aus den Varianzen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio berechnet, sondern auch aus den Kovarianzen aller Anlagen untereinander. Die Varianz des Portfolios σP2 wird wie folgt berechnet: [2.19]

n n

Var [R P ] = σ P2 = ∑ ∑ wi ⋅ w j ⋅ σ ij i =1 j =1

mit

σP2: wi : wj : σij:

Varianz des Portfolios Gewichtung der Anlage i im Portfolio Gewichtung der Anlage j im Portfolio Kovarianz zwischen den Renditen der Anlagen i und j

Formel 2.20 stellt die Berechnung der Portfoliovarianz in Matrizenform dar. Dazu sind der Gewichtungsvektor w sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix ΣRR notwendig.

[2.20]

mit

12

σ P2 = w' Σ RR w

Σ RR

⎛ σ 12 = σ 11 σ 12 ⎜ 2 σ 2 = σ 22 ⎜ σ 21 =⎜ M M ⎜ ⎜ σ σ N2 N1 ⎝

σ 1N σ 2N

⎞ ⎟ L ⎟ ⎟ O M ⎟ L σ N2 = σ NN ⎟⎠ L

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

Aus der Formel 2.19 wird bereits ersichtlich, dass Wertpapiere mit niedrigen Kovarianzen σij das Portfoliorisiko kaum erhöhen und dass Wertpapiere mit negativen Kovarianzen das Portfoliorisiko sogar senken können.

Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen und der VarianzKovarianz-Matrix Der Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen µR ist ein kardinaler Aspekt in der Markowitz’schen Portfolio Selection. In dieser Arbeit wird der Vorschlag von Markowitz, empirische Durchschnittsrenditen zur Bestimmung des Renditevektors und empirische Kovarianzen zur Bestimmung der Varianz-KovarianzMatrix heranzuziehen, aufgegriffen.24 Die Güte dieser Schätzer ist allerdings fragwürdig, insbesondere was den Vektor der erwarteten Rendite angeht. Die empirische Varianz-Kovarianz-Matrix wird als stabiler erachtet und ist somit eher für diesen Zweck geeignet.25 Markowitz hält die Kombination von subjektiven Anlegerprognosen mit den systematischen Prognosen komplexerer statistischer Methoden für eine potenziell bessere Methode, um die Eingabefaktoren des Modells zu bestimmen. Nach der statistischen Ermittlung der Prognosewerte sollen die Inputs mit den Erwartungen des Investors kombiniert werden und somit neue, revidierte Eingabevektoren bilden.26 Prognoseverfahren, wie z. B. ARIMA,ARCH/GARCH, künstliche neuronale Netze u. a. wären zur Schätzung des Renditevektors und der Varianz-Kovarianz-Matrix denkbar.

2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ 2.2.3.1 Effiziente Portfolios Der Grundgedanke der Portfolio-Theorie von Markowitz ist die Reduzierung des Portfoliorisikos durch Diversifikation. Für den einfachen Fall eines Portfolios mit zwei Wertpapieren kann iterativ die Linie möglicher Portfolios in ein µ-σ-Diagramm aufgetragen werden, indem die Parameter Portfoliorendite und Portfoliorisiko für diverse unterschiedliche Gewichtungskombinationen [w1; w2] bestimmt werden. Die Abbildung 2.3 stellt die Kurven möglicher µ-σ-Kombinationen für das in Kruschwitz (2003) dargestellte Zwei-Wertpapier-Portfolio dar.27 Die erste Anlage besitzt eine erwartete Rendite von 0.083 und eine Renditestandardabweichung von 0.0424. Die zweite Anlage hat eine erwartete Rendite von 0.112 mit einer Standard24

vgl. Markowitz (1952), S. 91 vgl. Kleeberg (1995) 26 vgl. Markowitz (1952), S. 91 27 vgl. Kruschwitz (2003), S. 343 ff. 25

13

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

abweichung von 0.0567. Die verschiedenen gewölbten Kurven bilden für verschiedene Korrelationen ρ12 zwischen den beiden Wertpapieren die durch Mischung der beiden Wertpapiere realisierbaren µ-σ-Kombinationen ab.28 Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 349]

Bereits in einem Zwei-Wertpapier-Fall ist es möglich, durch Diversifikation ein Portfolio zu erhalten, dessen erwartete Rendite größer als diejenige der sichersten Anlage (Anlage 1), und dessen Risiko zugleich niedriger als das der sichersten Anlage ist. Es wird auch ersichtlich, dass der Diversifikationseffekt umso größer ist, je kleiner die Korrelation zwischen den beiden Anlagen ist. Aufgrund der Annahmen, dass Rendite etwas Gutes und Risiko etwas Schlechtes darstellt, können einige µ-σ–Kombinationen der Abbildung 3 von Beginn an als ineffizient klassifiziert werden. Die Definition eines effizienten Portfolios lautet: Ein Portfolio gilt als effizient, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das bei der gleichen erwarteten Rendite eine kleinere Volatilität besitzt oder bei gleicher Volatilität eine höhere erwartete Rendite generiert.29

Die Portfolios auf der durchgezogenen Linie in der Abbildung 2.4 stellen die effizienten Portfolios für das aufgeführte Beispiel dar. Die gestrichelte Linie repräsentiert die ineffizienten Portfoliomischungen. So wird beispielsweise das Portfolio A von dem Portfolio C dominiert, da C bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite besitzt. Das Portfolio mit der kleinsten möglichen Varianz ist durch Punkt B dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ– 28

Es wird von einer vollständigen Investierung des vorhandenen Kapitals ausgegangen, d. h. w1 + w2 = 1 29 vgl. Markowitz (1952), S. 82

14

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ–Kombination in Punkt B resultiert, bezeichnet man als Minimum-Varianz-Portfolio. Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 350]

2.2.3.2 Optimale Portfolios Ist die Kurve der effizienten Portfolios ermittelt, so stellt sich die Frage, welches Portfolio auf dieser Kurve für den Investor optimal ist. Markowitz geht von einem risikoaversen Anleger aus, der das für ihn nutzenmaximierende Portfolio wählen wird. Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 351]

Die Bestimmung des für einen Anleger optimalen Portfolios wird grafisch in der Abbildung 2.5 dargestellt. Wie bereits im Abschnitt 2.1.3 diskutiert wurde, bedeuten höhere Iso-Nutzenkurven für den Anleger auch einen höheren Nutzen. Dem Investor 15

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

können zwei verschiedene Portfolios den Nutzen U1 verschaffen. Diese Portfolios sind allerdings nicht optimal, da der Nutzen U2, der durch das Portfolio OP erreicht werden kann, höher ist. Der Nutzen U3 kann durch die vorhandenen Wertpapiere nicht erreicht werden. Dies ist in der Abbildung ersichtlich: Die Iso-Nutzenkurve U3 schneidet kein effizientes Portfolio. Das Portfolio OP stellt in der Abbildung das optimale Portfolio dar, da es von der höchstmöglichen Iso-Nurzenkurve tangiert wird.

2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall Das Zwei-Wertpapier-Beispiel liefert die Intuition hinter der Portfolio Selection von Markowitz. Kurven effizienter Portfolios können auch für den realistischeren Fall von mehr als zwei Anlagen bestimmt werden. Dies ist iterativ nicht mehr möglich, kann aber, wie in diesem Abschnitt gezeigt wird, für den Fall erlaubter Leerverkäufe mathematisch hergeleitet werden. Problematischer erweist sich die Bestimmung der effizienten Portfolios für den Fall ohne Leerverkäufe. Die resultierende Kurve ist nicht mit einer Funktion darzustellen und muss mit Methoden der quadratischen Programmierung bestimmt werden.30

Herleitung Im Folgenden wird für den Fall erlaubter Leerverkäufe die Herleitung der varianzminimalen Portfoliogewichte bei gegebener Portfoliorendite aufgeführt. Zu minimieren ist die Portfoliovarianz unter den Nebenbedingungen, dass der Erwartungswert vorgegeben ist (erste Nebenbedingung) und der Investor voll investiert ist (zweite Nebenbedingung)31. Jeder Lösungsvektor hierzu ist ein Portfolio auf dem effizienten Rand. Zur Vereinfachung der folgenden Terme wird unter denselben Nebenbedingungen die halbe Varianz minimiert. Dies ändert nichts an dem Endergebnis. Die Optimierungsaufgabe lautet: [2.21]

min w

[2.22]

u.d.N.

1 w' Σ RR w 2

µP − µR 'w = 0

und

30

In R eignen sich besonders die Funktionen portfolio.optim( ) und solve.QP( ) für die Ermittlung effizienter Portfoliokurven bzw. optimaler Portfolios. 31 1 ist eine N×N Einheitsmatrix.

16

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

N ∑ wi = w'1 = 1' w = 1 i =1 bzw. 1 − 1' w = 0 Die Lagrange-Funktion zu dem Minimierungsproblem lautet: [2.23]

[2.24]

L(w, λ1 , λ 2 ) =

1 w' Σ RR w − λ1 (µ R ' w − µ P ) − λ 2 (1' w − 1) 2

Die notwendigen Bedingungen für ein Minimum sind: [2.25] [2.26] [2.27]

∂L = Σ RR w − λ1µ R − λ2 1 ∂w ∂L = µ p − µR 'w ∂λ1 ∂L = 1 − 1' w ∂λ2

!

=0 !

=0 !

=0

Hinreichend für ein Minimum ist, dass ΣRR positiv definit ist. Unter der Annahme, dass Wertpapierrenditen linear unabhängig sind, ist dies der Fall.32 Ökonomisch bedeutet dies, dass man kein Portfolio zusammenstellen kann, das eine Varianz von null besitzt. Um dieses Gleichungssystem zu lösen, multipliziert man Formel 2.25 mit der Inversion der Varianz-Kovarianz-Matrix. [2.28]

1 −1 w P = λ1 Σ −RR µ R + λ2 Σ RR 1

Damit hat man eine Formel für den gesuchten Vektor w, allerdings sind die Lagrangemultiplikatoren λ1 und λ2 noch nicht bekannt. Um diese zu ermitteln, wird Formel 2.28 unter Beachtung von [2.26] und [2.27] jeweils mit µR und 1 multipliziert. Dadurch ergibt sich: [2.29]

1 1 µ R ' w p = λ1 µ R ' Σ −RR µ R + λ2 µ R ' Σ −RR 1= µp

[2.30]

−1 1 1' w P = λ1 1' Σ RR µ R + λ2 1' Σ −RR 1 =1

und

32

vgl. Lischka (1998), S. 55

17

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

Die Gleichungen [2.29] und [2.30] stellen ein lineares Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten λ1 und λ2 dar, da µR und ΣRR bekannt sind und µP ein Parameter ist. Im Folgenden werden die Skalare A, B, C und D definiert, um die weiteren Berechnungen zu vereinfachen. 1 1 [2.31] A := 1' Σ −RR µ R = µ R ' Σ −RR 1 [2.32]

1 B := µ R ' Σ −RR µR

>0

[2.33]

−1 C := 1' Σ RR 1

>0

[2.34]

D := BC − A 2

>0

Damit kann man das lineare Gleichungssystem in [2.29] und [2.30] vereinfachen: [2.35]

λ1 B + λ 2 A = µ P

[2.36]

λ1 A + λ2 C = 1

Jetzt können die beiden Lagrangemultiplikatoren durch Auflösung der Gleichungen [2.35] und [2.36] in Abhängigkeit von µP dargestellt werden: [2.37]

λ1 =

[2.38]

λ2 =

µ PC − A D

und

B − µP A D

Die zwei Parameter können nun in [2.28] eingesetzt werden. Die Portfolios, die für die erwartete Portfoliorendite µP die minimale Varianz haben, können so ausgedrückt werden:

[2.39]

λ2 λ1 647 48 647 48 ⎛ µ C − A ⎞ −1 ⎛ B − µ P A ⎞ −1 w P (µ P ) = ⎜ P ⎟ Σ RR µ R + ⎜ ⎟ Σ RR 1 D ⎠ D ⎝ ⎠ ⎝

Durch Umformen dieser Gleichung erhält man:

18

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ [2.40]

w P (µ P ) =

[(

)]

) (

[(

) (

)]

1 1 1 1 1 1 B Σ −RR 1 − A Σ −RR µ R + C Σ −RR µ R − A Σ −RR 1 ⋅ µP D D 14444244443 14444244443 a b

Wie schon angedeutet, werden jetzt die Vektoren a und b definiert, die konstant sind, da sie ausschließlich von µR und ΣRR und abhängen.

[(

) (

)]

[2.41]

a :=

1 1 1 B Σ −RR 1 − A Σ −RR µR D

[2.42]

b :=

1 1 1 C Σ −RR µ R − A Σ −RR 1 D

[(

) (

)]

Nachdem a und b definiert sind, kann man die Formel für die effizienten Portfoliogewichtungen als lineare Funktion der gewünschten Portfoliorendite so schreiben: [2.43]

w P (µ P ) = a + b µ P

Varianz der effizienten Portfolios Die Varianz eines beliebigen Portfolios auf dem effizienten Rand lässt sich wie die Varianz eines jeden Portfolios berechnen: [2.44]

σ P2 = w' Σ RR w

Durch Einsetzten von [2.43] erhält man: [2.45]

σ P2 = (a + bµ P )' Σ RR (a + bµ P )

Weitere Berechnungen ergeben: [2.46]

σ P2 =

B A C 2 + 2 ⋅ µP + µP D D D

Durch Umformung der Gleichung 2.46 ergibt sich: 2

[2.47]

C⎛ A⎞ 1 σ = ⎜ µP − ⎟ + D⎝ C⎠ C 2 P

19

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Kurve effizienter Portfolios Die Formel 2.47 kann auch nach der erwarteten Portfoliorendite aufgelöst werden. Man erhält die Formel für die erwartete Rendite eines Portfolios in Abhängigkeit von seiner Varianz: [2.48]

µP =

A D ⎛ 2 1⎞ ± ⋅ ⎜σ P − ⎟ C C ⎝ C⎠

Der effiziente Rand schließt den „minus“-Term aus, ein rationaler Investor würde bei gegebenem Risiko immer die Alternative mit dem höchsten Erwartungsnutzen wählen. Die Formel für den effizienten Rand lautet demnach: [2.49]

µP =

A D ⎛ 2 1⎞ + ⋅ ⎜σ P − ⎟ C C ⎝ C⎠

Beispiel In der Abbildung 2.6 sind die Kurven effizienter Portfolios eines beispielhaften VierWertpapier-Portfolios33 für den Fall ohne Leerverkäufe und für den soeben hergeleiteten Fall mit Leerverkäufen mittels der durchgezogenen Linien aufgeführt. Es wird ersichtlich, dass sich mit Leerverkäufen theoretisch bessere Portfolios erreichen lassen. Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes Vier-Wertpapier-Portfolio

33

Die erwartete Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix für die Wertpapiere A,B,C und D dieses Vier-Wertpapier-Beispielportfolios sind im Anhang B.1 aufgeführt.

20

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

2.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall Das Portfolio mit der minimalen möglichen Varianz MVP ist in der Portfoliooptimierung von besonderem Interesse. Wie nachfolgend gezeigt werden kann, hängen die Wertpapiergewichtungen bei diesem Portfolio nicht von den erwarteten Renditen, sondern nur von der historischen Varianz-Kovarianz-Matrix der Renditen ab. Da diese als stabiler gilt als der historische Renditevektor, sollten die varianzminimalen Portfolios auch stabiler sein als jedes andere effiziente Portfolio.34 Herleitung Die Varianz eines Portfolios in Abhängigkeit der erwarteten Rendite 2

C⎛ A⎞ 1 σ = ⎜ µP − ⎟ + D⎝ C⎠ C 2 P

besitzt ein offensichtliches Minimum für µP = A/C. Somit gilt für die erwartete Rendite und für das Risiko des Minimum-Varianz-Portfolios: [2.50]

µ MVP =

1 1 A µ R ' Σ −RR 2 = = Aσ MVP −1 C 1' Σ RR 1

[2.51]

2 σ MVP =

1 1 = 1 C 1' Σ −RR 1

und

Die Gewichtungen der Wertpapiere für das Minimum-Varianz-Portfolio sind nach der Gleichung [2.39] gegeben durch: 1 1 w MVP = λ1 ⋅ Σ −RR µ R + λ 2 ⋅ Σ −RR 1

[2.52]

A ⎞ ⎛ ⎛ A ⋅C − A⎞ ⎟ Σ −1 µ + ⎜ B − C ⋅ A ⎟ Σ −1 1 = ⎜⎜ C ⎟⎟ RR ⎟⎟ RR R ⎜⎜ D D ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 Σ RR 1 = 1 1' Σ −RR 1

21

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Beispiel In der Abbildung 2.7 sind für das Beispielportfolio der Abbildung 2.6 die MinimumVarianz-Portfolios MVP gekennzeichnet.

Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios

2.2.6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall Gemäß der Darstellung im Abschnitt 2.2.3.2 wird hier das optimale, nutzenmaximierende Portfolio OP für den Fall mehrerer Wertpapiere untersucht. Herleitung Es wird unter der Nebenbedingung, dass der Investor vollständig investiert ist, nach dem Portfolio auf der Kurve effizienter Portfolios gesucht, das den Nutzen des Investors maximiert. Das Optimierungsproblem lautet demnach:

max

U µ ,σ 2 (w' µ R , w' Σ RR w )

u.d .N .

w'1 = 1

[2.53]

Bevor dieses Problem angegangen wird, wird eine Kurzform für die Parameter der Nutzenfunktion definiert: [2.54]

34

vgl. Kleeberg (1995)

22

U (o ) := U µ ,σ 2 (w' µ R , w' Σ RR w )

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ Die Lagrangefunktion für das Optimierungsproblem lautet: [2.55]

L(w, δ ) = U (w' µ R , w' Σ RR w ) − δ (w'1 − 1)

Die notwendigen Bedingungen für die Maxima sind: [2.56]

∂U (o ) ∂L ∂U (o ) = µR + Σ RR w − δ 1 ∂w ∂µ ∂σ 2

[2.57]

∂L = w'1 − 1 ∂δ

!

=0

und !

=0

Die Auflösung der Bedingung [2.57] nach w liefert die Formel: [2.58]

w OP

1 Σ −RR ⎛ ∂U (o ) ⎞ ⋅ ⎜⎜ δ 1 − = µ R ⎟⎟ ∂U (o ) ⎝ ∂µ ⎠ 2 ∂σ

Multipliziert man diese Gleichung mit 1 unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung [2.57], erhält man den Wert für δ:

δ= [2.59]

= =

1 ⎛ ∂U (o ) ∂U (o ) ⎞ ⎜⎜ ⎟ + 1' Σ RR µ R 2 ∂µ ⎟⎠ 1' Σ RR 1 ⎝ ∂σ 1 ⎛ ∂U (o ) ∂U (o ) ⎞ ⎜⎜ ⎟ +A 2 C ⎝ ∂σ ∂µ ⎟⎠

∂U (o ) ∂U (o ) 2 σ MVP + µ MVP 2 ∂µ ∂σ

Dabei bleibt die Definition der Skalare unverändert zu den Formeln 2.31-2.34. Setzt man [2.59] in [2.58] ein, so ergibt sich:

[2.60]

w OP

∂U (o ) ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 1 ∂µ A ⎟ −1 ⎜ Σ 1− = + ⎜ C ∂U (o ) C ⎟ RR ⎜ ⎟ ∂σ 2 ⎝ ⎠

∂U (o ) ∂µ Σ −1 µ ∂U (o ) RR R ∂σ 2

23

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

bzw.

w OP

∂U (o ) Σ 1 A −1 ⎞ ∂µ ⎛ −1 ⋅ ⎜ Σ RR µ R − Σ RR 1⎟ = + ∂U (o ) ⎝ C C ⎠ ∂σ 2 −

−1 RR

Wenn die Gleichungen für das Minimum-Varianz-Portfolio [2.52] und für den Vektor b [2.42] eingesetzt werden, erhält man des Ergebnis:

∂U (o ) ∂µ C ⋅ b + ∂U (o ) D ∂σ 2 −

[2.61]

w OP = w MVP

Der Term

∂U (o ) ∂µ ∂U (o ) ∂σ 2

−

stellt den Umkehrwert der Grenzrate der Substitution MRS35 des Investors dar, so dass man auch schreiben kann:

[2.62]

w OP = w MVP +

C

D

MRS µ ,σ 2 (o )

⋅b

Beispiel Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel

35

vgl. Varian (2004), S. 47 f.

24

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

Die Abbildung 2.8 veranschaulicht die optimalen Portfolios in dem Vier-WertpapierBeispiel. Die zusätzlichen Linien entsprechen Iso-Nutzen-Linien des Typs in der Formel 2.15. Der Risikoaversionsparameter λ wurde auf 2.5 gesetzt. Es wird ersichtlich, dass das optimale Portfolio in dem Fall erlaubter Leerverkäufe den Anleger auf ein höheres Nutzenniveau bringt (U = 3.5), als das optimale Portfolio ohne Leerverkäufe (U = 2.7).

2.2.7 Modellkritik Die Portfolio-Selection-Theorie nach Markowitz beschäftigt sich mit der Portfoliooptimierung unter der simultanen Berücksichtigung der erwarteten Portfoliorendite auf der einen Seite und des eingegangenen Risikos in Form der Portfoliovarianz oder der Standardabweichung des Portfolios auf der anderen Seite. Der gesamte Vorgang der Portfolio Selection ist in der Abbildung 2.9 veranschaulicht. Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach MARKOWITZ Prognose der N erwarteten Renditen µR

Prognose der (N(N - 1))/2 + N Kovarianzen und Varianzen ΣRR

PORTFOLIOOPTIMIERUNG

Effiziente Portfolios

Restriktionen bezüglich des Vektors der Portfoliogewichte w

Ziele des Anlegers, z. B. Nutzenmaximierung

Optimales Portfolio

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Fabozzi/Gupta/Markowitz (2002), S. 8]

Die Gesamtzahl der zu schätzenden Inputs beläuft sich bei einem Portfolio mit N Aktien allgemein auf N(N+3)/2. So sind zum Beispiel bei der Optimierung eines Zehn-Wertpapier-Portfolios zehn erwartete Renditen, zehn Varianzen und 45 Kovarianzen zu prognostizieren. Insgesamt müssten in diesem Fall also 65 unbekannte Parameter geschätzt werden. Im Kern der Modernen Portfolio-Theorie nach Markowitz stehen die quantitative Beschreibung des Portfoliorisikos, die Analyse der Porfoliodiversifikation und die Ermittlung effizienter und optimaler Portfolios nach dem Grundsatz, für jede mögliche Portfoliorendite die Wertpapiermischung zu finden, welche die kleinste Rendite-

25

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

varianz verursacht. Dieser innovative Ansatz erlaubte es der Wissenschaft, die Analyse der Probleme der Geldanlage grundlegend voranzutreiben. Auf der Portfolio Selection baut beispielsweise mit dem Capital Asset Pricing Model das wohl bekannteste Kapitalmarktmodell auf. Dieses wird im Abschnitt 2.5.1 vorgestellt. Kritik an der Portfolio Selection wird vordergründig wegen des hohen Datenaufwandes geübt, welcher das in der Theorie elegante Modell für den praktischen Einsatz stark in Frage stellt.

2.3 Index-Modell von SHARPE 2.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE Die im Markowitz-Modell bestehende Datenproblematik hat 1963 zur Entwicklung des Indexmodells36 durch Sharpe geführt.37 Der Grundgedanke des Index-Modells ist die Reduzierung der zur Bestimmung der Effizienzkurve benötigten Inputgrößen. Die Korrelation wird nicht zwischen sämtlichen Anlagen paarweise, sondern zwischen jeder Anlage und dem Index berechnet. In der Praxis werden auf einem nationalen Markt häufig Korrelationswerte zwischen 0,3 und 0,9 beobachtet.38 Sharpe geht davon aus, dass fundamentale Ursachen die Gründe für diese positiven Korrelationswerte seien.39 Aus diesem Grund sollte ein repräsentativer Index die Renditeunsicherheit der Anlagewerte vollständig erklären können. Die Renditeentstehung kann demnach folgendermaßen modelliert werden40: [2.63]

Ri = ai + bi RI + ε i

mit:

Ri: a i: RI: b i: ε i:

36

Rendite der Aktie i Konstante, unternehmensindividuelle Rendite Rendite des Indexes, der die für alle Unternehmen bedeutsamen Ereignisse erfasst Sensitivität der Aktie i auf Änderungen von RI Titelspezifische Störkomponente41

Auch Single-Index-Modell oder Diagonalmodell genannt. vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 15 38 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16 39 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16 40 vgl. Sharpe/Gordon/Alexander (1995), S. 206 41 Unternehmensspezifische Ereignisse wie z. B. ein Brand beeinflussen die Rendite eines Unternehmens ebenfalls. Solche Unsicherheiten werden in der Gleichung durch die Störkomponente wiedergegeben. 37

26

2.3 Index-Modell von SHARPE Abbildung 2.10 stellt den Zusammenhang zwischen der Rendite eines Wertpapiers i und der Entwicklung des Marktindexes dar. Die Werte ai und bi werden mit einer linearen Regressionsgeraden geschätzt.

Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und Aktienrendite Aktienrendite Ri εit2

y x

bi=y/x

εit1 ai Indexrendite RI

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/Bruns (2000), S. 17]

Im Anhang A.1 befindet sich die Herleitung der Formeln für die erwartete Porfoliorendite und die Portfoliovarianz im Index-Modell von Sharpe. Die erwartete Portfoliorendite lautet: [2.64]

N E [RP ] = ∑ wi ai + bP E [RI ] i =1

mit

N bP = ∑ wi bi i =1

Die Portfoliovarianz setzt sich aus dem indexspezifischen bzw. systematischen Risiko und dem titelspezifischen bzw. unsystematischen Risiko zusammen. Sie ergibt sich im Index-Modell zu:

σ P2 = E [RP − E [RP ]]2 [2.65]

N = bP2σ I2 + ∑ wi2σ ε2i i =1

Diese Formeln sind nötig, um mit dem Index-Modell von Sharpe die Effizienzkurve zu berechnen. Es ist auch hier die Portfoliovarianz, bei gegebenen Renditeerwartungen und der Bedingung der vollständigen Investition in die zur Verfügung stehenden Anlagen, zu minimieren:

27

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

2

[2.66] u.d.N.

N ⎞ ⎛ N min! ⎜ ∑ wi bi ⎟ σ I2 + ∑ wi2σ ε2i ⎟ ⎜ i =1 ⎝i = 1 ⎠ N N E [RP ] = ∑ wi ai + ∑ wi bi E [Ri ] i =1 i =1 und

n

∑ wi = 1

i =1

Auf eine, wie im Modell von Markowitz dargestellte, ausführlichere Herleitung der Lösung dieser Minimierungsaufgabe wird verzichtet, da das Single-Index-Modell von Sharpe im empirischen Teil dieser Arbeit nicht weiter untersucht wird.

2.3.2 Modellkritik In der Abbildung 2.11 ist der Prozess der Portfolio-Optimierung nach dem SingleIndex-Modell veranschaulicht. Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im Index-Modell von SHARPE Prognose der N Sensitivitäten bi

Restriktionen bezüglich des Vektors der Portfoliogewichte w

Prognose der N titelspezifischen Renditen ai Prognose der N Varianzen σε12………σεN2

Effiziente Portfolios

PORTFOLIOOPTIMIERUNG

Prognose der Indexrendite E[RI] Prognose der Indexvarianz σI2

Ziele des Anlegers, z. B. Nutzenmaximierung

Optimales Portfolio

[Quelle: Eigene Darstellung]

Es sind insgesamt 3N+2 Daten zu schätzen. Bei einem Portfolio von zehn Wertpapieren beträgt der Prognoseaufwand also 32 Daten.42

42

Im Markowitz-Modell wären es 65 gewesen, allerdings steigt die Parameterzahl dort exponentiell mit der Aktienanzahl.

28

2.4 TOBIN-Separation Das Index-Modell von Sharpe berücksichtigt die offensichtliche Abhängigkeit der Wertentwicklung von Aktien auf einem Markt. Ein Aktienindex gibt in dem Modell die Umweltbedingungen auf dem Markt wieder. Die Performance jeder Aktie des Portfolios lässt sich durch die geschätzte Rendite des Indexes ableiten. Somit reduziert sich der Schätzaufwand im Vergleich zum Markowitz-Modell erheblich. Diesem reduzierten Prognoseaufwand steht allerdings ein deutlicher Informationsverlust gegenüber. Die Gültigkeit der Annahmen, die im Index-Modell über die Störkomponenten getroffen werden43, ist außerdem fragwürdig. So ist es vorstellbar, dass unternehmensindividuelle Renditeentwicklungen durchaus Auswirkungen auf andere Unternehmen haben können. In dem Fall würden sich aber im Index-Modell für die Varianzen und Kovarianzen nur approximative Werte ergeben.44

2.4 TOBIN-Separation James Tobin erweiterte 1958 die Theorie von Markowitz, indem er die Möglichkeit berücksichtigte, ein risikoloses Wertpapier in das Portfolio zu integrieren. Eine weitere Annahme seines Modell war die Existenz eines vollkommen vollständigen Kapitalmarktes45, an dem jeder Anleger die Möglichkeit zu unbegrenzter Kreditaufnahme hat.46 Die wichtigste neue Erkenntnis war, dass sich das Entscheidungsproblem des Anlegers in einer anderen Weise als bei dem von Markowitz behandelten Fall mit ausschließlich riskanten Investitionsmöglichkeiten in zwei Teile zerlegen oder separieren lässt. Im ersten Schritt wird die Zusammensetzung des risikobehafteten Wertpapierportfolios bestimmt. Dies passiert unabhängig von der jeweiligen Risikoneigung des Investors. Im zweiten Schritt entscheidet sich der Anleger, wie sehr das Risiko und der erwartete Gewinn dieses riskanten Portfolios durch Geldanlage oder Kreditaufnahme zum sicheren Zinssatz Rf, gemindert oder erhöht werden.47 Die erwartete Rendite eines Mischportfolios aus einer risikolosen Anlage und einer risikobehafteten Anlage hängt maßgeblich von dem Anteil α des Vermögens ab, das in das sichere Wertpapier investiert wird. Die folgende Formel veranschaulicht die erwartete Rendite, die ein Anleger mit einem solchen Mischportfolio erreichen kann: 43

siehe Anhang A.1 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 259 45 In einem vollkommenen Kapitalmarkt gibt es keine Arbitragemöglichkeiten, keine Transaktionskosten und keine Einschränkungen beim Short-Selling. Soll- und Habenzinsen sind gleich, und alle Wertpapiere sind beliebig teilbar. [siehe Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 13] 46 vgl. Schmidt (1996), S. 331 47 vgl. Schmidt (1996), S. 332 44

29

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

[2.67]

E [RP ] = α ⋅ R f + (1 − α ) ⋅ E [Rr ]

mit

E[RP]: α: Rf: Rr:

Erwartete Portfoliorendite Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage investiert wird Risikoloser Zinssatz Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage

Es ist mit einer risikolosen Anlage und einem gegebenen risikobehafteten Portfolio durch Kreditaufnahme, das heißt ein negatives α, oder die Anlage zum sicheren Zinssatz möglich, ein Mischportfolio zu bilden, dessen erzielbare Parameter µ und σ auf der Geraden liegen, welche die zwei Anlagen verbindet. Das beste riskante Portfolio in diesem Sinne ist dasjenige, welches es ermöglicht, für ein gegebenes Risiko die höchste erwartete Rendite zu erreichen. Die Abbildung 2.12 veranschaulicht, wie eine risikolose Anlage Rf mit einem ineffizienten risikobehafteten Portfolio INEFF und dem effizienten risikobehafteten Portfolio EFF kombiniert werden kann. Es wird ersichtlich, dass das effiziente risikobehaftete Portfolio bei der Tobin-Separation das Tangentialportfolio auf der Kurve effizienter Portfolios von Markowitz ist. Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 366]

Die Gerade effizienter Portfolios in der Tobin-Separation kann man demnach schreiben als: [2.68]

30

E [RP ] = R f +

E [REFF ] − R f

σ EFF

⋅σ P

2.5 Kapitalmarktmodelle Im nächsten Schritt sind die subjektiven Risikopräferenzen des Anlegers notwendig, um das Verhältnis der risikolosen Anlage und des risikobehafteten Portfolios im neuen optimalen Mischportfolio zu bestimmen. Jeder Anleger wird das Mischportfolio wählen, welches ihn auf das höchstmögliche Nutzenniveau bringt. Abbildung 2.13 verdeutlicht, welche µ-σ-Kombinationen der Anleger im Falle eines ausschließlich aus riskanten Wertpapieren zusammengestellten Portfolios und im Falle der TobinSeparation mit einer risikolosen Anlage wählen würde. Aus der Abbildung 2.13 wird ersichtlich, dass die Tobin-Separation dem Anleger ermöglicht, ein höheres Nutzenniveau zu erreichen als bei der Portfolio Selection von Markowitz mit ausschließlich risikobehafteten Wertpapieren. Im Anhang A.2 sind die Herleitungen des effizienten Tangentialportfolios EFF und der Geraden effizienter Portfolios nach Tobin aufgeführt. Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MARKOWITZ

[Quelle: Eigene Darstellung]

2.5 Kapitalmarktmodelle In den Modellen von Markowitz und Tobin wird aus mehreren Wertpapieren die Kurve effizienter Portfolios und das Tangentialportfolio ermittelt. Im Folgenden Schritt wird ein für den Anleger optimales Portfolio ermittelt, indem seine Nutzenfunktion maximiert wird. Diese Ansätze sind normativ, da sie besagen, wie sich ein individueller Investor verhalten soll. Die Kapitalmarktmodelle versuchen vorder-

31

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle gründig zu erklären wie Wertpapierpreise zustande kommen. Diese Theorien sind explikativer Natur.48 Der klassische Ansatz der Kapitalmarkttheorie ist das 1964-1966 von Sharpe, Lintner und Mossin49 entwickelte Capital Asset Pricing Model CAPM. Außerdem wird die, auf einer anderen theoretischen Basis entwickelte Arbitrage Pricing Theory APT behandelt.

2.5.1 Capital Asset Pricing Model 2.5.1.1 Annahmen Die grundlegende Annahme des Modells besagt, dass sich Anleger dem Modell der Modernen Portfolio-Theorie gemäß verhalten. Folgende Annahmen des CAPM wurden bereits im Rahmen der Portfolio-Theorie getroffen50: -

Investoren bewerten Investitionen nach deren erwarteter Rendite und nach dem Risiko über eine bestimmte Periode. Investoren sind nie gesättigt. Investoren verhalten sich risikoavers. Wertpapiere sind unendlich teilbar. Es existiert eine sichere Anlage. Steuern und Transaktionskosten werden nicht berücksichtigt.

Außerdem werden im CAPM zusätzliche Annahmen aufgestellt: -

Alle Investoren haben denselben einperiodigen Planungshorizont. Der sichere Zinssatz ist für sämtliche Investoren identisch. Informationen sind frei und sofort verfügbar. Investoren haben homogene Erwartungen bezüglich µ, σ2 und σij.

2.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie Der erste Schritt zur Konstruktion des CAPM besteht in der Ermittlung der Kapitalmarktlinie. Der Aufbau der Kapitalmarktlinie erfolgt analog zur Tobin-Separation51, allerdings stellt die Kapitalmarktlinie durch die zusätzlichen Annahmen des CAPM, die Linie effizienter Portfolios für sämtliche Investoren dar. Die individuellen Portfolios unterscheiden sich nur noch durch die verschiedenen Mischverhältnisse zwi48

vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 261 Perridon/Steiner (1999), S. 260 beziehen sich auf: Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966) 50 vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 261 51 siehe Abschnitt 2.4 und Anhang A.2 49

32

2.5 Kapitalmarktmodelle schen der sicheren Anlage und dem risikobehafteten Portfolio.52 Durch die getroffenen zusätzlichen Annahmen wird das risikobehaftete Portfolio jedes Anlegers dieselbe Struktur besitzen. Dieses Portfolio wird auch Marktportfolio genannt.53 Wenn von der Gültigkeit des CAPM ausgegangen wird, so können die Wertpapiergewichtungen des riskanten Portfolios aus den relativen Marktkapitalisierungen der in ihm vorhandenen Assets bestimmt werden; wenn jeder Investor die Wertpapiere zu einem identischen Verhältnis kauft, so wird das Verhältnis, zu dem die Gesamtheit der Investoren diese Anlagen besitzen, demjenigen jedes Anlegers entsprechen. Ähnlich wie bei der Tobin-Separation ist die Formel der Kapitalmarktlinie: [2.69]

E[ R P ] = R f +

mit:

E[RP]: Rf: E[RM]: σ M: σP:

E [RM ] − R f

σM

σP

Erwartete Rendite des Portfolios Risikoloser Zinssatz Erwartete Rendite des Marktportfolios Standardabweichung des Marktportfolios Standardabweichung des Portfolios

Die Steigung der Kapitalmarktlinie beträgt: [2.70]

m KML =

E [RM ] − R f

σM

Sie stellt den Marktpreis für eine Änderung des Risikos um eine Einheit σ dar und wird aus diesem Grund auch als Marktpreis des Risikos bezeichnet.54 Graphisch entspricht die Kapitalmarktlinie der Geraden effizienter Portfolios der Tobin-Separation und ist in der Abbildung 2.12 veranschaulicht. Durch die Annahmen des CAPM kann das effiziente risikobehaftete Portfolio EFF als Marktportfolio bezeichnet werden. 2.5.1.3 Die Wertpapierlinie Die Wertpapierlinie ist die entscheidende Erweiterung der Portfolio-Theorie und stellt das Grundmodell des CAPM dar. Sie veranschaulicht den Zusammenhang zwischen erwarteter Wertpapierrendite und Risiko des Wertpapiers, der im Marktgleich52

vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 23 54 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 265 53

33

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle gewicht immer gegeben sein muss. Eine ausführliche Herleitung der Wertpapierlinie befindet sich im Anhang A.3. Die Wertpapierlinie lautet:

] σσ

[

[2.71]

E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅

mit:

Rf: E[Ri]:

iM 2 M

Risikoloser Zinssatz Erwartete Rendite des Wertpapiers i im Marktgleichgewicht Erwartete Rendite des Marktportfolios Kovarianz des Wertpapiers mit dem Marktportfolio Renditevarianz des Marktportfolios

E[RM]: σiM2: σM2:

Demnach kann für eine einzelne risikobehaftete Investition im Kapitalmarktgleichgewicht eine Rendite erwartet werden, die aus der risikolosen Rendite und einer Risikoprämie zusammensetzt ist. Die Risikoprämie ergibt sich aus dem Produkt des Marktpreises des Risikos55 [E[RM]-Rf] mit der Höhe des Risikos der einzelnen Anlage, die durch den Ausdruck σiM/σM2 gemessen wird. Für dieses Risikomaß hat sich der Ausdruck des Betafaktors β durchgesetzt. Es gilt: [2.72]

βi =

σ iM σ = ρ iM i 2 σM σM

Schließlich kann die Standardgleichung des CAPM aufgestellt werden: [2.73]

[

]

E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅ β i

Die Wertpapierlinie ist in der Abbildung 2.14 veranschaulicht. Basierend auf der Kapitalmarktlinie beantwortet sie die Fragestellung, wie ein einzelnes Wertpapier im Marktgleichgewicht zu bewerten ist. Befindet sich ein Wertpapier oberhalb der Wertpapierlinie, so gilt es als unterbewertet. Anleger werden diesen günstigen Preis des Wertpapiers nutzen und es kaufen. Durch diese erhöhte Nachfrage wird allerdings der Preis der Anlage steigen und konsequenterweise die Rendite der Anlage fallen. Für überteuerte Wertpapiere, die sich unter der Wertpapierlinie befinden, gilt dieser Gedankengang umgekehrt. Das CAPM-Gleichgewicht geht demnach davon aus, dass sich die Rendite eines Wertpapiers durch seinen Beta-Faktor vollständig

55

in der angelsächsischen Literatur: Market Risk Premium

34

2.5 Kapitalmarktmodelle erklären lässt, sowie dass Ungleichgewichte auf dem Markt nur kurzfristig bestehen können und schließlich wieder zum Gleichgewicht tendieren.

Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie Aktienrendite Ri

Wertpapierlinie

E[RM]

Rf Beta-Faktor βi der Aktie i

βM=1

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/Bruns (2000), S. 27]

2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches Risiko Im Anhang A.1 wurde die Formel zur Festlegung des Portfoliorisikos deriviert. Das Portfoliorisiko im Index-Modell ergibt sich zu: [2.74]

σ P2 =

bP2σ I2 123

+

SYSTEMATISCHES RISIKO

N 2 2 ∑ wi σ ε i i1=4124 3

UNSYSTEMATISCHES RISIKO

Das Portfoliorisiko lässt sich aus einem Term für das systematische, also vom Markt abhängige, Risiko und einem Term für das unsystematische, wertpapierspezifische Risiko bestimmen. Die Konvergenz des Portfoliorisikos gegen das systematische Risiko wird mit steigender Anzahl an Wertpapieren im Portfolio deutlich: SYSTEMATISCHES RISIKO

[2.75]

lim σ P2 =

N →∞

64748 lim bP2σ I2 N →∞

0 6447 44 8 N 2 2 + lim ∑ wi σ ε i N →∞ i =1

= bP2σ I2 bzw. im CAPM:

35

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle lim σ P2 = β P2σ I2

N →∞

[2.76] mit

N

β P = ∑ wi ⋅ β i i =1

Die Eliminierung des unsystematischen Risikos ist demnach umso effektiver, je diversifizierter das Portfolio ist. Die Abbildung 2.15 veranschaulicht die Entwicklung des Portfoliorisikos bei steigender Diversifikation. Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko bei steigender Diversifikation Portfoliorisiko σP2 UNSYSTEMATISCHES RISIKO

SYSTEMATISCHES RISIKO

Anzahl der Aktien im Portfolio

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Sharpe/Alexander/Bailey (1995)]

2.5.1.5 Modellkritik Das CAPM stellt das wichtigste Modell zur Erklärung von Wertpapierrenditen in Abhängigkeit von deren Risiko und zur Analyse der Risikoreduktion durch Diversifikation dar. Die Aussage, dass Investoren lediglich für die Aufnahme von systematischem Risiko vom Markt in Form von erwarteter Rendite belohnt werden und dass unsystematisches, diversifizierbares Risiko keine Risikoprämie verursacht, ist eine wichtige Erkenntnis in der Kapitalmarkttheorie. Seit der Entwicklung durch Sharpe, Lintner und Mossin wurde das CAPM in zahlreichen Untersuchungen auf seine empirische Gültigkeit getestet. Das Modell konnte bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden. Hervorzuheben sind die vielen und zum Teil unrealistischen Annahmen, auf die sich das Modell stützt. Des Weiteren ist die Stationarität der Modellparameter, vor allem des Beta-Faktors, im Zeitablauf nicht gegeben.56 Die zentrale Aussage der Kapitalmarktlinie beschreibt daher nicht das reale Anlegerverhalten, sondern verdeutlicht die Gleichgewichtsbe 56

vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 28 f.

36

2.6 Performance-Messung von Portfolios dingungen für die Unabhängigkeit von Investitionsentscheidungen von persönlichen Rendite-Risiko-Präferenzen.57

2.5.2 Arbitrage Pricing Theory Die Basis der Arbitrage Pricing Theory APT ist nicht mehr die Portfolio-Theorie, sondern ein in sich geschlossenes Arbitragegebäude.58 Eine ausführliche Behandlung der APT gehört demnach nicht in diese Arbeit; da sie aber in der Literatur die geläufigste Alternative zum CAPM darstellt, wird deren Grundgedanke im Folgenden kurz dargestellt. Die von Ross 1976 entwickelte Arbitrage Pricing Theory basiert auf einem anderen Ansatz als das CAPM, bei dem die Erklärung von Wertpapierrenditen lediglich auf der Rendite und das Risiko des Marktportfolios zurückgeführt wird. Die APT erklärt Wertpapierrenditen anhand mehrerer Faktoren, sie kann in folgender Form geschrieben werden:

[2.77]

E [Ri ] = R f + (E [F1 ] − R f )β i1 + (E [F2 ] − R f )β i 2 + K + (E [FK ] − R f )β iK 14444444444244444444443 Risikoprämie = R f + ∑ (E [Fk ] − R f )β ik K

k =1

E[Fk] entspricht der erwarteten Rendite eines Portfolios, welche vom k-ten Faktor abhängt und von allen anderen Faktoren vollkommen unabhängig ist. Der Betafaktor βik ist das Sensitivitätsmaß der Aktienrendite gegenüber dem k-ten Faktor. Der Vorteil, der durch die APT hervorgehen soll, ist die Erklärung der Risikoprämien von Wertpapieren aus mehreren wirtschaftlichen Einflussgrößen.59

2.6 Performance-Messung von Portfolios Unter Performance-Messung ist die Beurteilung und der Vergleich des relativen Anlageerfolgs von Portfolios zu verstehen. In der Praxis kann durch die PerformanceMessung die Leistung von Portfoliomanagern quantifiziert und verglichen werden.60

57

vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 30 59 vgl. Kruschwitz (2003), S. 370 60 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 567 f. 58

37

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle In der Entwicklung neuer Portfoliokonzepte können verschiedene Ansätze auf ihre Güte getestet werden und gegebenenfalls verbessert oder ausgeschlossen werden. Die Besonderheit der verschiedenen Methoden zur Performance-Messung liegt in der zweidimensionalen Rendite-Risiko-Beurteilung der Portfolios. Eine im PortfolioManagement typische Aussage, ein bestimmtes Portfolio habe seine Benchmark geschlagen, ist aufgrund der alleinigen Betrachtung der Portfoliorendite, unbrauchbar: Das gesamte Kapital würde in das Portfolio mit der höchsten Überperformance investiert werden. Die Festlegung einer Benchmark, an der die Performance eines Portfolios gemessen wird, ist von großer Bedeutung. Ein Vergleich der Portfolios mit einer Benchmark erfolgt in sämtlichen der in diesem Abschnitt vorgestellten Performancemaße. Nach Sharpe sollte eine Benchmark folgenden Anforderungen gerecht werden: 61 -

Bei der Benchmark sollte es sich um eine real erwerbbare Anlagealternative handeln. Die Benchmark sollte sehr gut diversifiziert und deshalb schwer risikoadjustiert zu schlagen sein. Der reale Erwerb der Benchmark sollte kostengünstig durchzuführen sein. Die Benchmark sollte vor dem Zustandekommen von Anlageentscheidungen festgelegt sein.

-

Im Folgenden werden die gängigen Maße zur Quantifizierung der Performance von Portfolios aufgeführt.

SHARPE-Ratio Die Sharpe-Ratio, auch Reward to Variability Ratio genannt, diskontiert die Überrendite gegenüber dem risikolosen Zinssatz mit dem Risiko des Portfolios. Die Formel zur Festlegung der Sharpe-Ratio lautet:62 [2.78]

SR P =

RP − R f

σP

Verbal drückt die Sharpe-Ratio die erzielte Risikoprämie je Einheit des Gesamtrisikos aus. Die Portfolioperformance ist demnach umso besser einzustufen, je höher der Wert der Sharpe-Ratio ist. Vergleicht man die Formel 2.77 mit der Formel 2.70, so wird ersichtlich, dass der Wert der Sharpe-Ratio einem Ex-post-Anstieg der Kapi61 62

vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 574 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295

38

2.6 Performance-Messung von Portfolios talmarktlinie entspricht. Portfolios lassen sich über die Sharpe-Ratio miteinander vergleichen. Portfolios mit einer höheren Sharpe-Ratio gelten als risikoadjustiert effizienter als Portfolios mit einer niedrigen Sharpe-Ratio.63

TREYNOR-Koeffizient Der Treynor-Koeffizient ist auch unter der Bezeichnung Reward to Volatility Ratio bekannt. Dieser Koeffizient stützt sich ebenfalls auf das CAPM, berücksichtigt jedoch statt der Volatilität des Portfolios dessen systematisches Risiko. Die Formel des Treynor-Koeffizienten lautet:64 [2.79]

TK P =

RP − R f

βP

Je höher das Performancemaß von Treynor bei einem Portfolio ausfällt, desto besser wurde die Übernahme systematischen Risikos belohnt. Portfolios mit einem höheren Treynor-Koeffizienten werden in der Performance-Messung besser abschneiden als Portfolios mit niedrigeren Werten. JENSEN-Alpha Das Jensen-Alpha, auch Differential Return genannt, bietet eine alternative Herangehensweise für die Performance-Messung von Portfolios. Auch dieser Ansatz stützt sich auf das Modellgerüst des CAPM. Die verbuchte Überrendite eines Portfolios wird mit der erwarteten Überrendite dieses Portfolios verglichen. Die Formel hierzu lautet:65 [2.80]

JAP = (RP − R f ) − (R BM − R f ) ⋅ β P + ε PF

mit

E [ε PF ] = 0

Jensens Alpha misst die Performance eines Portfolios relativ zum Markt. Das Verfahren eignet sich jedoch nicht zu einem Vergleich von Portfolios mit unterschiedlchem systematischem Risiko und ist eher als absolutes Maß zur Beurteilung der Leistung von Portfoliomanagern einzusetzen.66 Die Performance-Maße von Jensen und Treynor verwenden das systematische Risiko bei der Risikoabdiskontierung. Ein gut diversifiziertes Portfolio, das denselben Beta63

vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 576 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295 65 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 582 66 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 294 64

39

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Faktor besitzt wie ein zweites, schlechter diversifiziertes Portfolio, würde mit demselben Faktor abdiskontiert werden. Dies ist keine faire Beurteilung, da das Portfolio mit dem kleineren unsystematischen Risiko ein kleineres Risikomaß besitzen sollte. Sowohl dem Jensen-Alpha als auch dem Treynor-Koeffizienten können dieselben Kritikpunkte wie dem CAPM angelastet werden.67 Eine relative Beurteilung unterschiedlicher Portfolios ist lediglich mit den Verfahren von Sharpe und Treynor möglich. In dem empirischen Teil dieser Arbeit werden die Portfolio-Management-Techniken durch die Analyse ihrer Sharpe-Ratios miteinander verglichen.

2.7 Fazit In diesem Kapitel wurden die Grundlagen der Modernen Portfolio- und Kapitalmarkt-Theorie dargestellt. Diese Theorien haben das Wertpapiermanagement revolutioniert und die akademische Untersuchung der Wertpapier- und Kapitalmärkte möglich gemacht. Der Ökonomie-Nobelpreis „for their pioneering work in the theory of financial economics”, der 1990 an Markowitz68, Sharpe69 und Miller70 ging, unterstreicht die Relevanz der aufgeführten Theorien. Bis zur Veröffentlichung des Artikels Portfolio Selection von Markowitz im Jahre 1952 gab es keine fundierte wissenschaftliche Erklärung für die in der Praxis betriebene Diversifikation von Wertpapierportfolios. Die Erkenntnis, dass Wertpapiere, die besonders niedrige Korrelationen zueinander aufweisen das Portfoliorisiko erheblich senken können, und die Ermittlung effizienter Wertpapiermischungen gehen auf Markowitz zurück. Die Portfolio Selection nach Markowitz war die Ausgangstheorie, nach der sich die gesamte Moderne Portfolio-Theorie und das CAPM von Sharpe, Lintner und Mossin entwickeln ließen. In der akademischen Welt gilt das CAPM als Grundgerüst der Kapitalmarkttheorie. Die zentralen Aussagen des CAPM sind die Vergütung für die Aufnahme von systematischem, das heißt marktabhängigem Risiko, und die Möglichkeit, unsystematisches Risiko vollständig wegzudiversifizieren.

67

vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295 für “Foundations of Portfolio Theory” 69 für “Capital Asset Prices with and without Negative Holding” 70 für „Leverage“ 68

40

2.7 Fazit Andererseits bauen sowohl die Portfolio Selection als auch das CAPM auf vielen und zum Teil unrealistischen Annahmen auf. Der erhebliche Datenaufwand, insbesondere bei der Portfolio-Optimierung nach Markowitz, macht einen Einsatz des Modells in der Praxis kompliziert. Lösungsansätze dieser Datenproblematik, wie das IndexModell von Sharpe, reduzieren zwar den Datenaufwand, führen jedoch zu einem entsprechenden Informationsverlust. Ein weiterer Kritikpunkt, der an der MittelwertVarianz-Optimierung geübt wird, ist die Tatsache, dass sobald ein Wertpapier aufgrund der geschätzten Daten den anderen Anlagen des Portfolios im Rendite-RisikoKontext überlegen ist, die Optimierungsroutine dieses Wertpapier deutlich übergewichten wird. Fehler in den geschätzten Renditen haben somit einen starken Einfluss auf die Gestaltung und Performance des Portfolios. Da aber Fehler in der Renditeeinschätzung im Wertpapiermanagement durchaus vorkommen, ist die Kurve effizienter Portfolios ex ante nicht zu bestimmen.

41

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN 3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ Die im Kapitel 2 dargestellte Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz stellt eine quantitativ generell anerkannte Methode dar, um den Trade-off zwischen den zwei Grundzielen der Renditemaximierung und der Risikominimierung bei Investitionen zu erklären. Dieser Ansatz bildet nach wie vor das akademische Grundgerüst der Portfoliotheorie. In der Praxis konnte sich der Markowitz’sche Ansatz aufgrund diverser schwerwiegender Probleme allerdings nur eingeschränkt durchsetzen. Die vier Hauptprobleme bei der Anwendung des klassischen Ansatzes sind:71 Extreme Portfolioallokationen Häufig beinhalten optimierte Portfolios sowohl auf der Long-Seite als auch auf der Short-Seite extreme Portfoliogewichte. Diese Gewichte könnten in der Praxis bereits aus institutionellen und rechtlichen Gründen nicht umgesetzt werden.72 Die Mittelwert-Varianz-Optimierung tendiert auch bei Portfolios mit Restriktionen, wie zum Beispiel der Ausschluss von Leerverkäufen, zu extremen Portfoliogewichten. Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne Leerverkäufe Mit Leerverkäufen

Ohne Leerverkäufe

In der Abbildung 3.1 sind die Markowitz-Gewichte73 eines Sieben-WertpapierPortfolios aus den Aktien des DAX mit der höchsten Marktkapitalisierung darge

71

Vgl. He/Litterman (1999), S. 2 f. und Drobetz (2002), S. 4 ff. vgl. Drobetz (2002), S. 6 73 Nutzenmaximierendes Portfolio mit U= µ - 0.5 λ σ2; Der Risikoaversionsparameter wurde auf λ = 200 gesetzt, um das Beispiel anschaulicher zu machen. 72

42

3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ stellt.74 In der ersten Tabelle wurden Leerverkäufe, in der zweiten nur Longpositionen erlaubt. Beide Portfolios weisen eine hohe Konzentration auf. Die SIE-Aktie wird aufgrund ihrer sehr hohen historischen Rendite bei relativ niedriger Volatilität75 stark übergewichtet. In dem ersten Portfolio der Abbildung 3.1 werden einige Werte stark geshortet, um eine erhöhte Beteiligung an den historisch stärkeren Aktien zu ermöglichen. Sensitivität der Portfoliogewichte Ein weiteres Problem stellt die starke Sensitivität der Portfoliogewichte gegenüber Veränderungen der Inputfaktoren dar. Besonders Veränderungen der erwarteten Renditen führen zu unrealistisch großen Umschichtungen im Portfolio. Dies hat zum einen die Folge hoher Transaktionskosten, zum anderen steht eine zu hohe Umschichtungsfrequenz für inkonsistentes Portfolio-Management und ist nach außen nur schwer kommunizierbar.76 Die Abbildung 3.2 verdeutlicht diese Problematik. Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit Leerverkaufsrestriktionen auf eine revidierte Renditeprognose

Die erwartete Rendite für das Jahr 2004 der SIE-Aktie wurde ceteris paribus um zehn Prozent erhöht. Die grauen Balken stellen die Portfoliogewichte vor der Revision der 74

Es handelt sich dabei, geordnet nach der Marktkapitalisierung, um folgende Werte: Siemens AG (SIE), Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON AG (EOA), Daimler Chrysler AG (DCX), SAP AG (SAP) [Stand: 30.12.2003]. Im Anhang B.3.3 sind die Marktkapitalisierungen der 15 größten DAX-Aktien veranschaulicht. Die historischen Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix wurden über die letzten 100 Börsentage des Jahres 2003 ermittelt (08.08.03-30.12.03) und auf Jahresrenditen bzw. Jahresvolatilitäten hochgerechnet. Die zugehörigen Matrizen befinden sich im Anhang B.2. Die Gewichte dieses Sieben-Wertpapier-Portfolios beziehen sich somit auf das Jahr 2004. Dieses Sieben-WertpapierPortfolio wird auch in den folgenden Abschnitten als Beispielportfolio zur Illustration verschiedener Eigenschaften des Markowitz’schen Ansatzes sowie des Black-Litterman-Ansatzes herangezogen. 75 siehe Anhang B.2 76 vgl. Drobetz (2002), S. 7

43

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN Renditeerwartung dar. Die schwarzen Balken zeigen die Gewichte unter der revidierten Renditeerwartung. Analog zur Abbildung 3.1 sind in dem ersten Portfolio Leerverkäufe erlaubt, in dem zweiten hingegen nicht. Die nach oben korrigierte Renditeerwartung für SIE bewirkt in beiden Portfolios starke Umschichtungen, welche die Konzentration auf wenige Wertpapiere verstärken. Informationsaggregation Der Markowitz’sche Ansatz erfordert die Spezifikation der Renditeerwartungen sämtlicher Wertpapiere sowie die dazugehörige Varianz-Kovarianz-Matrix. Die Schwierigkeit, qualitativ gute Renditeprognosen zu erstellen, und die Tatsache, dass Portfoliomanager in der Regel nur in ausgewählten Wertpapierklassen über verlässliche Renditeerwartungen verfügen, stellt die Portfoliomanager bei der Zusammenstellung der Eingabematrizen für die Mittelwert-Varianz-Optimierung vor eine große Herausforderung.77 Keine Möglichkeit, Aussagen über die Prognosegüte zu treffen Portfoliomanager haben durch den Einsatz verschiedener Analyseinstrumente bezüglich ihrer Prognosen häufig verschiedene Konfidenzen. Derartige Unterschiede in der Güte der Prognosen können in dem Markowitz-Formalismus nicht berücksichtigt werden. Diese Probleme, die durch den praktischen Einsatz der klassischen Portfoliotheorie aufkommen, führen dazu, dass das Modell in der Praxis nur bedingt umgesetzt werden kann. Der Versuch, das Modell durch verschiedene Restriktionen realistischer zu machen, ist oft mit einem unverhältnismäßigen Aufwand verbunden. Für Black und Litterman war dies der Anstoß, ein Portfolio-Management-Modell zu entwickeln, das die oben angesprochenen Defizite des klassischen Ansatzes besser löst.78

3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens In diesem Abschnitt wird die grundsätzliche Vorgehensweise des Black-LittermanVerfahrens beschrieben, in den folgenden Abschnitten kann dann die Vorgehensweise formalisiert werden. Das Black-Litterman-Verfahren orientiert sich ständig an einem von dem Portfoliomanager a priori festgelegten Referenzportfolio. Dieses Portfolio soll dem langfristigen Anlegerverhalten des Investors entsprechen. Hat der Portfoliomanager keine 77 78

vgl. Drobetz (2002), S. 5 vgl. He/Litterman (1999), S. 3

44

3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens Erwartung bezüglich künftiger Renditeentwicklungen von Wertpapieren in seinem Portfolio, stimmt er indirekt den impliziten Renditeerwartungen zu. Dies führt dazu, dass die Gewichtungen der Wertpapiere in dem Portfolio denen des Referenzportfolios entsprechen. Das Black-Litterman-Verfahren erlaubt, eine beliebige Anzahl von Renditeprognosen unter Berücksichtigung der Prognosequalität in die Portfoliooptimierung zu integrieren. Es können sowohl absolute Prognosen über erwartete Renditeniveaus von einem Wertpapier als auch relative Prognosen über stärker und schwächer performende Wertpapiere in das Verfahren integriert werden. Das Ergebnis des Prozesses ist ein revidierter Renditevektor, der von dem Vektor der impliziten Renditen in Richtung der Renditeerwartungen abweicht. Dieser revidierte Renditevektor kann schließlich einer Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine überführt werden. Als Ergebnis des Black-Litterman-Verfahrens erhält man intuitive Veränderungen in den Portfoliogewichten, die konsistent mit den subjektiven Prognosen sind, und deshalb in der Praxis leichter umgesetzt werden können. Festzuhalten bleibt, dass es sich bei dem Black-Litterman-Ansatz nicht um eine alternative Optimierungstechnik handelt. Das Black-Litterman-Verfahren ist eine Methode, um ausgehend von einem neutralen Referenzportfolio die Renditeprognosen den eigenen Renditeerwartungen in einer sehr flexiblen Art anzupassen. Abbildung 3.3 fasst die Black-Litterman-Vorgehensweise zusammen: Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz Marktgewichte oder Strategische Referenzgewichte

Renditeprognosen der Portfoliomanager

Referenz-oder Gleichgewichtsrenditen: implizite Renditeerwartungen

Güte der Renditeprognosen

Revidierte Black-Litterman-Renditeerwartungen

Mittelwert-Varianz-Optimierung

Black-Litterman-Portfoliogewichte [Quelle:Eigene Darstellung in Anlehnung an Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap.10-S. 13]

45

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN

3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens Der innovative Ansatz des Black-Litterman-Verfahrens (1992) hat die Zielsetzung, die im Abschnitt 3.1 aufgeführten Schwächen der Portfoliooptimierung nach Markowitz zu verhindern, und somit ein Modell zu schaffen, das für den Einsatz in der Praxis besser geeignet ist. Die wichtigste Eigenschaft des Black-Litterman-Modells ist die Möglichkeit, implizite Renditen, welche im Folgenden erklärt werden, mit subjektiven Erwartungen über Kursentwicklungen von Wertpapieren im Portfolio konsistent zu verbinden.79 Die impliziten Renditen, welche den Ausgangspunkt des Black-LittermanVerfahrens bilden, werden durch eine Umkehroptimierung deriviert. Im ersten Schritt muss der Portfoliomanager die mittel- bis langfristigen Portfoliogewichte der Wertpapiere seines Portfolios festlegen. Diese Referenzgewichte können den Gleichgewichtsgewichten, wie sie dem CAPM-Modell zugrunde liegen, entsprechen oder aber auch Gegenstand strategischer Überlegungen des Portfoliomanagers sein.80 Black und Litterman schlagen vor, die aus den Marktkapitalisierungen resultierenden impliziten Gleichgewichtsrenditen als Ausgangspunkt für das Black-LittermanVerfahren zu verwenden: “Our model does not assume that the world is always at the CAPM equilibrium, but rather that when expected returns move away from their equilibrium values, imbalances in markets will tend to push them back. Thus, we think it is reasonable to assume that expected returns are not likely to deviate too far from equilibrium values. This intuitive idea suggests that the investor may profit by combining his views about returns in different markets with the information contained in the equilibrium.”81

Ein nutzenmaximierender Portfoliomanager mit einer Nutzenfunktion gemäß der Formel 2.15 erhöht in dem Markowitz-Verfahren seinen Nutzen durch die optimale Aufteilung seines Budgets auf die Wertpapiere im Portfolio, bei gegebenen erwarteten Renditen µ und bei gegebener Varianz-Kovarianz-Matrix Σ der Renditen. Ohne Restriktionen hat die Maximierungsaufgabe folgende Form: [3.1]

max w

mit der Lösung:

79

vgl. Drobetz (2002), S. 11 vgl. Drobetz (2002), S. 11 f. 81 Black/Litterman (1991), S. 3 80

46

w' µ −

λw' Σw 2

3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgaangspunkt des BLACKLITTERMAN-Verfahrens [3.2]

(

)

w* = λΣ −1 µ

Im Black-Litterman-Verfahren ist aber vorerst w* schon bekannt, sei es durch das CAPM-Gleichgewicht, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichte oder die strategisch festgelegten Gewichte. Die Umkehroptimierung legt die benötigten erwarteten Renditen fest, um in dem Markowitz-Verfahren genau die Referenzgewichte wREF zu erhalten. Diese Renditen werden durchweg in der Arbeit als implizite Renditen Π* oder, im Fall des Marktportfolios als Referenzportfolio, Gleichgewichtsrenditen bezeichnet. Die Umkehroptimierung stellt eine Umformung der Formel 3.2 dar, und lässt sich folgendermaßen darstellen: [3.3]

Π* = λΣw REF

Die Abbildung 3.4 veranschaulicht den Unterschied zwischen den Markowitz- Gewichtungen mit Leerverkaufsrestriktion auf der Basis historischer Renditen und den Referenzgewichtungen auf der Basis der impliziten Renditen.82 Es ist ersichtlich, dass das Referenzportfolio (schwarze Balken) viel breiter gestreut ist als das Markowitz-Portfolio (graue Balken). Dieses Portfolio entspricht viel eher der gängigen Anlagepraxis. Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und impliziter Renditen

Black und Litterman stellen die Annahme auf, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix der impliziten Renditen proportional zu der Varianz-Kovarianz-Matrix der historischen Renditen ist und dass die impliziten Renditen stabiler als die historischen Ren82

Die impliziten Renditen für dieses Beispiel sind im Anhang B.2 bzw. in der Abbildung 3.5 veranschaulicht.

47

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN diten sind.83 Durch diese Annahmen kann die Verteilung der erwarteten Renditen im Gleichgewicht folgendermaßen beschrieben werden: [3.4]

E[R] ~ N (Π, τΣ)

Wobei E[R] den Erwartungswertvektor und N(.) die Normalverteilungsfunktion bezeichnen. Die Dimensionen sind dabei wie folgt: E[R] und Π sind N×1 Vektoren und die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ ist eine N×N Matrix, wobei N die Anzahl der Wertpapiere ist. Der Skalar τ misst den Proportionalitätsfaktor der historischen Renditevolatilität zur erwarteten Renditevolatilität. Je größer das Vertrauen des Portfoliomanagers in das eigene Referenzportfolio ist, umso kleiner sollte der Parameter τ gewählt werden. In der Literatur wird die Anwendung niedriger Werte für τ empfohlen.84

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen 3.4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMANModell Der entscheidende Schritt bei der Formalisierung des Black-Litterman-Verfahrens ist die Spezifikation der subjektiven Renditeerwartungen. Dies erfolgt ebenfalls in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. In der Regel werden Portfoliomanager Erwartungen über die Renditeentwicklung einiger Werte in ihrem Portfolio haben, die von den impliziten Renditen abweichen.85 Das Black-Litterman-Modell ermöglicht es, sowohl absolute als auch relative Renditeerwartungen in den Prozess der Asset Allocation einzubeziehen. Es ist nicht zwingend, dass für jedes Wertpapier in dem Portfolio eine Renditeerwartung spezifiziert wird.

Die folgenden Beispiele verdeutlichen, wie absolute (A) und relative (B und C) Renditeerwartungen in dem Black-Litterman-Modell ausgedrückt werden können.

83

vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap. 10, S. 14 Drobetz (2002) setzt für seine Analysen τ = 0.3. Lee empfiehlt den Wert von τ zwischen 0.01 und 0.05 zu setzen, vgl. Idzorek (2004), S. 14 85 vgl. Idzorek (2004), S. 7 84

48

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen (A)

„ALV wird eine Rendite von 60 % erwirtschaften (ca. 15 % unter der impliziten Rendite).“ „EOA wird eine um 5 % höhere Rendite erwirtschaften als DBK.“ „Die Wertpapiere DTE und DCX werden die Wertpapiere DBK und ALV um 10 % outperformen.“

(B) (C)

Nachdem der Investor sämtliche von den impliziten Renditen abweichenden Erwartungen in Form der obigen Beispiele verbal festgelegt hat, müssen diese Erwartungen in eine Form umgewandelt werden, die es ermöglicht, sie in den Black-LittermanProzess zu integrieren. In dem Modell wird angenommen, dass die Erwartungen bzw. Prognosen des Portfoliomanagers gemäß der Formel 3.5 als k unterschiedliche Linearkombinationen der N Wertpapiere ausgedrückt werden können. k stellt die Anzahl der formulierten Prognosen dar. [3.5]

P ⋅ E[R] = V + ε

Der Renditeerwartungsvektor V hat die Dimension k×1. Als k×1 Vektor mit den Prognosefehlern wird ε verwendet. Die ermittelten Renditeerwartungen V werden durch die Matrix P den jeweils richtigen Wertpapieren zugewiesen. Jede einzelne Erwartung kann durch einen 1×N Vektor den Wertpapieren eindeutig zugeordnet werden. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Matrix P allgemein um eine k×N Matrix. Das erste Element des Vektors V zeigt die Höhe der Renditeprognose an, das erste Element des Vektors ε den damit verbundenen Schätzfehler. Die Erwartungen werden mit einem Schätzfehler versehen, da sie in der Praxis nicht mit Sicherheit geäußert werden können. Über den Vektor der Schätzfehler ε wird angenommen, er sei unabhängig und normal verteilt.86 Das Maß für die Prognosegüte ist in dem Black-Litterman-Verfahren die Varianz-Kovarianz-Matrix, der Schätzfehler Ω. Wegen der Annahme der Unabhängigkeit der Prognosen untereinander, reduziert sich die k×k Matrix Ω zu einer Diagonalmatrix, wobei die Varianzen der Schätzfehler ε entlang der Diagonalen eingetragen werden. Im Black-LittermanModell gilt die Annahme der Normalverteilung der Prognosen gemäß87: [3.6]

P ⋅ E[R] ~ N (V, Ω)

In dem Sieben-Wertpapier-Beispiel würden die Prognosen (A), (B) und (C) folgendermaßen formalisiert werden: 86 87

vgl. Idzorek (2004), S. 10 vgl. Idzorek (2004), S. 16

49

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN

[3.7]

⎛ E[ R ALV ] ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ E[ R DCX ] ⎟ ⎟ ⎜ E[ R DBK ] ⎟ ⎛ 0.60 ⎞ ⎛⎜ ε ( A) ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P ⋅ ⎜ E[ R DTE ] ⎟ = ⎜ 0.05 ⎟ + ⎜ ε ( B ) ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜ E[ R ⎟ ⎜⎜ EOA ] ⎟ ⎝ 0.10 ⎠ ⎝ ε (C ) ⎠ ⎜ ⎜ E[ RSAP ] ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ E[ RSIE ] ⎠

[3.8]

0 0 0 0 0 0⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ P=⎜ 0 0 −1 0 1 0 0⎟ ⎜ − 0.49 0.45 − 0.51 0.55 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

mit

Die erste Reihe der Matrix P stellt die absolute Erwartung (A) dar. Da ALV das erste Wertpapier im Beispielportfolio darstellt und sich die Erwartung ausschließlich auf dieses Wertpapier bezieht, ist der erste Wert der ersten Zeile eine eins. Sämtliche anderen Elemente der ersten Reihe der Matrix P sind null. Die zweite Reihe der Matrix stellt die relative Erwartung (B) dar. Es wird ein gewichtungsneutrales Portfolio gebildet, indem die stärkere Aktie der Prognose die Longposition (Wert: 1), und die schwächere Aktie die Shortposition (Wert: –1) einnimmt. Die Höhe der Überperformance kommt in der zweiten Reihe der Matrix V zum Tragen (Wert: 0.05). Die dritte Reihe der Matrix P stellt den kompliziertesten Fall gleichzeitiger relativer Renditeerwartungen für mehr als zwei Wertpapiere dar, in dem Beispiel durch die Erwartung (C) dargestellt. Analog zu einer relativen Erwartung des Typs (B) müssen sich die Werte der Aktien mit der stärkeren erwarteten Performance zu eins addieren, die Werte der outperformten Wertpapiere müssen summiert minus eins ergeben. Die Aufteilung der auf eins bzw. minus eins begrenzten Werte zwischen den beiden Aktienklassen erfolgt proportional zu deren Marktkapitalisierung.88 Die Berechnung der Werte in der dritten Spalte der Matrix P erfolgte gemäß der Formel 3.9:

88

vgl. Idzorek (2004), S. 12

50

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen

[3.9]

M .Cap ALV ⎛ ⎜− ⎜ M .Cap ALV + DBK ⎜ M .Cap DCX ⎜ M .Cap DCX + DTE ⎜ . M Cap ⎜− DBK P3. ' = ⎜ M .Cap ALV + DBK ⎜ M .Cap DTE ⎜ ⎜ M .Cap DCX + DTE ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

mit:

M.Capi:

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛⎜ − 0.49 ⎞⎟ ⎟ ⎜ 0.45 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − 0.51 ⎟ ⎟ = ⎜ 0.55 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎠

Marktkapitalisierung der Aktie i

Ist dem Portfoliomanager der Grad an Unsicherheit bzw. die Varianz seiner Erwartungen ex ante nicht bekannt, so kann anstatt dieser die Varianz der Prognoseportfolios herangezogen werden:89 [3.10]

Ω kk = Pk . ΣPk . '

Da in diesem Beispiel die Güte der Prognosen unbekannt ist, wird die VarianzKovarianz-Matrix - der Schätzfehler Ω - gemäß Formel 3.10 approximiert. Es ergibt sich: 0 0 ⎞ ⎛ 0.0065 ⎟ ⎜ [3.11] Ω=⎜ 0 0.0037 0 ⎟ ⎜ 0 0 0.0016 ⎟⎠ ⎝

3.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel Im Black-Litterman-Modell wird angenommen, dass die unbekannte Verteilung der erwarteten Renditen eine gemischte Verteilung ist, die aus den Verteilungen der impliziten Renditen Π und der Renditeprognosen V basiert. Die Verteilungen der impliziten Renditen des Referenzportfolios ist in der Formel 3.4 spezifiziert, die Verteilung der Renditeprognosen wird in der Formel 3.6 dargestellt. Der optimale Schätzer für den Vektor der erwarteten Renditen entspricht dem Mittelwert der gemischten Verteilung der erwarteten Renditen.90 Dieser kann durch die 89

vgl. Idzorek (2004), S. 13

51

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN Auflösung des folgenden Optimierungsproblems, das die Varianz der erwarteten Renditen um die impliziten Renditen minimiert, hergeleitet werden: 91 [3.12]

min E[R]

[E[R] − Π ]T ⋅ (τ Σ )−1 ⋅ [E[R] − Π ]

Für den in der Praxis relevanten Fall unsicherer Renditeprognosen gilt folgende Nebenbedingung: [3.13]

N .B. : P ⋅ E[R] = V + ε wobei P ⋅ E[R] ~ N (V, Ω )

Nach Black/Litterman(1992) lautet die Black-Litterman-Formel des revidierten erwarteten Renditevektors unter Berücksichtigung unsicherer Renditeprognosen: 92 [3.14]

[

E[R] = (τ Σ )−1 + P' Ω −1P

] [(τ Σ) −1

−1

Π + P' Ω −1V

]

Die Verteilung der revidierten erwarteten Renditen ist wiederum eine Normalverteilung. Sie ist in der folgenden Formel 3.15 wiedergegeben.93 [3.15]

[

]

−1 ⎞ ⎛ E[R] gemischt ~ N ⎜ E[R], (τ Σ )−1 + (P' ΩP ) ⎟ ⎝ ⎠

Bei der Formel 3.14 bildet die Basis des gesamten Black-Litterman-Verfahrens. Durch diese Formel werden das impliziten Renditen und die subjektiven Prognosen zu einem neuen, revidierten Vektor erwarteter Renditen zusammengefasst. Durch die Weitergabe dieses Vektors an eine Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine, können schließlich die Black-Litterman-Portfoliogewichte ermittelt werden.

3.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACKLITTERMAN-Verfahren In der Abbildung 3.5 stellen die grauen Balken die impliziten Referenzrenditen dar. Die schwarzen Balken bilden die auf Basis der geäußerten Prognosen revidierten 90

vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann, Kap. 10, S. 18 vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8 92 vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8 93 Für die Herleitung der neuen, gemischten Verteilung der erwarteten Renditen verweisen Black/Litterman (1991) auf das Verfahren der mixed estimation in Theil (1971). 91

52

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen Black-Litterman-Renditeerwartungen ab.94 Durch die Korrelation der Renditen ändern sich auch die Renditeerwartungen der Wertpapiere, für die keine Prognose aufgestellt wurde.95 Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMAN-Renditeerwartungen

In der folgenden Abbildung 3.6 werden sowohl die Portfoliogewichte des Referenzportfolios als auch die Black-Litterman-Portfoliogewichte, die durch Weitergabe der revidierten Black-Litterman-Renditen an den Mittelwert-Varianz-Optimierer erhalten wurden, veranschaulicht. Die Gewichtungen der Wertpapiere, für die keine Prognose abgegeben wurde, haben sich kaum verändert. Die Abweichungen der BlackLitterman-Portfoliogewichte zu den Referenzgewichten der restlichen Aktien spiegeln in konsistenter Weise die Prognosen des Portfoliomanagers wider, eine extreme Konzentration der Portfoliogewichte auf wenige Wertpapiere wird vermieden. Abbildung 3.6: Referenzgewichte und BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte

94 95

Für die Berechnung wurde der Wert des Skalars τ auf 0.05 gesetzt. SAP und SIE

53

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN

3.5 Sensitivitätsanalysen Um die Funktionsweise des Black-Litterman-Verfahrens besser darzustellen, werden in diesem Abschnitt Sensitivitätsanalysen bezüglich des Verhaltens der BlackLitterman-Portfoliogewichte bei der Variation verschiedener Parameter des Modells vorgestellt. In den folgenden Analysen wird von einer einzigen abgegebenen Prognose (C) ausgegangen, die Gewichtungen der in der Prognose vorkommenden Wertpapiere ALV, DCX, DBK und DTE sind Gegenstand der folgenden Untersuchungen.

Sensitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Renditedifferentials V In der ersten Sensitivitätsanalyse werden die Auswirkungen einer Variation des erwarteten Renditedifferentials V zwischen den zwei Wertpapiergruppen analysiert. Das Renditedifferential der entsprechenden Aktien wird ceteris paribus zwischen 0 % und 20 % variiert. Abbildung 3.7 zeigt die jeweils resultierenden Portfoliogewichte für die vier Wertpapiere. Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation des Renditedifferentials V

Gewichtung im Black-Litterman Portfolio

0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11

Prognostiziertes Renditedifferential in % ALV

DCX

DBK

.5 19

18

.5

15

16

.5

12

13

.5

9

10

5

6

7.

3

5 4.

5 1.

0

0.1

DTE

Ausgehend von den Referenzgewichten werden die Long- bzw. Shortadjustierungen mit dem Ansteigen des erwarteten Renditedifferentials immer größer. Die Veränderung der Portfoliogewichte erfolgt in einer stetigen, der Prognose gerechten Weise, somit wird eine starke Portfoliokonzentration bei einer minimalen Erhöhung der erwarteten Überrendite vermieden.

54

3.5 Sensitivitätsanalysen Sensitivität der Portfoliogewichte auf Veränderungen in der Güte der Renditeprognose Ω Im Folgenden wird untersucht, wie sich das Black-Litterman-Modell verhält, wenn die Prognosegüte verändert wird. Eine geringere Güte der Prognose spiegelt sich in einer höheren Varianz der Erwartungen wider und umgekehrt. In der Sensivitätsanalyse wird die Volatilität der (C) Prognose zwischen 0.0001 und 0.0050 variiert. In der folgenden Abbildung 3.8 sind die Auswirkungen der unterschiedlichen Unsicherheitsniveaus in den Prognosen dargestellt. Die in der Abbildung 3.8 dargestellten Portfoliogewichte sind intuitiv einsichtig: Unsichere Prognosen mit einer hohen Schätzfehlervolatilität haben nahezu keinen Effekt auf die Referenzgewichte. Je sicherer die Prognosen werden, desto stärker werden die Portfoliogewichte in die Richtung der Prognosen adjustiert. Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Effekt einer veränderten Prognosegüte auf die Portfoliogewichte insgesamt graduell verläuft, eine Ausnahme stellt der Bereich sehr kleiner Volatilitäten dar. In diesem Bereich hat eine Verbesserung oder Verschlechterung der Prognosegüte sehr starke Auswirkungen auf die Gewichtungen der Wertpapiere im Portfolio. Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation der Prognosegüte Ω

Gewichtung im Black-Litterman Portfolio

0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000

0.0001

0.0050 Varianz der Prognose (C) [Ω] ALV

DCX

DBK

DTE

55

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN Sensivitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Vertrauens in die impliziten Renditen des Referenzportfolios τ Die letzte Sensitivitätsanalyse widmet sich dem abstraktesten Parameter des BlackLitterman-Modells, dem Skalar τ. Dieser staucht die historische Varianz-KovarianzMatrix und kann entsprechend als Indikator für das Vertrauen interpretiert werden, das der Portfoliomanager seinem Referenzportfolio entgegenbringt. Je kleiner bzw. größer τ ist, umso stärker bzw. geringer ist das Vertrauen in die impliziten Renditen. In der Analyse wird τ zwischen 0.01 und 1 variiert.

0.45000 0.35000 0.25000 0.15000 0.05000

0.99

0.92

0.85

0.78

0.71

0.64

0.57

0.5

0.43

0.36

0.29

0.22

0.15

0.08

-0.05000 0.01

Gewichtung im Black-Litterman Portfolio

Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN -Portfoliogewichte bei Variation des Skalars τ

-0.15000 Vertrauensparameter für die Benchmark τ ALV

DCX

DBK

DTE

Die Veränderungen der Portfoliogewichte, veranschaulicht in der Abbildung 3.9, sind auch in diesem Fall intuitiv. Je mehr Vertrauen der Portfoliomanager seiner Benchmark entgegenbringt, desto näher werden sich die Gewichtungen ceteris paribus an den Referenzgewichtungen orientieren. Werte für über 0.5 dürften wenig Sinn machen, da sich die Gewichtungen ab dem Bereich bereits sehr stark an den Prognosen orientieren.

3.6 Fazit Der klassische portfoliotheoretische Ansatz von Markowitz ist theoretisch elegant und stellt in der akademischen Literatur das Gerüst der Portfoliotheorie dar. Es wurde allerdings anhand von Beispielen gezeigt, dass der Ansatz in der Praxis zu erheb 56

3.6 Fazit lichen Problemen führen kann. Diese Defizite führen dazu, dass der traditionelle Ansatz von Portfoliomanagern kaum oder nur in stark veränderter Form eingesetzt wird. Aus diesem Grund haben Black und Litterman 1990 ein innovatives Verfahren entwickelt, das Portfoliomanagern erlaubt, ausgehend von stabilen Gleichgewichtsrenditen oder impliziten Renditen, subjektive Renditeprognosen und einen Grad an Vertrauen in diese Prognosen im Asset-Allocation-Prozess zu berücksichtigen. Letztendlich handelt es sich bei dem Black-Litterman-Modell um eine Methode, die einen komplexen gewichteten Durchschnitt der impliziten Renditen und der erwarteten Renditen festlegt. Die Portfoliogewichte sind durch den Einsatz des Black-Litterman-Verfahrens viel realistischer, da Erwartungen der Portfoliomanager eindeutig widergespiegelt und stark konzentrierte Portfolios vermieden werden. Aus diesen Gründen konnte sich das Black-Litterman-Modell seit der Publikation im Jahr 1990 in zahlreichen Finanzunternehmen als Portfolio-Management-Modell durchsetzen.96

96

vgl. He/Litterman (1999), S. 2

57

4 Technische Handelsmodelle 4.1 Wertpapierprognosen Die Prognose von Wertpapierkursen ist eine umstrittene Thematik. Es lassen sich bezüglich Wertpapierprognosen drei verschiedene Lager unterscheiden. Dabei handelt es sich um die in der akademischen Welt verbreitete Random-Walk-Theorie und die Hypothese effizienter Märkte, um die Fundamentalanalyse sowie um die technische Analyse.97 Nachfolgend werden die grundlegenden Gedankengänge hinter den ersten beiden Ansätzen vorgestellt. Im nächsten Abschnitt wird die technische Analyse etwas ausführlicher behandelt, da sie die Grundlage der im empirischen Teil der Arbeit eingesetzten Handelsmodelle bildet.

Random-Walk-Theorie und die Hypothese effizienter Märkte Die Random-Walk-Theorie besagt, dass Preise auf den Finanzmärkten zufällig um ihren inneren Wert fluktuieren. Diese Theorie basiert auf der Hypothese effizienter Märkte, die besagt, dass sich Kurse auf jegliche neuen Informationen ohne Verzögerung anpassen.98 Die Standardform des Random-Walk-Modells geht davon aus, dass sich der künftige Kurs Pi,t+1 einer Aktie i aus dem aktuellen Kurs Pi,t und der Realisierung einer Zufallsvariablen εi,t ergibt: [4.1]

Pi ,t +1 = Pi ,t + ε i ,t

Dabei gelten folgende Bedingungen: -

Die Kursänderungen εi gehorchen einer Normalverteilung. Der Erwartungswert der Kursänderungen ist null, also E[εi] = 0. Aufeinander folgende Kursänderungen sind unabhängig.

Diesen Theorien zufolge kann jegliche Wertpapieranalyse nicht zur Vorhersage von künftigen Aktienkursen verwendet werden.99 Es besteht allerdings bezüglich der These effizienter Märkte ein Widerspruch, das so genannte Informationsparadoxon. Wenn sich jede neue Information augenblicklich 97

vgl. Yao/Tan (1999), S. 222 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 99 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 98

58

4.2 Technische Indikatoranalyse im Kurs niederschlägt, dann bedarf es dazu Investoren, die durch ihre informationsbedingte steigende oder fallende Nachfrage für diese Kursanpassung sorgen und daraus Profit ziehen. Demnach ist eine Informationsauswertung seitens der Marktteilnehmer unabdingbar, um der These effizienter Märkte Gültigkeit zu verschaffen. 100 Die Random-Walk-Theorie konnte trotz vieler wissenschaftlicher Untersuchungen bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden.101

Fundamentalanalyse Die Fundamentalanalyse stellt die älteste und meist verbreitete Analyseform von Wertpapieren dar.102 Die grundlegende Hypothese der Fundamentalanalyse geht davon aus, dass der Kurs einer Aktie um ihren inneren Wert schwankt. Die Ermittlung dieses wahren Wertes einer Aktie anhand von makroökonomischen, branchen- und unternehmensspezifischen Analysen steht im Mittelpunkt der Fundamentalanalyse. Liegt der aktuelle Kurs der untersuchten Aktie unter dem ermittelten inneren Wert, dann gilt die Aktie als unterbewertet und kann gekauft werden.103

4.2 Technische Indikatoranalyse 4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse Murphy (2004) definiert die technische Analyse von Wertpapieren folgendermaßen: „Technische Analyse ist das Studium von Marktbewegungen, in erster Linie durch den Einsatz von Charts, um zukünftige Kurstrends vorherzusagen. Der Begriff ‚Marktbewegung‘ beinhaltet die drei wesentlichen Informationsquellen, die dem Techniker zur Verfügung stehen – Kurs, Umsatz und Open Interest104.“105

Die technische Analyse basiert auf drei Grundannahmen:106 -

Die Marktbewegung diskontiert alles. Kurse bewegen sich in Trends. Die Geschichte wiederholt sich.

100

vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 42 f. vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 f. 102 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209 103 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209 ff. 104 Open Interest wird nur bei Futures und Optionen benutzt 105 Murphy (2004), S. 21 106 vgl. Murphy (2004), S. 21 ff. 101

59

4 Technische Handelsmodelle Im Folgenden werden diese Grundannahmen kurz erläutert.

Die Marktbewegung diskontiert alles Der technische Analyst glaubt, dass alle für den Börsenkurs relevanten Informationen, seien sie fundamentaler, psychologischer oder sonstiger Natur, durch den Kurs widergespiegelt werden. Die Folge dieser Annahme ist, dass für Prognosen allein die Untersuchung der Kurse in der Vergangenheit verlangt wird. Die Regel, dass Marktpreise steigen werden, wenn die Nachfrage das Angebot übertreffen wird und umgekehrt, gilt als Basis aller ökonomischer und fundamentaler Vorhersagen. Der Techniker benutzt den Umkehrschluss dieser Regel, der besagt, dass bei steigenden Kursen die fundamentalen Daten des Wertes positiv und analog bei fallenden Kursen die Fundamentaldaten negativ sein müssen. So ist es möglich, durch die Erkennung von Kurstrends oder wichtigen Umkehrformationen grundlegende Änderungen der fundamentalen Situation eines Wertpapiers auf den Charts zu erkennen, bevor die Informationen öffentlich zugänglich sind. Die Charts werden also nicht als Grund für steigende oder fallende Kurse gesehen, sondern als Indikator für die bullishe oder bearishe Psychologie an den Märkten.107

Kurse bewegen sich in Trends Die technische Analyse besagt, dass sich Kurse in Trends bewegen. Trends können Aufwärtstrends oder Abwärtstrends sein. Die Aufgabe der technischen Analyse besteht im Großteil darin, Kurstrends möglichst früh zu erkennen und ihnen zu folgen, bis sich Anzeichen einer Trendumkehr zeigen. Eine Prämisse der Charttechnik über Kurstrends besagt: „Ein Trend in Bewegung setzt sich mit größerer Wahrscheinlichkeit fort, als dass er sich umkehrt.“108

Die Geschichte wiederholt sich Diese Annahme basiert letztendlich auf psychologischen Verhaltensweisen von Anlegern beim Auftreten bestimmter Chartmuster. Da die menschliche Psyche nicht dazu tendiert sich zu verändern109, werden vergangene Verhaltensweisen von Investoren genutzt, um Aussagen über künftige Entwicklungen zu treffen.

107

vgl. Murphy (2004), S. 22 vgl. Murphy (2004), S. 24 109 vgl. Murphy (2004), S. 24 108

60

4.2 Technische Indikatoranalyse

4.2.2 Methoden der technischen Analyse Die technische Analyse benutzt gemäss der Abbildung 4.1 graphische, mathematische und psychologische Methoden. Diese Methoden werden im Folgenden erläutert. Abbildung 4.1: Methoden der technischen Analyse

Technische Analyse

Graphische Methoden

Mathematische Methoden

Psychologische Methoden

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 83]

Graphische Methoden Die graphische Chartanalyse gilt als die älteste und meistverbreitete Form der technischen Analyse.110 Der Analyst versucht durch verschiedene Werkzeuge vorherrschende Trends zu bestätigen oder Trendwenden zu erkennen. Trendlinien, Unterstützungen, Widerstände, Schulter-Kopf-Schulter-Formationen, FibonacciAnalyse, Dow-Theorie, Elliot-Wellen-Theorie und andere sind die Werkzeuge der Chartanalytiker.111

Mathematische Methoden Die mathematischen Verfahren versuchen durch mathematische Transformation der Marktdaten zu technischen Indikatoren und statistischer Bearbeitung der Marktdaten ebenfalls gewisse Muster in den Daten zu erkennen. Diese Erkenntnisse können dann zur Generierung von Handelssignalen für den Investor zur Verfügung gestellt werden.112

Psychologische Methoden Die dritte Hauptrichtung der technischen Analyse ist die Sentimentanalyse. Hier werden Indikatoren gebildet, welche die aktuelle Marktstimmung wiedergeben. Das aktuelle Massenverhalten kann unter anderem durch Umfragen über die Positionierung von Investoren, Indikatoren, wie zum Beispiel die Put-Call-Ratio, oder die im110

vgl. Wetzer (2003), S. 84 Diese Techniken werden im weiteren Verlauf der Arbeit nicht angewandt, da sie auf vornehmlich subjektiven Kriterien basieren und somit für die Systematisierung und Programmierung in Computern schlecht geeignet sind. An diesen Techniken interessierte Leser wird die Lektüre von Murphy (2004) empfohlen. 112 vgl. Wetzer , S. 84 111

61

4 Technische Handelsmodelle plizite Volatilität von Optionen - die Berechnung des Verhältnisses zwischen Gewinn-Aktien zu Verlustaktien - wiedergegeben werden. Die Hauptannahme der Sentimentanalyse besagt, dass die Masse immer irrt. Anhänger der Sentimentanalyse versuchen daher, durch Aufbau von Positionen gegen das Massenverhalten erfolgreich zu handeln.113 Die Handelsmodelle114 in dieser Arbeit basieren auf Indikatoren der technischen Analyse. Die Berechnung und Interpretation der eingesetzten Indikatoren werden im nächsten Abschnitt dargestellt.

4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge Im Folgenden werden die im späteren Verlauf der Arbeit eingesetzten technischen Indikatoren beschrieben. Florek (2000) unterteilt technische Indikatoren in vier verschiedene Gruppen.115 In der Abbildung 4.2 sind die Indikatorgruppen und einige zu den Gruppen gehörende Indikatoren aufgelistet. Auf die fett gedruckten Indikatoren wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen. Abbildung 4.2: Segmentierung technischer Indikatoren TECHNISCHE INDIKATOREN

TrendfolgeIndikatoren

Oszillatoren

Trendbestimmung

VolatilitätsIndikatoren

Gleitende Durchschnitte

RSI

ADX

Bollinger Bänder

Momentum

DMI

Stochastik …

Ravi …

MACD …

Standardabweichung

Sonstige: Bänder, Volumen & Open Interest, Market Sentiment

Inputs: Kursdaten, Volumen, Open Interest, Statistiken, Ratios, Sentiments, Fundamentals, Volatilitäten,…

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Florek (2000), S. 183]

113

vgl. Wetzer, S. 84 und Murphy (2004), S. 257 Handelsmodelle und deren Funktionsweise werden im Abschnitt 4.3 erläutert. 115 vgl. Florek (2000), S. 182 114

62

4.2 Technische Indikatoranalyse Trendfolge-Indikatoren Trendfolge-Indikatoren sind darauf ausgerichtet, die Richtung des vorherrschenden Trends zu bestimmen. Der Trader geht von einer Fortführung des Trends aus, bis der Trendfolge-Indikator eine Trendwende anzeigt.116 Die Erkennung der Trends erfolgt stets etwas zeitverzögert. In Seitwärtstrends ergeben sich aufgrund der sehr kurzfristigen Auf- und Abwärtsbewegungen häufig Fehlsignale, während in Phasen anhaltender Trends recht erfolgreiche Aussagen getroffen werden.

Oszillatoren Momentums-Oszillatoren schwingen in der Regel innerhalb einer bestimmten Bandbreite und eignen sich in Seitwärtsphasen zum Auffinden von Wendepunkten der Kurse. Eine starke Aussagekraft besitzen Oszillatoren, wenn sie sich in ihren Extrembereichen befinden. Ein Wertpapier wird als überkauft bezeichnet, wenn der Oszillator besonders hohe Werte aufweist. Wenn der Oszillator sehr niedrige Werte annimmt, gilt dies als Signal für eine Überverkauft-Situation des Wertpapiers. Dies sind Situationen, in denen von einer zumindest kurzfristigen Korrektur der vorherrschenden Kursbewegung ausgegangen werden kann. Divergenzen117 zwischen den Kursen und dem Oszillator deuten ebenfalls auf eine Wende der Kurse hin.118

Volatilitätsindikatoren Volatilitätsindikatoren messen die Schwankungsintensität der Kurszeitreihe. Mit ihnen lässt sich zum Beispiel bestimmen, ab wann eine Kursbewegung als außergewöhnlich stark zu interpretieren ist.

Trendintensitätsindikatoren Da Trendfolger nur in Trendmärkten und analog Oszillatoren nur in Seitwärtstrends funktionieren, wird häufig versucht, mit Trendintensitätsindikatoren festzustellen, wann ein Trend vorliegt und wie stark dessen Ausprägung ist.

4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte Gleitende Durchschnitte119 stellen, wie der Name schon sagt, Durchschnitte der Kurszeitreihe dar. Sie bereinigen Kurszeitreihen von kurzfristigen Schwankungen und erlauben somit die Feststellung lang-, mittel- oder kurzfristiger Trends.120

116

vgl. Florek (2000), S. 184 Eine Divergenz besteht, wenn die Kurse höhere Hochs bzw. tiefere Tiefs verzeichnen und der Oszillator dies nicht bestätigt, indem er tiefere Hochs bzw. höhere Tiefs aufzeichnet. 118 vgl. Murphy (2004), S. 229 119 auch: Moving Averages. 120 vgl. Wetzer, S. 85 117

63

4 Technische Handelsmodelle Die Formel für die Berechnung des aktuellen Wertes eines einfachen gleitenden Durchschnitts ist: [4.2]

MAx =

mit:

Ct: MAx:

1 x ∑ C t − i +1 x i =1 Schlusskurs in t Gleitender Durchschnitt der Länge x

Eine Standardeinstellung für x gibt es nicht, da es an dem Analysten liegt, welche Glättung er vornehmen möchte.121 Es gibt mehrere Varianten gleitender Durchschnitte. Exponentiell gewichtete Durchschnitte lassen in ihrer Berechnung sämtliche Werte der Kurszeitreihe einfließen. Die Gewichtung vergangener Daten nimmt durch den Glättungsparameter α mit ihrem Alter exponentiell ab. Die Formel für die Berechnung eines exponentiellen Durchschnitts lautet:

[4.3]

EMAα =

mit:

α: Ct:

Ct + αCt −1 + α 2 Ct − 2 + K + α n −1Ct − n +1 1 + α + α 2 + K + α n −1

Glättungsparameter Schlusskurs in t

Auch bei dem exponentiell geglätteten Durchschnitt gibt es keine Standardeinstellung für α.122 Die geläufigste Interpretationsmöglichkeit von gleitenden Durchschnitten ist die Crossover-Interpretation. Demnach wird das Schneiden der Kurse oder eines kürzeren gleitenden Durchschnitts über den längeren gleitenden Durchschnitt als Kaufsignal interpretiert. Kreuzt der kürzere gleitende Durchschnitt den längeren von oben nach unten, gilt dies als ein Verkaufssignal.

121

In der Praxis werden für x häufig die Fibonacci-Zahlen 13, 21, 34, 55,… eingesetzt. [vgl. Murphy (2004), S. 217] 122 Approximativ gilt folgender Zusammenhang zwischen dem x beim einfachen Durchschnitt und dem α beim exponentiell geglätteten Durchschnitt: [vgl.Wetzer (2003), S. 86] α = 2 / (x + 1)

64

4.2 Technische Indikatoranalyse 4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence Der Moving Average Convergence Divergence MACD-Indikator wurde 1979 von Gerald Appel vorgestellt und stellt eines der am meisten verbreiteten Instrumente der technischen Analyse dar. Der MACD wird aus der Differenz zweier exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitte berechnet. Die so erhaltene MACD-Linie wird ihrerseits durch die Ermittlung eines exponentiell geglätteten Durchschnitts geglättet, so dass insgesamt zwei Linien den MACD-Indikator darstellen. Die Formel für die Ermittlung der MACD-Linien sind: [4.4] mit:

MACD − Linie = EMAs ( Kurs ) − EMAl ( Kurs ) Signallinie = EMAx ( MACD − Linie) EMAt: Exponentiell gewichteter Durchschnitt mit einer Länge des Zeitfensters t

Die Standardeinstellungen für die Berechnung des MACDs sind s = 12, l = 26 und x = 9.123 Für den MACD besteht wie bei den gleitenden Durchschnitten die Crossover- Interpretationsmöglichkeit. Oftmals wird durch Subtraktion der Signallinie von der MACD-Linie ein Oszillator gebildet, mit dem Überkauft-/Überverkauft-Situationen und Divergenzen festgestellt werden können.124

4.2.3.3 Relative Strength Index Der Relative Strength Index RSI ist ein von J. Welles Wilder entwickelter Momentums-Oszillator, den er 1978 in seinem Buch New Concepts in Technical Trading Systems erstmalig vorgestellt hat. Der RSI bewegt sich zwischen den Werten null und 100. Üblicherweise werden Wertigkeiten unter 20 bzw. über 80 zum Generieren von Handelssignalen genutzt. Das Verlassen dieser extremen Zonen ist ein allgemein akzeptiertes Signal zum Ein- bzw. Ausstieg aus dem Markt. Die Formel für die Berechnung des RSI lautet: [4.7]

RSI = 100 − (

100 ) 1 + RS

wobei:

123 124

vgl. Florek (2000), S. 192 vgl. Florek (2000), S. 192 und Wetzer (2003), S. 88

65

4 Technische Handelsmodelle [4.8]

RS =

Durchschnitt der Schlusskurse von x Tagen mit steigenden Kursen Durchschnitt der Schlusskurse von x Tagen mit fallenden Kursen

Die Standardeinstellung für x beträgt 14 Zeiteinheiten.125 Um den Durchschnittswert für Tage mit positiver Kurstendenz zu bestimmen, werden die gesamten Kursgewinne, die innerhalb der x Tage an Tagen mit steigenden Kursen angefallen sind, addiert, und die Summe durch die gewählte Länge des RSI geteilt126. Der RSI kann durch die Standardinterpretationsweisen für Oszillatoren analysiert werden.

4.2.3.4 Bollinger Bänder Die von John Bollinger entwickelten Bollinger Bänder basieren auf der Annahme einer Normalverteilung der Renditen. Unter dieser Annahme lässt sich folgern, dass Kurse stets eine Konzentration um ihren Mittelwert zeigen. Durch die Ermittlung der Standardabweichungen σ der Kurse um deren gleitenden Durchschnitt lassen sich die Bollinger Bänder festlegen, indem die mit einem Faktor λ multiplizierte Standardabweichung vom Durchschnitt subtrahiert bzw. addiert wird. Wählt man den Wert zwei für den Faktor θ, kann geschlussfolgert werden, dass sich Kurse in ca. 95 % der Fälle innerhalb der Bollinger Bänder bewegen. Die Formel zur Berechnung der Bollinger Bänder lautet127:

σ= [4.9]

1 n (Ct −i +1 − MAn )2 ∑ n i =1

unteres Bollinger Band = MAn − θ ⋅ σ oberes Bollinger Band = MAn + θ ⋅ σ

mit: σ: θ:

Gleitender Durchschnitt der Länge n, MAn: Standardabweichung zwischen den letzten n Schlusskursursen und MAn, Multiplikationsfaktor für die Standardabweichung.

Die Standardeinstellungen sind n = 20 und θ = 2.128

125

vgl. Murphy (2004), S. 241 vgl. Murphy (2004), S. 241 127 vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 45 f. 128 vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Bollinger Bands 126

66

4.2 Technische Indikatoranalyse Bollinger Bänder werden in der Regel im Zusammenspiel mit anderen Indikatoren eingesetzt, um Umkehrpunkte am Markt zu identifizieren. Wenn der Kurs das obere Band erreicht, wird nach weiteren Anzeichen für eine Kurswende gesucht, um dann mit hoher Wahrscheinlichkeit folgern zu können, dass sich der Kurs in die Richtung des anderen Bandes bewegen wird.129 4.2.3.5 Swings

Ein Kurs wird als Swing-High bezeichnet, wenn der Höchstkurs höher als der Höchstpreis der jeweils n-Zeiteinheiten links und rechts von der aktuellen Zeiteinheit ist. Die Umkehrregel gilt für Swing-Lows.130 Abbildung 4.3: Swing-High und Swing-Low Balkenchart

Swing High

Höchstkurs Schlusskurs

Swing Low

Eröffnungskurs Tiefstkurs

n

n

n

n

Die Abbildung 4.3 veranschaulicht jeweils ein Swing-High und ein Swing-Low für den Fall n = 2. Im linken Teil der Abbildung wird kurz die Interpretationsweise von Balkencharts dargestellt. Swings können als Widerstands- und Unterstützungspunkte der Kurse interpretiert werden.131 Ein Ausbruch aus den Swing-Niveaus, kann den Beginn eines Trends signalisieren. 4.2.3.6 Candlestick-Formationen

Die Analyse japanischer Candlestick Charts basiert im Gegensatz zu den bisher beschriebenen Indikatoren auf der visuellen Identifikation bestimmter Muster in den Kursen. Diese Muster, auch Candlestick-Formationen genannt, wurden von japanischen Reishändlern in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts eingeführt.132 Einige Formationen deuten auf die Fortsetzung eines bestehenden Trends hin, andere signalisieren Wendepunkte der Kurse.133 Es gibt inzwischen eine Fülle von Fachliteratur, 129

vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 47 f. vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Swing 131 vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Swing 132 vgl. Bigalow (2002), S. 2 f. 133 vgl. Bigalow (2002), S. 2 f. 130

67

4 Technische Handelsmodelle die sich ausschließlich mit den Candlestick-Formationen und deren Anwendung beschäftigt. In dieser Arbeit werden die starken Umkehrformationen Hammer und Shooting Star untersucht. Der Hammer ist eine bullishe Umkehrformation, der Shooting Star eine bearishe Umkehrformation. Die folgende Abbildung 4.4 veranschaulicht zwei HammerFormationen sowie zwei Shooting-Star-Formationen. Im linken Teil der Abbildung wird die Interpretationsweise von Balkencharts kurz dargestellt. Abbildung 4.4: Hammer- und Shooting-Star-Formationen Candlestick-Chart

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Murphy (2004), S. 305]

Die Kriterien für die Existenz eines Hammers sind134: -

Die Lunte sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze. Der Kerzenkörper befindet sich am oberen Ende der Kerze. Die Kerze soll möglichst keinen oder einen sehr kleinen Docht haben. Die Hammer-Formation muss sich am Tiefpunkt eines Abwärtstrends befinden. Die folgende Kerze muss die Hammer-Formation bestätigen.

Eine Shooting-Star-Formation muss folgende Kriterien erfüllen135: -

134 135

68

Der Docht sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze. Der Kerzenkörper befindet sich am unteren Ende der Kerze. Die Kerze soll möglichst keine oder eine sehr kleine Lunte haben. Die Shooting-Star-Formation muss sich am Hochpunkt eines Abwärtstrends befinden. Die folgende Kerze muss die Shooting-Star-Formation bestätigen.

vgl. Bigalow (2002) , S. 38 vgl. Bigalow (2002), S. 58

4.3 Handelsmodelle Ein Kurs am nächsten Tag über dem Kerzenkörper des Hammers bzw. unter dem Kerzenkörper eines Shooting Stars wird in dieser Arbeit als Formationsbestätigung interpretiert. Die Effektivität der Candlestick-Muster kann verbessert werden, indem diese mit technischen Indikatoren, wie dem Stochastik oder den Bollinger Bändern kombiniert werden.136

4.3 Handelsmodelle 4.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle Die Möglichkeit, auf Wertpapiermärkten viel Geld zu verdienen, hat seit deren Existenz zu der Entwicklung einer Fülle unterschiedlicher Analysekonzeptionen geführt, durch deren Einsatz sich Investoren erfolgreiches Handeln versprechen. Handelsmodelle stellen eine schriftliche Festlegung der Handelsstrategie dar, nach der man handeln möchte.137 Da die formulierte Handelsstrategie in einem Handelsmodell systematisch umgesetzt wird, unterliegt die Performance eines Handelssystems keinen subjektiven Entscheidungen mehr. Die im vorherigen Abschnitt 4.2 behandelte technische Indikatorenanalyse ist als Analyseinstrument in Handelsmodellen besonders geeignet, da man anhand der Indikatoren Handelsregeln sehr objektiv definieren und in einem Computer eingeben kann. Die Akzeptanz von automatischen Handelsmodellen ist sowohl in der Wissenschaft als auch in der Praxis zum Teil problematisch. Kapitalmarkttheoretiker berufen sich auf die Theorie effizienter Märkte und die Random-Walk-Theorie138, nach denen die Möglichkeit, durch Handelsmodelle systematisch Gewinne zu erzielen, ausgeschlossen wird. Einwände aus der Praxis haben unterschiedliche Begründungen. Zum einen existieren ideologische Schranken bezüglich der Analyseform. Institutionelle Investoren bevorzugen in der Regel die Fundamentalanalyse und lehnen somit technische Modelle a priori ab. Analysten sehen ihre Arbeit durch einen extensiveren Einsatz automatischer Handelssysteme gefährdet und treten ihnen deshalb negativ gegenüber. Dadurch werden vergangene Verluste der Modelle überbewertet, Gewinne dennoch als normal angesehen und die Modelle als schlecht dargestellt.139

136

vgl. Bigalow (2002), S. 25 vgl. Wetzer (2003), S. 13 138 vgl. Abschnitt 4.1 139 vgl. Wetzer (2003), S. 21 ff. 137

69

4 Technische Handelsmodelle Allerdings bieten Handelsmodelle gegenüber diskretionärem140 Handel diverse Vorteile: Der wohl wichtigste Vorteil besteht in der Eliminierung menschlicher Emotionen aus dem Handel, da Emotionen für viele Händler die entscheidende Barriere zu profitablem Handeln darstellen.141 Die Möglichkeit, bestimmte Handelsansätze durch Testläufe auf historischen Zeitreihen zu testen und analysieren, besteht nur bei systematischen Handelsmodellen und stellt einen weiteren Vorteil gegenüber dem subjektiven Handeln dar. Außerdem erlauben mechanische Strategien den Einsatz einer systematischen Mengensteuerung, die das Handelsergebnis empfindlich beeinflussen kann.142

4.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen Die zwei Hauptkomponenten eines Handelssystems sind das Signalmodell und das Money-Management-Modell.143 Eine Signalmodell besteht aus Entry-Long- und Entry-Short-Signalen, sowie aus Exit-Long- und Exit-Short-Signalen. Die Entry-Signale veranlassen das Eröffnen von Positionen am Markt. Dabei wird bei Long-Signalen der Wert gekauft und bei ShortSignalen der Wert leerverkauft. Die Exit-Signale bestimmen, wann eingegangene Positionen wieder geschlossen werden sollen. Oft werden Exit-Signale aufgrund von Risikomanagement Überlegungen getroffen. Die gängigsten Exit-Signale werden als Stop-Losse144 und Trailingstops145 bezeichnet. Das Money-Management-Modell stellt eine Strategie dar, die beschreibt wie viel Kapital bei dem Spielen der Signale einzusetzen ist. Wetzer (2003) zeigt, dass die Auswahl des richtigen Money Managements bei einem Signalmodell, das einen positiven Erwartungswert liefert, die wichtigste Komponente eines Handelssystems sein kann. Eine ausführliche Behandlung der verschiedenen Money-ManagementStrategien würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Da im empirischen Teil die Signale der Handelsmodelle von vorrangiger Bedeutung sind, liegt der Fokus auf

140

Unter diskretionärem Handel versteht man subjektiven Handel, der nicht durch strenge Handelsregeln beschränkt wird. 141 vgl. Wetzer (2003), S. 19 142 vgl. Wetzer (2003) 143 vgl. Wetzer (2003), S. 14 144 Ein Stop-Loss wird beim Eingehen einer Position gesetzt, und veranlasst eine automatische Schließung der Position bei dem Unterschreiten bzw. Überschreiten des gesetzten Stop-Loss-Kurses. Somit kann der generierte Verlust einer Position von Anfang an begrenzt werden. 145 Trailing-Stops stellen Exit-Niveaus dar, die bei laufenden Positionen dynamisch angepassst werden. Durch Trailing-Stops wird sichergestellt, dass bei profitabel laufenden Positionen Gewinne mitgenommen werden.

70

4.3 Handelsmodelle deren Entwicklung.146 Die Abbildung 4.5 veranschaulicht den Aufbau eines Handelsmodells. Abbildung 4.5: Aufbau eines Handelsmodells

Marktdaten

Signalmodell Trading Rules

Money Management Modell

Gewinn- und Verlustreihe Strukturanalyse

Gesamtperformance

Mengenvariation

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003) , s. 15]

Handelsmodelle können auf verschiedenen Ideologien basieren. Die Abbildung 4.6 veranschaulicht Kriterien, nach denen die Handelsmodelle klassifiziert werden. Diese Kriterien werden im Folgenden kurz erläutert.147 Abbildung 4.6: Segmentierung von Handelsmodellen Kriterium der Segmentierung Zugrunde liegende Strategie

Mögliche Ausprägungen

1. Trendfolge-Modelle 2. Breakout-Modelle 3. Gegentrend-Modelle Zugelassene Aktionen 1. Immer am Markt (Reversal-Modell) 2. Mit neutraler Phase Anzahl der Analysen 1. Bedingte Modelle 2. Unbedingte Modelle Art der Analysen 1. Filtermodelle 2. Prognosemodelle 3. Graphische Modelle Bedingungen für Long- 1. Symmetrische Modelle /Short-Positionen 2. Asymmetrische Modelle Umgang mit Parame1. Fixe Parameter tern 2. Optimierung Zeithorizont des 1. Kurzfristig Marktengagements 2. Mittelfristig 3. Langfristig [Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 16]

146

Stridsman (2003) und Wetzer (2003) behandeln Money Management, die Mengensteuerung bei Signalen von Handelsmodellen, ausführlich. 147 vgl. Wetzer (2003), S. 16 ff.

71

4 Technische Handelsmodelle Zugrunde liegende Strategie

Trendfolge-Modelle versuchen, lange Marktbewegungen in eine Richtung auszunutzen. In Seitwärtsphasen werden diese Modelle viele kleine Verluste generieren, um diese dann mit wenigen großen Gewinnen zu übertreffen. Gegentrend-Modelle signalisieren in Seitwärtsmärkten Wendepunkte am Markt. Sie haben eine hohe Trefferquote, der Gewinn pro Trade ist allerdings verhältnismäßig gering. In Trendphasen generieren diese Modelle häufig Fehlsignale. Breakout-Modelle warten, bis der Kurs wichtige Marken durchbricht und handeln dann entweder in Richtung dieser Bewegung oder in die Gegenrichtung. Zugelassene Aktionen

Reversal-Modelle sind immer am Markt investiert. Das bedeutet, dass Positionen gleichzeitig zur Eröffnung einer Gegenposition geschlossen werden. Modelle mit neutraler Phase hingegen lassen Phasen, in denen das Modell nicht am Markt ist, zu. Anzahl der Analysen

Ein unbedingtes Modell besteht auf einer einzelnen Wenn-Dann-Bedingung. Ist diese Bedingung erfüllt, so wird entsprechend gehandelt. Bedingte Modelle bestehen aus mehreren verschachtelten Wenn-Dann-Bedingungen. Ist eine bestimmte Bedingung erfüllt, so werden die Marktdaten nach weiteren Bedingungen untersucht. Es wird erst gehandelt, nachdem alle hintereinander geschalteten Bedingungen erfüllt sind. Art der Analysen

Prognosemodelle besitzen unter den verschiedenen Analysearten die größte wissenschaftliche Fundierung. Sie basieren auf Methoden der Statistik und Ökonometrie. Filtermodelle transformieren den Kursdatensatz mathematisch in einen neuen Datensatz. Die Prognosen über die Kursentwicklung stammen aus der Interpretation der neuen Datenreihen. Graphische Modelle gründen sich auf die Erkennung gewisser graphischer Muster in den Kursen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit positive Renditen erzeugen. Bedingungen für Positionen

Sind die gleichen Handelsregeln für das Eingehen von Short-Positionen und LongPositionen verantwortlich, so spricht man von einem symmetrischen Modell. Geschehen Verkauf- und Kaufentscheidungen nach unterschiedlichen Kriterien, ist das Modell asymmetrisch.

72

4.3 Handelsmodelle Umgang mit Parametern

Modelle können danach unterschieden werden, ob sie ohne oder mit fixen Parametern agieren, oder ob die Parameter optimiert148 werden. Zeithorizont der Marktaktionen

Modelle lassen sich auch nach der Dauer unterscheiden, die der Anleger aufgrund eines Signals durchschnittlich am Markt investiert. Modelle können kurz-, mitteloder langfristiger Natur sein.

4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen Ein Handelssystemprogrammierer hat bei dem Aufbau eines Handelsmodells unterschiedliche Arbeitsschritte zu vollbringen:149

Vorüberlegungen

Vor dem Programmierbeginn sollte sich der Investor seines Investment-Stils bewusst werden. Er sollte sich mit den grundsätzlichen Eigenschaften wie die zugrunde liegende Strategie, die bevorzugte Analysemethode, die Signalhäufigkeit, die Trefferquote, den Zeithorizont etc. des zu programmierenden Handelsmodells auseinander setzen.150 Dieser Schritt ist von außerordentlicher Relevanz, da ein Anleger nur in der Lage sein wird, Handelssignale eines Modells umzusetzen, das seiner Anlegermentalität entspricht. Schriftliche Formulierung der Handelsstrategie

Nachdem sich der Investor für einen Handelsansatz entschieden hat, wird dieser in eine für ihn verständliche und vertretbare Handelsstrategie umformuliert, die anschließend als Programmcode in den Rechner eingegeben wird. Test der Strategie

Die Strategie wird getestet, indem sie auf möglichst repräsentativen historischen Datenreihen angewandt wird. Die Performance sowie gewisse Kennzahlen werden dann ausgewertet, um das Modell im Falle unzufriedenstellender Signale auszusondern.

148

siehe Abschnitt 4.3.3, Unterpunkt: Optimierung der Strategie vgl. Wetzer (2003), S. 23 ff. 150 siehe Abbildung 4.6 149

73

4 Technische Handelsmodelle Optimierung der Strategie

Enthält die Handelsstrategie Parameter, wie zum Beispiel die Länge des Zeitfensters eines gleitenden Durchschnitts, so können diese ebenfalls anhand einer historischen Datenreihe optimiert werden. Die Strategie wird mit Hilfe spezieller Computerprogramme mit verschiedenen Parameterwerten auf der Optimierungsdatenreihe angewandt. Die Auswahl der optimalen Parameter sollte sich nicht nur auf den erwirtschafteten Gewinn stützen, da dies häufig zu einem Curve Fitting führt: Das Handelsmodell wurde der Datenreihe angepasst. Es soll aber nach einem robusten Modell, das zuverlässig auf verschiedenen Datenreihen ähnlich gut funktioniert, gesucht werden. Deshalb muss ein Test des optimierten Modells auf einer anderen, dem Modell unbekannten historischen Kurszeitreihe durchgeführt werden. Weichen die Ergebnisse im Testzeitraum stark von denen im Optimierungszeitraum ab, so ist das Modell nicht robust und für den Handel ungeeignet. Handel

Strategien, die der Trader im Test als gut erachtet, können in den Handel gehen. Überwachung und Verbesserung des Handelsmodells

Die Handelssignale des Modells sollten von dem Händler ständig beobachtet werden. Läuft das Modell nicht nach Plan, kann dies auf veränderte Marktkonditionen zurückzuführen sein. Das Modell sollte nochmals überprüft und angepasst oder vorerst aus dem Handel genommen werden.

4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen In diesem Abschnitt werden ohne Anspruch auf Vollständigkeit Kennzahlen zur Performanceanalyse von Handelsmodellen vorgestellt. Diese Kennzahlen geben im Modelltest eine Unterstützung bei der Frage, ob ein bestimmtes Modell als gut befunden wird oder ob es verworfen oder verbessert werden soll. Während der Optimierung eines Handelssystems werden diese Kennzahlen herangezogen, um zu bestimmen, ob das Modell robuste Ergebnisse liefert.151 Ein Modell ist umso robuster je stabiler sich die Kennzahlen bei der Variation der Parameter und des Testzeitraumes erweisen. Die Kennzahlen Nettogewinn, durchschnittliches Tradeergebnis und Erfolgswahrscheinlichkeit beschreiben die Performance eines Handelsmodells bezüglich der Rendite. Der Maximum Drawdown und die Standardabweichung der Tradeergebnisse sind Risikokennzahlen. Die interessantesten Kennzahlen bilden sich aus einer Kombination aus Rendite- und Risikomassen. Zu dieser Gruppe gehören der Profit Fac151

74

vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 77

4.3 Handelsmodelle tor, die Profit to Maximum Drawdown Ratio und der Risk-Adjusted-Return bzw. bei Portfolios von Handelssystemen der Portfolio-Risk-Adjusted-Return. Kennzahlen sind, wie alle empirisch abgeleiteten Daten, nicht stabil, sondern abhängig von der zugrunde liegenden Stichprobe.152 Durch die Wahl eines langen Testzeitraumes, der unterschiedliche Marktphasen umfasst, können die Kennzahlen dennoch Aussagen über die Güte des Modells liefern. Im Folgenden werden die in dieser Arbeit eingesetzten Performancekennzahlen vorgestellt. Nettogewinn bzw. Net Profit

Diese Kennzahl stellt den Nettogewinn des Handelssystems in dem getesteten Zeitraum dar. Der Nettogewinn besteht aus den Bruttogewinnen abzüglich der Bruttoverluste: [4.16]

Nettogewinn = Bruttogewinn − Bruttoverlust

Der Nettogewinn wird häufig in der Modellevaluierung überschätzt. Ein Modell, das einen hohen Nettogewinn verbucht, kann den Investor trotzdem ruinieren, wenn der Maximum Drawdown153 zu hoch ist. Der Nettogewinn sagt außerdem nichts über die Verteilung der Gewinne und Verluste aus. Da das Ziel des Handels die Erwirtschaftung von Gewinnen ist, ist diese Kennzahl dennoch von kardinaler Bedeutung, sollte aber stets in Kombination mit anderen Kennzahlen analysiert werden.154 Durchschnittliches Tradeergebnis bzw. Average Trade

Das durchschnittliche Ergebnis pro Trade wird folgendermaßen berechnet: [4.17]

Durchschnittliches Tradeergebnis =

Nettogewinn Anzahl der Trades

Auch diese Kennzahl darf nicht als alleinige Entscheidungsgrundlage eingesetzt werden, da zum Beispiel ein System mit einem hohen durchschnittlichen Tradeergebnis bei einer ungleichmäßigen Verteilung der Gewinne und Verluste über die Zeit als nicht robust einzustufen ist.155 Der Vorteil dieser Kennzahl liegt darin, dass durch die Normierung des Gewinns auf die Signalanzahl verschiedene Systeme verglichen werden können.156

152

vgl. Wetzer (2003), S. 33 siehe weiter unten 154 vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 81 f. 155 vgl. Stridsman (2003), S. 16 ff. 156 vgl. Wetzer (2003), S. 33 153

75

4 Technische Handelsmodelle Erfolgswahrscheinlichkeit bzw. Percent Winning Trades

Die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Trades besteht aus dem Verhältnis zwischen der Anzahl erfolgreicher Trades und aller Trades: [4.18]

Erfolgswahrscheinlichkeit =

Anzahl erfolgreicher Trades . Anzahl aller Trades

Prozentzahl profitabler Märkte bzw. Percent Profitable Markets

Die Kennzahl Percent Profitable Markets besagt, auf wie vielen der getesteten Märkte das Handelsmodell Gewinne generieren konnte. Diese Kennzahl ist für die Stabilität des Handelsmodells von großer Relevanz, da viele verschiedene Märkte das Modell auch verschiedenen Marktphasen untersetzen, und sollte deutlich über 50 % liegen. Maximum Drawdown

Diese Kennzahl misst den durch das Handelsmodell temporär höchsten verursachten Kapitalverlust. Dieser stellt den größten Abstand zwischen dem Hochpunkt und dem darauf folgenden Tiefpunkt der Equitykurve aller Trades dar.157 Der Maximum Intraday Drawdown ist die gängigste Kennzahl für das Risiko eines Handelsmodells und sollte, im Gegensatz zum Total Net Profit, minimiert werden.158 Anleger mit einem verhältnismäßig niedrigen Handelskapital sollten keine Strategie handeln, die temporär einen hohen Kapitalrückgang verursachen könnte, da dieser ihren Einsatz vernichten könnte und weiteres Handeln der letztendlich profitablen Strategie unmöglich macht. Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis

Die Berechnung der Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis erfolgt nach der Formel [4.19]:

157

[4.19]

σ Trades =

mit:

Trades: AvgTrade:

1 Trades (Tradei − AvgTrade )2 ∑ Trades i =1 Anzahl der Trades Durchschnittliches Tradeergebnis

Bsp.: Beträgt das Kapital zu Beginn eines Trades 100 €, nach 2 Tagen 120 €, nach 6 Tagen 60 € und beim Schlissen des Trades 90 €, so beträgt der Maximum Intraday Drawdown: 120 € - 60 € = 60 €, obwohl der Verlust des Trades nur 100 € - 90 € = 10 € beträgt. 158 vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 82

76

4.3 Handelsmodelle Ist die Differenz zwischen dem durchschnittlichen Tradeergebnis abzüglich 1,96 Standardabweichungen größer als null, so kann daraus geschlossen werden, dass das Handelsmodell statistisch signifikante Gewinne erzielt.159 Portfolio-Standardabweichung

Wenn ein Handelsmodell auf ein großes Portfolio von Wertpapieren getestet wird, so kann die Portfoliostandardabweichung wie folgt berechnet werden: [4.20]

σ Portfolio =

mit:

Markets: NetProfiti:

Markets 1 (NetProfit i − Avg NetProfit )2 ∑ Markets i =1

Avg Net Profit:

Anzahl der Wertpapiere im Portfolio Nettogewinn des Handelsmodells auf dem i-ten Markt Durchschnittlicher Nettogewinn des Handelsmodells auf allen Wertpapieren

Je größer diese Kennzahl ausfällt, desto mehr Risiko ist mit dem Handel des Handelsmodells verbunden. Profit Factor

Der Profit Factor setzt den erwirtschafteten Bruttogewinn mit dem Bruttoverlust ins Verhältnis. Ein gutes Risikomanagement wird niedrige Verluste generieren, während ein gutes Regelwerk hohe Gewinne zur Folge haben sollte. Ein Profit Factor, der größer als eins ist, bedeutet höhere Gewinne als Verluste. Je höher dieses Verhältnis ausfällt, desto besser für den Investor.160 Andererseits sollten unrealistisch hohe Werte des Profit Factors den Systemdesigner vor einem überoptimierten oder unrobusten System warnen. Profit to Maximum Drawdown Ratio

Die Profit to Maximum Drawdown Ratio P/MaxDD ist das Verhältnis des Nettogewinns zum größten absoluten Kapitalrückgang. In dem TradestationTM Performance Report ist diese Kennzahl nicht aufgeführt, sie lässt sich aber schnell berechnen: [4.21]

P / MaxDD =

Nettogewinn . Maximum Drawdown

159

Unter der Annahme normal verteilter Tradeergebnisse befinden sich 95 % der Tradeergebnisse in dem Intervall Durchschnittsergebnis - 1,96 * Standardabweichung bis Durchschnittsergebnis + 1.96 * Standardabweichung. [vgl.: Stridsman (2003), S. 24] 160 vgl. Wetzer (2003), S. 34

77

4 Technische Handelsmodelle Diese Ratio besagt, um das wievielfache die Gewinne den größten absoluten Kapitalrückgang überschreiten. Im Idealfall liegt der Wert dieser Kennzahl weit über eins.161 Risk Adjusted Return

Eine weitere Vereinigung zwischen Rendite und Risikomasse stellt der Risk Adjusted Return RAR dar, der folgendermaßen berechnet wird: [4.22]

RAR =

Durchschnittliches Tradeergebnis Standardabweichung

Auf der Basis der Überlegung, dass höhere Gewinne in der Regel durch höheres Risiko erwirtschaftet werden können, ist das Handelsmodell mit dem höchsten Risk Adjusted Return das, was mit der größten Sicherheit gehandelt werden kann.162 Portfolio - Risk Adjusted Return

Beobachtet man das Handelsmodell gleichzeitig auf mehreren Märkten, so stellt das Portfolio Risk Adjusted Return Portfolio-RAR eine gute Rendite-RisikoPerformancekennzahl dar. Um das Portfolio-RAR zu berechnen, muss zuerst der durchschnittliche Gewinn des Handelsmodells über alle Wertpapiere des Portfolios berechnet werden: [4.23]

o/ Net Profit =

Markets 1 ∑ Net Profit i Markets i =1

wobei: NetProfiti:

Nettogewinn des Handelsmodells auf dem i-ten Markt

Anschließend wird auch hier der durchschnittliche Gewinn mit der PortfolioStandardabweichung ins Verhältnis gesetzt.

4.4 Fazit In diesem vierten Kapitel wurden die gängigsten technischen Indikatoren und die Bausteine systematischer Handelsmodelle vorgestellt. Im nächsten Kapitel können dann nach diesen Grundsätzen Handelsmodelle entwickelt werden. 161 162

78

Vgl. Wetzer (2003), S. 35 vgl. Stridsman (2003), S. 24 f.

4.4 Fazit Die Random-Walk-Theorie, nach der Aktienkursprognosen nicht erfolgreich zu erstellen sind, basiert auf der Hypothese effizienter Märkte, die durch das Informationsparadoxon allerdings eine erhebliche Argumentationsschwäche beinhaltet. Die Random-Walk-Theorie konnte trotz intensiver Untersuchungen bisher weder verifiziert noch falsifiziert werden. In der Anlagepraxis werden Wertpapierkurse sehr wohl analysiert. Hierbei stellen die Fundamentalanalyse und die technische Analyse die zwei Hauptanalyseformen dar. Die Fundamentalanalyse besitzt die größere akademische Berechtigung, da beispielsweise auch die Random-Walk-Theorie besagt, dass Aktien um ihren inneren Wert fluktuieren. Die technische Analyse basiert nicht auf einem derartig soliden theoretischen Fundament. In der Praxis werden allerdings häufig Entscheidungen aufgrund technischer Analyse der Märkte getroffen.163 Zuzüglich zu der Tatsache, dass täglich in der Welt weit mehr Geld für Finanztransaktionen als für Güter- und Dienstleistungen umgesetzt wird,164 können folgende Überlegungen angestellt werden: -

Erstens kann davon ausgegangen werden, dass die technische Analyse bereits aus dem Grunde, dass so viele Marktteilnehmer sich an ihr orientieren, eine gewisse Aussagekraft besitzt. Oft wird die technische Analyse als eine sich selbst erfüllende Prophezeiung klassifiziert. Wenn dies zutreffen würde, so hieße es, dass mit technischer Analyse durchaus Geld zu verdienen ist.

-

Zweitens basiert ein großer Teil der Fundamentalanalyse auf den Daten der Transaktionen für Güter und Dienstleistungen, die jedoch vom Volumen her im Vergleich zu den Finanztransaktionen relativ unbedeutend sind.

-

Drittens kann die Fundamentalanalyse, deren Eingabedaten relativ statisch sind, nicht die kurzfristigen, von der Psychologie der Anleger getriebenen, Schwankungen von Wertpapieren erklären. Ihr Anlagehorizont ist eher mittelbis langfristiger Natur.

Es lässt sich zusammenfassen, das die technische Analyse das bessere Instrument für kurzfristige Timing-Entscheidungen sein dürfte. Langfristige Investitionen sollten sich nicht ausschließlich auf die technische Analyse stützen. 163

Die technische Analyse wurde laut einem Report der Bank of England im Jahre 1989 von 90 % der mit Devisen handelnden Institutionen in irgendeiner Weise zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt. [vgl. Davidson (1995)] 164 Im Jahr 1995 wurden z. B. täglich 1,2 Trillionen U.S.Dollar gehandelt. Dies entsprach dem fünfzigfachen von dem, was weltweit täglich für Güter und Dienstleistungen ausgegeben wurde. [vgl. Yao/Tan (1999), S. 222]

79

5 Empirischer Teil 5.1 Vorgehensweise In diesem Teil der empirischen Arbeit kann das systematische PortfolioManagement-Modell entwickelt werden. Das Modell soll in der Lage sein, sowohl den langfristigen Erwartungen des Portfoliomanagers zu entsprechen als auch kurzfristige Chancen am Markt systematisch auszunutzen. In einem ersten Schritt muss sich der Portfoliomanager Gedanken über die langfristige Zusammensetzung seines Wertpapierportfolios machen. Dieser Prozess wird als strategische Asset Allocation bezeichnet. In dieser Arbeit wird dem Vorschlag von Black und Litterman gefolgt, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen als Referenzgewichtungen zu verwenden. Die konkrete Auswahl der Aktien erfolgt im Abschnitt 5.3.1. Allerdings ist es auch möglich, ein individuelles, den persönlichen langfristigen Erwartungen entsprechendes, strategisches Portfolio zusammenzustellen. Taktische Asset Allocation wird angewendet, um kurzfristige Chancen am Aktienmarkt wahrzunehmen. Mit der taktischen Asset Allocation wird eine aktive Investitionspolitik betrieben, welche versucht, im Vergleich zu einer rein passiven strategischen Asset Allocation eine bessere Performance zu erzielen. Diese Chancen am Markt werden durch das entwickelte Handelsmodell identifiziert und dann als Prognosen dem Black-Litterman-Verfahren weitergegeben. Der Vergleichbarkeit halber wird ein Portfolio mit denselben Aktien nach dem Markowitz-Verfahren organisiert. Der Vektor erwarteter Renditen des Markowitz-Portfolios wird bei der Existenz eines Signals des Handelsmodells zu 50 % aus der historischen Durchschnittsrendite und zu 50 % aus der erwarteten Signalrendite bestehen. Liegen für Aktien keine Handelssignale vor, so besteht die erwartete Rendite vollständig aus der historischen Durchschnittsrendite. Die neuen Portfoliogewichtungen werden daraufhin in Richtung der geäußerten Prognosen angepasst. Dazu wird in dem ersten Teil dieses Kapitels versucht, ein profitables und stabiles Handelsmodell für die Aktien des DAX zu entwickeln. Der Testzeitraum bei der Entwicklung des Handelsmodells ist der Zeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.03. Im Abschnitt 5.3.2 des Kapitels werden aus den Handelssignalen des entwickelten Handelsmodells Prognosen spezifiziert, die dann als Renditeerwartungen an das Black-Litterman-Verfahren und das Markowitz-Verfahren weitergegeben werden. 80

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst Diese systematischen Portfolio-Management-Ansätze werden über das Jahr 2004 angewandt und schließlich auf ihre Performance untersucht. Der Aufbau des systematischen Black-Litterman-Portfolio-Management-Modells ist in der Abbildung 5.1 veranschaulicht. Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-Management-Modells nach BLACK und LITTERMAN Strategische Asset Allocation Taktische Asset Allocation

Spezifikation von strategischen Portfoliogewichten

Entwicklung eines Handelsmodells

ODER CAPM-Gewichte

Spezifikation der Inputs des BlackLittermanVerfahrens und der Risikoaversion

Subjektiv

Handelssignale (Prognosen)

Black-Litterman-Verfahren

Systematisch

Black-Litterman-Portfoliogewichtungen

Es wird im Folgenden ausschließlich mit stetigen Renditen gearbeitet.

5.2 Entwicklung des Handelsmodells Die im Folgenden getesteten Handelsmodelle basieren auf einer einfachen MoneyManagement-Strategie, bei der jedes Handelssignal mit einem Handelskapital von 100.000 € umgesetzt wird.

5.2.1 Handelsregeln der einfachen Handelsmodelle In diesem Abschnitt werden Handelsmodelle getestet, die gemäß den Standardinterpretationsweisen der im Abschnitt 4.2.3 vorgestellten Indikatoren Signale generieren. Es werden sieben Trendfolgemodelle und fünf Gegentrendmodelle durchgespielt. Im Folgenden werden die Handelsregeln dieser Modelle beschrieben. Ziel ist es, einen 81

5 Empirischer Teil Eindruck zu bekommen, welche Indikatoren während des Testzeitraumes auf den DAX-Aktien gute Signale generieren konnten. Diese Informationen werden dann bei der Entwicklung des Handelssystems, das im Portfoliomodell eingesetzt werden soll, behilflich sein. Handelsregeln der einfachen Trendfolgemodelle

Handelsmodell Nr. 1: Moving-Average-Crossover Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der kurze Durchschnitt über dem langen Durchschnitt liegt und der kurze Durchschnitt den langen Durchschnitt von unten nach oben schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der kurze Durchschnitt unter dem langen Durchschnitt liegt und der kurze Durchschnitt den langen Durchschnitt von oben nach unten schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung.

Das Trendfolgesystem Nr. 1 benutzt zwei Parameter (Länge des kurzen Durchschnitts k = 5, Länge des Langen Durchschnitts l = 13). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 2: Moving-Average-Crossover Dieses Modell funktioniert analog zu dem Handelsmodell Nr. 1, es ändern sich lediglich die Längen der Zeitfenster, über die die gleitenden Durchschnitte berechnet werden. Der kurze Durchschnitt hat die Länge k = 9, der längere Durchschnitt hat die Länge l = 21.

Handelsmodell Nr. 3: MACD-Crossover Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

82

Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die MACD-Linie über der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von unten nach oben schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die MACD-Linie unter der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von oben nach unten schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung.

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst Das Trendfolgemodell Nr. 3 benutzt drei Parameter (Länge des kurzen exponentiellen Durchschnitts = 12, Länge des langen exponentiellen Durchschnitts = 26, Länge des exponentiellen Durchschnitts zur Berechnung der Signallinie = 9). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 4: Swing-Breakout I Entry Long: Exit Long: Entry Short: Exit Short:

Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet. Glattstellen zur Reversalbedingung.

Der einzige Parameter dieses Handelsmodells ist die Stärke des Swings, Strength = 2. Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 5: Swing-Breakout II Dieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 4, es ändert sich lediglich die Stärke des Swings, nämlich Strength = 3. Dies führt dazu, dass relativ unstabile Unterstützungs- und Widerstandspunkte keine Signale generieren.

Handelsmodell Nr. 6: Swing-Breakout III Dieses Modell funktioniert ebenfalls analog zu dem Modell Nr. 4; es ändert sich auch hier die Stärke des Swings, Strength wird auf vier gesetzt. Die hier ermittelten Swings sind die eindeutigeren Unterstützungs- bzw. Widerstandspunkte im Vergleich zu denen der Handelsmodelle Nr. 4 und Nr. 5.

Handelsmodell Nr. 7: Bollinger-Band-Breakout Entry Long: Exit Long: Entry Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige obere Bollinger Band übersteigt. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige untere Bollinger Band unterschreitet.

83

5 Empirischer Teil Exit Short:

Glattstellen zur Reversalbedingung.

Das Ausbruchmodell benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Handelsregeln der einfachen Gegentrendmodelle

Handelsmodell Nr. 8: RSI-Reversalsystem Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der RSI über der Überverkauft-Grenze liegt und der RSI die Überverkauft-Grenze von unten nach oben schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der RSI unter der Überkauft-Grenze liegt und der RSI die Überkauft-Grenze von oben nach unten schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.

Das Gegentrendmodell benutzt vier Parameter (Länge des Zeitfensters zur Berechnung des RSI = 14, Lage der Überkauftzone = 70, Lage der Überverkauftzone = 30 und Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss ist beim Eingehen von Longpositionen der aktuelle Tiefstkurs, beim Eingehen von Shortpositionen der aktuelle Höchstkurs. Der Trailingstop wird bei Longpositionen bei Kursen unter dem tiefsten Tiefpunkt der letzten drei Tage aktiviert, bei Shortpositionen bei Kursen über dem höchstem Höchstkurs der letzten drei Tage. Das System ermöglicht neutrale Marktphasen, wenn die Stops zum Einsatz kommen. Es existieren demnach sechs mögliche Aktionen (2 Entries = 2 Exits und 4 weitere Exits).

Handelsmodell Nr. 9: Bollinger-Band-Reversals Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

84

Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung.

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es existieren zwei mögliche Aktionen (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 10: Bollinger-Band-Reversals mit Stop-Loss Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung oder zum Stop-Loss. Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung oder zum Stop-Loss.

Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Der Stop-Loss wird bei Shortpositionen auf dem Niveau des aktuellen Höchstkurses gesetzt, bei Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Es existieren vier mögliche Aktionen (2 Entries + 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 11: Bollinger-Band-Reversal mit Stop-Loss und Trailingstop Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.

Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt drei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2, Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss wird beim Eingehen von Shortpositionen auf dem Niveau des aktuellen Höchstkurses gesetzt, beim Eingehen von Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Der Trailingstop wird bei Longpositionen bei Kursen unter dem tiefsten Tiefpunkt der letzten drei Tage aktiviert, bei Shortpositionen bei Kursen über dem höchstem Höchstkurs der letzten drei Tage. Es existieren vier mögliche Aktionen (2 Entries + 2 Exits).

85

5 Empirischer Teil Handelsmodell Nr. 12: Candlestick-Reversals Entry Long: Exit Long: Entry Short: Exit Short:

Kaufe am nächsten Tag, wenn eine Hammer-Formation bestätigt wird, d.h. der Kurs über dem Hochpunkt der Hammer-Kerze notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Verkaufe am nächsten Tag, wenn eine Shooting-Star-Formation bestätigt wird, d. h. der Kurs unter dem Tiefpunkt der Shooting-Star-Kerze notiert. Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.

Das Gegentrendmodell Nr. 12 benutzt zwei Parameter (Länge des Zeitfensters zur Trendbestätigung = 3, Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss und der Trailingstop funktionieren analog zu dem Handelsmodell Nr. 11. Das System ermöglicht neutrale Marktphasen und hat vier verschiedene Aktionen (2 Entries = 2 Exits und weitere 4 Exits).

5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum Die Performance der Signalmodelle Nr. 1 bis Nr. 12 in dem Testzeitraum vom 01.01.2002 bis zum 31.12.2003 wird hier anhand der Performancekennzahlen Profit Factor PF, Profit to maximum Drawdown Ratio P/MaxDD, Portfolio-Risk Adjusted Return PF-RAR und Prozentzahl der profitablen Märkte PercProfitable, veranschaulicht.165 Im Anhang C.1 befinden sich die detaillierten Performancetabellen, in denen für jedes Signalmodell die Performancekennzahlen für jede DAX-Aktie sowie die zusammengefassten Performancekennzahlen über alle Aktien aufgelistet sind. Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle

Trendfolgemodelle

165

86

siehe Abschnitt 4.3.4

Gegentrendmodelle

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst Die Abbildung 5.2 veranschaulicht die, den Ertrag und das Risiko beinhaltenden Performancekennzahlen der zwölf einfachen Handelsmodelle. Offensichtlich besteht ein Zusammenhang zwischen den drei Kennzahlen, deren Aussagen sich unter Ausnahme des Handelsmodells Nr. 12 gegenseitig bestätigen.166 In der Abbildung 5.3 ist mit der Prozentzahl profitabler Märkte eine vierte, zur Evaluierung der Systemstabilität äußerst wichtige Kennzahl aufgeführt. Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen Handelsmodelle

Die beiden Moving-Average-Crossover-Modelle (Nr. 1 und Nr. 2) besitzen eine gute Performance, da der Profit Factor bei 1.70 bzw. 1.53 liegt. Das Modell Nr. 1 hat allerdings nur in 53.33 % der Märkte einen Profit erzielt. Robuster scheint mit 66.66 % profitablen Märkten das Handelsmodell Nr. 2. Das MACD-Crossover-Modell (Nr. 3) kommt aufgrund seines negativen durchschnittlichen Gewinns und den nur 33.33 % profitablen Märkten nicht für eine Weiterentwicklung in Frage. Bei den SwingBreakout-Modellen (Nr. 4, 5 und 6) fällt auf, dass sich sowohl die Performance als auch die Anzahl profitabler Märkte verbessert, je eindeutiger das Swing-Niveau definiert wird. Das Bollinger-Band-Breakout-Modell ist offensichtlich das im Testzeitraum am besten performende Modell. Allerdings ist es unwahrscheinlich, dass diese sehr gute Performance durch ein derartig einfaches Regelwerk ohne weiteres auch in der Zukunft systematisch zustande kommen kann. Das RSI-Reversal-Modell (Nr. 8) ist auf den meisten Märkten profitabel, nämlich auf 66.66 %. Allerdings zeichnet es sich ebenfalls durch ein niedriges Portfolio-RiskAdjusted-Return aus, was darauf schließen lässt, dass die Ergebnisse sehr starken Schwankungen unterworfen sind. Sowohl die Bollinger-Band-Reversal-Modelle (Nr. 9, 10 und 11) als auch das Candlestick-Reversal-Modell Nr. 12 generieren auf den meisten Märkten Verluste. Insgesamt kann gesagt werden, dass die Moving-Average-Crossover, und die Breakout-Trendfolgemodelle im Testzeitraum profitabel agieren konnten. Sowohl das 166

Der Grund für den außergewöhnlich hohen Profit Factor im Handelsmodell Nr. 12 ist ein außeror-

87

5 Empirischer Teil MACD-Trendfolgemodell als auch sämtliche Gegentrendmodelle erwirtschafteten unbefriedigende Ergebnisse und werden aus diesem Grunde im nächsten Abschnitt nicht weiterbehandelt.

5.2.3 Weiterentwicklung der Handelsmodelle Filterung

Aufgrund der vorgenommenen Tests der einfachen Handelsmodelle gelten insbesondere die Breakout-Modelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 als erfolgversprechend. Die Modelle Nr. 1 und Nr. 2 haben ebenfalls gute Ergebnisse geliefert, ihr Ansatz wird deshalb zur Filterung der Signale der drei gewählten Breakout-Modelle eingesetzt. Es wird also untersucht, inwiefern sich die Modellperformance verändert, wenn die Signale zuzüglich des Breakouts auch einer Moving-Average-Bedingung zu Grunde liegen. Die Handelsregeln der gefilterten Handelsmodelle für die einfachen Modelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 werden im Folgenden beschrieben. Die Bezeichnung „_Filter“ steht für den Moving-Average-Filter, die kursiv geschriebenen Teile der Handelsregel veranschaulichen die neue Komponente der Modelle.

Handelsmodell Nr. 5_Filter Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem 34tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen zur Reversalbedingung.

Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt vier Parameter (Kurse zur Bestimmung des Swing-Niveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

dentlich hoher verbuchter Gewinn mit der Aktie Fresenius Medical Care (FME).

88

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst Handelsmodell Nr. 6_Filter Dieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 5_Filter, es ändert sich die Anzahl der erforderten Kurse, nämlich vier pro Seite, neben den Swing-Kursen, um diese zu gültigen Swings zu machen.

Handelsmodell Nr. 7_Filter Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige obere Bollinger Band übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen zur Reversalbedingung. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige untere Bollinger Band unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen zur Reversalbedingung.

Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt fünf Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2, Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34). Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Performance der gefilterten Handelsmodelle im Testzeitraum

Die Abbildung 5.4 veranschaulicht die Performancekennzahlen der drei Handelsmodelle sowohl vor als auch nach der Filterung. In der Abbildung 5.5 ist die Prozentzahl profitabler Märkte aufgetragen. Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung

89

5 Empirischer Teil Die Filterung konnte vor allem die Performance des Swing-Breakout-Modells Nr. 5 verbessern. Die Performance des Bollinger-Band-Breakout-Modells Nr. 7 verschlechterte sich allerdings, da sowohl die Profit to maximum Drawdown Ratio als auch das Portfolio-RAR deutlich gefallen sind. Die gleichzeitige Steigerung des Profit Factors von 2.1 auf 3.36 kommt vor allem durch den extrem hohen Gewinn, den das Modell Nr. 7_Filter auf der Bayer-Aktie (BAY) verbuchen konnte, zustande.

Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung

Die deutlich niedrigere Anzahl profitabler Märkte und die soeben angesprochene Inkohärenz der Performancemaße nach der Filterung des Handelsmodells Nr. 7 lässt vermuten, dass die im Abschnitt 5.2.2 geäußerten Bedenken über die Stabilität des Modells gerechtfertigt waren. Das Handelsmodell Nr. 5 konnte nach der Filterung bei verbesserten Performancekennzahlen auf deutlich mehr Märkten (Steigerung von 50 % auf 60 %) profitabel agieren, das Handelsmodell Nr. 6 agierte durch die Filterung auf 63.33 % Märkten profitabel (vorher: 56.67 %). Im Folgenden werden die zwei erfolgversprechenden Swing-Breakout-Modelle Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter weiterentwickelt. Zusätzliche Exit-Regeln

Die gefilterten Swing-Breakout-Handelsmodell Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter werden in diesem Schritt um spezifische Exit-Regeln erweitert. Es handelt sich dabei sowohl um Stopp-Loss-Regeln als auch um einen Trailingstop. Dies hat zur Folge, dass die Handelsmodelle auch neutrale Marktphasen haben werden. Durch dieses schnellere Schließen der Positionen können hoffentlich Verluste, die aus der Trägheit der Modelle beim Positionsschluss resultieren, gemindert werden. Die Stops agieren folgendermaßen: Der Stop-Loss ist bei Longpositionen durch das aktuelle Swing-Low gegeben. Fallen die Kurse unter dieses Niveau, wird die Longposition geschlossen. Bei Shortpositionen stellt das letzte Swing-High den Stopkurs dar, ein Überschreiten dieser Marke führt zu einem Schließen der Position. Der Trai90

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst lingstop stellt bei Longpositionen den tiefsten Tiefstkurs der vergangenen 13 Tage dar, bei Shortpositionen den höchsten Höchstkurs der vergangenen 13 Tage. Befinden sich das aktuelle Swing-Low über dem Long-Trailingstop bzw. das aktuelle Swing-High unter dem Short-Trailingstop, so gelten diese als Trailingstopniveaus. Die Handelsregeln der mit diesen Exits versehenen Handelsmodelle sehen folgendermaßen aus:

Handelsmodell Nr. 5_Filter_Stops Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.

Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des SwingNiveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34, Länge des Zeitfensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 6_Filter_Stops Entry Long:

Exit Long: Entry Short:

Exit Short:

Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt. Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt. Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.

. Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des SwingNiveaus = 4, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34, Länge des Zeitfensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits). 91

5 Empirischer Teil Performance der mit Stops versehenen Handelsmodelle im Testzeitraum

Die Abbildung 5.6 veranschaulicht die Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5 und Nr. 6 mit den ursprünglichen Handelsregeln, den gefilterten Handelsregeln und den mit Stops versehenen gefilterten Handelsregeln. Eine Verbesserung der Kennzahlen konnte in diesem Schritt nicht erreicht werden. Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln

Allerdings konnte, wie die Abbildung 5.7 zeigt, die Prozentzahl profitable Märkte für das Handelsmodell Nr. 5_Filter_Stops ein weiteres Mal deutlich erhöht werden (von 60 % auf 70 %). Diese Kennzahl ist ein wichtiges Signal für die Stabilität des Handelsmodells, da die hohe Anzahl getesteter Märkte das Modell zwangsläufig unterschiedlichen Marktphasen aussetzt. Abbildung 5.7: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln

Wegen der hohen Anzahl profitabler Märkte und den immer noch guten Performancekennzahlen wird das Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops für die kurzfristigen Timing-Prognosen zum Management eines Portfolios aus DAX-Aktien eingesetzt. Festzuhalten bleibt, dass nicht das profitabelste Handelsmodell für den praktischen Einsatz, sondern das als stabilste erachtete Modell ausgewählt wird.

92

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle 5.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios In diesem Abschnitt werden die Aktien ausgewählt, die in die Portfolios kommen sollen. Die Entscheidung fällt auf Aktien aus dem DAX-Index, da das technische Handelsmodell für den Handel dieser Werte konzipiert wurde. Auf eine Aufnahme sämtlicher DAX-Aktien in die Portfolios wird aus folgenden Gründen verzichtet: -

Die Portfolio-Optimierung von sehr großen Portfolios kann sich je nach Güte der Numerik des verwendeten Statistikprogrammes als problematisch erweisen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix kann unter Umständen nicht invertiert werden, da sie als singulär betrachtet wird. Einen möglichen Umweg bietet da die Cholesky-Dekomposition. Da im Black-Litterman-Verfahren je nach Prognose die marktkapitalisierungsgerechten Referenzgewichtungen der Aktien etwas erhöht oder gemindert werden, ändert die Aufnahme relativ kleiner Werte die Portfolioperformance nur in geringem Maße und würde in der Praxis vor allem zu erhöhten Transaktionskosten führen.

-

Aus diesen Gründen fällt die Wahl der Aktien im Portfolio auf einige große Werte im DAX. Zur Entscheidungsunterstützung wird die Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien zum 02. Januar 2004, veranschaulicht in der Abbildung 5.8, herangezogen.167 Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien

[Stand: 02.01.04; Quelle: Eigene Berechnung ausgehend von den Kursen und der Anzahl der Aktien am Markt; Quellen YahooFinance,Deutsche Börse AG]

Die Wahl fällt auf ein Portfolio mit den fünfzehn am 02. Januar 2004 am stärksten kapitalisierten Aktien, da diese Werte ca. 84 % des DAX-Volumens ausmachen, und 167

Eine Tabelle mit sämtlichen DAX-Aktien und ihre Kürzel und Wirtschaftssektoren sowie Kursdiagramme und Marktkapitalisierungen befinden sich im Anhang B.3.

93

5 Empirischer Teil somit den Index sehr gut repräsentieren. Es handelt sich dabei geordnet nach deren Marktkapitalisierung um folgende Aktien: Deutsche Telekom (DTE), Siemens (SIE), SAP (SAP), Allianz (ALV), Deutsche Bank (DBK), Daimler Chrysler (DCX), E.On (EOA), BASF (BAS), BMW (BMW), Münchener Rückversicherungen (MUV2), Deutsche Post (DPW), Bayer (BAY), RWE (RWE), Volkswagen (VOW), Metro (MEO). Die Abbildung 5.9 veranschaulicht die Aufteilung über die Wirtschaftssektoren des marktkapitalisierungsgerechten Portfolios am 02. Januar 2004. Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten Fünfzehn-WertpapierPortfolios über die Wirtschaftssektoren 4% 3% 8%

17%

Automobilindustrie Telekommunikation Versicherungen

9% 14%

Industrie Versorger Chemie Software

9%

13%

11%

Banken Logistik Einzelhandel

12%

[Stand: 02.01.04, Quelle: Eigene Berechnung]

Die gute Streuung über die Wirtschaftssektoren des Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios und die hohe Anzahl an Aktien sollten das unsystematische Risiko des Portfolios zu einem erheblichen Maße reduzieren. Die Benchmark für die systematisch geplanten Portfolios wird das marktkapitalisierungsgewichtete Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio sein. Der DAX-Index bietet sich ebenfalls als Benchmark an, darauf wird allerdings aus Gründen der präziseren Beurteilung der Portfolio-Management-Modelle durch die gewählte Benchmark verzichtet.

94

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle

5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale 5.3.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-Management-Modells

Zur Bestimmung der impliziten Gleichgewichtsrenditen sind die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen der Aktien im Portfolio wGG, die Varianz-KovarianzMatrix Σ sowie der Risikoaversionsparameter λ des Portfolios notwendig. Die bereits im Abschnitt 3.3 erläuterte Formel zur Berechnung der impliziten Renditen lautet: Π* = λΣw REF Die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen wGG. Es liegen für sämtliche Wertpapiere des Portfolios die Anzahl der Aktien auf dem Markt vor. Indem diese mit dem aktuellen Kurs der Aktie multipliziert werden, erhält man die Marktkapitalisierungen der Werte.168 Die Marktkapitalisierung einer Aktie dividiert durch die Summe der Marktkapitalisierungen aller Aktien des Portfolios ergibt dann die marktkapitalisierungsgerechte Gewichtung dieser Aktie. Dieser Vorgang wird täglich, so dass sich die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen der Marktentwicklung dynamisch anpassen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ wird durch die empirische Varianz-KovarianzMatrix approximiert. Diese wird rollierend über ein Zeitfenster von hundert Börsentagen in die Vergangenheit berechnet. Der Risikoaversionsparameter λ wird auf 2.5 gesetzt. Dieser Wert entspricht nach He und Litterman (1999) dem globalen durchschnittlichen Risikoaversionsparameter. Der Skalar τ ist ein weiterer wichtiger Eingabefaktor des Black-Litterman-Modells. In den folgenden Portfolios wird der Skalar den Anwendungen von Drobetz (2002) folgend auf 0.3 gesetzt. Die Prognosematrix V. Zu der Bestimmung der Prognosematrix werden über den gesamten Testzeitraum die Marktpositionen des Handelsmodells bestimmt. Wenn das Modell an einem bestimmten Tag Long ist, dann wird dies als eine positive Prognose gewertet, ist das Handelsmodell Short, wird dies als eine negative Prognose interpretiert. Anschließend werden die realisierten Renditen an den Tagen, an denen das Handelsmodell die Long- bzw. Short-Signale generiert hat, festgehalten.

In der Abbildung 5.10 sind die empirischen Verteilungen der Renditen sämtlicher DAX-Werte im Testzeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.2003 bei Long- und 168

siehe Anhang B.3.3

95

5 Empirischer Teil Short-Signalen, sowie die Normalverteilungen basierend auf den zwei ersten Momenten der empirischen Verteilungen aufgeführt. Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der DAX-Aktien im Testzeitraum bei Long- bzw. Short-Signalen

Anzahl Long-Signale: 5051 Mittelwert: 0.003221600 Varianz: 0.02830029 Jarque-Bera: 1979.962 (p-value < 2.2e-16) t-Test: 8.0904 (p-value < 2.2e-16)

Anzahl Short-Signale: 5382 Mittelwert: -0.004419361 Varianz: 0.02943300 Jarque-Bera: 696.2059 (p-value < 2.2e-16) t-Test: -11.0153 (p-value: 0.6401)

Der Jarque-Bera-Test verwirft sowohl bei der Verteilung der Renditen bei LongSignalen, als auch bei der Verteilung der Renditen bei Short-Signalen die Annahme der Normalverteilung mit einem Signifikanzniveau von weit unter 1 %. Die Renditen scheinen eher einer leptokurtischen Verteilung zu entsprechen. Die Annahme normal verteilter Prognosen des Black-Litterman-Verfahrens wird dadurch leider verletzt. Der t-Test unterstellt, dass die Renditen bei Long-Signalen signifikant größer als null und die Renditen bei Short-Signalen signifikant kleiner als null sind. Allerdings ist die Aussagekraft des t-Tests durch die Tatsache, dass die Daten nicht stochastisch zustande gekommen, sondern das Ergebnis des Entwicklungsprozesses im Abschnitt 5.2. sind, sehr eingeschränkt. Im Falle eines Long-Signals wird die Renditeprognose trotzdem für die entsprechende Aktie auf +0.32216 %, dem Mittelwert aller LongSignal-Renditen im Testzeitraum, gesetzt. Im Falle eines Short-Signals wird eine Rendite von -0.44193611 % prognostiziert. Die Prognosegütematrix Ω wird analog anhand der Varianzen der Handelssignalrenditen im Testzeitraum bestimmt. Jeder Long-Signal-Prognose wird eine Varianz von 0.02830029 zugewiesen, jeder Short-Signal-Prognose eine Varianz von 0.02943300.

96

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle Die Prognosezuordnungsmatrix P ist eine k×15 Matrix, wobei k die Anzahl der aktuell existierenden Handelssignale darstellt. In diesem Beispiel werden nur absolute Prognosen des Typs (A)169 erstellt, so dass in jeder Zeile der P-Matrix vierzehn Nullen und eine Eins stehen, die das Handelssignal der richtigen Aktie zuordnen. 5.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells

Die Black-Litterman-Gewichte wurden für das Jahr 2004 jeden Tag auf Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale berechnet.170 Abbildung 5.11 stellt die Entwicklung der Rendite für das Black-Litterman-Portfolio und der Benchmark dar. Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 0.3] 0.08

Renditeentwicklung

0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1

Benchmark

12.04

11.04

10.04

09.04

08.04

07.04

06.04

05.04

04.04

03.04

02.04

01.04

-0.12

Black-Litterman-Portfolio

Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass das Black-Litterman-Portfolio die meiste Zeit über eine leichte Überrendite gegenüber der Benchmark verzeichnen konnte. Lediglich in der ausgeprägten Seitwärtsbewegung des Marktes im Januar und Februar 2004 war die Performance des Black-Litterman-Portfolios schwächer als diejenige der Benchmark. Dies liegt eindeutig an der Schwäche des trendfolgenden Handelsmodells in derartigen Marktphasen. Die Überrendite ist jedoch über den ganzen Handelszeitraum gering. Ein aggressiveres Portfolio wird durch das Erhöhen des Skalars τ von 0.3 auf 2 erstellt. Bei diesem 169

vgl. Abschnitt 3.4.1 Im Anhang D.1 und D.2 befinden sich die R-Quellcodes der Funktionen der PortfolioManagement-Modelle. 170

97

5 Empirischer Teil Portfolio gehen die Signale des Handelsmodells stärker in die Berechnung der BlackLitterman-Gewichtungen ein. Abbildung 5.12 stellt die Entwicklung der Renditen dieses aggressiveren Black-Litterman-Portfolios dar. Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 2] 0.08

Renditeentwicklung

0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1

Benchmark

12.04

11.04

10.04

09.04

08.04

07.04

06.04

05.04

04.04

03.04

02.04

01.04

-0.12

Aggressives Black-Litterman-Portfolio

Bei diesem aggressiveren Portfolio kann die Benchmark zeitweilig viel deutlicher outperformt werden. Allerdings sind die Rückschläge in den Marktphasen, in denen das Handelsmodell schlechte Signale generiert, ebenfalls ausgeprägter als in dem ersten vorgestellten Black-Litterman-Portfolio.

5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der historischen Renditen und der Handelssignale Im Folgenden wird ein Portfolio nach dem Markowitz-Verfahren auf Basis historischer Renditen und der Handelssignale untersucht. Der Vektor erwarteter Renditen setzt sich hier im Falle eines vorhandenen Handelssignals zur Hälfte aus der Handelssignalprognose gemäß Abschnitt 5.3.3.1 und zur anderen Hälfte aus der mittleren historischen Rendite über die letzten hundert Börsentage des Wertpapiers zusammen. Wenn allerdings kein Handelssignal vorhanden ist, so besteht die erwartete Rendite zu hundert Prozent aus der historischen Rendite. Die Varianz-Kovarianz-Matrix wird auch hier rollierend über die letzten hundert Börsentage berechnet. Der Risikoaversionsparameter wird wie in den Black-Litterman-Portfoliomodellen auf 2.5 gesetzt.

98

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ [ohne Leerverkäufe] 0.23

Renditeentwicklung

0.18 0.13 0.08 0.03 -0.02 -0.07

Benchmark

12.04

11.04

10.04

09.04

08.04

07.04

06.04

05.04

04.04

03.04

02.04

01.04

-0.12

Markowitz-Portfolio ohne Leerverk äufe

Die Abbildung 5.13 veranschaulicht die Renditeentwicklung des MarkowitzPortfolios. Die Benchmark wird mit dem Markowitz-Portfolio deutlich outperformt. In den ersten drei Monaten des Jahres notierte das Portfolio allerdings auch klar unter der Performance der Benchmark.

5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-ManagementModelle Die Eigenschaften der vorgestellten Portfolio-Management-Modelle und des Benchmarkportfolios werden in diesem Abschnitt gegenübergestellt. In der Abbildung 5.14 sind Kennzahlen zur Evaluierung der Portfolioperformance aufgeführt. Die Rendite ist die im Handelszeitraum verbuchte Rendite. Die Jahresstandardabweichung entspricht der annualisierten Standardabweichung der Tagesrenditen. Die Sharpe-Ratio wird gemäß den Erläuterungen im Abschnitt 2.6 berechnet und interpretiert. Die Umschichtungskennzahl gibt die relative Anzahl der Kapitalumschichtungen über das Jahr 2004 an. Der Herfindahl-Index ist ein Konzentrationsmaß. Er wird für ein Portfolio aus N Aktien folgendermaßen berechnet: N

[4.1]

H = ∑ wi2 i =1

99

5 Empirischer Teil Ein Herfindahl-Index von 1 steht für die höchstmögliche Konzentration eines Portfolios, hier wird das gesamte Vermögen auf eine einzige Anlage verteilt. Je kleiner der Herfindahl-Index ausfällt, desto gleichmäßiger ist das Kapital auf die Anlagen verteilt. In einem Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio ist der kleinstmögliche HerfindahlIndex 0.06666667. In der Abbildung ist der durchschnittliche Herfindahl-Index der Portfolios über den gesamten Handelszeitraum angegeben. Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios (sicherer Zinssatz: Benchmark 171 0.02275)

Black-Litterman

Aggressives Black-Litterman

Markowitz

Rendite im Jahr 2004 Standardabweichung

0.055493 0.162684

0.060003 0.158019

0.054171 0.158390

0.202748 0.206883

Sharpe-Ratio

0.201269

0.235751

0.198379

0.870048

Umschichtungen

0.882075

10.361000

24.118390

34.960080

Durchschnittlicher HerfindahlIndex

0.081956

0.101559

0.191789

0.750166

Das Black-Litterman-Modell verbucht 6 % Gewinn und liegt somit 0.45 % über der Benchmark. Auffällig ist, dass das Black-Litterman-Modell die kleinste Standardabweichung der Gewinne besitzt. Aus diesen beiden Gründen lässt sich die höhere Sharpe-Ratio des Black-Litterman-Modells gegenüber der Benchmark erklären. Das aggressive Black-Litterman-Modell kann die Benchmark nicht outperformen. Allerdings verdeutlicht die Abbildung 5.12, dass zeitweise eine deutliche Outperformance erreicht wurde. Die Standardabweichung ist bei diesem Portfolio ebenfalls geringer als bei der Benchmark, dies führt zu einer höheren Sharpe-Ratio des aggressiven Black-Litterman-Portfolios im Gegensatz zur Benchmark. Die Performance-Maße sowie die Abbildungen 5.11, 5.12 und 5.13 verdeutlichen, dass die erwirtschaftete Rendite in dem Markowitz-Modell mit 20.27 % p. a. am höchsten ist. Das Markowitz-Modell ist aufgrund dieser hohen Rendite auch dasjenige mit der höchsten Sharpe-Ratio, trotz der höchsten verbuchten Standardabweichung. Eine reine Beurteilung nach der Sharpe-Ratio ist jedoch wegen der unterschiedlichen Eigenschaften der Portfolios unangebracht. Das Markowitz-Portfolio schichtet das Kapital im Jahr 2004 ca. 35 Mal um, dies verursacht deutlich höhere Transaktionskosten als das Benchmarkportfolio, bei dem das ganze Jahr über nur ca. 88 % des

100

5.4 Fazit Vermögens umgeschichtet werden. Die Black-Litterman-Portfolios schichten das Kapital 10 bzw. 24 Mal um, was in dem Fall des aggressiven Black-LittermanPortfolios angesichts der verbuchten Performance unangemessen oft ist. Die Aufteilung des Vermögens auf die Aktien erfolgt sowohl bei dem Benchmarkportfolio als auch bei dem Black-Litterman-Portfolio sehr gleichmäßig, da der Herfindahl-Index für die beiden Portfolios sehr niedrig ist. Das aggressivere BlackLitterman-Portfolio weist eine leicht erhöhte Konzentration auf. Das MarkowitzPortfolio besitzt einen durchschnittlichen Herfindahl-Index von 0.75, was auf eine extrem hohe Konzentration des Vermögens auf wenige Wertpapiere schließen lässt. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das Markowitz-Portfolio zwar auf dem ersten Blick die beste Performance vermuten lässt, allerdings sehr hohe Transaktionskosten verursachen würde. Die hohe Konzentration dieses Portfolios zeugt von schlechter Diversifikation und führt dem Portfolio ein hohes Maß an unsystematischem Risiko bei. Aus diesen Gründen kommt die Anwendung des vorgestellten Markowitz-Portfolios in der Praxis in dieser Form nicht in Frage. Das erste Black-Litterman-Portfolio ist dem aggressiveren Black-Litterman-Portfolio vorzuziehen, da es besser diversifiziert ist, weniger Transaktionskosten verursacht und eine höhere Sharpe-Ratio besitzt. Trotz der höheren Sharpe-Ratio von 0.235 im Gegensatz zu 0.201 kann das Black-Litterman-Portfolio nicht eindeutig der Benchmark präferiert werden, da diese etwas besser diversifiziert ist, und deutlich niedrigere Transaktionskosten verursacht.

5.4 Fazit Die Handelssignale können offensichtlich die Performance des FünfzehnWertpapier-Portfolios die meiste Zeit über verbessern. Die Ergebnisse der BlackLitterman-Portfolios sind jedoch leider nicht eindeutig. Eine Berücksichtigung der Transaktionskosten würde die erzielte Outperformance deutlich mindern. Ob das Modell dann in der Praxis noch profitabel gewesen wäre, ist fraglich. Andererseits muss gesagt werden, dass die Seitwärtsbewegungen der Märkte in den ersten zwei Drittel des Jahres 2004 eine äußerst schwierige Umgebung für das trendfolgende Ausbruchsmodell darstellt. Die Tatsache, dass die absolute Performance der Portfolio-Management-Modelle trotzdem relativ konstant über derjenigen der

171

Dieser Zinssatz entspricht dem 1-Jahres-EURIBOR zum 02.01.2004. [Quelle: www.euribor.org]

101

5 Empirischer Teil Benchmark notieren konnte zeugt zum einen für eine gute Stabilität des Handelsmodells und lässt in volatileren Marktphasen signifikantere Ergebnisse erwarten. Die Wirkung absoluter Prognosen ist außerdem durch den starken Gleichlauf der DAX-Aktien eingeschränkt. So treten beispielsweise Handelssignale in dem vorgestellten Portfolio häufig gleichzeitig auf172, dies liefert keine eindeutigen Aussagen über aktuell besonders starke bzw. schwache Werte. Verbesserungen hält der Autor vor allem durch die Erweiterung des Modells um relative Prognosen des Typs (B)173 und/oder um kurzfristigere und sicherere Prognosen durchaus für möglich. Die Flexibilität des Black-Litterman-Verfahrens sollte ausgenutzt werden indem man eine Vielzahl unterschiedlicher Prognosen aus unterschiedlichen Verfahren in das Portfolio-Management-Modell integriert.

172

siehe Signalmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu 173 siehe Abschnitt 3.4.1

102

6 Schlussfolgerung In dieser Arbeit wurden mit der Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz und dem Capital Asset Pricing Model von Sharpe die Grundlagen der Modernen PortfolioTheorie vorgestellt; die Probleme, welche die Anwendung der reinen Portfoliooptimierung nach Markowitz in der Praxis nach sich zieht, wurden erörtert. Das innovative Verfahren von Black und Litterman ermöglicht es dem Portfoliomanager, ausgehend von strategischen Referenzgewichtungen oder marktkapitalisierungsgerechten CAPM-Gewichtungen, eine beliebige Anzahl von Prognosen unterschiedlicher Art in den Optimierungsprozess einfließen zu lassen. Die Vorteile dieses Verfahrens gegenüber der reinen Portfoliooptimierung nach Markowitz wurden anhand von Beispielen demonstriert. Technische Handelsmodelle stellen eine von vielen Möglichkeiten dar, Anlageentscheidungen zu treffen. Der Aufbau von Handelsmodellen wurde dargestellt und es wurde ein Handelsmodell zum Handel der DAX-Aktien entwickelt. Zwei wesentliche Vorteile von Handelsmodellen sind die vollständige Eliminierung subjektiver Entscheidungen, und somit menschlicher Emotionen, aus dem Investmentprozess sowie die Möglichkeit, die Performance der Handelsregeln auf historischen Daten zu testen. Im empirischen Teil der Arbeit wurden die Signale des entwickelten Handelsmodells als Renditeprognosen in das Black-Litterman-Verfahren integriert. Dieses automatische Portfolio-Management-Modell konnte die Benchmark die meiste Zeit über outperformen. Das Vergleichsmodell auf Basis der Markowitz’schen Portfoliooptimierung generierte zwar absolut gesehen die höchste Rendite, wird aber vor allem aus Gründen zu hoher Konzentration und zu hoher Transaktionskosten als nicht handelbar eingestuft. Abschließend kann gesagt werden, dass das Black-Litterman-Verfahren ein äußerst flexibles Instrument für Portfolio-Management-Entscheidungen in der Praxis darstellt. Das Verfahren vereint den Portfoliooptimierungsansatz von Markowitz mit kapitalmarkttheoretischen Überlegungen (CAPM-Gleichgewicht) und gibt dem Investor die Möglichkeit, eigene Prognosen konsistent in das Verfahren zu integrieren. Ob eine Benchmark mit Black-Litterman-Portfolios geschlagen werden kann, hängt primär von der Qualität der geäußerten Renditeprognosen ab. Handelsmodelle, die sich durch eine hohe Robustheit auszeichnen, sind für diesen Zweck durchaus geeignet.

103

6 Schlussfolgerung Weitere Verbesserungen des vorgestellten Ansatzes hält der Autor für möglich. Das Black-Litterman Verfahren kann z.B. gleichzeitig mit mehreren Prognosen und unterschiedlichen Handelssignalen versorgt werden. Es sollten vermehrt auch relative Prognosen spezifiziert werden. Dies kann z.B. durch ein Ranking der Aktien sowohl mit dem stärksten Momentum als auch mit dem schwächstem Momentum erreicht werden. Dadurch würden kurzfristige relative Stärken oder Schwächen von Wertpapieren verstärkt ausgenutzt. Der Einsatz verschiedener quantitativer Methoden wie ARIMA, ARCH/GARCH oder künstlicher neuronaler Netze ist simultan möglich und könnte ebenfalls die Ergebnisse verbessern. Die trendfolgenden Signale, die in dieser Arbeit angewandt wurden, scheinen in einem Portfolio mit derartig hoch korrelierten Wertpapieren wie es die DAX-Aktien sind, weniger leistungsfähig als sie es in einem Portfolio mit sehr niedrig korrelierten Wertpapieren wären, da Handelssignale aufgrund des starken Gleichlaufs der DAXAktien häufig zum gleichen Zeitpunkt erscheinen174 und sich somit in der BlackLitterman-Portfoliooptimierung teilweise neutralisieren. Es wäre denkbar, dass durch die Bildung eines Portfolios mit niedriger korrelierten Aktien die Handelssignale vereinzelter auftreten würden und somit gezielter wirken könnten. Die wesentlichen Vorteile des vorgestellten Portfolio-Management-Modells für den Portfolio-Manager sind: -

-

Die Bildung realistischer Portfoliogewichte basierend auf den Konzepten der Modernen Portfolio-Theorie und Handelsmodellen Ausschaltung von Emotionen aus dem Handel Parallele Auswertung einer beliebigen Anzahl von Märkten durch Computerprogramme Geringere Abhängigkeit von Marktphasen weniger Aktien, da Handelssignale auf fünfzehn Wertpapiermärkten parallel ausgeführt werden und zuvor vor allem auf Robustheit getestet wurden Die gewonnene Zeit kann vom Portfolio-Manager sinnvoll zu extensiverem quantitativem Research und zur sorgfältigen Planung mittel- bis langfristiger Portfolios genutzt werden

Wenn es gelänge durch einem derartigen Portfolio-Modell mit einer hohen Zuverlässigkeit konstant einige Prozentpunkte über dem Index oder der Benchmark zu performen, könnte diese Überperformance in Portfolioabsicherungen auf dem Terminmarkt investiert werden. Der Anleger hätte dann die Chance mit einem minimalen Verlustrisiko an der positiven Entwicklung der Benchmark voll zu partizipieren. 174

siehe Datenmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu

104

7 Literaturverzeichnis Auckenthaler, C. (1991): Mathematische Grundlagen des modernen PortfolioManagements. Bank- und finanzwirtschaftliche Forschungen, Bd: 142. Bern; Stuttgart: Haupt. Bigalow, S.W. (2002): Profitable Candlestick Trading. New York: John Wiley & Sons. Black, F./ Litterman, R. (1991): Global Asset Allocation with Equities, Bonds and Currencies. “Fixed Income Research”, Goldman, Sachs & Company, Oktober. Black, F./ Litterman, R. (1992): Global Portfolio Optimization. In: Financial Analysts Journal, September-October, S. 28-43. Davidson, C. (1995): Development in the Forex Markets. Olsen and Associates: Professional Library. Online: http://www.ivey.uwo.ca/faculty/ssapp/Teaching/IntFinance/Readings/dev_fx.html Dolic´, D. (2004): Statistik mit R. München; Wien: Oldenbourg. Drobetz, W. (2003): Statistische Eigenschaften von Finanzmarkt-Zeitreihen. Lecture notes: WWZ Universität Basel, Finanzmarkttheorie. Online: http://www.wwz.unibas.ch/cofi/teaching/generallecturenotes/papers/01-01.pdf Drobetz, W. (2002): Einsatz des Black-Litterman Verfahrens in der Asset Allocation. Universität Basel, WWZ/Department of Finance, Working Paper No. 3/02 Fabozzi, F./Gupta, F./ Markowitz, H. (2002): The Legacy of Modern Portfolio Theory. S. 7-21 in: The Journal of Investing, Herbst. Florek, E. (2000): Neue Trading - Dimensionen. München: FinanzBuch Verlag. Franke, J./ Härdle, W./ Hafner, C. (2003): Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Berlin: Springer Verlag. Gast, C. (1998): Asset Allocation: Entscheidungen im Portfolio-Management. Bern: Haupt.

105

7 Literaturverzeichnis He, G./ Litterman, R. (1999): The Intuition behind Black-Litterman Model Portfolios. ”Investment Management Research”, Goldman, Sachs & Company, December. Idzorek, T.M. (2004): A Step by Step Guide to the Black-Litterman Model incorporating user-specified confidence levels. Kleeberg, J. (1995): Der Anlageerfolg des Minimum-Varianz-Portfolios. Bad Soden: Uhlenbruch Verlag. Kruschwitz, L. (2002): Finanzierung und Investition. 3. Auflage. München: Oldenbourg. Kruschwitz, L. (2003): Investitionsrechnung. 9.Auflage. München; Wien: Oldenbourg. Ligges, U. (2005): Programmieren mit R. Berlin-Heidelberg: Springer Verlag. Lischka, F. (1998): Das Capital Asset Pricing Model und seine zeitkontinuierliche Erweiterung. Diplomarbeit an der Universität Karlsruhe. Online: http://www.fabian-lischka.de/CAPM.pdf Litterman, R. et.al. (2003): Modern Investment Management : An Equilibrium Approach. New Jersey: John Wiley & Sons. Markowitz, H. (1952): Portfolio Selection. In: The Journal of Finance, Vol. VII, Nr.1, März. Müller, T./ Nietzer, H. (2000): Das grosse Buch der technischen Indikatoren: Alles über Oszillatoren, Trendfolger, Zyklentechnik. 7.Aufl. Rosenheim: TM Börsenverlag. Murphy, J.J. (2004): Technische Analyse der Finanzmärkte. 3.Auflage. München: FinanzBuch Verlag. Perridon, L./ Steiner, M. (1999): Finanzwirtschaft der Unternehmung. 10.Auflage. München: Vahlen. Pruitt, G./ Hill, J.R. (2003): Building Winning Trading Systems with TradestationTM. New Jersey: JohnWiley&Sons. Schmidt, R.H. (1996): Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie. 3. Auflage. Wiesbaden: Gabler. 106

7 Literaturverzeichnis Sharpe, W.F./ Alexander, G.J./ Bailey, J.V. (1995): Investments. 5th edition. New Jersey: Prentice Hall. Steiner, M./ Bruns, C. (2000): Wertpapiermanagement. 7.Auflage. Stuttgart: Schäffer-Poeschel. Stridsman, T. (2003): Trading systems and money management. New York: McGraw-Hill. Varian, H.R. (2004): Grundzüge der Mikroökonomik. 6. Auflage. München: Oldenbourg. Weber, F. (2001): Modellrisiko bei Value-at-Risk Schätzungen: eine empirische Untersuchung für den schweizerischen Aktien- und Optionenmarkt. Dissertation an der Universität Freiburg in der Schweiz. Wetzer, R. (2003): Quantitative Handelsmodelle. München: Herbert Utz Verlag. Yao, J./ Tan, C. (1999): Neural Networks for Technical Analysis: A Study on KLCI. In: International Journal of Applied Finance, Vol.2; No.2, S. 221-241. Zimmermann, H./ Drobetz, W./ Oertmann P. (2002): Global Asset Allocation: New Methods and Applications. New York: JohnWiley&Sons.

Sonstige Quellen Deutsche Börse:

www.deutsche-boerse.de

EURIBOR:

www.euribor.org

Omega Research TradestationTM User Manual (intergriert in der Software) Yahoo.Finance:

http://de.finance.yahoo.com/

107

Anhangverzeichnis Anhang A: Herleitungen .........................................................111 A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der Portfoliovarianz im Single-Index-Modell von SHARPE ........................ 111 A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpapiere und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBIN-Separation ...... 115 A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM.............................................. 118

Anhang B: Daten .....................................................................120 B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios ........................................ 120 B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios .................................... 121 B.3 Daten des DAX-Index ................................................................................ 123

B.3.1 DAX-Aktien……………………………………. ................................. 123 B.3.2 Kurse der DAX-Aktien………….......................................................... 124 B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-WertpapierPortfolios…………………. ............................. …………………128

Anhang C: Handelsmodelle .....................................................129 C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle........................................... 130 C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle .................................... 147

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle....154 D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach BLACK-LITTERMAN.............................................................................. 158 D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ ........................................................................................... 164

109

Anhang Anhang A: Herleitungen A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der Portfoliovarianz im Single-Index-Modell von SHARPE Die Renditeentstehung im Index-Modell entspricht: [A.1] mit:

Ri = ai + bi RI + ε i Ri: a i: RI:

Rendite der Aktie i Konstante, unternehmensindividuelle Rendite Rendite des Indexes, der die für alle Unternehmen bedeutsamen Ereignisse erfasst Konstante Sensitivität der Aktie i auf Veränderungen der Indexrendite Titelspezifische Störkomponente

b i: ε i:

Des weiteren werden in dem Index-Modell von Sharpe hinsichtlich der Störkomponenten folgende Annahmen getroffen175: 1. Der Erwartungswert der Störkomponenten ist null: [A.2]

E [ε i ] = 0

2. Die Störkomponenten des i-ten Wertpapiers sind normalverteilt und haben einen Erwartungswert von null. Die Varianz der Störkomponenten beträgt:

[A.3]

σ ε2 = E [ε i − E [ε i ]]2 i

σ ε = E [ε i ]2 2

i

3. Die Störkomponente der i-ten Anlage ist nicht mit der Indexrendite korreliert. Damit gilt: 175

Vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 17 f.

111

Anhang A: Herleitungen

[A.4]

E [ε i ⋅ RI ] = 0

4. Die Störkomponenten des Wertpapiers i sind zeitlich unkorreliert. Daraus folgt: [A.5]

E [ε it1 ⋅ ε it 2 ] = 0

5. Die Störterme der Aktienrenditen sind untereinander unkorreliert, so dass gilt: [A.6]

[

]

E εi ⋅ε j = 0

Wird jetzt die Renditeformel A.1 in Erwartungswerten ausgedrückt, so erhält man: [A.7]

E [Ri ] = E [ai + bi RI + ε i ] .

Dieser Term wird kann durch die Berücksichtigung der ersten Annahme in der Formel A.2 vereinfacht werden: [A.8]

E [Ri ] = ai + bi E [RI ]

Nachdem die erwartete Rendite für die Wertpapiere unter dem Index-Modell bekannt ist, kann die Varianz der Wertpapiere hergeleitet werden: [A.9]

σ i2 = E [Ri − E [Ri ]]2

σ i2 = E [(ai + bi RI + ε i ) − (ai + bi E [RI ])]2

Nachdem ai im Term wegfällt, gelangt man durch Auflösung der binomischen Formel zu: [A.10]

[(

) = b E ((R − E [R ]) ) + E (ε ) + 2b ⋅ E [(R

σ i2 = E bi2 (RI − E [R I ])2 + ε i2 + 2bi (RI − E [R I ])ε i σ

2 i

2 i

2

I

I

2 i

i

I

]

− E [RI ])ε i ]

Unter der Berücksichtigung der oben getroffenen Annahmen erhält man für die Varianz der Rendite der i-ten Anlage folgenden Term: [A.11]

112

σ i2 = bi2σ I2 + σ ε2 i

Anhang A: Herleitungen Ähnlich wie bei dem Markowitz-Modell kommt neben der erwarteten Rendite und deren Varianz der Berechnung der Kovarianz der Wertpapierrenditen untereinander Bedeutung zu. Die Kovarianz zwischen zwei Wertpapieren i und j wird im Indexmodell von Sharpe anhand der Formel A.12 berechnet.

[A.12]

[

] [ [ ])] = E {[(a + b R + ε ) − (a + b E [R ])] ⋅ [(a + b R = E [(b (R − E [R ]) + ε ) ⋅ (b (R − E [R ]) + ε )]

Cov Ri , R j = E (Ri − E [Ri ]) ⋅ (R j − E R j i

[

i

i

I

i

I

i

I

i

i

j

I

j

I

I

j

I

]

+ ε j ) − (a j + b j E [R I ]) }

j

= E bi b j (RI − E [RI ]) + ε i ε j + bi (RI − E [RI ])ε j + b j (RI − E [RI ])ε i 2

]

Unter den oben getroffenen Annahmen betragen die Erwartungswerte der letzten drei Terme null, die Formel der Kovarianz ergibt sich demnach zu: [A.13]

[

]

Cov Ri , R j = bi b j σ I2

Die Rendite und das Risiko eines Portfolio mit N Anlagen mit den Gewichtungen wi werden anhand der folgenden Formeln ermittelt. Für die Portfoliorendite gelten die Zusammenhänge: [A.14]

(

)

N N N N N RP = ∑ wi Ri = ∑ wi ai + bi RI + ε = ∑ wi ai + RI ∑ wi bi + ∑ wi ε i i i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 [A.15]

N E [RP ] = ∑ wi ai + bP E [RI ] i =1

mit

N bP = ∑ wi bi i =1

Die Portfoliovarianz wird, nach wie vor unter den Annahmen eins bis vier, mit der Formel A.16 berechnet.

113

Anhang A: Herleitungen [A.16]

σ P2 = E (RP − E [RP ])2 ⎛ N N N ⎛ N ⎞⎞ = E ⎜ ∑ wi ai + RI ∑ wi bi + ∑ wi ε i − ⎜ ∑ wi ai + bP E [RI ]⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ i =1 i =1 ⎝i = 1 ⎠⎠ ⎝i = 1 2 N ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = E bP (RI − E [RI ]) + ∑ wi ε i ⎜ ⎟ i =1 ⎠ ⎝ N = bP2σ I2 + ∑ wi2σ ε2i i =1

2

Die Kurve effizienter Portfolios im Single-Index-Modell von Sharpe für den Fall erlaubter Leerverkäufe entspricht der Lösung des folgenden Minimierungsproblems: 2

[A.17]

N ⎞ ⎛ N min! ⎜ ∑ wi bi ⎟ σ 2 + ∑ wi2σ ε2i ⎟ I ⎜ i =1 ⎝i = 1 ⎠

Unter den Nebenbedingungen: [A.18]

N N E [RP ] = ∑ wi ai + ∑ wi bi E [RI ] i =1 i =1

und N

[A.19]

∑w i =1

114

i

= 1.

Anhang A: Herleitungen

A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpapiere und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBINSeparation Die erwartete Rendite eines Mischportfolios P lässt sich in Abhängigkeit vom relativen Anteil α , der zu dem sicheren Zinssatz angelegt wird, folgendermaßen beschreiben: [A.20]

E [RP ] = α ⋅ R f + (1 − α ) ⋅ E [Rr ]

mit:

E[RP]: α:

Erwartete Portfoliorendite Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage investiert wird Risikoloser Zinssatz Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage

Rf: Rr: und [A.21]

E [RP ] = R f +

[A.22]

α = 1 − w'1

E [REFF ] − R f 2 σ EFF

⋅ σ P2

Die Gesamtrendite eines Portfolios beträgt dann: [A.23]

µ P = w' µ R + (1 − w'1 )R f

Der Portfoliorand ist gegeben durch die Lösungen des folgenden Optimierungsproblems: 1 min! w' Σ RR w w [A.24] 2 u.d .N . w' µ R + (1 − w'1 )R f = µ P

Die Lagrange-Funktion dazu und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ein Minimum sind:

1 w' Σ RR w − ϑ (w' µ R + (1 − w'1)R f − µ P ) 2

[A.25]

L(w,ϑ ) =

[A.26]

∂L = Σ RR w − ϑ (µ R − 1R f ∂w

)

!

=0

115

Anhang A: Herleitungen

[A.27]

∂L = w' µ R + (1 − w'1)R f − µ P ∂ϑ

!

=0

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, wird [A.26] mit der Inversion der VarianzKovarianz-Matrix multipliziert: [A.28]

1 (µ R − R f 1) w = ϑ ⋅ Σ −RR

Zur Ermittlung des Lagrangemultiplikators wird diese Gleichung einmal mit 1 und einmal mit µR multipliziert, wobei [A.22] und [2.23] beachtet, und die Definitionen der Skalare [2.31] bis [2.34] einbezogen werden: [A.29]

1' w = 1 − w0 = ϑ (A − R f C )

[A.30]

µ R ' w = µ P − w0 R f = ϑ (B − R f A)

Damit erhält man:

µP − R f

µP − Rf

[A.31]

ϑ=

[A.32]

1 (µ R − R f 1) H := R 2f C − 2 R f A + B = (µ R − R f 1)' Σ −RR

mit

R 2f C − 2 R f A + B

=

H

Dann ergibt sich das Portfolio minimaler Varianz für die erwartete Portfoliorendite µP zu: [A.33]

wP =

µP − R f H

−1 (µ R − R f 1) ⋅ Σ RR

Die Varianz dieses Portfolios ist:

σ P2 = w P ' Σ RR w P µP − R f =

[A.34]

= =

116

H µP − R f H (µ P − R f H

−1 −1 (µ R − R f 1) ⋅ (µ R − R f 1)' Σ RR ' Σ RR Σ RR

⋅H ⋅

)

2

µP − R f H

µP − Rf H

Anhang A: Herleitungen Löst man diesen Term nach µP auf, so ergibt sich: [A.35]

µ P = R f ± H ⋅ σ P2

Der rationale Investor wird folgende Formel für die Gerade effizienter Portfolios in dem Falle der Tobin-Separation wählen: [A.36]

µ P = R f + H ⋅ σ P2 = R f + H ⋅ σ P

117

Anhang A: Herleitungen

A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM Steiner und Bruns176 leiten die Wertpapierlinie folgendermaßen her: Bildet man ein Portfolio aus α Teilen des Wertpapiers i und (1 - α) Teilen des Marktportfolios M, so beträgt die erwartete Rendite dieses Portfolios: [A.37]

E [RP ] = α ⋅ E [Ri ] + (1 − α ) ⋅ E [RM ]

Das Risiko dieses Portfolios ergäbe sich dann zu: [A.38]

[

]

σ P = α 2σ i2 + (1 − α )2 σ M2 + 2σ iM α (1 − α )

1

2

Um zu ermitteln, welchen Einfluss eine Änderung des Anteils des Wertpapiers i auf die Rendite und das Risiko des Portfolios hat, leitet man die beiden Gleichungen nach α, dem Portfolioanteil des Wertpapiers i, ab. [A.39]

dE [RP ] = E [Ri ] − E [RM ] dα

[A.40]

−1 dσ P 1 2 = ⋅ α 2σ i2 + (1 − α ) σ M2 + 2σ iM α (1 − α ) 2 2 dα ⋅ 2ασ i2 − 2σ M2 + 2ασ M2 + 2σ iM − 4α 2σ iM

[

]

[

]

Die Preisbestimmung soll im Gleichgewicht vorgenommen werden. Da im Marktportfolio das Wertpapier i bereits enthalten ist, und eine weitere Erhöhung der Nachfrage nach i ein Ungleichgewicht bewirken würde, wird der Portfolioanteil des Wertpapiers i auf null gesetzt. Daraus folgt für die Ableitungen: [A.41]

dE [RP ] = E [Ri ] − E [RM ] dα α =0 dσ P dα

( ) (− 2σ

α =0

1 = σ M2 2

−1 2

2 M

σ iM − σ M2 + 2σ iM ) = σM

Die Division dieser beiden Ableitungen ergibt das Austauschverhältnis zwischen Rendite und Risiko. Dieses gibt an, wie viel zusätzliches Risiko für eine Steigerung des Erwartungswertes der Rendite in Kauf zu nehmen ist.

176

vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 24 ff.

118

Anhang A: Herleitungen

[A.42]

dE [RP ] dα dσ P dα

= α =0

dE [RP ] E [Ri ] − E [RM ] = dσ P σ iM − σ M2 σ M

Die Formel zeigt, dass die Steigung des Austauschverhältnisses von Rendite und Risiko im Tangentialpunkt zwischen Kapitalmarktlinie und Portfoliokurve der Steigung der Kapitalmarktlinie entspricht (Formel 2.70). Die beiden Terme lassen sich also gleichsetzen: [A.43]

E [RM ] − R f

σM

=

E [Ri ] − E [RM ] σ iM − σ M2 σ M

(

)

Löst man diese Gleichung nach der erwarteten Rendite des Wertpapiers i auf, so erhält man die Wertpapierlinie: [A.44]

[

] σσ

E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅

iM 2 M

119

Anhang B: Daten B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios Die Daten des Vier-Wertpapier-Portfolios wurden vom Autor zur anschaulichen Darstellung der Kurven effizienter Portfolios im Kapitel 2 zusammengestellt.

Renditen in Prozent

µ 4 WP

⎛ µWP A ⎞ ⎛ 4.06 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ µWP B ⎟ ⎜ 5.2 ⎟ =⎜ = µWP C ⎟ ⎜ − 0.16 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜µ ⎟ ⎜ 2.48 ⎟ WP D ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Varianz-Kovarianz-Matrix

Σ 4WP

⎛ 6.07 − 3.43 2.28 − 0.45 ⎞ ⎜ ⎟ 1.78 − 1.85 ⎟ ⎜ − 3.43 9.75 =⎜ 2.28 1.78 5.72 − 2.21⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 0.45 − 1.85 − 2.21 5.17 ⎟ ⎝ ⎠

120

Anhang B: Daten

B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios Die durchschnittlichen Tagesrenditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix der sieben am 30.12.2003 am stärksten kapitalisierten DAX-Aktien [Siemens AG (SIE), Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON AG (EOA), Daimler Chrysler AG (DCX), SAP AG (SAP)] wurden über die letzten 100 Börsentage des Jahres 2003 berechnet und gemäss der Formel 2.5 und der Formel 2.9 (Börsentage im Jahr 2004 = 257) annualisiert.

Annualisierte Renditen

µ 7WP.ann.

⎛ µ ALV .ann ⎞ ⎛ 0.5453435 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ µ DCX .ann ⎟ ⎜ 0.6163026 ⎟ ⎜µ ⎟ ⎜ 0.795517 ⎟ ⎜ DBK .ann ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ µ DTE .ann ⎟ = ⎜ 0.2485116 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ µ EOA.ann ⎟ ⎜ 0.4039265 ⎟ ⎜ µ SAP.ann ⎟ ⎜ 1.356567 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ µ SIE .ann ⎠ ⎝ 1.004767 ⎠

Annualisierte Varianz-Kovarianz-Matrix

ALV DCX DBK DTE EOA SAP SIE

ALV DCX DBK 0.0064 0.0034 0.0034 0.0034 0.0045 0.0027 0.0034 0.0027 0.0040 0.0021 0.0015 0.0018 0.0023 0.0021 0.0018 0.0040 0.0031 0.0034 0.0041 0.0032 0.0032

DTE 0.0021 0.0015 0.0018 0.0019 0.0015 0.0018 0.0019

EOA 0.0023 0.0021 0.0018 0.0015 0.0032 0.0019 0.0021

SAP 0.0040 0.0031 0.0034 0.0018 0.0019 0.0107 0.0043

SIE 0.0041 0.0032 0.0032 0.0019 0.0021 0.0043 0.0049

121

Anhang B: Daten

Die impliziten Renditen wurden, um eine gute Vergleichbarkeit mit den historischen Renditen zu gewährleisten, mit einem hohen Risikoaversionsparameters λ von 200 bestimmt und ebenfalls annualisiert.

Annualisierte Implizite Renditen

Π 7WP.ann.

122

⎛ 0.7486 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.5905 ⎟ ⎜ 0.5902 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0.3708 ⎟ ⎜ 0.4349 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.8096 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.7013 ⎠

Anhang B: Daten

B.3 Daten des DAX-Index B.3.1 DAX-Aktien Die folgende Tabelle B.1 listet die 30 DAX-Aktien auf, deren Börsenkürzel, deren Wertpapierkennnummer (ISIN) sowie deren Wirtschaftssektoren.

Abbildung B.1: Tabelle der 30 DAX-Aktien Aktie

Kürzel

ISIN

Wirtschaftssektor

ADIDAS-SALOMON AG O.N. ALLIANZ AG VNA O.N. ALTANA AG O.N. BASF AG O.N. BAYER AG O.N. BAY.HYPO-VEREINSBK.O.N. BAY.MOTOREN WERKE AG ST COMMERZBANK AG O.N. CONTINENTAL AG O.N. DAIMLERCHRYSLER AG NA O.N DEUTSCHE BANK AG NA O.N. DEUTSCHE BOERSE NA O.N. LUFTHANSA AG VNA O.N. DEUTSCHE POST AG NA O.N. DT.TELEKOM AG NA E.ON AG O.N. FRESEN.MED.CARE AG O.N. HENKEL KGAA VZO O.N. INFINEON TECH.AG NA O.N. LINDE AG O.N. MAN AG ST O.N. METRO AG ST O.N. MUENCH.RUECKVERS.VNA O.N. RWE AG ST O.N. SAP AG ST O.N. SCHERING AG O.N. SIEMENS AG NA THYSSENKRUPP AG O.N. TUI AG O.N. VOLKSWAGEN AG ST O.N.

ADS ALV ALT BAS BAY HVM BMW CBK CON DCX DBK DB1 LHA DPW DTE EOA FME HEN3 IFX LIN MAN MEO MUV2 RWE SAP SCH SIE TKA TUI VOW

DE0005003404 DE0008404005 DE0007600801 DE0005151005 DE0005752000 DE0008022005 DE0005190003 DE0008032004 DE0005439004 DE0007100000 DE0005140008 DE0005810055 DE0008232125 DE0005552004 DE0005557508 DE0007614406 DE0005785802 DE0006048432 DE0006231004 DE0006483001 DE0005937007 DE0007257503 DE0008430026 DE0007037129 DE0007164600 DE0007172009 DE0007236101 DE0007500001 DE0006952005 DE0007664005

Consumer Insurance Pharma + Healthcare Chemicals Chemicals Banks Automobile Banks Automobile Automobile Banks Financial services Transportation + Logistics Transportation + Logistics Telecommunication Utilities Pharma + Healthcare Consumer Technology Chemicals Industrial Retail Insurance Utilities Software Pharma + Healthcare Industrial Industrial Transportation + Logistics Automobile

[Stand : 30.01.2004; Quelle : www.deutsche-boerse.de]

123

Anhang B: Daten

B.3.2 Kurse der DAX-Aktien Die Quelle für die Tageskurse der DAX-Aktien ist die Finanzseite von Yahoo. Die Internetadresse lautet: http://de.finance.yahoo.com/. Auf Basis dieser Kurse wurden die Handelsmodelle im Abschnitt 5.2 getestet. In den Abbildungen B.2-B.31 sind die Schlusskurse aller DAX-Aktien über den Testzeitraum [02.01.2002 bis 30.12.2003] und dem Handelszeitraum [02.01.2004-30.12.2004] dargestellt. Die Aktienrenditen zur Berechnung der Portfolioperformance der Portfoliomodelle im Abschnitt 5.3 wurden allerdings aus den, ebenfalls von Yahoo.Finance bereitgestellten, adjustierten Schlusskurse berechnet, da diese auch Dividenden und Aktiensplits berücksichtigen. Diese Kurse sind hier nicht aufgeführt.

Abbildungen B.2 -B.31: Kurse der DAX-Aktien vom 02.01.02-30.12.04 ADS

ALV

ALT

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

350 300 250 200 150 100 50 0

01. 02

140 120 100 80 60 40 20 0

BAS

124

10. 03

01. 04

04. 04

07. 04

10. 04

10. 03

01. 04

04. 04

07. 04

10. 04

07. 03 07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

0

04. 03

10

0

01. 03

20

10

10. 02

30

20

07. 02

40

30

04. 02

50

40

01. 02

50

04. 02

HVM

01. 02

BAY

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

60 50 40 30 20 10 0

01. 02

70 60 50 40 30 20 10 0

DTE

25

20

15

10

5

0

07. 04 10. 04

10. 04

80 70 60 50 40 30 20 10 0

04. 04

EOA

07. 04

0

04. 04

5

0

01. 04

10

5

01. 04

15

10

10. 03

20

15

07. 03

LHA

10. 03

25

20

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

DBK

07. 03

25

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

CON

04. 03

0

01. 03

20

07. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

BMW

04. 03

40

01. 03

60

10. 02

80

07. 02

100

10. 02

0

07. 02

10

10. 02

0

07. 02

5

0

04. 02

10

10

04. 02

15

20

04. 02

20

30

04. 02

20

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

25

40

04. 02

30

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

40

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

50

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

50

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

Anhang B: Daten

CBK

DCX

60 50 40 30 20 10 0

DB1

60 50 40 30 20 10 0

DPW

125

126

0 SAP

01. 04 04. 04 07. 04 10. 04

01. 04

04. 04

07. 04

10. 04

80 70 60 50 40 30 20 10 0

10. 03

SCH

10. 03

07. 03

MUV2

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

MAN

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

IFX

07. 03

50

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

FME

04. 03

100

01. 03

150

10. 02

200

07. 02

350 300 250 200 150 100 50 0

04. 02

35 30 25 20 15 10 5 0

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

35 30 25 20 15 10 5 0

04. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

80 70 60 50 40 30 20 10 0

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

Anhang B: Daten

HEN3

100 80

60

40

20 0

LIN

70 60 50 40 30 20 10 0

MEO

50

40

30

20

10

0

RWE

50

40

30

20

10

0

01. 04 04. 04 07. 04 10. 04

01. 04 04. 04 07. 04 10. 04

70 60 50 40 30 20 10 0

10. 03

VOW

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

SIE

07. 03

TUI

04. 03

40 35 30 25 20 15 10 5 0

01. 03

0

10. 02

5

0

07. 02

20

10. 02

40

07. 02

15

04. 02

20

80

04. 02

60

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

100

01. 02

10. 04

07. 04

04. 04

01. 04

10. 03

07. 03

04. 03

01. 03

10. 02

07. 02

04. 02

01. 02

Anhang B: Daten

TKA

10

127

Anhang B: Daten

B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-WertpapierPortfolios In dem folgenden Diagramm sind die kumulierten prozentualen Marktkapitalisierungen des im Abschnitt 5.3 behandelten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios aufgetragen. Die Marktkapitalisierungen wurden berechnet, indem der aktuelle Schlusskurs mit der aktuellen Anzahl der Aktien am Markt multipliziert wurde. Quelle für die Anzahl der Aktien am Markt ist die Internetseite der Deutschen Börse AG (www.deutscheboerse.de).177 Abbildung B.32: Kumulierte prozentuale Marktkapitalisierungen des Fünfzehn-WertpapierPortfolios im Jahr 2004

177

Die Aktienstückzahlen vom 02.01.04 bis zum 29.01.04 stehen nicht zur Verfügung. Da diese aber relativ statisch sind, wurden sie durch die Aktienstückzahlen vom 30.01.04 approximiert.

128

Anhang C: Handelsmodelle In dem Abschnitt C.1 des Anhangs C sind die Performancemaße der vorgestellten Handelsmodelle für sämtliche DAX Aktien über dem Testzeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.2003 aufgelistet. Anzumerken ist, dass die Handelsmodelle erst nach 50 Börsentagen aktiv werden. Dadurch wird gewährleistet, dass sämtliche Indikatoren Berechnet werden können. In dem Abschnitt C.2 des Anhangs befinden sich die TradestationTM-Quellcodes der vorgestellten Handelsmodelle. Die Bezeichnungen der Performancemaße der Handelsmodelle sind in den folgenden Tabellen aus Platzgründen gekürzt worden. Die Interpretationen der Kennzahlen wurden im Abschnitt 4.3.4 erläutert. Die Kürzel stehen für folgende Performancekennzahlen: NetPr.: Res.Gew.: MaxDD: Tr.Nr.: Perc.Win: AvgProfit: StDevPr: PFStDevProfit: PF: P/MaxDD: RAR: PF-RAR: PercProfitable:

Nettogewinn Residualgewinn Maximum Drawdown Anzahl der Trades Anteil erfolgreicher Trades Durchschnittliches Tradeergebnis Standardabweichung um den durchschnittlichen Gewinn Portfolio-Standardabweichung Profit Factor Profit to maximum Drawdown Ratio Risk-Adjusted-Return Portfolio-Risk-Adjusted-Return Prozentzahl profitabler Märkte

129

Anhang C: Handelsmodelle

C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle Handelsmodell Nr.1 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. -15120 100427 -30721 -29999 55522 27921 -13821 140096 108483 -4271.1 8056.4 -36470 -8415.9 -5753.6 34766 9609.2 119821 -36664 81275 23172 15803 73346 -41143 22169 4242 -14767 44966 -13221 -32880 -46491

Res.Gew. -3986.61 168898 -32242.3 -29452.3 52357.7 -100196 -24981.8 136072 8688.48 -20292.8 -13211.3 -29008.9 -59220.5 -5753.62 23872.6 6355.86 137069 -44184.3 81274.9 14008.8 -7109.64 15286.8 -43310.1 6610.15 -27688.2 8941.92 35901.4 -46495.5 -49884.9 -47455.5

MaxDD -20674.6 -18583 -58454.4 -32653.6 -43440.5 -96026.7 -26061.7 -23862.5 -17593.5 -28338.3 -33056.9 -43019.2 -52468.8 -37193.3 -25856.6 -20416.4 -13608.8 -51045.9 -25493.2 -24568.4 -42580.4 -39166.2 -76353.2 -15516.7 -45085.1 -52518.4 -17451.8 -77600.2 -103746 -71720.1

Tr.Nr 19 8 20 24 16 29 20 13 18 16 20 24 16 22 16 17 10 19 11 14 16 15 23 17 18 19 12 19 18 24

PercWin 36.84 62.5 25 29.17 31.25 24.14 30 38.46 33.33 37.5 20 20.83 43.75 27.27 43.75 41.18 60 36.84 36.36 35.71 31.25 46.67 30.43 47.06 38.89 31.58 50 31.58 33.33 20.83

AvgProfit -795.8 12553.4 -1536.03 -1249.95 3470.14 962.8 -691.03 10776.6 6026.83 -266.94 402.82 -1519.6 -525.99 -261.53 2172.89 565.25 11982.1 -1929.68 7388.62 1655.12 987.66 4889.7 -1788.82 1304.05 235.66 -777.19 3747.16 -695.87 -1826.65 -1937.14

StDevPr 1181.64 9879.85 1681.14 701.41 4948.93 3933.13 1684.84 8213.99 6080.47 2182.9 2448.24 1789.47 3466.89 2147.63 2964.54 1612.45 8118.15 1323.75 7540.12 3100.63 3683.28 5345.52 2619.71 1869.92 3574.53 2021.75 3386.28 3059.34 3993.4 1601.92

Kennzahlen

PercProfitable 53.33

130

NetProfit ResidualGew MaxDD 17997.90 3695.44 -41138.48

Trades 17.77

PercWin 33.77

AvgProfit 1013.01

StDevProfit 3142.97

PFStDevProfit 4143.54

PF 1.70

P/MaxDD 1.12

PF-RAR 0.24

RAR 0.08

PF 0.69 5.03 0.61 0.4 1.76 1.17 0.77 4.37 3.78 0.92 1.12 0.6 0.9 0.92 1.76 1.29 8.41 0.44 2.47 1.48 1.23 2.28 0.68 1.58 1.05 0.77 2.24 0.88 0.73 0.53

P/MaxDD -0.73 5.4 -0.53 -0.92 1.28 0.29 -0.53 5.87 6.17 -0.15 0.24 -0.85 -0.16 -0.15 1.34 0.47 8.8 -0.72 3.19 0.94 0.37 1.87 -0.54 1.43 0.09 -0.28 2.58 -0.17 -0.32 -0.65

RAR -0.7 1.27 -0.9 -1.8 0.7 0.24 -0.4 1.31 0.99 -0.1 0.16 -0.9 -0.2 -0.1 0.73 0.35 1.48 -1.5 0.98 0.53 0.27 0.91 -0.7 0.7 0.07 -0.4 1.11 -0.2 -0.5 -1.2

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.2 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. 9855.29 51584.1 38420.8 -36196.4 38929 -10873.7 -14789.4 77367.3 101528 18982.2 2422.17 -45994.2 7324.78 22024.4 5746.78 -14785.7 144241 -27842.5 -54112.8 30301.2 435.34 72010 -51026.6 62658.8 60555.6 7935.79 3437.55 -9928.48 35501.8 -20737.2

Res.Gew. 9855.29 -8681.18 30249.7 -38412.8 21251.4 -32358.1 -16916.5 65332.3 15223.8 14573.3 2422.17 -38851.4 -46954.2 -44466.7 -5662.04 -26801.2 131627 -26138.1 -48748.5 -13263.2 -70777.9 23545.8 -44441.5 64131.3 33585.4 7522.77 -7579.24 -57566.3 13003.6 -57098

MaxDD -19356.7 -47181.6 -15813.1 -40231.9 -47638.4 -90122 -50927.5 -42016.1 -13934.5 -43471.1 -45921.9 -51173.9 -38917 -29317.6 -38959.9 -40269.3 -17546.5 -43042.9 -123940 -34116.3 -60975.8 -14797.3 -90470.9 -9112.5 -51268 -28094.3 -52097 -58447.5 -50145.1 -60289.7

Tr.Nr 22 20 20 26 23 29 24 19 16 28 22 28 20 21 16 18 18 25 25 18 18 21 26 16 29 28 24 21 18 28

PercWin 50 55 55 34.62 34.78 34.48 45.83 47.37 50 46.43 36.36 35.71 50 28.57 37.5 50 50 40 52 50 33.33 47.62 42.31 62.5 37.93 50 45.83 33.33 33.33 35.71

AvgProfit 447.97 2579.2 1921.04 -1392.2 1692.56 -374.95 -616.23 4071.97 6345.49 677.94 110.1 -1642.7 366.24 1048.78 359.17 -821.43 8013.4 -1113.7 -2164.5 1683.4 24.19 3429.05 -1962.6 3916.18 2088.12 283.42 143.23 -472.79 1972.32 -740.61

StDevPr 980.2 3859.13 1749.2 899.77 2991.78 2959.74 1515.79 4022.81 3693.13 1366.27 2237.29 1167.34 2182.43 2350.02 2982.59 1416.07 4491.34 957.97 3042.89 2500.05 3387.13 2775.73 2710.94 2004.92 2784.61 1334.51 2110.51 2372.32 3360.11 1291.66

PF 1.29 1.61 2 0.44 1.39 0.94 0.79 2.07 4.57 1.3 1.03 0.52 1.13 1.38 1.09 0.7 5.68 0.54 0.68 1.57 1 2.39 0.66 4.15 1.65 1.12 1.04 0.89 1.62 0.73

P/MaxDD 0.51 1.09 2.43 -0.9 0.82 -0.12 -0.29 1.84 7.29 0.44 0.05 -0.9 0.19 0.75 0.15 -0.37 8.22 -0.65 -0.44 0.89 0.01 4.87 -0.56 6.88 1.18 0.28 0.07 -0.17 0.71 -0.34

RAR 0.46 0.67 1.1 -1.55 0.57 -0.13 -0.41 1.01 1.72 0.5 0.05 -1.41 0.17 0.45 0.12 -0.58 1.78 -1.16 -0.71 0.67 0.01 1.24 -0.72 1.95 0.75 0.21 0.07 -0.2 0.59 -0.57

Kennzahlen NetProfit 16832.50

ResidualGew MaxDD -5079.77 -44986.54

Trades 22.23

PercWin 43.03

AvgProfit 757.08

StDevProfit 2298.31

PFStDevProfit 2357.82

P/MaxDD 1.13

PF-RAR 0.32

RAR 0.22

PercProfitable PF 66.67 1.53

131

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.3 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. -15514 -25979 72654.6 -27457 -4046.2 -23307 -66470 83529.8 -30259 -51369 21086.1 -26201 -45590 64353.7 -65162 -64336 43193.7 -47044 -36681 35947.4 35091.9 -86922 -52669 37998.3 10480.5 -3371.6 -2741.9 -6002 38598.8 -20589

Res.Gew. -16488.9 -29393.5 73488.8 -28014 -23337.1 -38975.8 -66120 66614.8 -57415.8 -55423.8 4737.18 -23692 -61568.8 60000.4 -70478.4 -69081.6 18949.3 -63236.7 -26934.5 35447.4 35091.9 -90389.6 -53645.8 40363.4 11578.6 -1157.61 -14194.4 -6519.82 37463.1 -23732.9

MaxDD -35774 -78003 -20830 -38402 -56079 -79186 -92714 -36084 -56608 -79675 -31009 -36575 -84771 -23540 -97323 -89095 -59800 -53611 -79067 -29973 -30715 -1E+05 -1E+05 -22530 -64743 -31326 -49484 -46936 -55105 -92356

Tr.Nr 34 35 26 39 36 37 45 28 40 35 31 34 38 28 48 36 30 42 39 34 33 47 35 25 36 34 36 37 39 37

PercWin 35.29 34.29 53.85 33.33 30.56 32.43 22.22 39.29 22.5 37.14 38.71 26.47 36.84 42.86 29.17 27.78 40 30.95 30.77 41.18 39.39 21.28 28.57 48 30.56 38.24 47.22 32.43 35.9 35.14

AvgProfit -456.28 -742.25 2794.41 -704.01 -112.39 -629.93 -1477.1 2983.21 -756.46 -1467.7 680.2 -770.62 -1199.8 2298.35 -1357.5 -1787.1 1439.79 -1120.1 -940.54 1057.28 1063.39 -1849.4 -1504.8 1519.93 291.12 -99.16 -76.16 -162.22 989.71 -556.47

StDevPr 1042.22 1950.63 1862.74 701.31 2168.08 2211 936.87 2999.91 1113.71 1227.74 1598.62 977.74 1113.29 1959.5 1067.09 1019.54 2668.64 624 2416.78 1513.71 1591.65 1357.77 2429.46 1821.44 2504.95 1033.67 1478.48 1265.27 2171.99 1370.56

Kennzahlen NetProfit -8625.84

ResidualGew MaxDD -14535.54 -59169.27

Trades 35.80

PercWin 33.89

AvgProfit -240.94

StDevProfit 1564.80

PFStDevProfit 1335.62

P/MaxDD 0.18

PF-RAR -0.18

RAR -0.27

PercProfitable PF 33.33 1.02

132

PF 0.82 0.86 2.39 0.67 0.98 0.88 0.53 1.76 0.75 0.6 1.23 0.69 0.64 2.01 0.62 0.47 1.36 0.51 0.84 1.45 1.41 0.58 0.75 1.61 1.06 0.96 0.98 0.94 1.28 0.84

P/MaxDD -0.43 -0.33 3.49 -0.71 -0.07 -0.29 -0.72 2.31 -0.53 -0.64 0.68 -0.72 -0.54 2.73 -0.67 -0.72 0.72 -0.88 -0.46 1.2 1.14 -0.75 -0.49 1.69 0.16 -0.11 -0.06 -0.13 0.7 -0.22

RAR -0.44 -0.38 1.5 -1 -0.05 -0.28 -1.58 0.99 -0.68 -1.2 0.43 -0.79 -1.08 1.17 -1.27 -1.75 0.54 -1.8 -0.39 0.7 0.67 -1.36 -0.62 0.83 0.12 -0.1 -0.05 -0.13 0.46 -0.41

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.4 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. -48370 14038 -38981 -15856 10969 37140 -26239 99914 51323 -92564 -23885 -52238 -81806 24033 -12521 -59346 97516 -35690 5899.7 -1848 18669 117291 12138 59778 -8263 -38581 8195.6 -14873 50024 -23432

Res.Gew. -55907 14038 -57991 -33634 -3021.3 -31576 -68413 92475.4 -79552 -96343 -31556 -52238 -77965 -32462 -10613 -66704 81169.8 -45222 7683.88 -27408 18668.7 107738 -18702 65105.8 -61508 -46331 2755.66 -61382 30274.4 -21281

MaxDD -52451.4 -31097.2 -53468.5 -47480.2 -55231.7 -54289.5 -72739.8 -28822 -48028.4 -112061 -44699.8 -63587 -127656 -43667.1 -38028 -81217.9 -21099.5 -51831.9 -83949.3 -34048.9 -24211.9 -30173.2 -51035.4 -8616.5 -55461.1 -48821.3 -35670.2 -57943.2 -36158.2 -46250.5

Tr.Nr 20 22 21 20 19 21 21 14 15 24 23 22 23 18 19 16 16 19 26 20 22 12 20 14 20 23 23 21 17 24

PercWin 35 50 33.33 45 36.84 33.33 42.86 35.71 26.67 37.5 39.13 22.73 34.78 38.89 52.63 37.5 56.25 21.05 38.46 40 31.82 58.33 45 57.14 30 34.78 39.13 28.57 35.29 20.83

AvgProfit -2418.49 638.09 -1856.22 -792.81 577.34 1768.58 -1249.47 7136.71 3421.55 -3856.84 -1038.47 -2374.45 -3556.77 1335.19 -659.01 -3709.13 6094.72 -1878.43 226.91 -92.39 848.58 9774.25 606.88 4269.87 -413.14 -1677.43 356.33 -708.23 2942.58 -976.31

StDevPr 1499.97 2916.22 2395.34 1306.4 3434.04 3480.07 2000.89 7229.54 6806.28 1665.15 1985.6 1838.71 2597.23 2594.5 1947.58 2098.07 5037.47 1480.2 3206.8 2151.33 2430.76 6716.18 3278.55 2399.32 3354.6 1394.94 2215.74 2409.91 3803.89 1563.13

PF 0.4 1.13 0.62 0.72 1.1 1.34 0.7 2.49 1.79 0.31 0.74 0.47 0.49 1.4 0.82 0.31 3.07 0.46 1.04 0.98 1.24 4.51 1.12 5.52 0.92 0.53 1.09 0.84 1.82 0.71

P/MaxDD -0.92 0.45 -0.73 -0.33 0.2 0.68 -0.36 3.47 1.07 -0.83 -0.53 -0.82 -0.64 0.55 -0.33 -0.73 4.62 -0.69 0.07 -0.05 0.77 3.89 0.24 6.94 -0.15 -0.79 0.23 -0.26 1.38 -0.51

RAR -1.61 0.22 -0.77 -0.61 0.17 0.51 -0.62 0.99 0.5 -2.32 -0.52 -1.29 -1.37 0.51 -0.34 -1.77 1.21 -1.27 0.07 -0.04 0.35 1.46 0.19 1.78 -0.12 -1.2 0.16 -0.29 0.77 -0.62

Kennzahlen NetProfit 1081.24

ResidualGew MaxDD -18663.29 -51326.55

Trades 19.83

PercWin 37.31

AvgProfit 54.52

StDevProfit 2737.18

PFStDevProfit 3171.07

P/MaxDD 0.53

PF-RAR 0.02

RAR -0.20

PercProfitable PF 46.67 1.29

133

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.5 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. -22825 23284 -14533 -11340 25062 64218 -96232 121564 41216 -40889 -12899 -11815 -17675 39103 37581 -66851 100339 -31520 -28354 10024 2909.8 83354 716.14 32459 -32451 -21595 -1991.8 22220 33684 -10207

Res.Gew. -33305 -14890 -8681.2 -21275 11071.4 37709.9 -108537 121828 -21733 -43091 -59030 -6555 -30786 28893.4 37736.6 -92262 131651 -42069 -86041 -303.28 -51840 91632.7 -7619.1 31618.8 -63273 -18830 -35364 2349.09 18871.9 -33729

MaxDD -39128 -43951 -44111 -40210 -45937 -57957 -102913 -44507 -58077 -60314 -50175 -30541 -79312 -16160 -22506 -87573 -21445 -47977 -79579 -30152 -49395 -19440 -63617 -15922 -85575 -32633 -42933 -29294 -44822 -36286

Tr.Nr 18 16 15 14 17 17 20 13 10 12 17 16 14 12 14 14 10 17 18 14 16 10 16 12 16 18 17 13 13 16

PercWin 38.89 37.5 33.33 42.86 41.18 35.29 20 38.46 40 41.67 23.53 37.5 35.71 50 35.71 28.57 60 29.41 44.44 42.86 37.5 60 50 33.33 31.25 44.44 41.18 38.46 46.15 31.25

AvgProfit -1268.1 1455.23 -968.84 -810.02 1474.24 3777.55 -4811.6 9351.07 4121.64 -3407.4 -758.79 -738.42 -1262.5 3258.59 1726.73 -4775.1 10033.9 -1854.1 -1575.2 715.99 181.86 8335.39 44.76 2704.95 -2028.2 -1199.7 -117.17 1709.26 2591.08 -637.91

StDevPr 1475.98 4592.68 3313.97 1577.56 3833.55 5399.22 1728.62 8740.11 10657.3 3219.71 3195.87 2548.38 4648.75 4025.96 2747.98 2463.94 8766.79 1599.33 3738.75 3155.58 3474.85 7482.77 4408.62 2811 4378.16 1823.75 2524.78 3732.85 5095.36 2143.63

PF 0.61 1.24 0.8 0.71 1.27 1.66 0.2 3.22 1.65 0.44 0.83 0.81 0.82 1.95 1.97 0.28 4.22 0.47 0.78 1.17 1.04 3.89 1.01 2.25 0.71 0.65 0.97 1.42 1.53 0.82

Kennzahlen NetProfit 7218.59

ResidualGew MaxDD -8861.64 -47414.70

Trades 14.83

PercWin 38.20

AvgProfit 456.52

StDevProfit 3729.35

PFStDevProfit 3611.95

P/MaxDD 0.53

PF-RAR 0.13

RAR -0.08

PercProfitable PF 50.00 1.31

134

P/MaxDD -0.58 0.53 -0.33 -0.28 0.55 1.11 -0.94 2.73 0.71 -0.68 -0.26 -0.39 -0.22 2.42 1.67 -0.76 4.68 -0.66 -0.36 0.33 0.06 4.29 0.01 2.04 -0.38 -0.66 -0.05 0.76 0.75 -0.28

RAR -0.86 0.32 -0.29 -0.51 0.38 0.7 -2.78 1.07 0.39 -1.06 -0.24 -0.29 -0.27 0.81 0.63 -1.94 1.14 -1.16 -0.42 0.23 0.05 1.11 0.01 0.96 -0.46 -0.66 -0.05 0.46 0.51 -0.3

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.5_Filter Market NetPr. ResGew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr ADS.T -25929 -33815 -30064 12 41.67 -2160.8 1991.7 ALV.T 118282 186753 -18583 6 50 19713.6 12280 ALT.T 5150.7 5150.65 -38963 11 36.36 468.24 4215.4 BAS.T -1180 14944.8 -19269 10 40 -118.02 2447.1 BAY.T 66582 115769 -27584 8 37.5 8322.76 8188.1 HVM.T 88088 88087.9 -47737 11 45.45 8007.99 8213.3 BMW.T -39481 -43900 -55889 12 33.33 -3290.1 2927 CBK.T 104129 104129 -34907 11 45.45 9466.29 9970.4 CON_. 76316 13366.5 -28244 8 37.5 9539.45 13428 DCX.T -8352 25912.1 -41411 10 40 -835.2 3368 DBK.T 26005 24130.4 -23945 13 30.77 2000.36 3751.5 DB1.T -20425 -14982 -34531 14 21.43 -1458.9 2966.4 LHA.T 56509 105724 -47099 8 37.5 7063.63 12093 DPW.T 4456.1 -12056 -37686 12 33.33 371.34 3975.7 DTE.T 45427 66623.2 -19240 10 40 4542.72 4641.2 EOA.T -23289 1913.29 -43341 10 40 -2328.9 3665.2 FME.T 89099 120411 -19039 8 50 11137.4 11018 HEN3. -31891 -39506 -48582 13 38.46 -2453.1 1892.8 IFX.T 56509 105724 -47099 8 37.5 7063.63 12093 LIN.T 13241 46215 -29902 10 40 1324.05 4246.1 MAN.T -1091 -12699 -26689 12 41.67 -90.92 4466.5 MEO.T 67374 75483.7 -19440 10 50 6737.35 7336.2 MUV2. -29915 -36907 -68336 13 38.46 -2301.1 5327.6 RWE.T 24608 68359.6 -12861 10 40 2460.81 3414.1 SAP.T -45185 -67002 -90703 12 33.33 -3765.4 5999.5 SCH.T 10181 46858 -34948 10 40 1018.11 4159.4 SIE.T 25798 25798.1 -25934 11 54.55 2345.28 3913.9 TKA.T 14927 14927.3 -32610 11 54.55 1357.02 4395.6 TUI.T -15116 -15116 -67523 11 27.27 -1374.2 6002.9 VOW.T -34546 -37657 -59946 13 15.38 -2657.4 3441.3

PF P/MaxDD RAR 0.46 -0.86 -1.08 10.8 6.37 1.61 1.1 0.13 0.11 0.96 -0.06 -0.05 2.92 2.41 1.02 2.29 1.85 0.97 0.44 -0.71 -1.12 2.82 2.98 0.95 3.34 2.7 0.71 0.8 -0.2 -0.25 1.53 1.09 0.53 0.7 -0.59 -0.49 1.83 1.2 0.58 1.08 0.12 0.09 2.44 2.36 0.98 0.6 -0.54 -0.64 3.81 4.68 1.01 0.42 -0.66 -1.3 1.83 1.2 0.58 1.29 0.44 0.31 0.98 -0.04 -0.02 2.83 3.47 0.92 0.74 -0.44 -0.43 1.83 1.91 0.72 0.62 -0.5 -0.63 1.26 0.29 0.24 1.58 0.99 0.6 1.26 0.46 0.31 0.81 -0.22 -0.23 0.57 -0.58 -0.77

Kennzahlen

PercProfitable 60.00

NetProfit 20542.74

ResidualGew 31421.35

PercWin 38.36

AvgProfit 1937.99

PF 1.80

P/MaxDD 0.98

MaxDD -37736.80

Trades 10.60

StDevProfit PFStDevProfit 5427.88 5437.25 PF-RAR 0.36

RAR 0.17

135

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY.T HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR -24760 -30547 -27059 18 38.89 -1375.6 1243.4 0.5 -0.92 -1.1 75875 59783.7 -31098 13 53.85 5836.51 4069.4 3.5 2.44 1.4 9023 18436.5 -28209 14 35.71 644.5 3359.3 1.2 0.32 0.2 -14792 -14446 -23455 14 35.71 -1056.6 978.19 0.5 -0.63 -1.1 56582 56581.8 -23381 11 63.64 5143.8 4153.7 3.2 2.42 1.2 63806 36867.2 -37247 16 50 3987.88 3990.3 2 1.71 1 -54646 45354.2 -56951 19 21.05 -2876.1 1637.9 0.4 -0.96 -1.8 1E+05 130535 -37256 12 41.67 10227.5 9058.5 3.4 3.29 1.1 16849 -4905.9 -43008 13 38.46 1296.07 3565.3 1.4 0.39 0.4 -40339 -58530 -51520 16 43.75 -2521.2 2139.4 0.5 -0.78 -1.2 12399 5486.75 -23970 16 31.25 774.91 2177.1 1.3 0.52 0.4 -42362 -74110 -45605 19 36.84 -2229.6 1417.4 0.4 -0.93 -1.6 18461 17019.2 -57929 14 57.14 1318.65 4307.8 1.2 0.32 0.3 32439 132439 -21201 15 33.33 2162.61 3038.7 1.7 1.53 0.7 10581 3306.36 -20966 16 31.25 661.28 1996.4 1.3 0.5 0.3 -52851 -78262 -67926 15 20 -3523.4 1546.5 0.2 -0.78 -2.3 96911 96911.2 -11988 11 54.55 8810.11 6380.3 5.8 8.08 1.4 -56334 -60487 -60762 18 22.22 -3129.7 1026.8 0.1 -0.93 -3.1 18461 17019.2 -57929 14 57.14 1318.65 4307.8 1.2 0.32 0.3 20853 14792.1 -25540 14 28.57 1489.48 2758.4 1.5 0.82 0.5 16595 -8994.2 -24628 14 42.86 1185.33 3385.1 1.3 0.67 0.4 69959 73619.3 -18353 12 50 5829.95 4357.1 3 3.81 1.3 -30117 69882.9 -71212 17 41.18 -1771.6 3843.5 0.7 -0.42 -0.5 32382 38044.6 -9626 13 46.15 2490.92 1901.7 2.8 3.36 1.3 16379 116379 -35746 15 40 1091.9 4049.9 1.2 0.46 0.3 2700 1698.05 -23855 15 40 179.97 1660 1.1 0.11 0.1 25400 125399 -20590 16 43.75 1587.47 2261 1.6 1.23 0.7 3898 -51496 -50242 15 40 259.88 3118.7 1.1 0.08 0.1 24539 124539 -46948 14 42.86 1752.81 4500.4 1.4 0.52 0.4 -12836 87164.1 -42648 16 37.5 -802.25 2027.4 0.8 -0.3 -0.4

Kennzahlen

PercProfitable 70.00

136

NetProfit 13926.13

ResidualGew 29649.34

PercWin 39.77

AvgProfit 938.84

PF 1.54

P/MaxDD 0.88

MaxDD -36561.55

Trades 14.83

StDevProfit PFStDevProfit 2989.02 3317.38 PF-RAR 0.28

RAR 0.03

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.6 Market NetPr.

Res.Gew. MaxDD

Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF

P/MaxD RAR

ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

-9275.92 135625 5810.39 -40438.2 115874 159835 -80242.9 152512 -17247.2 54187.7 -58636.6 -29231 -15246.7 -21769.5 46715.4 -1813.71 141160 -44031.9 131760 -230.12 21297.1 70550.8 -937.95 97511.4 -138427 72061.8 71398.4 -25855.7 48439.6 -70023.6

12 8 13 14 10 10 16 9 8 8 13 14 11 12 9 10 8 15 10 12 12 10 12 6 16 10 10 13 9 14

-0.24 1.98 0.28 -0.51 1.88 2.93 -0.93 5.24 0.92 0.67 -0.26 -0.73 -0.19 -0.2 0.98 -0.52 4.65 -0.76 2.79 0.18 1.25 2.09 0.01 5.35 -0.74 1.94 3.31 -0.18 -0.09 -0.7

-4235 68430 8709.8 -30504 66535 104532 -47304 126463 45702 19924 -16300 -28889 -15247 -11560 29741 -28479 101515 -34217 79233 5379.9 29657 63638 400.16 53408 -1E+05 32713 50077 -5984 -4816 -43787

-17990.2 -34476.4 -30983.7 -59373.1 -35328.9 -35717.7 -50719.2 -24115.2 -49926.9 -29727 -62883 -39400.6 -78956.5 -57616.9 -30407.5 -54862.4 -21837.1 -44969 -28448.7 -30151.8 -23696 -30425.7 -42025.9 -9991.51 -146248 -16849.1 -15123 -33326.4 -55177.2 -62553.4

50 37.5 38.46 42.86 40 40 31.25 55.56 37.5 50 30.77 28.57 27.27 33.33 44.44 40 62.5 26.67 40 33.33 50 50 33.33 33.33 18.75 50 60 38.46 33.33 28.57

-352.88 8553.8 669.99 -2178.8 6653.53 10453.2 -2956.5 14051.5 5712.73 2490.45 -1253.8 -2063.5 -1386.1 -963.33 3304.58 -2847.9 12689.4 -2281.1 7923.34 448.32 2471.45 6363.77 33.35 8901.37 -6725.3 3271.33 5007.68 -460.34 -535.08 -3127.6

1705.6 10156.6 3395.38 1740.65 6573 8851.1 1902.41 13019.4 13538.1 5027.28 4275.78 2879.27 6224.95 4554.41 5165.72 2924.72 11018.6 1685.87 9257.73 3542.13 4579.72 7250.85 5240.89 9016.53 4372.15 3957.2 4455.71 3576.55 8030.1 2616.64

0.86 2.62 1.17 0.45 2.7 3.09 0.36 4.09 1.85 1.76 0.79 0.6 0.84 0.85 1.71 0.47 5.15 0.41 2.14 1.1 1.57 2.84 1.01 7.04 0.32 2.01 3.09 0.91 0.94 0.45

-0.2 0.84 0.2 -1.3 1.01 1.18 -1.6 1.08 0.42 0.5 -0.3 -0.7 -0.2 -0.2 0.64 -1 1.15 -1.4 0.86 0.13 0.54 0.88 0.01 0.99 -1.5 0.83 1.12 -0.1 -0.1 -1.2

Kennzahlen NetProfit 16904.47

ResidualGew MaxDD 25711.02 -41776.93

Trades 11.13

PercWin 38.32

AvgProfit 1518.37

StDevProfit 5143.19

PFStDevProfit 5182.63

P/MaxDD 1.01

PF-RAR 0.29

RAR 0.09

PercProfitable PF 56.67 1.77

137

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.6_Filter Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY.T HVM.T BMW. CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr -7373 -687.57 -22197 10 50 -737.31 1957.53 64850 130996 -31993 8 37.5 8106.3 10344.5 3795 3795.29 -39564 11 36.36 345.03 4166.21 -8045 8079.56 -27436 10 40 -804.54 2262.73 84927 134114 -16298 6 50 14154.5 9530.83 79914 134400 -47737 10 40 7991.41 9125.91 -36799 -42155 -52271 12 33.33 -3066.59 2924.75 1E+05 127799 -27741 9 55.56 11305.6 12274.7 81475 18525.9 -23039 6 33.33 13579.2 18283.7 19218 53482.1 -29727 8 37.5 2402.26 5008.87 32642 52130.4 -24385 9 44.44 3626.92 5358.21 -18337 -23299 -31319 12 25 -1528.04 3390.15 45556 98082.7 -47099 8 37.5 5694.52 12384.3 -44937 -61449 -77631 12 25 -3744.75 4431.12 23628 40805.8 -29535 9 44.44 2625.32 4970.75 2582 29247.3 -38133 8 50 322.71 3297.8 87189 125941 -21258 6 50 14531.5 15062.7 -38718 -43009 -56073 13 30.77 -2978.27 1923.16 45556 98082.7 -47099 8 37.5 5694.52 12384.3 34489 67463.9 -16981 8 37.5 4311.18 5649.16 -10245 -21853 -31484 12 33.33 -853.77 4474.72 51860 58772.6 -30426 10 50 5185.95 7332.89 -12478 -12478 -45412 11 36.36 -1134.37 5704.35 46543 88864.5 -12277 6 33.33 7757.22 9177.4 -84770 -106587 -123311 12 25 -7064.13 6208.25 42060 81279.8 -20432 6 50 7010.05 8446.83 20002 40983.1 -27692 10 40 2000.21 4655.84 3638 3637.74 -32610 11 54.55 330.7 4508.47 -15381 38054 -56445 9 33.33 -1709.04 7934.84 -36046 -46293 -66581 12 16.67 -3003.83 3864.65

PF P/MaxD RAR 0.7 -0.33 -0.4 2.4 2.03 0.8 1.1 0.1 0.1 0.7 -0.29 -0.4 7.1 5.21 1.5 2.2 1.67 0.9 0.5 -0.7 -1.1 3 3.67 0.9 4.4 3.54 0.7 1.7 0.65 0.5 1.9 1.34 0.7 0.7 -0.59 -0.5 1.6 0.97 0.5 0.6 -0.58 -0.9 1.6 0.8 0.5 1.1 0.07 0.1 4 4.1 1 0.4 -0.69 -1.6 1.6 0.97 0.5 2.2 2.03 0.8 0.9 -0.33 -0.2 2.2 1.7 0.7 0.9 -0.27 -0.2 4.4 3.79 0.9 0.4 -0.69 -1.1 3.3 2.06 0.8 1.5 0.72 0.4 1.1 0.11 0.1 0.8 -0.27 -0.2 0.6 -0.54 -0.8

Kennzahlen

PercProfitable 63.33

138

NetProfit 18618.22

ResidualGew 35890.91

PercWin 37.94

AvgProfit 1980.66

PF 1.84

P/MaxDD 1.01

MaxDD -38472.82

Trades 9.40

StDevProfit PFStDevProfit 6278.19 5665.02 PF-RAR 0.35

RAR 0.17

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY.T HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR -15562 -21349 -22415 16 43.75 -972.6 1009.9 0.6 -0.69 -1 67461 61856.1 -24918 12 50 5621.7 4589.7 3 2.71 1.2 19837 27375.7 -28810 12 41.67 1653.08 4000.4 1.4 0.69 0.4 -18879 -18532 -27541 14 35.71 -1348.5 1040.2 0.4 -0.69 -1 57779 106966 -16298 10 70 5777.86 4277 4.3 3.55 1.4 70291 170291 -30977 13 61.54 5407.02 4375.6 2.6 2.27 1.2 -35721 64278.6 -42844 17 23.53 -2101.3 1713.6 0.5 -0.83 -1 1E+05 1.#R -26500 11 45.45 11040.9 9728.7 3.8 4.58 1.1 22507 22507.2 -35314 11 45.45 2046.11 4205 1.6 0.64 0.5 -23129 -24904 -37419 14 50 -1652.1 1823.8 0.5 -0.62 -1 14626 4974.72 -19061 14 35.71 1044.68 2376.8 1.4 0.77 0.4 -34915 -32747 -38158 17 41.18 -2053.8 1490 0.4 -0.92 -1 17822 24421.8 -47811 13 61.54 1370.92 4397.9 1.3 0.37 0.3 7790 107790 -35976 15 26.67 519.36 3039.8 1.1 0.22 0.2 10364 6968.98 -22099 14 28.57 740.27 2911.9 1.3 0.47 0.3 -31325 -26156 -46401 12 33.33 -2610.4 1930.1 0.3 -0.68 -1 95034 121332 -11988 10 60 9503.39 6440 6.8 7.93 1.5 -60663 -61600 -65755 18 22.22 -3370.2 995.06 0.1 -0.92 -3 17822 24421.8 -47811 13 61.54 1370.92 4397.9 1.3 0.37 0.3 29187 13643.7 -16612 13 38.46 2245.16 2896.4 1.9 1.76 0.8 9707 -15882 -29150 14 42.86 693.33 3291.5 1.2 0.33 0.2 62172 65832.1 -18353 12 50 5181.02 4146.9 2.8 3.39 1.3 -34297 65703.4 -66286 17 29.41 -2017.5 3755.3 0.7 -0.52 -1 33325 33324.5 -8658 11 54.55 3029.5 1590.4 5.6 3.85 1.9 -10204 89796.3 -51815 15 33.33 -680.25 3831.6 0.9 -0.2 -0 33884 33883.5 -14145 11 36.36 3080.31 2688.6 2.8 2.4 1.2 19119 119119 -21375 15 46.67 1274.63 1888.5 1.6 0.89 0.7 -2019 -57414 -50242 15 46.67 -134.63 2977 1 -0.04 -0 10550 3591.39 -56150 13 30.77 811.55 4925.6 1.2 0.19 0.2 -15371 -53692 -40314 15 33.33 -1024.8 2104.1 0.7 -0.38 -0

Kennzahlen

PercProfitable 63.33

NetProfit 14621.35

ResidualGew 29510.43

PercWin 41.52

AvgProfit 1077.74

PF 1.76

P/MaxDD 1.03

MaxDD -33373.15

Trades 13.57

StDevProfit PFStDevProfit 3136.69 3446.10 PF-RAR 0.31

RAR 0.10

139

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.7 Market NetPr.

Res.Gew. MaxDD

Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF

P/MaxD

RAR

ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

1968.61 -20097 14465.9 -32767 100754 193892 4643.24 162475 6279.34 -40694 59838.7 11478.8 131970 43085.1 -71226 6210.12 73792.2 -86396 -96730 12263.2 26674.7 61131.4 19228.6 -23859 51794.2 13587.6 -31035 56926.7 149975 -2288.6

11 12 13 12 6 7 10 8 9 16 7 14 6 10 13 7 12 17 14 14 11 9 12 12 14 15 13 11 9 13

0.09 -0.14 0.3 -0.58 0.72 5.12 -0.62 4.82 5.32 -0.56 1.71 0.19 7.14 0.92 -0.67 -0.31 2.19 -0.94 -0.7 0.73 0.68 1.51 0.36 -0.74 1.7 0.29 -0.22 1.91 4.05 -0.17

0.08 -0.14 0.29 -1.31 0.49 1.38 -0.53 1.32 1.03 -0.76 0.85 0.12 1.71 0.56 -1.21 -0.36 0.86 -2.34 -1.36 0.57 0.36 0.66 0.27 -1.04 0.88 0.25 -0.18 1.13 1.54 -0.1

1968.6 -10519 12389 -32893 33765 138892 -17574 138987 76688 -30775 49074 3712.4 106970 34497 -69390 -9834 77505 -66488 -1E+05 20587 26675 62880 14094 -23859 82464 9192.5 -11888 56927 97439 -4318

-21728.9 -74547.1 -40795.4 -56967.4 -46966.7 -27112.5 -28446.1 -28822 -14409.6 -55313.1 -28664.8 -19249 -14992 -37700.6 -103388 -32125.9 -35351.5 -70983.8 -159516 -28109.4 -39490.9 -41628.5 -39650.5 -32431.1 -48590.9 -31844 -54176 -29729.3 -24048.3 -26056.5

45.45 33.33 53.85 41.67 50 57.14 30 50 44.44 43.75 42.86 57.14 66.67 50 23.08 42.86 50 35.29 21.43 42.86 27.27 44.44 58.33 41.67 42.86 46.67 46.15 45.45 44.44 38.46

178.96 -876.59 952.98 -2741.05 5627.43 19841.8 -1757.41 17373.3 8520.83 -1923.41 7010.54 265.17 17828.3 3449.68 -5337.68 -1404.86 6458.73 -3911.08 -7972.98 1470.52 2424.98 6986.62 1174.53 -1988.25 5890.25 612.83 -914.48 5175.15 10826.6 -332.19

2280.16 6483.75 3273.05 2092.33 11520.8 14424.7 3318.72 13148.5 8238.55 2522.28 8200.44 2134.31 10455.7 6184.3 4411.39 3930.85 7537.16 1672.02 5852.6 2597.48 6650.34 10512.3 4322.39 1915.47 6667.6 2442.65 4982.71 4586.73 7052.59 3310.3

Kennzahlen NetProfit 21851.47

ResidualGew MaxDD 26578.08 -43094.53

Trades 11.23

PercWin 43.03

AvgProfit 1945.23

StDevProfit 5109.07

PFStDevProfit 6696.08

P/MaxDD 1.14

PF-RAR 0.29

RAR 0.17

PercProfitable PF 63.33 2.10

140

1.06 0.91 1.26 0.32 1.81 4.96 0.66 5.72 4.16 0.6 2.64 1.1 12.4 1.9 0.37 0.68 2.48 0.21 0.39 1.47 1.42 1.98 1.23 0.42 2.02 1.19 0.88 2.42 5.51 0.93

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.7_Filter Market NetPr. Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -1E+05 -122476 -118618 ALV.T 52549 120436 -27366 ALT.T -16677 2675.6 -20698 BAS.T -30225 -16204 -43008 BAY.T 71228 131813 -10146 HVM.T 38953 96153 -35795 BMW.T -49030 -19791 -85334 CBK.T 146348 168196 -33031 CON_. 6666.3 19749 -27082 DCX.T -18218 20106 -31036 DBK.T -12370 -12880 -41834 DB1.T 5929.7 16874 -12610 LHA.T 46660 101522 -47079 DPW.T 10745 19333 -30724 DTE.T -11768 2911.9 -47812 EOA.T 16004 31853 -10293 FME.T -48832 -19386 -67228 HEN3. -9179 9755.1 -26706 IFX.T 46660 101522 -47079 LIN.T 38206 87590 -10141 MAN.T 28399 79738 -21382 MEO.T -6029 -7777.5 -52187 MUV2. 22300 91384 -50008 RWE.T 26676 68997 -12277 SAP.T -44353 -8620.9 -80723 SCH.T 1863.2 42858 -28505 SIE.T -3719 28477 -41244 TKA.T 47324 94651 0 TUI.T -39293 12622 -95255 VOW.T -6491 28344 -33293

7 6 7 6 3 6 5 4 2 8 5 5 6 6 5 3 8 5 6 2 2 5 5 6 6 6 3 1 7 7

0 50 42.86 16.67 66.67 50 20 75 50 50 40 40 33.33 33.33 40 66.67 25 20 33.33 50 50 40 20 33.33 33.33 66.67 33.33 100 28.57 28.57

-16769 8758.21 -2382.4 -5037.5 23742.5 6492.16 -9806.1 36587.1 3333.13 -2277.3 -2474.1 1185.94 7776.64 1790.77 -2353.5 5334.55 -6104 -1835.7 7776.64 19103.1 14199.4 -1205.9 4459.91 4445.93 -7392.2 310.54 -1239.6 47324.2 -5613.3 -927.28

2970.6 12831 3060.4 3401.3 16371 12122 12387 33428 9490.2 4880.1 7152.4 5172.6 18027 10210 10685 11406 5518.7 5718 18027 37229 40740 14164 16842 7955.4 12353 5285.8 16373 7654.4 8241.7

0 2.2 0.5 0.2 54 1.9 0.4 8.3 3 0.6 0.7 1.3 1.7 1.2 0.8 2.9 0.4 0.7 1.7 6.3 2.9 0.9 1.5 2.8 0.5 1.1 0.9 0 0.4 0.9

-0.99 1.92 -0.81 -0.7 7.02 1.09 -0.57 4.43 0.25 -0.59 -0.3 0.47 0.99 0.35 -0.25 1.55 -0.73 -0.34 0.99 3.77 1.33 -0.12 0.45 2.17 -0.55 0.07 -0.09 0 -0.41 -0.19

-5.7 0.68 -0.8 -1.5 1.45 0.54 -0.8 1.09 0.35 -0.5 -0.4 0.23 0.43 0.18 -0.2 0.47 -1.1 -0.3 0.43 0.51 0.35 -0.1 0.26 0.56 -0.6 0.06 -0.1 0 -0.7 -0.1

Kennzahlen

PercProfitable 53.33

NetProfit 6431.32

ResidualGew 39014.11

PercWin 37.25

AvgProfit 1261.05

PF 3.36

P/MaxDD 0.67

MaxDD -39616.40

Trades 5.10

StDevProfit PFStDevProfit 10716.55 13194.49 PF-RAR 0.10

RAR -0.17

141

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.8 Market NetPr.

Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF

P/MaxDD RAR

ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW. CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

106258 112336 76334.9 112108 86800.2 100770

2.37 0.47 -0.81 2.54 -0.46 0.03 0.24 1.03 -0.95 3.25 0.66 0.06 0.8 0.51 -0.85 -1 -0.95 -0.57 0.81 0.58 0.1 0.4 1.25 -0.36 0.76 -0.55 0.55 0.87 0.59 -0.7

6257.9 12336 -23665 12108 -13200 769.73 2482.6 19251 -27054 15364 4390.3 587.18 12689 7759.5 -15905 -9526 -23727 -2461 16028 8560.4 1023.7 7057.3 37237 -5523 24823 -5836 5166.4 11013 20336 -14275

119251 115364 104390 100587 112689 107760 84094.9 90474.2 76273.4 97538.7 18918.2 108560 101024 107057 137237 94477.5 124823 94164.1 105166 111013 120336

-2640 -26522 -29108 -4772 -28605 -25127 -10326 -18642 -28611 -4732 -6649 -9548 -15897 -15171 -18698 -9526 -25061 -4339 -19788 -14640 -10285 -17844 -29762 -15253 -32829 -10695 -9396 -12656 -34706 -20386

7 17 17 9 18 21 11 18 22 9 15 16 18 15 7 5 21 10 15 13 14 13 12 13 18 10 15 18 17 11

28.57 29.41 17.65 33.33 16.67 28.57 36.36 33.33 9.09 55.56 33.33 25 38.89 26.67 28.57 0 23.81 20 20 23.08 14.29 15.38 41.67 30.77 27.78 40 33.33 33.33 23.53 18.18

893.99 725.67 -1392.1 1345.31 -733.32 36.65 225.69 1069.51 -1229.7 1707.15 292.69 36.7 704.95 517.3 -2272.2 -1905.2 -1129.8 -246.13 1068.5 658.49 73.12 542.87 3103.04 -424.81 -1532.2 -583.59 344.43 611.82 1196.25 -1297.7

1358.9 2185.9 357.04 2024.9 1618.8 1670 1359.9 1797.9 540.57 1230.4 939.72 987.22 1290.4 1243.9 1969.7 690.07 650.88 358.01 2933 1267 1330.2 2428.9 3630.2 907.6 731.36 1099.2 1519.2 1244.2 2374 826.12

2.29 1.31 0.1 2.83 0.67 1.01 1.17 1.55 0.21 4.01 1.35 1.03 1.54 1.44 0.32 0 0.32 0.57 1.43 1.65 1.06 1.32 2.31 0.65 1.66 0.59 1.24 1.55 1.51 0.28

Kennzahlen NetProfit 2802.28

ResidualGew MaxDD 100955.74 -17073.75

Trades 14.17

PercWin 26.59

AvgProfit 74.51

StDevProfit 1403.61

PFStDevProfit 1174.48

P/MaxDD 0.36

PF-RAR 0.06

RAR -0.31

PercProfitable PF 66.67 1.23

142

0.66 0.33 -3.9 0.66 -0.5 0.02 0.17 0.59 -2.3 1.39 0.31 0.04 0.55 0.42 -1.2 -2.8 -1.7 -0.7 0.36 0.52 0.05 0.22 0.85 -0.5 -2.1 -0.5 0.23 0.49 0.5 -1.6

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.9 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. -43831 -11196 -7326.6 14814 -7585.5 -143405 -9255.9 -165412 -89353 19546 -43354 -30208 -90910 -26592 69499 -1960 36863 49008 105581 -20193 -55021 -88417 -35865 40325 -114501 16820 10554 -85432 -125424 6662.2

Res.Gew. -48011 60994.8 -5962.1 15791.2 56495.3 -88906 18752.9 -142029 -132137 12158.9 -31103 -19962 -67833 -19462 67960.5 14558.6 62496.7 31116.9 119291 -27714 -55021 -88962 -28186 75854.1 -114501 19706.5 -762.87 -72715 -71209 8010.99

MaxDD -57555 -53498 -61618 -33714 -82664 -174417 -42994 -181324 -112709 -32125 -86055 -56998 -103508 -68871 -54088 -33369 -24200 -16680 -55889 -52172 -93968 -130093 -68085 -30613 -146385 -45734 -60771 -102258 -148509 -45897

Tr.Nr. 9 8 13 12 6 7 9 6 5 13 7 10 6 8 13 7 10 17 14 14 11 9 12 10 11 15 13 9 5 13

PercWin 33.33 50 46.15 41.67 50 42.86 66.67 16.67 40 61.54 57.14 40 16.67 50 76.92 57.14 50 64.71 71.43 57.14 63.64 55.56 41.67 60 45.45 46.67 53.85 44.44 20 53.85

AvgProfit -4870.2 -1399.4 -563.59 1234.5 -1264.3 -20487 -1028.4 -27569 -17871 1503.5 -6193.4 -3020.8 -15152 -3324 5346.1 -280 3686.3 2882.8 7541.5 -1442.4 -5002 -9824.1 -2988.7 4032.5 -10409 1121.3 811.85 -9492.4 -25085 512.47

StDevPr 2560.28 9512.11 3332.85 2047.94 12309.6 14881.2 3585.62 15930 15165.6 3300.13 8172.39 3926.46 8541.66 8790.89 4625.33 4073.56 3144.72 1537.35 5876.99 2523.22 6811.69 10717.4 4345.27 3180.74 8079.19 2732.74 5117.45 5940.83 11812.6 3338.72

PF 0.22 0.87 0.88 1.61 0.89 0.19 0.77 0.02 0.15 1.36 0.43 0.42 0.12 0.61 2.55 0.93 3.36 3.17 2.47 0.68 0.47 0.38 0.59 2.93 0.28 1.33 1.12 0.22 0.02 1.12

P/MaxDD -0.76 -0.21 -0.12 0.44 -0.09 -0.82 -0.22 -0.91 -0.79 0.61 -0.5 -0.53 -0.88 -0.39 1.28 -0.06 1.52 2.94 1.89 -0.39 -0.59 -0.68 -0.53 1.32 -0.78 0.37 0.17 -0.84 -0.84 0.15

RAR -1.9 -0.2 -0.2 0.6 -0.1 -1.4 -0.3 -1.7 -1.2 0.46 -0.8 -0.8 -1.8 -0.4 1.16 -0.1 1.17 1.88 1.28 -0.6 -0.7 -0.9 -0.7 1.27 -1.3 0.41 0.16 -1.6 -2.1 0.15

Kennzahlen NetProfit -27519.04

ResidualGew MaxDD -15042.90 -75225.35

Trades 10.07

PercWin 51.66

AvgProfit -2733.68

StDevProfit 5566.84

PFStDevProfit 8838.56

P/MaxDD -0.01

PF-RAR -0.31

RAR -0.33

PercProfitable PF 33.33 1.01

143

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.10 Market NetPr.

Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF

P/MaxDD RAR

ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

-36084 31927.3 72101.5 111182 44315.1 -13787 83205.5 92322.1 75614.2 60372.7 68588.4 -17994 36604.8 102419 116977 68508.6 135169 74448.8 120442 -30988 40335.8 -39456 139010 94810.8 24519.5

-0.59 2.63 -0.64 0.82 -0.91 -0.56 -0.66 -0.25 -0.69 -1 -0.9 -0.99 -1 0.14 1.41 -0.98 1.32 -1 0.53 -0.78 -1 0.16 0.95 -0.17 -1 0.12 0.77 -0.98 -0.84 1.04

-13907 37903 -27899 11182 -55685 -13787 -16795 -7678 -24386 -39627 -31412 -21305 -63395 2419.3 16977 -31491 35169 -25551 20442 -30988 -59664 4426.5 39010 -5189 -75481 3999.1 15411 -45574 -39527 17794

-17717 54426.3 -55130 117794

-23663 -14401 -43556 -13694 -61405 -24762 -25550 -30531 -35498 -39627 -35068 -21465 -63395 -16937 -12017 -32025 -26624 -25551 -38796 -39849 -59664 -26885 -41016 -30768 -75481 -32760 -20136 -46332 -46930 -17094

20 28 28 27 26 22 19 29 18 26 23 24 29 25 23 24 25 32 30 33 31 30 35 32 30 33 27 23 27 30

10 3.57 7.14 11.11 3.85 4.55 5.26 6.9 16.67 0 4.35 4.17 3.45 20 13.04 4.17 12 9.38 6.67 3.03 3.23 3.33 0 6.25 3.33 9.09 7.41 4.35 3.7 20

-828.47 -803.54 -1288.9 -565.6 -2141.7 -1458.6 -883.92 -437.32 -1354.8 -1654.8 -1365.7 -1115.7 -2186 -290.77 600 -1312.1 1406.8 -798.47 -1532 -1161 -1924.7 -984.25 -1879 -162.16 -2516 -580.63 -970.13 -2390.9 -1773.9 593.13

495.95 612.9 668.55 548.16 477.98 1257.6 869.73 1523.8 779.66 171.58 493.49 595.62 452.76 905 1385.1 215.07 2313.5 461.22 1371.7 313.08 282.23 866.46 247.37 1152.6 594.46 711.94 783.88 448.28 682.62 1121.4

0.47 2.02 0.48 1.32 0.11 0.75 0.45 0.89 0.36 0.08 0.21 0.42 0.11 1.05 1.46 0.02 1.86 0.42 1.24 0.33 0.03 1.08 1.59 0.89 0.09 1.08 1.31 0.24 0.37 1.38

Kennzahlen NetProfit -14153.59

ResidualGew MaxDD 53584.13 -34049.32

Trades 26.97

PercWin 6.80

AvgProfit -1065.96

StDevProfit 751.00

PFStDevProfit 897.66

P/MaxDD -0.17

PF-RAR -1.19

RAR -2.50

PercProfitable PF 36.67 0.74

144

-1.67 -1.31 -1.93 -1.03 -4.48 -1.16 -1.02 -0.29 -1.74 -9.64 -2.77 -1.87 -4.83 -0.32 0.43 -6.1 0.61 -1.73 -1.12 -3.71 -6.82 -1.14 -7.6 -0.14 -4.23 -0.82 -1.24 -5.33 -2.6 0.53

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.11 Market ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW.T CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

NetPr. 55.5 10944 -20929 9369 -35821 -1227.3 -17828 5417.2 -7803.2 -38070 -6123 -22763 -40048 -5218.3 -20761 -21077 23499 -13507 15146 -29887 -52914 4883.9 6916.4 -14731 -56618 -10545 -4013.2 -31420 -14678 35189

Res.Gew. -22122 4968.52 79070.9 109369 64179.1 98772.7 82172.2 105417 92196.8 61930 93877 -18605 59952 94781.7 79238.9 78922.8 123499 115146 70113.2 47086.5 104884 106916 85268.6 43382.2 89455.1 95986.8 68580.4 85322.5 135189

MaxDD -10063.5 -13991.2 -32422.7 -14695.7 -46257.1 -27215.3 -18658.3 -28065.4 -22663.2 -39383.2 -16054.3 -23127.4 -45141.4 -22104.7 -20761.1 -25875.1 -12069.6 -16138.1 -37653.2 -37148.1 -55484.8 -19181.6 -40457.3 -25970.6 -56617.8 -28155.4 -22296 -34215.2 -38536.4 -13788.3

Tr.Nr. 20 28 30 27 27 23 19 31 20 26 23 25 29 26 23 24 25 33 30 34 31 31 35 32 30 34 29 25 31 31

PercWin 20 17.86 20 22.22 11.11 13.04 5.26 25.81 25 3.85 17.39 16 13.79 15.38 17.39 12.5 28 18.18 6.67 8.82 6.45 19.35 5.71 15.63 6.67 20.59 17.24 16 16.13 29.03

AvgProfit -130.37 390.86 -970.64 -632.74 -1326.7 -53.36 -938.3 174.75 -390.16 -1464.2 -266.22 -910.52 -1381 -573.34 -902.66 -878.22 939.96 -409.29 -1708.6 -1035.3 -1706.9 -937.75 -498.83 -460.36 -1887.3 -746.03 -138.39 -1633.4 -473.47 1135.14

StDevPr 499.79 949.55 422.48 324.31 557.1 1399.9 377.01 1092 1004.1 184.13 747 315.95 674.5 718.01 442.29 336 1219.7 454.78 963.58 311.76 302.31 351.43 1410.9 540.4 548.1 441.69 838.26 519.41 1063.4 994.4

PF 1 1.3 0.52 1.34 0.31 0.97 0.21 1.09 0.78 0.03 0.81 0.23 0.32 0.87 0.35 0.23 1.92 0.64 1.19 0.33 0.08 1.11 1.11 0.63 0.17 0.76 0.9 0.41 0.74 2.01

P/MaxDD 0.01 0.78 -0.65 0.64 -0.77 -0.05 -0.96 0.19 -0.34 -0.97 -0.38 -0.98 -0.89 -0.24 -1 -0.81 1.95 -0.84 0.4 -0.8 -0.95 0.25 0.17 -0.57 -1 -0.37 -0.18 -0.92 -0.38 2.55

RAR -0.26 0.41 -2.3 -1.95 -2.38 -0.04 -2.49 0.16 -0.39 -7.95 -0.36 -2.88 -2.05 -0.8 -2.04 -2.61 0.77 -0.9 -1.77 -3.32 -5.65 -2.67 -0.35 -0.85 -3.44 -1.69 -0.17 -3.14 -0.45 1.14

Kennzahlen NetProfit -11818.66

ResidualGew MaxDD 77067.26 -28139.73

Trades 27.73

PercWin 15.62

AvgProfit -668.07

StDevProfit 669.69

PFStDevProfit 736.55

P/MaxDD -0.24

PF-RAR -0.91

RAR -1.68

PercProfitable PF 30.00 0.75

145

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.12 Market NetPr.

Res.Gew. MaxDD

Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF

P/MaxDD RAR

ADS.T ALV.T ALT.T BAS.T BAY_5 HVM.T BMW. CBK.T CON_. DCX.T DBK.T DB1.T LHA.T DPW.T DTE.T EOA.T FME.T HEN3. IFX.T LIN.T MAN.T MEO.T MUV2. RWE.T SAP.T SCH.T SIE.T TKA.T TUI.T VOW.T

93290.1 64892 121194 86497.8 92013.7 123348 85082.6 86325.4 93098.4 66625.6

4 10 10 6 10 7 9 4 14 10 11 17 4 5 10 7 4 13 6 5 6 12 7 6 9 11 4 6 4 8

-0.94 0.03 3.45 -1 -0.45 1.4 -0.72 -0.85 -0.46 -0.98 1.64 -0.96 3.03 0.72 -1 -0.96 4.96 -1 -0.54 2.27 -0.91 -0.81 3.71 -1 1.4 1.34 2.49 -1 -0.79 -0.03

-6709.85 709.51 21193.5 -13502.2 -7986.29 23348.3 -14917.4 -13674.6 -6901.64 -33374.4 20544.3 -22516.3 8528.7 6203.48 -20696.7 -11865.5 13339.3 -21759.7 -11960.8 12622.6 -21106 -24260.4 27084.9 -11048 13912.6 19440 16718.9 -17494.3 -8759.5 -502.32

77483.7 108529 106203 79303.3 88134.5 113339 78240.3 88039.2 38241 -32999 -30143 127085 88952 113913 116719 82505.8 91240.5 99497.7

-7113.95 -24955.8 -6136.76 -13502.2 -17635 -16702.7 -20741.1 -16110.6 -15156.6 -33966 -12530.2 -23390 -2817.52 -8583.7 -20696.7 -12331.7 -2691 -21759.7 -22010.3 -5569.48 -23067.5 -30098.2 -7301.6 -11048 -9916.7 -14465.8 -6719.51 -17494.3 -11102.3 -19800.2

25 20 50 0 30 42.86 11.11 0 35.71 10 27.27 17.65 50 40 20 28.57 75 7.69 33.33 40 16.67 25 57.14 0 33.33 36.36 25 0 25 25

-1677.5 70.95 2119.4 -2250.4 -798.63 3335.5 -1657.5 -3418.7 -492.97 -3337.4 1867.7 -1620.2 2132.2 1240.7 -2069.7 -1695.1 3334.8 -1673.8 -1993.5 2524.5 -3517.7 -2021.7 3869.3 -1841.3 1545.8 1767.3 4179.7 -2915.7 -2189.9 -62.79

1145.1 3036.3 1399.9 572.94 1209.1 6184 1893.1 1599 774.66 660.44 2539.2 713.4 3111.5 3815.6 811.15 645.67 2584.5 483.26 2543.3 3380.3 1164.1 1147.2 3718.1 502.06 2731.3 2262.9 7456.3 510.2 2118.8 2842.5

Kennzahlen NetProfit -2846.33

ResidualGew MaxDD 83808.99 -15180.50

Trades 7.97

PercWin 25.94

AvgProfit -378.31

StDevProfit 1861.94

PFStDevProfit 2370.33

P/MaxDD 0.40

PF-RAR -0.16

RAR -1.09

PercProfitable PF 40.00 2.13

146

0.06 1.03 3.66 0 0.55 2.12 0.43 0 0.63 0.02 2.15 0.37 3.59 1.72 0.15 0.05 30.8 0.07 0.46 3.51 0.02 0.27 3.47 0 1.98 2.19 3.49 0 0.04 0.97

-1.46 0.02 1.51 -3.93 -0.66 0.54 -0.88 -2.14 -0.64 -5.05 0.74 -2.27 0.69 0.33 -2.55 -2.63 1.29 -3.46 -0.78 0.75 -3.02 -1.76 1.04 -3.67 0.57 0.78 0.56 -5.71 -1.03 -0.02

Anhang C: Handelsmodelle

C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle Handelsmodell Nr.1 Inputs: FastLength(5), SlowLength(34), Price(C); vars: FastMA(0), SlowMA(0); FastMA = Average(Price,FastLength); SlowMA = Average(Price,SlowLength); Condition1 = FastMA crosses over SlowMA; Condition2 = FastMA crosses under SlowMA; If Condition1 then buy on close; If Condition2 then sell on close;

Handelsmodell Nr.2 Analog zum Handelsmodell Nr.1, die Inputs FastLength und SlowLength werden auf 9 bzw. 21 gesetzt.

Handelsmodell Nr.3 Inputs: FastMovAvg(12), SlowMovAvg(26), MACDMovAvg(9); If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Above XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then Buy ("MACDlong") This Bar on Close; If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Below XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then Sell ("MACDshort") This Bar on Close;

Handelsmodell Nr.4 Inputs: Strength(3), Length(30); Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length); If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice then buy on close; end;

147

Anhang C: Handelsmodelle

SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length); If SWLo <> -1 then SLoPrice = SWLo; If SLoPrice <> 0 then begin if close < SLoPrice then sell on close; end;

Handelsmodell Nr.5 Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 3 gesetzt.

Handelsmodell Nr.5_Filter Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34); Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0), longstoploss(0), shortstoploss(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length);

If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; if marketposition <=0 then begin If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl) then buy on close; end; end;

SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length);

If SWLo <> -1 then SLoPrice = SWLo; if marketposition >=0 then begin If SLoPrice <> 0 then begin if close < SLoPrice and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl) then sell on close; end; end;

148

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34); Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0), longtrailing(0), shorttrailing(0), longstoploss(0), shortstoploss(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length); If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; if marketposition <=0 then begin If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl) then buy on close; end; end;

SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length); If SWLo <> -1 then SLoPrice = SWLo; if marketposition >=0 then begin If SLoPrice <> 0 then begin if close < SLoPrice and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl) then sell on close; end; end; {Stops} longtrailing = SLoPrice; shorttrailing = SXPrice ; if C < longtrailing then exitlong ("SW_TR_L")on close stop ; if C > shorttrailing then exitshort ("SW_TR_S")on close stop ; exitlong ("trailingL") on lowest(l,13) stop; exitshort ("trailingS")on highest(h,13) stop;

Handelsmodell Nr.6 Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.

149

Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.6_Filter Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.

Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.

Handelsmodell Nr.7 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), versch(0); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp)[versch]; If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then buy("BBS") on close ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp)[versch]; If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw then sell("BBL") on close;

Handelsmodell Nr.7_Filter Inputs: Length(9), StdDevUp(2), sMA(5), mMA(13), lMA(34); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If C > BBTop and average(c,sMA) > average(c,mMA) and average(c,sMA) > average(c,lMA) Then buy("BBS") on close ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If C < BBBot and average(c,sMA) < average(c,mMA) and average(c,sMA) < average(c,lMA) then sell("BBL") on close;

Handelsmodell Nr.8 Inputs: lengthRSI(14), overbought(70), oversold(30), trailinglength(3) ; vars: longstoploss(0), shortstoploss(0); condition1 = rsi(c,lengthRSI) crosses over oversold ; condition2 = rsi(c,lengthRSI) crosses under overbought ;

150

Anhang C: Handelsmodelle if condition1 then begin buy this bar on close; longstoploss = L; end; if condition2 then begin sell this bar on close; shortstoploss= H; end; exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop; exitlong at lowest((l),trailinglength) stop; exitshort at highest((h),trailinglength) stop;

Handelsmodell Nr.9 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then Buy("BBL") next bar at BBBot stop;

Handelsmodell Nr.10 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1) ; Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; shortstoploss = H; end;

BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin Buy("BBL") next bar at BBBot stop; longstoploss = L; end;

151

Anhang C: Handelsmodelle

exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop;

Handelsmodell Nr.11 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), trailingOnLo(L) , TrailingOnSh(H) ; Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0), trailing(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; shortstoploss = H; end; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin Buy("BBL") next bar at BBBot stop; longstoploss = L; end; exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop; exitlong at lowest(trailingonlo,3) stop; exitshort at highest(trailingonsh,3) stop;

Handelsmodell Nr.12 Inputs: trendbest(3), trailing(3); vars: longstlo(0), shortstlo(0); {hammer} condition1 = lowest(l,trendbest)=L; {downtrend} if o > c then begin condition2 = 2*(o-c)<= c-l; {lunte} condition3 = o-c >= 2*(h-o); {docht} end; if o<=c then begin condition2 = 2*(C-o) <= o-l; {lunte} condition3 = c-o >= 2*(h-c); {docht} end; {shooting star} condition4 = highest(h,trendbest) = H; if o>c then begin

152

Anhang C: Handelsmodelle condition5 = 2*(o-c)<= H-O; condition6 = o-c >= 2*(c-l); end; if o<=c then begin condition5 = 2*(c-o)<= H-C; condition6 = c-o >= 2*(o-L); end; condition7 = condition1 and condition2 and condition3; {hammer!!} condition8 = condition4 and condition5 and condition6; {shooting star!!} if condition7 then begin buy next bar on maxlist(o,c) stop; longstlo = L; end; if condition8 then begin sell next bar on minlist(o,c) stop; shortstlo = H; end; exitlong at longstlo stop; exitshort at shortstlo stop; exitlong at lowest(l, trailing) stop; exitshort at highest(h, trailing) stop;

153

Anhang D: Systematische Portfolio-ManagementModelle Es wurden zwei Funktionen in R programmiert, die ihrerseits mehrere Funktionen beinhalten, um die täglichen Wertpapiergewichtungen der Portfolio-ManagementModelle zu berechnen. Jede der inneren Funktionen kann auch selbstständig in R eingegeben werden, wenn die Betrachtung der Zwischenschritte erwünscht ist. Die Funktion B.L._Portfolio_Modell ermittelt die Wertpapiergewichtungen des Portfolio-Management-Modells nach Black und Litterman für jede der 15 Aktien an jedem Tag des Jahres 2004. Die Funktion für das Vergleichsportfolio nach Markowitz trägt die Bezeichnung P.S._Portfolio_Modell . Anhand der ermittelten Wertpapiergewichtungen und der Wertpapierrenditen kann dann die Performance des Portfolios berechnet werden. Die Inputs der Funktionen sind (siehe auch im Abschnitt 5.3.3.1): from =

1 to = 257 Leerverkäufe = FALSE Risikoaversion = 2.5 TageCovBerechnung = 100 Skalar (nur für B.L.) = 0.3 2 LongSignalRendite = 0.0032216 ShortSignalRendite = -0.00441936

[Erster Börsentag des Jahres 2004] [Letzter Börsentag des Jahres 2004]

[Für das erste Black-Litterman-Portfolio] [Für das aggressive B.-L.-Portfolio]

LongSignalVarianz (nur für B.L.) = ShortSignalVarianz

0.0283

(nur für B.L.) =

0.029433

Es liegen folgende Datenmatrizen vor, die für die Berechnungen der Portfoliogewichte herangezogen werden: DAX15.CLOSE.020102_301204:

759×15 Matrix der Schlusskurse für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum vom 02.01.02 bis zum 30.12.04.

154

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204:

759×15 Matrix der log-Renditen für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum vom 02.01.02 bis zum 30.12.04. DAX15.SHARESinMARKET_2004:

257×15 Matrix der aktuellen Anzahl der Aktien auf dem Markt für die 15 Aktien des Portfolios über das Jahr 2004. DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204:

759×15 Matrix der aktuellen Positionierung des Handelsmodells (wobei eins für eine Long-Positionierung, minus eins für eine Short- Positionierung und null für keine Position im Markt stehen).

In D.1 befindet sich der Quellcode der Funktion B.L._Portfolio_Modell. Der Quellcode der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist im Abschnitt D.2. Die Datenmatrizen sowie die unter D.1 und D.2 aufgeführten Funktionen können unter der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu im ASCII-Format heruntergeladen werden.

Die Abbildung D.2 verdeutlicht den Aufbau und die Informationsflüsse der Funktion B.L._Portfolio_Modell. Der Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist in der Abbildung D.3 veranschaulicht. Die Informationsflüsse der Abbildungen D.1 und D.2 sind folgendermaßen zu interpretieren: Abbildung D.16: Legende zur Interpretation der Funktionsdiagramme

Inputweitergabe

Funktionen

Ergebnisweitergabe

Datenweitergabe

Datenmatrizen

155

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle

Abbildung D.17: Aufbau der Funktion B.L._Portfolio_Modell( )

156

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle

Abbildung 18: Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell( )

157

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle

D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach BLACK-LITTERMAN B.L._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE, Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) { B.L._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){

B.L._letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){ ##TEXT_XXREND # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 lastRenditeDay <- datenumber - 1 firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1 RenditeMatrix <- matrix(ncol=15, nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1) i <- firstRenditeDay - 1 j <- 0 while(i
## TEXT COV rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung) covarianzmatrix <- cov(rendmatrix) B.L._Modul_Cov <- covarianzmatrix }

B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- function(for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung, Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite,

158

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz){ B.L._Modul_Pmatrix <- function(for_the_day){ ##TEXT_PMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) # nun wird gesucht, für welche aktien signale vorliegen SignalLocationMatrix <- matrix(nrow=1,ncol= AnzahlSignale) i <- 0 j <- 0 while(i<15){ i <- i + 1 if(Signalvector[i]!=0){ j <- j + 1 SignalLocationMatrix[j] = i } } # jetzt kann die Pmatrix zusammengestellt werden Pmatrix <- matrix(0,ncol=15, nrow=AnzahlSignale) i <- 0 while(i
B.L.OmegaMat <- function(for_the_day,LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz){ ##TEXT_OMEGAMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) Omegamatrix1 <- matrix(ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale) Omegamatrix <- matrix(0,ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale) i <- 0 j <- 0 while(i<15){ i <- i + 1 if(Signalvector[1,i] != 0){ j <- j + 1

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle Omegamatrix1[j,j] <- Signalvector[1,i] } } i <- 0 while(i
B.L._Modul_Omegamatrix <- Omegamatrix }

B.L._Vmat <- function(for_the_day,LongSignalRendite, ShortSignalRendite){ ##TEXT_VMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) Vmatrix1 <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale) Vmatrix <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale) i <- 0 j <- 0 while(i<15){ i <- i + 1 if(Signalvector[1,i] != 0){ j <- j + 1 Vmatrix1[j,1] <- Signalvector[1,i] } } i <- 0 while(i
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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle else{ Vmatrix[i,1] <- Vmatrix1[i,1]*ShortSignalRendite } }

B.L._Modul_Vmatrix <- Vmatrix }

B.L._ImpRend <- function(for_the_day,TageCovBerechnung, Risikoaversion){ # zuerst wird die function der marktkap.gerechten #Gewichte spezifiziert !! B.L._Wgg <- function(for_the_day){ ##TEXT_WGG # die gewichte basieren auf die heutige sharenumber #und die gestrigen schlkusskurse # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 SharesInMarket <- DAX15.SHARESinMARKET_2004[for_the_day,] relevantClosings
##TEXT_IMPREND # die impliziten Renditen basierend auf #TageCovBerechnung-Tage CovarianzMatrix, #FÜR den eingegebenen Tag, # Risikoaversion muss hier eingegeben werden !! ImpliziteRenditen <- Risikoaversion* B.L._Modul_Cov(for_the_day, TageCovBerechnung) %*%t(B.L._Modul_Wgg(for_the_day)) B.L._Modul_ImpliziteRendite <- ImpliziteRenditen }

##TEXT_B.L._FORMEL A <- solve(Skalar * B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung)) B <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*% solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day, LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*%

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day) C <- solve(A+B) D <- A %*% B.L._Modul_ImpliziteRendite(for_the_day, TageCovBerechnung,Risikoaversion) E <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*% solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day, LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*% B.L._Modul_Vmatrix(for_the_day,LongSignalRendite, ShortSignalRendite) F <- D+E B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- C %*% F }

B.L.PortfolioOptim <- function(Leerverkäufe,for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz){ ##TEXT_PORT.OPTIM BlackLittermanRenditen <- B.L._Modul_BlackLittermanFormel( for_the_day, Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) dvec <- t((1/Risikoaversion)*BlackLittermanRenditen) Dmat <- B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung) # zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe-----if(Leerverkäufe==TRUE){ Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) bvec <- 1 } # jetzt der Fall ohne Leerverkäufe-----------if(Leerverkäufe==FALSE){ Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15) diag(Amat.a) <- 1 Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15) bvec.a <- 1 bvec.b <- rep(0,15) bvec <- c(bvec.a,bvec.b) } PortfolioOptimierung <- solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec, Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1) B.L._Modul_PortfolioOptim <- PortfolioOptimierung }

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle ##TEXT_B.L._PORTFOLIO # letzter berechnungstag!! nrowPortfolio <- to ncolPortfolio <- 15 PORTFOLIO.weights.matrix <- matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1, ncol=ncolPortfolio) # das ist ein tag vor berechnungsanfang!!! i <- from - 1 k <- 0 while(i
B.L._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix }

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle

D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ P.S._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE, Risikoaversion,TageCovBerechnung, LongSignalRendite,ShortSignalRendite){

P.S._Modul_letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){ # TEXT LETZTE XX RENDITE # die letzten TageCovBerechnung Renditen # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 lastRenditeDay <- datenumber - 1 firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1 RenditeMatrix <- matrix(ncol=15,nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1) i <- firstRenditeDay - 1 j <- 0 while(i
P.S._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){ #TEXT COV # die cov-Matrix basiert auf die letzten #TageCovBerechnung Renditen, berechnet im #Modul B.L._Modul_letzteXXRendite rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung) covarianzmatrix <- cov(rendmatrix) P.S._Modul_Cov <- covarianzmatrix }

P.S.PortfolioOptim_withSignals <- function(Leerverkäufe,

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung,LongSignalRendite, ShortSignalRendite){ # TEXT POPTIM RendMat <- P.S._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung) HistorischeRenditen <- matrix(c(mean(RendMat[,1]), mean(RendMat[,2]),mean(RendMat[,3]),mean(RendMat[,4]), mean(RendMat[,5]),mean(RendMat[,6]),mean(RendMat[,7]), mean(RendMat[,8]),mean(RendMat[,9]),mean(RendMat[,10]), mean(RendMat[,11]),mean(RendMat[,12]),mean(RendMat[,13]), mean(RendMat[,14]),mean(RendMat[,15])),ncol=15) AlleSignale <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[for_the_day + 502,] LongSignale <- MinusOneToNull(AlleSignale) ShortSignale <- PlusOneToNull(AlleSignale) LongSignalPrognosen <- LongSignale*LongSignalRendite ShortSignalPrognosen <- ShortSignale*-ShortSignalRendite SignalRenditen <- LongSignalPrognosen+ShortSignalPrognosen # GemischteRenditen-Berechnung: GemischteRenditen <- matrix(nrow=1,ncol=15) i <- 0 while(i<15){ i <- i + 1 if(SignalRenditen[1,i]!=0){ GemischteRenditen[1,i] <(SignalRenditen[1,i]+HistorischeRenditen[1,i])/2 } else{ GemischteRenditen[1,i] <- HistorischeRenditen[1,i] } } dvec <- t((1/Risikoaversion)*GemischteRenditen) Dmat <- P.S._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung) # zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe------if(Leerverkäufe==TRUE){ Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) bvec <- 1 } # jetzt der Fall ohne Leerverkäufe------if(Leerverkäufe==FALSE){ Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15) diag(Amat.a) <- 1 Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15) bvec.a <- 1 bvec.b <- rep(0,15) bvec <- c(bvec.a,bvec.b) }

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle PortfolioOptimierung <solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec,Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1) P.S._Modul_PortfolioOptim_withSignals <- PortfolioOptimierung }

#TEXT PORTFOLIOMODELL # letzter berechnungstag!! nrowPortfolio <- to ncolPortfolio <- 15 PORTFOLIO.weights.matrix <matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1, ncol=ncolPortfolio) # das ist ein tag vor berechnungsanfang!!! i <- from - 1 k <- 0 while(i
P.S._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix

}

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