Black Jack Statistik

P R O J E K T P R A K T I K U M

F Ü R

D A T E N T E C H N I K E R

B L A C K

J A C K

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B L A C K J A C K

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8 7

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I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

:

1.KAPITEL SPIELERKLÄRUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . SEITE 4

2.KAPITEL GEDANKEN ZUR SPIELFÜHRUNG

. . . . . . . . . . . . SEITE

7

A. BERECHNUNG DER ENDWAHRSCHEINLICHKEITEN DES DEALERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SEITE

9

3.KAPITEL

B. BERECHNUNG DER ENDWAHRSCHEINLICHKEITEN DES DEALERS MIT HILFE EINES PROGRAMMS . . . . . . SEITE 21

4.KAPITEL ENTWICKLUNG EINER SPIELSTRATEGIE

. . . . . . . . . SEITE 24

5.KAPITEL ERPROBUNG DER STRATEGIE MIT EINEM PROGRAMM

. . . . SEITE 51

6.KAPITEL WEITERFÜHRENDE SPIELBETRACHTUNGEN . . . . . . . . . SEITE 57

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1. K A P I T E L :

BLACKJACK SPIELERKLÄRUNG ( Nach den Regeln der Österreichischen Spielbanken AG )

Für das Spiel werden vier oder sechs Kartenspiele zu je 52 Blatt verwendet. Asse zählen 1 oder 11, König, Dame und Bub zählen 10, die anderen Karten zählen nach ihrem aufgedruckten Wert zwischen 2 und 10. Ziel des Spiels ist es, durch den Kauf von einer oder mehreren Karten so nahe wie möglich an die Punktezahl 21 zu kommen, sie aber nicht zu überschreiten. Zuerst werden die Einsätze gemacht, dann teilt der Croupier die Karten offen aus. Jeder Mitspieler erhält zwei Karten, der Croupier vorerst nur eine. Nun kann jeder Spieler noch Karten dazunehmen falls er das wünscht. Wenn alle Spieler keine Karten mehr wünschen, nimmt sich der Croupier seine zweite Karte. Dann zieht er weiter, solange seine Gesamtpunktezahl unter 17 ist, hat er 17 Punkte oder mehr, muß er stehenbleiben. Ein Spieler hat dann gewonnen, wenn seine Punkteanzahl näher bei 21 ist, als die des Croupiers. Dafür bekommt er einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes, und seinen Einsatz zurück. Gewinnt der Spieler mit einem Black Jack ( As + König oder Dame oder Bub oder Zehner ) dann erhält er einen Gewinn in der eineinhalbfachen Höhe seines Einsatzes und seinen Einsatz zurück.

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Ein Spieler hat verloren, falls seine Punkteanzahl über liegt, oder der Croupier näher bei 21 liegt. Damit verliert seinen Einsatz an das Casino.

21 er

Falls Spieler und Croupier eine gleich hohe Punkteanzahl haben, bekommt der Spieler genau seinen Einsatz wieder.

Zusätzlich hat der Spieler noch folgende Möglichkeiten :

Er kann verdoppeln : Ergeben die ersten beiden Karten des Spielers eine Gesamtpunkteanzahl von 9, 10 oder 11, so kann er seinen Einsatz verdoppeln, er erhält aber dann nur mehr eine Karte zusätzlich.

Er kann teilen ( split ) : Sind die beiden ersten Karten des Spielers gleichwertig, so kann er sie teilen. Für jede geteilte Hand ist ein weiterer Einsatz in der Höhe des ersten notwendig. Der Spieler erhält auf jede Hand beliebig viele Karten, nur wenn er zwei Asse teilt erhält er jeweils nur mehr eine Karte auf jede Hand. Entsteht aus einer geteilten Hand ein Black Jack, so gilt dieser nur als 21.

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Er kann sich versichern ( Insurance ) : Hat der Croupier mit seiner ersten Karte ein As, so kann sich der Spieler gegen einen Black Jack des Croupiers versichern, indem er zusätzlich die Hälfte seines Einsatzes auf der Insurancelinie plaziert.

Bekommt nun der Croupier einen Black Jack, so bekommt der Spieler einen Gewinn in der Höhe des doppelten Insuranceeinsatzes und den Insuranceeinsatz selbst zurück. Hat der Croupier keinen Black Jack, so ist der Insuranceeinsatz verloren.

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2. K A P I T E L :

GEDANKEN ZUR MATHEMATISCH OPTIMIERTEN SPIELFÜHRUNG Um Blackjack nach mathematischen Richtlinien korrekt spielen zu können, sind einige Berechnungen erforderlich. Soweit dies möglich ist werde ich versuchen die durch mathematische und statistische Methoden gewonnenen Zahlen durch geeignete Computerprogramme und Simulationen zu untermauern und zu beweisen.

Zuerst will ich im nachfolgenden Kapitel versuchen festzustellen, inwieweit die erste Karte des Dealers sein weiteres Ergebnis beeinflu_t. Dies ist von besonderer Bedeutung, da ich meine Spielstrategie dann nach dem, mir bekannten Wert der Karte richten kann und mir dadurch einen nicht unerheblichen Vorteil verschaffen kann. Ich versuche also die Wahrscheinlichkeit mit der der Dealer einen bestimmten Endwert in Abhängigkeit seiner ersten Karte bekommt, zu errechnen. Parallel dazu lasse ich den Computer dasselbe mit Hilfe eines kleinen Programms empirisch feststellen. So ist es möglich, die durch Formeln errechneten Zahlen mit denen durch Versuche ermittelten, zu vergleichen. Hierbei stellt sich heraus, da_ schon bei einer geringen Anzahl von Versuchen relativ genaue Ergebnisse zu erwarten sind. Im weiteren werde ich versuchen, die so gewonnenen abstrakten Zahlen in eine praktikable Spielstrategie umzuwandeln. Nähere Erklärungen dazu finden sich dann im 4. Kapitel.

Die so gewonnene Spielstrategie werde ich dann mit Hilfe einer Computersimulation, die diese verwendet, untermauern.

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Weitere Vorteile im Spiel gegen den Dealer kann man erreichen, indem man seine Überlegungen in Richtung Kartenstapel lenkt. Zum näheren Verständnis mu_ der Ablauf des Kreislauf der Karten näher erklärt werden.

Spiels

und

der

Nachdem der Dealer die sechs Kartenpäckchen gemischt hat, gibt er sie in den Kartenschlitten. Aus diesem werden die für das Spiel benötigten Karten gezogen und nach ihrer Verwendung beiseite gelegt. Erst wenn fast alle Karten verbraucht sind nimmt der Dealer die restlichen und die verbrauchten Karten und mischt sie erneut, womit der Kreislauf von vorne beginnt. Wenn man nun in der Lage wäre, sich die ausgespielten Karten zu merken, könnte man auftretende Häufungen bei den verbleibenden Karten für seine Spielstrategie nützen. Diese Betrachtungen sollen nur als Anregung dienen, da sie in dieser Abhandlung nicht mehr näher betrachtet werden.

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3. K A P I T E L :

BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN DER ENDWERTE DEALERS IN ABHÄNGIGKEI ZU SEINER ERSTEN KARTE

A.Berechnung mit Möglichkeiten.

Hilfe

mathematischer

und

DES

statistischer

Zuerst wollen wir das Problem vereinfacht darstellen: Nehmen wir an, der Dealer würde auf seine bereits vorhandene Karte oder Karten ( später wird sich zeigen, da_ es sinnvoll ist dem Dealer gleich alle Werte, auch die die sich aus zwei oder mehr Karten zusammensetzen zuzuordnen ) nur mehr eine einzige Karte erhalten. Für diesen Fall sind die Wahrscheinlichkeiten leicht zu errechnen, da die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu bekommen 1/13 ist. Das ist leicht ersichtlich, da es in einem Kartenpaket 4 Karten gleichen Wertes gibt und 52 Karten insgesamt. Daraus ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 4/52 = 1/13 . Einzige Ausnahme sind die Karten mit dem Wert 10. Da es ihnen 16 pro Paket gibt, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit 16/52 = 4/13 .

von von

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Da all diese Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Berechnungen benötigt werden, will ich sie alle in einer Tabelle zusammenfassen. Die Tabelle ist wie folgt zu verstehen: In der ersten waagrechten Zeile stehen die Werte 2 - 21, die der Dealer bereits hat. " Üb " steht für Überkaufen, das bedeutet, da_ der Dealer bereits mehr als 21 bekommen hat. Aus Platzgründen schreibe ich auch die Dreizehntel nicht an. Das bedeutet, anstatt von 1/13 steht in der Tabelle nur 1 . Da aber die Wahrscheinlichkeit des Dealers mit 17 auch 17 zu bekommen 1 ist, da er dann ja keine weitere Karte zieht, steht in der Tabelle 13. Somit müssen alle Tabellenwerte durch 13 dividiert werden. Die 0er bleiben 0. In der ersten senkrechten Zeile stehen die Werte, die Dealer bekommen kann, wieder steht " Üb " für Überkaufen.

der

| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|19|20|21|Üb| --|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 17| 0| 0| 0| 0| 1| 4| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1|13| 0| 0| 0| 0| 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 18| 0| 0| 0| 0| 0| 1| 4| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 0|13| 0| 0| 0| 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 19| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 1| 4| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 0| 0|13| 0| 0| 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 20| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 1| 4| 1| 1| 1| 1| 1| 1| 0| 0| 0|13| 0| 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 21| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 1| 4| 1| 1| 1| 1| 1| 0| 0| 0| 0|13| 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Üb| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 0| 4| 5| 6| 7| 8| 0| 0| 0| 0| 0|13| --|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|

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Ausgehend von der eben aufgestellten Tabelle ist es nun möglich, die Endwahrscheinlichkeiten für den Dealer zu berechnen, auch wenn er mehrere Karten dazunimmt. Natürlich darf der Dealer die Karten nur nach seinen vorgeschriebenen Regeln dazunehmen, also nur solange er unter 17 ist. Um die Tabellenwerte benützen zu können, müssen sie erst, wie schon zuvor erwähnt, durch 13 geteilt werden. In den Berechnungsformeln für die Endwahrscheinlichkeiten werde ich für die Tabellenwerte den Kleinbuchstaben k verwenden. Der erste Teil der Fu_note gibt an, aus welcher Spalte k ist, der zweite Teil nach dem Beistrich gibt an, aus welcher Zeile k ist. Nach diesen Regeln bedeutet k14,18 den Wert aus der Tabelle der in der Spalte 14 und in der Reihe 18 steht. Da dort 1 steht wäre der wert 1/13.

Dieser Wert ist gleich der Wahrscheinlichkeit mit der der Dealer, wenn er bereits 14 hat auf einen Endwert von 18 kommt, wenn er sich nur eine Karte zusätzlich nehmen darf.

Da_ dieser Wert 1/13 sein mu_ ist auch logisch klar ersichtlich, da es ja nur 4 Karten in einem Paket gibt, die diese Bedingung erfüllen, nämlich die Vierer. Daraus ergibt sich dann eine Wahrscheinlichkeit von 4/52 und die ist gleich 1/13 q.e.d. . Für die Endwahrscheinlichkeiten werde ich den e verwenden. Die Fu_noten werden genauso verwendet bedeutet e14,18 die Wahrscheinlichkeit mit der bekommt wenn er bereits 14 hat. Auch wenn er dazu benötigt.

Kleinbuchstaben wie bei k. Also der Dealer 18 mehrere Karten

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Es wäre zum Beispiel vorstellbar, da_ der Dealer zuerst ein As bekommt. Dieses wurde in diesem Fall mit 1 zählen, da der Dealer sonst 21 überschreiten würde, so hätte er dann 15 und mü_te nocheinmal ziehen. Bekäme er dann einen Dreier, wäre er auch auf 18, das aber dann mit zwei Karten.

Nun zur Formel für die Endwahrscheinlichkeiten. Um sie zu erstellen, mu_ man sich nur überlegen,da_ in unserer Tabelle die Endwahrscheinlichkeiten für die Spalten 16 - 21 bereits stimmen. Da der Dealer von 17 - 21 gar nicht mehr ziehen darf und es bei 16 nicht mehr möglich ist mehr als eine Karte zu ziehen. Weil der Dealer selbst wenn er ein As zieht auf 17 ist und keine Karte mehr nehmen darf.

Das bedeutet, da_ diese k Werte schon e Werte sind. Da die Formel diese verwendet, werden sie auch dort nur als e Werte benützt.

Nun betrachten wir die Berechnung für die Endwerte Dealer 15 hat. Die Formel dafür lautet :

e15=

1/13e16+

1/13e17+ 1/13e18+

1/13e19+

1/13e20+

wenn

der

1/13e21+

7/13eÜb

In der Formel steht e15 für ein e15,j mit beliebigen j. Die Formel als ganzes stellt eine unmittelbare Anwendung des Satzes von der vollständigen Wahrscheinlichkeit dar.

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Da die Endwahrscheinlichkeiten erst über eine gewisse Karte erreicht werden, müssen sie mit 1/13 multipliziert werden. Natürlich werden nur nachfolgende Endwerte genommen, da der Dealer seine Punkteanzahl nicht vermindern, sondern nur vermehren kann. Dann werden die multiplizierten Endwerte einfach addiert, weil ja alle diese Möglichkeiten in Betracht kommen.

Aus dieser vereinfachten Formel kann man nun die richtige ableiten. Zuerst die für Kartenwerte i kleiner oder gleich 10. 9 eI= ( ∑ 1/13eI+J) + 4/13eI+10+ 1/13eI+11 J=2 Und nun noch die Formel für Kartenwerte i grö_er 10. 9 eI= ( ∑ 1/13eI+J) + 4/13eI+10 J=1 Diese Formeln sind der ersten sehr ähnlich, nur sind diese zusammengefa_t und allgemein gehalten. Die einzige Änderung sind die 4/13 die durch die 16 zehnwertigen Karten pro Kartenpaket bedingt sind, da 16/52 = 4/13 . Zwei Formeln sind deshalb nötig weil, bei bei Kartenwerten grö_er als 10 ein As nicht mit 11 sondern mit 1 gezählt wird.

Allerdings müssen bei dieser Formel die Werte in rückwärtiger Reihenfolge berechnet werden, da ja zum Beispiel bei der Berechnung von e12 die Werte von e13 , e14 und e15 benötigt werden. Das hei_t, man mu_ zuerst e16 dann e15 und dann e14 usw berechnen.

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Leider ist diese Formel nur für Werte über I=5 gültig. also nur der korrekten Berechnung von e16 - e6 dienen.

Sie kann

Außerdem sind die Werte für e11 nicht die Endwerte für das As sondern lediglich die Endwerte für eine fiktive Karte mit einem fixen Wert 11.

Um nun die richtige Formel für die restlichen Werte zu bekommen, mu_ man erst einmal wissen, warum die alte nicht gestimmt hat.

Sie konnte es deswegen nicht, weil wenn der Dealer zu einer Karte mit dem Wert 5 ein As bekommt, ergibt sich erst 16. Das hei_t der Dealer kann in der Folge das As auch als 1 bewerten und nicht nur mit 11, wie es bei Anfangskarten über 5 der Fall ist.

Für die Kartenwerte des Dealers, die kleiner sind als 6 ist es also erforderlich Endwahrscheinlichkeiten für Kombinationen mit Assen zu berücksichtigen.

Wenn ein Spieler beim Black Jack ein As im Blatt hat, das mit 11 gezählt wird so nennt man das Soft, da ja der Wert seines Blattes nicht fix ist sondern nach Belieben des Spielers variert werden kann.

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Die Endwahrscheinlichkeit für ein Soft Blatt, es benennen.

will ich ab nun mit

Die Formel für die Soft Wahrscheinlichkeiten lässt sich auch hier am besten über ein kleine Beispiel herleiten. Wir wollen zunächst einmal nur den Wert für soft 16 = eS16 berechnen.

eS16= 1/13e17+ 1/13e18+ 1/13e19+ 1/13e20+ 1/13e21+ + 1/13e12+ 1/13e13+ 1/13e14+ 1/13e15+ 4/13e16

Für die Errechnung dieser Formel müssen natürlich die vorigen schon fertig ausgerechnet sein, da ja ihre Endwerte benötigt werden.

An der Formel Formel gleicht. Unterschiede.

fällt auf, da_ die erste Zeile der herkömmlichen Erst bei der zweiten Zeile zeigen sich die

Während sich der Dealer mit einem Hard-Kartenwert von 16, und einem zusätzlich gezogenen Sechser bereits überkauft hätte, geht es bei einem Soft Kartenwert von 16 mit einem Sechser noch weiter, indem das As einfach als 1 gezählt wird. So ergibt sich ein vorläufiger Endwert von 12. Diesmal ist die 12 aber kein Soft Ergebnis, da das As ja mit 1 gezählt werden mu_ und nicht kann.

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Nun zur Ermittlung der Formel für alle Soft Ergebnisse.

21 I-12 eSI= ( ∑ 1/13eJ) + 4/13eI+10+ ( ∑ 1/13eI-J) + J=17 J=1 16 + [ ( ∑ 1/13esJ) ] [ Diesen Teil nur von i = 12 - 15 ] J=I+1

Durch Einsetzen für I=16 erhält man mit dieser Formel wieder die des konkreten Beispiels für eS16. Es handelt sich hierbei also nur um eine Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese Formel ist übrigens nur für die Berechnung von Soft Werten von eS12 - eS16 gültig.

Mit den so errechneten Soft Werten, können nun die restlichen Endwerte von e1 - e5 bestimmt werden. Die Formel dafür lautet :

9 eI= ( ∑ 1/13eI+J) + 4/13eI+10+ 1/13eSI+11 J=2

Der einzige Unterschied zur normalen Formel besteht darin, der letzte verwendete Endwert 1/13eSI+11 ein Soft Wert ist kein normaler.

da_ und

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Durch die angegebenen Formeln ist es nun möglich, alle Endwahrscheinlichkeiten des Dealer zu berechnen. Nur die Endwahrscheinlichkeit für das As als erste Karte des Dealers macht uns noch Probleme. Denn der durch die Soft Formel errechnete Wert für 11 ist nicht gleich dem As, da es sich in diesem Fall um eine fiktive Karte mit dem fixen Wert 11 handelt. Die Formel für lautet :

das As läßt

sich

aber

leicht

finden.

Sie

eS11= 1/13e17+ 1/13e18+ 1/13e19+ 1/13e20+ 4/13e21 (BJ)+ + 1/13eS12+ 1/13eS13+ 1/13eS14+ 1/13eS15+ 1/13eS16

Sie ähnelt sehr der normalen ( ausgeschriebenen ) Formel die Soft Werte. Der einzige Unterschied ist, daß die Karten dem Wert 10 auf einen Black Jack führen.

für mit

Dies ist im Zusammenhang mit dem As aber leicht verständlich, da ja ein As und eine Karte mit dem Wert 2 einen Wert von Soft 13 ergeben. Hingegen ist es egal, ob der Dealer den Wert 18 Soft oder normal bekommt, da er damit sowieso zu ziehen aufhören muß. Aus diesem Grund können in der ersten Zeile die normalen Endwerte verwendet werden.

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Hier nun die nach der Formel berechneten Softwerte :

| AUS | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 |Ges. | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| | | | | | | | | 16s| 0.35412| 0.12918| 0.12918| 0.12918| 0.12918| 0.12918| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 15s| 0.29617| 0.15467| 0.13722| 0.13722| 0.13722| 0.13722| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 14s| 0.23779| 0.16417| 0.16282| 0.14506| 0.14506| 0.14506| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 13s| 0.18052| 0.16933| 0.17244| 0.17107| 0.15332| 0.15332| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 12s| 0.12476| 0.17462| 0.17796| 0.18104| 0.17967| 0.16192| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----|

Nachdem wir die Berechnungsformeln für alle Kartenkombinationen des Dealers unter dem Kartenwert von 17 kennen, ist es nun möglich eine Tabelle mit den konkreten Zahlenwerten aufzustellen.

Hier nun die Tabelle mit den Endwerten die nach den angegebenen Formeln ausgerechnet wurden. Weitere Erklärungen auf der nächsten Seite.

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| AUS | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 |Ges. | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| | | | | | | | | 16 | 0.61538| 0.07692| 0.07692| 0.07692| 0.07692| 0.07692| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 15 | 0.58580| 0.08284| 0.08284| 0.08284| 0.08284| 0.08284| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 14 | 0.55394| 0.08921| 0.08921| 0.08921| 0.08921| 0.08921| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 13 | 0.51962| 0.09608| 0.09608| 0.09608| 0.09608| 0.09608| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 12 | 0.48267| 0.10347| 0.10347| 0.10347| 0.10347| 0.10347| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| AS | 0.10887| 0.36480| 0.13337| 0.13235| 0.13099| 0.12962| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 10 | 0.21211| 0.11142| 0.34219| 0.11142| 0.11142| 0.11142| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 9 | 0.22843| 0.06082| 0.12000| 0.35076| 0.12000| 0.12000| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 8 | 0.24474| 0.06939| 0.06939| 0.12857| 0.35934| 0.12857| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 7 | 0.26231| 0.07407| 0.07863| 0.07863| 0.13780| 0.36857| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 6 | 0.42315| 0.09716| 0.10171| 0.10626| 0.10626| 0.16543| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 5 | 0.41640| 0.10825| 0.11315| 0.11770| 0.12225| 0.12225| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 4 | 0.39207| 0.11278| 0.11668| 0.12159| 0.12614| 0.13069| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 3 | 0.36909| 0.11654| 0.12207| 0.12597| 0.13087| 0.13542| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 2 | 0.34664| 0.11980| 0.12608| 0.13160| 0.13549| 0.14039| 1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----|

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Die Tabelle ist folgendermaßen zu verstehen :

In der ersten waagrechten Zeile stehen die Werte die der Dealer am Schluß haben kann. " AUS " bedeutet hier, daß sich der Dealer überkauft hat.

In der letzten Spalte mit dem Namen " Ges." steht die Summe der jeweiligen Zeile. Sie muß natürlich immer 1 sein, da die Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten eines Ereignisses immer 1 ist. Diese Spalte dient hier also nur zur Probe.

In der ersten, senkrechten Spalte stehen die Ausgangswerte des Dealers. Also die Werte die der Dealer schon in den Karten hat.

Nun noch eine kleine Tabelle in der die Werte für 21 Black Jack getrennt angegeben sind.

und

den

| AUS | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | BJ | | | | | | | | | --|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------| AS| 0.10887| 0.05711| 0.13337| 0.13235| 0.13099| 0.12962| 0.30769| --|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------| 10| 0.21211| 0.03450| 0.34219| 0.11142| 0.11142| 0.11142| 0.07692| --|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|

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Die Werte für den Black Jack sind leicht zu berechnen. Bei einem As als erste Karte, gibt es genau 4 weitere Karten (alle mit dem Wert 10) die, mit dem As, einen Black Jack ergeben. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit 4/13. Bei einer 10 wertigen Karte als erstes kann der Dealer nur mit einem nachfolgenden As einen Black Jack erreichen. Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit also 1/13.

Wie man nun aus diesen Tabellen voller Zahlen konkrete Spielanweisungen ermitteln kann schildert uns das 4. Kapitel.

Aber vorerst möchte ich noch eine zweite Ermittlung der Endwahrscheinlichkeiten zeigen.

B.Die empirische Möglichkeit, die Endwerte auszurechnen.

mit Hilfe eines

Möglichkeit

zur

Computerprogramms

Das auf der nächsten Seite folgende Computerprogramm simuliert pro Anfangskarte des Dealers jeweils 100.000 Spiele und gelangt so auf die jeweiligen Endwahrscheinlichkeiten.

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Das Programm liefert folgenden Außdruck, Endwahrscheinlichkeiten abzulesen sind.

ausdem

die

jeweiligen

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4. K A P I T E L :

ABLEITUNG EINER SPIELSTRATEGIE AUS DEN ENDWAHRSCHEINLICHKEITEN

Um nun eine Spielstrategie entwickeln zu können, muß man die Gewinnchancen für den Spieler berechnen. Zuerst berechnet man die Gewinnchancen für alle Werte, falls der Spieler keine Karte mehr zieht. Danach werden die Werte für ein weiteres Ziehen erechnet. Am Schluß vergleicht man dann die Wahrscheinlichkeiten. Je nachdem ob nun die Werte für ein Stehenbleiben oder für ein weiteres Ziehen besser sind, zieht man nun oder bleibt stehen.

Die Formel zur Berechnung der Werte fürs Stehenbleiben lautet:

ESIK = ( eIÜ + uIK ) - (

bIK )

ESIK steht für die Gewinnerwartung bei Stehenbleiben des Spielers, wenn der Dealer die Karte I hat und der Spieler den Kartenwert K . eIÜ steht für die Endwahrscheinlichkeit des Dealers sich von der Karte I aus zu Überkaufen, diesen Wert haben wir bereits berechnet er befindet sich in der Tabelle auf der Seite 19 unter der Spalte AUS. uIK steht für die Wahrscheinlichkeit des Dealers, von der Karte I aus unter dem Kartenwert K des Spielers zu bleiben. bIK steht für die Wahrscheinlichkeit des Dealers einen besseren Kartenwert als der Spieler zu erlangen. Diese Werte kann man durch einfaches addieren leicht aus der Tabelle von Seite 19 bekommen.

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Die Formel selbst läßt sich auch leicht erklären:

Der erste Teil ( eIÜ + uIK ) ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall, daß der Spieler gewinnt. Der zweite Teil - ( bIK ) ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall, daß der Spieler verliert und ist deshalb mit einem Minus versehen. So ergibt sich insgesamt die Gewinnerwartung bei Stehenbleiben des Spielers.

Hier nun die Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten die nach der Formel ausgerechnet wurden: Dea Spieler ler| 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 - 2 | AUS | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| | | | | | | | | AS | 0.32751| 0.13703|-0.12869|-0.39203|-0.65264|-0.78226| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 10 | 0.81164| 0.43497|-0.01864|-0.24148|-0.46432|-0.57578| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 9 | 0.93918| 0.75836| 0.28761|-0.18316|-0.42316|-0.54314| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 8 | 0.93061| 0.79183| 0.59387| 0.10596|-0.38195|-0.51052| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 7 | 0.92593| 0.77323| 0.61597| 0.39954|-0.10683|-0.47538| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 6 | 0.90284| 0.70397| 0.49600| 0.28348| 0.01179|-0.15370| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 5 | 0.89175| 0.67035| 0.43950| 0.17747|-0.04495|-0.16720| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 4 | 0.88722| 0.65776| 0.41949| 0.17176|-0.08507|-0.21576| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 3 | 0.88346| 0.64485| 0.39681| 0.13997|-0.12632|-0.26174| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| 2 | 0.88020| 0.63432| 0.37664| 0.10955|-0.16633|-0.30672| -1 | ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|-----|

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Die Tabelle ist leicht zu verstehen. In der ersten Zeile stehen die Endwerte des Spielers. In der ersten Spalte stehen die Ausgangskarten des Dealers. Die letzte Spalte geht von 16 - 2 da diese Werte alle gleich sind.

Nun müssen wir die Werte für ein weiteres Ziehen des berechnen. Die Formel dafür lautet:

Spielers

9 EKIK = ( ∑ 1/13 ESIK+J ) + 4/13 ESIK+10 J=1 EKIK steht für die Gewinnerwartung des Spielers mit Kartenwert K , bei ziehen einer oder weiterer Karten, wenn Dealer Karte I hat.

dem der

Diese Formel gilt aber nur für Spielerwerte von 21 - 11, da ab dem Spielerwert 10 das As auch mit 11 gewertet werden kann. Es genügen uns aber die Werte von 21 - 11 da mit Sicherheit die Entscheidung ob zu ziehen oder stehenzubleiben ist in diesem Bereich fallen wird.

Die Formel selbst ist leicht zu erklären. Sie ist nur die Summe der Endwahrscheinlichkeiten die durch dazunehmen einer oder mehrerer Karten entstehen.

Die Werte für das Stehenbleiben Tabelle auf der Seite 25.

ESIK

entnehmen

Die durch Ausrechnen der Formel entstehenden sich auf der Tabelle auf der nächsten Seite.

Werte

wir

der

befinden

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Erster Tabellenteil mit den Spielerausgangswerten von 20 - 15 : Die Werte für 21 müssen alle -1 sein da man sicher verliert falls man mit 21 noch eine Karte dazu nimmt.

Spieler Dea ler| 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | | || AS |-0.89788|-0.81042|-0.74340|-0.69663|-0.66991|-0.65316|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.86064|-0.75026|-0.67477|-0.61642|-0.57522|-0.54259|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.85083|-0.71557|-0.61653|-0.55369|-0.50932|-0.47418|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.85149|-0.71366|-0.59105|-0.50598|-0.45844|-0.42078|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.85185|-0.71545|-0.59114|-0.48349|-0.41478|-0.37443|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 |-0.85363|-0.72255|-0.60748|-0.50875|-0.43092|-0.36582|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 |-0.85448|-0.72599|-0.61526|-0.52469|-0.45122|-0.38716|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 |-0.85483|-0.72731|-0.61812|-0.52798|-0.45760|-0.39728|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.85512|-0.72859|-0.62114|-0.53345|-0.46625|-0.40946|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.85537|-0.72965|-0.62376|-0.53841|-0.47428|-0.42095|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------||

Zweiter Tabellenteil auf der nächsten Seite.

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Zweiter Tabellenteil mit den Spielerausgangswerten von 14 - 11 :

Spieler Dealer| 14 | 13 | 12 | 11 || ---|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|| | | | | || AS |-0.63641|-0.61966|-0.60291|-0.27981|| ---|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.50995|-0.47732|-0.44469| 0.00601|| ---|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.43903|-0.40389|-0.36875| 0.11390|| ---|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.38313|-0.34548|-0.30783| 0.17535|| ---|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.33407|-0.29372|-0.25336| 0.23144|| ---|--------|--------|--------|--------|| 6 |-0.30072|-0.23562|-0.17052| 0.33370|| ---|--------|--------|--------|--------|| 5 |-0.32310|-0.25904|-0.19498| 0.30564|| ---|--------|--------|--------|--------|| 4 |-0.33695|-0.27662|-0.21630| 0.27954|| ---|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.35267|-0.29588|-0.23909| 0.25234|| ---|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.36762|-0.31429|-0.26096| 0.22626|| ---|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------||

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Durch den Vergleich der Tabelle von Seite 25 mit den Tabellen der Seiten 27,28 kann man nun eine Spielstrategie ableiten. Dies geschieht folgendermaßen : Man beginnt bei der ersten Dealerkarte dem As und vergleicht nun in dieser Zeile auf Seite 25 Wert für Wert mit derselben Zeile in der Tabelle auf der Seite 27. Dort wo die Werte in der zweiten Tabelle größer werden ist der Punkt ab dem eine Karte gezogen werden sollte. In unserem Beispiel mit dem As wäre das der Kartenwert 16 das heißt, daß der Spieler bei einem Kartenwert von 21-17 keine Karte ziehen soll und bei einem Wert von 16-2 sollte er eine neue Karte ziehen. Das alles läßt sich auch in einer Formel darstellen:

EOIK = max ( ESIK , EKIK )

Wenn man nun alle Werte nach dieser Formel sich folgendes:

Wenn der Dealer

berechnet

ergibt

dann soll der Spieler mit einem Kartenwert von

As,10,9,8,7

.

.

.

.

.

.

.

16 - 2

6,5,4

.

.

.

.

.

.

.

.

11 - 2

3,2

.

.

.

.

.

.

.

.

12 - 2

als erst Karte hat

weiter ziehen.

Diese Zahlen gelten natürlich nur für Hard-Werte des Spielers.

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Um die Soft-Werte für den Spieler zu ermitteln muß man eine eigene Tabelle aufgestellen. Es ist dies die Tabelle der optimalen Gewinnerwartungen EOIK.

Sie besteht, zum Beispiel beim As, in den Spalten von 21 - 17 aus den Werten für das Stehenbleiben die wir aus der Tabelle der Seite 25 entnehmen. Die Werte gehen deshalb nur bis 17 , da ja ab 16 eine Karte gezogen werden sollte und deshalb auch andere Wahrscheinlichkeitswerte in die neue Tabelle kommen müssen. Wenn wir statt dem As die Karte 6 nehmen wurden, müßten die Werte von 21 - 12 aus der Tabelle genommen werden. Ab wann bei bestimmten Dealerkarten wieder gezogen werden muß ersehen wir auf der vorherigen Seite.

Beim As wird nun das nächste freie Feld ( Spalte 16 ) mit dem Wahrscheinlichkeitswert für das Kartennehmen aus der Tabelle der Seite 27 ausgefüllt. Die weiteren Werte für die restlichen Felder ( Spalten 15 - 11 ) werden durch folgende Formel berechnet:

9 EOIK = ( ∑ 1/13 EOIK+J ) + 4/13 EOIK+10 J=1

Für die Spalten von 10 - 2 gibt es eine eigene Formel, da in diesem Fall das As entweder mit 1 oder mit 11 gezählt werden kann. Da in dieser Formel aber auch Soft-Werte berücksichtigt werden müssen, kann dieser Teil der Tabelle erst später berechnet werden.

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Hier der erste Teil der Tabelle mit den Spalten von 21 - 16 :

Spieler Dealer | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | | || AS | 0.32751| 0.13703|-0.12869|-0.39203|-0.65264|-0.66991|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 | 0.81164| 0.43497|-0.01864|-0.24148|-0.46432|-0.57522|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 | 0.93918| 0.75836| 0.28761|-0.18316|-0.42316|-0.50932|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 | 0.93061| 0.79183| 0.59387| 0.10596|-0.38195|-0.45844|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 | 0.92593| 0.77323| 0.61597| 0.39954|-0.10683|-0.41478|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.90284| 0.70397| 0.49600| 0.28348| 0.01179|-0.15370|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.89175| 0.67035| 0.43950| 0.17747|-0.04495|-0.16720|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.88722| 0.65776| 0.41949| 0.17176|-0.08507|-0.21576|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 | 0.88346| 0.64485| 0.39681| 0.13997|-0.12632|-0.26174|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 | 0.88020| 0.63432| 0.37664| 0.10955|-0.16633|-0.30672|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------||

Der zweite Teil folgt auf der nächsen Seite.

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Hier der zweite Teil der Tabelle mit den Spalten von 15 - 11 :

Spieler Dealer | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | || AS |-0.64452|-0.61717|-0.58772|-0.55601|-0.21551|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.54254|-0.50735|-0.46946|-0.42865| 0.03337|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.47158|-0.43093|-0.38715|-0.34001| 0.15826|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.41678|-0.37192|-0.32360|-0.27157| 0.22999|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.36976|-0.32129|-0.26908|-0.21285| 0.29214|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 |-0.15370|-0.15370|-0.15370|-0.15370| 0.33370|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 |-0.16720|-0.16720|-0.16720|-0.16720| 0.30564|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 |-0.21576|-0.21576|-0.21576|-0.21576| 0.27954|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.26174|-0.26174|-0.26174|-0.23909| 0.25408|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.30672|-0.30672|-0.30672|-0.26096| 0.22978|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------||

Die weiteren 40,41 .

Teile der Tabelle finden sich

auf

den

Seiten

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Mit den so erhaltenen Werten kann man nun eine Spielstrategie für ein Soft-Blatt des Spielers erstellen. Man muß dazu eine neue Tabelle mit den Werten für das Kaufen mit einem Soft-Blatt erstellen. Die Formel hiefür lautet:

EKISK

21 K-1 = ( ∑ 1/13 EOIJ ) + 4/13 EOIK + ( ∑ 1/13 EOIJ ) J=K+1 J=12

Diese Formel gilt nur für Kartenwerte von 21 - 12 . Das genügt aber da wir annehmen können, daß die Entscheidung ab wann zu ziehen ist sicher in dem Bereich von 21 - 12 fällt.

EKISK steht für die Gewinnerwartung des Spielers mit dem SoftKartenwert K , durch ziehen einer oder mehrerer Karten, gegen den Dealer mit der Karte I zu gewinnen.

Die Formel selbst ist leicht zu erklären. Sie ist nur die Summe der Endwahrscheinlichkeiten die durch dazunehmen einer oder mehrerer Karten entstehen.

Die Seiten

Werte für 30 - 32 .

EOIK

entnehmen wir den

Tabellen

auf

den

Die Tabelle, die wir nun durch Ausrechnen der Formel erhalten muß dann nur noch mit der Tabelle auf Seite 25 verglichen werden. Die Tabelle selbst findet sich auf der nächsten Seite.

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Hier der erste Teil der Tabelle mit den Spalten von 21 - 16 :

Spieler Dealer | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | | || AS |-0.21551|-0.25947|-0.32079|-0.38156|-0.44170|-0.44568|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 | 0.03337|-0.05355|-0.15823|-0.20965|-0.26108|-0.28667|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 | 0.15826| 0.11653| 0.00790|-0.10074|-0.15613|-0.17601|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 | 0.22999| 0.19796| 0.15228| 0.03968|-0.07291|-0.09056|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 | 0.29214| 0.25691| 0.22061| 0.17067| 0.05381|-0.01725|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.33370| 0.28781| 0.23981| 0.19077| 0.12807| 0.08988|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.30564| 0.25455| 0.20128| 0.14081| 0.08948| 0.06127|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.27954| 0.22659| 0.17160| 0.11443| 0.05517| 0.02501|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 | 0.25408| 0.19902| 0.14178| 0.08251| 0.02106|-0.01019|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 | 0.22978| 0.17304| 0.11357| 0.05194|-0.01173|-0.04412|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------||

Der zweite Teil folgt auf der nächsen Seite.

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Hier der zweite Teil der Tabelle mit den Spalten von 15 - 12 :

Spieler Dealer | 15 | 14 | 13 | 12 || ---|--------|--------|--------|--------|| | | | | || AS |-0.43982|-0.43351|-0.42672|-0.41940|| ---|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.27913|-0.27101|-0.26226|-0.25285|| ---|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.16730|-0.15792|-0.14782|-0.13694|| ---|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.08095|-0.07060|-0.05945|-0.04744|| ---|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.00686| 0.00432| 0.01637| 0.02935|| ---|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.08988| 0.08988| 0.08988| 0.08988|| ---|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.06127| 0.06127| 0.06127| 0.06127|| ---|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.02501| 0.02501| 0.02501| 0.02501|| ---|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.01019|-0.01019|-0.01019|-0.00497|| ---|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.04412|-0.04412|-0.04412|-0.03356|| ---|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------||

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Durch den Vergleich der Tabelle von Seite 25 , die natürlich auch für Soft-Werte gleich bleibt da es ja beim Stehenbleiben egal ist ob die Werte Hard oder Soft sind, mit den Tabellen der Seiten 34,35 kann man nun eine Spielstrategie ableiten.

Dies geschieht folgendermaßen: Man beginnt bei der ersten Dealerkarte, dem As und vergleicht nun in dieser Zeile auf Seite 25 Wert für Wert mit derselben Zeile in der Tabelle auf der Seite 35. Dort wo die Werte in der zweiten Tabelle größer werden, ist der Punkt ab dem eine Karte gezogen werden sollte. In unserem Beispiel mit dem As wäre das der Kartenwert 18 das heißt, daß der Spieler bei einem Kartenwert von 21-19 keine Karte ziehen soll und bei einem Wert von 18-2 sollte er eine neue Karte ziehen. Das alles läßt sich auch in einer Formel darstellen:

EOIK = max ( ESIK , EKIK )

Wenn man nun alle Werte nach dieser Formel sich folgendes:

Wenn der Dealer

As,10,9 8 - 2

.

berechnet

ergibt

dann soll der Spieler mit einem Kartenwert von

.

.

.

.

.

.

.

18 - 2

.

.

.

.

.

.

.

17 - 2

als erst Karte hat

weiter ziehen.

Diese Zahlen gelten natürlich nur für Soft-Werte des Spielers.

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Mit den so gewonnenen Informationen über das Ziehen mit einem Soft-Blatt, können wir nun auch eine Tabelle mit den optimalen Wahrscheinlichkeitswerten für ein Soft-Blatt erstellen. Es wird in diesem Fall genauso verfahren wie es bei den Hard-Werten beschrieben wurde. Die Tabelle enthält nur die Spalten von 21 - 12 . Das ist aber für uns ausreichend. Hier der erste Teil der Tabelle mit den Spalten von 21 - 16 :

Spieler Dealer | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | | || AS | 0.32751| 0.13703|-0.12869|-0.38156|-0.44170|-0.44568|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 | 0.81164| 0.43497|-0.01864|-0.20965|-0.26108|-0.28667|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 | 0.93918| 0.75836| 0.28761|-0.10074|-0.15613|-0.17601|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 | 0.93061| 0.79183| 0.59387| 0.10596|-0.07291|-0.09056|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 | 0.92593| 0.77323| 0.61597| 0.39954| 0.05381|-0.01725|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.90284| 0.70397| 0.49600| 0.28348| 0.12807| 0.08988|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.89175| 0.67035| 0.43950| 0.17747| 0.08948| 0.06127|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.88722| 0.65776| 0.41949| 0.17176| 0.05517| 0.02501|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 | 0.88346| 0.64485| 0.39681| 0.13997| 0.02106|-0.01019|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 | 0.88020| 0.63432| 0.37664| 0.10955|-0.01173|-0.04412|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|--------||

Der zweite Teil folgt auf der nächsen Seite.

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Hier der zweite Teil der Tabelle mit den Spalten von 15 - 12 :

Spieler Dealer | 15 | 14 | 13 | 12 || ---|--------|--------|--------|--------|| | | | | || AS |-0.43982|-0.43351|-0.42672|-0.41940|| ---|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.27913|-0.27101|-0.26226|-0.25285|| ---|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.16730|-0.15792|-0.14782|-0.13694|| ---|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.08095|-0.07060|-0.05945|-0.04744|| ---|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.00686| 0.00432| 0.01637| 0.02935|| ---|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.08988| 0.08988| 0.08988| 0.08988|| ---|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.06127| 0.06127| 0.06127| 0.06127|| ---|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.02501| 0.02501| 0.02501| 0.02501|| ---|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.01019|-0.01019|-0.01019|-0.00497|| ---|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.04412|-0.04412|-0.04412|-0.03356|| ---|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------||

In der Tabelle sind diese Werte unterstrichen bei denen gezogen werden sollte. Die Werte die nicht unterstrichen sind stammen aus der Tabelle auf der Seite 25 . Die restlichen stammen aus den Tabellen der Seiten 34,35 .

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Nun kann der zweite Teil der Tabelle der optimalen Gewinnerwartungen für Hard-Werte berechnet werden. Wie zuvor erwähnt muß zuerst eine neue Formel für die Spalten von 10 - 2 erstellt werden. Sie lautet folgendermaßen:

9 EOIK = ( ∑ 1/13 EOIK+J ) + 4/13 EOIK+10 + 1/13 EOSOFTIK+11 J=2

EKIK steht für die Gewinnerwartung des Spielers mit dem Kartenwert K , durch Ziehen einer oder mehrerer Karten, gegen den Dealer mit der Karte I zu gewinnen. EOSOFTIK+11 steht für die optimalen Soft-Werte die in der Tabelle auf den Seiten 37,38 stehen.

Die Formel selbst ist leicht zu erklären. Sie ist nur die Summe der Gewinnerwartungen die durch Dazunehmen einer oder mehrerer Karten entstehen. Die Soft-Werte stehen deshalb in der Formel weil sich durch ein zusätzliches As zu einem Hard-Wert das mit 11 gezählt wird quasi ein Soft-Wert ergibt.

Die durch Ausrechnen der Formel entstehenden sich auf der Tabelle auf der nächsten Seite.

Werte

befinden

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Hier der erste Teil der Tabelle mit den Spalten von 10 - 6 :

Spieler Dealer | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | || AS |-0.25947|-0.36256|-0.45383|-0.53115|-0.52447|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.05355|-0.21809|-0.30710|-0.37142|-0.38887|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 | 0.11653|-0.05217|-0.21018|-0.28537|-0.29313|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 | 0.19796| 0.09839|-0.05989|-0.21060|-0.21724|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 | 0.25691| 0.17186| 0.08220|-0.06882|-0.15194|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.28781| 0.19603| 0.11498| 0.02921|-0.01300|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.25455| 0.15619| 0.06374|-0.00938|-0.03600|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.22659| 0.12486| 0.03452|-0.04741|-0.07734|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 | 0.19902| 0.09337|-0.00020|-0.08499|-0.11569|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 | 0.17304| 0.06354|-0.03358|-0.12133|-0.15284|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------||

Der Seite.

zweite

Teil der Tabelle findet sich

auf

der

nächsten

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Hier der zweite Teil der Tabelle mit den Spalten von 5 - 2 :

Spieler Dealer | 5 | 4 | 3 | 2 || ---|--------|--------|--------|--------|| | | | | || AS |-0.50824|-0.49225|-0.47659|-0.46140|| ---|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.36762|-0.34710|-0.32698|-0.30748|| ---|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.26872|-0.24494|-0.22164|-0.19904|| ---|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.18992|-0.16347|-0.13753|-0.11235|| ---|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.12040|-0.09166|-0.06330|-0.03575|| ---|--------|--------|--------|--------|| 6 |-0.00187| 0.00895| 0.02063| 0.03315|| ---|--------|--------|--------|--------|| 5 |-0.02603|-0.01594|-0.00508| 0.00656|| ---|--------|--------|--------|--------|| 4 |-0.06671|-0.05606|-0.04460|-0.03231|| ---|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.10450|-0.09326|-0.08116|-0.06298|| ---|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.14107|-0.12924|-0.11649|-0.09228|| ---|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------||

Das ist nun die komplette Tabelle für die Gewinnerwartungen des Spielers mit einem Hard-Blatt.

optimalen

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Weiters stellt sich nun die Frage wann man verdoppeln sollte wann nicht.

und

Zur Erinnerung: Ergeben die ersten beiden Karten des Spielers eine Gesamtpunkteanzahl von 9, 10 oder 11, so kann er seinen Einsatz verdoppeln, er erhält aber dann nur mehr eine Karte zusätzlich.

Man kann sich leicht überlegen, daß man verdoppeln sollte wenn EOIK also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Spieler ganz normal weiter spielt kleiner ist als die zweifache Wahrscheinlichkeit für das Ziehen genau einer Karte. Das läßt sich auch mit einer Formel zeigen.

EOIK

<

9 2 ( ∑ 1/13 ESIK+J + ( 4/13 ESIK+10 )) J=1

Doch diese Formel gilt nur für den Spielerkartenwert 11 , denn nur in diesem Fall wird ein zusätzliches As als 1 gezählt. Für die Spielerkartenwerte kleiner als 11 gilt folgende Formel:

EOIK

<

9 2 ( ∑ 1/13 ESIK+J + ( 4/13 ESIK+10 ) + ( 1/13 ESIK+11 )) J=2

Die Werte für EOIK können wir den Tabellen auf den Seiten 31 - 32 entnehmen. Für den zweiten Teil der Formel müssen wir eine neue Tabelle erstellen. Die Werte für ESIK entnehmen wir der Tabelle auf Seite 25 .

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Weiters ist zu beachten, daß die Werte auf der Seite 25 für die Dealerwerte As und 10 in der Spalte für 21 für diese Berechnungen nicht stimmen. Anstatt dem Wert 0.32751 gehört der Wert 0.2704 und anstatt dem Wert 0.81164 gehört der Wert 0.77716 . Das ist so, weil aus dem Kartenwert 11 des Spielers nie ein Black Jack werden kann, da der Kartenwert aus zwei Karten zustandekommen muß, um verdoppeln zu können.

Hier die Tabelle mit den Spielerwerten von 11 - 9 , da nur bei diesen Werten ein Verdoppeln möglich ist.

Spieler Dealer| 11 | 10 | 9 || ---|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|| | | | || AS |-0.59477|-0.65633|-0.94092|| ---|--------|--------|--------|| 10 |-0.00919|-0.16712|-0.58463|| ---|--------|--------|--------|| 9 | 0.22780| 0.14434|-0.30098|| ---|--------|--------|--------|| 8 | 0.35070| 0.28665|-0.02643|| ---|--------|--------|--------|| 7 | 0.46288| 0.39240| 0.10424|| ---|--------|--------|--------|| 6 | 0.66740| 0.57561| 0.31708|| ---|--------|--------|--------|| 5 | 0.61129| 0.50910| 0.23964|| ---|--------|--------|--------|| 4 | 0.55908| 0.45318| 0.17352|| ---|--------|--------|--------|| 3 | 0.50468| 0.39456| 0.10389|| ---|--------|--------|--------|| 2 | 0.45252| 0.33904| 0.03750|| ---|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------||

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Wenn man nun die Werte der Tabelle mit den optimale Spielergewinnerwartungen auf den Seiten 31,32 und 40 vergleicht, stellt man fest, daß die Werte unterstrichenen sind die in der Tabelle größer sind als die optimalen Gewinnerwartungen.

Daraus kann man die folgende Spielstrategie für das Verdoppeln ableiten:

Verdopple nie wenn der Dealer ein As oder einen 10er hat. Verdopple immer wenn der Dealer 6,5,4 oder 3 hat. Verdopple wenn der Dealer 9,8,7 oder 2 hat aber nur falls 11 oder 10 hast.

Außerdem stellt sich die Frage wann man sollte und wann nicht.

sein

Blatt

du

teilen

Zur Erinnerung: Sind die beiden ersten Karten des Spielers gleichwertig, so kann er sie teilen. Für jede geteilte Hand ist ein weiterer Einsatz in der Höhe des ersten notwendig.

Der Spieler erhält auf jede Hand beliebig viele Karten, nur wenn er zwei Asse teilt erhält er jeweils nur mehr eine Karte auf jede Hand. Entsteht aus einer geteilten Hand ein Black Jack, so gilt dieser nur als 21.

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Für die Kartenwerte von 10 - 2 läßt sich aus den Angaben folgende Formel ableiten:

EOIK <

leicht

2 EOIK/2

Die Formel besagt, daß man teilen sollte falls die optimale Gewinnerwartung für den Kartenwert K kleiner ist als die zweifache Gewinnerwartung für die Karte K/2 . Für das As muß man eine eigene Formel entwickeln, da ja auf zwei geteilte Asse jeweils nur eine Karte dazu gegeben wird und außerdem würde ein Black Jack der aus geteilten Assen entsteht nicht als solcher gelten, sondern nur als 21 .

Daraus ergibt sich, daß Dealerwerte As und 10 in der nicht stimmen. Anstatt dem und anstatt dem Wert 0.81164 ergibt sich folgende Formel Seite 25 eingetragen werden.

EOIK

<

die Werte auf der Seite 25 für die Spalte für 21 für diese Berechnungen Wert 0.32751 gehört der Wert 0.2704 gehört der Wert 0.77716 . Daraus in die, die (geänderten) Werte der

9 2 ( ∑ 1/13ESIK+J + ( 4/13 ESIK+10 )) J=1

Nun verdoppeln wir einfach die Werte der Spalten von 10 - 2 der Tabellen der Seiten 32 und 40,41 und fertigen mit ihnen eine neue Tabelle an, die sich auf der nächsten Seit befindet. Die Werte für 11 entnehmen wir obiger Formel.

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Hier der erste Teil der Tabelle mit den Spalten von 11 - 7 :

Spieler Dealer 2*| 11 | 10 | 9 | 8 | 7 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | || AS |-0.59477|-0.51894|-0.72512|-0.90766|-1.06230|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.00919|-0.10710|-0.43618|-0.61420|-0.74284|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 | 0.22780| 0.23306|-0.10434|-0.42036|-0.57074|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 | 0.35070| 0.39592| 0.19678|-0.11978|-0.42120|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 | 0.46288| 0.51382| 0.34372| 0.16440|-0.13764|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 | 0.66740| 0.57562| 0.39206| 0.22996| 0.05842|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 | 0.61129| 0.50910| 0.31238| 0.12748|-0.01876|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 | 0.55908| 0.45318| 0.24972| 0.06904|-0.09482|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 | 0.50468| 0.39804| 0.18674|-0.00040|-0.16998|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 | 0.45252| 0.34608| 0.12708|-0.06716|-0.24266|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------||

Der zweite Tabellenteil folgt auf der nächsten Seite.

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Hier der zweite Teil der Tabelle mit den Spalten von 15 - 11 :

Spieler Dealer 2*| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 || ---|--------|--------|--------|--------|--------|| | | | | | || AS |-1.04894|-1.01648|-0.98450|-0.95318|-0.92280|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 10 |-0.77774|-0.73524|-0.69420|-0.65396|-0.61496|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 9 |-0.58626|-0.53744|-0.48988|-0.44328|-0.39808|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 8 |-0.43448|-0.37984|-0.32694|-0.27506|-0.22470|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 7 |-0.30388|-0.24080|-0.18332|-0.12660|-0.07150|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 6 |-0.02600|-0.00374| 0.01790| 0.04126| 0.06630|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 5 |-0.07200|-0.05206|-0.03188|-0.01016| 0.01312|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 4 |-0.15468|-0.13342|-0.11212|-0.08920|-0.06462|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 3 |-0.23138|-0.20900|-0.18652|-0.16232|-0.12596|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| 2 |-0.30568|-0.28214|-0.25848|-0.23298|-0.18456|| ---|--------|--------|--------|--------|--------|| ---|--------|--------|--------|--------|--------||

Wie man aus diesen Werten eine Spielstrategie ableitet auf der nächsten Seite.

steht

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Wenn man nun die Tabellenwerte mit den passenden Werten ( d.h. die Spalte für zwei Asse vergleicht man mit der Spalte für 12 oder die Spalte für zwei 10er mit der für 20 u.s.w. ) vergleicht wird man feststellen, daß die Werte unterstrichen sind, die größer als die in den Tabellen auf den Seiten 32,40 und 41 . Man sollte also an diesen Stellen teilen. Daraus ergibt sich folgende Spielstrategie:

Teile nie wenn du zweimal 10,5 oder 4 hast. Teile wenn du zwei Asse hast und der Dealer kein As hat. Teile wenn du zweimal 9 hast und der Dealer kein As,10,7 hat. Teile wenn du zweimal 8 hast und der Dealer kein As,10 hat. Teile wenn du zweimal 7 hast und der Dealer kein As,10,9,8 hat. Teile wenn du zweimal 6 hast und der Dealer 6,5,4,3 hat. Teile wenn du zweimal 3,2 hast und der Dealer 7,6,5 hat.

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Als letztes kommen wir zur Versicherung. Die Frage ist: Soll man sich gegen einen Black Jack des Dealers versichern oder nicht.

Zur Erinnerung: Hat der Croupier mit seiner ersten Karte ein As, so kann sich der Spieler gegen einen Black Jack des Croupiers versichern, indem er zusätzlich die Hälfte seines Einsatzes auf der Insurancelinie plaziert.

Man kann sich leicht ausrechnen, daß sich die Versicherung nicht lohnt. Wie das geht wird auf der nächsten Seite gezeigt.

Die Versicherung ist genau dann ein Gewinn wenn der Dealer eine Karte mit dem Wert 10 zu seinem As bekommt da es 4 davon gibt tritt das genau in genau 4/13 = 0.30769 % aller Fälle ein. Bei einem solchen Gewinn wurde der Einsatz verdoppelt werden also 2 * 0.30769 = 0.61538 wäre somit unser durchschnittlicher Stückgewinn. Im Falle eines Verlustes in 9/13 = 0.69231 % aller Fälle wäre unser Einsatz verspielt also 0.69231 * -1 = -0.69231 + 0.61538 = -0.07693 % ist damit unser zu erwartender Durchschnittlicher Stückgewinn bei einer Versicherung da er negativ ist, ist eine Versicherung unrentabel und damit nicht zu empfehlen.

Auf der nächsten Seite befindet Zusammenfassung der Spielstrategieen.

sich

eine

abschließende

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Zusammenfassung der Spielstrategie: Wenn der Dealer

dann soll der Spieler mit einem Kartenwert von

Hard-Blatt As,10,9,8,7

.

.

.

.

.

.

.

16 - 2

6,5,4

.

.

.

.

.

.

.

.

11 - 2

3,2

.

.

.

.

.

.

.

.

12 - 2

Soft-Blatt As,10,9 8 - 2

.

.

.

.

.

.

.

.

18 - 2

.

.

.

.

.

.

.

17 - 2

als erst Karte hat

weiter ziehen.

Verdopple nie wenn der Dealer ein As oder einen 10er hat. Verdopple immer wenn der Dealer 6,5,4 oder 3 hat. Verdopple wenn der Dealer 9,8,7 oder 2 hat aber nur falls 11 oder 10 hast.

du

Teile nie wenn du zweimal 10,5 oder 4 hast. Teile wenn du zwei Asse hast und der Dealer kein As hat. Teile wenn du zweimal 9 hast und der Dealer kein As,10,7 hat. Teile wenn du zweimal 8 hast und der Dealer kein As,10 hat. Teile wenn du zweimal 7 hast und der Dealer kein As,10,9,8 hat. Teile wenn du zweimal 6 hast und der Dealer 6,5,4,3 hat. Teile wenn du zweimal 3,2 hast und der Dealer 7,6,5 hat. Nimm keine Versicherung.

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5. KAPITEL

Die durch umfangreiche Berechnungen gewonnene Spielstrategie läßt sich nun miittels des folgenden Computerprogramms simulieren. Außerdem läßt sich leicht feststellen, daß auch nur die kleinste Änderung der Strategie Gewinneinbußen mit sich bringt. Somit ist das Programm der abschließende Beweis für die Richtigkeit der Berechnungen. Das Programm zeigt uns leider auch, daß trotz aller Mühe ein Gewinnen gegen das Casino unmöglich ist. Trotzdem ist Black Jack das Glücksspiel mit der höchsten Auszahlungsquote falls die richtige Strategie angewandt wird. Hier nun das Programm:

Zweiter Programmteil auf der nächsten Seite.

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Das ist der zweite Programmteil:

Der dritte Programmteil folgt auf der nächsten Seite.

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Das ist der dritte Programmteil:

Der vierte Programmteil folgt auf der nächsten Seite.

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Das ist der vierte Programmteil:

Die Programmergebnisse finden sich auf der nächsten Seite.

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Das ist der erste Teil des Ausdruck des Programms:

Der zweite Teil des Ausdrucks folgt auf der nächsten Seite.

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Das ist der zweite Teil des Ausdruck des Programms:

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6. KAPITEL

Zum Abschluß einige weiterführenden Spielbetrachtungen:

Um doch noch eine Möglichkeit zu haben gegen das Casino gewinnen zu können kann man zu einem kleinen Trick greifen. Man kann versuchen sich die bereits ausgespielten Karten zu merken. Es ist nicht unbedingt notwendig sich alle Karten zu merken es genügt schon wenn man sich auf einige wichtige konzentriert. Je nachdem ob nun gewisse Karten oft oder weniger oft ausgespielt wurden lassen sich nun Rückschlüsse auf die noch verbleibenden Karten im Schlitten ziehen. Daraus kann der geübte Spieler nun seinen Vorteil ziehen. Wenn zum Beispiel wenige Asse ausgespielt wurden sollte man den Einsatz erhöhen da nun die Chance au einen Black Jack höher ist. Im umgekehrten Fall wenn bereits sehr viele Asse ausgespielt wurden sollte man eventuell auf einen anderen Tisch wechseln.

Mit diesen abschließenden Tricks und der richtigen Spielstrategie sollte jeder vor unötig hohen Verlusten am Black Jack Tisch verschont bleiben.