Binomio De Newton

Teorema del Binomio Si se les pide que calculen

Teorema del Binomio Si se les pide que calculen

( x + y)

2

Teorema del Binomio Si se les pide que calculen

( x + y)

2

Tiene varias formas de calcularlo

Teorema del Binomio Pero si se les pide que calculen

Teorema del Binomio Pero si se les pide que calculen

( x + y)

50

Teorema del Binomio Pero si se les pide que calculen

( x + y)

50

El trabajo se vuelve mas pesado

Teorema del Binomio

En matemáticas hay una forma de facilitar un poco dicho trabajo

Teorema del Binomio

En matemáticas, el teorema del binomio se expresa en la siguiente forma:

Teorema del Binomio

En matemáticas, el teorema del binomio se expresa en la siguiente forma:  n  n  n  n −1  n  n n n −1 ( x + y) =   x +   x y + L +  x y +  y 0 1  n − 1 n n

Teorema del Binomio Recordemos:

Teorema del Binomio Recordemos:

n ¿Que significa   ? k 

Teorema del Binomio  n  Recibe el nombre de coeficiente binomial y   representa el número de formas de escoger k k  elementos a partir de un conjunto con n elementos.

Teorema del Binomio

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor

Teorema del Binomio

Tomense 5 objetos:

Teorema del Binomio

Tomense 5 objetos: A, B, C, D, E

Teorema del Binomio

Deseamos escoger 2 de ellos, sin importar el orden.

Teorema del Binomio Deseamos escoger 2 de ellos, sin importar el orden. Así que tomar A,B es lo mismo que tomar B,A

Teorema del Binomio ¿Cuantas formas tenemos para efectuar tal elección?

Teorema del Binomio ¿Cuantas formas tenemos para efectuar tal elección? Veamos cuantas son

Teorema del Binomio

A,B

Teorema del Binomio

A,B

A,C

Teorema del Binomio

A,B

A,C

A,D

Teorema del Binomio

A,B

A,C

A,D

A,E

Teorema del Binomio

A,B

A,C

A,D

A,E

B,C

B,D C,D

B,E C,E D,E

Teorema del Binomio

A,B

A,C B,C

A,D B,D C,D

A,E B,E C,E D,E

Son 10

Teorema del Binomio ¿En general como podemos calcular dicho número?

Teorema del Binomio ¿En general como podemos calcular dicho número? Usaremos la siguiente formula:

Teorema del Binomio ¿En general como podemos calcular dicho número? Usaremos la siguiente formula:

n n!  =  k  k !(n − k )!

Teorema del Binomio Recordemos que:

Teorema del Binomio Recordemos que:

n ! = n(n − 1)(n − 2) L (3)(2)(1) OJO:

0! = 1

Teorema del Binomio Demostracion:

Teorema del Binomio Demostracion: Para n=1

Teorema del Binomio Demostracion: Para n=1 Se tiene que:

( x + y) = x + y 1

Teorema del Binomio Demostracion: Paso 1)

Para n=1

Se tiene que:

( x + y) = x + y 1

1 1 Aparte tenemos que:  x+  y 0  1

Teorema del Binomio

1 1!  =  0  0!(1 − 0)!

y

Teorema del Binomio

1 1!  =  0  0!(1 − 0)!

y

 1 1!  = 1 1!(1 − 1)!

Teorema del Binomio Por lo que tenemos que:

Teorema del Binomio Por lo que tenemos que:

1  1 ( x + y) =   x +   y 0  1 1

Teorema del Binomio Paso 2) Valido para h

Teorema del Binomio Paso 2) Valido para h

 h  h  h  h−1  h  h  h h−1 ( x + y) =   x +   x y + L +  x y + y 0 1  h −1 h  h

Teorema del Binomio Paso 3) Ver que se vale para n= h +1

Teorema del Binomio Paso 3) Ver que se vale para n= h +1

( x + y)

h +1

 h + 1  h +1  h + 1  h  h +1   h +1  h +1 h = x +  x y +L +  x y + y  0   1   h  h +1 

Teorema del Binomio Basicamente es observar que:

Teorema del Binomio Basicamente es observar que:

( x + y)

h +1

= ( x + y) ( x + y) h

Teorema del Binomio Basicamente es observar que:

( x + y)

h +1

= ( x + y) ( x + y)

Y aplicar el binomio a:

h

Teorema del Binomio Basicamente es observar que:

( x + y)

h +1

= ( x + y) ( x + y) h

Y aplicar el binomio a:

( x + y)

h

Teorema del Binomio • Ademas:

 n + 1  n   n   = +   k   k − 1  k 

Teorema del Binomio Obteniendo así:

 n  n  n  n −1  n  n n n −1 ( x + y) =   x +   x y + L +  x y +  y 0 1  n − 1 n n