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FACOLTA' DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN TECNOLOGIE FISICHE E DELL'INFORMAZIONE A.A. 2011/2012

Aspetti sici dell'accordatura di un pianoforte

Laureanda: Elena D'Alò

Matricola: 699551

Relatore: Prof. Silvano Petrarca

Relatore: Prof. Paolo Camiz

Ora tu pensa: un pianoforte. I tasti iniziano. I tasti niscono. Tu sai che sono 88, su questo nessuno può fregarti. Non sono inniti loro. Tu, sei innito, e dentro quei tasti, innita è la musica che puoi fare. Loro sono 88. Tu sei innito. Novecento - A. Baricco

A mamma, papà, Edoardo e nonna.

Grazie al Professor Paolo Camiz e al magico incontro tra Fisica e Musica. Grazie a chi mi è stato vicino, a chi mi ha ascoltata, a chi ha studiato con me e chi è capitato per caso in questo percorso. Grazie a Marta e Anna Lisa.

◦ Grazie al M Mauro Buccitti e al corso di Accordatura e Manutenzione del Pianoforte.

2

Indice Introduzione

3

1 Corda vibrante

5

1.1

Equazione d'onda per una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Onde stazionarie

7

1.3

Energia di una corda vibrante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Corda pizzicata e percossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Corda pizzicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Corda percossa

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le vibrazioni di una corda rigida

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Aspetti sici dei suoni prodotti da un pianoforte

11 12

15

2.1

Sovrapposizione di suoni di diversa frequenza: i battimenti

. . . . . . . .

15

2.2

Spettro armonico e timbro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Il martelletto sulla corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.1

Tempo di contatto martelletto-corda

. . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.2

Punto di contatto martelletto-corda . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

L'inarmonicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4

3 Accordatura

28

3.1

Corde doppie e triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Soluzione all'inarmonicità

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.1

Ottava allargata: motivo sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.2

Ottava allargata: motivo psicoacustico

. . . . . . . . . . . . . .

31

Temperamento equabile e la sua accordatura . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3

1

3.3.1

Cenni ai vari temperamenti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

Temperamento equabile

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3.3

Accordatura di un pianoforte in scala temperata . . . . . . . . . .

35

Conclusioni

35

Bibliograa

39

2

Introduzione

Figura 1:

Interno di un pianoforte a coda Steinway, modello A.

Il pianoforte è uno strumento musicale della famiglia dei cordofoni: composto di 88 tasti ssi, ha un'estenzione di 7 ottave complete più una terza, la nota più grave (primo tasto) è il

La0

di frequenza 27,5 Hz, e la più acuta (ultimo tasto) è il

Do8

di frequenza

1

4096 Hz . È composto di 243 corde d'acciaio, con lunghezze da un massimo di 2 m a un minimo di 5 cm. Le prime 8 sono singole (una corda per ogni tasto) e sono ricoperte da 1 o 2 avvolgimenti di rame, poi ci sono 5 coppie di corde con avvolgimento, 7 set di tre corde per tasto (avvolte anche loro) e 68 corde triple in acciaio per il resto della tastiera. Si tratta di uno strumento a corde percosse, in quanto ogni tasto premuto fa

1 la

notazione usata è quella americana. 3

muovere un martelletto di feltro che colpisce la corda. La corda si mette in vibrazione e trasmette la sua energia alla tavola armonica tramite il ponticello. È uno strumento ad accordatura ssa, e per la sua accordatura e manutenzione è necessario un esperto del mestiere. Gli aspetti sici in questo ambito sono molteplici, dal semplice gioco di leve per azionare il moto del martelletto, all'assorbimento e conseguente irradiazione del suono da parte della tavola armonica. Questa deve avere una supercie ampia e resistente, ma allo stesso tempo in grado di trasmettere le vibrazioni per tutte le frequenze dello strumento.

Figura 2:

Diagramma semplicato di un pianoforte. Quando il tasto viene abbassato, lo

smorzatore sale e il martelletto colpisce la corda. Le vibrazioni della corda sono trasmesse alla tavola armonica attraverso il ponticello. (Rossing) Questo lavoro si limiterà a trattare la corda dal suo moto per arrivare alla percezione del suono prodotto dalla percussione di essa, soermandosi sui punti necessari a capire la sica con cui ha che fare un tecnico accordatore per rendere le 88 note udibili al meglio nella loro musicalità. La frequenza dei suoni viene misurata in hertz (1 Hz = 1/s), mentre la distanza in cent. Il cent è un'unità di misura ricavata dividendo l'intervallo di ottava in 1200 parti uguali. Nel sistema temperato (come si vedrà in seguito) un semitono equivale a 100 cent.

4

Capitolo 1 Corda vibrante 1.1

Equazione d'onda per una corda

I primi studi sulle corde vibranti hanno radici nell'Antica Grecia: Pitagora osservò come la divisione di una corda tesa divisa in due segmenti desse un suono piacevole quando tra i due segmenti c'era un rapporto di lunghezza razionale (2:1, 3:1, 3:2, 4:3). Questi sono esempi di modi normali di una corda ssata ai suoi estremi. Un più attento esame del moto della corda rivela che i modi normali dipendono dalla massa della corda, la sua lunghezza, la tensione applicata e dalle condizioni agli estremi.

Figura 1.1: Segmento di una corda con tensione

T.

Consideriamo una corda uniforme (gura 1.1) con densità lineare

5

µ

(Kg/m) tesa da

una tensione segmento

ds,

T

(Newton) e i suoi movimenti su un piano.

dF

c'è una forza

Dato lo spostamento del

che lo fa tornare alla sua posizione di equilibrio, uguale

y

alla dierenza tra le componenti

di

T

agli estremi del segmento:

dFy = (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x . Applicando l'espansione in serie di Taylor al I ordine

f (x+dx) = f (x)+ ∂f∂x(x) dx a T sin θ

si ha:

∂(T sin θ) ∂(T sin θ) dx] − (T sin θ)x = dx. ∂x ∂x

dFy = [(T sin θ)x + y,

Per piccoli spostamenti

sinθ può essere sostituito da

dFy = La massa del segmento

ds

è

dy

piccolo

µds,

ds ∼ = dx.

che è anche

∂y/∂x:

∂(T ∂y/∂x) ∂ 2y dx = T 2 dx. ∂x ∂x

T Essendo

tan θ,

(1.1)

(1.2)

così la seconda legge di Newton diventa

∂ 2y ∂ 2y dx = µds . ∂x2 ∂t2

(1.3)

c2 = T /µ

(velocità di propagazione delle

2 ∂ 2y T ∂ 2y 2∂ y = = c , ∂t2 µ ∂x2 ∂x2

(1.4)

Si denisce

perturbazioni) per ottenere

conosciuta come

equazione delle onde trasversali

in una corda vibrante.

La soluzione dell'eq. 1.4 può essere scritta in forma di d'Alembert:

y = f1 (ct − x) + f2 (ct + x). La funzione

f1 (ct − x)

progressiva );

(1.5)

rappresenta un'onda viaggiante verso destra con velocità

di conseguenza la funzione

sinistra, con la stessa velocità (

f2 (ct + x)

onda regressiva ).

c (onda

indica la direzione dell'onda verso

Le due funzioni

f1

e

f2

sono arbitrarie,

possono infatti essere scelte in modo che la loro somma soddis le condizioni iniziali di spazio

y(x, 0)e

velocità

∂y/∂t = y(x, ˙ 0).

Le derivate rispetto allo spazio

x

e il tempo

t

dell'eq.1.5 saranno:

∂y/∂x = −f10 + f20 , ∂y/∂t = c(f10 + f20 ), dove

f10 e f20

sono le derivate delle due funzioni rispetto ai loro argomenti.

6

(1.6)

Nella corda si propagano semplici movimenti armonici, per questo si considerano e

f2

f1

nell'eq.1.5 in termini di seno e coseno

ω ω ω ω (ct − x) + B cos (ct − x) + C sin (ct + x) + D cos (ct + x) = c c c c = A sin(ωt − kx) + B cos(ωt − kx) +

y(x, t) = A sin

+C sin(ωt + kx) + D cos(ωt + kx), con

k = ω/c = 2π/λ

1.2

(1.7)

numero d'onda.

Onde stazionarie

Si consideri una corda di lunghezza condizione

y(0, t) = 0,

L

nell'eq.1.7 si ha

a estremi ssati in

A = −C

e

x=0

B = −D,

e

x = L.

Dalla prima

quindi

y = A[sin(ωt − kx) − sin(ωt + kx)] + B[cos(ωt − kx) − cos(ωt + kx)]. Usando le formule di somma e dierenza

cos x cos y ∓ sin x sin y ,

(1.8)

sin(x±y) = sin x cos y±cos x sin y e cos(x±y) =

si ottiene

y = 2A sin kx cos ωt − 2B sin kx sin ωt = = 2[A cos ωt − B sin ωt] sin kx. Esistono posizioni

x

in cui

sin kx = 0,

(1.9)

cioè non c'è oscillazione (nodi), e altre in cui

| sin kx = 1|, ovvero l'ampiezza di oscillazione è massima (ventri).

Le rispettive posizioni

sono:

kx = nπ

nodi

kx = (2n + 1) La seconda condizione stringe

ω

a valori

π 2

ventri

y(L, t) = 0 richiede che sin kL = 0 o che ωL/c = nπ ,

ωn = nπc/L.

Scritto in termini della lunghezza d'onda

λn = 2L/n.

e questo

λ = 2π/k

si ha

(1.10)

Quindi la corda ha modi di vibrazione normali:

yn (x, t) = (An cos ωn t + Bn sin ωn t) sin 7

ωn x . c

(1.11)

ωn

Questi modi sono armonici, perchè ogni

è

n

volte multiplo di

ω1 = c/2L.

La soluzione generale di una corda vibrante a estremi ssati può essere scritta come combinazione lineare dei modi normali:

y(x, t)n =

X

(An cos ωn t + Bn sin ωn t) sin kn x,

(1.12)

n e l'ampiezza dell'

n−esimo modo è Cn =

q

A2n + Bn2 .

In ogni punto

y(x, t) =

P

n

yn (x, t).

Quindi

y(x, t) =

X

Cn cos(ωn t + φn ) sin kn x,

n dove e

Cn è

l'ampiezza dell'n

kn = nπ/L,

− esimo

modo e

φn

la sua fase. Esplicitando

ωn

come

nω

si arriva a una combinazione lineare di modi normali con coecienti

determinati dalla congurazione iniziale

f (x) e dalla velocità iniziale v(x) in ogni punto

della corda:

y(x, t) =

X

Cn cos(nωt + φn ) sin

n I modi normali di una corda vibrante sono detti

nπx , L

parziali

(1.13) o

armonici

della corda:

quello di minima frequenza è l'armonico fondamentale, i successivi sono gli armonici superiori o ipertoni. Con la condizione iniziale a

t=0

si ricava:

f (x) = y(x, 0) =

X

Cn cos φn sin

n

v(x) =

nπx ∂y(x, 0) X = Cn (−nω sin φn ) sin , ∂t L n

e i coecienti dello sviluppo di Fourier di

fn = Cn cos φn ,

f (x)

e

v(x)

(1.14)

(1.15)

saranno

vn = −Cn nω sin φn ,

Cn2 = fn2 + (vn /nω)2 ,

1.3

nπx L

tan φn = −vn /nωfn .

(1.16)

(1.17)

Energia di una corda vibrante

Quando una corda vibra in uno dei suoi modi normali, l'energia cinetica e il potenziale raggiungono il loro valore massimo alternativamente, che equivale all'energia totale del

8

Figura 1.2:

Triangolo che ha per base la corda di lunghezza L, altezza unitaria ah, con a punto

di eccitazione. sistema.

L'energia di un modo può essere calcolata considerando solo una delle due.

L'energia cinetica massima di un segmento vibrante nel suo

dEn =

n − esimo

modo è

ωn2 µ 2 nπx (An + Bn2 ) sin2 dx. 2 L

Integrando sull'intera lunghezza si ha

En =

ωn2 µL 2 ω 2 µL (An + Bn2 ) = n Cn2 . 4 4

Il potenziale e l'energia cinetica di ogni modo hanno media temporale

(1.18)

En /2.

L'energia

totale della corda può essere trovata come

E=

X

En .

n

1.4

1.4.1

Corda pizzicata e percossa

Corda pizzicata

Si può considerare la congurazione iniziale di una corda pizzicata, al momento dell'eccitazione nel punto

a,

come triangolare (gura 1.2).

trasformata di Fourier commutano, e la funzione

g 0 (x)

L'operazione di derivazione e la è costante. Quindi per calcolare

i coecienti si farà la trasformata di Fourier della derivata seconda del triangolo della

9

gura 1.2 (si è posto h=1).

  

1 x a

se

0<x
 L−x

se

a<x
g(x) = 

0

g (x) =

L−a

  

1 a

se

0<x
 

1 − L−a

se

a<x
1 1 g 00 (x) = −( + )δ(x − a) a L−a

(1.19)

Le condizioni iniziali applicate all'equazione 1.16 sono:

→

vn = 0 Si sostituisce

φn = 0

y 00 (x, 0) = −

⇒

sin φn = 0

Cn = fn .

alla derivata seconda dell'equazione 1.14 e si ottiene:

X

Cn (n2 ω 2 cos φn ) sin

n e si pone

→

φn = 0

Sn = −Cn n2 ω 2 .

X nπx nπx =− Cn n2 ω 2 sin , L L n

(1.20)

Data l'equazione

y 00 (x) =

X

πnx , L

(1.21)

πnx dx. L

(1.22)

Sn sin

n la sua trasformata di Fourier è:

Sn = y 00 (x) = g 00 (x),

Sostituendo

Sn =

Z L

Si trova così

−

0

y 00 (x) sin

0

si ha

1 1 nπx )δ(x − a) sin dx −( + a L−a L

=

−

L nπa sin a(L − a) L

(1.23)

Cn :

L nπa sin = −Cn n2 ω 2 a(L − a) L

C'è dipendenza da

sin nπa , L

Z L

quindi

Cn =

1 n2 ω 2

L nπa sin a(L − a) L

(1.24)

n in due momenti: 1/n2 , dipendente dal meccanismo di eccitazione, e

dipendente dal punto di eccitazione. Se

un nodo in quel punto si annullano.

10

L/a

è razionale, gli armonici che hanno

1.4.2

Corda percossa

In una corda percossa le approssimazioni sono analoghe a quelle per la corda pizzicata, cambiano le condizioni iniziali: lo spostamento iniziale nullo iniziale

v(a, 0) = v0 = vδ(x − a)

e fase

φn = −π/2.

Cn =

x = 0,

Il coeciente

Cn

velocità specica

varrà:

v0 nπa sin , nω L

(1.25)

la dipendenza dal meccanismo di eccitazione farà in modo che gli armonici decadano come

1/n, quindi il suono sarà più duro rispetto ad una corda pizzicata, per la maggiore

presenza di armonici superiori.

In generale, l'ampiezza armonica nello spettro delle

vibrazioni di una corda percossa decresce meno rapidamente con la frequenza rispetto alle corde pizzicate. Si pone che la velocità iniziale sia data dal forte colpo del martelletto che percuote la corda al tempo

t = 0.

In quel punto la posizione è costante, ma la velocità cambia.

Si suppone quindi che la corda sia percossa da un martelletto di massa M stretto e duro avente velocità avente massa

V.

2µct

Dopo un istante di tempo

t,

una porzione della corda lunga

inizia a muoversi. Data la tensione

T,

2ct

e

nel punto di contatto la corda

e il martelletto insieme soddisfano l'equazione

M

∂y ∂ 2y = T 4( ) 2 ∂t ∂x

(1.26)

mentre nel resto della corda continua ad essere soddisfatta l'equazione 1.4. La discontinuità nell'inclinazione della corda indietro il martelletto.

∂y 4( ∂x )

è quindi responsabile della forza che spinge

La deformazione della corda genera una forza che respinge il

martelletto, richiama la corda in posizione iniziale e si propaga. L'eq. 1.26 è soddisfatta nel punto di contatto dalla velocità

v(t) = V e−t/τ , τ = M c/2T

con

(1.27)

che denisce il tempo di decelerazione. Lo spostamento corrispondente

sarà

y(t) = V τ (1 − e−t/τ ). Nel punto di contatto avremo uno spostamento pari a circa

(1.28)

V M c/2T

e velocità

approssimabile a zero. Se la corda fosse molto lunga, lo spostamento e la velocità nelle

11

Figura 1.3:

Spostamento e velocità di una corda lunga negli istanti successivi dopo la

percussione di un martelletto duro avente velocità V (Fletcher, Rossing) altre parti della corda si trovano sostituendo

t − [(x − x0 ) /c]

a

t,

come mostrato in

Figura 1.3.

1.5

Le vibrazioni di una corda rigida

La rigidità della corda gioca un ruolo fondamentale nell'accordatura delle corde del pianoforte, come vedremo approfonditamente nei capitoli successivi. Le onde in una corda ideale viaggiano senza dispersione, ovvero la velocità delle onde è indipendente dalla frequenza. La causa di dispersione nella corda reale è la rigidità, in più i meccanismi di dispersione nelle corde sono dipendenti dalla frequenza.

Figura 1.4:

Graci di ω in funzione di k per (a) una corda ideale e (b) una corda rigida

(Fletcher & Rossing) In una corda ideale,

ω

e

k

sono legate dall'espressione

ω = ck ,

dell'onda è uguale alla pendenza della retta ottenuta gracando come si vede nella gura 1.4(a).

12

ω

così la velocità

in funzione di

k,

Nella corda reale, la forza di ripristino è parzialmente dovuta alla tensione applicata, e parzialmente causata dalla rigidità della corda.

L'equazione 1.4 del moto di una

corda essibile può essere modicata aggiungendo un termine appropriato di rigidità di essione:

4 ∂ 2y ∂ 2y 2∂ y = T − ESG , ∂t2 ∂x2 ∂x4 T la tensione, E il modulo di Young, S

µ

con

µ

è la densità lineare,

trasversale e

G

1

il raggio di girazione .

(1.29) l'area della sezione

L'equazione di quarto ordine 1.29 ha quattro

soluzioni esponenziali dipendenti dalla frequenza. Possono essere scritte come combinazione lineare di due soluzioni indipendenti oscillanti (seno o coseno) più altre due non oscillanti (seno iperpolico o coseno iperbolico). Questa equazione può essere semplice-

2

mente risolta trattando il caso di una corda a estremi entrambi incernierati , che dà solo funzioni circolari, con soluzioni del tipo Per trovare la dipendenza di

ω

da

k

sin nπx . L per una corda rigida a estremi incernierati, si

risolve l'equazione 1.29:

y(x, t) = T (t)X(x) dove

k

T (t) = eiωt

con

può assumere valori reali o immaginari. Per

X(x) = ekx

e

k ∈ =,

si arriva a:

−µω 2 = T k 2 − ESG2 k 4 Si trova così la frequenza dei modi normali

ωn ,

con

kn =

(1.30)

nπ numero d'onda: L

T 2 ESG2 4 k + kn = µ n µ T n2 π 2 ESG2 n4 π 4 = + = µ L2 µ L4 ESG2 n2 π 2 T n2 π 2 [1 + ]. = µ L2 T L2

ωn2 =

(1.31)

Quindi

s

ωn

1 Raggio

s

T nπ ESG2 n2 π 2 = 1+ ' µ L T L2 ESG2 n2 π 2 ' nω0 [1 + ]. 2T L2

(1.32)

di girazione G = S1 µz 2 dz 2 Oltre a entrambi gli estremi incernierati, in cui si ha X = X xx = 0, le altre condizioni sono: estremi R

incastrati (con X = Xx = 0), liberi (dove Xxx = Xxxx = 0) e le combinazioni delle tre. Il caso degli estremi incernierati è il più semplice, perché l'unico risolvibile senza funzioni iperboliche. 13

Figura 1.5:

Dipendenza di ωn da n, avendo considerato ω0 = 1 e

ESG2 π 2 2T L2

= 0, 0004.

Per l'ultimo termine dell'equazione 1.32 è stata fatta un'approssimazione al I ordine, suppondendo che il coeciente di

k

n2

sia molto piccolo.

è rappresentato nella gura 1.4(b), mentre quello di

Il termine

ω0

ω

Il graco di rispetto a

n,

ω

in funzione di

nella gura 1.5.

è la frequenza fondamentale della stessa corda senza rigidità, e appare

la dipendenza da

n2 ,

che allarga gli intervalli dei modi più alti. L'equzione 1.32 sarà

ripresa nel paragrafo 2.4 quando si tratterà l'irmonicità.

14

Capitolo 2 Aspetti sici dei suoni prodotti da un pianoforte Le corde di un pianoforte hanno un ruolo centrale: convertono parte dell'energia cinetica del martelletto in energia vibrazionale, che viene conservata nei modi normali di vibrazione, e trasferita alla tavola armonica (tramite ponticello) in modo da determinare la qualità del suono dello strumento. In questa sezione verranno analizzati gli aspetti sici principali che si incontrano durante l'accordatura di un pianoforte, trattando quindi i principi che governano la produzione di un suono o più suoni di un pianoforte e cosa viene percepito.

2.1

Sovrapposizione di suoni di diversa frequenza:

i

battimenti Il fenomeno dei battimenti si verica quando la dierenza di frequenza tra due suoni è molto piccola. Il risultato è la variazione di ampiezza dell'onda risultante, ad intervalli temporali deniti dalla dierenza tra le due frequenze originarie, causata dai momenti di interferenza costruttiva e distruttiva. Prendiamo ad esempio due onde monocromatiche di frequenza al tempo

t,

di uguale ampiezza

y0 :

y1 (x, t) = y0 sin(k1 x + ω1 t) 15

f1

e

f2 ,

nel punto

x

Figura 2.1:

Sovrapposizione di onde di frequenze poco diverse tra loro, (a), crea il fenomeno

dei battimenti (b) (Frova) y2 (x, t) = y0 sin(k2 x + ω2 t) con

k = 2π/λ numero d'onda e pulsazione ω = 2πf , rappresentate nella 2.1(a).

2.1(b) invece mostra la somma delle due onde, con ampiezza complessiva

La gura

y = y1 + y2 .

Quest'ampiezza sarà massima nei momenti in cui le due onde sono in fase, e nulla quando sono in controfase. L'equazione dell'onda risultante è:

y = 2y0 cos[ Essendo piccola la dierenza tra

ω = (ω1 + ω2 )/2

e

k = (k1 + k2 )/2

∆k ∆ω x+ t] sin(kx + ωt) 2 2

ω1 e ω2 ,

e tra

; inoltre

k1 e k2 ,

(2.1)

si possono usare i valori medi

∆ω = ω1 − ω2

e

∆k = k1 − k2 .

L'equazione (2.1) è il prodotto di un'onda viaggiante di frequenza d'onda

2y0

λ (onda portante )

con una frequenza

∆f

f

e lunghezza

per un'onda modulante (inviluppo) che modula l'ampiezza minore di

f.

La percezione uditiva di questo fenomeno è di un suono di frequenza modulata rapidamente. Per dierenze di frequenza pari a un tono (∆f

f

con intensità

' 30 Hz a centro

tastiera), i battimenti non sono più udibili. L'accordatura assoluta di due strumenti si ha eliminando i battimenti che si formano suonando la stessa nota contemporaneamente. Si vedrà in seguito come questi non verranno azzerati completamente, perché la quantità di battimenti è fondamentale nella scala della gradevolezza di due (o più) suoni prodotti contemporaneamente, e importante per la durata del suono (paragrafo 3.1).

16

2.2

Spettro armonico e timbro

Figura

2.2:

Contenuti spettrali schematizzati (in dB), dei sette Do del pianoforte.

Osservazione di un piccolo intervallo nella fase di decadimento del suono (Frova) Lo spettro delle note prodotte da un pianoforte è ricco di armonici. Questa quantità è determinata sia dal modo in cui il martelletto percuote la corda (sarà descritto nel paragrafo successivo) che dalla frequenza della nota: aumentando l'altezza il numero di armonici di ampiezza non trascurabile diminuisce, come si vede nella gura 2.2. Nei toni bassi ci sono armonici no a 3000 Hz, mentre per le ottave acute arrivano oltre i 10000 Hz. Essendo la nota più alta a 4186 Hz (Do8 ), solo una o due parziali saranno udibili. Gli armonici delle corde acute decrescono più rapidamente perché essendo corte c'è una deformazione maggiore della corda e la curvatura è maggiore; la lunghezza d'onda è corta e vibrando si disperde molta energia. La stessa cosa vale per i modi superiori delle corde medie. Se non ci fosse rigidità, la curvatura sarebbe irrilevante sulla dissipazione di energia all'interno della corda. L'accoppiamento tra corda e aria avviene attraverso la tavola armonica: essendo nei toni bassi la lunghezza d'onda paragonabile alle dimensioni della tavola, c'è più dicoltà di accoppiamento. Questo porta all'abbondante presenza di armoniche nelle note di bassa frequenza del pianoforte. 2.2, nel

Do1

e nel

Do3 ,

Come si vede dalla gura

gli armonici successivi sono più intensi del tono fondamentale,

ma si crea il fenomeno del missing fundamental: l'orecchio percepisce lo stesso il tono fondamentale attraverso il contributo non lineare degli altri armonici. Il timbro del pianoforte non è caratterizzato solo da quanti e quali armonici sono

17

sollecitati, ma gioca un ruolo fondamentale il transiente d'attacco: è particolarmente rapido, ricco di armonici e anche il minimo rumore del martelletto dà il suo contributo. Se ascoltassimo sotto inversione temporale la registrazione di un brano per pianoforte, sarebbe dicile riconoscerne il timbro e rendersi conto che si tratta proprio di quello strumento.

Figura 2.3:

Curve dell'attacco e della coda per le parziali 1,2,3,4,5,10,15,20 e 25 di Do1 di un

gran coda (Fletcher & Rossing) Curva di attacco e decadimento di 9 armoniche di

Do1

(32,7 Hz) sono mostrati nella

gura 2.3. E' evidente come lo spettro di questo tono cambi nel tempo, anche se non si sentono particolari dierenze del suono prodotto.

2.3

Il martelletto sulla corda

Nell'attivazione istantanea dei modi tramite il colpo del martelletto sulla corda, è importante considerare il fattore

β = a/L

(in cui

L

è la lunghezza totale della corda e

a

il

punto in cui viene percossa la corda), e come già detto, la massa del martelletto e quella della corda. Quando la corda è molto lunga (o il martelletto molto leggero), il martelletto colpisce la corda e si ferma. Con una corda di lunghezza nita, gli impulsi riessi tornano da entrambi gli estremi della corda, e interagiscono con il martelletto in movimento in modo abbastanza complicato: c'è quindi un' interferenza tra impulsi e martelletto che allontana il martelletto dalla corda, mentre la corda vibra nei suoi modi normali.

18

La gura(2.4)(a) mostra come per un martelletto molto leggero, di massa minore della massa della corda sono multipli di

1/β

Mc ,

M

molto

lo spettro ha uno zero nei punti in cui gli armonici

(dove la corda è percossa in una frazione

β

della sua lunghezza),

e non decresce con la frequenza. Se invece la massa del martelletto è piccola ma non trascurabile rispetto alla massa della corda, lo spettro decresce come modo dato da

Figura 2.4:

nm = 0.73Mc /M ,

1/n

rispetto a un

come mostrato in Figura(2.4)(b).

Spettro di una corda percossa nella frazione β della sua lunghezza: (a) massa

martelletto M  massa corda Mc ;(b) M = 0.4βMc (Hall). Il suono dello strumento varia anche con la forma e la durezza del martelletto. Se la parte di contatto tra martelletto e corda è troppo estesa c'è uno smorzamento delle frequenze acute, quindi se si vuole un suono più brillante è bene avere un martelletto

1

più appuntito . Anche con un martelletto solo si può avere variazione di suono se viene suonato forte o piano. Nel primo caso il feltro viene schiacciato diventando temporaneamente duro: saranno così prevalenti le armoniche acute. Nel secondo caso il suono risulterà più dolce, in quanto saranno generate più facilmente le armoniche basse. Askenfelt e Jansson hanno studiato l'eetto della massa del martelletto dall'eccitazione della corda

Do4

con tre martelletti: un martelletto pesante dei bassi, uno leggero

degli acuti, e l'originale. Hanno ottenuto un tempo di contatto più lungo del normale per il martelletto dei bassi, e un tempo più breve per quello più leggero, come si aspettavano. Sebbene le forme delle vibrazioni della corda non sembrino molto diverse per i tre

1 Uno

dei comptiti più importanti del tecnico accordatore è il lavoro dell'intonazione. Con questa

operazione si interviene sulla rigidità del martelletto, renendolo elastico a seconda delle necessità dello strumento e del pianista.

19

martelletti, il suono prodotto è molto dierente. Quello leggero, per esempio, produce un suono simile a quello di un clavicembalo. Nel caso di massa del martelletto inferiore a quella della corda, il martelletto viene immediatamente respinto.

Si creerà una libera oscillazione nel punto di contatto,

evitando quindi l'attivazione di modi che presentano un nodo in quel punto. Se si prende invece un martelletto più pesante, il tempo di contatto con la corda sarà più lungo: il martelletto resterà a contatto con la corda durante l'arrivo dei due impulsi riessi. In questo modo è più dicile fare previsioni teoriche sull'attivazione dei modi.

2.3.1

Tempo di contatto martelletto-corda

Figura 2.5:

Spostamento della corda in funzione del tempo per una nota bassa (Do2 ), una del

registro medio (Do4 ), e una acuta (Do7 ). Il periodo è indicato con T e il tempo di contatto martelletto-corda con tc (Askenfelt & Jansson). Askenefelt e Jansson hanno misurato il tempo di contatto martelletto-corda per diverse note su un pianoforte a coda, e la velocità della corda, che si può ricavare integrando lo spostamento. I risultati sono mostrati nella gura 2.5. Lo spostamento della forma d'onda cambia a seconda della frequenza.

20

Per

Do2

ci sono due impulsi

seguiti da un lungo periodo di approssimazione allo zero. Per corto, mentre per

Do7 ,

Do4

questo periodo è più

non ce n'è proprio.

Si vede quindi la dierenza tra una funzione periodica con dei picchi distribuiti nel tempo e di una funzione formata da oscillazioni. Facendo la trasformata di Fourier delle funzioni della gura 2.5,

Do2

risulterà infatti molto più ricco di armonici rispetto al

Do7 , in accordo con la gura 2.2.

Il tempo di contatto riferito al periodo fa in modo che

la deformazione della corda (e quindi il suo spettro armonico) sia concentrata in una regione piccola della corda stessa (Do2 ), oppure conivolge tutta la corda (Do7 ). Avendo ripercussioni sullo spettro armonico, si trova quindi che anche il tempo di contatto del martelletto ha il suo ruolo nella determinazione del timbro. Si potrebbero allora creare martelletti di grandezze tali da rendere minimo il tempo di contatto anche negli acuti. Ma trovare stratagemmi del genere risulterà inutile, in quanto gli armonici acuti di note alte avrebbero frequenze oltre i 18000 Hz, e sarebbero comunque non udibili dall'orecchio umano.

Figura 2.6:

Tempo di contatto martelletto-corda come percentuale di mezzo periodo per

diverse note di un pianoforte a coda (Askenfelt & Jansson). Il tempo di contatto martelletto-corda

tc

varia da 1 ms per

Do7

a 4 ms per

Do2 :

per la nota più bassa è solo il 20% del periodo della nota stessa, che è troppo corto per più ecienti eccitazioni di questa nota. Allo stesso modo il tempo di contatto per

Do7 ,

che è quasi uguale al suo periodo, è troppo lungo per un'eciente eccitazione.

Do4 ,

con

tc = T /2,

sarà ecientemente eccitato. La gura 2.6 dà il tempo di contatto come

percentuale del periodo per ogni

Do

di un pianoforte a coda. Inoltre colpendo la corda

con grande forza aumenta la velocità della corda e diminuisce il tempo di contatto.

21

2.3.2

Punto di contatto martelletto-corda

Il punto di eccitazione della corda ha un ruolo fondamentale per quanto riguarda il tipo di suono dello strumento. Il punto ottimale di percussione della corda di un pianoforte è tra

1/7

e

1/9

armonico (per

della lunghezza

Do

con gli altri gradi.

è

Re)

L

della corda: il settimo (per un

Do

è

Si[)

e il nono

verranno così inibiti, in quanto considerati non consonanti

La scelta di avere

β

tra

1/7

e

1/9

per il punto di percussione è

un compromesso per le diverse esigenze delle varie parti della tastiera. La corda verrà colpita in modo tale che

β = 1/8,

smorzando, nel caso di

Do,

un altro

Do

e tenendo

piccole le ampiezze del settimo e del nono armonico. Si è visto che il tempo di contatto

Figura 2.7:

Primi n = 7 modi di vibrazione di una corda di lunghezza 1/8L, 7/8L.

del martelletto al momento della percussione è non nullo, e nché il martelletto è in contatto si generano due fondamentali: una sulla parte più lunga della corda e una sulla parte corta. Si veda il caso di una corda di

Do3 (f0 =262 Hz) colpita ad 1/8 di L.

I modi

che si formano sono rappresentati nella gura 2.7, aventi le frequenze della tabella 2.8.

Figura 2.8:

Frequenze degli n modi di vibrazione di una corda di lunghezza 1/8L, 7/8L e L,

se a L la frequenza f0 è 262 Hz.

22

La parte di corda più corta presenta frequenze multiple di isofoniche (gura 2.9) sono le più facili da percepire. leggermente più alta di quella del

Do3 ,

f0 ,

che in base alle curve

Nei restanti 7/8 la frequenza è

corrisponde infatti a un

Re3

molto crescente.

Questa dissonanza durerà per il tempo di contatto del martelletto (poco più di 2 ms). Al momento del distacco del martelletto la corda inizia a vibrare con i modi della sua lunghezza intera

L,

con ampiezze e fasi determinate dalla congurazione di posizione

e velocità al momento del distacco (quindi dai modi precedenti). Il distacco però non avviene istantaneamente a causa dell'elasticità del martelletto (fatto di feltro), quindi questa è solo un'approssimazione.

Figura 2.9:

Curve isofoniche di Fletcher e Munson. Indicano l'intensità sonora per cui tutte

le frequenze sono udibili allo stesso modo.(Fletcher & Munson) Potrebbe mettersi in vibrazione anche la parte di corda tra la caviglia e il capotasto: a meno che questa non vibri con gli stessi modi della corda vibrante (ovvero quando le due lunghezze hanno rapporto intero, come nel caso appena visto), viene inibita con

2

delle strisce di feltro , lo si può vedere nella gura 2.13, a ne capitolo.

2 in

alcuni pianoforti, negli acuti la parte di corda tra caviglia e capotasto è lunga come la parte di

corda vibrante: lasciandola libera si ha un'amplicazione del volume.

23

2.4

L'inarmonicità

Ipotizziamo la velocità del suono sulla corda indipendente dalla frequenza. Si è denita nel paragrafo 1 la velocità dell'onda

T

c2 = T /µ

(con densità lineare

µ(Kg/m)

e tensione

(Newton)) che combinata con l'equazione (1.10) dà il risultato

nc n c = = fn = λn 2L 2L Questa è solo un'approssimazione:

s

T µ

(2.2)

in realtà la velocità del suono cambia con la

frequenza, perchè più è corto il passo dell'onda e maggiore sarà la deformazione della corda. Si crea quindi un fenomeno di dispersione della velocità del suono che porta gli ipertoni delle note del pianoforte a non essere multipli esatti del tono fondamentale: inarmonicità degli ipertoni. Considerando il rapporto di lunghezza tra due corde a distanza di un'ottava uguale a 2, tra il

Do1

(il più grave) e il

a coda modello A, il lungo 6,4 m!

3

Do8

Do8

(il più acuto), il rapporto sarà

è lungo 5 cm, e moltiplicando per

27 ,

il

27 .

In uno Steinway

Do1

dovrebbe essere

Quindi il rapporto tra la lunghezza delle corde a distanza di ottava è molto

minore di 2, e non è costante. Inoltre il diametro aumenta leggermente diminuendo la frequenza, e la tensione aumenta.

Per minimizzare i battimenti tra le corde acute e

gli armonici delle corde basse, gli intervalli di ottava saranno allargate di un rapporto maggiore di 2:1, come si vedrà approfonditamente nel paragrafo 3.2. Il problema dell'accoppiamento corda-ponticello-tavola armonica crea una forte dissipazione d'energia, che porta alla necessità di avere un'elevata densità di energia acustica già nella corda. Si richiede che la corda possa sostenere grandi tensioni, quindi avere un grande diametro, ma la rigidità piccola. Inoltre la tensione deve essere più omogenea possibile tra le corde, altrimenti il telaio rischia di deformarsi (per questo motivo ora sono costruiti in ghisa, mentre prima erano in legno). La soluzione per i bassi si trova utilizzando una corda interna (coro) di diametro non maggiore di 1 mm, aumentandone la massa aggiungendo un'avvolgimento con uno o due li di rame, in modo da minimizzare la rigidità della corda, e quindi l'inarmonicità. Lo spessore del lo di rame può variare dal doppio (corda più grave), a un quarto del diametro della corda interna (ultima corda avvolta). Per gli acuti avere tre corde per la

3 La

lunghezza del Do1 dello Steinway a coda modello A è invece di 1,4m. 24

stessa nota fa guadagnare in potenza e diminuisce l'inarmonicità. Mentre per gli acuti l'inarmonicità ha lo stesso eetto nei tipi diversi di piano, per i bassi è molto più evidente nei pianoforti verticali rispetto a quelli a coda, perchè essendo le corde più corte, sono anche più spesse. Si riprende l'equazione 1.32:

ESG2 n2 π 2 ]= 2T L2 = nω0 [1 + n2 B].

ωn = nω0 [1 +

(2.3)

dove B è la costante inarmonica, ed è data da

B= con

ESG2 π 2 π 3 r4 E = 2T L2 8L2 T

S =sezione, r=raggio, E =modulo

di Young,

corda a sezione circolare, il raggio di girazione

Figura 2.10:

L=lunghezza

(2.4)

e

T =tensione.

Per una

G = r/2.

Dipendenza dell'inarmonicità dal quadrato del numero di modo per cinque corde

di un gran coda. Tutte le rette partono da 1, sono state traslate per poterle distinguere. (Fletcher & Rossing) Le inarmonicità di cinque corde di un gran coda sono mostrate in gura 2.10, dove si vede la dipendenza dell'inarmonicità da

n2

in tutti i casi.

La gura 2.11 mostra come l'inarmonicità e la tensione variano con la nota (rappresentata dal numero di tasto) usando una scala di alta tensione o bassa tensione. La

25

Figura 2.11:

Variazione di tensione e inarmonicità in funzione del numero di nota N. (Fletcher

& Rossing) tensione diminuisce andando dalla singola corda per nota a due corde per nota (bicordo) no a tre corde per nota (tricordo). L'eetto dell'inarmonicità (come si vedrà nel capitolo successivo) ha grandi ripercussioni sull'accordatura in temperamento equabile, il tipo di accordatura normalmente usato.

Figura 2.12:

Corda con singolo avvolgimento (a) e con doppio avvolgimento (b). (Fletcher &

Rossing) Riferendoci alla gura 2.12 il sico Sanderson ci dà le formule della costante inar-

26

monica per il primo e per il secondo avvolgimento:

singolo avvolgimento

B = Bcoro + Bestremo1 + Bestremo2

(2.5)

dove

Bestremo = 0, 287( doppio avvolgimento dove

Bestremo

16πL1 4πL1 D22 − d2 − sin ) )(4 sin 2 2 D2 + 0, 12d Ls Ls

B = Bcoro + Bestremo1 + Bestremo2 + Bpasso1 + Bpasso2

è lo stesso per il singolo avvolgimento, e

D22 − D12 16π(L1 + L2 ) 4π(L1 + L2 ) − sin − )(4 sin 2 2 D2 + 0, 12d Ls Ls 4πL1 16πL1 −4 sin + sin ). Ls Ls

Bpasso = 0, 287(

(2.6)

Si possono così scegliere i diametri delle corde delle singole note del pianoforte.

Figura 2.13:

Corde delle prime 18 note di un pianoforte a coda Steinway modello A. Le prime

8 sono singole, le altre 10 doppie, tutte con singolo avvolgimento.

27

Capitolo 3 Accordatura 3.1

Corde doppie e triple

Nelle corde viene immagazzinata la maggior parte dell'energia vibrazionale del pianoforte. Il decadimento del suono è principalmente determinato da quanto rapidamente l'energia viene rilasciata dalle corde alla tavola armonica, tramite l'accoppiamento tra corda, ponticello e tavola armonica. L'impedenza meccanica della tavola armonica, che varia con la posizione e le frequenze, è sempre maggiore dell'impedenza delle corde, di solito il rapporto è 200:1.

Quindi l'energia di vibrazione viene trasferita piuttosto

lentamente dalle corde alla tavola armonica. Un modo per incrementare l'accoppiamento tra corde e tavola armonica è di aumentare il diametro (e quindi la massa) delle corde, ma si favorirebbe l'inarmonicità (paragrafo 2.4). Tale soluzione si può applicare alle corde dei bassi, invece nel registro medio e alto, la soluzione è di avere corde multiple per ogni nota. Quando il martello colpisce un tricordo (set di tre corde all'unisono), mette in vibrazione le tre corde con la stessa fase. In questo modo si esercitano tutte forze verticali con la stessa fase anche sul ponticello, l'energia è trasferita con un'ampiezza tripla, e l'assorbimento di energia è massimo; il tempo di trasferimento dell'energia alla tavola armonica sarebbe breve e il decadimento del suono rapido. Un accordatore deve bilanciare sia il suono iniziale che la sua coda accordando gli unisoni. L'accordatura viene fatta con piccole dierenze in frequenza: il martelletto percuote le corde, che inizieranno a vibrare in fase, e gradualmente le vibrazioni andranno

28

Figura 3.1:

Passaggio dalle note con bicordi (l'ultima è la 24a , La2 ), alle note con tricordi, in

un pianoforte a coda Steinway modello A. fuori fase. La coda del suono si sviluppa così molto lentamente, in quanto il tempo che impiegheranno gli unisoni a perdere la coerenza di fase sarà più lungo. La risultante sul ponticello diminuirà, e l'impedenza di trasferimento alla tavola sarà maggiore. Il passaggio dalla vibrazione in fase alla vibrazione controfase degli unisoni porterà ad avere due tempi di decadimento: uno iniziale più rapido, e uno secondario più lungo. Durante il passaggio tra i due decadimenti c'è un lieve cambiamento timbrico.

Dalla

gura 3.2 si vede il cambiamento di pendenza dei due smorzamenti: il primo diminuirà di circa 18 dB al secondo, il secondo sarà molto lento (circa 3 dB al secondo).

(Le

oscillazioni nella gura sono causate sia dai lievi battimenti creati dalle dierenze di fase, sia dalle rotazioni del piano di vibrazione delle corde.) Un'altra causa del dislivello è il cambiamento della direzione di vibrazione da perpendicolare a parallelo rispetto alla tavola armonica. Quando il martelletto percuote la corda, questa inizia a vibrare perpendicolarmente alla tavola armonica, ma a causa delle spirali avvolgenti e l'estremo incastrato al ponticello, la polarizzazione cambia nel corso del tempo e le vibrazioni saranno parallele alla tavola armonica. Ciò dimostra l'importanza del transiente d'attacco per la determinazione del timbro

29

Figura 3.2:

Curva di decaimento per il Do4 centrale di un pianoforte gran coda. Il doppio

tempo di decadimento non si verica nella parte alta della tastiera. (Frova) del pianoforte (come detto nel paragrafo 2.2). Per questo il tecnico regolerà l'accordatura nei primissimi secondi successivi alla percussione delle corde. Il risultato della regolazione si ripercuote anche sulla coda del suono, meno caratterizzante, ma importante anch'essa per la voce dello strumento.

3.2

Soluzione all'inarmonicità

L'eetto di inarmonicità è uguale in quasi tutti i pianoforti per le note acute, mentre nel registro grave è diverso a seconda del tipo di pianoforte. Inoltre si sa che se il rapporto di frequenza tra due ottave è maggiore di 2 suona meglio. Ci sono due ragioni per cui si preferisce l'ottava allargata, una sica e una psicologica.

3.2.1

Ottava allargata: motivo sico

Il motivo sico è legato all'inarmonicità degli ipertoni (paragrafo 2.4):

l'accordatura

dell'ottava si ottiene cercando di annullare i battimenti tra il primo ipertono di un e la stessa nota un'ottava sopra, e i relativi armonici.

fn rel="nofollow"> nf10 ,

e si possono confrontare due

• Do3 : f0 =131

Dall'equazione 2.3 si vede che

Do:

Hz, coef. di inarmonicità

30

BDo3 =

Do

0.0002, modi

m;

• Do4 : 2f0 =262

Hz, coef. di inarmonicità

BDo4 =

0.0005, modi

n;

Do3 fm = mf0 (1 + m2 BDo3 ),

fnDo4 = n2f0 (1 + n2 BDo4 ).

Figura 3.3:

(3.1)

Tabella con le frequenze dei primi dieci armonici di Do3 (m) e dei primi cinque

armonici di Do4 (n). I risultati del'equazione 3.1 sono mostrati in tabella 3.3. Gli armonici di

Do3 ,

leggermente calanti rispetto ai corrispettivi di Sostituendo per mentale di

Do4

la frequenza

2f0

con

f2Do3

Do4

sono

quindi si allargherà leggermente.

(uguagliando cioè la frequenza fonda-

Do4 , alla frequenza del primo armonico di Do3 ), ci sarà ugualmente, anche se

minore, dierenza in frequenza tra

f4Do3

e

f2Do4

(che viene 525,47 Hz). Allargando l'ot-

tava si raggiunge un buon equilibrio, ma i battimenti non saranno mai completamente eliminati.

3.2.2

Ottava allargata: motivo psicoacustico

La ragione psicoacustica è dimostrata da esperimenti che hanno mostrato come due ottave (suonate sia contemporaneamente che una dopo l'altra) risultano migliori quando il rapporto tra le frequenze è maggiore di 2 di circa 10 cents (0,6%).

Facendo senti-

re una melodia suonata nel registro alto con accompagnamento di diverse ottave più basso, molti ascoltatori hanno trovato la melodia più intonata quando l'intonazione era allargata di addirittura un semitono (bassi in

Do,

melodia in

Do]

).

Entra in gioco il concetto di relatività acustica: c'è molta dierenza tra la percezione dei suoni e la loro reale frequenza. Basandosi su esperimenti che provano che tra percezione psicosiologica e attributo sico non c'è corrispondenza lineare, è stato creato un graco dell'altezza soggettiva in funzione della sua reale frequenza. L'unità di misura è il

mel.

Dalla gura 3.4 si vede che tra i 20 e 50 Hz e nelle note acute c'è maggiore

compressione.

31

Figura 3.4:

Altezza del suono soggettivamente percepita (in mel) in funzione della sua reale

frequenza. Nel riquadro il graco da 20 a 200 Hz è ampliato di 4volte. (Frova) I diversi tipi di inarmonicità, soprattutto nelle corde basse dei pianoforti verticali, sono un bel compito per l'accordatore. Di solito le fondamentali delle note gravi sono deboli e non contribuiscono molto all'altezza della nota.

Le note più acute, d'altra

parte, durano così poco che i battimenti tra le parziali non sono un valido metro per l'accordatura. L'accordatore quindi deve basarsi sul suo giudizio per l'altezza del suono e gli intervalli.

3.3

3.3.1

Temperamento equabile e la sua accordatura

Cenni ai vari temperamenti

Nel paragrafo 1 si è accennato al monocordo pitagorico. La

scala pitagorica

si basa sulla

consonanza che hanno i rapporti razionali della divisione in due segmenti di una corda ssata ai due estremi, soprattutto quello del'intervallo di ottava (2:1), e quello di quinta (3:2), trascurando la consonanza dell'intervallo di terza.

Con l'intervallo di quinta, è

possibile arrivare alle note della scala cromatica costruendo quello che si chiama

circolo

delle quinte, ottenuto moltiplicando la frequenza di una nota per 3/2. Nella scala pitagorica il tono intero ha valore 9/8 (204 cent), ma presenta due diversi semitoni, uno diatonico (90 cent) e uno cromatico (114 cent).

32

Il rapporto tra i due

Figura 3.5:

Circolo delle quinte. Il circolo esterno sale per quinte perfette, no ad ottenere

tutti i 12 semitoni cromatici; nel circolo interno le quinte perfette scendono. (Frova) semitoni è 1,0678/1,0532=1,0136, corrispondente a 23,5 cent (spesso arrotondato a 24 cent), ed è chiamato

comma pitagorico.

Ma il circolo delle quinte non si chiude, infatti

12 quinte eccedono 7 ottave di 24 cent, proprio il La

scala naturale

1

(o scala Zarliniana)

comma pitagorico.

si fonda sull'accordo

Do−M i−Sol, composto

da una terza maggiore (rapporto 5/4) e una terza minore (rapporto 6/5). Ci sono due dierenti semitoni: quello diatonico (71 cent) e quello cromatico (112 cent); anche per l'intervallo di tono ci sono due distanze diverse: il tono grande, tra il 9/8, 204 cent) e il tono piccolo, tra il Il

temperamento mesotonico

distribuisce il

Re

e il

Mi

Do e il Re (rapporto

(rapporto 10/9, 182 cent).

(XV secolo), detto anche temperamento a tono medio,

comma sintonico 2

distribuendolo tra i vari intervalli della scala.

Viene

così elimintata la dierenza tra il tono grande e il tono piccolo della scala naturale, diventando entrambi di 193 cent.

La terza maggiore resterà di 386 cent, molto più

consonante della terza maggiore pitagorica. I cinque toni hanno la stessa distanza, come i due semitoni, ma due semitoni sommati eccedono un tono: questo crea dei problemi nei cambiamenti di tonalità. L'intervallo di quinta vale 696,5 cent, quindi il circolo delle quinte non si chiuderà per 41 cent.

Questo comma porta a degli intervalli ululanti a

causa delle dissonanze, che vengono chiamati intervalli del lupo.

1 dal

nome di Gioseo Zarlino (1517-1590), compositore e tecnico musicale italiano. di cent tra la terza maggiore nella scala naturale (386 cent) e nella scala pitagorica (408

2 Dierenza

cent), corrispondente a 22 cent.

33

Il

temperamento Salinas

(Francisco Salinas, 1513-1590) presenta quinte uguali, ma

calanti di 7 cent rispetto alla giusta intonazione, quindi intervalli di quarta crescenti e terza maggiori calanti di 7 cent anche loro. sintonico, per questo viene chiamato anche Il

temperamento Werckmeister III

I 7 cent corrispondono a 1/3 del comma

temperamento a 1/3 di comma.

(ne 1600) è (come vedremo anche per il tem-

peramento equabile) un temperamento circolare, ovvero il circolo delle quinte viene perfettamente chiuso. Le quinte sono perfette tranne quattro, che includono il comma pitagorico diviso in 6 cent ciascuna. Le terze risulteranno di conseguenza allungate, ma di valori diversi: 4, 10, 16 o 22 cent. Se l'eccedenza è di 22 cent, si ha lo stesso intervallo di terza maggiore della scala pitagorica (408 cent).

3.3.2 Il

Temperamento equabile

temperamento equabile

era in uso già ai tempi di J. S. Bach, ma fu pubblicato solo nel

1691, da Andreas Werckmeister (lo stesso che ha inventato altri temperamenti, come visto prima) nel testo

Musikalische Temperatur.

In questo temperamento, l' ottava (di

1200 cent) viene divisa in 12 intervalli uguali. Tutti i semitoni saranno larghi 100 cent e i toni 200 cent.

Ciò permette di spostarsi da una tonalità all'altra senza problemi.

Il rapporto di ottava sarà uguale a 2.

I cent per intervallo si calcolano facendo la

proporzione:

N umero di cent/1200 = logR/log2 dove

R

è il rapporto delle frequenze. Questo rapporto per il semitono temperato, si

calcola considerando un valere

R1 2,

(3.2)

Do

uguale a 1, e il

quindi si ha

R=

Do0

successivo uguale a 2.

√ 2 = 1, 05946

12

Do0

deve anche

(3.3)

. Le frequenze in Hz si ottengono facendo

fj = f 2j/12 con

f

la frequenza nota,

j

il semitono da voler considerare, e

(3.4)

fj

3

la sua frequenza .

Rispetto alla scala naturale, l'intervallo di quarta e di quinta sono uguali, mentre l'intervallo di terza maggiore sarà crescente di 14 cent, e quello di terza minore calante di

3 per

esempio: se Do3 = 130, 8 Hz, e vogliamo sapere quanto varrà il La3 (il 9◦ semitono), l'equazione 34

16 cent. Nel temperamento equabile, il circolo delle quinte si chiude, infatti 12 quinte corrispondono esattamente a 7 ottave.

3.3.3

Accordatura di un pianoforte in scala temperata

Si ssa una frequenza di riferimento, di solito il

La3

fondamentale a 440 Hz, eliminando

i battimenti tra la fondamentale di questa nota e il diapason.

Si inizia a lavorare

dallo scompartimento centrale ed esistono diverse modalità di accordatura, per esempio, l'accordatura Steinway inizia da

La3

e arriva a

M i4 ,

procedendo per intervalli di quarta

ascendente e quinta discendente, facendo i relativi controlli con gli intervalli di terza e sesta. Come si è visto nel paragrafo 3.1, per assicurarsi un mantenimento del suono e la gradevolezza dell'intervallo, i battimenti non dovranno essere completamente annullati, e gli intervalli della stessa specie (per esempio tutti gli intervalli di quarta) devono suonare allo stesso modo, e avere gli stessi battimenti. Una volta accordato lo scompartimento centrale, si continua andando prima verso le note gravi.

Si controllano le ottave con lo scomparto centrale, e poi si scende con

intervalli di decima, dicassettesima e ventiquattresima, facendo dove possibile tutti i controlli. Lo stesso si fa per gli acuti, salendo con gli stessi intervalli, ponendo le dovute attenzioni alle correzioni dell'inarmonicità. Queste correzioni porteranno alla curva di Railsback, che mostra la deviazione rispetto al temperamento equabile riportata in gura 3.6. Sulla linea dello zero orizzontale c'è la perfetta armonicità, per i bassi c'è una deviazione di quasi -40 cent, mentre per gli alti arriva no a 30 cent.

sarà: f9 = 131 Hz 29/12 = 220Hz

. 35

(3.5)

Figura 3.6:

Curva di Railsback: compensazione teorica della disarmonicità della cordiera di

un pianoforte da concerto mediante la fusione degli armonici parziali coincidenti. (Fletcher & Rossing)

36

Conclusioni La trattazione della corda rigida fa capire le dicoltà che ci sono quando si ha a che fare con gli strumenti musicali a corde. Si è visto infatti quanto la conseguente inarmonicità ha un'importanza fondamentale nella preparazione di un pianoforte. Sono stati costruiti strumenti elettronici di uso comune per poter accordare che in genere vanno bene per una chitarra o un violino. Per strumenti con frequenze estese come il pianoforte (o l'organo) o con frequenze basse come il contrabbasso, già non sono più della giusta sensibilità. Esistono accordatori elettronici in grado di compensare l'inarmonicità, altri in cui la compensazione può essere programmata personalmente. I risultati ottenuti lavorando con l'abilità umana però, sono sempre migliori, soprattutto dovendo far fronte alle varie situazioni in cui l'accordatura deve essere fatta (tipo di pianoforte, luogo in cui deve suonare, il repertorio, etc.). La regolazione del timbro invece è adata totalmente al tecnico accordatore.

La

grandezza del martelletto e il punto di contatto vengono stabiliti in fabbrica, ma quando per esempio lo strumento deve essere preparato per un concerto, o rimesso a posto, l'intervento umano è fondamentale. Tramite la regolazione della meccanica (struttura di leve che permette al martelletto di muoversi abbasando il tasto) si gestice la velocità e la potenza del colpo del martelletto. Un'altra operazione importante è quella dell'intonazione: l' apposito strumento dotato di tre aghi (intonatore) consente di modicare l'elasticità del martelletto. Si può così cambiare il modo di percussione della corda a seconda delle esigenze timbriche. È stato esaminato il modo di variare il timbro anche tramite l'operazione di accordatura: regolando gli unisoni con leggeri battimenti si ha il suono caratteristico del pianoforte nel transiente d'attacco, e la possibilità di rallentare la caduta del suono nella sua coda. In questa dissertazione sono stati trattati gli aspetti sici che spiegano il perchè e il

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come vengano usate determinate tecniche per permettere ad un pianoforte di suonare al meglio.

Il tecnico accordatore però non è uno scienziato!

Il suo lavoro è basato

sulla sensibilità, cercando compromessi tra esigenze del momento, regolazioni standard, gusto personale, e ovviamente esperienza. La sica aiuta tanto nella comprensione e nel miglioramento delle tecniche, ma il ruolo umano resta sempre basilare.

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