Apunte Movimientos

Física 3 O

prof Federico

Taddei

Movimientos Los movimientos y el descubrimiento del núcleo atómico Aunque nos parece recontra conocida, no hace tanto tiempo que se sabe cómo es la estructura de los átomos: un núcleo donde se concentra casi toda su masa, rodeado de una nube de electrones mucho más liviana. Fue el físico Ernest Rutherford en el año 1912, quien develó este misterio. Como un átomo es muy, pero muy pequeño, es imposible verlo, por eso era difícil descubrir su estructura. ¿Cómo hizo Rutherford entonces? Bombardeó a los átomos de oro que formaban una delgada lámina con un haz de proyectiles muy pequeños, llamados partículas alfa. La clave la obtuvo analizando el movimiento de los proyectiles: la mayor parte de ellos atravesaba la lámina sin desviarse, mantenían su movimiento en línea recta. Algunos pocos proyectiles se desviaban y otros, muy pocos, “rebotaban” en la lámina. Rutherford interpretó estos hechos de la siguiente manera: para que un proyectil rebote debe dar en un lugar de la lámina donde haya un cuerpo que le impida el paso. Pero evidentemente esos lugares no abundan, la lámina de oro está “llena de agujeros” y por eso la mayoría de los proyectiles siguen de largo. Es decir, los átomos que la forman tienen casi toda la materia muy concentrada en una región: el núcleo atómico. Alrededor del núcleo giran los electrones, que son muchísimo más livianos y no consiguen desviar a los proyectiles. Si un proyectil llega a pasar muy cerca de un núcleo (lo que es poco probable, porque están muy separados) entonces se desvía. Y si llega a chocar con él, entonces rebotará. El estudio del movimiento de las partículas alfa permitió descubrir la existencia del núcleo atómico y estimar su tamaño (para que te des una idea, si el núcleo se representara con un maní, el átomo mediría unos 1.200 km de diámetro). Hoy el método de bombardear materiales para saber cómo es su interior se usa muchísimo. De esta manera se descubrieron muchísimos propiedades de la materia, desde cómo es el interior de un cristal hasta la existencia de los quarks. Como ves, el estudio del movimiento es de importancia fundamental para la Física.

1

¿Desde dónde se están mirando? ¿Qué quiere decir que un cuerpo se mueve? Que su posición se modifica a medida que pasa el tiempo. Todo se mueve, hasta en el interior de una piedra apoyada en el suelo, los átomos que la forman están yendo de un lado para el otro, vibrando alrededor de determinadas posiciones. Pero este movimiento no lo podemos ver, ni con un microscopio. Y tampoco casi no nos damos cuenta que estamos parados sobre una roca gigantesca que da vueltas y surca el espacio a ¡107.000 kilómetros por hora! El movimiento de las cosas depende de quién lo mire, es decir, del observador. En este momento, vos dirás que este libro está quieto, pero un marciano que te ve desde el espacio lo verá moverse muy rápidamente ¿Quién tiene razón? Los dos, vos y el marciano, pero para ponerse de acuerdo tienen que aclarar desde dónde están mirando el movimiento. El problema de movimiento fue uno de los primeros que llamaron la atención de las personas que hoy llamaríamos científicos. Hace miles de años, cuando todavía no se sabía casi nada de lo que hoy sabemos sobre el mundo y las cosas que forman parte de él, la gente se preguntaba cómo era que las luces que aparecían en el cielo, las estrellas, el Sol, la Luna, se movían de esa manera. Y para intentar una respuesta, se dedicaron a registrar día tras día dónde salía y se ponía el Sol y cómo se movía en el cielo, es decir, qué posición ocupaba en cada momento del día. Y lo mismo hicieron con la Luna y las estrellas. A partir de estas cuidadosas mediciones, pudieron explicar muchos misterios del cielo, en un proceso que llevó siglos y continúa hasta el día de hoy, porque siempre se descubren misterios nuevos. Pero el estudio del movimiento no sólo arrojó luz sobre los astros, sino que dio origen a lo que hoy conocemos como ciencia, que tantos fenómenos diferentes ha conseguido explicar. Albert Einstein, uno de los más geniales científicos de la historia, escribió: “El problema del movimiento, uno de los más fundamentales, ha sido oscurecido durante miles de años por sus complicaciones naturales. Todos los movimientos que se observan en la Naturaleza - por ejemplo, la caída de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un carro avanzando por una calleson muy intrincados. Para entender estos fenómenos es prudente empezar con los ejemplos más simples y pasar gradualmente a los casos más complicados.” De Albert Einstein y Leopold Infeld, “La Física, aventura del pensamiento”,

2

Manos a la obra, medir tiempo y posición Conocer el movimiento de un cuerpo quiere decir saber dónde está en cada instante. Para hacer una descripción completa de un movimiento, lo primero es aclarar desde dónde se lo observa (desde la Tierra, desde un auto, desde el Sol, etc.). Después, habrá que medir distancias (con una cinta métrica, por ejemplo) y tiempos, (con un reloj o cronómetro). También entonces hay que aclarar desde dónde se miden las distancias y desde qué momento se empiezan a registrar los tiempos. Todas estas elecciones constituyen un sistema de referencias y son imprescindibles para entender la descripción del movimiento que se haga. Ejercicios 1- Rulo y China están parados quietos en un camino, separados 5 metros. Cada uno de ellos sólo ve al otro, nada más. Vos podés ver lo que pasa desde afuera. De repente, ambos pierden la conciencia y Rulo se mueve 2 metros a la derecha y China, 1 metro a la izquierda. Ahora recobran la conciencia y vuelven a ver al otro. a) Mostrá en un dibujo las posiciones inicial y final de ambos. b) ¿Qué distancia los separa al final? ¿Cuánto aumentó la separación? c) Para Rulo ¿cómo (qué distancia y hacia dónde) se movió China? d) Y según China ¿cómo se movió Rulo? 2- Este es el relato de un ser del Mundo Oscuro cuando llegó a nuestra ciudad: “Subí al colectivo que estaba detenido. Me senté y, de repente, toda la ciudad empezó a moverse hacia atrás, primero despacio y después cada vez más rápido. Y a nadie parecía llamarle la atención, todos seguían sentados quietos al lado mío. Cuando ví venir hacia mí el semáforo rojo, la ciudad empezó a moverse más despacio, siempre hacia atrás, pero cada vez más despacio, hasta que se frenó por completo. Todo estuvo quieto durante un minuto, más o menos. Después, todo empezó de nuevo, la ciudad otra vez pasaba hacia atrás mío. Al rato, se inició un giro, todo giraba a mi alrededor, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Hasta que el giro paró y la ciudad siguió hacia atrás en línea recta, como antes.” a) Vos, que viste todo desde afuera ¿cómo relatarías lo sucedido? b) ¿Hacia dónde giró el colectivo, hacia la derecha o la izquierda?

Tiempo A menos que se muevan unos respecto de otros a velocidades cercanas a la de la luz, cosa prácticamente imposible, el tiempo transcurre de la misma manera para todos los relojes. Pero no en todos los relojes o cronómetros figura el mismo valor de tiempo, porque se ponen en marcha en momentos diferentes. Por eso, es importante aclarar cuándo se pone en marcha el reloj que usamos (a ese instante asignamos el valor t = 0). Cada valor de t identifica un instante determinado. Por ejemplo, t = 24 s, corresponderá a un instante 24 segundos posterior a t = 0 y, por ejemplo, t = - 20 s, designará el instante que ocurrió 20 s antes de t = 0. El tiempo transcurrido entre dos instantes se denomina intervalo (∆t) y se calcula como la resta entre el valor de tiempo que corresponde a cada instante. Por ejemplo, entre t = 30 s y t = 36 s, transcurrieron ∆t = 36 s – 30 s = 6 s

Posición Actividad 3- En el pueblo de Ana y Pedro planean construir una nueva escuela. La figura muestra la casa de Ana, la de Pedro y el lugar donde se levantará la nueva escuela.

3

a- Pedro habla por teléfono con su tía y le cuenta que la escuela estará ubicada a unos 100 metros de la casa de Ana. La tía le contesta, con razón, que hay muchos lugares que están a esa distancia de la casa de Ana. Señalá dos de ellos en la figura (tené en cuenta la escala que se muestra en el dibujo) b- ¿Cómo indicarías con exactitud la posición de la escuela? c- Indicá la posición de la escuela, medida desde la casa de Pedro y medida desde la casa de Ana ¿coinciden estos valores?

Una mosca está parada sobre una regla (ver figura) ¿cuál es su posición? Medida desde A, la posición es 100 cm; desde B, 30 cm. Como vemos, una misma posición puede tener valores diferentes, si está medida desde lugares diferentes. Por eso, resulta esencial aclarar cuál es el punto desde donde se mide las posiciones. A ese punto se lo llama origen de coordenadas, y le corresponde el valor cero de posición (x = 0). Existen magnitudes, como la posición de un lugar o un objeto, que no se pueden caracterizar solamente con un único valor. Por ejemplo, si queremos ubicar dónde se encuentra un puente, no alcanza con decir “a 50 metros”, porque entonces conoceríamos a qué distancia se encuentra de nosotros, pero no en qué dirección. Para ubicarlo con precisión tenemos que dar más información, por ejemplo, “desde aquí 50 metros hacia el este”. Si queremos ubicar un libro en una biblioteca decimos “está en el segundo estante empezando desde arriba”. Siempre que indicamos la ubicación de algo, lo hacemos respecto de otro objeto o lugar, ya sea del lugar donde estamos parados, como en el ejemplo del puente, o de otro objeto, como el estante de más arriba de la biblioteca, en el segundo ejemplo. Para especificar posiciones, siempre hace falta definir un punto de referencia u origen de coordenadas, al que se le asigna el valor cero de posición. Para movimientos en línea recta, sólo hace falta un número (x) para indicar la posición del cuerpo. A un lado del origen de coordenadas, x toma valores positivos, al otro lado, valores negativos. Así x = - 25 cm significa que el cuerpo está a 25 cm del lado negativo del origen de coordenadas. Cada elección de origen de coordenadas y de un sentido positivo constituye un sistema de coordenadas diferente y siempre hay que aclarar cuál es el que se adopta.

4

La figura muestra una misma posición de la mosca, descripta desde tres sistemas de coordenadas diferentes. La posición tiene diferentes valores, según el sistema de coordenadas que se adopte. Por eso, cuando se describe un movimiento es fundamental aclarar cuál es el sistema de coordenadas que se elige. 4- Una hormiga colorada está parada sobre una regla (ver figura)

Elegí tres orígenes de coordenadas diferentes e indicá la posición de la hormiga en cada uno de esos sistemas de referencia.

5-

En la figura se muestra en tres situaciones diferentes a un auto que se mueve por un camino recto. A partir de los datos que están en la figura, indicá los valores del tiempo y la posición de cada una de las tres situaciones correspondiente a los siguientes sistemas de referencia:

5

Sistema 1: t = 0 cuando es la situación A x = 0 en el árbol sentido positivo = hacia la derecha

t (h) x (km)

Sistema 2: t = 0 cuando es la situación B x = 0 en la casilla sentido positivo = hacia la izquierda

t (h) x (km)

A

B

C

A

B

C

Desplazamiento Cuando un cuerpo se mueve de un punto a otro, se llama desplazamiento (∆ x) al vector (flecha) que va desde el lugar de partida hasta el lugar de llegada. Para calcular el desplazamiento basta hacer la resta entre los valores de posición final e inicial: ∆x = x final – x inicial 6- Completá la tabla con el valor del desplazamiento del auto del gráfico anterior entre las situaciones:

A hasta B B hasta C

A hasta C

Sistema 1 Sistema 2 El desplazamiento no sólo indica cuánto cambió la posición del móvil, sino también hacia dónde se movió. Cuando el signo del desplazamiento resulta positivo, significa que el cuerpo se movió hacia posiciones más positivas (se dice que se movió en el sentido positivo del eje). Si el desplazamiento es negativo, el cuerpo se movió en el sentido negativo.

Se hace camino al andar Después de observar con detalle el movimiento de un cuerpo, uno puede conocer la trayectoria, esto es, el camino que “dibujó” el cuerpo al moverse. Por ejemplo, un lagarto camina sobre la arena y deja la huella de sus patas marcadas en el suelo. La curva que forman todas las huellas es la trayectoria que siguió el lagarto. La luz de una cañita voladora nos muestra la trayectoria del proyectil: es una curva que parece una montaña y que se llama parábola. La trayectoria del carrito de la montaña rusa está marcada por los rieles sobre los que se mueve. La bala disparada por un arma de sigue una trayectoria casi recta, y también es recta la trayectoria de una bolita que oscila atada a la punta de un resorte. Dos movimientos muy diferentes pueden tener exactamente la misma trayectoria. Por ejemplo, dos personas caminan derechito a lo largo de una cuadra; una de ellas lo hace siempre a la misma velocidad, sin detenerse nunca. La otra, camina rápido, se detiene un minuto; arranca nuevamente, corre, vuelve hacia atrás, se detiene y avanza de nuevo hasta el final de la cuadra. Los movimientos de estas personas son bien diferentes, pero sus trayectorias son idénticas. Es claro entonces que si uno conoce la trayectoria 6

de un movimiento, tiene buena información sobre él, pero no toda la información necesaria. 7- Indicá cuáles son afirmaciones verdaderas y cuáles falsas, explicá por qué: a) En una carrera de autos, todos siguen la misma trayectoria. b) La trayectoria del caballo de la calesita es una circunferencia. c) La trayectoria de las gotas que salen de una canilla es un segmento recto. d) La trayectoria de la masa de un péndulo es una onda que sube y baja. e) Si se pasa la filmación de una carrera de autos desde el final hasta el principio, se ven exactamente las mismas trayectorias. f) Si las trayectorias de dos móviles se cruzan, entonces se produce un choque. 8- Juan está sentado en un auto que avanza sobre el suelo muy lentamente. Tiene en su mano una pelota, que arroja hacia arriba y vuelve a sus manos. Patricia está parada en el suelo junto al auto y ve pasar la pelota. a) Describí la trayectoria de la pelota que ve Juan. b) Describí ahora la trayectoria de la pelota vista por Patricia (olvidate del auto y de Juan, imaginá que está todo oscuro y la pelota es luminosa ¿cómo la ve moverse Patricia?).

Velocidad hormiga persona corriendo bicicleta auto saque de tenis bala avión de pasajeros misil cohete espacial sonda espacial Tierra alrededor del Sol Sol alrededor del centro de la Vía Láctea luz en el vacío

0,03 m/s 5 m/s 15 m/s 30 m/s 70 m/s 100 m/s 250 m/s 1.500 m/s 15.000 m/s 17.000 m/s 30.000 m/s 220.000 m/s 300.000.000 m/s

Una de las características fundamentales de los movimientos es la velocidad, que relaciona el cambio de la posición y el intervalo de tiempo en que se produce. En una carrera, gana el corredor de mayor velocidad, es decir el que tarda menos tiempo en llegar desde la salida hasta la meta final. En general, la velocidad se calcula como el cociente entre el cambio de posición (desplazamiento, ∆x) y el intervalo de tiempo (∆t): v = ∆x / ∆t Por ejemplo, si un auto que se mueve en línea recta pasa de la posición x = 2 km a la posición x = 302 km en 3 horas, su velocidad en dicho tramo habrá sido: v = 302 km - 2 km / 3 h = 300/ 3 km/h = 100 km/h

7

(es natural, si recorrió 300 km en 3 horas, pensar que lo hizo a razón de 100 km por hora). Pero probablemente el auto no haya mantenido durante toda la carrera el mismo valor de velocidad. Por eso, el valor que hemos calculado se llama velocidad media del auto en ese tramo. Si quisiéramos conocer el valor de la velocidad en un determinado instante, tendríamos que considerar el desplazamiento del corredor entre el instante que nos interesa y otro instante muy próximo, y hacer el cálculo V = ∆x / ∆t. Si el ∆t es muy pequeño, tendremos una buena idea del valor de la velocidad instantánea del cuerpo en dicho instante. En el idioma que usamos cotidianamente, velocidad y rapidez son sinónimos, pero en el idioma de la Física, no significan lo mismo. La velocidad incluye más información que la rapidez: indica lo rápido que se mueve el cuerpo y además, la dirección y el sentido en que lo hace. El dato de la rapidez es siempre un número positivo, pero el de la velocidad, además contiene la información de hacia dónde se mueve el cuerpo. Si el movimiento es a lo largo de una recta, la velocidad tiene un signo (+ ó -), que es el mismo signo que el del desplazamiento. Una velocidad negativa indica que el móvil se está moviendo hacia el lado negativo del sistema de referencia. Por ejemplo, dos autos que se mueven sobre una ruta recta, en sentidos opuestos y a la misma rapidez (20 km/h, por ejemplo) NO tienen la misma velocidad porque la velocidad de uno tiene el signo opuesto a la del otro. En el lenguaje científico la velocidad implica la información de lo rápido que se mueve un cuerpo y hacia dónde se está moviendo. 9- Expresá 72 km/ h en m / s Transforma 5 m/s en km / h 10- Calculá la rapidez media de un cuerpo que: a) recorre 100 metros en 5 segundos. b) recorre 100 metros en 2 segundos. c) recorre 200 metros en 2 segundos. d) recorre 1.000 kilómetros en 12 horas. e) Ordenalas de mayor a menor. 11- El 20 de julio de 1969, el módulo lunar de la nave Apolo 11 se posó sobre la Luna. Neil Armstrong y Edwin Aldrin, astronautas estadounidenses, pudieron caminar por primera vez sobre la Luna, después de un viaje que duró 4 días y 7 horas. La Luna está a unos 384.000 km de la Tierra a) ¿Cuál fue la rapidez media del Apollo 11 en su camino? b) ¿Cómo se compara con las velocidades de otros transportes que conocés? c) En la siguiente tabla se indica la distancia de la Tierra a algunos planetas, o bien el tiempo que tomaría viajar hasta ellos en una nave similar a la Apolo 11. Completá la información (tené en cuenta que 1 año = 8.760 horas): Plan eta Mart e Júpit er

Distancia (millones de km) 78

Tiempo de vuelo (años)

20,9

8

Uran o Plutó n

94,2 5.796

d) De acuerdo con esta información, discutí con tus compañeros si consideran posible que seres humanos visiten otros planetas. ¿Qué dificultades creen que se presentarían? 12- Un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniforme ( MRU ) tiene una rapidez de 4 m /s. Calculá la distancia que recorre en 6 s. 13- Un velocista corre los 100 m planos en 10 s. Calculá su rapidez media. 14- Calculá el tiempo que demora un automóvil en recorrer 800 m , con una rapidez media de 20 m/s .

¿Lo ves o no lo ves? Hay muchos movimientos que podemos percibir tan sólo mirando un instante: la caída de una piedra, el fluir del agua de un río, el ondear de una bandera, el andar de un gato. Hay otros movimientos que sólo se perciben al transcurrir un lapso mayor, por ejemplo, el de la Luna en el cielo. De un minuto al siguiente no percibimos ningún cambio en la posición del satélite, pero si esperamos unas horas, se hace evidente que la Luna no está en el mismo lugar. Tampoco es posible percibir el movimiento de una flor cuando crece, pero lo notamos al cabo de varias horas, o cuando una filmación nos muestra su historia abreviada. Hay otros movimientos imperceptibles por su gran rapidez: nadie puede ver la luz de una lámpara viajando hacia sus ojos después que la lámpara se enciende. Tampoco es posible detectar con la vista una bala en movimiento, ni los rayos de las ruedas de las bicicletas andando. Gracias a esta limitación en nuestra capacidad para percibir los movimientos nos divierte el cine, más que un álbum de fotos. Porque una película es en realidad una sucesión muy rápida de fotografías, a razón de 25 imágenes por segundo. Con esta rapidez, nuestro cerebro no llega a distinguir una de la otra y así se crea la ilusión de movimiento continuo. También la televisión aprovecha nuestra limitada percepción. La pantalla del televisor no se ilumina al mismo tiempo en todos sus puntos. Un haz de electrones impacta en un punto de ella y lo hace brillar. Al moverse el haz, se produce brillo en otros puntos. Si fuéramos ultra sensibles, podríamos ver el movimiento del haz al formar las imágenes. La pantalla del televisor está dividida en renglones, como la hoja de un cuaderno. Una pantalla común tiene unos 600 renglones, que el haz recorre completamente unas 30 veces por segundo; esto hace unos 18.000 renglones por segundo. Si nos fuera posible percibir este movimiento, mirar televisión sería una especie de tortura.

9

15- Estimá la rapidez con que se desplaza el haz de electrones sobre una pantalla de un televisor. (si te resulta necesario, supone que el ancho de la pantalla es de unos 35 cm). 16- La figura muestra un avión que vuela entre dos ciudades A y B, separadas por 900 km. Isabel estudia su movimiento y adopta un sistema de referencia con origen en A y sentido positivo hacia B. Camila, adopta el sistema de referencia con origen en B y sentido positivo hacia A. El avión pasa a las 8:00 de la mañana por la posición 1, a 200 km de A, y a las 8:40 por la posición 2, a 450 km de B.

Determiná: a) Las posiciones de 1 y 2, medidas por Isabel y por Camila. ¿Dependen los resultados del sistema de referencia? b) El desplazamiento del avión, medido desde cada sistema de referencia ¿qué diferencia existe entre los resultados? Completá los conceptos: La posición de un punto puede --------------------, según se la mida desde uno u otro sistema de referencias. El desplazamiento entre dos puntos toma --------------------- (excepto el signo) desde todos los sistemas de referencia. c) Calculá la velocidad media del avión en el tramo 1—2 , según cada una de las observadoras. 17- Una persona estudia el movimiento de un punto luminoso sobre una pared. Para ello mide desde el borde de la pared la posición en diferentes instantes. A partir de sus datos, que se muestran en la tabla, reconstruí el movimiento del punto luminoso y respondé: a) Entre qué instantes estuvo quieto. b) ¿Retrocedió en algún momento? c) ¿Cuál fue su velocidad entre los 7 s y los 9 s? d) Entre qué instantes se movió más rápido. e) Entre qué instantes se movió con la menor rapidez. Tiemp o (s)

Posició n

Tiemp o

Posició n 10

0 1 2 3 5

(m) 0 5 18 38 50

(s) 7 9 11 13 15

(m) 50 40 30 10 30

Gráficos En la mayoría de los casos la información sobre dos magnitudes relacionadas se representa en gráficos cartesianos, una magnitud en cada eje. De esta manera es fácil darse cuenta qué es lo que sucede con una de las magnitudes cuando la otra varía. A manera de ejemplo, analizá los siguientes gráficos, extraídos de un periódico: 18-

a) ¿En qué períodos aumentaron las exportaciones? ¿en cuáles disminuyeron? b) ¿En qué períodos fue más pronunciado el aumento? ¿en qué período aumentaron menos? c) Calculá el cambio en las exportaciones correspondientes a los años 96, 97, 99, 00 y 02.

Gráfico x(t) Con la información sobre cómo cambia la posición a medida que transcurre el tiempo, se puede construir un gráfico cartesiano. Consta de dos ejes perpendiculares. En el eje horizontal se colocan, en alguna escala, los valores del tiempo, en el eje vertical, los de posición. Cuando un cuerpo se mueve, a cada valor de tiempo, corresponde un único valor de posición. En el gráfico, se forma una línea (recta o no) con todos esos puntos. Cada movimiento tiene un gráfico particular. Por ejemplo, si el cuerpo está quieto, el gráfico x(t) será una recta horizontal.

11

19- ¡Ya mismo!, ¡no esperes más!, es el momento para que queden claras las cosas. Hacé esta actividad con mucha atención.

Apoyá la punta de un lápiz sobre el camino que muestra la figura: hará las veces de auto. Movelo sobre el camino de la manera que indica el gráfico x(t) que se muestra aquí. Analizá en el gráfico cómo cambia la posición de un instante al otro y reproducí el cambio con el lápiz. Repetí el movimiento completo varias veces, de manera que consigas leer el gráfico y mover tu mano fluidamente. Cuando hayas conseguido esto y estés canchero, respondé e indicá los intervalos en los que: la velocidad es positiva la velocidad es negativa el auto se queda quieto la velocidad cambia de valor la velocidad es cada vez mayor

Cuando el gráfico está inclinado hacia arriba, se dice que tiene pendiente positiva. En esos tramos, a medida que aumenta el valor de t, el valor de la posición es cada vez más positiva, es decir, el móvil se mueve en el sentido positivo, en otras palabras, tiene velocidad positiva. Los tramos de pendiente negativa del gráfico corresponden a velocidades negativas. Además, cuanto más inclinado y vertical sea el gráfico, más rápido está yendo el móvil, porque el valor de x cambia mucho de un instante al otro. Todo esto es porque: el valor de la pendiente en un punto del gráfico x(t) es la velocidad que tiene el móvil en ese instante.

12

20- Para los fenómenos observables que se proponen a continuación, adoptar un sistema de referencia (si no está indicado), y elaborar un gráfico en función del tiempo de: a - Altura que alcanza el agua en un balde inicialmente vacío, puesto bajo una canilla abierta. b - Posición de un automóvil estacionado. c - Posición de un ascensor que parte desde el noveno piso hacia planta baja. d - Posición de una moneda arrojada hacia arriba. e - Posición de la mano de un carpintero, mientras pinta un listón. f - Posición del extremo de un cigarrillo, con respecto al otro extremo, desde que se enciende 21- Otra de las ventajas de un gráfico es que, para aquellos que tienen “buen ojo” brinda más información de la que se observa a primera vista. Mirá este ejemplo: el gráfico muestra el crecimiento típico de una población de bacterias encerradas en un tubo de ensayos. Representa el número de bacterias en función del tiempo. Indicá en qué instantes el crecimiento poblacional es máximo, y otro en que sea nulo.

22- Una persona estudia el movimiento de un auto que se mueve por un camino recto. Con las mediciones que realiza, construye el gráfico posición-tiempo que acá se muestra.

13

Indicá claramente: a) En qué instantes la posición vale cero y, al mismo tiempo, la velocidad es positiva. b) En qué intervalos la velocidad es negativa. c) En qué intervalos va cada vez más rápido. d) En qué intervalos la aceleración es negativa. e) Calculá la velocidad del auto entre t = 0 m y t = 10 m. f) Calculá la velocidad del auto entre t = 80 m y t = 90 m 23- Una persona estudia el movimiento de un auto que se mueve por un camino recto. Con las mediciones que realiza, construye el gráfico posición-tiempo que acá se muestra.

Indicá claramente: a) El signo de la velocidad en t = 0 b) En qué instantes la posición vale cero y, al mismo tiempo, la velocidad es negativa. c) En qué intervalos de tiempo la velocidad es constante. d) En qué instante o intervalos de tiempo la velocidad vale cero. e) En qué instantes se invierte el sentido del movimiento. f) En qué intervalos va cada vez más rápido. g) En qué intervalos la aceleración es negativa. h) Calculá la velocidad del auto entre t = 40 min y t = 60 min i) Calculá la aceleración entre t = 20 min y t = 35 min

Movimiento uniforme

14

El movimiento más sencillo es el de velocidad constante, también llamado movimiento uniforme. No es el que más abunda a nuestro alrededor, porque todos los cuerpos, al moverse, son frenados por el roce contra otros. Es fácil darse cuenta cuándo un movimiento es uniforme: basta analizar el gráfico x(t) que le corresponde. ¿Cómo es? Como la velocidad es la misma todo el tiempo, la pendiente del gráfico debe ser la misma para todos los valores de t, en otras palabras, el gráfico es una recta. Ejemplo: Un auto está en la posición 6 km y se mueve con velocidad constante de 20 km/h en el sentido positivo. El gráfico que muestra cómo cambia la posición a medida que pasa el tiempo es el siguiente:

Si considerás dos puntos cualesquiera de esta recta y hacés el cociente entre el desplazamiento y el intervalo entre esos dos puntos, el resultado será ∆x / ∆t = 20 km/h.

En general, el gráfico x(t) para un movimiento con velocidad constante es una recta, cuya pendiente tiene el valor de la velocidad del cuerpo, y se puede calcular muy fácilmente. Basta conocer dos puntos cualesquiera de la recta (cada punto es un valor de tiempo y otro de posición, llamémoslos (t0; x0) y (t; x)), entonces resulta: v = ∆x / ∆t v = x - x0 / t - t0

15

La relación anterior se puede escribir de otra manera: x - x0 / t - t0 = v x - x0 = v . (t - t0 ) x = x0 + v . (t - t0 ) Dicho en palabras, la posición x en el tiempo t es igual a la que tenía (x0) en t0 más la velocidad multiplicada por el tiempo que pasó. Esta igualdad (o ecuación, en un lenguaje matemático) se denomina ecuación horaria y permite, si se conoce una posición en determinado instante (t0; x0) y se conoce la velocidad, calcular la posición x en cualquier otro instante t. 24- Cucucha está enferma y mira desde su ventana a los autos que circulan por la calle. A 130 m de ella hay un kiosco. Observa que un auto se mueve con rapidez constante y demora 5 segundos en llegar desde el kiosco hasta su casa. a) Hacé un esquema donde se muestre la situación y elegí un sistema de referencia. b) Trazá el gráfico de x(t) para el auto c) Encontrá la ecuación horaria x(t) del auto y calculá en qué instantes estará a 50 m de loa casa de Cucucha. 25- Cada uno de estos gráficos corresponde a un movimiento diferente, caracterizá a cada uno. Para cada caso calculá: a) la velocidad del móvil b) la posición en que está cuando t = 8 h Representá tus resultados en el gráfico correspondiente

16

26- Los siguientes diagramas corresponden a distintos móviles, que realizan movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias para cada uno de ellos, y en qué instantes pasarán (o pasaron) por la posición tomada como origen de coordenadas.

27 - Dos participantes de una carrera de regularidad trazaron cada uno el gráfico de posición en función del tiempo de su vehículo, desde sus propios sistemas de referencia (gráficos A y B) para un tramo recto de su recorrido.

a - Escribir las ecuaciones horarias de cada vehículo, desde el sistema elegido por

17

cada participante. b - ¿Se puede decir cuál de ellos se movió a mayor velocidad? c - Hallar la posición de cada vehículo en tA= tB= 15 minutos. d- ¿Se puede afirmar que están juntos en ese instante? ¿Por qué? 28- Juan, cronómetro en mano y ubicado en un tramo rectilíneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 metros de él hay un árbol, y más lejos un cartel. En cierto instante ve que un automóvil se le acerca por la izquierda, y dispara el cronómetro cuando lo tiene a 100 metros; el auto pasa frente a él 5 segundos después. Utilizando como origen la posición de Juan, y los tiempos que indica el cronómetro: a - Hallar el vector velocidad del auto, y la indicación de su velocímetro en km/h. Escribir su ecuación horaria. b - Hallar en qué instante pasará el auto frente al árbol. c- Si cuando el cronómetro indica 10 segundos el auto pasa frente al cartel, cuántos metros hay entre éste y el árbol. d - Hacer los gráficos x(t) y v (t) indicando el paso del auto frente al árbol y al cartel. e - Con el mismo origen y sentido positivo, hacer los gráficos para otro auto que se mueve en sentido contrario con la misma rapidez, acotando los tiempos que indicará el cronómetro, hasta que llegue a 100 m a la izquierda de Juan. (Elegir en qué instante se pone en marcha el cronómetro). 29- Cada uno de los siguientes M.R.U. están representados en sus respectivos gráficos. El punto inicial de cada gráfico se denomina con los símbolos x0 y t0 Completá en cada caso, como en el ejemplo del gráfico a, con los símbolos “=”, “<” y “>” (igual, menor o mayor)

30- Respondé V o F. Justificá la respuesta.

18

a) El velocímetro indica la velocidad media. b) 1 m/s es más que 1 km/h. e) Siempre que dos cuerpos se encuentran sus vectores velocidad tienen el mismo módulo. d) 1 m/s es la misma velocidad que 1 milímetro por milisegundo. e) Siempre que dos cuerpos se encuentran, sus coordenadas de posición respecto del mismo sistema de referencia son iguales. f) Cuando la velocidad es constante, la velocidad media en un intervalo cualquiera difiere de la velocidad instantánea en un instante cualquiera. g) Si una gráfica x vs. t es una recta, entonces el movimiento es rectilíneo. h) Se recorren 300 km en tres horas, entonces durante el viaje hay necesariamente al menos un instante en que el velocímetro del auto marca 100 km/h. i) Se recorren 300 km en tres horas, entonces hay necesariamente un intervalo de 1 h en el cual se recorren 100 km.

Ejemplo: Cuando se estudia el movimiento simultáneo de varios móviles, muchas veces se quiere saber en qué condiciones se encuentran. Analizá el siguiente ejemplo y después realizá los ejercicios que están a continuación: Una moto que marcha a 24 m/s persigue a un auto que se mueve a 15 m/s. En cierto momento están a 900 m uno del otro ¿cuánto tiempo después la moto alcanza al auto? ¿cuánto recorrió cada móvil entre esos dos instantes?

Cuando dos móviles se encuentran, tienen la misma posición. Para resolver un problema como este, hay que plantear la ecuación x(t) para cada móvil y buscar el valor de t en que se cumple:

x1(t) = x2(t) Eligiendo el origen de coordenadas en el punto donde está la moto al comienzo y t= 0 en dicho instante, las ecuaciones quedan Moto : xM (t) = 24 m/s . t Auto : xA (t) = 900 m + 15 m/s . t Cuando se encuentren xM (t) = xA (t) , 24 m/s . t = 900 m + 15 m/s . t 24 m/s . t - 15 m/s . t

en este caso, esto equivale a , o bien

= 900 m

9 m/s . t = 900 m

19

t = 900 m / 9 m/s t = 100 s la moto tarda 100 s en alcanzar al auto. Para saber dónde están cuando se encuentran, basta calcular la posición de uno de ellos (la del otro es la misma en ese instante): xM (100 s) = 24 m/s . 100 s = 2.400 m xA (100 s) = 900 m + 15 m/s . 100 s = 2.400 m la posición de ambos móviles es 2.400 m, es decir, la moto recorrió 2.400 m y el auto, 1.500 m hasta que se encuentran. 31- La casa de Eustaquio se encuentra a 900 m (9 cuadras) de la casa de Diana. Caminando con velocidad constante, Eustaquio tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15 minutos. Cierto día salen ambos a las 15 h, cada uno desde su casa y dirigiéndose a la casa del otro. Determinar a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encuentran. Trazar un gráfico posición-tiempo e interpretar. - Resolver el problema anterior para otro día en que Diana sale a las 10:30 h, y Juan a las 10:35 32- Dos ciclistas con MRU en un instante dado están a 20 m de distancia. El primer ciclista tiene una rapidez de 6 m/s y el segundo ciclista, que persigue al primero, tiene una rapidez de 10 m/s. Calculá: a) el tiempo que demorará el segundo ciclista en alcanzar al primero b) la posición en que se encuentran c) la distancia que recorrerá c / u, desde aquel instante. 33- Dos proyectiles con MRU se encuentran a 600 m uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de 80 m/s y el segundo a 70 m/s. Calculá: a) el tiempo, desde ese instante, que demorarán en chocar b) la posición en que chocarán c) la distancia que recorrerá c/u. 34- Estela y Toto viajan en ómnibus por la autopista Rosario-Córdoba. Estela salió de Rosario, y Toto de Córdoba. Las velocidades de los dos autobuses pueden considerarse constantes. El gráfico muestra las posiciones de Estela (línea azul) y Toto (línea roja) en función del tiempo. Estela salió de la Rosario a las 8 de la mañana. Observá con atención el gráfico y contestá las siguientes preguntas. a) ¿A qué hora salió Toto de Córdoba? b) ¿A qué hora llegó Estela a Córdoba? c) A esa hora, ¿ya había llegado Toto a Rosario? d) ¿Cuáles son las velocidades de los dos vehículos durante el trayecto? e) ¿A qué distancia de Rosario se encuentran los dos autobuses? f) ¿A qué distancia están uno del otro a las 10 de la mañana? g) ¿Qué distancia había recorrido Toto una hora y media después de su partida?

20

35- Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir un tren que viaja con una velocidad constante de 36 km/h. ¿A qué velocidad mínima y constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque? Graficar velocidad y posición en función del tiempo, para ambos móviles.

Gráfico v(t) Para un movimiento uniforme, el gráfico que muestra el valor de la velocidad en cada instante es muy sencillo: una recta horizontal, pues a cada instante corresponde el mismo valor de velocidad. Si se consideran dos instantes y se calcula el área debajo del gráfico v(t) entre esos instantes, se puede comprobar que es exactamente el valor del desplazamiento del móvil en ese intervalo. Esto es así porque: Área = base . altura = ∆t . v = ∆x

21

36- Mirá el gráfico que aparece a continuación, ¿cómo fue el movimiento?¿cómo cambia el movimiento en t = 6 s? ¿Cuál es el ∆x en los primeros 6 segundos de movimiento? ¿y el del los últimos 6 s? ¿Cuál fue el desplazamiento total, al cabo de 12 s? Construí el gráfico x(t) correspondiente (si te sirve de ayuda, considerá x0 = 0)

37- Construí el correspondiente gráfico v(t) para cada uno de estos gráficos x(t)

Si un movimiento no es uniforme, el gráfico v(t) ya no es una recta horizontal, pues el valor de la velocidad varía con el tiempo. Pero en todos los casos sigue valiendo que:

22

el área debajo del gráfico v(t) en un intervalo (∆t) vale lo mismo que el desplazamiento (∆x) del cuerpo en ese intervalo.

¿Por qué es esto así? , la explicación es la siguiente:

Consideremos un gráfico v(t) cualquiera (la curva roja, en este caso). Se puede aproximar la curva mediante una “escalera” formada por cortos tramos de movimientos con velocidad constante, v1, v2 , v3, etc., como indica la figura. ¿Qué ventaja tiene esto? Como son tramos de movimiento uniforme, en cada uno, el área del “escalón” vale lo mismo que el desplazamiento del móvil en ese tramo. Por lo tanto, si sumamos todas las áreas de todos los rectángulos, obtendremos el valor del desplazamiento desde t1 hasta t2, tal como si la velocidad del móvil hubiese cambiado “a los saltos”, según la “escalera” verde del gráfico. Si se consideran muchísimos “escalones” de ancho ∆t infinitamente cortos, la escalera resultante se aproximará perfectamente a la curva del gráfico. Como sigue siendo una escalera, sabemos que el área vale lo mismo que el ∆x y como aproxima a la curva perfectamente, deducimos que el área debajo de la curva es el valor del ∆x real.

Movimiento acelerado Cuando te movés con velocidad constante no sentís el movimiento. Si estuvieras en un automóvil cerrado que tuviera sólo una rendija y a través de ella vieras pasar una pelota rodando, te sería imposible decir si es la pelota o si

23

es el coche en el que te encontrás lo que se mueve. En cambio, si la velocidad del automóvil cambia, lo sentís y podés asegurar que sos vos quien se mueve. Hay algunos efectos del cambio de velocidad con los que estás familiarizado: cuando vas en un ascensor y éste empieza repentinamente a subir, sentís algo en el estómago; lo mismo sucede cuando el elevador frena súbitamente. Esa sensación aparece sólo cuando la velocidad aumenta o disminuye, no se siente en el resto del trayecto del elevador, cuando la velocidad es constante.

Al cambio en la velocidad en un cierto tiempo se lo llama aceleración y al movimiento en el que la velocidad cambia, movimiento acelerado o variado.

Aceleración en movimiento rectilíneo En un movimiento rectilíneo, si el valor de la velocidad cambia, hay aceleración. Cuando un cohete despega, su aceleración es muy grande, porque el cambio de velocidad (∆v) es grande y ocurre en muy poco tiempo (∆t). La aceleración tiene una definición precisa: es el cambio de velocidad dividido por el cambio de tiempo. a = ∆v / ∆t Así, cuanto más cambia la velocidad, y en menos tiempo, mayor es la aceleración. Ejemplo: si en 7 s un auto cambia su velocidad de 20 m/s a 34 m/s, su aceleración habrá sido a = 34 m/s – 20 m/s / 7 s = 14 m/s / 7 s = 2 m/s2 Quiere decir que si el auto mantuviera esa aceleración, la velocidad seguiría aumentando, 2 m/s por cada segundo que transcurriera. ¿Qué significa una aceleración de 100 km /h2? Que la velocidad varía 100 km/h por cada hora.

Para la Física, acelerar no sólo es ir más rápido, también significa ir más lento. Cuando corrés para alcanzar a uno de tus compañeros, el vector velocidad apunta en el mismo sentido en que corrés y, si vas cada vez más rápido, en ese mismo sentido apunta el vector aceleración. En cambio, cuando un auto frena, el vector velocidad y el vector aceleración tienen sentidos opuestos; la velocidad apunta en el sentido en que el auto se mueve, mientras que la aceleración apunta en el sentido contrario. En el caso de un movimiento rectilíneo, si se calcula la aceleración (a = ∆v / ∆t), el resultado tiene un signo (el mismo signo que ∆v), pero ese signo no tiene sentido real, es sólo una convención. Aceleración positiva no quiere decir necesariamente que el móvil va cada vez más rápido. Sólo significa que la aceleración apunta en el sentido positivo del eje. Para saber si un móvil se apura o se frena, hay que considerar conjuntamente la velocidad y la aceleración:

24

un cuerpo va cada vez más rápido mientras la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido (por lo tanto, el mismo signo). un cuerpo va cada vez más despacio mientras la velocidad y la aceleración tienen sentidos (y signos) opuestos. 38- Arrojás un objeto verticalmente hacia arriba. Completá cada frase: a) Mientras sube, b) En la subida, el cuerpo se mueve cada vez más ………….., por lo tanto la aceleración tiene el ………………. a la velocidad, es decir, está dirigida hacia ……... El cuerpo llega a una altura máxima y empieza a caer. En la caída, su velocidad está dirigida hacia ………….. El cuerpo se mueve cada vez más ………….., por lo tanto la aceleración tiene el ………….. que la velocidad, es decir, está dirigida hacia ……………. Durante todo el movimiento, la aceleración está dirigida hacia ………………. 39- Considerando un movimiento cualquiera, analizar la posibilidad o no de las siguientes relaciones entre la velocidad y la aceleración en cierto instante: a - Velocidad no nula, y aceleración nula. b - Velocidad nula, y aceleración no nula. e - Velocidad y aceleración no nulas. d - Velocidad y aceleración nulas

Información técnica Todos los años muchas personas mueren en accidentes automovilísticos, provocados en la mayoría de los casos por exceso de velocidad. Por eso, los equipos científicos de las compañías fabricantes de automóviles hacen pruebas e investigaciones que les permitan mejorar los sistemas de seguridad de los autos. En estas pruebas, la medición de la aceleración cumple un papel importante. La seguridad del conductor y de los pasajeros se prueba colocando muñecos del tamaño de un conductor promedio dentro de un auto de prueba, y haciendo que el vehículo choque contra un muro. En diferentes partes del cuerpo del muñeco se colocan sensores (llamados acelerómetros) para medir cómo cambia la aceleración de cada parte del cuerpo durante la colisión. Los datos de los sensores proporcionan información sobre la probabilidad de que el conductor se lastime determinada parte del cuerpo. Por ejemplo, si el auto se mueve a 56 km/h y choca de frente contra una pared, la aceleración de la cabeza del conductor cuando golpea contra el volante alcanza un máximo de alrededor de 70 m/s2. Conocer este dato permite a los constructores de autos diseñar bolsas de aire que se desplieguen a tiempo, para atenuar el golpe. Los medidores en otras partes del cuerpo permiten implementar medidas similares para las piernas, los brazos o el tórax del conductor.

Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUV) Gráfico v(t) Si un cuerpo se mueve con aceleración constante ¿cómo es el gráfico v (t)? Para encontrar la respuesta, considerá este caso: un auto está quieto y acelera a razón de 4 m/s2. Parte cuando t = 0 con velocidad cero, y cada segundo que transcurre, la velocidad aumenta 4 m/s. Teniendo esto en cuenta, se puede construir el gráfico v(t)

25

El gráfico resulta una recta, y el valor de su inclinación es la aceleración. Esto es así para cualquier movimiento con aceleración constante: el gráfico v(t) es una recta, cuanto mayor su inclinación, más aceleración representa.

40- Un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ( MRUV ) tiene en un instante dado una rapidez de 2m/s y una aceleración de 4 m /s2. Calculá el tiempo que demorará, desde ese instante, en alcanzar la rapidez de 26 m /s. Hacé el gráfico v (t) correspondiente. 41- Un atleta tenía en un instante dado una rapidez de 4 m/s. Si a partir de ese instante y durante 2 s experimenta una aceleración constante de 3 m/s2, calculá la rapidez que alcanzó al cabo de esos 2 s. Hacé el gráfico v (t) correspondiente. 42- En un instante determinado un móvil empieza a frenar con aceleración constante de 5 m/s2. Si al cabo de 6 s alcanza una rapidez de 40 m/s ¿qué rapidez tenía en el instante inicial? Hacé el gráfico v (t) correspondiente. 43- Los gráficos muestran el movimiento de un coche chocador de la feria que se movía en línea recta. Reúnete con dos compañeros y escriban una historia sobre el movimiento del coche que coincida con cada gráfico.

26

44- Noticia imaginaria

Año 2054

Nave espacial “rebota” en el espacio Casi todos los científicos acuerdan en que ha sido un intenso campo eléctrico el responsable de que la nave Ching XII haya “rebotado” en el espacio. El campo eléctrico habría sido el responsable de la aceleración constante que frenó a la nave, y luego la hizo retroceder, cada vez más rápidamente. “Comenzamos a sentir la aceleración cuando marchábamos a unos 1.500 m/s, cerca de la Nebulosa de Beto” relató al diario Xiu- tung, masajista de a bordo. “Entonces sentimos el tirón y todos los aparatos fallaron. La sensación corporal pasó pronto, pero los aparatos sólo comenzaron a funcionar mucho después, cuando ya nos movíamos en el sentido opuesto, a unos 1.500 m/s.” Los expertos del Instituto de Investigaciones del Movimiento Acelerado, de la Universidad de Chuen-ga , aseguran que la aceleración mantuvo un valor constante de 10 m/s2, bastante menos que los 3 m/s2 con que arrancan aún hoy nuestros automóviles.

Tené presente que la aceleración no cesa en ningún momento ¿cómo es el movimiento de la nave? a) Completá el siguiente párrafo: Ni bien aparece aceleración, la nave reduce su velocidad, lo que indica que el sentido de la aceleración ……………….. de la velocidad. La nave sigue avanzando, pero cada vez más ……………… y al cabo de un tiempo, alcanza velocidad cero. Pero la aceleración sigue presente y en el mismo sentido, porque la nave comienza a ………… ……, cada vez más ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. b) Si se elige un eje con sentido positivo hacia la derecha, ¿qué signo tienen la velocidad y la aceleración en cada tramo del movimiento? c) En ese caso ¿cuál de estos dos gráficos corresponde al movimiento de la nave?

27

Cálculo del ∆x

Cuando hay aceleración, la velocidad del cuerpo cambia instante a instante, y entonces ya no vale la relación ∆x = v . ∆t , porque ahora durante cada ∆t hay muchos valores de velocidad diferentes. ¿Cómo hacer entonces, para calcular el desplazamiento ∆x correspondiente a un determinado ∆t? El gráfico v(t) nos permite hacerlo: hay que calcular el valor del área que encierra. En el caso de aceleración constante, el gráfico v(t) es una recta inclinada, y calcular el área debajo de ella en un intervalo ∆t no es complicado. Consideremos el instante t0, al que corresponde una velocidad v0 y el instante t, al que corresponde el valor v de velocidad. Tal como muestra el gráfico, el área encerrada es la del rectángulo más la del triángulo, de donde se deduce que

28

∆x = área total = área rectángulo + área triángulo ∆x = v0 . ∆t + ∆v . ∆t /2 pero como la aceleración es constante, el cambio de velocidad ∆v es, sencillamente, ∆v = a . ∆t (1) sustituyendo esta expresión en el cálculo del área, se tiene que ∆x = v0 . ∆t + (a . ∆t) . ∆t /2

∆x = v0 . ∆t + ½ a . ∆t 2 x - x0= v0 . (t- t0) + ½ a . (t- t0)2

(2)

Las relaciones (1) y (2) son las ecuaciones horarias del movimiento uniformemente acelerado. Mediante ellas, conociendo la posición (x0) y la velocidad (v0) en un determinado instante (t0) y también el valor de la aceleración (a), es posible calcular la posición (x) y la velocidad (v) en cualquier otro instante (t). Ejemplo El automóvil que acelera a razón de 4 m/s2, partiendo del reposo: a) ¿Cuánto recorre en los 5 primeros segundos? ¿con qué velocidad marcha al cabo de ese lapso? b) En qué posición está cuando t = 10 s? ¿cuánto recorrió en los últimos 5 segundos? c) ¿Por qué recorrió una mayor distancia en este segundo intervalo? Respuesta: a) Sabemos que en t = 0, es x = 0 y v = 0. Queremos saber la posición 5 segundos después. Reemplazando los datos en ∆x = v0 . ∆t + ½ a . ∆t

2

, se obtiene

X – 0 m = 0 m/s . 5 s + ½ .4 m/s2 . (5 s)2 = 50 m Es decir, recorrió 50 m en los 5 primeros segundos A los 5 segundos, la velocidad del auto ya no es cero. Podemos calcular su valor a partir de ∆v = a . ∆t, considerando los instantes t = 0 y t = 5 s, de donde v – 0 m/s = 4 m/s2. 5 s = 20 m/s es decir, en t = 5 s, el auto está en x = 50 m y se mueve con velocidad v = 20 m/s. b) Para calcular cuánto recorre entre t = 5 s y t = 10 s, podemos calcular la posición en t = 10 s X – 0 m = 0 m/s . 5 s + ½ .4 m/s2 . (10 s)2 = 200 m El auto está en t = 200 m, es decir entre t = 5 s y t = 10 s, su desplazamiento fue ∆x = 200 m – 50 m = 150 m.

29

Mediante la ecuaciones horarias (1 y 2) se pueden calcular la posición y la velocidad del auto en cualquier instante y de esta manera construir los gráficos x(t) y v(t). Como ejemplo se las calcula a intervalos de 2 s. Los resultados se muestran en la tabla junto a los gráficos.

t (s) x (m) v(m/s) 0 0 0 2 8 8 4 32 16 6 72 24 8 128 32 10 200 40

45- a) Un auto debe frenar de 100 km/h a 0 km/h en 15 segundos. ¿Cuál debe ser su aceleración? ¿Cuánto recorrerá hasta detenerse? b) Compará la aceleración de una motocicleta que acelera de 100 km/h a 120 km/h con la de una bicicleta que cambia su velocidad del reposo a 20 km/h en el mismo lapso. c) ¿Puede un auto aumentar su velocidad al tiempo que disminuye su aceleración? Explicá tu respuesta. d) Cuando se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, la altura máxima a la que llega ¿de qué depende? ¿Cómo la calcularías? 46- Una velocista en una carrera de 100 m planos, partió del reposo con una aceleración de 5 m/s2 que mantuvo durante varios minutos. a) Calculá la rapidez y la posición del móvil al cabo de 2 s de haber arrancado (t = 2 s). b) Repetí el cálculo para t = 4 s y t = 6 s. c) Calculá la distancia recorrida entre t =0 y t =2 s y la recorrida entre t = 4 s y t = 6 s. d) Representá todos los resultados en un gráfico x(t) 47- Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de 4 s alcanzó una rapidez de 20 m/s. Suponiendo que se trató de un MRUV, calculá su aceleración y la posición al cabo de esos 4 s. Hacé el gráfico x (t) correspondiente. 48- Un tren que en un instante dado marcha a 15 m/s frena con aceleración constante de 3 m/s2.Calculá: a) su rapidez al cabo de 2 s b) su posición al cabo de 2 s c) cuánto demora en detenerse

30

d) Hacé los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo 49- La siguiente tabla presenta los datos de una motocicleta que recorre un tramo de una carretera recta. t v (min (km/h ) ) 5 110 10 108 15 106 20 104 25 102 30 100 35 98 40 96 45 94 50 92 a) Construí en tu cuaderno el gráfico velocidad-tiempo que representa su movimiento. Poné atención a las unidades. ¿Qué tipo de movimiento es el de la motocicleta? ¿Cuál es su velocidad cuando han pasado 32 minutos? ¿Cuánto recorre desde t = 0 hasta t = 20?¿Cuánto tiempo tarda en recorrer los primeros 45 kilómetros? ¿Qué característica de la gráfica representa la aceleración? b) Calculá la posición de la motocicleta en los instantes indicados en la tabla y construí en tu cuaderno un gráfico de posición-tiempo, ¿Qué forma tiene el gráfico? ¿Qué característica del gráfico representa el signo de la aceleración? ¿Cuántos km recorrió al cabo de 50 minutos? Compará tus gráficos y las respuestas a las preguntas con algunos de tus compañeros. 50- Una patrulla viaja en una carretera a 110 km/h cuando la rebasa otro auto que viaja a 160 km/h. Si la patrulla acelera a 2 m/s2¿cuánto tiempo tarda el policía en alcanzar al otro auto? 51- Luis se va de paseo en auto. Arranca pisando el acelerador durante 2 minutos; la aceleración de su automóvil es de 5 mIs2. Después viaja a velocidad constante durante 15 minutos. Finalmente, los últimos tres minutos de su recorrido, Luis frena hasta detener el auto. a) Hacé los cálculos necesarios para construir una tabla velocidad-tiempo para el movimiento del auto de Luis. b) Con esos datos dibuja el gráfico velocidad -tiempo de este movimiento. c) A partir del gráfico, calculá cuánto recorre Luis en cada tramo de su movimiento. Con estos datos, construí una tabla posición - tiempo para este mismo movimiento y dibujá el gráfico correspondiente. d) ¿Cuál de estos dos gráficos es una línea recta? ¿Qué te dice este hecho? ¿Por qué el otro gráfico no es una línea recta? 52- Para que una avioneta despegue necesita alcanzar, al menos, una velocidad de 100 km/h. ¿Cuánto debe medir la pista para asegurar que la avioneta, que acelera a 1,8 m/s2, despegue?

31

53. Un movimiento responde a los siguientes datos : t0 = 0 s x0 = 7 m v0 = 4 m/s a = -2 m/s2. a) explicá el significado físico de estos datos, b) escribí las ecuaciones de este movimiento c)dibujá sobre una trayectoria inventada las posiciones en los instantes 0,1,2,3,4, y 5 s, d) describí el movimiento durante ese tiempo, e) calculá el cambio de posición entre 0 y 5 segundos, f) dibuja las gráficas x-t , v-t y a-t , g) calculá la distancia recorrida entre 0 y 5 segundos. 6. Un tren marcha a 90 km/h y frena con una aceleración de 1m/s2. Calculá: a) la rapidez del tren a los 10 s de empezar a frenar b) el tiempo que tarda en detenerse c) la distancia recorrida hasta que se para. d) Trazá los gráficos x(t) y v(t) 54- Un avión llega a la pista de aterrizaje de 1250 m con una rapidez de 100 m/s , ¿qué aceleración deberá tener para no salirse de la pista.? 55- Un automóvil A que está parado arranca con una aceleración de 1,5 m/s2 En ese instante es alcanzado por un automóvil B que circula a velocidad constante de 54 km/h en el mismo sentido. a) ¿A qué distancia del punto de partida alcanzará el móvil A al móvil B? b) ¿Qué velocidad llevará el móvil A en ese instante? 56- El conductor de un automóvil que se desplaza a 72 km /h pisa el freno, con lo cual su rapidez se reduce a 5 m/s después de recorrer 100 m, a) ¿Cuál es la aceleración del automóvil? , b) ¿Qué tiempo tardará en pararse por completo desde que empezó a frenar? ¿qué distancia total recorrió? 57. En un momento determinado dos coches se encuentran en la misma posición pero moviéndose en sentidos contrarios en una recta de una autopista. Sus velocidades son 72 km/h y 90 km/h y se mantienen constantes. a) ¿Qué distancia recorre cada uno de ellos en 2 minutos?, b) ¿qué distancia los separa en ese momento? 58. Un coche circula a 72 km/h , si frena y se para en 10 s , calcular la aceleración y el espacio recorrido hasta pararse.

Galileo y la aceleración de la gravedad Todos sabemos que al soltar un objeto, cae hacia el suelo y su velocidad aumenta progresivamente. En otras palabras, los objetos caen con aceleración hacia la Tierra. Hoy sabemos que esta aceleración se debe a la atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre los cuerpos y por eso se la llama aceleración de la gravedad. Lo llamativo es que, si se elimina el aire que los frena en su caída, todos los cuerpos tienen exactamente la misma aceleración al caer. En otras palabras, si se sueltan dos cuerpos desde la misma altura, tardan exactamente lo mismo en llegar al suelo, aunque uno sea un bloque de cemento y el otro un grano de arena. Este sorprendente hecho fue demostrado por Galileo Galilei (1564-1642), filósofo y profesor de Matemáticas que vivió en Italia, gracias a quien la Física nació verdaderamente como ciencia.

32

Uno de los méritos de Galileo fue sentar las bases para cambiar el sistema de pensamiento de su época. En el siglo XVI predominaban las ideas de la ciencia medieval, fuertemente influidas por las de la religión. Estas ideas se habían establecido en la época de Aristóteles () y de acuerdo con ellas, al dejar caer un objeto, éste alcanza una velocidad final que mantiene hasta el fin de su trayectoria. Si arrojamos una piedra y una pluma en el aire, la primera cae más rápido, con lo cual Aristóteles concluyó que el peso era el factor que determinaba la velocidad de caída. Cuánto más pesado fuera un objeto, más rápido caería: contenía mayor cantidad de "tierra" y su movimiento natural era hacia abajo. Ante la posibilidad de que dos cuerpos de diferente peso demoraran tiempos diferentes en llegar al suelo, Galileo propuso que esto se debía al efecto de la resistencia del aire y que, para entender el movimiento de caída, era necesario determinar qué sucedía cuando la caída se daba libremente, sin la resistencia del medio. ¿Por qué estudiar el movimiento de los cuerpos que caen? Galileo supo que entender el movimiento de caída libre ayudaría a comprender el movimiento observable de todos los cuerpos, sin importar si se hallaban en la Tierra o en el cielo. 59- Considerá el siguiente principio aristotélico: "Un cierto peso cae una cierta distancia en un tiempo dado; un peso mayor se mueve la misma distancia en menor tiempo. El tiempo de caída es inversamente proporcional al peso del cuerpo. Así, si un peso es el doble del otro, le llevará la mitad del tiempo realizar su movimiento." 1- Analizá y discutí con tus compañeros las predicciones que realizaría Aristóteles para el movimiento de caída de los cuerpos en las siguientes situaciones: a) Una roca de 1 kg cae desde un acantilado y, durante la caída, se rompe en dos pedazos iguales ¿se modifica la rapidez de caída? b) Los dos pedazos que están cayendo se juntan tanto que se los ve como un solo cuerpo ¿se modifica la caída después de haberse acercado? 2- Realizá tus propias predicciones y comparalas con las que se deducen del principio aristotélico que analizaste.

Galileo y sus predicciones Galileo hizo una cuidadosa descripción matemática de la caída y estableció como hipótesis que se trata de un movimiento uniformemente acelerado (con aceleración constante), y que todos los cuerpos, sin importar su masa, caen con la misma aceleración. Sin embargo, eso no le bastó; quería demostrar que sus ideas se ajustaban al comportamiento real de los objetos. El problema era que, con los instrumentos época, esto no podía probarse directamente. ¿Qué hizo? Pues se sirvió de la Matemática y dedujo de sus hipótesis otras relaciones que pudieran verificarse con el equipo que disponía. Así, propuso: si un cuerpo que cae libremente tiene, aceleración constante, entonces, una bola perfecta que rueda hacia sobre un plano inclinado liso, también tiene una aceleración constante aunque más pequeña.

33

Galileo realizó sus experimentos sobre planos inclinados que le ayudaban a retardar el movimiento y aumentar el tiempo de caída. Para medir el tiempo, utilizó el instrumento más preciso con que contaba en esa época: el reloj de agua. Sus resultados mostraron que para cualquier ángulo de inclinación del plano, el movimiento era uniformemente acelerado y concluyó que para la caída libre, cuando el ángulo es de 90°, debía suceder lo mismo. Como Galileo debía demostrar algo que aparentemente contradecía la simple observación, describió con gran detalle sus experimentos para que otros pudieran repetirlos: “ Se tomó una pieza de madera de 12 codos de largo y medio de ancho ... ; en el borde un canal de un poco más de un dedo de ancho; habiendo hecho el canal recto, suave y habiéndolo revestido con pergamino, también lo más suave y pulido como fue posible, dejamos rodar a lo largo del canal una dura bola de bronce, pulido y muy redonda. Habiendo colocado el canal de forma inclinada, elevando uno de sus extremos uno o dos codos sobre el otro, dejamos rodar la esfera... midiendo, en la forma que describiremos, el tiempo que tardaba el descenso”.

Al aplicar la Matemática para describir el movimiento de los cuerpos; hacer predicciones sobre el movimiento en general; proponer experimentos y medidas cuidadosas que le permitieran generalizar sus resultados; buscar respuestas diferentes, pero más precisas y comprobables, Galileo preparó el camino de una nueva Física. Una de las grandes contribuciones de Galileo fue la forma en la que trabajó para verificar sus ideas y resultados. Gracias a él la observación, la creatividad, el análisis matemático, la experimentación y la revisión de hipótesis a la luz de los resultados, se reconocieron como actividades importantes en el quehacer cotidiano de la ciencia.

La caída libre El movimiento que siguen los cuerpos que caen en el vacío recibe el nombre de caída libre, pues no hay ningún material que oponga resistencia a su desplazamiento. En muchos casos la resistencia que el aire opone a la caída de los cuerpos es tan pequeña que el movimiento también puede considerarse como caída libre. En este tipo de movimiento los objetos parten del reposo y adquieren velocidad al caer. Esta velocidad es mayor cuanto más tiempo dure la caída; los experimentos muestran que aumenta de manera uniforme con el tiempo transcurrido. En la superficie de la Tierra, la velocidad de un cuerpo en caída libre aumenta cerca de 10 m/s en cada segundo; más exactamente, la aceleración es de 9,8 m/s2.

34

Posición Tiempo (m) (s)

60- La fotogratía estroboscápica de esta actividad muestra el movimiento de caída de una manzana. a . Tomá como origen el centro de la manzana en contacto con la mano y medí la posición de cada imagen de la manzana con respecto a él. Registra tus resultados en una tabla junto con el tiempo que le corresponde a cada imagen (cada una se tomó 1/30 s después de la anterior y en la escala de la figura, 1 cm equivale a 0.075 m). b- Usá la información de la tabla para hacer el gráfico de posición-fiempo. Analizá tus resultados y discutilos con tus compañeros. c- De acuerdo con el gráfico, ¿qué tipo de movimiento es el de la manzana al caer? 61- Se dispara un objeto verticalmente hacia arriba, con una rapidez de 30 m/s. a) Elegí un sistema de referencia y escribí las ecuaciones horarias. Justificá los signos asignados. b) Calculá la posición y velocidad del objeto al cabo de 2 s, 4 s y 8 s de su lanzamiento. Hallar los desplazamientos entre 0 y 2 segundos; 2 s y 4 s ; 4 s y 8 s. Interpretar los resultados. c) Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida. d) Determinar en qué instante llega a la altura máxima y calcular el valor de dicha altura. e) Graficar la altura alcanzada, la velocidad y la aceleración del objeto en función del tiempo. 62- Una niña lanza una pelota hacia arriba desde la ventana de su departamento que está a una altura de 40 m sobre el suelo, con una velocidad de 10 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? c) Construí en tu cuaderno los gráficos v(t) y x(t) del movimiento. 63- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 72 km/h. Calculá: a) la máxima altura que alcanza, b) el tiempo, contado desde el lanzamiento, que tarda en volver al punto de partida c) a qué altura la velocidad se ha reducido a la mitad. 64. Se lanza una bola hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 50 m/s.

35

a) ¿Cuánto tarda en llegar al punto más alto?, b) ¿qué altura máxima alcanza? c) ¿cuánto tardará en llegar al suelo de nuevo? d) ¿Cuál será la velocidad con que llegará al suelo? 65. Se deja caer una pelota desde la azotea de un edificio, y tarda 10 s en llegar al suelo a) ¿Con qué velocidad llega al suelo la pelota?, b) ¿Cuál es la altura del edificio? c) ¿Qué posición ocupa la pelota, qué distancia ha recorrido y cuál es su velocidad a los 2 s de su lanzamiento? 66. Un objeto se lanza hacia abajo con una rapidez de 5 m/s desde una altura de 100 m ¿Con qué rapidez llegará al suelo? 67. Desde lo alto de un rascacielos de 175 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. Calcular cuánto tiempo tardará en caer y con qué velocidad llegará el suelo. Hacer los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo. 68. Razoná la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El desplazamiento se define como el número de metros que recorre un móvil en un tiempo determinado. b) Si se dejan caer al mismo tiempo una pluma y una bola de acero desde una misma altura, no llegan al suelo a la vez porque tienen diferente masa. c) La unidad de la velocidad en el Sistema Internacional es el km/h. d) Una velocidad negativa indica que el móvil está frenando

36