POLÍCIA FEDERAL Escrivão e Agente de Polícia Estatística Prof. Walter Sousa
Estatística
Professor Walter Sousa
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Edital 2018
ESTATÍSTICA: 1 Estatística descritiva e análise exploratória de dados: gráficos, diagramas, tabelas, medidas descritivas (posição, dispersão, assimetria e curtose). 2 Probabilidade. 2.1 Definições básicas e axiomas. 2.2 Probabilidade condicional e independência. 2.3 Variáveis aleatórias discretas e contínuas. 2.4 Distribuição de probabilidades. 2.5 Função de probabilidade. 2.6 Função densidade de probabilidade. 2.7 Esperança e momentos. 2.8 Distribuições especiais. 2.9 Distribuições condicionais e independência. 2.10 Transformação de variáveis. 2.11 Leis dos grandes números. 2.12 Teorema central do limite. 2.13 Amostras aleatórias. 2.14 Distribuições amostrais. 3 Inferência estatística. 3.1 Estimação pontual: métodos de estimação, propriedades dos estimadores, suficiência. 3.2 Estimação intervalar: intervalos de confiança, intervalos de credibilidade. 3.3 Testes de hipóteses: hipóteses simples e compostas, níveis de significância e potência de um teste, teste t de Student, teste qui-quadrado. 4 Análise de regressão linear. 4.1 Critérios de mínimos quadrados e de máxima verossimilhança. 4.2 Modelos de regressão linear. 4.3 Inferência sobre os parâmetros do modelo. 4.4 Análise de variância. 4.5 Análise de resíduos. 5 Técnicas de amostragem: amostragem aleatória simples, estratificada, sistemática e por conglomerados. 5.1 Tamanho amostral. BANCA: Cespe CARGO: Escrivão e Agente de Polícia
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Estatística
ESTATÍSTICA
1. Conceitos Iniciais Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos, através da obtenção de dados e consequente organização, resumo, apresentação, análise e conclusões baseadas nos dados. Há três áreas correlatas de interesse da estatística: Descrição e resumo dos dados; teoria de probabilidades; Análise e interpretação de dados amostrais. a) Estatística Descritiva: É caracterizada por um conjunto de técnicas que tem como finalidade a organização, o resumo e a simplificação das informações: descrição, coleta, organização, sumarização e apresentação dos dados, através de gráficos, tabelas e índices. b) Estatística Inferencial: É caracterizada por um conjunto de técnicas para a análise e interpretação de dados amostrais. A partir de dados amostrais, busca-se generalizar a informação para toda a população. c) Teoria de probabilidades: Conjunto de técnicas que estuda as possibilidades de ocorrências de fenômenos aleatórios, que envolvem o acaso.
1.1 População e Amostra a) População: Conjunto universo de todos os elementos (pessoas, objetos e outros), com uma característica comum, objeto de estudo. Um parâmetro é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população. b) Amostra: É qualquer subconjunto não vazio de uma população. Uma estatística (estimador) é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra.
2. Dados Estatísticos Os dados amostrais devem ser coletados de modo apropriado, através de um processo de seleção aleatória. O objetivo da estatística é, em grande parte, o uso de dados amostrais para se fazerem inferências (ou generalizações) sobre uma população inteira. Desta forma, se não forem coletados de modo apropriado, podem se tornar inúteis, ou induzir a erro o processo decisório. www.acasadoconcurseiro.com.br
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2.1 Quanto à organização: a) Dados Brutos: Dados obtidos diretamente da observação, os quais não estão numericamente organizados. b) Rol: São dados brutos numericamente organizados, de forma crescente ou decrescente.
2.2 Quanto ao tipo: a) Dados Quantitativos: Possuem características numéricas, representando contagens ou medidas. Os dados aqui serão chamados de variáveis. Podem ser classificados em: •• Discretos: São dados relativos a variáveis que podem assumir apenas determinados valores em um intervalo, obtidos em um processo de contagem. Exemplo: número de filhos. •• Contínuos: São dados relativos a variáveis que podem assumir qualquer valor em um intervalo de valores. Exemplos: altura, peso, temperatura, etc. b) Dados Qualitativos: São dados que possuem características não-numéricas, podendo ser separados em diferentes categorias. Os dados aqui serão chamados de atributos. Podem ser classificados em: •• Dados nominais: São dados categóricos, que consistem em nomes ou rótulos. Possuem característica não-numérica, logo, não podem ser ordenados (tal como do menor para o maior). Exemplos: sexo (masculino ou feminino), cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc.). •• Dados Ordinais: São dados estatísticos que estabelecem uma relação de ordem: Por exemplo, quesitos de bom, excelente ou ruim; Notas: A, B, C e D.
3. Distribuição De Frequências É uma representação tabular dos dados estatísticos, discretos ou contínuos, sendo uma forma de resumir grandes conjuntos de dados.
3.1 Tipos de Frequências a) Frequência simples absoluta A freqüência simples de um elemento é o número de vezes que o elemento figura no conjunto de dados.
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Exemplo
b) Frequência relativa ( ) É a razão entre a frequência simples da variável e o número total (n) de elementos da série.
c) Frequência acumulada crescente (Fac) É o somatório da frequência simples da variável com as frequências simples dos elementos que o antecedem.
3.2 Classe São intervalos de variação da variável. Possui limite inferior
e limite superior
Amplitude da classe (c) = Amplitude total (At): diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Ponto médio da classe:
4. Medidas de Tendência Central e Separatrizes É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal. As principais medidas de tendência central são: média, mediana, e moda. No cálculo de várias medidas estatísticas, vamos utilizar somas de um grande número de parcelas. Utilizaremos a notação Sigma ∑ para indicar somatórios.
( )
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4.1 Médias a) Média aritmética simples ( X ) Para uma sequência simples de dados, x1. x2, ..., xn, a média aritmética simples é o quociente entre a soma dos valores observados e o seu número total.
Exemplo: X = {3, 7, 6, 4}
b) Média aritmética para dados agrupados sem classes. Para uma sequência simples de dados, x1, x2, ..., xn, afetadas pelos respectivos pesos p1, p2, ... ou frequências f1, f2, ..., a média aritmética é o quociente entre a soma dos produtos dos valores da variável pelos respectivos pesos ou frequências e a soma dos pesos ou frequências.
c) Média aritmética para dados em intervalos de classe. Havendo valores agrupados em classes, calculamos os pontos médios das classes, e estes representarão os valores x1 das classes. Exemplo:
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4.2 Moda (Mo) É o valor da variável que ocorre com maior frequência simples ou relativa em uma série de valores.
a) Moda para valores não agrupados
X1 = {2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7} Mo = 3 X2 = {1, 1, 2, 2, 3, 3} Amodal (não existe moda) X3 = {2,2,3,3,5} Mo = 2 e Mo = 3 (bimodal)
b) Moda para dados agrupados sem classes É o caso mais simples, uma vez que as frequências já estão computadas na coluna de fi. Basta identificarmos o elemento de maior freqüência simples.
c) Dados agrupados em classes Devemos identificar a classe modal e aplicar o método de Czuber. Moda: método de Czuber
4.3 MEDIANA (Md) É uma medida de tendência central que divide uma série ordenada (ROL) em duas partes, de tal modo que 50% dos valores da série são menores ou iguais à mediana e 50% dos valores da série são maiores ou iguais à mediana. Assim, a mediana é uma separatriz.
a) Mediana em valores não agrupados Os dados devem estar organizados (ROL), de forma crescente ou decrescente, calculando-se da seguinte forma:
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•• Série com um número ímpar de valores (n é ímpar): O Rol admite apenas um termo central, cuja posição E, será dada por . O valor do elemento que ocupa esta posição é a mediana. •• Série com um número par de valores (n é par): O Rol admite dois termos centrais que ocupam as posições . A mediana será a média aritmética simples dos valores que ocupam essas posições centrais.
b) Dados agrupados sem classes A localização do termo central é feita com o auxílio da frequência acumulada da série. Verificase se o número de elementos da série é ímpar ou par e basta aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior. Exemplo: Determinar a mediana para a série:
Solução: O número de elementos é n = 21 (ímpar), a posição da mediana é
.
Considerando que a mediana ocupa a 11ᵃ posição, temos que Md = 6.
c) Dados agrupados em classes A mediana será calculada por interpolação. Devemos encontrar a classe que contem a mediana, na posição (E), dada sempre por , independentemente de a série ter um número ímpar ou par de termos, de modo que a mediana será calculada com auxilio da Fac:
Fantac: frequência acumulada anterior à da classe. Fmd: frequência da classe da mediana.
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5. Medidas de dispersão a) Variância É uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média. , se a sequência representa uma população. , se a sequência representa uma amostra. Para agrupados, considerar a frequência (Fi) , se a variável é representativa de uma população. Se os dados estiverem em classes, utilizar o ponto médio da classe, no lugar de . , se a variável é representativa de uma amostra.
b) Desvio padrão É a raiz quadrada positiva da variância.
6. Propriedades importantes a) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k): A sua média e o seu desvio padrão ficam multiplicados ou divididos pela constante; A sua variância fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante. b) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X): A sua média fica acrescida ou diminuída dessa constante; A sua variância e o seu desvio padrão ficam INALTERADOS. c) O coeficiente de variação(Cv) é o quociente da divisão do desvio padrão pela média.
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Questões
1. (CESPE) Em relação à estatística, julgue os itens a seguir. A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para sumarizar um conjunto de dados. ( ) Certo ( ) Errado 2. (CESPE – TCDF) Julgue os itens seguintes, relativos a estatística. (1) Por Estatística Descritiva entende-se um conjunto de ferramentas, tais como gráficos e tabelas, cujo objetivo é apresentar, de forma resumida, um conjunto de observações. ( ) Certo ( ) Errado (2) Quando aplicada em uma população de pessoas formada pelo mesmo número de homens e de mulheres, uma amostra aleatória simples também apresenta o mesmo número de homens e de mulheres. ( ) Certo ( ) Errado (3) Se x1, x2, ..., xn representa um conjunto de alturas, medidas em metros, então a variância dessas alturas é medida em metros quadrados. Para obter-se uma medida de dispersão na mesma unidade de medida das alturas originais, é usual considerar então o desvio-padrão ( ) Certo ( ) Errado 3 (CESGRANRIO) No questionário socioeconômico que faz parte integrante do ENADE há questões que abordam as seguintes informações sobre o aluno: I – Unidade da Federação em que nasceu; II – número de irmãos; III – faixa de renda mensal da família; IV – estado civil; V – horas por semana de dedicação aos estudos. São qualitativas APENAS as variáveis a) b) c) d) e)
I e III I e IV I, IV e V II, III e V I, II, IV e V
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4. (CESPE)
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição publica. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. A variável X e do tipo qualitativo nominal. ( ) Certo ( ) Errado 5. (CESPE)
A qualificação dos professores é de grande importância para a qualidade da formação dos estudantes. Considerando que a figura acima apresenta a distribuição do número de professores em uma faculdade, segundo a formação acadêmica (curso), julgue os itens A variável curso é qualitativa nominal. ( ) Certo ( ) Errado
As variáveis mostradas na tabela acima são qualitativas. ( ) Certo ( ) Errado
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6. (CESPE – PF) Com relação a estatística, julgue os itens seguintes Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou valores atípicos ou outliers). ( ) Certo ( ) Errado 7. (CESPE – STM) Diversos processos buscam reparação financeira por danos morais. A tabela seguinte mostra os valores, em reais, buscados em 10 processos — numerados de 1 a 10 — de reparação por danos morais, selecionados aleatoriamente em um tribunal.
A partir dessas informações e sabendo que os dados seguem uma distribuição normal, julgue os itens subsequentes. Se μ = estimativa pontual para a média dos valores buscados como reparação por danos morais no referido tribunal, então 3.000 < μ < 3.300. ( ) Certo ( ) Errado 8. (CESPE) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$ 500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos, masculino e feminino são de R$ 520,00 e R$ 420,00, respectivamente. Então, nessa empresa: a) b) c) d) e)
O número de homens é o dobro do número de mulheres. O número de homens é o triplo do número de mulheres. O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. O número de mulheres é o triplo do número de homens. O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
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9. (CESPE) Um levantamento estatístico foi realizado com o objetivo de produzir uma estimativa para o tempo médio diário, em minutos, gasto por jovens na Internet. A população de jovens foi dividida em dois estratos — I e II — que são compostos, respectivamente, por 2.000 e 3.000 pessoas. Uma amostra de 500 jovens foi retirada ao acaso e os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Com base nas informações do texto, é correto afirmar que a estimativa do tempo médio, em minutos, gasto pelos jovens na Internet é igual a a) b) c) d)
96. 95. 94. 93.
10. (CESPE) 2 4 8 4 8 1 2 32 12 1 5 7 5 5 3 4 24 19 4 14 Os dados mostrados acima representam uma amostra, em minutos, do tempo utilizado na armazenagem de formulários no almoxarifado central de certa instituição por diversos funcionários. Com base nesses dados, julgue os próximos itens. (1) A média da sequência de dados apresentada é superior ao dobro da moda. ( ) Certo ( ) Errado (2) A mediana é maior que o 50º percentil. ( ) Certo ( ) Errado (3) É inviável a elaboração de um histograma em decorrência do fato de ser este um conjunto de dados quantitativos discretos; dessa forma, apenas por meio de um gráfico de barras pode ser realizada a representação gráfica. ( ) Certo ( ) Errado (4) A distribuição de frequência acumulada para tempo de armazenagem observado na amostra inferior a 8 minutos é igual a 13, o que corresponde a uma frequência relativa superior a 0,60. ( ) Certo ( ) Errado
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11. (CESPE – PRF)
O gráfico acima ilustra o número de acidentes de trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Espírito Santo e Minas Gerais, no ano de 2001. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. (1) A média aritmética de acidentes de trânsito nos cinco estados citados é superior a 7.000. ( ) Certo ( ) Errado (2) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito no Acre crescesse 10%, o do Mato Grosso do Sul diminuísse 20%, o do Amazonas aumentasse 15% e os demais permanecessem inalterados, então a média aritmética da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado, em 2004, seria maior que a mediana dessa mesma série. ( ) Certo ( ) Errado (3) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito no Acre passasse para 2.500, o número de acidentes de trânsito no Espírito Santo fosse reduzido para 10.000, o de Minas Gerais fosse reduzido para 13.000 e os demais permanecessem inalterados, então o desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 2004 seria superior ao desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 2001. ( ) Certo ( ) Errado (4) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito em cada um dos estados considerados aumentasse de 150, então o desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 2004 seria superior ao desvio-padrão da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 2001. ( ) Certo ( ) Errado
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12. (CESPE)
Considerando a tabela acima, que apresenta as frequências relativas de uma variável X, relativa a uma contagem, julgue os itens a seguir. (1) A média de X é inferior a 1,5. ( ) Certo ( ) Errado (2) A moda e a mediana de X são iguais a 3. ( ) Certo ( ) Errado (3) O desvio-padrão de X é inferior a 1,5. ( ) Certo ( ) Errado (4) O coeficiente de variação de X é superior a 1.
( ) Certo ( ) Errado
13. (CESPE) Considere o seguinte conjunto de dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07}. Com base nesses dados, julgue os itens subseqüentes acerca das medidas de tendência central. A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará sendo 98,40. ( ) Certo ( ) Errado
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14. (FCC – CNMP) Analisando a quantidade diária de processos autuados em uma repartição pública, durante um período, obteve-se o seguinte gráfico em que as colunas representam o número de dias em que foram autuadas as respectivas quantidades de processos constantes no eixo horizontal.
A soma dos valores respectivos da mediana e da moda supera o valor da média aritmética (quantidade de processos autuados por dia) em a) b) c) d) e)
1,85. 0,50. 1,00. 0,85. 1,35.
15. (Cespe – Analista – TRT) De uma amostra aleatória simples de 20 trabalhadores da construção civil, foram obtidos os seguintes valores da remuneração mensal, em salários-mínimos: 1, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. (1) A remuneração média desses 20 trabalhadores é igual a 2 salários-mínimos, e o desvio padrão amostral é superior a 1 salário-mínimo. ( ) Certo ( ) Errado (2) A mediana da amostra é igual a 1 salário-mínimo. ( ) Certo ( ) Errado (3) O primeiro quartil é igual a 1 salário-mínimo. ( ) Certo ( ) Errado (4) A freqüência modal é igual ou superior a 2 salários-mínimos. ( ) Certo ( ) Errado
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16. (CESPE) Considere que uma pesquisa demográfica sobre o tamanho da amostra das famílias em um determinado bairro tenha resultado na seguinte amostra. xi: número de filhos
Fi: número de famílias com xi filhos
0
10
1
20
2
30
3
25
4
15
Acerca desses dados, julgue os itens que se seguem. (1) O número médio de filhos da amostra é igual a 2,25 ( ) Certo ( ) Errado (2) A mediana do número de filhos é igual a 2 ( ) Certo ( ) Errado (3) A moda é igual a 3. ( ) Certo ( ) Errado (4) Suponha que o estatístico tenha cometido um erro na avaliação da amostra; algumas famílias com três filhos foram, erroneamente, registradas como famílias com quatro filhos. Nesse caso, a mediana não necessita ser corrigida. ( ) Certo ( ) Errado 17 (CESPE) Os diagramas acima apresentam, esquematicamente, as distribuições dos tempos de execução, em minutos, de determinada tarefa administrativa sob três condições distintas de trabalho A, IQ B e C. O coeficiente de variação quartil, expresso por CVQ = Q + Q X 100% , em que Q1 e Q3 são respectivamente os quartis inferior e superior e IQ representa o intervalo interquartílico, e uma medida descritiva útil para a comparação dessas distribuições. Com base nessas informações, julgue os itens 3
1
(1) A média dos tempos observados sob a condição A e igual a 5 minutos. ( ) Certo ( ) Errado (2) De acordo com esses diagramas esquemáticos, o maior coeficiente de variação quartil encontra-se na distribuição A. ( ) Certo ( ) Errado
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(3) Entre as três distribuições, a distribuição C é a que exibe o maior intervalo interquartílico. ( ) Certo ( ) Errado (4) As formas dos diagramas de box-plot sugerem que as distribuições B e C possuem assimetria positiva, enquanto a distribuição A possui assimetria nula. ( ) Certo ( ) Errado (5) As distribuições B e C possuem os mesmos valores para os quartis Q1 e Q2, e o quartil superior em B corresponde ao quartil central (Q2) da distribuição A. ( ) Certo ( ) Errado (6) O diagrama de box-plot correspondente a distribuição C indica a presença de dois ou mais valores atípicos (outliers). ( ) Certo ( ) Errado 18 (CESPE)
Considerando que o histograma acima apresenta a distribuição das notas finais dos estudantes matriculados em determinada disciplina, e que fa representa a frequência absoluta, julgue os seguintes itens acerca de estatística descritiva. (1) A moda da distribuicao das notas e superior a 5,5. ( ) Certo ( ) Errado (2) A media das notas dos estudantes e superior a 4 e inferior a 5,5. ( ) Certo ( ) Errado (3) A mediana da distribuicao das notas e igual ou superior a 4. ( ) Certo ( ) Errado (4) A amplitude total da distribuicao das notas e igual a 6. ( ) Certo ( ) Errado
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(5) Nessa disciplina, o percentual de estudantes com notas inferiores a 2,5 e igual a 12,5%.
( ) Certo ( ) Errado
19. (CESGRANRIO) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.
A média das idades dessas crianças, em anos, é a) b) c) d) e)
5,0 5,2 5,4 5,6 5,8
20. (CESGRANRIO) A mediana da distribuição de frequências apresentada é (tabela questão anterior) a) b) c) d) e)
5,5 5,6 5,7 5,8 5,9
21. (Cespe) Em relação à estatística, julgue os itens a seguir. (1) A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para sumarizar um conjunto de dados. ( ) Certo ( ) Errado (2) A mediana, uma medida de tendência central, é um número que caracteriza as observações de determinada variável. Considerando-se um grupo de dados ordenados, a mediana separa a metade inferior da amostra, população ou probabilidade de distribuição, da metade superior, ou seja, metade da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e a outra metade da população terá valores superiores ou iguais à mediana. ( ) Certo ( ) Errado
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(3) Em casos de populações (n) ímpares, a mediana será o resultado da média simples de n . Para casos de populações (n) pares, a mediana será o elemento central (n+1) . 2 +1
n 2
e
2
( ) Certo ( ) Errado (4) Considere-se a população: 1, 2, 3, 10, 13. Para essa população, a mediana é 6. ( ) Certo ( ) Errado 22. (CESPE – PF) O ser humano tem impressos nos dedos das mãos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padrões conhecidos como tipos fundamentais de impressões digitais. Há raras exceções a essa regra de classificação. Por isso, essa regra é utilizada para a identificação de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivíduos, obteve a seguinte distribuição dos tipos fundamentais, segundo o gênero (homem/mulher).
No estudo desse perito, foram associados valores x, y e z para cada indivíduo, da seguinte maneira: x = 1, caso o tipo fundamental da impressão digital do indivíduo for verticilo e x = 0, caso contrário; y = 1 se o tipo fundamental da impressão digital do indivíduo for arco e y = 0, caso contrário; z = 1 se o indivíduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se três séries estatísticas, respectivamente, X, Y e Z, cada uma com duzentas observações. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. (1) A mediana de X é superior a 0,8. ( ) Certo ( ) Errado (2) A variância de Y está entre 0,10 e 0,15. ( ) Certo ( ) Errado (3) A média da soma X + Y é igual a 1. ( ) Certo ( ) Errado (4) A mediana do produto X × Z é menor que 0,025. ( ) Certo ( ) Errado
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23. (CESPE – DPF)
De acordo com um levantamento estatístico, a média das idades de um grupo de presidiários é igual a 31 anos de idade. Nesse levantamento, os presidiários foram classificados como A ou B, dependendo da sua condição psicossocial. Constatou-se que a média das idades dos presidiários classificados como A é menor que a média das idades dos presidiários classificados como B. A tabela acima apresenta algumas medidas estatísticas obtidas por meio desse levantamento. A partir das informações acima, julgue os itens que se seguem. (1) A moda das idades dos presidiários classificados como A, segundo a fórmula de Czuber, está entre 25,5 e 26 anos de idade. ( ) Certo ( ) Errado (2) O número de presidiários classificados como A é igual ao dobro do número de presidiários classificados como B. ( ) Certo ( ) Errado (3) O valor de v está entre 65 e 75 ( ) Certo ( ) Errado (4) Os valores de x e u são, respectivamente, iguais a 19 e 51 anos de idade. ( ) Certo ( ) Errado
(Cespe) Deseja-se estimar o número de eleitores por residência em certa zona rural. A população, composta por 3.000 domicílios, foi dividida geograficamente em 300 regiões, das quais 3 foram selecionadas ao acaso. Cada região possui exatamente 10 domicílios. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os ite.ns a seguir.
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(1) A mediana da região 20 é 2 e a moda é igual a 1. ( ) Certo ( ) Errado (2) A moda da região 146 é 2 e sua mediana é 4,5. ( ) Certo ( ) Errado (3) A região 230 possui menos de 30% dos domicílios com 3 ou 4 eleitores. ( ) Certo ( ) Errado (4) Considerando as três regiões selecionadas, menos de 15% dos domicílios possuem 2 ou 3 eleitores. ( ) Certo ( ) Errado (5) A variância da região 20 é superior a 1,9. ( ) Certo ( ) Errado 25. (Cesgranrio) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam.
A variância dessa amostra é a) b) c) d) e)
1,50 1,75 2,00 2,25 2,50
26. (CESGRANRIO) Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos salários e, posteriormente, ganharam um abono de 100 reais. Sobre a nova média e a nova variância de salários, em relação à média e à variância iniciais, isto é, antes dos aumentos, tem-se que a a) b) c) d) e)
média e a variância não se alteram. média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%. média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais. média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%. média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 21%.
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27. (CESPE) Nota
Freqüência
0
2
1
10
2
20
3
47
4
46
Total
125
A tabela acima apresenta a distribuição de freqüência absoluta das notas dadas por 125 usuários de um serviço público, em uma avaliação da qualidade do atendimento. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. (1) A média, a moda e a mediana dos valores apresentados na tabela são superiores a 2,8 e inferiores a 3,3. ( ) Certo ( ) Errado (2) O desvio padrão das notas apresentadas na tabela é superior a 1,1. ( ) Certo ( ) Errado 28. (CESPE) Um estudo acerca do tempo (x, em anos) de guarda de autos findos em determinada seção judiciária considerou uma amostragem aleatória estratificada. A população consiste de uma listagem de autos findos, que foi segmentada em quatro estratos, segundo a classe de cada processo (as classes foram estabelecidas por resolução de autoridade judiciária). A tabela a seguir mostra os tamanhos populacionais (N) e amostrais (n), a média amostral ( x ) e a variância amostral dos tempos (S2) correspondentes a cada estrato. No estudo em questão foi aplicada uma amostragem aleatória estratificada com alocação proporcional ao tamanho dos estratos.
(1) A fração amostral utilizada no estudo em tela foi igual ou superior a 10%. ( ) Certo ( ) Errado
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(2) A estimativa do tempo médio populacional da guarda dos autos findos é maior ou igual a 12 anos. ( ) Certo ( ) Errado (3) O erro padrão referente à estimação do tempo médio x no estrato D foi menor ou igual a 0,1. ( ) Certo ( ) Errado (4) No desenho amostral em tela há duas unidades amostrais: a primeira (unidade primária) corresponde à classe de cada processo, e a segunda (unidade secundária) refere-se a auto findo presente na listagem. ( ) Certo ( ) Errado 29. (Fisco – SP) O histograma de freqüências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:
Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à direita. Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a a) b) c) d) e)
R$ 100,00 R$ 400,00 R$ 800,00 R$ 900,00 R$ 1.000,00
30. (ESAF – AFRF – 2002-2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:
Assinale a opção correta.
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29
a) b) c) d)
No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos.
Gabarito: 1. C 2. C E C 3. B 4. E 5. E 6. E C 7. E 8. C 9. A 10. C E E C 11. C C E E 12. E E C E 13. C 14. A 15. C E C E 16. E C E C 17. C E E C C C 18. E C C E C 19. C 20. A 21. C C E E 22. E C E C 23. E C C E 24. E E E E C 25. C 26. E 27. C E 28. E E C E 29. A 30. C
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COMBINATÓRIA E PROBABILIDADES
1. Princípios de contagem a) Multiplicativo (e) – Se um evento ocorre em etapas (E1,E2,... En) sucessivas, em que x, y, ... são as possibilidades das etapas, o total de possibilidades para o acontecimento é igual ao produto das possibilidades das etapas que compõe o evento.
b) Aditivo (ou) – Se um evento ocorre em etapas excludentes (não podem ocorrer simultaneamente), o total de possibilidades é igual à soma das possibilidades das etapas que compõe o evento. Total = x + y + ...
2. Arranjo simples (AB ≠ BA) Agrupamentos sem repetições de elementos, em que a ordem de escolha é importante. An,p =
n! (leia: “Arranjo de n, p a p”) (n−p)!
3. Permutação simples. A permutação simples é um caso particular do arranjo simples, em que todos os n elementos do conjunto devem ser escolhidos (p = n).. O número total de agrupamentos é dado por:
Pn = An.n = n!
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4. Permutação circular Dispor n objetos em volta de um círculo, considerando iguais as disposições obtidas por rotação (PC)n = (n – 1)!
5. Permutação com repetição Trata-se de permutação quando entre os n elementos disponíveis houver uma quantidade de elementos repetidos. Se a, b, c, ... são as taxas de repetições, então o número de permutações distintas dos n elementos será:
6. Combinação simples (AB = BA) Agrupamentos sem repetições de elementos, em que a ordem de escolha não é importante. Forma: Cn,p =
n! (combinação de n p a p) P!(n−p)!
7. Combinação com repetição O número de combinações com repetições de n elementos tomados p a p será dado por: CRn,p = Cn+p−1,p
8. Probabilidade de um evento Para eventos discretos, é a razão entre o número de elementos de um evento, n(E), e o número de elementos do espaço amostral, n(S). , sendo que 0 ≤ P(E) ≤ 1
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a) P(E)+P(E) = 1 , onde E é o evento complementar (negação do evento). b) Probabilidade da união de eventos (A ou B)
P(A ∪B) = P(A)+P(B)−P(A ∩B)
c) Eventos independentes
P(A ∩B) = P(A)⋅P(B)
d) Probabilidade condicional:
P(A /B) =
n(A ∩B) P(A ∩B) = n(B) P(B)
e) Teorema da Probabilidade Total
Onde
são uma partição do espaço amostral.
f) Teorema de Bayes
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Questões
1. (CESPE) Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa.
Com relação aos dados do texto, julgue os seguintes itens. (1) Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0,50. ( ) Certo ( ) Errado (2) Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. ( ) Certo ( ) Errado (3) Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A ∩ B), será igual a P(A)×P(B) = 0,05. ( ) Certo ( ) Errado (4) Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade condicional será P(B / C) =
P(B∩ C) = 0,1 P(C)
( ) Certo ( ) Errado (5) Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois P(B ∩ D) = 0 . ( ) Certo ( ) Errado
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2. (CESPE) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. ( ) Certo ( ) Errado 3. (Cespe – PRF) A tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito, ocorridos em quatro estados brasileiros.
A fim de fazer um estudo de caso, a PRF elaborou 1.403 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima. Com base nessas informações julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido entre os citados acima. (1) A probabilidade de que um relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. ( ) Certo ( ) Errado (2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. ( ) Certo ( ) Errado (3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. ( ) Certo ( ) Errado (4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de que o acidente não ocorreu no estado do Paraná, a probabilidade que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Maranhão é superior a 0,27. ( ) Certo ( ) Errado (5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região sul do Brasil listado na tabela é inferior a 70%. ( ) Certo ( ) Errado
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4. (CESPE) De acordo com as probabilidades condicionais e as distribuições de probabilidades, julgue os itens subsecutivos. (1) A probabilidade de uma empregada doméstica ter carteira assinada e receber valetransporte não pode ser superior a probabilidade de ela receber vale-transporte. ( ) Certo ( ) Errado (2) Todos os eventos independentes são disjuntos. ( ) Certo ( ) Errado (3) A formula de Bayes P(A /B) = condicional.
P(B / A)⋅P(A) é consequência da definição de probabilidade P(B)
( ) Certo ( ) Errado (4) Considerem os eventos A e B, tais que k > 3.
1
. Nesse caso, se P(B) = 3 , então
( ) Certo ( ) Errado (5) Se A e B forem eventos tais que P(A) = 0,15 e P(B) = 0,30, então P(A|B) > 1/2. ( ) Certo ( ) Errado (6) Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A) = 1 – P(B). ( ) Certo ( ) Errado 5. (CESGRANRIO) Um grupo de analistas financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte característica: X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide corretamente em metade das vezes. Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma decisão correta é: a) b) c) d) e)
0,16 0,64 0,48 0,32 0,80
6. (CESPE) Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes.
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Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 . ( ) Certo ( ) Errado 7. (CESPE) Considerando que A e B sejam eventos aleatórios definidos em um mesmo espaço de probabilidade e que P(A) = 0,5, P(A|B) = 0,5 e P(B|A) = 0,25, julgue os itens seguintes. (1) P(A ∪B) ≥ 0,7 ( ) Certo ( ) Errado (2) P(B) = 0,25 ( ) Certo ( ) Errado 8. (CESPE) Seja (Ω,А,P) um espaço de probabilidade, em que Ω é um conjunto (não vazio) que denota o espaço amostral, A é uma classe de subconjuntos de Ω e P representa uma medida de probabilidade. Considerando que os eventos aleatórios B ∈A e C ∈A sejam independentes e que P(B) = 0,4 e P(C) = 0,6, julgue os itens subsequentes. (1) ( ) Certo ( ) Errado (2) Como
, é correto concluir que B ⊂ C , ou seja, o evento B implica C.
( ) Certo ( ) Errado (3) Os eventos B e C são uma partição do espaço amostral Ω, pois P(B∪ C) = 1 . ( ) Certo ( ) Errado (4) Sabendo-se que , é correto concluir que C representa o evento “não B”, de modo que C é o complementar do evento B relativamente ao espaço amostral Ω ( ) Certo ( ) Errado 9. (CESPE) Em determinado tribunal, a probabilidade de extinção de um processo judicial com julgamento de mérito é P(A ∩B) = 0,05 , e a probabilidade de extinção de um processo judicial sem julgamento de mérito é P(A ∩B) = 0,15 , em que os eventos A e B e são eventos mutuamente excludentes e denotam, respectivamente, os eventos complementares dos eventos A e B. Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
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(1) P(B) = 0,25 ( ) Certo ( ) Errado (2) P(A /B) > 0,80 ( ) Certo ( ) Errado (3) P(A ∪B) > P(A) ( ) Certo ( ) Errado 10. (CESPE) Com o objetivo de avaliar as razões para o baixo consumo de energia dos habitantes de determinada cidade, uma pesquisa revelou que 22% de suas residências têm máquina de lavar roupas, 17% têm computador e 8% têm máquina de lavar e computador. Com base nessas informações, a probabilidade de uma casa, selecionada aleatoriamente nessa cidade, não ter máquina de lavar nem computador é igual a a) b) c) d) e)
82%. 31%. 47%. 69%. 75%.
11. (CESPE) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens (1) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. ( ) Certo ( ) Errado (2) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. ( ) Certo ( ) Errado (3) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. ( ) Certo ( ) Errado
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12. (CESGRANRIO) Dois eventos independentes A e B são tais que P(A) = 2p, P(B) = 3p e P(AUB) = 4p com p > 0. A probabilidade de que os eventos A e B ocorram concomitantemente é dada por a) b) c) d) e)
0 1/6 1/4 1/3 1/2
13. (FGV) Duas das principais rubricas de despesas pela administração pública dizem respeito à aquisição de bens (AB) e à prestação de serviços (PS), sendo que, quando consideradas em conjunto, 80% são aquisições e 20% prestações. Adicionalmente, sabe-se que há superfaturamento (SF) em 1/4 das aquisições, mas que nas prestações a probabilidade de que tal ocorra é duas vezes maior. Se um órgão de fiscalização resolve selecionar ao acaso uma despesa e constata a existência de superfaturamento, a probabilidade de que o contrato seja de aquisição é de: a) b) c) d) e)
2/3 3/4 1/5 3/8 2/7
14. A caixa I contém 2 fichas vermelhas e 3 fichas azuis, e a caixa II contém 3 fichas vermelhas e 7 fichas azuis. Joga-se uma moeda. Se a moeda der cara, extrai-se ao acaso uma ficha da caixa I; se der coroa, extrai-se ao acaso uma ficha da caixa II. Suponha-se que não se conheça o resultado da jogada da moeda (e, consequentemente, não se saiba de qual caixa a ficha será retirada). Determine: a) a probabilidade de ser extraída uma ficha vermelha. ( ) Certo ( ) Errado b) Sabendo-se que foi extraída uma ficha vermelha, qual é a probabilidade de a ficha vermelha ter sido extraída da caixa I? ( ) Certo ( ) Errado 15. (ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X ∈N/1 ≤ X ≤ 3} ; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈N/1 ≤ Y ≤ 4} , onde N representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a
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a) b) c) d) e)
7/18. 1/2. 2/7. 1/27. 2/9.
Gabarito: 1. C C E E E 2. E 3. C E E C E 4. C E C E E E 5. E 6. C 7. E C 8. C E E E 9. E C C 10. D 11. C E C 12. B 13. A 14. a) 7/20 b) 4/7 15. A
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DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS
1. Variável aleatória É uma função X que associa um número real x a cada resultado do espaço amostral S do experimento aleatório. É, portanto, uma variável estatística que pode ser associada a uma distribuição de probabilidades. Exemplos: X: Quantidade de caras que podem ser obtidas no lançamento de duas moedas. (Variável discreta). Y: A temperatura no centro de Brasília amanhã. (Variável contínua).
1.1 Variável unidimensional discreta É uma variável aleatória que só pode assumir um número finito de valores ou infinito numerável. Usualmente são números racionais obtidos num processo de contagem. Para cada valor x que a variável aleatória pode assumir, será atribuído um número real P (x), que indica a probabilidade de a variável assumir o valor x. Indicaremos P(X = x) = P (x), tal que: ••
0 ≤ P(x) ≤ 1
••
∑P(x) = 1
As probabilidades P (x) para todos os valores x que a variável X pode assumir formam a função de probabilidade da variável aleatória X. Exemplo: Seja X a variável aleatória que indica a quantidade de caras que pode ser obtida no lançamento de duas moedas. Determine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral do experimento aleatório é S = {(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} , onde c = cara e k = coroa. Assim X = {0, 1, 2}. Teremos a seguinte função de probabilidade:
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a) Valor Esperado da variável discreta O valor esperado (esperança, expectância ou média) de uma variável aleatória discreta X, representado por E (x), é definido como
Cálculo Passo1: multiplicamos cada valor da variável pela respectiva probabilidade. Passo 2. soma-se todos os resultados obtidos. Propriedades: Considere X e Y variáveis aleatórias e K uma constante qualquer. P1) Se multiplicarmos uma variável aleatória por K, a sua esperança fica multiplicada por k. E(k ⋅x) = k ⋅E(x) . P2) A esperança da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das esperanças. E(X + y) = E(x)+E(y) . P3) Se X e Y são variáveis independentes, então E(X ⋅y) = E(x)⋅E(y) . Observação: A recíproca não é necessariamente verdadeira. Se variáveis X e Y podem ser dependentes ou independentes.
, as
P4) Se adicionarmos uma constante a todos os valores da variável aleatória, a esperança ficará adicionada de k unidades. E(X +K) = E(X)+K
b) Variância e Desvio-Padrão da variável A variância da variável aleatória X, representada por V(x) é dada por V(x) = E(x2 )−[E(x)]2 Variância é: Esperança dos quadrados menos o quadrado da esperança. O desvio-padrão da variável aleatória é igual à raiz quadrada positiva da variância V (x). Propriedades da Variância: Considere X e Y variáveis aleatórias e K uma constante qualquer. P1) Se multiplicarmos uma variável aleatória por K, a variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante. V(k ⋅x) = k2 ⋅V(x) . P2) Se adicionarmos uma constante a todos os valores da variável aleatória, a variância não se altera V(X +K) = V(X) . www.acasadoconcurseiro.com.br
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P3) Variância da Soma e da Diferença . . Covariância:
é a covariância (variância conjunta) entre X e Y, dada por .
Observações •• É válida a seguinte relação da covariância: •• Se X e Y são independentes, Cov (X, Y) = O. mas Se Cov (X, Y) = 0, X e Y podem ser dependentes ou independentes.
2. Distribuição de Bernoulli e Binomial A distribuição de Bernoulli caracteriza experimentos que são realizados uma única vez e apresentam apenas dois resultados excludentes, que chamamos sucesso e fracasso. Se p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso, então p + q = 1, ou seja q = 1 – p. Associamos uma variável aleatória X aos dois resultados: X = 1, se for “sucesso” e X = 0, se for “fracasso”. Portanto, é uma distribuição discreta de probabilidade.
a) Distribuição de Binomial Ao repetirmos experimentos de Bernoulli n vezes, a probabilidade de se obter k sucessos é dada por
Se X~bin (n,p), então E(x) = n⋅p
3. Distribuição de POISSON É uma distribuição discreta, indicamos , onde λ é a intensidade da distribuição, ou seja, o valor esperado (média) de observações e está relacionada a espaço e tempo (ex: defeitos por cm2 , número de clientes por hora que chegam a uma loja, número de chamadas telefónicas numa central PABX, por hora. Ocorre, aqui, o princípio da proporcionalidade, isto é, a frequência média de ocorrências do evento de interesse deve ser proporcional ao intervalo de tempo considerado (ex, se a média é de 2 chamadas por minuto, será 4 a cada dois minutos, etc...)
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•• A probabilidade de ocorrência é a mesma em todo o campo de observação; •• O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo. e− λ ⋅(λ)k •• A probabilidade de P X = k = , onde e = 2,718 é a base dos logaritmos naturais. k!
(
)
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Questões
1. (CESPE)
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição publica. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. (1) A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. ( ) Certo ( ) Errado (2) A variável X é do tipo qualitativo nominal. ( ) Certo ( ) Errado (3) A moda da variável X é igual a 2. ( ) Certo ( ) Errado (4) A variância de X é inferior a 2,5. ( ) Certo ( ) Errado 2. (CESGRANRIO – BACEN) Sobre variáveis aleatórias, considere as afirmações a seguir. I – Para toda e qualquer variável aleatória, sua função de densidade de probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória considerada, exceto no caso de variáveis aleatórias contínuas, para as quais a probabilidade de ocorrência de um valor específico é zero. II – A esperança matemática (expectância) de uma variável aleatória discreta, ou seja, seu valor esperado, é a média dessa variável aleatória, que é definida como um n-avos do somatório dos valores possíveis dessa variável multiplicados por suas respectivas probabilidades. III – A distribuição binomial é uma extensão direta da Distribuição de Bernoulli, uma vez que o experimento aleatório que caracteriza a binomial nada mais é do que um Experimento de Bernoulli repetido n vezes.
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É correto APENAS o que se afirma em a) b) c) d) e)
II. III. I e II. I e III. II e III.
3. Encontre o valor esperado (expectância ou média) das distribuições abaixo. a) Uma loja compilou os seguintes dados sobre a venda de refrigeradores Número vendido(xi)
Frequência relativa P(x)
0
0,20
1
0,30
2
0,30
3
0,15
4
0,05
total
1,0
b) Um empreiteiro faz as seguintes estimativas Prazo de execução(dias)
probabilidade
10
0,30
15
0,20
22
0,50
4. (CESPE) Um programa de controle de qualidade foi implementado em uma agência bancária. A cada 10 clientes que entram na fila para solicitar um certo tipo de serviço S, um atendente entrega um pequeno questionário, que deve ser preenchido pelo cliente e devolvido ao caixa do banco. Um dos quesitos monitorados diariamente é a proporção de clientes que estão satisfeitos com o atendimento de um modo geral. Em determinada semana, foram observados os resultados mostrados na tabela a seguir.
Com base nesses dados, julgue o item que se segue.
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A estimativa da proporção média de clientes satisfeitos com o atendimento de um modo geral ao longo dessa semana é superior a 0,8. ( ) Certo ( ) Errado 5. (AFRF – ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X:
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: a) b) c) d) e)
ηx = −0,5 e σ 2X = 3,45 ηx = 0,5 e σ 2X = −3,45 ηx = 0 e σ 2X = 1 ηx = −0,5 e σ 2X = 3,7 ηx = 0,5 e σ 2X = 3,7
6. (CESGRANRIO) O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, com função de probabilidade dada a seguir. O retorno esperado é:
a) b) c) d) e)
– 0,5% 0,5% 1,5% 5% 7,5%
7. Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:
A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a
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a) b) c) d) e)
87,5%. 80,0%. 75,0%. 60,0%. 50,0%.
8. (ESAF – MPU) O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. a) b) c) d) e)
R$ 7,90 R$ 8,00 R$ 7,00 R$ 9,00 R$ 8,50
9. (FCC – TRF4) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades.
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de a) b) c) d) e)
10%. 12%. 15%. 18%. 20%.
10. (FCC – TCE – MG) O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:
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Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido inferior a 4 é a) b) c) d) e)
70,0% 75,0% 80,0% 87,5% 90,0%
11. (ESAF) Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir um lucro de R$ 20.000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15.000,00. O valor esperado do retorno do investimento, em reais, é a) b) c) d) e)
3.500,00 4.000,00 4.500,00 5.000,00 5.500,00
12. (ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores que ela paga à Suzana) é igual a a) b) c) d) e)
1,5. – 0,75. 0,75. – 1,5. 2,5.
13. (CESGRANRIO) Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que a) b) c) d) e)
E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) Var(X + 5) = Var(X) + 5 Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y)
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14. Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que: a) b) c) d) e)
apenas I está correta. apenas II está correta. apenas III está correta. apenas I e II estão corretas. apenas II e III estão corretas.
15. Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = – 1, então var(2X – Y) é igual a: a) b) c) d) e)
10 12 18 22 24
16. Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: a) b) c) d) e)
0,104. 0,040. 0,096. 0,008. 0,200
17. (CESGRANRIO – BB – 2015) Em uma determinada agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é de 80%. Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16 h, qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais de 15 min na fila? a) b) c) d) e)
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0,64% 2,56% 30,72% 6,67% 10,24%
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18. (ESAF) Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contábil grave em uma auditoria seja 0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas, assinale a opção que dá a probabilidade de que não mais do que uma detecte erro contábil grave. a) b) c) d) e)
2,8× 4 / 5 0,400 0,210 2,8 × (4/5)10 2,8 × (4/5)9
19. (ESAF – AFRF) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: a) b) c) d) e)
80 % e 20 % 30 % e 70 % 60 % e 40 % 20 % e 80 % 25 % e 75 %
20. (CESPE) Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, X4 tenha sido retirada de uma distribuição X cuja função de probabilidade é definida como sendo p o parâmetro desconhecido, e que os valores bservados na amostra tenham sido 0, 4, 6 e 2, julgue o item a seguir. A estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional é igual a 2,1. ( ) Certo ( ) Errado 21. (CESPE) O número de acidentes de trabalho em determinada obra pública no mês k segue uma distribuição de Poisson Wk com média igual a 1 acidente por mês. Considerando uma amostra aleatória simples W1,W2,... ,Wn, julgue o item a seguir, acerca da soma Sn = W1 + W2 + ... + Wn. O total de acidentes Sn segue distribuição de Poisson com média igual a n. ( ) Certo ( ) Errado
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22. (CESPE) Para orientar os investimentos em educação em certo município, um analista foi contratado para criar um ranking das escolas públicas desse município. Para cada escola, as variáveis disponíveis são a quantidade de turmas, a quantidade de alunos, a quantidade de professores, a nota da Prova Brasil e a área do terreno. A partir dessa situação, julgue os itens subsequentes. Suponha que a distribuição da quantidade de turmas por escola siga uma distribuição de Poisson. Nessa situação, o modelo que descreve essa distribuição pode ser escrito como , em que k > 0 e λ > 0 representa a média de turmas por escola. ( ) Certo ( ) Errado 23. (ESAF – AFRF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a: a) 32 e−4 73 b) 3 e4 71 c) 71 e−4 3 d) 71 e−2 3 e)
32 −2 e 3
24. O número de falhas de certo tipo de placa térmica tem distribuição de Poisson, com taxa média de 0,1 defeitos por m2. Na confecção da superfície de um armário, é necessário cobrir uma superfície de 2m por 2m com essa placa. A probabilidade de que haja pelo menos uma falha nessa superfície é de: a) b) c) d) e)
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e −0 ,1 1 − e−0,1 1 − e−0,4 e −0,4 1 −1, 4e−0,4
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25. (ESAF – TCE-ES) Sabe-se de experiência anterior que num processo de auditoria contábil o número de discrepâncias entre valores registrados e auditados tem distribuição de Poisson com média 1. Seja e a base do sistema de logaritmo neperiano. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que num determinado processo de auditoria ocorra no mínimo uma discrepância entre os valores registrados e auditados. a) b) c) d) e)
1/e 1 – 1/e (1/e)(1 – 1/e) 5,0% 3,8%
26. O número de pacientes atendidos por um clínico geral segue uma distribuição de Poisson com taxa de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clínico geral em um período de 15 minutos é: a) b) c) d) e)
1− e−1 1− e−4 e−4 e4 e−1
27. Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período. Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo e o número neperiano. a) b) c) d) e)
0,776 0,667 0,500 0,577 1,000
Gabarito: 1. E E E E C 2. D 3. a) 1,55 b) 17 4. E 5. A 6. C 7. C 8. A 9. C 10. D 11. A 12. D 13. B 14. B 15. D 16. A 17. B 18. E 19. D 20. C 21. C 22. E 23. C 24. C 25. B 26. A 27. D
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DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS
1. Variável unidimensional Contínua Uma variável aleatória X é contínua se assumir um número infinito não numerável de valores. Assim, fica definida uma função, denotada por f(x), e denominada função densidade de probabilidade da variável, representando, fisicamente, a curva das probabilidades de todos os infinitos valores de X a qual deve satisfazer às seguintes condições: a) f(x) ≥ 0 , para todo x. b b) P(a ≤ x ≤ b) = ∫ a f(x)dx , representando, fisicamente, a área abaixo de f(x) no intervalo [a,b]. Por ser área, é indiferente que o intervalo seja aberto ou fechado nos extremos.
c) ∫ x f(x)dx = 1 , ou seja, a área abaixo de f(x), em todo intervalo de validação da variável aleatória X, deve ser igual a 1.
1.1 Distribuição Normal A distribuição normal (ou Gaussiana) é uma das mais importantes distribuições de probabilidade para variáveis contínuas. Sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) =
1 σ 2π
⋅e
1 ⎛ x−µ ⎞ − i⎜ 2 ⎝ σ ⎟⎠
2
2 Notação empregada: X ~ N (µ,σ ) , sendo µ a média e σ 2 a variância.
Características a) O gráfico de f(x) é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média µ e assintótica (não intersecta o eixo X). Recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
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b) A área total sob a curva é 100% c)
Distribuição Normal Padronizada (Z) 2 A partir da normal X ~ N (µ,σ ) é possível obtermos uma forma padronizada, transformando a variável aleatória X em uma variável Z ~ N (0, 1), com média 0 e variância 1. Basta aplicar a transformação
Z é o número de desvios padrões (σ) a contar da média (µ) e x é um valor arbitrário. Desta forma, a variável Z (escore reduzido) possui probabilidades tabeladas, que podem ser empregadas para calcular probabilidades associadas à variável normal X.
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Questões
1. (CESPE) Considere que o tempo de espera por atendimento X em certo local siga uma distribuição normal com média igual a 15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta acerca de probabilidades. a) b) c) d) e)
P( X = 15 minutos) > 0,45. P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos). P(X > 15 minutos) < 0,48. P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos). P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).
2. (CESGRANRIO – 2011 – Petrobrás Químico) Suponha que a temperatura de destilação de um determinado derivado do petróleo não possa ultrapassar 300oC. Três colunas de destilação, C1, C2 e C3, operam segundo uma distribuição normal com parâmetros apresentados na tabela a seguir.
Sabendo-se que p1, p2 e p3 são as probabilidades de cada uma das colunas C1, C2 e C3, respectivamente, ultrapassar o limite máximo, conclui-se que a) b) c) d) e)
p1 > p3 > p2 p2 > p1 > p3 p2 > p3 > p1 p3 > p1 > p2 p3 > p2 > p1
3. (CESPE – DPF) Com relação a estatística, julgue os itens seguintes. Suponha que as larguras dos polegares humanos sigam uma distribuição normal com média igual a 2 cm e variância V > 0. Nesse caso, se a probabilidade de se observar um polegar com mais de 2,54 cm de largura for igual a 0,025, então V será inferior a 0,35. ( ) Certo ( ) Errado
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4. (CESPE – BACEN) Com relação às medidas estatísticas de dispersão e à distribuição normal, julgue os itens que se seguem. (1) Considere que determinado fornecedor oferece um produto ao preço de $ 40. Nesse contexto, sabendo-se que o preço médio do mercado é $ 30 e supondo-se que os preços de mercado apresentem uma distribuição normal de probabilidade e que a quantidade padronizada (z) seja igual a 1,22, o desvio padrão dos preços é superior a $ 8. ( ) Certo ( ) Errado (2) Numa curva normal, há coincidência entre os valores da média e da mediana, mas não da moda da distribuição. ( ) Certo ( ) Errado 5. (CESPE – TCU) Considerando duas variáveis aleatórias independentes X e Y que seguem distribuições normal padrão, julgue o próximo item. A diferença X – Y segue uma distribuição normal cuja variância é igual ou inferior a 1. ( ) Certo ( ) Errado 6. Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5, aproximadamente, vale: a) b) c) d) e)
0,25 0,28 0,33 0,37 0,46
7. (FCC) Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é
a) b) c) d) e)
60
87% 89% 92% 96% 98%
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8. (CESGRANRIO) O gasto médio dos clientes de um posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média R$ 100,00 e desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar nesse posto de gasolina, em reais, para obter tratamento VIP? a) b) c) d) e)
158,00 149,00 141,00 132,00 128,00
9. (ESAF – AFPS) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. a) b) c) d) e)
3,3490 0,6745 2,6745 2,3373 2,7500
10. (CESPE) Em um estudo, determinou-se que a medida representada pela variável aleatória X segue a distribuição normal com media 1 e variância 4 e que a função de densidade dessa variável é expressa por
⎡ (x −1)2 ⎤ f(x) = exp ⎢ − ⎥ 8 ⎦ 2 2π ⎣ 1
em que x e um número real. Com base nos dados desse estudo, julgue os itens a seguir, considerando que Φ(0,674) = 0,750, Φ(2,0) = 0,977 e Φ(3,0) = 0,999, em que Φ(z) representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão. (1) O valor esperado da variável aleatória H = X2 = 2X + 1 é igual a 4. ( ) Certo ( ) Errado (2) E correto afirmar que P(|X| < 5) = 0,954. ( ) Certo ( ) Errado (3) A probabilidade de se observar o evento [X = 1] e igual a ( ) Certo ( ) Errado
1 2 2π
.
(4) O terceiro quartil da distribuição X e igual a 2,348. ( ) Certo ( ) Errado
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11. (ESAF – AFRF) O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio- padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 ─ ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão ─ é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamentoicar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a a) b) c) d) e)
2,28; 95,44. 52,28; 95,44. 2,28; 98,69. 98,69; 95,44. 98,65; 2,28.
12. (Esaf – Auditor fiscal) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40 g. Uma peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso dessa bola. a) b) c) d) e)
– 50 0,05 50 – 0,05 0,02
13. (ESAF – AFRF) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio-padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas. A tabela abaixo dá os valores de P{0 < X < Z} quando X tem distribuição normal padrão para valores selecionados de Z. Por exemplo, P{0 < X < 1,56} = 0,4406.
a) b) c) d) e)
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50,00% 05,56% 43,32% 02,28% 47,72%
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14. (Analista CVM – ESAF) Uma pessoa está indecisa se compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preço da casa em um ano tenha distribuição normal com média de 8% e desvio-padrão de 10%. Se o preço aumentar mais de 25% a pessoa não terá dinheiro para adquirir o imóvel. Por outro lado, se o preço da casa cair, a pessoa sairá lucrando. Assinale a opção que dá as probabilidades de ocorrência de cada um desses eventos, respectivamente. Nos cálculos use a tabela dos valores das probabilidades P(Z > z) para a distribuição normal padrão dada a seguir.
a) b) c) d) e)
4,5% e 10,4% 6,7% e 24,2% 4,5% e 24,2% 2,9% e 18,4% 4,5% e 21,2%
Gabarito: 1. B 2. C 3. C 4. C E 5. E 6. D 7. A 8. D 9. A 10. C E E C 11. A 12. C 13. D 14. E
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