Aplicacion 1.2

En un laboratorio donde se estudia el crecimiento y desarrollo de la bacteria Salmonella se hace un cultivo donde se observa que la cantidad de bacterias crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se toma nota de que hay 400 individuos. Pasadas diez horas hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad de bacterias que se colocó inicialmente? Sea: x : cantidad de bacterias en el tiempo t. t : tiempo en horas. Xo : cantidad inicial de bacterias. Tenemos que:

K>0 : constante de proporcionalidad Las Bacterias presentes es proporcional a la rapidez con la que aumenta el #de bacterias por lo tanto:

Para quitar esa proporcionalidad es necesario agregar una constante del lado derecho y tenemos que: ↔ Como tenemos una ecuación de la forma y´ + P(x)y = Q (x), el factor integrante de la ecuación anterior es:

Donde P(x) = -K por lo tanto el factor integrante queda de la siguiente manera: Si lo multiplicamos por toda la ecuación nos queda: ↔ Ahora integramos la ecuación anterior y nos queda que: ↔ esta es la familia de soluciones para cualquier número de bacterias en determinado tiempo. Ahora tenemos que la cantidad inicial de bacterias (en t=0): xo = x (t) = x(0)

xo = c por lo tanto podemos decir que:

ahora determinaremos la constante de proporcionalidad K: al cabo de tres horas hay 400 bacterias: t=3 x = 400

Si aplicamos Ln en ambos lados de la ecuación:

Ahora despejamos K:

Al cabo de diez horas hay 2000 bacterias: t= 10 x=2000 realizamos el mismo proceso anterior y tenemos que:

Igualamos las ecuaciones anteriores:

Aplicamos exponencial en ambos lados:

Despejamos xo para obtener la cantidad de bacterias inicial: ↔

El número de bacterias que se colocó inicialmente es de aproximadamente 201.

Bibliografía: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de modelado Dennis Zill | Editorial International Thomson | 6ta. Edicion | Octubre 1997