Anneauxcorps-2016.pdf

Lycée Pierre de Fermat MPSI 1

2015/2016 TD

Structures algébriques Anneaux et corps 1

Compléments d’arithmétique. Application du petit théorème de Fermat

⊲ Exercice 1.1. Soient p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que pq−1 + q p−1 ≡ 1 [pq] . ⊲ Exercice 1.2. 1. Montrer que ∀n ∈ N, n7 ≡ n [42]. 2. Que cela signifie-t-il pour l’application f :

2

Z/42Z → Z/42Z ? x 7→ x7

Anneaux

⊲ Exercice 2.1. Anneau des entiers de Gauss. – Montrer que Z[i] = {a + ib ∈ C | (a, b) ∈ Z2 } est un sous-anneau de (C, +, ×). – Déterminer le groupe (Z[i]× , ×). On pourra au préalable justifier que a + ib ∈ Z[i]× ⇐⇒ a2 + b2 = 1. ⊲ Exercice 2.2.

√ √ 1. Montrer que Z[ 2] = {a + b 2 ∈ R | (a, b) ∈ Z2 } est un sous-anneau de (R, +, ×). √ √ √ 2. Déterminer les morphismes d’anneaux de Z[ 2] dans Z[ 2]. On cherchera les images possibles de 2.  A −→ A ⊲ Exercice 2.3. Soit (A, +, ×) un anneau unitaire. On suppose que l’application φ est un a 7−→ a2 morphisme pour la loi +. 1. Montrer que l’anneau A est commutatif. 2. On ne suppose plus que × possède un neutre pour la loi × (l’anneau n’est plus unitaire). En revanche, on suppose désormais que φ est un morphisme surjectif pour les deux lois + et ×. Montrer que l’anneau A est commutatif. ⊲ Exercice 2.4. Soit (A, +, ×) un anneau, (a, b) ∈ A2 tels que ab + ba = 1A et a2 b + ba2 = a. 1. Montrer que 2aba = a, a2 b = ba2 (2aba est la notation habituelle de aba + aba).

2. Montrer que ab = ba puis en déduire que a est inversible d’inverse 2b (notation habituelle pour b + b). ⊲ Exercice 2.5. Soit (A, +, ×) un anneau dans lequel, pour tout (x, y) ∈ A2 , (x × y)2 = x2 × y 2 et pour tout x ∈ A, x2 = 0A ⇒ x = 0A .

1. Montrer que, pour tout (x, y) ∈ A2 , x × y × x = x2 × y = y × x2 . On pourra effectuer le produit des carrés de 1A + y et x. 2. En déduire que A est un anneau commutatif. On pourra calculer le carré de (x × y − y × x).

⊲ Exercice 2.6. Éléments nilpotents d’un anneau Soit (A, +, ×) un anneau. Un élément a de A est nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que an = 0A . 1. Montrer que, si a ∈ A est nilpotent, alors 1A − a est inversible dans A (pour la loi ×). 2. Soient a et b deux éléments de l’anneau A qui commutent.

(a) Montrer que, si a ou b est nilpotent, alors ab est nilpotent. (b) Montrer que, si a et b sont nilpotents, alors a + b est nilpotent. (c) Illustrer ces résultats par des exemples et des contre-exemples choisis dans M2 (R) en mettant l’accent sur l’importance des connecteurs “et” et “ou”. (d) Dans cette question, on suppose de plus que A est un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A. Une partie I d’un anneau commutatif (A, +, ×) est un idéal si c’est un sous-groupe de (A, +) tel que ∀(a, x) ∈ A × I, ax ∈ I. 1

3. Déterminer les éléments nilpotents des anneaux intègres. Donner des anneaux dans lesquels il existe des éléments nilpotents non triviaux. ⊲ Exercice 2.7. Soit (A, +, ×) un anneau, a et b deux éléments de A tels que ab est inversible et ba n’est pas un diviseur de zéro. Montrer que a et b sont inversibles. ⊲ Exercice 2.8. Soient (A, +A , ×A ) et (B, +B , ×B ) deux anneaux, ϕ un morphisme d’anneaux de A dans B. Montrer que ϕ(A× ) est un sous-groupe de (B × , ×B ). ⊲ Exercice 2.9. Anneaux (Z/nZ, +, ×). Soit n ∈ N tel que n > 2.

1. Montrer que les diviseurs de zéros de l’anneau (Z/nZ, +, ×) sont {k | k ∈ [[1, n − 1]] , k ∧ n 6= 1}. 2. Montrer que le groupe (Z/nZ× , ×) est {k | k ∈ [[1, n − 1]] , k ∧ n = 1}.

3. En considérant la décomposition de n en facteurs premiers : n =

N Y

pα i , déterminer l’ensemble des éléments

i=1

nilpotents de l’anneau (Z/nZ, +, ×). Exprimer de plus l’indice de nilpotence d’un élément nilpotent en fonction des paramètres de sa décomposition en facteurs premiers.

3

Corps

⊲ Exercice 3.1. Soit (A, +, ×) un anneau commutatif, fini, non réduit à {0A } possédant la propriété : ∀a ∈ A \ {0A }, ∀(x, y) ∈ A2 , ax = ay ⇒ x = y. Montrer que (A, +, ×) un corps. ⊲ Exercice 3.2. Anneaux (Z/nZ, +, ×). Soit n ∈ N tel que n > 2.

1. Montrer que l’anneau (Z/nZ, +, ×) est intègre si et seulement si n est un nombre premier.

2. En déduire que l’anneau (Z/nZ, +, ×) est un corps si et seulement si n est un nombre premier. ⊲ Exercice 3.3.

√ √ 1. Montrer que Q[ 5] = {a + b 5 ∈ R | (a, b) ∈ Q2 } est un sous-corps de (R, +, ×). √ √ 2. Déterminer les morphismes de corps de Q[ 5] dans Q[ 5] √ √ puis le groupe des automorphismes du corps Q[ 5]. On cherchera à déterminer les images possibles de 5.

⊲ Exercice 3.4. Montrer que tout corps est un anneau intègre. Que pensez-vous de la réciproque ? ⊲ Exercice 3.5. Montrer qu’un morphisme de corps est toujours injectif. Montrer qu’il existe des morphismes d’anneaux non injectifs.

2

Correction des exercices ⊲ Corrigé de l’exercice 1.1 p est un nombre premier donc le petit théorème de Fermat donne q p ≡ q[p] d’où p|q p − q soit p|q(q p−1 − 1). Or p et q sont deux nombres premiers distincts donc p ∧ q = 1 si bien que le théorème de Gauss permet de conclure que p | q p−1 − 1 Par ailleurs, p|pq−1 (car q − 1 > 1) donc

p | pq−1 + q p−1 − 1

En échangeant les rôles de p et q, on obtient que

q | pq−1 + q p−1 − 1 Enfin, p et q sont deux nombres premiers entre eux qui divisent pq−1 + q p−1 − 1 donc leur produit divise pq−1 + q p−1 − 1 d’où pq−1 + q p−1 − 1 ≡ 0 [pq]. Ainsi, pq−1 + q p−1 ≡ 1 [pq]. ⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 1. Soit n ∈ N fixé quelconque. Observons que 42 = 2 × 3 × 7 avec 2, 3 et 7 deux à deux premiers entre eux. • 2 est un nombre premier donc le petit théorème de Fermat donne n2 ≡ n [7] d’où n7 ≡ n × (|{z} n2 )3 ≡ n2 × n2 ≡ n [2] | {z } ≡n n×n | {z } ≡ | {z } 3 ≡n ≡ n2

d’où 2 | n7 − n. • 3 est un nombre premier donc le petit théorème de Fermat donne n3 ≡ n [3] d’où n7 ≡ n × (|{z} n3 )2 ≡ n3 ≡ n [3] ≡n | {z } ≡ n2

d’où 3 | n7 − n. • 7 est un nombre premier donc le petit théorème de Fermat donne n7 ≡ n [7] d’où 7 | n7 − n. Ainsi, 2, 3 et 7 divisent n7 −n, or ces trois entiers sont deux à deux premiers entre eux donc 42 = 2×3×7 divise n7 − n donc n7 − n ≡ 0 [42]. Ainsi, ∀n ∈ N, n7 ≡ n [42]. 2. Soit x ∈ Z/42Z fixé quelconque. Alors ∃n ∈ Z : x = n si bien que f (x) = x7 = n7 =

7 = n =x |n {z } 7 car n ≡ n [42]

Ainsi, f = idZ/42Z . ⊲ Corrigé de l’exercice 2.1 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.2 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.3 1. ⋆ Par propriété de morphisme pour la loi +, ∀a ∈ A , (a + 1A )2 = a2 + 12A donc, en développant, soit ∀a ∈ A, a = −a.

∀a ∈ A , a + a = 0A

1

⋆ Soient (a, b) ∈ A2 fixés quelconques. Par propriété de morphisme pour la loi +, (a + b)2 = a2 + b2 donc, en simplifiant, ab + ba = 0A donc ab = −ab = (−a)b 2. Observons que ⋆ la propriété de morphisme additif de φ donne ∀(u, v) ∈ A2 , φ(u + v) = φ(u) + φ(v)

= ab. |{z} premier point

⇒ (u + v)(u + v) = u2 + v 2 ⇒ u2 + uv + vu + v 2 = u2 + v 2 ⇒ vu = −uv

(1)

⋆ la propriété de morphisme multiplicatif de φ donne ∀(u, v) ∈ A2 , φ(uv) = φ(u)φ(v)

⇒ (uv)2 = u2 v 2

(2)

Soient (a, b) ∈ A2 fixés quelconques. Par surjectivié de φ, ∃(x, y) ∈ A2 : x2 = a et y 2 = b. ab = = = =

x2 y 2 (xy)2

en appliquant la propriété (2) de morphisme multiplicatif de φ 2

(−yx) en appliquant la propriété (1) de morphisme additif de φ (yx)2 car ∀z ∈ A , (−z)(−z) = z 2 (exo élémentaire, voir règles de calcul dans un anneau)

=

y 2 x2

=

ba

en appliquant la propriété (2) de morphisme multiplicatif de φ

Ainsi, A est une anneau commutatif. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.4 1. Partons des relations ab + ba = 1A (1)

et

a2 b + ba2 = a (2)

En multipliant (1) par a à droite d’une part, en multipliant (1) par a à gauche d’une part, puis faisant la différence, des équations obtenues ba2 − a2 b = 0A et donc

ba2 = a2 b.

En multipliant (1) par a à droite d’une part, en multipliant (1) par a à gauche d’une part, puis additionnant les deux équations on obtient 2aba + a2 b + ba2 = 2a qui, avec la relation (2), se simplifie en 2aba + a = 2a d’où, par ajout du symétrique de a pour la loi + aux deux membres, et donc

ba2 = a2 b.

2aba = a.

a2 b = ab2 .

2. Calculons ab − ba = = = = = = =

(a2 b + ba2 )b − b(a2 + ba2 )en utilisant la relation a2 b + ab2 = a a2 b2 + ba2 b − ba2 b − b2 a2 par distributilité de × sur +

a2 b 2 − b 2 a2 a2 bb − b2 a2

ba2 b − b2 a2 en utilisant la relation a2 b = ba2 bba2 − b2 a2 0A

2

(3)

donc

ab = ba.

En injectant dans la relation ab + ba = 1A , cela donne ab + ab = 1 = ba + ba soit aussi a(b + b) = 1A = (b + b)a Ainsi, a est inversible d’inverse 2b. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.5 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.6 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.7 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 2.8 • ϕ(A× ) n’est pas vide car 1A ∈ A× donc 1B = ϕ(1A ) ∈ ϕ(A× ). • Soit b ∈ ϕ(A× ) fixé quelconque. Alors ∃a ∈ A× : b = ϕ(a). Puisque a ∈ A× , a ×A a−1 = a−1 ×A a = 1A si bien qu’en prenant l’image de ces trois termes par ϕ et en utilisant la propriété de morphisme multiplicatif, ϕ(a) ×B ϕ(a−1 ) = ϕ(a−1 ) ×B ϕ(a) = 1B d’où b ×B ϕ(a−1 ) = ϕ(a−1 ) ×B b = 1B donc b ∈ B × et, bonus pour la suite, par unicité du symétrique sous réserve d’existence, b−1 = ϕ(a−1 ). Par conséquent, ϕ(A) ⊂ B × . • Soient (b, b′ ) ∈ ϕ(A× )2 fixés quelconques. Alors ∃(a, a′ ) ∈ (A× )2 : b = ϕ(a) et b′ = ϕ(a′ ). Montrons que b ×B (b′ )−1 ∈ ϕ(A× ). Nous avons déjà vu (premier point) que (b′ )−1 = ϕ((a′ )−1 ) donc, par propriété de morphisme multiplicatif, b ×B (b′ )−1 = ϕ(a) ×B ϕ((a′ )−1 ) = ϕ(

a ×A (a′ )−1 ) ∈ ϕ(A× ) {z } | ∈ A× × car A est un groupe et (a, a′ ) ∈ (A× )2

Ainsi, ϕ(A× ) est un sous-groupe de (B × , ×B ). ⊲ Corrigé de l’exercice 2.9 ⊲ Corrigé de l’exercice 3.1 • (A, +, ×) est un anneau. • Soit a ∈ A \ {0A } fixé quelconque.  A −→ A Considérons l’application ψ : z 7−→ a × z Soient (y1 , y2 ) ∈ A2 fixés quelconques tels que ψ(y1 ) = ψ(y2 ). Alors a × y1 = a × y2 , or a 6= 0A donc y1 = y2 d’après la propriété selon laquelle tout élément non nul est régulier à gauche. Par conséquent, ψ est injective, or A est fini donc ψ est bijective. Par surjectivité de ψ, il existe un antécédent à 1A noté b = ψ −1 (a). Ainsi, a × b = ψ(b) = 1A et, par commutativité de A, b × a = a × b = 1A donc a est symétrisable pour la loi ×. Par conséquent, tout élément différent du neutre additif est symétrisable pour la loi ×. Ainsi, (A, +, ×) est un corps.

3

⊲ Corrigé de l’exercice 3.2 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 3.3 Rédaction du corrigé. ⊲ Corrigé de l’exercice 3.4 • Soit (K, +, ×) un corps fixé quelconque. Soient (x, y) ∈ K2 fixés quelconques tels que x × y = 0K . • si x = 0K , c’est bon, • sinon, multiplions l’égalité par x−1 pour obtenir y = x−1 × 0K = 0K . Par conséquent, x = 0K ou y = 0K . Ainsi, (K, +, ×) est un anneau intègre. • la réciproque est fausse, il existe des anneaux intègres qui ne sont pas des corps, par exemple, (Z, +×) et (K[X], +, ×) (où K est un corps). ⊲ Corrigé de l’exercice 3.5 Soit ψ : K1 → K2 un morphisme de corps. Montrons tout d’abord que ψ −1 ({0K2 }) = {0K1 }. ⋆ L’inclusion {0K1 } ⊂ ψ −1 ({0K2 }) est immédiate car ψ(0K1 ) = 0K2 . En effet, puisque 0K1 + 0K1 = 0K1 , ψ(0K1 + 0K1 ) = ψ(0K1 ) ⇒ ψ(0K1 ) + ψ(0K1 ) = ψ(0K1 )

(propriété de morphisme pour la LCI +)

d’où, en ajoutant le symétrique de ψ(0K1 ) pour la loi +, ψ(0K1 ) + ψ(0K1 ) + (−ψ(0K1 )) = ψ(0K1 ) + (−ψ(0K1 )) ⇒ ψ(0K1 ) = 0K2 . ⋆ Réciproquement, soit x ∈ ψ −1 ({0K2 }) fixé quelconque. Raisonnons par l’absurde en supposant x 6= 0K1 . Pusique K1 est un corps, x est symétrisable pour la LCI × si bien qu’en notant x−1 son symétrique pour cette loi, x ×K1 x−1 = 1K1 . En prenant l’image de cette égalité par ψ, ψ(x ×K1 x−1 ) = ψ(1K1 ) ⇒ ψ(x) ×K2 ψ(x−1 ) = 1K2

(propriété de morphisme pour la LCI ×)

or ψ(x) = 0K2 par hypothèse donc 0K2 ×K2 ψ(x−1 ) = 1K2 d’où 0K2 = 1K2 ce qui est une contradiction. Ainsi, ψ −1 ({0K2 }) ⊂ {0K1 }. Soient (x, y) ∈ K21 fixés quelconques tels que ψ(x) = ψ(y). Alors ψ(x) = ψ(y) ⇒ ψ(x) + (−ψ(y)) = ψ(y) + (−ψ(y)) ⇒ ψ(x) + ψ(−y) = 0K2

car, par propriété de morphisme pour la loi +, −ψ(y) = ψ(−y)

⇒ ψ(x + (−y)) = 0K2 ⇒ x + (−y) ∈ ψ −1 ({0K2 })

⇒ x + (−y) = 0K1 ⇒ x=y Ainsi, ψ est injectif.

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