Angulos-trigonomtricos

Brenda Rodriguez Jara Katherine Seijas Mantilla

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

 EL ÁNGULO

)

<

TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

POSITIVO

B SENTIDO DE GIRO HORARIO

A

OA : LADO INICIAL OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

 ) NEGATIVO <

)

< O

 Son aquellos ángulos

trigonométricos que se caracterizan por tener su lado inicial sobre el semieje positivo abscisas, su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas y sus lados final se ubica en cualquier parte del plano cartesiano.

L.F.

Y L.I :Lado inicial L.F :Lado final X 0 : Vértice o

L.I B X : < en P.N (+)

L.F

B: < EN P.N. (-)

 Dos o más ángulos en posición

normal son coterminales cuando sus lados finales coinciden. Los ángulos son coterminales cuando su diferencia debe dar un número entero de vueltas o revoluciones.

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR  SISTEMA

SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

1

GRADO :

o

MINUTO :

1

'

SEGUNDO :

1

"

EQUIVALENCIAS

1 = 60 1 = 60 1 = 3600 o

'

'

"

o

1vuelta= 360

o

"

En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

A B ' C ''  A  B '  C '' o

o

Los Para números C deben ser menores de 3600 60 convertirB deygrados a segundos se multiplica por Para convertir deDE grados a minutos se multiplica por 60 RELACIONES CONVERSIÓN Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60

x 3600 x 60

<

<

<

<

< <

x 60 a grados se divide entre 3600 Para convertir de segundos GRADOS

SEGUNDOS

MINUTOS

<

<

<

: 60

<

: 60

<

<

Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60 : 3600

EJEMPLO :   20 36 ' 45 '' EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES o

  20  36  45 o

'

''

o o 36 45 3 1 o   20    20o   60 3600 5 80

o

o

Al número 36 se le divide entre 60 y o 1649 Al número 45 se le divide entre 3600  CONCLUSIÓN:

80

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS

S 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES

= (m)=

EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato :

60S  2S  155

62S  155

5 S 2 5º 4º 60 '   2º 30 ' El ángulo mide : 2 2 155 5(31) S  62 2(31)

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR  SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

GRADO :

1

g

MINUTO :

1

m

SEGUNDO :

1

s

EQUIVALENCIAS

1  100 1  100 1  10000 g

m

m

1vuelta=

s

400

g

g

s

En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

A B C  A B g

m

s

g

m

C

s

Los números C deben ser menores 100 Para convertirBdeygrados a segundos se multiplica de por 10000 Para convertir de DE grados a minutos se multiplica por 100 Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100 RELACIONES CONVERSIÓN

x 10 000

< x 100

Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

<

<

<

< <

x 100

GRADOS

SEGUNDOS

MINUTOS

<

<

<

: 100

<

: 100

<

<

Para convertir de minutos a grados se divide entre 100 Para convertir segundos a minutos se divide entre 100 : 10 de 000

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS

SABES QUE : gSABES QUE : NÚMERO DE GRADOS  200g g = C 9ºCENTESIMALES  10 SABEMOS QUE 180º 9º  10 g SIMPLIFICANDO OBTIENE NÚMERO DE MINUTOS n ) g=) 100C 9(1º ) CENTESIMALES  SE 10(1 ) 9(1º )  (10(1 g '' S ' m 9º  10 9(3600 )  10(10000 ) 000C NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 9(60 )  10(100 )

81  250 ''

s

27LOS  50 RELACIÓN ENTRE SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL '

m

9 O = 10g 27' = 50m 81" = 250 s GRADOS

MINUTOS

SEGUNDOS

S C = 9 10

m n = 27 50

p q = 81 250

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

 SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN. UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

R ..

)1rad R

1vuelta  2rad 1rad  57o17' 45 ''

R

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS

180  200  rad 0

g

ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.

EJEMPLOS EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES

A)  54 0 SABES QUE ÁNGULO DE UNA  rad O  EL 3   54  : o   rad VUELTA MIDE 360º  400g  2rad

 180 

10

B)  125 SIMPLIFICANDO SE OBTIENE : g

rad   125  g   200  g



5 rad 8

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL o 2 2(180 ) A) rad ........... 3 3

 120

o

9  o B)70 ................. 70  g   63  10  g

g

o

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL

g 3 3(200 ) A) rad ........... 4 4

150

g

g  10  o o g B)27 ................ 27  30 o   9 

FACTORES DE CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

rad 180o

DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES

10g o 9

DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES

rad 200g o 9 g 10

DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES

rad  180

DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES

rad  200

o

g

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

R S C    180 200 S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES EJEMPLO CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:

8R 3S  2C   37  SOLUCIÓN

EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S C R    K 180 200 

S  180k C  200k

R  k

SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA

8( k) 3(180k)  2(200k)   37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE  1 148k  37 k

4

  1 FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R     4  4 NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

20R S C    9 10

S  9k C  10k

k R  20

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

 rad 2 O g 180  200  rad

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : * ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :

SISTEMA

90o  100g 

COMPLEMENTO

SUPLEMENTO

SEXAGESIMAL

S

90 - S

180 - S

CENTESIMAL

C

200 - C

RADIAL

R

100 - C  R 2

R

* EQUIVALENCIAS USUALES:

  o rad  60 rad  45 o 3 4

 rad  30o 6

EJERCICIOS 1. CALCULAR :

 45º  rad 12 E 50g  33º SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL

9º  180º g rad   15º ; 50 ( g )  45º 10 12 12

Reemplazamos en E

60º 45º 15º  5 E  12º 45º 33º

2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales C = número de grados centesimales Sabes que :

S C  =K 9 10

Dato : S + 3C = 78 9K + 3( 10K ) = 78 El número de radianes es :

k R 20

 2 R  20 10

S = 9K y C = 10K

39K = 78

K=2

3. Determinar si es verdadero o falso A ) rad  180 g g 30 70 B ) El complemento de es C ) 24º 2º  g g 36 3 D ) Los ángulos interiores de un triángulo suman rad E)

  180º

F)

1º  1

g

G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales

TAREA QUE TENDRAS QUE REALIZAR 1. Al convertir 16X/9π rad. al sistema sexagesimal, se obtuvo 640º. Hallar X2 2. Hallar el ángulo en radianes que satisfacen: 1 + S/3 + C/2 = 160 R/ π + R S: Sexagesimales C: Centesimales R: Radianes 3. Se ha medido un ángulo en los sistemas conocidos en grados y radianes, resultando: S = 2R + X y C = 3 R + X. Hallar X 4. Se mide un ángulo en grados sexagesimales y centesimales, los números hallados al sumarlos resultan 180. Hallar el ángulo en radianes 5. Se mide un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes (resulta R ). Hallar lo que mide dicho ángulo en radianes si: 2S – C = 2R2