Aljabar.docx

DEFINISI, CONTOH SOAL BASIS DAN DIMENSI BESERTA PENERAPANNYA

DISUSUN OLEH :

MOH. SAID JALIL

G 501 17 002

MUHAMMAD AKRIYALDI MASDIN

G 501 17 007

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS TADULAKO APRIL, 2018

DEFINISI, CONTOH SOAL BASIS DAN DIMENSI BESERTA PENERAPANNYA 1. BASIS A. DEFINISI BASIS

1 1 0 1 ], 𝐴2 = [ ], 𝐴3 = 1 1 1 1 0 0 0 ], 𝐴4 = [ ] adalah basis 1 0 1

𝐴1 = [

Definisi. Jika V adalah

0 [ 1

sebarang ruang vektor dan S

untuk ruang matriks 𝑀22

= {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑟 } adalah

Penyelesaian

sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam

Solusi Soal 1 : berdasarkan teorema,

V, maka S dinamakan

S adalah basis untuk ℝ3 jika dan

sebuah basis untuk V jika

hanya jika setiap 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ ∈ ℝ3 dapat

i. S bebas linier;

dinyatakan sebagai kombinasi linear

ii. S merentang v

dari 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2, 𝑣⃗3 secara tunggal. Tinjau kombinasi linear

B. CONTOH SOAL

𝑘𝑣⃗1 + 𝑘𝑣⃗2 + 𝑘𝑣⃗3 = 𝑢 ⃗⃗

HIMPUNAN BASIS LATIHAN

Dengan 𝑢 ⃗⃗ = (𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2, 𝑢 ⃗⃗3 ) ∈ ℝ3 . kita

1. Periksa apakah S =

dapat memperoleh SPL

{𝑣⃗1 , 𝑣⃗2, 𝑣⃗3 } dengan 𝑣⃗1 = (1,2,1) , 𝑣⃗2 = (2,9,0), 𝑣⃗3 = (3,3,4 ) adalah basis untuk ruang Euclid ℝ3 2. Periksalah apakah S = {𝐴1 , 𝐴2, 𝐴3 } dengan

𝑘1 + 2𝑘2 + 3𝑘3 = 𝑢1 2𝑘1 + 9𝑘2 + 3𝑘3 = 𝑢2 𝑘1

+ 4𝑘3 = 𝑢3

Atau dalam bentuk matriks 𝑣1 1 2 3 𝑘1 [2 9 3] [𝑘2 ]= [𝑣2 ] 𝑣3 1 0 4 𝑘3

1 2 3 Jadi karena matriks [2 9 3] 1 0 4 invertibel, nilai (𝑘1 𝑘2 𝑘3 ) selalu

Jika S adalah basis maka nilai

tunggal. Akibatnya S adalah basis

(𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 ) haruslah tunggal untuk

untuk ℝ3

sembarang (𝑣1 𝑣2 𝑣3 ) 𝜖 ℝ3 . Hal ini dapat

Solusi Soal 2. Berdasarkan teorema. S

terjadi jika dan hanya jika

adalah basis untuk 𝑀22 jika dan hanya

1 2 3 [2 9 3]invertibel yang ekuivalen 1 0 4

jika setiap A 𝜖 ℝ3 dapat dinyatakan

dengan kondisi

sebagai kombinasi linier dari 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 secara tunggal. Tinjau Kombinasi linier.

1 2 3 [ 2 9 3] ≠ 0 1 0 4 Melalui OBE, Kita memiliki

𝑘1 𝐴1 +𝑘2 𝐴2 +𝑘3 𝐴3 + 𝑘4 𝐴4 = 𝐴

Dengan A = [

𝑝 𝑟

𝑞 ] 𝜖 𝑀22 . Kita 𝑠

memiliki 1 2 |2 9 1 0 𝑅 ← ( 1 𝑅2 ← 2 =| 9

3 0 2 −1 3| = |0 9 −5| 4 1 0 4 𝑅1 − 𝑅3 ) 𝑅2 − 2𝑅3 −1 | (ekspansi kolom 1) −5

= -1 ≠ 0

1 1 0 𝑘4 [ 0 𝑘1 [

1 0 1 0 0 ] + 𝑘2 [ ] + 𝑘3 [ ]+ 1 1 1 1 1 𝑝 𝑞 0 ]=[ ] 𝑟 𝑠 1

Sehingga diperoleh SPL 𝑘1

= p

𝑘1 + 𝑘2

=𝑞

𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

=𝑟

𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘4 = 𝑠 Atau dalam bentuk matriks

1 1 [ 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 ] 0 1

𝑘1 𝑝 𝑞 𝑘 [ 2] = [𝑟 ] 𝑘3 𝑠 𝑘4

Jika S adalah basis, maka nilai (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4 ) haruslah tunggal untuk 𝑝 𝑞 sembarang [ ] 𝜖 𝑀22 . Hal ini 𝑟 𝑠 dapat terjadi jika dan hanya jika 1 1 [ 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 ] invertibel yang 0 1

ekuivalen dengan kondisi 1 1 | 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 |≠0 0 1

Kita memiliki

1 1 | 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 |=1≠0 0 1

Akibatnya karena matriks 1 0 0 0 1 1 0 0 [ ] invertibel, nilai 1 1 1 0 1 1 1 1 (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4 ) selalu tunggal. Akibatnya S adalah basis untuk 𝑀22

2. DIMENSI A. DEFINISI

𝑅4 . Jika tidak, tentukan dimensi dari subruang yang rentang oleh vektor

Definisi. Misalkan V

vektor tersebut. Susunlah matriks tang

merupakan ruang vektor

baris-barisnya adalah vektor vektor

berdimensi hingga, dimensi

yang diketahui tersebut, dan reduksi

dari V dinotasikan dengan

barislah menjadi bentuk ekselon :

dim (V ) didefinisikan

Penyelesaian :

sebagai banyaknya vektor yang terdapat pada suatu basis untuk V . Lebih lanjut, kita mendefinisikan ruang

1 1 B=[ 2 2

1 2 5 6

1 3 6 8

1 2 ] 4 5

vektor {0} berdimensi 0. 𝑅4 = 𝑅4 − 𝑅3 Dengan perkataan lain,

𝑅3 = 𝑅2 − 2𝑅1

dimensi dari suatu ruang

𝑅2 = 𝑅2 − 𝑅1

vektor merupakan kardinalitas dari sembarang basis bagi ruang vektor tersebut.

B. CONTOH SOAL

1 0 =[ 0 0

1 1 3 1

1 2 4 2

1 1 ] 2 1

𝑅4 = 𝑅4 − 𝑅2

HIMPUNAN DIMENSI LATIHAN 1. Tentukan apakah (1,1,1,1), (1,2,3,2), (2,5,6,4), (2,6,8,5) membentuk basis dari

1 0 =[ 0 0

1 1 1 2 0 −2 0 0

1 1 ] −1 0

𝑅3 1 1 0 =[ 0 0

bantuankomputer dalam pembentukan model serta ukuran dua dan tiga 1 1 0 0

1 2 2 0

1 1 ] 1 0

dimensi atau lebih dikenali sebagai “Computer -aided drafting and design program” (CAD). Program ini dapat

Matriks eselon tersebut memiliki baris

digunakan dalam semua bidang kerja

nol. Sehingga keempat vektor tersebut

terutama sekali dalam bidang-bidang

tak bebas linier dan membentuk baris

yang memerlukan keterampilan

dari 𝑅4 . Jadi vektor-vektor di atas

khusus seperti bidang Mekanikal

bukan basis. Karena matriks eselon

Engineering, Sipil, Arsitektur, Desain

memiliki tiga baris bukan nol,

Grafik, dansemua bidang yang berkaitan

keempat vector tersebut merentang

dengan penggunaan CAD.Program

suatu sub ruang berdimensi 3. Jadi

gambar AutoCAD adalah aplikasi

dimensinya adalah 3

dengan basis vektor, jadi materi gambar yang muncul pada dasarnya

3. CONTOH PENERAPAN BASIS DAN DIMENSI DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI A. BASIS 1. Program AutoCAD AutoCAD merupakan sebuah program yang biasa digunakan untuk tujuan tertentu dalam menggambar serta merancang dengan

adalah susunan dari garisgarislengkung dan lurus.AutoCAD memiliki program terukur yang ditampilkan dengan adanyasumbu kartesius (X,Y), di mana sumbu X ke arah kanan, dan sumbu Y kearah atas. Titik x dan y yang ditetapkan pada posisi (0,0) berada di sudutkiri bawah dari tampilan gambar. AutoCAD juga memiliki programterukur berkaitan dengan sudut putaran. Besaran sudut itu ditentukandengan arah ke kanan

dari titik pusat lingkaran menuju ke

dengan tanda titik (.) yaitu : 10.7

arah yangberlawanan dengan putaran

meter. Jadi ketika menginginkan

jarum jam. Dengan demikian besar

adanya posisi 5meter 4 cm pada

sudut 0derajat ada di sisi kanan, 90

sumbu X dan 8 meter 6 cm pada

berajat ada di sisi atas, 180 derajat ada

sumbu Y, makapenulisannya

di sisikiri dan 270 derajat ada di sisi

adalah (5.4,8.6).Semua program dalam

bawah. AutoCAD juga memiliki

autocad erat hubungannya dengan aljabar

satuan metrik untuk menentukan garis

linierkarena vektor masuk dalam aljabar

dengan nama ’unit’. Satuan ini

linier dan apa-apa yang ada padaautocad

bersifat relatif dan dapat

berbasis vektor.

dikonversikan dalam skala yang sesuai dengan keinginan.Satu unit di dalam AutoCAD dapat ditentukan

B. DIMENSI 1. SAP

dengan konversi ukuranmeter,

SAP adalah salah satu program

centimeter, kilometer dan seterusnya.

untuk menganalisa struktur

Tanda koma ’,’ dan tanda titik ’.’ di

konstruksiyang banyak digunakan.

dalam AutoCAD berperan penting

Penggunaannya cukup sederhana.

untuk membedakan angka desimal dan jenis

Akan tetapipenggunaannya tetap

sumbu kartesius. Tanda koma(,)

harus diimbangi dengan

digunakan untuk menetapkan sumbu

pengetahuan dasar

kartesius berdasarkan posisi(X,Y),

pemakainprogram dan

misalnya (10,7) akan dibaca dengan

pengetahuan teknik

ketetapan 10 unit pada sumbuX dan 7

sipil.Dalam program SAP

unit pada sumbu Y. Jika yang

menggunakan diagram

diinginkan dari penulisan angka

kartesius dan bertigadimensi

’10,7’ tersebut adalah 10 meter

X,Y,Z. serta menggunakan

ditambah 7 cm, maka penulisannya

vektor untuk

menggambarkanpembebananpembebanan serta desaindesainnya pun menggunakanvektor.Perhitung an-perhitungannya pun kerap menggunakan aljabar liniersebagai dasar dari program tersebut, jadi tidak dapat dipungkiri bahwaaljabar linier kerap hubungannya dengan keteknik sipilan.