Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo
a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn a x + a x + "+ a x 21 1 22 2 2n n (S ) # % % # am1 x1 + am 2 x2 + " + amn xn
= b1 = b2 # = bm
aij são elementos de um corpo Ω
coeficientes
bj são elementos de um corpo Ω
termos independentes
x1, x2, ..., xn são variáveis tomando valores em Ω
variáveis ou incógnitas
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Sistema de equações lineares Representação matricial
a11 a A = 21 # am1
a12 a22 # am 2
" a1n " a2 n % % " amn
x1 x 2 X = # xn
b1 b 2 B= ⇒ # bm
AX = B
A – matriz dos coeficientes do sistema ou matriz do sistema B – matriz dos termos independentes X – matriz das incógnitas ÁLGEBRA
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Sistema de equações lineares Solução de um sistema de equações Uma solução s do sistema de equações (S) é constituída por n escalares, s1, s2, ..., sn tal que
s1 s s = 2 # sn
⇒
As = B
Conjunto de soluções do sistema – colecção de todas as soluções do sistema (S)
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Sistema de equações lineares Classificação dos sistemas
determinado (solução única) possível (tem soluções)
Sistema
indeterminado (múltiplas soluções)
impossível (não tem solução, equações são incompatíveis) Sistema homogéneo – os termos independentes são todos nulos; é sempre possível pois admite pelo menos a solução nula. ÁLGEBRA
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Sistemas de Cramer Sistema de Cramer - o número de equações é igual ao número de incógnitas; - a matriz dos coeficientes, A, tem característica idêntica à ordem da matriz (r(A) = n; det(A) ≠ 0)
Os sistemas de Cramer podem ser resolvidos por: - inversão de matrizes
- Teorema de Cramer ÁLGEBRA
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Sistemas de Cramer Resolução por inversão de matrizes Se AX=B é um sistema de Cramer, A-1AX=A-1B InX = A-1B
X = A-1B
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Sistemas de Cramer coluna xj
Teorema de Cramer O valor de cada incógnita xj é obtido pelo quociente de dois determinantes: - o determinante do denominador é o determinante |A| da matriz dos coeficientes; - o determinante do numerador é o determinante que resulta de |A| substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xj pela coluna dos termos independentes.
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a11 a21 # xj =
a12 " b1 " a1n a22 " b2 " a2 n #
% % %
#
an1 an 2 " bn " ann a11 a12 " a1 j " a1n a21 #
a22 " a2 j " a2 n # % % % #
an1
an 2 " anj
" ann
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Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Fundamento do método Transformação do sistema inicial num sistema equivalente de resolução mais simples. Sistemas equivalentes – admitem o mesmo conjunto de soluções Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas e C uma matriz invertível de ordem m. Então o sistema (S’): (CA)X=CB é equivalente ao sistema (S). ÁLGEBRA
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Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas.
Seja [A’| B’] uma matriz obtida a partir da matriz completa do sistema, [A | B], através de um número finito de operações elementares sobre as linhas.
Então, o sistema A’X=B’ é equivalente ao sistema AX=B.
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Resolução de sistemas Resolução usando operações elementares Procedimento para a resolução do sistema AX=B 1.
Construção da matriz completa do sistema [A | B];
2.
Aplicação de operações elementares às linhas da matriz completa do sistema, transformando-a numa nova matriz [F | K]; esta nova matriz é uma matriz em formato de linhas escalonadas.
O sistema correspondente à matriz [F | K] é equivalente ao original e pode ser resolvido de forma (quase) directa.
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Resolução de sistemas Matriz em formato de linhas escalonadas
(c) o primeiro elemento não nulo em cada linha é o único elemento não nulo na respectiva coluna.
m. diagonal
(b) o primeiro elemento não nulo em cada linha é 1 e ocorre numa coluna à direita do primeiro valor 1 em qualquer linha anterior;
m. triangular superior
(a) qualquer linha contendo um elemento não nulo precede as linhas cujos elementos são todos nulos;
O processo usado para transformar a matriz completa do sistema numa matriz em formato de linhas escalonadas designa-se eliminação Gaussiana. ÁLGEBRA
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Resolução de sistemas Eliminação Gaussiana (2 passos) Passo 1 – a matriz completa do sistema é transformada numa matriz triangular superior com o valor 1 no primeiro elemento não nulo de cada linha; cada um destes valores ocorre numa coluna à direita do primeiro elemento não nulo da linha precedente (condições (a) e (b));
Passo 2 – a matriz triangular é transformada numa matriz com as linhas escalonadas (condição (c)).
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Sistemas homogéneos Sistemas homogéneos Um sistema AX=B de m equações em n incógnitas é homogéneo se B= O.
Qualquer sistema homogéneo tem pelo menos uma solução, a solução nula 0 0 s= # 0 Esta solução é designada solução trivial do sistema homogéneo. ÁLGEBRA
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Sistemas homogéneos Conjunto fundamental de soluções de um sistema homogéneo O sistema AX=O tem soluções não nulas se e só se r(A) < n, isto é se a característica da matriz dos coeficientes for inferior ao número de incógnitas.
Um conjunto X1, X2, ..., Xk de soluções linearmente independentes do sistema AX=O é um conjunto fundamental de soluções se qualquer solução do sistema é uma combinação linear das soluções X1, X2, ..., Xk.
O número de soluções de qualquer conjunto fundamental é igual ao grau de indeterminação do sistema homogéneo. ÁLGEBRA
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Sistemas homogéneos Relação entre as soluções de um sistema e as soluções do sistema homogéneo associado A solução geral do sistema AX=B pode ser obtida somando uma solução particular deste sistema (s0) com a solução geral do sistema homogéneo AX=O associado (s).
Com efeito, se As= O e As0= B , então A(s+s0)= O+B = B.
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