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Mécanique & Industries 4 (2003) 497–504
Simulation numérique discrete des materiaux granulaires Discrete numerical simulation of granular materials Samuel Masson a,∗ , Juan Martinez a , Bertrand Baylac b , Jean-François Ferellec c a INSA Rennes, département génie civil & urbanisme, laboratoire Ma2g, EA 3218, 35043 Rennes cedex, France b LUSIG, Université de Bretagne Occidentale, faculté des sciences et techniques, 6, av. Victor Le Gorgeu, 29285 Brest cedex, France c Ishikawajima-Harima Heavy Industries Co., Ltd., 1, Shin-Nakahara-Cho, Isogo-Ku, Yokohama 235-8501, Japon
Reçu le 31 mars 2003 ; accepté le 5 juillet 2003
Résumé Les matériaux granulaires étant très présents dans la nature, en particulier dans les sols, et impliqués dans de nombreux procédés industriels comme les matériaux de construction, leur modélisation constitue une thématique de recherche de première importance notamment en génie civil. La simulation numérique discrète, consistant à modéliser chaque grain individuellement et à gérer chaque contact entre grains, est un outil de plus en plus répandu dans ce domaine. Par rapport à l’approche continue classique, elle permet de prendre en compte les paramètres micromécaniques dans le comportement d’un matériau granulaire et de simuler des sollicitations complexes sans sophistication coûteuse des modèles. D’autre part, l’approche discrète est un outil conceptuellement adapté pour traiter des milieux mettant en jeu un petit nombre de grains, ne permettant pas de définir un Volume Elémentaire Représentatif. Les apports de la simulation numérique discrète sont illustrés par des exemples issus d’analyses réalisées à l’aide de la Méthode des Eléments Distincts par l’équipe Géomécanique de l’INSA de Rennes. Ces exemples, concernant l’effet couplé de la rigidité et du frottement interparticulaire sur la transmission des efforts, la modélisation des écoulements de silos et l’étude de l’interface sol-structure, montrent la pertinence et le soutien à l’expérience apportés par l’approche discrète. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Because granular materials are frequently present in nature, in particular in soils, and involved in many industrial processes as building materials, their modelling is an important research topic especially in civil engineering. The discrete numerical simulation, which consists in keeping track of each individual grain and updating each contact between grains, has become a powerful tool in the field. Compared to the classical continuum approach, it allows taking into account micromechanical parameters in the behaviour of a granular material and simulating complex loadings without costly model sophistication. Moreover, the discrete approach is a conceptually adapted tool to treat media implying a small number of grains, which do not permit to define a Representative Elementary Volume. The abilities of discrete numerical simulation are illustrated by examples of analysis carried out using the Distinct Element Method by the Geomechanics team of the INSA of Rennes. These examples, concerning the coupled effect of interparticle stiffness and friction on the stress transmission, the silo flow modelling and the soil-structure interface analysis, show the relevance and the experiment support brought by the discrete approach. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. Mots-clés : Particule ; Contact ; Homogénéisation ; Transmission des efforts ; Écoulement ; Silo ; Interface ; Sol Keywords: Particle; Contact; Homogenisation; Stress transmission; Flow; Silo; Interface; Soil
* Auteur correspondant.
Adresses e-mail : [email protected] (S. Masson), [email protected] (J. Martinez), [email protected] (B. Baylac), [email protected] (J.-F. Ferellec). 1296-2139/$ – see front matter 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.mecind.2003.07.010
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Nomenclature f fw Fc kn knw kt ktw n t r R50
coefficient de frottement au contact particule/particule coefficient de frottement au contact particule/paroi force de contact entre deux particules . . . . . . . N rigidité normale au contact particule/particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m rigidité normale au contact particule/paroi N/m rigidité tangentielle au contact particule/particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m rigidité tangentielle au contact particule/paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m normale au contact tangente au contact rugosité relative de l’interface valeur médiane du rayon des particules . . . . . m
1. Introduction Un grand nombre de matériaux du génie civil, qu’ils soient élaborés par le constructeur (béton, matériaux de chaussée, remblais, . . . ) ou qu’ils s’imposent à lui comme les sols, sont constitués de grains. La description d’un tel matériau dépend de l’échelle d’observation. A l’échelle du grain, que l’on peut qualifier d’échelle microscopique, un matériau granulaire est intrinsèquement hétérogène et discontinu. Mais à l’échelle de l’échantillon, si celui-ci possède une taille suffisante, on peut décrire le matériau par un équivalent homogène et continu pour lequel on peut définir des variables macroscopiques moyennes. Ce passage de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique fait appel à la notion de Volume Elémentaire Représentatif (VER) et nécessite que le rapport entre la taille de l’échantillon et la taille des grains soit suffisamment grand. Quand un VER peut être défini, l’approche classique consiste à décrire le comportement du matériau granulaire par un modèle continu utilisant le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations. Si cette approche s’avère pragmatique et efficace pour l’ingénieur, elle n’en demeure pas moins insuffisante pour décrire le comportement d’un matériau granulaire sous sollicitations complexes en faisant appel à de nombreux paramètres dont l’origine physique n’est pas toujours clairement établie. L’approche numérique discrète, qui consiste à modéliser chaque grain individuellement et à gérer chaque contact entre grains, apparaît alors comme un outil d’analyse et d’homogénéisation numérique qui permet de relier le comportement macroscopique aux paramètres microscopiques définis à l’échelle des grains ou de leurs contacts [1]. Une autre limitation de l’approche continue concerne la modélisation du comportement d’un matériau subissant de grandes déformations. La mise en œuvre numérique des modèles
u um δ ε˙ ϕ θm σ top τ ψ
déplacement de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . m déplacement moyen des particules d’une couche horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m angle de frottement macroscopique à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg incrément de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . s−1 angle de frottement macroscopique du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg rotation moyenne des particules d’une couche horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rad contrainte verticale sur le chapeau de la boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa contrainte de cisaillement à l’interface sol-plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa angle de frottement microscopique à l’interface particule–plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg
continus dans ce cas requiert des procédures sophistiquées de remaillage [2] sans pour autant assurer avec précision la prédiction d’une cinématique complexe [3]. De plus, dans certaines applications (couches de matériau de chaussée ou de voie ferrée, interfaces entre un matériau granulaire et une structure, . . . ), le milieu granulaire n’est pas suffisamment étendu pour que la notion de VER ait un sens. Les modèles continus sont alors conceptuellement inadaptés et seule une approche discrète s’avère pertinente. Ces différents apports de la simulation numérique discrète seront illustrés dans la suite par certains résultats d’analyses numériques réalisées à l’aide de la Méthode des Eléments Distincts par l’équipe Géomécanique de l’INSA de Rennes [4–7].
2. La méthode des elements distincts La simulation d’assemblages denses de particules solides trouve son origine en 1971 dans le travail pionnier de Cundall [8] qui aboutira au développement de la Méthode des Eléments Distincts en 1979 [9]. On trouvera dans [10] une synthèse des différents types de méthodes de simulation numérique discrète développés pour la modélisation des matériaux granulaires. Le programme d’Eléments Distincts que nous utilisons est PFC, Particle Flow Code [11]. Les particules de forme circulaire (en 2D) ou sphérique (en 3D) sont considérées comme rigides mais possèdent des zones de contact interparticulaire virtuellement déformables au sens où les interpénétrations des particules sont autorisées. Dans les exemples qui suivent, on considère uniquement des milieux bidimensionnels. Chaque cycle de calcul comprend trois étapes : la détection des contacts, le calcul à chaque contact de la force de contact à partir du déplacement relatif des deux particules en contact, puis le cal-
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cul de la nouvelle position de chaque particule. La loi de contact est de type élasto-plastique (Fig. 1) : la relation entre la force de contact Fc et le déplacement relatif au contact est décrite avec des raideurs élastiques normale et tangentielle et un frottement de type Coulomb. On présente ici un exemple de validation de la méthode. L’expérience de Réf. [12] est un essai biaxial (Fig. 2) réalisé sur un matériau constitué de cylindres de bois dont le frottement interparticulaire a été mesuré expérimentalement (coefficient de frottement f = 0,53). On considère les cylindres comme quasi-indéformables (on prendra des raideurs aux contacts kn = kt = 108 N/m) et les parois comme parfaitement lisses (coefficient de frottement fw = 0). Les paramètres micromécaniques de contact utilisés sont listés dans le Tableau 1. Suite à la mesure à l’aide d’un stéréocomparateur de la position de chaque cylindre, la géométrie de l’assemblage correspondant à la configuration initiale de l’échantillon sous
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un état de contrainte isotrope a pu être reproduite par simulation. La comparaison des résultats de la simulation avec les résultats expérimentaux s’avère très satisfaisante aussi bien pour la courbe contrainte—déformation axiale (Fig. 3a) que pour la courbe déformation volumique—déformation axiale (Fig. 3b). Les défauts de régularité des courbes ci-dessus, notamment de la réponse expérimentale, sont dus à des réarrangements brusque de la structure granulaire. On note une assez bonne correspondance à la fois dans la partie initiale du chargement, régie principalement par les paramètres élastiques, et dans la partie des grandes déformations après avoir atteint le seuil de résistance. En outre, le comportement de contractance–dilatance est très fidèlement reproduit, en parTableau 1 Paramètres micromécaniques utilisés pour la simulation des cylindres de bois
Rigidité normale Rigidité tangentielle Coefficient de frottement
Contact particule/particule
Contact particule/paroi
kn = 108 N/m kt = 108 N/m f = 0,53
knw = 108 N/m ktw = 108 N/m fw = 0
Fig. 1. Loi de contact entre deux particules : ressort de raideur kn sur la direction normale au contact, ressort de raideur kt et patin de coefficient de frottement (Coulomb) f sur la direction tangente au contact. Fig. 1. Contact law between two grains: spring of stiffness kn along contact normal direction, spring of stiffness kt and slider of friction coefficient (Coulomb) f along contact shear direction. (a)
(b) Fig. 3. Comparaison entre simulation et expérience (essai de cisaillement biaxial) : (a) courbe contrainte–déformation, (b) courbe de variation de volume. Fig. 2. Essai de compression biaxiale à contrainte de confinement constante. Fig. 2. Biaxial compression test at constant confinement stress.
Fig. 3. Comparison between simulation and experiment (biaxial shear test): (a) stress–strain curve, (b) volumetric strain curve.
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(a)
(b)
(c)
Fig. 4. Réseau des forces de contact dans un matériau granulaire au repos (chaque force de contact est représentée par un segment orienté suivant la direction du vecteur force et dont l’épaisseur est proportionnelle à l’intensité de la force) : (a) particules lisses et souples (kn = kt = 106 N/m, f = 0), (b) particules frottantes et souples (kn = kt = 106 N/m, f = 1), (c) particules frottantes et rigides (kn = kt = 108 N/m, f = 1). Fig. 4. Contact force network in a granular material at rest (each contact force is represented by a segment whose direction corresponds to this of the force vector and whose thickness is proportional to the force magnitude): (a) smooth and soft particles (kn = kt = 106 N/m, f = 0), (b) rough and soft particles (kn = kt = 106 N/m, f = 1), (c) rough and hard particles (kn = kt = 108 N/m, f = 1).
ticulier en termes de seuil caractéristique de passage de l’un à l’autre [13].
tations des efforts le long de la direction verticale, c’est-àdire le long de la direction de la sollicitation. D’un autre
3. Apports de la simulation numérique discrete 3.1. Homogénéisation : influence des paramètres micro sur la réponse macro On s’intéresse ici à l’effet couplé de la rigidité et du frottement des particules sur la transmission des efforts dus au poids propre au sein du matériau [4,5]. On considère un réservoir rectangulaire rempli de 10 000 particules mises en place par sédimentation. La représentation du réseau des forces de contact (Fig. 4) fournit de manière qualitative une vue globale de la transmission des efforts au sein du matériau granulaire. Elle nous renseigne en particulier sur l’hétérogénéité et l’anisotropie statiques de celui-ci. Dans le cas des particules souples (kn = kt = 106 N/m), le frottement interparticulaire (comparaison des Figs. 4a et 4b) accroît l’hétérogénéité locale de la transmission des efforts en diminuant la densité des chaînons mécaniquement actifs, et conduit, grâce à l’obliquité potentielle importante des forces de contact, à une forte concentration des orien-
Fig. 5. Cinématique de l’écoulement d’un matériau granulaire dans un silo à fond plat. Fig. 5. Granular material flow patterns in a flat-bottomed silo.
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côté, une plus grande rigidité des particules (comparaisons des Figs. 4b et 4c) se traduit à la fois par une augmentation de l’hétérogénéité des chaînons de forces de contact et par une plus grande isotropie de la transmission des efforts. Le matériau rigide (kn = kt = 108 N/m) présente une importante hétérogénéité des forces de contact associée à la formation de voûtes de faibles portées (quelques particules). L’anisotropie de transmission des efforts provoquée par le frottement interparticulaire pour un matériau constitué de particules souples n’est pas retrouvée en présence de particules rigides. Au contraire, les voûtes favorisent la poussée horizontale au sein du matériau et ainsi confèrent un caractère globalement plus isotrope aux efforts macroscopiques. 3.2. Modélisation des cinématiques complexes : écoulements de silos La simulation numérique discrète permet de modéliser simplement des cinématiques complexes telles que les écoulements de silos [4–6]. Si dans la partie supérieure d’un silo en écoulement, le champ de vitesses est relativement uni-
(a)
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forme, la partie située au-dessus de l’orifice est le siège de grandes déformations de cisaillement. Dans le cas d’un silo à fond plat, les particules convergent vers l’orifice définissant des frontières d’écoulement le long desquelles le matériau frotte sur les zones stagnantes présentes de part et d’autre (Fig. 5). Pour une telle géométrie de silo, la Fig. 6 présente des incréments de déformation de cisaillement obtenus dans la partie inférieure du silo au cours de la vidange dans le cas d’un modèle de contact élasto-plastique comme décrit dans la Section 2 (Fig. 6a) et dans le cas d’un modèle de contact incluant en plus une résistance au roulement [14] (Fig. 6b). Les incréments de déformation sont calculés par homogénéisation dans des cercles dont le diamètre est égal à 5 fois le diamètre moyen des particules suivant l’expression des déformations lagrangiennes moyennes proposée par Oda et Iwashita [15]. Si la forme parabolique de la frontière d’écoulement constatée dans le premier cas est tout à fait en accord avec des observations expérimentales d’écoulements de billes de verre, la prise en compte d’une résistance au roulement conduit à la formation de bandes de cisaillement transverses en forme d’arc similaires à celles observées expérimentalement dans les écoulements de sable [16].
(b)
Fig. 6. Déformations de cisaillement dans la partie inférieure d’un silo à fond plat (les incréments de déformation sont calculés par homogénéisation dans des zones circulaires centrées sur chaque particule et représentés par la coloration des particules en niveaux de gris pour les incréments compris entre 0 et ε˙ lim et en noir pour les incréments supérieurs à ε˙ lim ) : (a) loi de contact sans résistance au roulement, (b) loi de contact avec résistance au roulement. Fig. 6. Shear strains in the lower part of a flat-bottomed silo (strain increments are computed by homogenisation within circular zones centred in each particle and represented by particle coloring in grey level for increments ranging from 0 to ε˙ lim and in black for increments superior to ε˙ lim ): (a) contact law without rolling resistance, (b) contact law with rolling resistance.
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3.3. Couches minces : étude de l’interface sol-structure Compte-tenu de la faible épaisseur des couches de matériau concernées par le cisaillement au niveau d’une paroi, la simulation numérique discrète s’avère être un outil pertinent en vue de l’analyse du cisaillement de l’interface sol-structure. On considère ici la modélisation d’un essai de cisaillement direct entre un matériau granulaire et une plaque constituée de particules circulaires contiguës en déplacement horizontal à la vitesse de 5 mm/s (Fig. 7) [7]. Le champ des vitesses instantanées (Fig. 8) fournit une information qualitative globale de la cinématique au sein de la boîte de cisaillement. Sur la hauteur, on distingue, à proximité immédiate de la plaque, une couche mince perturbée par le déplacement de celle-ci et un bloc supérieur en ascension sous l’effet de la dilatance provoquée par le cisaille-
Fig. 7. Simulation numérique discrète d’un essai de cisaillement direct entre un matériau granulaire et une plaque rugueuse. Fig. 7. Discrete numerical simulation of a direct shear test between a granular material and a rough plate.
ment. Les irrégularités et certaines fortes valeurs des vitesses particulaires au voisinage de l’interface correspondent à des instabilités locales transitoires. L’analyse des déplacements et des rotations (Fig. 9) des particules permet de localiser une bande de cisaillement dont l’épaisseur, de l’ordre de cinq fois le diamètre maximum des particules constituant l’échantillon, semble indépendante de la rugosité relative r de l’interface. L’influence de celle-ci sur l’obliquité macroscopique δ (Fig. 10) permet de distinguer les interfaces partiellement rugueuses (pour lesquelles δ < ϕ) des interfaces parfaitement rugueuses (pour lesquelles δ = ϕ), ϕ étant l’angle de frottement macroscopique du matériau granulaire.
4. Conclusions La simulation numérique discrète, en considérant le milieu à l’échelle du grain, permet une description plus physique du matériau granulaire basée sur des paramètres caractérisant les grains et leurs contacts mutuels. Cette méthode est, en outre, directement applicable à des cinématiques complexes incluant les grandes déformations et particulièrement bien adaptée à la modélisation des couches minces de matériau granulaire. Une fois la méthode validée sur un cas de référence, elle constitue un soutien à l’expérimentation en fournissant de plus des informations difficilement accessibles expérimentalement comme le réseau des forces de contact ou encore les déplacements et les rotations de tous les grains. Bien que volontairement limitée ici à des milieux pulvérulents, l’approche discrète
Fig. 8. Champ des vitesses instantanées des particules au cours du cisaillement (vmax = 6 mm/s). Fig. 8. Particle instantaneous velocity field during shearing (vmax = 6 mm/s).
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(a)
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Fig. 9. Analyse de la cinématique au sein de la boîte de cisaillement (r est la rugosité relative de l’interface correspondant au rapport entre le diamètre des particules constitutives de la plaque et le diamètre maximal des particules du matériau) : (a) profil vertical des déplacements horizontaux des particules, (b) profils verticaux des rotations des particules (u est le déplacement horizontal de la plaque, um est le déplacement horizontal moyen par couche, θm est la rotation moyenne par couche, R50 est le diamètre moyen des particules). Fig. 9. Analysis of kinematics within the shear box (r is the interface relative roughness corresponding to the ratio between the diameter of the particles forming the plate and the maximal particle diameter of the material): (a) vertical profile of particle horizontal displacements, (b) vertical profile of particle rotations (u is the plate horizontal displacement, um is the average horizontal displacement per layer, θm is the average rotation per layer, R50 is the mean particle diameter).
Références
Fig. 10. Relation entre les angles de frottement macroscopiques à l’interface (δpic et δres ) et la rugosité relative r de celle-ci (ϕpic et ϕres sont les angles de frottement macroscopique au pic et résiduel du matériau, ψ est l’angle de frottement microscopique entre les particules du matériau et les particules de la plaque). Fig. 10. Relation between interfacial macroscopic friction angles (δpic and δres ) and interface relative roughness r (ϕpic and ϕres are macroscopic peak and residual friction angles of the material, ψ is the microscopic friction angle between material particles and plate particles).
peut être étendue à des matériaux cohésifs par l’introduction d’une adhésion au contact interparticulaire. Des travaux récents [17,18] ont mis en évidence les potentialités de la méthode dans ce domaine et une étude est en cours au laboratoire sur le comportement des matériaux de chaussée liés.
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Nomenclature f fw Fc kn knw kt ktw n t r R50
coefficient de frottement au contact particule/particule coefficient de frottement au contact particule/paroi force de contact entre deux particules . . . . . . . N rigidité normale au contact particule/particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m rigidité normale au contact particule/paroi N/m rigidité tangentielle au contact particule/particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m rigidité tangentielle au contact particule/paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N/m normale au contact tangente au contact rugosité relative de l’interface valeur médiane du rayon des particules . . . . . m
1. Introduction Un grand nombre de matériaux du génie civil, qu’ils soient élaborés par le constructeur (béton, matériaux de chaussée, remblais, . . . ) ou qu’ils s’imposent à lui comme les sols, sont constitués de grains. La description d’un tel matériau dépend de l’échelle d’observation. A l’échelle du grain, que l’on peut qualifier d’échelle microscopique, un matériau granulaire est intrinsèquement hétérogène et discontinu. Mais à l’échelle de l’échantillon, si celui-ci possède une taille suffisante, on peut décrire le matériau par un équivalent homogène et continu pour lequel on peut définir des variables macroscopiques moyennes. Ce passage de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique fait appel à la notion de Volume Elémentaire Représentatif (VER) et nécessite que le rapport entre la taille de l’échantillon et la taille des grains soit suffisamment grand. Quand un VER peut être défini, l’approche classique consiste à décrire le comportement du matériau granulaire par un modèle continu utilisant le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations. Si cette approche s’avère pragmatique et efficace pour l’ingénieur, elle n’en demeure pas moins insuffisante pour décrire le comportement d’un matériau granulaire sous sollicitations complexes en faisant appel à de nombreux paramètres dont l’origine physique n’est pas toujours clairement établie. L’approche numérique discrète, qui consiste à modéliser chaque grain individuellement et à gérer chaque contact entre grains, apparaît alors comme un outil d’analyse et d’homogénéisation numérique qui permet de relier le comportement macroscopique aux paramètres microscopiques définis à l’échelle des grains ou de leurs contacts [1]. Une autre limitation de l’approche continue concerne la modélisation du comportement d’un matériau subissant de grandes déformations. La mise en œuvre numérique des modèles
u um δ ε˙ ϕ θm σ top τ ψ
déplacement de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . m déplacement moyen des particules d’une couche horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m angle de frottement macroscopique à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg incrément de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . s−1 angle de frottement macroscopique du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg rotation moyenne des particules d’une couche horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rad contrainte verticale sur le chapeau de la boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa contrainte de cisaillement à l’interface sol-plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa angle de frottement microscopique à l’interface particule–plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deg
continus dans ce cas requiert des procédures sophistiquées de remaillage [2] sans pour autant assurer avec précision la prédiction d’une cinématique complexe [3]. De plus, dans certaines applications (couches de matériau de chaussée ou de voie ferrée, interfaces entre un matériau granulaire et une structure, . . . ), le milieu granulaire n’est pas suffisamment étendu pour que la notion de VER ait un sens. Les modèles continus sont alors conceptuellement inadaptés et seule une approche discrète s’avère pertinente. Ces différents apports de la simulation numérique discrète seront illustrés dans la suite par certains résultats d’analyses numériques réalisées à l’aide de la Méthode des Eléments Distincts par l’équipe Géomécanique de l’INSA de Rennes [4–7].
2. La méthode des elements distincts La simulation d’assemblages denses de particules solides trouve son origine en 1971 dans le travail pionnier de Cundall [8] qui aboutira au développement de la Méthode des Eléments Distincts en 1979 [9]. On trouvera dans [10] une synthèse des différents types de méthodes de simulation numérique discrète développés pour la modélisation des matériaux granulaires. Le programme d’Eléments Distincts que nous utilisons est PFC, Particle Flow Code [11]. Les particules de forme circulaire (en 2D) ou sphérique (en 3D) sont considérées comme rigides mais possèdent des zones de contact interparticulaire virtuellement déformables au sens où les interpénétrations des particules sont autorisées. Dans les exemples qui suivent, on considère uniquement des milieux bidimensionnels. Chaque cycle de calcul comprend trois étapes : la détection des contacts, le calcul à chaque contact de la force de contact à partir du déplacement relatif des deux particules en contact, puis le cal-
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cul de la nouvelle position de chaque particule. La loi de contact est de type élasto-plastique (Fig. 1) : la relation entre la force de contact Fc et le déplacement relatif au contact est décrite avec des raideurs élastiques normale et tangentielle et un frottement de type Coulomb. On présente ici un exemple de validation de la méthode. L’expérience de Réf. [12] est un essai biaxial (Fig. 2) réalisé sur un matériau constitué de cylindres de bois dont le frottement interparticulaire a été mesuré expérimentalement (coefficient de frottement f = 0,53). On considère les cylindres comme quasi-indéformables (on prendra des raideurs aux contacts kn = kt = 108 N/m) et les parois comme parfaitement lisses (coefficient de frottement fw = 0). Les paramètres micromécaniques de contact utilisés sont listés dans le Tableau 1. Suite à la mesure à l’aide d’un stéréocomparateur de la position de chaque cylindre, la géométrie de l’assemblage correspondant à la configuration initiale de l’échantillon sous
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un état de contrainte isotrope a pu être reproduite par simulation. La comparaison des résultats de la simulation avec les résultats expérimentaux s’avère très satisfaisante aussi bien pour la courbe contrainte—déformation axiale (Fig. 3a) que pour la courbe déformation volumique—déformation axiale (Fig. 3b). Les défauts de régularité des courbes ci-dessus, notamment de la réponse expérimentale, sont dus à des réarrangements brusque de la structure granulaire. On note une assez bonne correspondance à la fois dans la partie initiale du chargement, régie principalement par les paramètres élastiques, et dans la partie des grandes déformations après avoir atteint le seuil de résistance. En outre, le comportement de contractance–dilatance est très fidèlement reproduit, en parTableau 1 Paramètres micromécaniques utilisés pour la simulation des cylindres de bois
Rigidité normale Rigidité tangentielle Coefficient de frottement
Contact particule/particule
Contact particule/paroi
kn = 108 N/m kt = 108 N/m f = 0,53
knw = 108 N/m ktw = 108 N/m fw = 0
Fig. 1. Loi de contact entre deux particules : ressort de raideur kn sur la direction normale au contact, ressort de raideur kt et patin de coefficient de frottement (Coulomb) f sur la direction tangente au contact. Fig. 1. Contact law between two grains: spring of stiffness kn along contact normal direction, spring of stiffness kt and slider of friction coefficient (Coulomb) f along contact shear direction. (a)
(b) Fig. 3. Comparaison entre simulation et expérience (essai de cisaillement biaxial) : (a) courbe contrainte–déformation, (b) courbe de variation de volume. Fig. 2. Essai de compression biaxiale à contrainte de confinement constante. Fig. 2. Biaxial compression test at constant confinement stress.
Fig. 3. Comparison between simulation and experiment (biaxial shear test): (a) stress–strain curve, (b) volumetric strain curve.
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(a)
(b)
(c)
Fig. 4. Réseau des forces de contact dans un matériau granulaire au repos (chaque force de contact est représentée par un segment orienté suivant la direction du vecteur force et dont l’épaisseur est proportionnelle à l’intensité de la force) : (a) particules lisses et souples (kn = kt = 106 N/m, f = 0), (b) particules frottantes et souples (kn = kt = 106 N/m, f = 1), (c) particules frottantes et rigides (kn = kt = 108 N/m, f = 1). Fig. 4. Contact force network in a granular material at rest (each contact force is represented by a segment whose direction corresponds to this of the force vector and whose thickness is proportional to the force magnitude): (a) smooth and soft particles (kn = kt = 106 N/m, f = 0), (b) rough and soft particles (kn = kt = 106 N/m, f = 1), (c) rough and hard particles (kn = kt = 108 N/m, f = 1).
ticulier en termes de seuil caractéristique de passage de l’un à l’autre [13].
tations des efforts le long de la direction verticale, c’est-àdire le long de la direction de la sollicitation. D’un autre
3. Apports de la simulation numérique discrete 3.1. Homogénéisation : influence des paramètres micro sur la réponse macro On s’intéresse ici à l’effet couplé de la rigidité et du frottement des particules sur la transmission des efforts dus au poids propre au sein du matériau [4,5]. On considère un réservoir rectangulaire rempli de 10 000 particules mises en place par sédimentation. La représentation du réseau des forces de contact (Fig. 4) fournit de manière qualitative une vue globale de la transmission des efforts au sein du matériau granulaire. Elle nous renseigne en particulier sur l’hétérogénéité et l’anisotropie statiques de celui-ci. Dans le cas des particules souples (kn = kt = 106 N/m), le frottement interparticulaire (comparaison des Figs. 4a et 4b) accroît l’hétérogénéité locale de la transmission des efforts en diminuant la densité des chaînons mécaniquement actifs, et conduit, grâce à l’obliquité potentielle importante des forces de contact, à une forte concentration des orien-
Fig. 5. Cinématique de l’écoulement d’un matériau granulaire dans un silo à fond plat. Fig. 5. Granular material flow patterns in a flat-bottomed silo.
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côté, une plus grande rigidité des particules (comparaisons des Figs. 4b et 4c) se traduit à la fois par une augmentation de l’hétérogénéité des chaînons de forces de contact et par une plus grande isotropie de la transmission des efforts. Le matériau rigide (kn = kt = 108 N/m) présente une importante hétérogénéité des forces de contact associée à la formation de voûtes de faibles portées (quelques particules). L’anisotropie de transmission des efforts provoquée par le frottement interparticulaire pour un matériau constitué de particules souples n’est pas retrouvée en présence de particules rigides. Au contraire, les voûtes favorisent la poussée horizontale au sein du matériau et ainsi confèrent un caractère globalement plus isotrope aux efforts macroscopiques. 3.2. Modélisation des cinématiques complexes : écoulements de silos La simulation numérique discrète permet de modéliser simplement des cinématiques complexes telles que les écoulements de silos [4–6]. Si dans la partie supérieure d’un silo en écoulement, le champ de vitesses est relativement uni-
(a)
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forme, la partie située au-dessus de l’orifice est le siège de grandes déformations de cisaillement. Dans le cas d’un silo à fond plat, les particules convergent vers l’orifice définissant des frontières d’écoulement le long desquelles le matériau frotte sur les zones stagnantes présentes de part et d’autre (Fig. 5). Pour une telle géométrie de silo, la Fig. 6 présente des incréments de déformation de cisaillement obtenus dans la partie inférieure du silo au cours de la vidange dans le cas d’un modèle de contact élasto-plastique comme décrit dans la Section 2 (Fig. 6a) et dans le cas d’un modèle de contact incluant en plus une résistance au roulement [14] (Fig. 6b). Les incréments de déformation sont calculés par homogénéisation dans des cercles dont le diamètre est égal à 5 fois le diamètre moyen des particules suivant l’expression des déformations lagrangiennes moyennes proposée par Oda et Iwashita [15]. Si la forme parabolique de la frontière d’écoulement constatée dans le premier cas est tout à fait en accord avec des observations expérimentales d’écoulements de billes de verre, la prise en compte d’une résistance au roulement conduit à la formation de bandes de cisaillement transverses en forme d’arc similaires à celles observées expérimentalement dans les écoulements de sable [16].
(b)
Fig. 6. Déformations de cisaillement dans la partie inférieure d’un silo à fond plat (les incréments de déformation sont calculés par homogénéisation dans des zones circulaires centrées sur chaque particule et représentés par la coloration des particules en niveaux de gris pour les incréments compris entre 0 et ε˙ lim et en noir pour les incréments supérieurs à ε˙ lim ) : (a) loi de contact sans résistance au roulement, (b) loi de contact avec résistance au roulement. Fig. 6. Shear strains in the lower part of a flat-bottomed silo (strain increments are computed by homogenisation within circular zones centred in each particle and represented by particle coloring in grey level for increments ranging from 0 to ε˙ lim and in black for increments superior to ε˙ lim ): (a) contact law without rolling resistance, (b) contact law with rolling resistance.
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3.3. Couches minces : étude de l’interface sol-structure Compte-tenu de la faible épaisseur des couches de matériau concernées par le cisaillement au niveau d’une paroi, la simulation numérique discrète s’avère être un outil pertinent en vue de l’analyse du cisaillement de l’interface sol-structure. On considère ici la modélisation d’un essai de cisaillement direct entre un matériau granulaire et une plaque constituée de particules circulaires contiguës en déplacement horizontal à la vitesse de 5 mm/s (Fig. 7) [7]. Le champ des vitesses instantanées (Fig. 8) fournit une information qualitative globale de la cinématique au sein de la boîte de cisaillement. Sur la hauteur, on distingue, à proximité immédiate de la plaque, une couche mince perturbée par le déplacement de celle-ci et un bloc supérieur en ascension sous l’effet de la dilatance provoquée par le cisaille-
Fig. 7. Simulation numérique discrète d’un essai de cisaillement direct entre un matériau granulaire et une plaque rugueuse. Fig. 7. Discrete numerical simulation of a direct shear test between a granular material and a rough plate.
ment. Les irrégularités et certaines fortes valeurs des vitesses particulaires au voisinage de l’interface correspondent à des instabilités locales transitoires. L’analyse des déplacements et des rotations (Fig. 9) des particules permet de localiser une bande de cisaillement dont l’épaisseur, de l’ordre de cinq fois le diamètre maximum des particules constituant l’échantillon, semble indépendante de la rugosité relative r de l’interface. L’influence de celle-ci sur l’obliquité macroscopique δ (Fig. 10) permet de distinguer les interfaces partiellement rugueuses (pour lesquelles δ < ϕ) des interfaces parfaitement rugueuses (pour lesquelles δ = ϕ), ϕ étant l’angle de frottement macroscopique du matériau granulaire.
4. Conclusions La simulation numérique discrète, en considérant le milieu à l’échelle du grain, permet une description plus physique du matériau granulaire basée sur des paramètres caractérisant les grains et leurs contacts mutuels. Cette méthode est, en outre, directement applicable à des cinématiques complexes incluant les grandes déformations et particulièrement bien adaptée à la modélisation des couches minces de matériau granulaire. Une fois la méthode validée sur un cas de référence, elle constitue un soutien à l’expérimentation en fournissant de plus des informations difficilement accessibles expérimentalement comme le réseau des forces de contact ou encore les déplacements et les rotations de tous les grains. Bien que volontairement limitée ici à des milieux pulvérulents, l’approche discrète
Fig. 8. Champ des vitesses instantanées des particules au cours du cisaillement (vmax = 6 mm/s). Fig. 8. Particle instantaneous velocity field during shearing (vmax = 6 mm/s).
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(a)
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(b)
Fig. 9. Analyse de la cinématique au sein de la boîte de cisaillement (r est la rugosité relative de l’interface correspondant au rapport entre le diamètre des particules constitutives de la plaque et le diamètre maximal des particules du matériau) : (a) profil vertical des déplacements horizontaux des particules, (b) profils verticaux des rotations des particules (u est le déplacement horizontal de la plaque, um est le déplacement horizontal moyen par couche, θm est la rotation moyenne par couche, R50 est le diamètre moyen des particules). Fig. 9. Analysis of kinematics within the shear box (r is the interface relative roughness corresponding to the ratio between the diameter of the particles forming the plate and the maximal particle diameter of the material): (a) vertical profile of particle horizontal displacements, (b) vertical profile of particle rotations (u is the plate horizontal displacement, um is the average horizontal displacement per layer, θm is the average rotation per layer, R50 is the mean particle diameter).
Références
Fig. 10. Relation entre les angles de frottement macroscopiques à l’interface (δpic et δres ) et la rugosité relative r de celle-ci (ϕpic et ϕres sont les angles de frottement macroscopique au pic et résiduel du matériau, ψ est l’angle de frottement microscopique entre les particules du matériau et les particules de la plaque). Fig. 10. Relation between interfacial macroscopic friction angles (δpic and δres ) and interface relative roughness r (ϕpic and ϕres are macroscopic peak and residual friction angles of the material, ψ is the microscopic friction angle between material particles and plate particles).
peut être étendue à des matériaux cohésifs par l’introduction d’une adhésion au contact interparticulaire. Des travaux récents [17,18] ont mis en évidence les potentialités de la méthode dans ce domaine et une étude est en cours au laboratoire sur le comportement des matériaux de chaussée liés.
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