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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION Se observa que la mineralización se concentra justo por encima de la mitad de la capa; antes y después el contenido colapsa. Es probable que las partes marginales y la parte central de la capa se refieren a dos diferentes poblaciones, probablemente vinculadas a diferentes eventos minero-genéticos o posgenéticos. 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Por esta razón, el variograma vertical se calculó en dos casos: •

Teniendo en cuenta toda la población; es decir, toda la capa (8,5 m), entonces con hmáx. = 4,2 m.

•

Teniendo en cuenta solamente la población de hecho mineralizada; es decir, el espesor afectado por las altas leyes (3 m) y luego con hmáx. = 1.5 m.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Los resultados muestran dos variabilidades espaciales diferentes.  En el espesor mineralizado con alta variabilidad, hay tres estructuras elementales anidadas: un efecto pepita, una estructura con alcance a escala más pequeña del metro y una estructura intrínseca. Sin embargo, el variograma es coherente.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION Teniendo en cuenta toda la capa, el variograma muestra una discontinuidad clara, mientras que flota alrededor de la varianza experimental. Dentro de la distancia de 1,5 m; la tendencia del variograma es muy similar a la que en la parte central, con el mismo efecto pepita, pero con una variabilidad mucho menor para las otras dos estructuras.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION Teniendo en cuenta toda la capa, a continuación, las dos poblaciones, pares a corta distancia por lo general, pertenecen a su propia población, la de los ricos o la de los pobres. Los pares ricos con alta variabilidad tienen las estructuras anidadas de la mineralización, tendencia que se ve mitigada por la contribución de los pares pobres, con incrementos casi cero.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Entre 1,5 y 4,5 m; el variograma muestra una variabilidad muy regular, lo que sugiere la presencia de una tendencia, un promedio que varía de forma sistemática.

 A mayor distancia, entran en el juego los pares de datos que pertenecen a las dos poblaciones diferentes: una rica y una pobre.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Difícilmente, en los problemas con la estimación de reservas recuperables, se mezclarán las dos poblaciones.  Sería un grave error utilizar el variograma total, especialmente porque proporcionaría valores numéricos menores y las estimaciones serían indicadas como precisas, sin serlo.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Ejemplo 2: Consideremos otro ejemplo para demostrar la importancia de identificar y trabajar en poblaciones homogéneas, tal vez reduciendo el dominio de interés.  En el océano Pacífico, fue hecho un muestreo de los nódulos metálicos con malla regular a grande escala.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Se sospecha una anisotropía en un NW-SE, con base en los variogramas en estas dos direcciones. Se calculó también el variograma medio.  En realidad, un variograma parece estacionario (NE) y el otro intrínseco (NW).

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Al examinar el histograma, es clara una presencia de dos poblaciones estadísticas diferentes: una menos rica y otra menos numerosa.  Mirando más de cerca las fases de sedimentos, se hace una división en subáreas.

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MODELIZACION - SENSIBILIDAD A LA HOMOGENEIDAD DE LA POBLACION  Repitiendo el cálculo del variograma en las dos direcciones principales de la aparente anisotropía, los dos variogramas rsultantes son casi coincidentes.  La variabilidad espacial de la zona de mayor interés económico es totalmente isótropa, incluso probablemente una estructura a una escala menor de la malla de muestreo.

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CONSIDERACIONES FINALES

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MODELIZACION - CONSIDERACIONES FINALES  La modelización es el proceso que proporciona la herramienta básica para todas las aplicaciones geoestadísticas a los problemas de la minería: estimaciones, selección, diseño...  La calidad de la modelización depende principalmente de la calidad del variograma experimental.  La calidad del variograma experimental depende de muchos factores, algunos tan simple como la posible presencia de valores atípicos o la adecuada elección del paso elemental.

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MODELIZACION - CONSIDERACIONES FINALES  Pero la calidad del variograma experimental depende en gran medida en un análisis de geoyacimientológica profundo y en un excelente conocimento de los problemas que deben abordarse.  Los factores relevantes como la escala de trabajo o la homogeneidad de la población siempre deben considerarse cuidadosamente.

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MODELIZACION - CONSIDERACIONES FINALES  La fase de modelización en sí misma no debe producir el modelo verdadero, porque, como enseña Matheron, no se puede probar la objetividad del modelo, pero sí se puede falsificar.  Esto conduce a una visión muy pragmática, por lo que, en simples palabras, la modelización es válida si resuelve un problema específico de manera satisfactoria.

 Hay casos en que el cambio del problema sugiere cambiar el modelo de la VR.

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MODELIZACION - CONSIDERACIONES FINALES  Por supuesto que se deben respetar las restricciones de matemáticas tales como el uso de funciones definidas condicionalmente positivas como modelo de variograma.  En general, es suficiente combinar las estructuras elementales para obtener un modelo de variograma correcto. Por lo menos en las regionalizaciones monovariadas.  Incluso las anisotropías se modelizan de manera satisfactoria solo combinando los dos modelos disponibles.

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MODELIZACION - CONSIDERACIONES FINALES  El desafío más interesante sigue siendo la interpretación del modelo, la explicación de los tipos de estructuras elementales en cuenta y los parámetros relacionados con el análisis de los fenómenos físicos que han generado las VR de interés.  No es un paso necesario para la solución de problemas como una estimación eficiente, pero una interpretación correcta, por un lado, fortalece en gran medida la modelización y, por el otro, es una importante guía para las decisiones futuras.

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EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION

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VARIABLES REGULARIZADAS LA VARIABLE REGIONALIZADA  Hasta ahora hemos examinado variables regionalizadas (VR); es decir, funciones puramente deterministas, Z(x) que toma un valor fijo en cada punto del espacio.

 Una VR es interpretada como la realización de una función aleatoria (FA), Z(x) y puede ser estacionaria (FAEs) o intrínseca (FAI-k).

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VARIABLES REGULARIZADAS - LAS RELACIONES DE PARTIDA  k = 1 visita a los puntos en la primera fila, r = 1; c=1, nc – 1, que se aparean a los puntos de la siguiente fila y de la siguiente columna: (r´ = r+1; c´ = c +1)  Se acumula ek cuadrado de sus incrementos. [z(c+1, r+1) – z(c, r)] y el n.º de pares.



 h 





1 var Z x   Z x  h 2



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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Las VR estudiadas es poco probable que se conocen en términos de valor puntuales, porque por lo general requieren una cantidad finita de materia, con el fin de realizar análisis, también porque la muestra técnicamente tiene un volumen propio.  Además, los problemas técnicos y económicos difícilmente hacen referencia a valores puntuales, pero sí a valores promedio de testigos, bloques, paneles: es sobre estos que se concentra gran parte de los intereses.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El dominio espacio temporal donde se calcula el promedio de la VR se llama soporte.  El soporte es… • El volumen v • La superficie s • El segmento l • El intervalo de tiempo d … donde la VR z(x) es medida (su valor medio). 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El soporte es caracterizado por la dimensión y la forma; en 3D, 2D, 1D.  Por ejemplo: en 3D un paralelepípedo (bloque) o un cilindro (testigo). v1

s1

l

s2

v2

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  En 2D, el soporte es una superficie cuadrada o esférica.  En 1D, un segmento (galería, muestra).

v1

v2

s1

l

s2

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El problema del soporte en práctica es simplificado.  Si el tamaño es pequeño respecto a la escala de trabajo, el soporte puede ser considerado puntual.  Ejemplo: un testigo y el yacimiento.

L

J

l

l

 El mismo testigo, referido al sondeo, tiene soporte no nulo, normalmente lineal. 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Normalmente, en geoestadística se denota la VR y la FA con la letra z(x) o Z(x), donde x es el punto genérico del espacio n dimensional a que se refiere.  En el caso de un espacio 3D, las tres coordenadas cartesianas generalmente se denotan por x, y, z, que puede crear confusión. Al referirse al punto, vamos a mantener la notación z(x) o Z(x); si es necesario hacer referencia explícita a las tres coordenadas, se utiliza la notación v(x, y, z) o V(x, y, z).

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si el VR es una variable aditiva, integrable; estas características coinciden con la media aritmética de las VR.

z v  

1 1   z x dx   zi v v n i 1,n

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Debe utilizar subperiodos, para interceptar la… 

Así en 2D, el semiespacio angular ( B ) puede ser dividido en n direcciones.

vi

siendo el variograma una función

par, 

.

V

A cada dirección es asociado un sector angular que normalmente coincide con la tolerancia angular.

z V  

1  zvi  N i 1, N

ou

z V  

1 V



V

z ( x)dx

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  La variable regularizada también es una VR porque está definida en cada punto del espacio discretizado en elementos iguales al soporte.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El incremento es también una función aleatoria siendo la diferencia entre dos variables aleatorias que pertenecen a una FA.  Si la Z(x) es una FAEs, también el incremento es una FAEs porque no depende de x, solo de h.  En efecto, su medida es cero.

z vx0  

1 z x dx  zv x0  v v  x0 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si la variable regularizada no es aditiva, pero sí es un tensor, un vector (por ejemplo: la permeabilidad), la variable regularizada también es un tensor, con valores de las componentes que van desde la media aritmética hasta la media armónica.

1 1 1 dx v v  x0  z x 

 z v x0  

1 z x dx  v  x  0 v

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Deben prestar mucha atención al hecho de que la variable regularizada no es la variable original de base.  Las variables estadística o aleatoria se identifican por sus distribuciones de frecuencias y de probabilidades.  Si cambia la ley, la variable cambia.  Cuando una variable se regulariza sobre un soporte 𝑣, su distribución se muda y crea una variable diferente.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  También la ley cambia, si el volumen queda constante y solo cambia la forma; sin embargo, ha cambiado el soporte.  No es necesario que la variable en la que la operación de regularización se realiza sea puntual, sino que también puede ser una variable que ya está regulada en un soporte diferente.  En el siguiente, siempre se consideran variables aditivas a menos que se indique lo contrario.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Consideramos una muestra con 7 cm de diámetro y 1 m de cobertura.  Consideramos un depósito esquematizable como un paralelepípedo con dimensiones de los lados 500, 100, 200 m.  La relación entre los volúmenes es la siguiente:

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Consideramos un sondeo con 7 cm de diámetro muestreado con muestras de 1 m de longitud.  La relación entre los volúmenes (longitudes) es la siguiente:

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El promedio de la variable regularizada sigue siendo el mismo.

mv  m 4

4

mv  EZ v x  

1 1 EZ x dx   mdx  m  v v v v

3 4

4

2

3

4

5

4  4  3  2  4  5 11 m  6 3

mv 

4  3  4 11  3 3

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  La varianza de la variable regularizada disminuye.

     v, v  2 v

2

4

4

 v2  E Z v2 x  m 2 

  EZ x Z x'dxdx'  m

2

v v



 C v, v   C 0   v, v 

3 4

4

1 v2

2

3

4

5

42  42  32  22  42  52  11        14,3 6 3 2

2

42  32  42  11      13,7 3 3 2

 v2 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El variograma es diferente: para distancias superiores a la dimensión del soporte, a una primera aproximación se baja con respecto del variograma de la FAEs de la misma cantidad de la varianza.

 v h   h   v, v  

 

 v h   E Z v x  h   Z v x  



2 1 1 2C v, v   2C v, v h   2 2   v, v h    v, v    h    v, v 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION 

La distribución de probabilidad es diferente. •

Tiene una varianza más pequeña, por lo que es menos dispersas, más recoge alrededor de la media.

•

Tiende a perder cualquiera asimetría, como una distribución logarítmica normal tiende a una normal. Variable log-normal

Variable regularizada l=5

0,4

0,4 0,35

0,3 frecuencia rel

frecuencia rel

0,35 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 clase

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 clase

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Para el cálculo de los momentos II de la FA regularizada, aparece una nueva función, el variograma medio entre dos volúmenes, en general diferentes: V, V´.  Formalmente, su definición matemática es un integral doble en las coordenadas de los extremos del vector traslación, h= x –x´.

 V ,V ' 

1  x  x'dxdx ' VV ' V V '

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  La cantidad debe ser atribuida al espesor efectivo y entonces el valor muestreado debe ser adecuadamente modificado:

V x

h

x’

V’

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Para cada par de valores, x e x´, un vector h se identifica y, a continuación, un valor del variograma.  El punto x cubre el volumen V, el punto x´ cubre el volumen V´.

 Se suman todos los valores de los variogramas y se calcula la media. V x

 V ,V ' 

h

x’

V’

1  x  x'dxdx ' VV ' V V '

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION 

En el caso de las variables regularizadas, estos volúmenes coinciden con el soporte de la variable.



Los dos volúmenes son normalmente separados, pero, como caso particular, pueden coincidir en un solo volumen: .

v

x

 v, v' 

h

x’

v’

1  x  x'dxdx ' vv' vv '

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El número de direcciones es siempre 4, entonces los sectores angulares son identificados y tienen una anchura.  El paso elemental es el mismo por cada dirección.  Las clases son identificadas por los múltiplos de los pasos elementales +/- la tolerancia.

1 1  V ,V '   x  x'dxdx '  2   VV ' V V ' n

n

n

  x  x  i 1 i '1

i

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i'

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION 

Se calcula el ángulo entre el vector y las direcciones principales seleccionadas hij.



Si el ángulo calculado para una dirección principal u es menor que el ángulo de la tolerancia, el par contribuye al cálculo del variograma experimental en dirección u. 3,2 4,2

5,2

1 4 6 V   xi  xi '   3,1 4,1 5,1 4  6 i 1 i '1 0,1 1,1 V’ 1   x1  x5    x1  x6   ... x4  x10   0,0 1,0 24 1   h1,5  4  02  1  02  ... h4,10  5  12  2  12 24

 V ,V ' 





 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si el variograma es un efecto pepita puro y si los dos volúmenes son disjuntos, el variograma promedio coincide con el efecto pepita puro.

0 C

 h   

 V ,V ' 

h0 h  0 1 n n'  C  C n  n' i 1 i '1

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si los dos volúmenes están muy separados, de modo que todos los posibles pares de puntos de discretización se caracterizan por una distancia del vector superior al alcance del modelo, entonces el variograma medio es igual a la meseta.

 h   h    C

ha ha

1 n n'  V ,V '   C  C n  n' i 1 i '1 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Como un caso especial, los dos volúmenes en los que se calcula el variograma promedio pueden superponerse: esto es el caso del variograma promedio que aparece en la expresión de la varianza de una variable regularizada como término sustractivo.

 v2   2   v, v 

 La varianza regularizada es siempre menor que el a priori, porque el variograma promedio es siempre una cantidad mayor o igual a 0. 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Se analiza la cuestión de la reducción de la varianza de una variable regularizada respecto a la a priori.

 v2   2   v, v   La disminución depende de lo siguiente: • De la función variograma; es decir, tipo de función y parámetros: y, a, C. • Del soporte de regularización, v: tamaño y forma.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  El variograma promedio soporte-soporte tiene la característica de que dos volúmenes considerados son coincidentes.

 v, v  

1 v2

   x  x'dxdx' v v

 En la doble integración, para cada punto de 𝑥 habrá un punto con coordenadas 𝑥'𝑥, entonces hay pares de puntos cuya distancia es cero y, por lo tanto, el variograma.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Por ejemplo: en el caso de un soporte cuadrado discretizado en cuatro puntos de coordenadas conocidas y variograma isótropo, el valor medio del variograma soporte-soporte es el siguiente: 1 4 4 0,1 1,1  xi  xi '    4  4 i 1 i '1 0,0 1,0 1  4   h1,1    h1, 2    h1,3    h1, 4   16 1 1 1  4   0    1   2   1   1   2 16 2 4

 v, v  

 

 



 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Considere un muestreo irregular 2D.  Cada muestra Zi se identifica mediante un par de coordenadas: Zi = Z(Xi, Yi). h0 h0

0 1

 h   

 pep h   C   h 

 

1 v

 pep v, v   C 1  

v(v  1)  1  C 1   2 v  v n n n * 1 1 n(n  1)  1  pep v, v   2  C xi  xi '   2  n  1C  C  C 1   2 n i 1 i '1 n i 1 n  n



pep

v, v  

1 v2

  C x  x'dxdx'  v  C v  1dx'  C 1

v v

2

v

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  En el caso de un soporte discretizado en cuatro puntos, el variograma medio soporte-soporte para un modelo pepita puro es el siguiente:



 1 pep v, v   C 1    



v

1 4 4   pep xi  xi '   4  4 i 1 i '1

0,1

1,1

0,0

1,0

1 4  0  C  C  C   12 C  C 1  1  16 16  4

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si el soporte tiende a 0; es decir, la variable regularziada tiende a la variable puntual, la varianza de la variable regularizada tiende a la varianza a priori, dado que el término sustractivo se desvanece.

 v2   2   v, v  v0

 v, v    0,0  0  v2   2

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Si el soporte tiende a infinito; es decir, la variable regularizada tiende a la media del campo, el término sustractivo tiende a la varianza a priori y la varianza de la variable de regularizada tiende a cero.

 v2  C 0   v, v  v

 v, v    ,    C 0  v2  0

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION  Por lo tanto, cuanto mayor sea el soporte de regularización, mayor será el variograma medio soporte-soporte y menor es la varianza de la variable regularizada.  Cuanto mayor sea el soporte, más es la variable regularizada.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL SOPORTE Y LA REGULARIZACION Uno de los dos volúmenes puede ser nulo, en cuyo caso hablamos de variograma medio punto-volumen.

 0,V  

1 V

  x V

0

 x'dx'

Es una cantidad que será utilizada principalmente para calcular la varianza de extensión y otras varianzas de estimación.

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EL VARIOGRAMA REGULARIZADO

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VARIABLES REGULARIZADAS - LAS RELACIONES DE PARTIDA  Hasta ahora hemos definido y considerado solo variogramas de VR con soporte puntual. Pero sabemos que el soporte puntual no esiste, es una aproximación. Sin embargo, es aceptable en muchos casos.  Pero cuando la aproximación puntual no puede más ser aceptada, incluso el variograma no puede más ser considerado puntual y su expressión teórica tiene que ser revisada.



 h 





1 var Z x   Z x  h 2



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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Considerar Z(x) una FAEs con media, varianza y variograma: .  Se considera su regularizada ejemplo: la ley media de un testigo.

es un soporte v . Por

 Su media y su varianza son

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  A continuación se presenta cinco modelos compuestos de la suma de algunos comunes modelos de base: un pepítico, un esférico, un exponencial, un gaussiano y un lineal.

v(x)

h

v(x+h)

Zv(x)

   

 

2 1  v ( h)  E  Z v x  h  Z v  x  

2

Zv(x+h)

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO 

Sustituyendo las variables regularizadas con su expresión, se obtiene la identificación de la función variograma regularizada en términos de variogramas promedio soporte-soporte.



Es suficiente recordar que la media es la integral de probabilidad de la variable aleatoria; casi discretamente, la probabilidad infinitesimal f(x)dx se sustituye por la probabilidad Pu y la integral por la suma.



  

 

2 1  v h  E  Z v x  h  Z v x   

2  

2 1  1 1   E   Z  d   Z  d    2  v v x  h  v vx   





  v, v h   v, v 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  En particular, el variograma regularizado es la diferencia entre el variograma promedio entre dos soportes distante ℎ y el variograma promedio entre dos sopoprtes que se superponen.



 v h   v, v h    v, v 

v(x)

h

v(x+h)

Zv(x)

Solo el primer término Zv(x+h)

depende de la distancia h.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  El modelo lineal se caracteriza por un solo parámetro, la inclinación c.  No tiene meseta y expresa una FAI-0.

vx



’

vx+h

 vx , vx  h  

1 v2

      ' d d ' v x v xh

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO 

El error de medición, que es una cantidad aleatoria, tiene un promedio, probablemente cero , una varianza, probablemente pequeña y es independiente de la sustancia radioactiva: .



No hay ninguna razón parar creer que el error es espacialmente estructurado, por lo que debe tener un variograma pepítico.

vx

 vx , vx  h  

i

vx+h



j

1 v2

1 N2

      ' d d '  v x v xh

   N

N

i 1 j 1

i

 j 

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  fdp de la VA en el punto X0.  Misma fdp en todos los puntos.  Misma media.

 Misma varianza.

h  a  Dv



 vx , vxh   C vx

h  a  Dv

   '  a

Dv



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vx+h

h

’

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  A mayor distancia del alcance, el variograma es siempre C, por lo que el variograma promedio es la media de una constante; es decir, es igual a la meseta.

   '  a

h  a  Dv  vx , vx  h  

vx

1 v2

Dv

     ' d d ' 



v x v xh

1 v2

vx+h



h

’

  C d d '  C v x v xh

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  La meseta del variograma regularizado es menor de la puntual: Cv < C.  Tomamos la expresión general del variograma regularizado.

 v h   v, v h    v, v   Para la distancia que tiende a infinito, el variograma regularizado tiende a su meseta.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Basado en la expresión general

 v h   v, v h    v, v  para h que tiende a infinito, el primer término tiende a la meseta del variograma puntual.  Así, la meseta del variograma regularizado es la siguiente:

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  La meseta del variograma regularizado es menor que la meseta del puntual. 

Regularización del variograma

(v,v)  (h)

C

Puntuale Regolarizzato

0

10 h

La reducción es el variograma medio soporte-soporte que es independiente de la distancia, pero depende solo del soporte (forma y tamaño).

20

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  También el alcance del variograma regularizado av es diferente del puntual y en particular es mayor.

 El incremento es definido segundo según la forma y el tamaño del soporte.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Tomamos la expresión general del variograma regularizado.

 v h   v, v h    v, v   El umbral es definido como la distancia h para que el variograma regularizado quede constante.  Mientras que resta constante cuando muda, se hace constante solo cuando cada distancia es mayor del alcance, .

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Se considere que el soporte tiene dimensiones igual al diámetro medio.

Dv = dim{v}2r  Si los dos puntos más próximos tienen distancia a, la distancia entre los baricentros es x –x´ = a + 2r

a

r

av=a+2r

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Para distancias de los baricentros también el término

se hace constante.

Regularización del variograma Puntual Regularizado

Por lo tanto, el alcance del variograma regularizado es el siguiente:

 (h)



a

av

h

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Se pueden calcular las estadísticas de las dos variables.  Si es suficientemente grande la media y la varianza de los dos extremos del vector h, coinciden con la media y la varianza del área. Regolarizzazione del variogramma

Se trata de un comportamiento en particular, hasta una distancia exactamente igual al tamaño del soporte.

Puntuale Regolarizzato

C (h)



0

5

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15

20

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10 h

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Esto se explica por el hecho de que las distancias entre los baricentros más pequeñas que la dimensión del soporte, los dos dominios se superponen parcialmente; es decir, tienen una intersección distinta de cero. v

v  vh  0

v+h r

v

v+h r

h < 2r

h > 2r

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  En la práctica, los datos son de muestras físicas; por lo que no pueden tener valores del variograma experimental para distancias menores que el tamaño de la muestra y no pueden ocupar, aunque sea parcialmente, el mismo volumen.  Piense en un muestreo continuo, en un sondeo con los testigos de longitud l: el primer punto del variograma experimental será exactamente a una distancia igual a la longitud de las muestras: h1 = l.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  El único efecto práctico de esta tendencia muy regular en el origen, teóricamente presente, pero sin posibilidad de tener valores experimentales, sería el de obtener los valores negativos del variograma extrapolando los puntos experimentales disponibles en el origen.  En la práctica, es un problema muy raro.

(h)

Tendencia regular en el origen

0

5

10

15

20

h

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Resumiendo las diferencias entre el variograma regularizado y el puntual.  Otra manera de estudiar la correlación espacial es por la variable incremento, igual a la diferencia de los valores de los dos puntos.

Regolarización del variograma Puntual Regolarizado

(v,v)

C

Serán media y varianza experimentales de los incrementos, si nh es suficientemente grande.

 (h)

Cv

a

av

h

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Cabe destacar que este análisis demuestra y confirma que es absolutamente incorrecto mezclar y procesar datos con diferentes soportes, porque son diferentes variables.  Un ejemplo sintético de regularización preparado en la hoja electrónica sería el siguiente:

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Variograma experimental puntual (v1=1, alcance a=5, meseta C=1) y regularizado por un soporte v2=5 v1.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Una profundización es necesaria en el caso de las muestras con soportes no isotrópicos: es el caso de las muestras a lo largo de los sondeos.  Se considera Z(x) a una FAI-0 en 3D con variograma lineal. Y(h) = wh  Se considera su variable regularizada Z l(x) sobre un soporte lineal l.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  El variograma regularizado a lo largo de los sondeos y entre los sondeos para vectores de distancias verticales y horizontales, cómo se comporta ?

Zl

 

 l h hor ?

 

 l h ver ?

hver

Zl hhor

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Se parte de la relación básica.



 l h   l , l h    l , l   El segundo variograma medio casos y su valor es el siguiente:

1  l , l   2 l

l       ' d  d  '   l ,l 3

es el mismo en los dos

Zl

Zl

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO



 l h   l , l h    l , l   El primer variograma medio es diferente en los dos casos y es calculable explícitamente solo en vertical.



 l , l h

vert

  l1      'dd '   h l ,l  h



 l , l h

hor

Zl

2



1  2 l

ver

     'dd '   h l ,l  h

hvert

hhor

Zl

hor

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  En el caso del variograma regularizado entre las muestras con longitud l del mismo sondeo y variograma puntual lineal, el resultado es un variograma que se baja de l/3.

  

 l hvert   l , l h

vert

Zl hvert

  l, l   h   3l

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Ejemplos visuales de regularización se pueden obtener fácilmente de las imágenes.  De una imagen de una superficie con soporte (píxel) de 1 m, muy irregular, se obtienen mediante la regularización a 3 metros a 9 metros algunas imágenes mucho más regulares.  Los mismos variogramas muestran, manteniendo la tendencia general, una reducción de la meseta según la reducción de la varianza experimental.

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO Ejemplo

Support 3m

Support 9m

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Ejemplo: Influencia de la regularización en el variograma experimental usando las concentraciones medias de las muestras de 2 y 4 metros (Surface Mining 2° edition, Bruce A. Kennedy Ed. SME 1990, p. 322).

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Ejemplo: La diferencia de soporte no solo altera el variograma cambiando el tamaño de la muestra, sino también la forma (por ejemplo: cuando se muda el método de muestreo).  La figura muestra un ejemplo de variograma sobre datos de testigos y de canales en una mina de estaño (Surface Mining, op. cit., p. 323).

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Ejemplo: La diferencia en soporte altera el variograma. En la figura, el variograma de la muestra de la acumulación (espesor x ley) registrado en los testigos y los canales en una vena de plata (Surface Mining, op. cit., p. 323).

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VARIABLES REGULARIZADAS - EL VARIOGRAMA REGULARIZADO  Una variable regionalizada (VR) es una función puramente determinista, z(x). Toma un valor fijo en cada punto del espacio y es interpretada como la realización de una función aleatoria (FA), Z(x), y que puede ser estacionaria (FAEs) o intrínseca (FAI-K).

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VARIABLES REGULARIZADAS - LAS RELACIONES DE PARTIDA  Teóricamente, la expresión del variograma asociado a una función aleatoria estacionaria (FAEs) o intrínseca de grado 0 (FAI-0) es la siguiente:



 h 





1 var Z x   Z x  h 2



 Corresponde a la semivarianza del incremento de dos variables independientes separadas por el vector traslación, h .

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LA DISPERSION: EL CONCEPTO

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  El concepto intuitivo de la dispersión es uno de los más enfocados por la geoestadística. Se formaliza y se cuantifica por la varianza de dispersión.

 Una de las principales aplicaciones del enfoque geoestadístico sobre la dispersión es la selectividad para el cálculo de las reservas.

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  Los resultados de la caracterización de la dispersión, así como de la selección, serán en gran parte condicionados por los soportes, dando lugar a lo que se llama efecto del soporte.  El análisis que se ha nacido en el sector minero tiene de hecho una amplia aplicación. Por ejemplo: en el medio ambiente y cada vez que tienen que ver con la selección por un valor límite, un cut-off.

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  El dominio espacio temporal donde se calcula el promedio de la VR se llama soporte.  El soporte es…

• El volumen v • La superficie s • El segmento l • El intervalo de tiempo d … donde la VR z(x) es medida (su valor medio). 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  Considere un Vi dominio, que se discretiza en n subdominios v  En los dominios V y Vi se han definido los valores medios de la VR: vi

V

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  Sabemos que el variograma en el origen es cero, teórica y experimentalmente y(0) = y*(0) =0.  Por el contrario, la tendencia hacia el origen del variograma experimental puede mostrar el resultado de una intercepción de positivo en el eje de coordenadas; es decir, un valor distinto de cero del variograma para el vector traslación que tiende a 0. 

Debe

utilizar

interceptar anual.

la

vi

subperiodos, para periodicidad

V

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LA DIPERSION: EL CONCEPTO  Así en 2D, el semiespacio angular (B) puede ser dividido en n direcciones , siendo el variograma una función par: y(h) = y(-h).  Cada dirección es asociada a un sector angular coincide con la angular.

que normalmente

 El incremento es también una función aleatoria siendo l la diferencia entre dos variables aleatorias que pertenecen a una FA.  Si la Z(x) es una FAEs, también el incremento es una FAEs, porque no depende de x, solo de h. vi V

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  El vector h puede ser considerado para una dirección fija, como múltiplo de un vector “paso elemental” (p) en esa dirección: h= j*p j= 1 … npmáx.  La distancia máxima es definida por el n.º máximo de pasos elementales, npmáx.

v1

v2

v3

 Hay una regla general por lo que la distancia máxima no debe superar la mitad de la dimensión del campo investigado. La razón es que las fluctuaciones de los valores experimentales en torno a la media quedan demasiado altas.

s 2 v1 / v2   s 2 v2 / v3   s 2 v1 / v3  11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  Tomemos un ejemplo numérico para aclarar la propiedad.  Considere un panel V constituido por seis bloques elementales v con concentraciones z(vi) conocidas, que se debe desmontar.  Podemos calcular la media de paneles y la dispersión de los n bloques de igual volumen v en el panel.

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  La media del panel y la dispersión de los bloques (unidades de desmonte) son los siguientes:

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION 

En este caso, lo más general, debemos poner en práctica los siguientes pasos: • Selecciona las direcciones principales y los ángulos de tolerancia. • Considera todos los posibles pares de datos y calcula los parámetros del vector traslación hij; es decir, su módulo (distancia) y dirección angular. • Verifica que la distancia cae en una de las clases útiles.

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  El promedio del panel calculado sobre los bloques v2 sigue siendo el mismo, mientras que la dispersión se reduce.

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  Cuando la distancia es nula, la varianza de los incrementos es igual a cero porque todos los incrementos son nulos.  En efecto, los puntos coinciden para h = 0.

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION  Ahora se verifica numéricamente la relación de aditividad de la dispersión.  Dirección vertical distancia mk =1 paso elemental: 

s 2 v / V   s 2 v / v2   s 2 v2 / V 

.

 Cambia el sondeo y continúa con la acumulación de los cuadrados de los incrementos.  Al final se hace la media. 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA ADITIVIDAD DE LA DISPERSION

s 2 o / v   s 2 v / V   s 2 o / V  11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION

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LA VARIANZA DE DISPERSION 

Para el cálculo de los momentos II de la FA regularizada, aparece una nueva función, el variograma medio entre dos volúmenes, en general diferentes: V, V´.



Formalmente, su definición matemática es un integral doble en las coordenadas de los extremos del vector traslación: h = x – x´. l

v1

v2

P

L 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  La concentración media es una VR regularizada.  Para muchas razones interesa el cálculo de la dispersión espacial de esas VR.  El punto de partida son siempre los datos experimentales.  Y ahora la pregunta es ¿cuándo son dispersas las concentraciones?

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LA VARIANZA DE DISPERSION ¿Cuándo son dispersas las leyes?  La pregunta es imprecisa, porque el cálculo correcto de la dispersión experimental es el siguiente: 1 N 2 s v / V    z vi   z V  N i 1

vi

2

V

 Entonces es necesario especificar los dos soportes: el de discretización (v) y el de dominio de los valores de la VR en los soportes (z(vi)). 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Hasta ahora solo hemos hablado de VR y hemos hecho algunos cálculos sencillos en los datos disponibles; ningún instrumento del análisis geoestadístico nunca ha intervenido.  Realmente, estamos interesados en responder a la pregunta sobre la dispoersión incluso cuando se carece de datos. Por ejemplo: antes de desmontar las unidades o porque aún no han sido recogidos o cuando no son suficientes en número para poder realizar cálculos.

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LA VARIANZA DE DISPERSION  El análisis geoestadístico, a través de su proceso de abstracción, permite una herramienta muy eficaz.  El punto de partida es siempre la de considerar la VR como la realización de una FA. En este caso, suponemos que la nuestra es una FAEs.  Tenga en cuenta la expresión general de la dispersión experimental: es una función de la VR o mejor de sus regularizadas. s 2 v / V  

1 N zvi   zV 2  N i 1

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LA VARIANZA DE DISPERSION  El cálculo examinado del variograma experimental en cuatro direcciones utiliza una tolerancia 0º, porque se considera solo los pares, cuyo vector de distancia tiene una dirección exactamente 0º, 45º, 90º o 135º.  Las distancias examinadas también son solo las de múltiplo exacto del paso elemental,

 Además, puede haber muchas mallas regulares, pero no con forma cuadrada, rectangular tal vez.





E S 2 v / V   D 2 v / V  11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Calculamos el experimental.



valor

esperado

de

la





N  v / V   E S 2 v / V   1  E Z vi   Z V 2 D 2sperimentale N i 1

VA

dispersión vi



V

 Es fácil probar que la varianza de la dispersión se expresa como una función de los variogramas medios campo-campo y elemento-elemento.

D 2 v / V    V ,V    v, v  11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION

D 2 v / V    V ,V    v, v   La expresión de la varianza de dispersión nos permite obtener de inmediato una cierta información importante.  La dispersión es siempre menor (como máximo igual) a la varianza a priori, expresada por la meseta del variograma de FAEs puntual.

D 2 v / V   C 0 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION D 2 v / V    V ,V    v, v 

D 2 v / V   C 0

 La dispersión es siempre menor (como máximo igual) a la varianza a priori porque cualquier variograma medio siempre es menor (o igual) a la varianza a priori.  Hay un término sustractivo positivo (o cero).

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LA VARIANZA DE DISPERSION D 2 v / V    V ,V    v, v   Al aumentar del soporte de discretización (𝑣) en el mismo campo, la dispersión disminuye.  En última instancia, en caso de que el soporte de discretización aumente hasta que coincida con el tamaño del campo, la varianza de dispersión se desvanece.

v 0

D 2 v / V    V ,V 

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LA VARIANZA DE DISPERSION D 2 v / V    V ,V    v, v   Al aumentar el soporte del campo, con el soporte de discretización igual, la dispersión aumenta, pero es limitada.

 En última instancia, en caso de que el campo tienda a infinito, el variograma medio tiende a la varianza a priori, siendo la media de muchos valores constantes, iguales a la meseta.

V 

 V ,V   C 0

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LA VARIANZA DE DISPERSION  La variación de la dispersión respeta la propiedad de aditividad de la dispersión experimental.  Cuenta de tres soportes diferentes vVP, siendo cada soporte la discretización del otro, podemos escribir las tres varianzas de dispersión.

D 2 v / V    V ,V    v, v  D 2 v / P    P, P    v, v  D 2 V / P    P, P    V , V 

vv V P

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Es fácil de verificar la aditividad de las varianzas de disperción utilizando la expresión general.

D 2 v / P   D 2 v / V   D 2 V / P  D 2 v / V   D 2 V / P     V ,V    v, v    P, P    V ,V     P, P    v, v  

vv

V P

 D 2 v / P  11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  k = 1 visita a los puntos en la primera fila, r = 1; c = 2, nc que se aparean a los puntos de la siguiente fila y de la columna precedente ( r´ = r +1; c´= c - 1).  Se acumula el cuadrado de sus incrementos [z(c-1, r+1) - z(c, r)] y el n.º de pares.

D 2 v / V    V ,V    v, v 

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Se analiza la cuestión de la reducción de la varianza de una variable regularizada con respecto a la a priori.  La disminución depende de lo siguiente: • De la función variograma: tipo de función y parámetros y, a, C. • Del soporte de regularización (v): tamaño y forma.

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LA VARIANZA DE DISPERSION  El soporte del testigo es muy menor que el yacimiento: l << Y, por lo que .  La varianza de dispersión queda.

l0 Y

D 2 l / Y   D 2 o /     ,     o, o    C 0  0  C 0  El variograma promedio punto-punto es cero y el variograma medio a infinito tiende a la varianza a priori. 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  El significado es claro: desde el punto de vista teórico, la dispersión máxima se expresa por la varianza a priori, lo que corresponde a la dispersión de un punto en un campo infinito.

D 2 o /    ,    o, o  C 0  En la práctica, este resultado tiene que estar en un sentido relativo.

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LA VARIANZA DE DISPERSION D 2 o /    ,    o, o  C 0  De hecho, consideran que el modelo de variograma que se encuentra es correcto en una cierta escala, por lo que un campo infinito es en realidad un dominio mucho mayor que el alcance del modelo de variograma, dimensiones que identifican la escala de validad del modelo.  Sabemos muy bien que el cambio de escala cambia el modelo representativo de la variabilidad.

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Utilizando el ejemplo de la dispersión experimental, relativamente a dos posibles soportes de desmonte de un panel.  Dividimos alternativamente el panel en 100 unidades y en 25 unidades de desmonte.  Considere un muestreo irregular 2D.  Cada muestra Zi se identifica mediante un par de coordenadas: zi = z(xi,

yi). 11 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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LA VARIANZA DE DISPERSION  Pero podemos predecir este resultado, en promedio, a través de la varianza de dispersión, sin conocer los valores de las unidades de desmonte.  Solo hay que conocer los proyectos de producción y el variograma puntual.

D 2 v100 / P    P, P    v100, v100  D 2 v25 / P    P, P    v25 , v25 

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LA VARIANZA DE DISPERSION  En particular, el procedimiento operativo para el cálculo de la varianza de dispersión es el siguiente: a) Se modela el variograma puntual. b) Discretizar el campo.

c) Calcular los variogramas promedios. d) Calcular la varianza de dispersión.

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LA VARIANZA DE DISPERSION a) El modelo de variograma puntual se obtiene mediante la información inicial de exploración del depósito, por lo general, el muestreo a escala de testigos.  La escala es mucho menor que la de los bloques y, en la práctica, estos pueden ser considerados como variogramas puntuales.

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LA VARIANZA DE DISPERSION b) La discretización del campo P se lleva a cabo de acuerdo con las alternativas de diseño.  100 bloques de apoyo v100  100bloques de soporte v25  En este momento, usted no sabe los valores de los bloques de desmonte.

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LA VARIANZA DE DISPERSION c) Calcular el variograma promedio utilizando la técnica de discretización, por lo general, con N = 64 puntos en 3D, sin importar tamaño y forma del soporte.

  P, P  

1 N2

  x  x  N

N

1  v100, v100   2 N

 v25 , v25  

i

i 1 j 1

1 N2

j

  x  x  N

N

i

i 1 j 1

j

  x  x  N

N

i 1 j 1

i

j

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LA VARIANZA DE DISPERSION d) Calcular la varianza de dispersión.

D 2 v100 / P    P, P    v100, v100  D 2 v25 / P    P, P    v25 , v25 

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EL EFECTO DE SOPORTE

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EL EFECTO DE SOPORTE  En este punto se materializa el llamado efecto de soporte: la selección formada por bloques de una discretización del panel con soportes diferentes produce resultados diferentes en términos de recuperación de volume y de metal para el mismo cut-off.  De hecho, la varianza de dispersión tiene el significado de la media de la dispersión experimental.  La frecuencia acumulada y calculada en ambos casos, para cada soporte, es diferente y, por lo tanto, también la recuperación del panel.

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EL EFECTO DE SOPORTE  La aplicación del mismo cut-off a dos frecuencias acumuladas, el número de bloques y el porcentaje de panel, con una concentración por encima de la corte, es diferente.  Se evalúa el costo de explotación en los dos casos y, por lo tanto, se evalúa el ahorro alcanzable mediante un aumento del tamaño del soporte de desmonte.  Si esto llegara a evaluar la cantidad de mineral que no se recupera debido a la peor selección con el soporte mayor, también puede considerar el balance de costo-beneficio de las dos alternativas.

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EL EFECTO DE SOPORTE  El problema es que el conocimiento de la varianza de dispersión no significa conocer la frecuencia acumulada o, más precisamente, la ley condicional del panel.  De hecho, usted necesita saber, en primer lugar, el promedio de panel, pero esto es factible porque hay información local que se utiliza para calcular el variograma. Entonces es posible estimar con suficiente precisión la concentración promedio en el panel.

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EL EFECTO DE SOPORTE  Pero más necesita conocer la ley de este panel.  De hecho, se sabe el histograma de las muestras, desde donde se puede obtener un modelo de la ley del panel con soporte puntual.  La dispersión de puntos en el panel es casi igual a la meseta del variograma.

D 2 o / P    P, P    o, o  C 0

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EL EFECTO DE SOPORTE  El histograma de los bloques en el panel es diferente del de los puntos.  Tiene la misma media, pero varianza diferente, en particular igual a la varianza de dispersión.

D 2 v / P    P, P    v, v   C 0   v, v 

Bloques grandes (25)‫‏‬ Bloques pequeños (100)‫‏‬

 Lo más importante, la forma es diferente, pierde la asimetría, además, se reúne alrededor de la media.

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EL EFECTO DE SOPORTE  Solo cuando los puntos de la ley es gaussiana, entonces la ley de los bloques sería perfectamente definida como gaussiana y serían conocidos los dos parámetros que la definen: media y varianza.  Hay muchas técnicas, más o menos complejas (simulaciones, disjunctive kriging...) para evaluar el cambio en la ley, pero es un proceso totalmente operativo.

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EL EFECTO DE SOPORTE  En conclusión, hemos visto una aplicación importante minera de la varianza de dispersión.  Una previsión bruta de las reservas recuperables utilizando solo el primer muestreo; es decir, histograma y variograma.  La sensitividad del recuperable en función de la dimensión del soporte de selección.

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EL EFECTO DE SOPORTE  Pero hay otras posibles aplicaciones para la evaluación preliminar. Por ejemplo: la recuperación mayor/menor en metal en la planta de concentración debido a una menor/mayor fluctuación de concentraciónes en alimentación.  Son siempre evaluaciones conexas… • Al efecto de soporte: al cambio en la ley de acuerdo a el soporte. • A la capacidad de calcular la varianza a través de la varianza de dispersión que no es la varianza a priori.

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