232-280

232

25.Тензор диэлектрической и магнитной проницаемости

Взаимодействие световых электромагнитных волн с кристаллами мо жет быть описано тензорами диэлектрической εik (ω) и магнитной µik (ω) проницаемостей, которые связывают индукцию и интенсивность элект рического и магнитного полей световых волн следующим образом Dik=εik (ω) Eik , Bik=µik (ω) Hik (25.1) Фундаментальным свойством тензоров εik и µik является их симметрич ность по отношению к перестановке индексов. Это свойство справедливо для всех веществ в отсутствие внешнего магнитного поля и не имеющих спонтанного магнитного момента. В противном случае εik и µik перестают быть симметричными. Общее статистическое рассмотрение показывает, что если εik и µik являются функциями внешнего магнитного поля Н или намагниченности М, то для прозрачных кристаллов можно написать εik(M)=εki(–M), µik(M)=µki(–M)

(25.2)

233

Отсюда следует, что для диагональных компонент тензора εii(M)=εii(–M), µii(M)=µii(–M)

(25.3)

т. е. они являются четными функциями магнитного поля или намагничен ности. Недиагональные компоненты являются, следовательно, нечетными функциями намагниченности и приводят к появлению гиротропных чле нов. Отсутствие поглощения требует эрмитовости тензоров εik и µik : εik=εki∗, µik=µki∗ (25.4) и мы получаем, что диагональные элементы (25.3) действительны, а недиаго нальные компоненты чисто мнимые. В случае магнитного поля или спонтан ной намагниченности вдоль оси z высокой симметрии кристалла (для просто ты возьмем кубический кристалл) тензор εik (и аналогично µik) имеет вид

 ε xx   iayx  0 где εxx= εyy ≠ εzz действительны.

− iε xy ε yy 0

0  0 ε zz 

(25.5)

234

Кристалл может взаимодействовать как с электрическим, так и с маг нитным полем электромагнитной волны. Характер взаимодействия легко найти, например при сопоставлении поляризованного поглощения в не кубическом кристалле (рис. 25.1)

235

E

σ−спектр

H Аксиальный спектр H E E π−спектр H Рис. 5.1. Три возможности исследования оптического поглощения в ани зотропном кристалле. а и σспектры совпадают для электродипольного перехода; а и πспектры совпадают для магнитодипольного перехода

236

Если совпадают а и σспектры, то переход происходит под действием электрического поля световой волны, т. е. является электродипольным, при совпадении а и πспектров переход является магнитным дипольным. Эти переходы вносят соответственно вклад в диэлектрическую и магнит ную проницаемости. Относительное влияние переходов на дисперсию за висит от интенсивности перехода или его силы осциллятора (пропорцио нальной интегральной площади, соответствующей кривой поглощения) и от близости частоты наблюдения к частоте перехода.

237

26.Классификация магнитооптических эффектов

Рассмотрим основные случаи наблюдения магнитооптических эффек тов, различая их по геометрии наблюдения, т.е. по относительной ориен тации внешнего магнитного поля, направления распространения и поля ризации падающего света. Разберем сначала эффекты, возникающие при прохождении света че рез магнитный кристалл. Будем для простоты говорить только о кубичес ких кристаллах, так как в противном случае естественное кристаллогра фическое двупреломление усложняет анализ. Здесь возможно два основ ных случая: направление распространения света параллельно и перпен дикулярно намагниченности (рис. 26.1).

238

K

E2

v

αф H

–

v

E2

E1 z

vπ

vσ

+

K

y E1 а

x б

Рис. 26.1. Рис. 5.2. Геометрия наблюдения линейных (а) и квадратичных (б) магнитоопти ческих эффектов при прохождении света.

239

Эффект Фарадея и магнитный круговой дихроизм

В первом случае, если мы направим намагниченность вдоль оси высо кого порядка кристалла (третьего или четвертого), аксиальная симмет рия вокруг намагниченности приводит к тому, что собственными волна ми, распространяющимися в кристалле, будут волны с левой и правой круговой поляризацией. Эти волны поразному взаимодействуют с крис таллом и их фазовая скорость распространения будет различной. В ре зультате суперпозиция этих волн на выходе кристалла вновь даст линей нополяризованный свет с измененным по отношению к входу направле нием поляризации. Угол поворота ϕ плоскости поляризации на единицу длины равен

ϕ

l

= πε xy ( ε xx )

− 12

λ −1

(26.1)

где λ —длина волны света в вакууме. Это вращение плоскости поляриза ции света впервые наблюдалось М. Фарадеем, и эффект носит его имя. Замечательным свойством фарадеевского вращения является изменение знака вращения при изменении знака поля (линейный по полю эффект) или при изменении направления распространения.

240 Если на длине волны наблюдения имеется поглощение света, т. е. тен

зор диэлектрической проницаемости в отсутствие поля или намагничен ности имеет мнимую часть и его можно представить в виде

ε ik = ε ′ik + iε ′′ik

(26.2)

то две распространяющиеся в кристалле волны с противоположной кру говой поляризацией будут поразному затухать. Эта разность в коэффи циентах поглощения для право и левополяризованного по кругу света называется магнитным круговым дихроизмом (МКД). При наличии МКД свет на выходе кристалла будет эллиптически поляризован. Эффект Фарадея (ЭФ) и МКД связаны между собой интегральными соотношениями Крамерса—Кронига. Хотя при исследованиях энергети ческого спектра применяются оба эффекта, следует признать, что МКД является наиболее прямым и более удобным методом (в сочетании с ис следованием оптического поглощения) изучения энергетических состоя ний кристаллов. Величина и дисперсия ЭФ и МКД в кристаллах определяются конк ретной схемой энергетических уровней и может зависеть от различных микроскопических механизмов. Однако, как и магнитная восприимчи

241

вость, физически величина этих линейных по внешнему полю явлений зависит от соотношения энергии взаимодействия электронов с внешним магнитным полем (или со внутренним обменным полем для магнитоупо рядоченных кристаллов) и тепловой энергией. Для диа и парамагнети ков магнитная восприимчивость лежит в пределах 10–6—10–4, в этих же пределах лежат значения ЭФ и МКД. Для МКД это значит, что при опти ческой плотности образца, равной единице, происходит изменение этой плотности порядка 10–6—10–4 под действием поля. Для ЭФ это соответ ствует повороту плоскости поляризации порядка минут и градусов на сан тиметр длины образца в магнитных полях в несколько килоэрстед. В магнитоупорядоченных кристаллах величина эффекта уже оказыва ется пропорциональной намагниченности, а не внешнему магнитному полю. ЭФ и МКД в магнитных кристаллах достигают аномально боль ших значений. Для ЭФ получены удельные вращения, близкие к 106 град./ см, для МКД возможно полное поглощение света одной поляризации.

242

Эффект Коттона—Мутона и магнитный линейный дихроизм

Разберем теперь случай распространения света перпендикулярно на магниченности k⊥M. В кубическом кристалле (также при выполнении условия, что намагниченность направлена вдоль осей высотой симметрии) выделенными становятся два направления: параллельное намагниченно сти и перпендикулярное ей и направлению распространения света. В кри сталле могут распространяться две волны с эффективными диэлектри ческими константами επ=εzz для E||M (или H) εσ=εxx– εxy2/εxx

для E⊥M (или H)

(26.3)

Таким образом, поляризованный в произвольном направлении свет пос ле прохождения кристалла приобретает эллиптическую поляризацию, про порциональную М2. Знак эффекта не зависит от направления намагни ченности. Этот эффект за счет относительного фазового сдвига двух ли нейнополяризованных волн называется эффектом Фохта, или эффектом Коттона—Мутона (ЭКМ).

243

Опять, как и при распространении света вдоль намагниченности, при перпендикулярной геометрии намагниченность вносит разность в коэф фициенты поглощения волн с ортогональной линейной поляризацией, что приводит к магнитному линейному дихроизму (МЛД). Будучи эффектами второго порядка по полю, ЭКМ и МЛД в диа и па рамагнитных кристаллах значительно слабее, чем ЭФ и МКД. Примерно они должны быть слабее в 106—104 раз, что и наблюдается на эксперимен те. Однако в магнитоупорядоченных кристаллах магнитная обменная энер гия оказывается больше тепловой и квадратичные эффекты достигают аномально больших значений, сравнимых по величине с линейными. Итак, мы рассмотрели два крайних случая распространения света — вдоль и перпендикулярно намагниченности. В промежуточных случаях при распространении света под углом к намагниченности изменение со стояния поляризации будет определяться двумя эффектами и в кристал ле будут распространяться две эллиптические волны. Как правило, для диа и парамагнетиков вращение плоскости поляри зации как эффект первого порядка по полю значительно больше, чем дву преломление, и последним можно пренебречь. Это обстоятельство ставит

244

известные экспериментальные трудности при исследовании квадратич ных эффектов, так как небольшое отклонение от 90° в ориентации поля и распространения света приводит к появлению составляющей намагничен ности на направление света, т. е. к возникновению линейного эффекта. В магнитоупорядоченных кристаллах различные эффекты могут быть срав нимы по величине и для нахождения состояния поляризации света всегда необходимо проводить конкретное рассмотрение.

245

Эффект Керра

Рассмотрим возможные случаи наблюдения отражения света от повер хности намагниченного образца — эффект Керра (ЭК). На рис. 5.3 приве дена геометрия наблюдения полярного, меридианального (или продоль ного) и экваториального (или поперечного) явлений Керра. В общем слу чае линейно поляризованный свет после отражения будет эллиптически поляризован. В геометрии полярного ЭК внешнее поле или намагниченность ориен тированы нормально к поверхности образца и могут взаимодействовать со светом обеих поляризаций. Наиболее простой случай реализуется, ког да падающий луч нормален к поверхности, т. е. наблюдение ведется в той же геометрии, что и ЭФ, но на отраженном свете. Эта геометрия приводит к простым выражениям, связывающим гиротропные компоненты тензо ра ειk с измеряемыми на опыте вращением ϕ и эллиптичностью ε света

246

ϕ = − Im

ε xy

n ( ε xx − 1)

,

ε = − Re

ε xy

n ( ε xx − 1)

,

(26.4)

где п — показатель преломления. Таким образом, вращение плоскости по ляризации при отражении связано с мнимой частью, а эллиптичность с действительной частью недиагональных матричных элементов. Эта ситу ация полностью противоположна явлениям при прохождении света че рез образец. Вспоминая, что мнимая часть ειk равна нулю в непоглощаю щих веществах, находим, что для них не будет наблюдаться вращения плос кости поляризации при отражении. Полярный ЭК изменяется линейно с полем и вращение меняет знак при перемагничивании образца. В меридиальном (продольном) ЭК поле или намагниченность лежит в плоскости падения и свет обеих поляризаций может взаимодействовать с намагниченностью. Этот эффект широко используется для наблюдения доменной структуры материалов с намагниченностью, лежащей в поверх ностной плоскости образца.

247

Как и в полярном ЭК, в этом случае имеется составляющая поля или намагниченности на направление распространения света. Полярный и ме ридиальный ЭК вместе с ЭФ образуют общую группу продольных магни тооптических явлений. В экваториальном (поперечном) ЭК вектор намагниченности перпен дикулярен плоскости падения света и параллелен поверхности образца. Взаимодействие равно нулю для света, поляризованного параллельно на магниченности, а эффект появляется для компоненты поляризации, нор мальной к намагниченности. В этом смысле эффект аналогичен квадра тичному двупреломлению света при прохождении через образец (ЭКМ). Однако замечательным свойством экваториального ЭК, в отличие от ЭКМ является то, что он является эффектом первого порядка по полю. Его проявление заключается в изменении коэффициента отражения под действием намагниченности для компоненты, поляризованной в плос кости падения. Перемагничивание образца приводит к изменению ин тенсивности отраженного света на несколько процентов. Линейный по полю экваториальный ЭК может наблюдаться лишь для поглощающих материалов, т. е. для комплексной части тензора ειk .ЭК находит широкое

248

применение для исследования поглощающих магнитных материалов. Наиболее широко он использовался для изучения энергетической струк туры и доменов в магнитных металлах. В настоящее время также его при меняют для изучения магнитных полупроводников и диэлектриков в об ластях спектра с интенсивным поглощением.

249 Отраженный

Падающий

Плоскость падения

E

Epi

i s

E rs

E rp

M а

M б

M в

Рис. 26.2. Рис. 5.3. Схема наблюдений магнитооптического эффекта Керра. а — полярного, б — продольного (или меридиального), в — поперечного (или экватори ального). Эффект характеризуется двумя компонентами поляризации в падающем

250

27.Распростронение поляризованного света через магнитоупорядоченные кристаллы

Эффект Фарадея (круговое двупреломление в магнитном поле) в кубических кристаллах Рассмотрим влияние намагниченности (или внешнего магнитного поля) на свет, распространяющийся в кубическом кристалле. Выбрав для на магниченности направление вдоль одной из осей четвертого порядка куба, скажем М||[001 ], имеем для тензора диэлектрической проницаемости вид

 ε xx  D =  iε yx  0

− iε xy ε yy 0

0  0E ε zz 

(27.1)

Антисимметричные добавки в тензор равны по величине и являются линейными функциями намагниченности, симметричные добавки в диа гональные компоненты квадратично зависят от намагниченности.

251 Для плоской волны, распространяющейся в направлении намагничен

ности, имеем

Dx = n2 E x   2 Dy = n E y   Dz = 0 

(27.2)

что с учетом (27.1) дает систему уравнений

(ε

xx

) + (ε

− n2 E x − iε xy E y = 0

iε xy E x

yy

)

− n Ey = 0 2

(27.3)

Она разрешима при равенстве нулю определителя

ε xx − n2

− iε xy

iε xy

ε yy − n

что дает вместо одного значения n2 два:

2

=0

(27.4)

252

1 n =  ε xx + ε yy ± 2 2 ±

(

) (

ε xx − ε yy

)

2

 + 4ε 2xy  

(27.5)

В кубическом кристалле при М || z имеем εxx=εyy≠εyy отсюда

n±2 = ε xx ± ε xy

(27.6)

т. е. существуют две различные скорости распространения луча света вдоль направления намагниченности. Подставляя эти решения в сис тему уравнений (27. 3), находим, что в одной волне Ey

Ex

=i

(27.7)

= −i

(27.7а)

и в другой

Ey

Ex

253 Таким образом, мы получили две волны, поляризованные по кругу вле

во и вправо и распространяющиеся в кристалле со скоростями, характе ризуемыми двумя показателями преломления (круговое двупреломление). Рассмотрим прохождение линейнополяризованного вдоль оси х луча света, падающего перпендикулярно на пластинку кристалла вдоль оси z, который намагничен в этом же направлении. Линейнополяризованный свет может быть представлен в виде суперпозиции двух волн с левой и правой круговой поляризацией, которые распространяются через крис талл с волновыми векторами

2πν k± = n± c где ν — частота света.

(27.8)

254

Полагая условно амплитуду волн в кристалле равной единице, имеем для электрической индукции

1  Dx = exp ( ik+ z ) + exp ( ik− z )   2  1 Dy =  − exp ( ik+ z ) + exp ( ik− z )   2

(27.9)

или, вводя обозначения k =(1/2)(k+ + k–) и χ = (1/2)(k+–k–),

     i Dy = exp ( ikz )  − exp ( iχz ) + exp ( − iχz ) =   2  = exp ( ikz ) sin χz  1 Dx = exp ( ikz ) exp ( iχz ) + exp ( − iχz ) = 2 = exp ( ikz ) cos χz

(27.10)

255

На выходе кристалла толщиной l получаем

 πνl ε xy  Dx = tg χl = tg  ⋅ Dy  c n 

(27.11)

где n = (n+ + n–)/2. Так как это отношение действительно, мы видим, что на выходе кристалла волна остается линейнополяризованной. Плоскость поляризации оказывается повернутой на определенный угол. В случае произвольного направлении распространения волны в кристал ле этот угол равен

 πνl  ϕD =  ⋅ ∆n cos θ  c 

(27.12)

где θ— угол между направлением распространения света и намагничен ностью и ∆n=n+—n– =εху/n. Формула (27.12) описывает вращение плоско сти поляризации или ЭФ для света, распространяющегося в намагничен ном кристалле при отсутствии поглощения.

256

При изменении направления намагниченности на обратное ϕф меняет знак, т. е. меняется знак угла поворота плоскости поляризации. Измене ние знака происходит и при изменении направления распространения на 180°, поэтому для луча, проходящего кристалл в прямом и обратном на правлении, угол поворота удваивается

257

Эффект Коттона—Мутона (линейное двупреломление в магнитном поле)

Пусть луч света линейной поляризации распространяется в направле нии оси х кубического кристалла, намагниченного вдоль OCИ Z||[001]. ДЛЯ ЭТОЙ геометрии имеем

  2 Dy = ny E y   2 Dz = nz E z  Dx = 0

(27.13)

Используя формулу (27.1) для тензора диэлектрической проницаемос ти, получаем уравнения

Dx = ε xx E x − iε xy E y   Dy = iε xy E x + ε yy E y   Dz = ε zz E z 

(27.14)

258

Из этой системы уравнений, с учетом (27.13), получаем

(

)

Dy = ε yy − ε 2xy ε xx E y = ny2 E y   2 Dz = ε zz E z = nz E z 

(27.15)

Таким образом, в кристалле могут распространяться две нормальные волны. Для света, поляризованного вдоль оси z,

nz = ε zz

(27.16)

и для света, поляризованного вдоль оси у

ny = ε yy − ε 2xy ε xx

(27.17)

Если на кристалл падает свет линейной поляризации, имеющий состав ляющие вдоль оси у и z, то в кристалле будут распространяться две ли нейнополяризованные волны с разной фазовой скоростью, т. е. будет на блюдаться линейное двупреломление света, называемое эффектом Фох та, или эффектом Коттона—Мутона.

259

В общем случае сложение на выходе кристалла двух линейнополяризо ванных волн с произвольной фазой дает эллиптическиполяризованный свет. Степень эллиптичности зависит от разности показателей преломле ния ∆n=nz — пу, разность фаз после прохождения кристалла толщиной l может быть определена по формуле

∆ A<

2πl = ∆n λ

(27.18)

Если намагниченность в кубическом кристалле направлена по оси чет вертого порядка М || [001], то оси х || [100] и у || [010] будут эквивалентны ми, т. е. εxx=εyy. Тогда, используя выражения (27. 16) и (27. 17), можем найти разность показателей преломления

(

1 ∆n = ∆ε − ε 2xy ε yy 2n

)

(27.19)

где ∆ε=εzz — εyy , n=(1/2)(nz+ny) Таким образом, мы видим, что магнит ное линейное двупреломление зависит как от квадрата недиагональной компоненты тензора диэлектрической проницаемости, т. е. той же компо

260

ненты, которая определяет круговое двупреломление света, так и от раз ности диагональных компонент, добавки в которые являются квадратич ными функциями намагниченности

261

Магнитные явления в сверхпроводниках 28.Экспериментальные факты

При охлаждении некоторых металлов и сплавов до достаточно низкой температуры (обычно лежащей в области температур жидкого гелия) их сопротивление скачком падает до нуля. Это явление впервые наблюдал КамерлингОннес в Лейдене в 1911 г., спустя три года после того, как им впервые был получен жидкий гелий. На рис. 28.1 приведены результаты его экспериментов со ртутью. Следует обратить внимание на то, что тем пературный интервал, в котором сопротивление уменьшалось до нуля, чрезвычайно узок. Температура, при которой происходит фазовый пере ход из состояния с нормальным электрическим сопротивлением в сверх проводящее состояние, называется критической температурой Тс.

262

R(Ω) 0.15 0.125 0.10 0.075 0.05 0.025 0 4.00

10–5Ω 4.10

4.20

4.30

4.40 K

Рис. 28.1. Сопротивлгчие образца ртути (в омах) в зависимости от абсолютной темпера туры — результат экспериментов КамерлингОннеса, которые и были открытием сверх проводимости.

263

Электрическое сопротивление в сверхпроводящем состоянии точно рав но нулю или по крайней мере так близко к нулю, что не наблюдалось ос лабления тока в сверхпроводящем кольце в течение более чем года вплоть до прекращения эксперимента. Уменьшение сверхпроводящего тока в со леноиде из Nb0.75Zr0.25 изучалось Файлом и Милсом , которые измеряли маг нитное поле, создаваемое сверхпроводящим током. Они установили, что время спада сверхпроводящего тока составляет не менее 100 000 лет. Магнитные свойства сверхпроводников столь же нетривиальны, как и электрические свойства. Нулевое электрическое сопротивление достаточ но хорошо характеризует сверхпроводящее состояние, но не может объяс нить его магнитных свойств. Экспериментально обнаружено, что сверх проводник в слабом магнитном поле будет вести себя как идеальный диа магнетик, в объеме которого магнитная индукция равна нулю. Если поме стить образец в магнитное поле и охладить его ниже температуры перехо да в сверхпроводящее состояние, то магнитный поток, первоначально про низывающий образец, окажется вытолкнутым из него. Этот эффект назы вается эффектом Мейснера. Схематически это пока зано на рис. 28.2 Эти уникальные магнитные свойства играют важнейшую роль в описании сверхпроводящего состояния.

264

Рис. 28.2. Эффект Мейснера в сверхпроводящем шаре, охлаждаемом в постоянном внешнем магнитном поле; при охлаждении ниже температуры перехода линии ин дукции В выталкиваются из шара.

265

Известно, что сверхпроводящее состояние представляет собой упоря доченное состояние электронов проводимости металла. Упорядочение зак лючается в том, что электроны, свободные выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние, при охлаждении ниже этой температуры свя зываются в пары. Природа процесса образования электронных пар была впервые объяснена в 1957 г. Бардином, Купером и Шриффером.

266

29.Идеальный диамагнетизм. Уравнение Лондонов

Магнитное поле (если только оно не слишком велико) не может прони кать внутрь сверхпроводника. Наиболее яркой иллюстрацией этого слу жит эффект Мейснера — Оксенфельда: если подходящий металл охладить в магнитном поле ниже температуры сверхпроводящего перехода, то маг нитный поток сразу же выталкивается из образца. Поэтому если переход происходит в магнитном поле, то он сопровождается появлением таких поверхностных токов, которые необходимы для полной компенсации маг нитного поля внутри образца Заметим, что это не следует только из факта существования идеальной проводимости (т. е. σ= ∞), хотя идеальная проводимость приводит к по хожему свойству: если идеальный проводник, находившийся вначале при нулевом магнитном поле, поместить в поле (или включить поле), то по закону электромагнитной индукции Фарадея должны возникнуть вихре вые токи, благодаря которым поле внутри проводника обратится в нуль. Однако, если магнитное поле уже имеется в проводнике, те же токи пре пятствуют его выталкиванию. Если поместить образец в область, где нет магнитного поля (или выключить поле), в нем возникают вихревые токи,

267

которые поддерживают существование поля в образце. Следовательно, идеальная проводимость обеспечивает существование не зависящего от времени магнитного поля внутри проводника, но не она определяет вели чину этого поля. В сверхпроводнике же поле оказывается не просто не зависящим от времени, а равным нулю. Ниже, когда мы будем обсуждать уравнение Лондонов, мы проведем несколько более количественное исследование взаимосвязи между идеальной проводимостью и эффек том Мейснера. Ф. Лондон и Г. Лондон первыми количественно исследовали тот фундаментальный факт, что магнитное поле не имеет возможности про никнуть в глубь металла, находящегося в сверхпроводящем состоянии [4, 13, 14]. В своем рассмотрении они основывались на двухжидкостной мо дели Гортера и Казимира . Мы воспользуемся только одним важным по ложением этой модели, а именно тем, что в сверхпроводнике при темпе ратуре Т < Тс только часть электронов проводимости [доля которых со ставляет ns (T)/n] может участвовать в переносе сверхпроводящего тока. Величина ns (T) носит название концентрации сверхпроводящих элект ронов. Она приближается к полной концентрации электронов проводи мости п, когда Т значительно меньше Тс, но падает до нуля, когда Т стре

268 мится к Т

. При этом предполагается, что остальные электроны образуют “нормальную жидкость” с плотностью п — ns, которая не может перено сить ток без нормальной диссипации. Считается, что нормальный и сверхпроводящий токи текут как бы по параллельным цепям. Поскольку сверхпроводящий ток не испытывает сопротивления, он переносит весь ток, возбужденный с помощью любого слабого нестацио нарного электрического поля, тогда как нормальные электроны остаются совершенно инертными. Поэтому в проведенном ниже рассмотрении мы будем пренебрегать существованием нормальных электронов. Предположим, что внутри сверхпроводника мгновенно возникло электрическое поле. Сверхпроводящие электроны будут свободно без вся кой диссипации ускоряться, их средняя скорость vs будет удовлетворять уравнению с

dv m = −eE dt

(29.1)

Здесь мы пренебрегаем эффектами, связанными с зонной структурой, и считаем, что поведение электронов описывается динамическими закона ми, характерными для свободных частиц.

269

Поскольку плотность тока, переносимого сверхпроводящими электро

нами, равна j = −evs ns , уравнение (29.1) можно записать в виде

ns e 2 d m j= E dt m

(29.2)

Подстановка уравнения (29.1) в закон электромагнитной индукции Фарадея

1 ∂B ∇×E = − c ∂t

(29.3)

приводит к следующему соотношению между плотностью тока и маг нитным полем

ns e 2  ∂ ∇× j + B = 0  ∂t  mc 

(29.4)

270

Это соотношение совместно с уравнением Максвелла

4π ∇×B = j c

(29.5)

определяет магнитные поля и плотности тока, которые могут существо вать в идеальном проводнике. Заметим, в частности, что любое статическое поле В определяет, соглас но уравнению (29.5), статическую плотность тока j. Поскольку любые не зависящие от времени В и j являются тривиальными решениями уравне ния (29.4), эти два уравнения совместны при произвольном значении ста тического магнитного поля. Такой результат противоречит наблюдаемо му поведению сверхпроводников, внутрь которых не проникает никакое поле. Ф. Лондон и Г. Лондон обнаружили, что такое характерное для сверх проводников поведение может быть описано, если выбрать из полного набора решений (29.4) такие, которые удовлетворяют следующему урав нению, называемому уравнением Лондонов

ns e 2 ∇× j = − B mc

(29.6)

271

Из уравнения (29.4), описывающего любую среду, которая проводит электрический ток без диссипации, следует, что выражение

ns e 2 ∇× j + B mc

(29.7)

не зависит от времени. Уравнение Лондонов, характеризующее именно специфику сверхпроводников и отличающее их от “идеальных проводни ков”, накладывает дополнительно более жесткое условие — требует обра щения этого не зависящего от времени выражения в нуль. Смысл замены уравнения (29.4) уравнением Лондонов, налагающим бо лее жесткие ограничения, заключается в том, что из уравнения Лондонов непосредственно следует существование эффекта Мейснера. Из уравне ний (29.5) и (29.6) получаем 2 4 π n e s ∇2 B + B 2 mc 2 4 π n e s ∇2 j + j 2 mc

(29.8)

272

Эти уравнения в свою очередь показывают, что токи и магнитные поля в сверхпроводниках могут существовать только в приповерхностном слое толщиной Λ, где величина Λ, называемая лондоновской глубиной проник новения, дается выражением

 mc  Λ= 2  4πn e  2

s

1

2

 rs  = 41.9    a0 

3

2

 n  n 

1

2


Α

(29.9)

s

Итак, из уравнения Лондонов следует эффект Мейснера, а также конкретная картина поверхностных токов, которые экранируют прило женное поле. Эти токи текут в приповерхностном слое толщиной 102—103 Å (эта оценка справедлива значительно ниже Тс, а вблизи Тс, где величина пs близка к нулю, толщина слоя может быть значительно больше). Внутри того же слоя поле постепенно спадает до нуля. Эти предсказания подтвер ждаются тем фактом, что поле не полностью проникает в сверхпроводя щие пленки, толщина которых равна или даже меньше глубины проник новения Λ.

273

30.Критическое поле

Рассмотрим сверхпроводник при температуре Т ниже критической температуры Тс. При включении поля Н некоторая энергия тратится на создание экранирующих токов, которые приводят к обращению в нуль поля внутри сверхпроводника. Если приложенное поле достаточно вели ко, то образец возвращается в нормальное состояние, в котором поле про никает внутрь него, поскольку такое состояние оказывается энергетичес ки более выгодным. Хотя ниже Тс в поле равном нулю свободная энергия нормального состояния выше, чем сверхпроводящего, это увеличение сво бодной энергии с избытком перекрывается уменьшением энергии магнит ного поля, которое имеет место, когда исче зают экранирующие токи и поле пронникает в образец. Способ проникновения поля при увеличении его напряженности зави сит, вообще говоря, от геометрии образца. Однако для образцов простей шей формы — длинных, тонких цилиндров с осью, параллельной прило женному магнитному полю,— возможны два четко различающихся типа поведения.

274

Сверхпроводники 1го рода. При полях, меньших критического поля Нс(Т), которое при Т < Тс увеличивается при понижении Т, проникнове ния магнитного потока не происходит; когда же поле превысит значение Нс(Т), весь образец возвращается в нормальное состояние и имеет место полное проникновение поля . Получающаяся фазовая диаграмма в плос кости Т — Н изображена на рисунке 30.1.

275

H

Нормальное состояние Hc (T) Сверхпроводящее состояние Tc

T

Рис. 30.1. Фазовая граница на плоскости Н— Т между сверхпроводящим и нормальным со стояниями сверхпроводника первого рода. Граница определяется зависимостью Нс (Т).

276

Такой способ проникновения магнитного поля часто описывают с по мощью графика зависимости макроскопической (диамагнитной) намаг ниченности I от приложенного поля Н (рис. 30.2,а). Сверхпроводники 2го рода. При поле, меньшем нижнего критического значения Н с1 (Т), магнитный поток не проникает в образец; когда приложенное поле превышает верхнее критическое значение Нс2 (Т) > Нс1 (Т), весь образец возвращается в нормальное состояние и имеет место пол ное проникновение поля. Когда величина приложенного поля лежит меж ду Нс1(Т) и Нс2 (Т), происходит частичное проникновение потока, и в об разце возникает довольно сложная микроскопическая структура череду ющихся нормальных и сверхпроводящих областей, которая называется смешанным состоянием. Кривая намагничивания, отвечающая сверхпро водимости 2го рода, показана на рисунке 30.2,б.

277 B

4πI

Hc

4πI

Hc1

H Hc а —сверпроводник 1го рода

H

B

H Hc2 Hc1 б —сверпроводник 2го рода

Hc2

H

Рис. 30.2. а — зависимость намагниченности от поля для сверхпроводника 1го рода. Поле, меньшее Нс , не проникает в сверхпроводник, В = 0 (или I = —H/4π) б — зависимость намагниченности от поля для сверхпроводника 2го рода. Ниже HС1 пове дение такое же, как и у сверхпроводника 1го рода. Между HС1 и HС2 намагниченность I плав но убывает до нуля, В плавно увеличивается .

278

А. А. Абрикосов предположил, и это впоследствии было эксперимен тально подтверждено (рис.30.3), что в смешанном состоянии поле частич но проникает в образец в виде тонких вихревых нитей. Внутри каждой нити поле велико, и вещество не является сверхпроводником. Вне серд цевины нити вещество остается сверхпроводящим, и поле спадает по за кону, определяемому уравнением Лондонов . Вокруг каждой нити цирку лирует вихрь тока, экранирующий поле.Можно показать, что величина магнитного потока, захваченного отдельным вихрем, равна как раз одно му кванту магнитного потока hc/2e. Типичные значения критического поля в сверхпроводниках 1го рода при температурах значительно ниже критической составляют примерно 102 Гс. Однако в так называемых “жестких” сверхпроводниках 2го рода верхнее критическое поле может достигать 105 Гс. Благодаря этому сверх проводники 2го рода представляют большой практический интерес при конструировании магнитов, рассчитанных на сильные поля. Критические поля при низких температурах для сверхпроводящих элементов приведены в табл. 30.1.

279

Рис. 30.3. Решетка вихревых линий, выходящих на поверхность сверхпроводящей фольги из Pb0.98In0.02 помещенной в поле 80 Гс, направленное перпендикулярно поверхности. Вихри выяв ляются с помощью мельчайших частичек ферромагнитного порошка, концентрирующихся вблизи них. Расстояние между соседними вихрями составляет примерно 0,5 мкм,

280

Таблица 30.1 Значения Тс и Нс для химических элементов, в которых наблюдалась низ котемпературная сверх проводимость

Элемент

Tс, K (H=0)

Hс, Гс (T=0)

Аl

1.196

99

Cd

0.56

30

Ga

1.091

51

Hf

0.09



Hg α (ромбоэдр.)

4.15

411

Hg β

3.95

339

In

3.40

293

Ir

0.14

19

La α(г.n.y.)

4.9

798

P (г.ц.к.)

6.06

1096

Mo

0.92

98

Nb

9.26

1980

Os

0.655

65

Pa

1.4



Pb

7.19

803

Re

1.698

198

Ru

0.49

66

Sn

3.72

305

Та

4.48

830

Тс

7.77

1410

Th

1.368

162

Ti

0.39

100

Tl

2.39

171

Uα

0.68



Uγ

1.80



V

5.30

1020

W

0.012

1

Zn

0.875

53

Zr

0.65

47