2009 Pondichery Exo3 Correction Chutebille 4pts

Pondichéry 2009 Exercice 3 : Chute d’une bille dans un fluide visqueux (4 points) © http://labolycee.org 3.1. Exploitation de l'enregistrement xi 1  xi 1 3.1.a (0,25) vitesse moyenne vi à la date ti : v i  t i 1  t i 1 3.1.b (0,25) Lorsque t  , le graphe de l’enregistrement 1 montre que la vitesse tend vers une valeur constante appelée vitesse limite V . Graphiquement VL = 0,59 m.s-1. L

3.2. Équation du mouvement On étudie le mouvement du système bille d’acier dans le référentiel terrestre galiléen associé au repère vertical (Ox) orienté vers le bas. 3.2.a. (0,5) Bilan des forces qui s'exercent sur le système : ur - le poids : P , uu r - la poussée d’Archimède :  , ur - la force de frottement fluide : F . 3.2.b. (0,5) Exprimons les forces : r r r r P  m.g  m.g .i   .V .g.i uu r r r     '.V.g    '.V.g.i r r r F  k.v  k.v. i r La seconde loi de Newton donne : P

(0,25)

r F

r i

O

r P

r r r  A + F = m. a dv  .V.g –  '.V.g – k.v = m. dt dv ( – ’).V.g – k.v = m. dt dv  k.v V   .     '  .g dt m m

En projection selon (Ox) :

en posant :  =

uu r 

+

x

V .     '  , on obtient une équation différentielle qui se met sous la forme : m dv  k.v   .g dt m

m   3.2.c. (0,25) La fonction v(t)αg . . 1.  exp k 

k     .t  est une solution de l'équation précédente si :  m   

dv (t ) k.v (t )   .g dt m

Exprimons

dv (t ) dt

:

dv (t ) m k  k    k   .g.  exp   .t   .g.exp   .t  dt k  m  m    m 

k .v (t )  .g : m k m   k   k .v (t )  .g =  ..g. .  1  exp   .t   .g = – m k  m  m  

Puis exprimons

On a

 k  k .v (t )  .g = – .g + .g.exp   .t  m  m  dv kv   .g quel que soit t. bien : dt m

(0,25) Par ailleurs, v(t=0) = α.g. respectée.



 .g.  1  exp   



 + .g= .g.exp   

k   .t   .g m   

k  .t m  

m   k   .  1 exp   .0  = 0, la condition initiale v(t=0) = 0 est k   m  

3.2.d. (0,25) À partir de l’équation différentielle : dv 0 dt

Lorsque v = VL = Cte,

alors 0 

kv  .g m



VL 

m..g k

À partir de la solution : m m Pour t → ∞, v( ) = α.g. . 1 exp     , soit v(  ) = VL = α.g. k k Valeur de la vitesse limite VL : 5, 00.10 3  0, 906  9, 81 (0,25) VL  = 0,585 m.s-1. 7, 60.102 Cette vitesse est proche de la valeur expérimentale 0,59 m.s-1. Analyse dimensionnelle : L.T 1  m    VL   T LT . 2  k     .  g 

(0,25) Donc le rapport

( est sans dimension).

m s’exprime en secondes. k

Valeur numérique : m 5, 00  103  (0,25) = 6,58×10 –2 s. k 7, 60  102 (0,25) Cette grandeur correspond au temps caractéristique τ du régime transitoire de la chute. 3.3. Détermination du temps caractéristique sur l'enregistrement (0,25) Pour t = τ, la vitesse est égale à 63% de sa valeur maximale V L : v(t = τ) = 0,63 × 0,585 = 0,37 m.s -1. Graphiquement, on trace : - la courbe représentative de v(t) - la droite v(t) = V L - la droite v(τ) = 0,63 × VL Le point d’intersection entre la courbe v(t) et la droite 0,63 × V L a une abscisse égale à τ. Graphiquement : τ = 0,07 s (0,25) Conclusion : On constate que : τ =

m k

τ = 0,07 s

vL = 0,59 m.s-1

v(τ) = 0,37 m.s-1