REMEMBER II 01. M é percentualmente maior que N, em: a) 100(M – N) b) 100(M – N) M N M N 100(M + N) d) e) M
c) M – N N
N
02. Um campo retangular tem comprimento o dobro da largura e é cercado por uma cerca de x metros. A área desse campo é: a) x² / 2 b) 2x² c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72. 03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é a + b, então a área do quadrado é: a) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²) e) n.r.a. 04. Um depósito possui um telhado plano e formato retangular, medindo 10m de largura, 13m de comprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado por dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é: a) 360 b) 460 c) 490 d) 590 e) 720. 05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele a vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B vendeu novamente a casa para A com 10% de prejuízo. a) A não ganhou nem perdeu dinheiro b) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio c) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio d) A perdeu R$ 900,00 no negócio e) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio. 06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma caixa retangular são conhecidas. O produto dessas áreas é igual: a) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume c) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume e) ao cubo do volume. 07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medida de um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm de erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da 1ª medida é: a) maior em 0,18cm b) igual c) menor d) 10 vezes maior e) descrito corretamente em a) e d). 08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%. Para retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser aumentado em: a) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a. 09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a. Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os
pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por diante. O limite da soma dos perímetros de todos os triângulos assim desenhados vale: a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a. 10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta: a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área. b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área. c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área. d) dobrando-se o denominador de uma fração e dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente. e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menor do que ela era originalmente. 11. O limite da soma de um número infinito de termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiro termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da soma dos quadrados desses termos é: a) a² b) a² c) a² d) 4 a² d) n.r.a. (1 – q)²
1 + q²
1 – q²
1 + q²
12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formam um ângulo de: a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28° 13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é 50% mais eficiente que A. O número de dias que B deverá demorar a fazer a mesma peça é: a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6 d) 3 e) n.r.a. 14. Tendo em mente a noção de prova (ou demonstração) em geometria, indique qual das afirmações abaixo é incorreta: a) algumas afirmações são aceitas sem prova (demonstração) b) em algumas situações existe mais de uma maneira de se provar um certo resultado c) cada termo usado em uma prova deve ter sido definido previamente d) não é possível chegar através de um raciocínio correto a uma conclusão verdadeira se, entre os dados, existir uma afirmação falsa. e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver duas ou mais proposições contrárias. 15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n é divisível, tornando-se n no conjunto dos números inteiros, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 16. Se ao resolvermos a equação quadrática f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, então o gráfico de y = f(x), certamente: a) terá um máximo b) terá um mínimo c) tangenciará o eixo dos x d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um único quadrante. 17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem diretamente nem inversamente proporcional a x: a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10 e) x / y = √ 3. 18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em dois fatores binomiais primos e lineares com coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for: a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar c) qualquer número par d) algum número par e) zero.
1
19.Qualquer número de seis dígitos e formado com repetição de um número de três algarismos; por exemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível por: a) 7 somente b) 11 somente c) 13 somente d) 101 e) 1.001. 20. A expressão (x + y)-1 (x-1 + y-1), depois de simplificada e expressa com expoentes negativos, fica assim: a) x-2 + 2x-1 y-1 + y-2 b) x-2 + 2-1 x-1 y-1 + y-2 -1 -1 -2 -2 c) x y d) x + y e) 1 / x-1 y-1. 21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z 0, a desigualdade que não é sempre correta é: a) x + z > y + z b) x - z > y – z c) xz > yz d) x / z² > y / z² e) x z² > y z² 22. Os valores de a que satisfazem a equação log10 (a² - 15 a) = 2 , são: a){ 15 ± √ 233 } b){20;-5} c){15 ± √ 305}d){± 20} 2 e) n.r.a.
2
23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua altura 3cm. O comprimento que deve ser acrescentado ao raio ou a altura para resultar no mesmo aumento não nulo em volume é: a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número d)não existente e)n.r.a. 24. A expressão 2 n+4 – 2(2n) , quando simplificada, é: a) 2 n+1 – 1/8 e) 7/4.
2. ( 2 n + 3) b) – 2 n+1
c) 1 – 2n
d) 7/8
25. O apótema de um quadrado cuja área é numericamente igual ao perímetro é comparado com o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é igual ao perímetro. O primeiro apótema será: a) igual ao segundo b) 4/3 do segundo c) 2/√ 3 do segundo d) √ 2/√ 3 do segundo e) não relacionável ao segundo 26. Na equação x( x – 1 ) – ( m + 1 ) = x as raízes ( x – 1 )( m – 1 ) m são iguais quando: a) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2 27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados 3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos, formando assim seis seções triangulares. Nestas condições: a) pares opostos formam triângulos semelhantes b) pares opostos formam triângulos congruentes c) pares opostos formam triângulos iguais em área d) são formados 3 quadriláteros semelhantes e) n.r.a 28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela cresce com a área A da vela e com o quadrado da velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade do vento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá ser em km/h: a) 10 2/3 b) 96 c) 32 d) 1 2/3 e)16 29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não que não determina o formato de um triângulo é: a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre eles
b) as razões entre as três alturas c) as razões entre as três medianas d) a razão entre a altura e a base correspondente e) dois ângulos. 30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estão a 100 cm de distância, então a altura da interseção das retas que ligam o topo de cada estaca com a base da outra, em cm, é: a) 50 b) 40 c) 16 d) 60 e) n.r.a. 31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final de uma festa. Assumindo que cada participante foi igualmente polido com relação aos demais, o número de pessoas na festa era: a) 14 b) 28 c) 56 d) 8 e) 7 32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo diâmetro é AB, então AC + BC deve ser: a) igual a AB b) igual a AB √ 2 c) ≥ AB √ 2 d) ≤ AB √ 2 e) (AB)². 33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtida graficamente encontrando-se os pontos de interseção de cada um dos pares de equação, exceto o par: a) y = x² e y = 2x b) y = x² - 2x e y = 0 c) y = x e y = x – 2 d) y = x² - 2x + 1 e y = 1 e) y = x² - 1 e y = 2x – 1. 34. O valor de 10 log10 7 é: a) 7 b) 1 c) 10 d) log10 7
e) log7 10.
35. Se a x = c q = b e c y = a z = d, então: a) x y = q z b) x / y = q / z c) x + y = q + z d) x – y = q – z e) x y = q z 36. Qual dos seguintes métodos não serve para provar que uma figura geométrica é um certo lugar geométrico (L.G)? a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cada ponto fora do L.G. não satisfaz as condições; b) cada ponto não satisfazendo as condições não está no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições; c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG e cada ponto no LG satisfaz as soluções; d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as condições e cada ponto não satisfazendo as condições não está no LG; e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG e cada ponto não satisfazendo as condições não está no LG. 37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quando dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quando dividido por 2 deixa resto 1, é: a) 59 b) 419 c) 1259 d) 2519 e) n.r.a. 38. É preciso uma elevação de 600m para que uma linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinação do leito da estrada pode ser mantida pequena alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico da montanha. Para se reduzir a inclinação da estrada de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros; a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a. 39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. O barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7 segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros em t segundos e a velocidade do som é 350 metros por segundo. A profundidade do poço é em metros: a) 245 b) 24,5 c) 29,6 d)296,45 e) n.r.a.
2
40. ( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)² ² . (x – 1)² (x² + x + 1)² ² ( x³ + 1)² ( x³ - 1)² a) ( x + 1 )4 b) ( x³ + 1 )4 c) 1 d)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ² e) [( x³ - 1)²]² 41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na tabela abaixo é: x 2 3 4 5 6 y 0 2 6 1 20 2 a) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2x d) y = x² - 4x e) y = x² - 4.
50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de 100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h; Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância, Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquanto José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no carro, foi com ele até o destino chegando a ele juntamente com Paulo. O número de horas necessárias para essa corrida foi: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) impossível calcular GABARITO
42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então: a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) 1 < x < 2 d) x é infinito e) x > 2, porém infinito. 43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é: a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por nº.0) pela mesma quantidade positiva. b) a média aritmética de duas quantidades positivas distintas é maior que a média geométrica dessas mesmas quantidades. c) dada à soma de duas quantidades positivas, o produto das mesmas é máximo quando as mesmas são iguais. d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²) é maior que [1/2 (a + b)]². e) se o produto de duas quantidades é dado, sua soma é máxima quando essas quantidades são iguais. xz = b e yz = c, onde a, b e c 44. Se xy = a , x+y x+z y+z são não nulos, então x é igual a: abc 2abc____ a) b) 2abc c) ab + ac + bc ab + ac + bc ab + ac - bc 2 abc 2abc___ d) e) ab + bc – ac ac + bc – ab 45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o único logaritmo que não pode ser achado sem uso de tabelas é: a) log 17 b) log (5/4) c) log 15 d) log 600 e) log 0,4. 46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, é traçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à medida que C descreve um semicírculo, o ângulo bissetor OCD corta o círculo em um ponto que sempre: a) bisseta o arco AB b) trisseta o arco AB c) varia d) dista tanto de AB quanto de D e) é eqüidistante de B e C. 47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o valor de 1 / r² + 1 / s² é: a) b² - 4ac b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c² d) (b² - 2ac) / c² e) n.r.a. 48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo está para a área do quadrado inscrito no círculo todo, assim como: a) 1 : 2 B0 2 : 3 c) 2 : 5 d) 3: 4 e) 3 : 5. 49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas dos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O valor da hipotenusa é: a) 10 b) 2 √ 40 c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a.
SOLUÇÕES O1(B) A importância pedagógica deste problema extremamente simples pode ser aumentada com uma discussão sobre as restrições que se deve impor sobre M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativos e assim por diante. 02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento do campo. Então 6L = x ∴ L = x /6 → 2L = x / 3. Logo a área = x/6. x/3 = x²/18. 03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)². 04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr + 2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590 1.B 11. 21. 31. 41.B C C D 2.D 12. 22.B 32. 42.C C D 3.B 13. 23.B 33. 43.E C C 4.D 14. 24. 34. 44.E C D A 5.B 15.E 25. 35. 45.A A A 6.D 16. 26.E 36.B 46.A C 7.B 17. 27.E 37. 47.D D D 8.C 18. 28. 38. 48.C D C A 9.D 19.E 29. 39. 49.D D A 10. 20. 30. 40. 50.D C C C C
3
05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda) V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra) V1 – V2 = 1.100 ∴ (B) é a resposta correta. 06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A= altura de uma caixa retangular. O produto dessas áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² = quadrado do volume da caixa. 07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida, temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002. Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002. ∴ são iguais. 08( C) Seja M o preço marcado no artigo. Novo preço (com abatimento) = M – 10%M= M – 0,1M = 0,9 M. Para que o preço volte a ser M → devemos somar 0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M = 1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%. Nota: Podemos calcular a taxa do aumento por: 0,9 M → 100% ∴ x = 100% . 0,1M ∴ 0,1 M → x
0,9 M x = 11 1/9%.
09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pela figura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é: S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .= = 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a . 1 = 6 a. 1–½
em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n é divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6. 16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta) = 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0, com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) é tangente ao eixo x. 17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma y = kx (Diretamente Proporcional) ou xy = k (Inversamente Proporcional), mas (D) não. 18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então: (Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D = = 21 x² + ax + 21. ∴ A.C = 21 e B.D = 21. Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ou seja, os números A e C são números ímpares, bem como B e D. Como o produto de dois números ímpares é um número ímpar, temos que a soma de dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é um número par. 19(E) Um número desse tipo tem a forma: P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o número com 3 algarismos que se repete. Portanto a alternativa (E) é a correta. 20(C) Usando-se propriedade potências a-n = 1/an, temos: (x + y)-1 (x-1 + y-1) = = 1 ( 1/x + 1/y) = 1 (x + y) = 1 / xy = x-1y-1. x+y
x+y
xy
21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0, xz < yz. a
a
22(B) Usando a def. de logaritmos temos: log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100 que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo.
a/2
60° 60° a/2 10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é: A = π R², temos que, se um outro círculo de raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = π (2R)² = π .4R² = 4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a alternativa incorreta. 4
11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q + ...; que é uma PG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²). 12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca ¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o ponteiro das horas se desloca 30° e o dos minutos 360°= uma volta). Portanto, o ângulo formado pelos ponteiros nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°. 13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é 50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para completar o trabalho. 14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os primitivos) devem permanecer indefinidos. 15(E) Vamos fatorar a expressão dada: n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valores inteiros de n, representam o produto de 3 inteiros consecutivos. Como em um par de números inteiros consecutivos, existe sempre um divisível por 2, então
23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é V = π r²h, devemos ter que: π ( r + x)²h= π r²(h + x) ∴ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5 1/3. 24(D) Usando prop. multiplicação de potências de mesma base ( a m+n = am . a n ) , teremos que: 2 n+ 4 – 2(2 n) = 2 n. 2 4 - 2 . 2 n = 2.2 n( 2³ - 1) = 2( 2 n+3 ) = 7/8.
2 . 2 n . 2³
2 . 2 n . 2³
25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótema tem-se que área do quadrado = seu perímetro ∴ L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1 ∴ a1 = 2. Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro, então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 = 6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 = 3. 6. a2 / √ 3 ∴ a 2 = 2 = a 1 . 26(E) Após simplificação, temos: x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 0 ∴ m = - 1 / 2. 27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que os ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) é falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C)
4
colocando o ponto muito próximo de um dos lados do ∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira. 28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados do problema: 1 = k.1 .16² ∴ k = 1 / 16². Para cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² ∴ V = 32 km/h. 29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆ na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas diferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆ rb rb
30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança entre os triângulos temos: 1°modo: 1 = 1 + 1 ∴ x = 16 cm x 20 80 2º modo: 20 = x ∴ y = 5x 100 80 =
100
y
x___
x_____ ∴ 80 = 100 100 – 5y
100 – y
∴ x = 16 cm. 80 20
x 100 – y
y
31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à festa. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso é verdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas para não contarmos duas vezes o aperto de mão dado por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8. 2º modo: Calculando na forma de combinações simples: C n, 2 = n ! = n (n – 1) = 28 ∴ n = 8. 2!(n-2)!
Por este critério, (B) não é suficiente, já que não satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não garante que todo ponto que satisfaça às condições está no lugar geométrico. 37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados do problema temos: N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1. Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos: N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 = = 10(q9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q2 + 1), ou seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 ∴ N = 2519. 38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos relativos a 2% e 3% de 600m. Sendo: 2 % de a1 = 600 m ∴ a1 = 30.000 m 3% de a2 = 600 m ∴ a2 = 20.000 m Temos então que, com a mudança de 2% para 3% deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m. 39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair (queda) é a mesma percorrida pelo som (subida): d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são inversamente proporcionais às velocidades, ou seja: vq / vs = ts / tq (I) Temos que: vq = 5tq²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; tq + ts = 7,7s ∴ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I): 5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq ∴ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg. Portanto, a profundidade do poço é: d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m. 40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos valores de x. 41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aí então temos a correta. 42(C) Iniciamos quadrando a equação, de onde temos: x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . ∴ x² = 1 + x ∴ x² - x – 1 = 0. Logo x 1,62, ou seja : 1 < x < 2.
2
32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆ retângulo isósceles (altura = raio), cujos lados (catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma forma geral: AC + BC ≤ AB √ 2. 33(C) Temos ( x² - 2x= 0) (x² = 2x) (x² ±1 = 2x ±1) ∴ a alternativa correta é a (C). 34(A) Em geral, usando uma das propriedades dos logaritmos, temos alogaN = N, com as devidas condições para N > 0 e 0 < a 1. Logo 10 log107 = 7. 35(A) Usando prop. de potência com expoente fracionário, temos: c y = a z ∴ c = a z/y, logo c q = a (z/y)q = a x ∴ x = (z/y)q ou xy = zq. 36(B) Para se provar que certa figura é um lugar geométrico, é essencial: 1º) que ela contenha todos os pontos do lugar. 2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não seja do lugar.
43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo conhecido o produto de duas quantidades positivas, a soma das mesmas é mínima quando essas quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidade como (x + h), com h podendo ser negativo. Então se x (x+h) = p ∴ x² + hx – p = 0 ∴ x = -h + √ h² + 4p ∴ x + x + h = √ h² + 4p cujo o 2 valor é mínimo quando h = 0. 44(E) Calculando a inversa das expressões dadas temos o seguinte conjunto de equações: (I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b; (III)1/y + 1/z= 1/c. Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c e (IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c ∴ 2abc____ x= ac + bc – ab 45(A) Usando a definição e algumas propriedades de logaritmos temos: i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 ∴ log 2 = 1 / 3 . log8 ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 ∴ log 3 = 1 / 2 . log 9
5
iii)log 10 = 1; iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2. Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta questão, podem ser representados por um produto de potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único número da lista não representável nessa forma. Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C). C
ANOTAÇÕES
________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________
46(A) Em primeiro lugar deve-se construir um círculo conforme dados no problema(figura A o B abaixo).Vamos estender CO até encontrar o círculo no ponto E. D E Como CE é diâmetro, P CD ⊥ DE. A bissetriz do ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda correspondente DE é sempre paralelo a AB e, portanto P sempre corta ao meio o arco AB.
47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs r² s² r²s² (rs)² e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que: 1/r² + 1/s² = b² - 2ac c² 48(C) A área do quadrado menor é 4r²/5 e a área do quadrado maior é 2r², onde r é o raio do círculo. Portanto a proporção entre as áreas é 2: 5 49(D) Do enunciado podemos afirmar que, para no ∆ retângulo ABC, (a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16. ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13.
A AD = 5 e BE = √ 40 . b/2 E
5
c
b/2 C
a/2
D
a/2
B
50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas, respectivamente, dos seguintes trechos da corrida; - a corrida até que o carro pára para descida de Paulo. - a volta até alcançar Pedro - o resto do trajeto até o ponto final. Podemos então escrever: 25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro) 5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro) 25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo) O sistema acima de equações é equivalente a: t1 -t2 + t3 = 4 t1 + t2 – 5t3 = 20 5t1 + t2 + t3 = 20 Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.
6