10-10-2009

Задача: Аппроксимация диаграммы деформирования Алгоритм решения: 1. Найти диаграммы деформирования при растяжении и сжатии 2. При помощи программы Graph2Digit нанести на диаграмму сетку. Выписать в таблицу значения деформации и, соответствующие, ей значения напряжений 3. Найти кубический полином, приближающий, всмысле метода наименьших квадратов, таблично заданную функцию. Нарисовать графики 4. Рассмотреть зависимости напряжения от деформации на основе их физического смысла. Результаты проиллюстрировать и сравнить с п.3 Решение задачи: 1. Решение задачи опишем для поликарбоната (Крыжановский В.К., Кербер М.Л., Бурлов В.В., Паниматченко А.Д. «Технические свойства полимерных материалов», стр.213, случай a), Материал: Поликарбоната, ПК) 1)

2) ε 0.26992288 0.53984576 0.80976864 1.1182519 1.4652956 1.8123393 2.0822622 2.3521851 2.6606684 3.0462725 3.277635 3.5475578 3.8946015 4.3187661 4.5886889 5.1670951

σ эксп 0.74750831 4.6096346 8.9700997 14.202658 19.435216 25.041528 28.77907 32.641196 36.752492 41.611296 44.725914 48.089701 51.578073 55.315615 58.430233 62.666113

σ мнк 0.3524 4.8395 9.2524 14.1933 19.6050 24.8429 28.7841 32.5993 36.7938 41.7681 44.5992 47.7476 51.5367 55.7464 58.1689 62.6405

σ физ

5.8226221 6.2082262

66.27907 67.898671

7.1336761

69.518272

7.5578406 8.059126 8.1362468 8.251928 8.4447301 8.5218509 8.714653 8.8688946 9.1388175 9.6015424 10.102828 10.604113 11.336761 12.300771 13.1491 13.881748 14.730077 15.539846 16.619537 17.969152 19.511568 20.822622 22.365039 23.791774 26.028278 27.917738 29.421594

69.269103 67.524917 65.905316 63.787375 61.046512 58.554817 56.063123 54.069767 52.200997 50.332226 48.58804 47.466777 46.594684 46.22093 46.096346 45.722591 45.722591 45.598007 45.598007 45.473422 45.224252 44.975083 44.850498 44.725914 44.227575 44.227575 43.978405

29.768638

43.853821

66.4286 67.9719 69.4218 68.1895 65.4259 62.4111 61.9708 61.3220 60.2710 59.8612 58.8627 58.0905 56.7947 54.7341 52.7228 50.9310 48.6854 46.3560 44.8399 43.8917 43.1669 42.8041 42.7429 43.1985 44.1975 45.2300 46.3925 47.1662 47.2050 45.5210 42.6588

3) Используем команду в MATLABе: coeff=polyfit(x,y,n) — коэффициенты полинома n-ой степени. x ∈ [ 0, 7.13] , σ = -0.0769ε 3 -0.3842 ε 2 +16.9738ε - 4.1997 x ∈ [ 7.13, 29.8] , σ = -0.0139ε 3 + 0.8567 ε 2 -16.8589ε + 149.8856

σ МНК (полином 3 − ей степени ) экспирементальное

ε 4)

σ* ε (2 − * )ε , 0 ≤ ε ≤ ε * * ε ε * (σ − σ ** ) σ = σ * − ** * 2 (ε − ε * )2 , ε * ≤ ε ≤ ε ** (ε − ε ) σ=

(ε * , σ * ) — первая критическая точка (ε ** , σ ** ) — вторая критическая точка

(1) (2)

σ МНК экспирементальное " физическое ", (формула1)

ε (σ * − σ ** ) (ε − ε * )2 не годится!!! (ε ** − ε * )2 Воспользуемся кубической аппроксимацией на отрезке ε * ≤ ε ≤ ε ** : * Как видно из графика, для ε * ≤ ε ≤ ε ** формула σ = σ −

σ = A3ε 3 + A2ε 2 + A1ε + A0 A2 = k3 A3 − k2 A1 = −3 A3ε *2 − 2 A2 ε* A0 = σ ** − A3ε**3 − A2 ε** 2 − A1ε** k2 =

σ * − σ ** (ε ** − ε * ) 2

2ε *2 − ε *ε ** − ε**2 k3 = ε ** − ε * Также, повысим степень полинома , приближающего наилучшим образом, в смысле метода наименьших квадратов, таблично заданную функцию. 10

σ = ∑ Aiε i , ε * ≤ ε ≤ ε ** где Ai = (-1.4951e-008, 2.8293e-006, -0.00023645, 0.011478, i =1

0.011478, 7.4792, -105.93, 1002.2, -6050.2, 20995, -31660)

(3)

σ МНК (полином 10 − й степени ) экспирементальное " физическое ", (1 − ая формула ) " физическое ", (3 − ая формула )

ε

2. (Крыжановский В.К., Кербер М.Л., Бурлов В.В., Паниматченко А.Д. «Технические свойства полимерных материалов», стр.217, случай a), Материал: Полиэфирэфиркетон, ПЭЭК)

ε

σ эксп

0.090673575 0.20725389 0.27202073 0.42746114 0.51813472 0.62176166 0.75129534 0.85492228 0.98445596 1.1139896 1.2176166 1.3341969 1.515544 1.6968912 1.865285 2.0595855 2.2279793 2.3316062 2.4481865 2.6554404 2.8367876 3.0699482 3.3031088 3.4974093 3.6917098 3.8860104 4.1450777 4.4170984 4.7409326 4.9222798

20.416279 22.823854 25.900199 31.116611 34.460465 37.938073 41.816944 45.160797 48.905914 52.249767 55.058605 58.402458 61.746312 65.625183 69.504053 72.981661 75.52299 77.529302 79.268106 82.076944 84.484518 87.025847 89.299668 90.904718 92.509767 93.981063 95.586113 96.656146 97.592425 97.993688

98.26119 5.1036269 6 5.2979275 5.5181347 5.7772021 6.0492228 6.2564767 6.4507772 6.7098446 6.9559585 7.2020725 7.3963731 7.6554404 7.9015544 8.1735751 8.3937824 8.6528497 8.9766839 9.2746114 9.5854922 9.7668394 9.9481865

98.261196 98.261196 98.127442 97.592425 97.057409 96.7899 96.388638 96.12113 95.586113 95.18485 95.051096 94.783588 94.51608 94.382326 94.114817 93.981063 93.847309 93.713555 93.847309 93.847309

93.71355 10.051813 5

Т.о., итоговая программа:

% INPUT % x: деформация на отрезке [0,eps*] % y, соответствующее x, напряжение % x2: деформация на отрезке [eps*,eps**] % y2, соответствующее x2, напряжение %OUTPUT %график coef=polyfit(x,y,3) %коэф-ты полинома, приближающего в смысле Метода наименьших % квадратов на отр. [0,eps*] coef1=polyfit(x2,y2,3)%коэф-ты полинома, приближающего в смысле МНК на отр. [eps*,eps**] n_x=length(x) n_x2=length(x2) e1=x(n_x)%первая критическая точка деформации e2=x2(n_x2)%вторая критическая точка деформации s1=y(n_x)%первая критическая точка напряжения s2=y2(n_x2)%вторая критическая точка напряжения x_ravn1=0:0.1:e1 x_ravn2=e1:0.1:e2 y1_mnk=polyval(coef,x_ravn1) %приближение МНК на отрезке [0,eps*] y2_mnk=polyval(coef1,x_ravn2)%приближение МНК на отрезке [eps*,eps**] n_x_ravn1=length(x_ravn1) n_x_ravn2=length(x_ravn2) for j=1:n_x_ravn1 y1_fiz(j)=s1*(2.-x_ravn1(j)/e1)*x_ravn1(j)/e1 %приближение по физическому смыслу (формула 1) на отрезке [0,eps*] end for i=1:n_x_ravn2 y2_fiz(i)=s1-(s1-s2)*(x_ravn2(i)-e1)^2/(e2-e1)^2 %приближение по физическому смыслу (формула 1) на отрезке [eps*,eps**] end b_c=0. b_b=0. for k=1:n_x2 k2=(s1-s2)/(e2-e1)^2 k3=(2*e1^2-e1*e2-e2^2)/(e2-e1) c(k)=k2*(x2(k)+e2)*(x2(k)-e2+2*e1)-(s2-y2(k)) b(k)=x2(k)^3-e2^3+(x2(k)-e2)*(k3*(x2(k)+e2)-3.*e1^2-2.*k3*e1) b_c=b_c+b(k)*c(k) b_b=b_b+b(k)*b(k) end A3=-b_c/b_b A2=k3*A3-k2 A1=-3.*A3*e1^2-2.*A2*e1 A0=s2-A3*e2^3-A2*e2^2-A1*e2 coef3=[A3,A2,A1,A0] y2_fiz2=polyval(coef3,x_ravn2) %приближение по физическому смыслу (формула 2) на отрезке [eps*,eps**] hold on

plot(x,y,'-k') plot(x2,y2,'-k') plot(x_ravn1,y1_mnk) plot(x_ravn2,y2_mnk) plot(x_ravn1,y1_fiz,'r') plot(x_ravn2,y2_fiz,'r') plot(x_ravn2,y2_fiz2,'r')

σ

МНК (полином 3 − й степени ) экспирементальное " физическое ", (1 − ая формула ) " физическое ", (3 − ая формула )

ε 3. (Крыжановский

В.К., Кербер М.Л., Бурлов В.В., Паниматченко А.Д. «Технические свойства полимерных материалов», стр.215, случай a), Материал: Полиэфирсульфон, ПЭС)

σ

"экспирементальное МНК физическое (полином (13−−ая ая й степени формула формула ) )) ε ", (2

σ

МНК (полином 3 − й степени ) экспирементальное " физическое ", (1 − ая формула ) " физическое ", (3 − ая формула )

ε