06_algebraboolec

Universidad de Magallanes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Computación

[ Sistemas Operativos ]

MIC3181 Algebra de Boole … continuación Eduardo Peña J.

Präsenta tion

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[ Algebra de Boole ]

Indice

Temario: Métodos de minimización Método mapas de Karnaugh Método tabular Quine McCluskey Información extraída de: http://www.cic.unb.br/docentes/jacobi/ensino/circuitos/DoisNi veis/sld001.htm

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Präsenta tion

[ Algebra de Boole ]

Suma de Productos

SUMA DE PRODUCTOS Suma de productos es una forma de representación de funciones booleanas constituida por operaciones lógicas o sobre un conjunto de términos formados por la operación.

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[ Algebra de Boole ]

Producto de Suma

PRODUCTO DE SUMA El producto de sumas es otra forma de representación de funciones booleanas caracterizadas por la aplicación de operación sobre un conjunto de operaciones o sobre las entradas

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Minterms

MINTERMS •Un minterm es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana. •Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada.

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Maxterms

MAXTERMS •Un maxterm es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función. •Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada.

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Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS •Una tabla de verdad es una firma que identifica inequívocamente una función booleanas. •Expresiones booleanas diferentes pueden representar una misma función booleana.

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Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES •Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas. Ej. Una suma de productos es una forma canónica.

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[ Algebra de Boole ]

Formas canónicas

•Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas. Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica.

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Formas canónicas

•Notación para suma de minterms.

•Notación para producto de maxterms.

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Formas canónicas

SIMPLIFICACION DE SUMAS DE MINTERMS

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Formas canónicas

MINTERMS X MAXTERMS •Es posible obtener un producto de maxterms a partir de una suma de minterms o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función.

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Funciones Incompletas

FUNCIONES INCOMPLETAS •Estas son las funciones para las cuales algunas combinaciones de valores de entrada nunca ocurren. Ej. Decodificador de display de 7 segmentos para dígitos BCD.

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Funciones Incompletas

•Las funciones incompletas mapean puntos del dominio de una función en tres valores posibles.

•Los dominios de puntos donde F vale {0 , 1 X} son denominados, respectivamente, de:

•F puede ser descrita definiendo dos de sus tres conjuntos.

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Minimización lógica de dos niveles

MINIMIZACIÓN LÓGICA DE DOS NIVELES Mani pul ac ión Al ge brai ca: •Difícil de determinar un orden y qué transformaciones aplicar. •Cómo sabes si se localizó una mejor solución. Herrami ent as d e aux ilio: •No consiguen tratar problemas de forma exacta. •Se basan en heurísticas y criterios de costo. Métodos manu ales, al menos p ar a fi nes d idácti cos y fu nci ones mu y s imp les

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Minimización lógica de dos niveles

•Id ea b ase: Aplicación de distribución y complemento.

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Cubos

CUBOS •Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente. •Los productos de literales son llamados cubos.

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Cubos

VISUALIZACIÓN DE CUBOS

•Puntos adjacentes difieren en un bit. •Todos los puntos de la función están en una cara. •Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión. Edopena

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Mapas de Karnaugh

MAPAS DE KARNAUGH •Visualización del dominio de una función en forma matricial. •Puntos del dominio están dispuestos siguiendo el código Gray, pares adjacentes difieren en un bit.

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Mapas de Karnaugh

ADJACENCIA DEL MAPA DE KARNAUGH •Los elementos extremos de las columnas y filas son adjacentes.

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Mapas de Karnaugh

•El cubo obtenido es definido por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms. Edopena

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Mapas de Karnaugh

•La agrupación obtenida es definida por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms. Edopena

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

KARNAUGH DE CUATRO VARIABLES

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES

•Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh. •Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función.

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

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[ Algebra de Boole ]

Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN LÓGICA EN DOS NIVELES •La minimización de dos niveles busca obtener las sumas del producto con un número mínimo de productos y literales. • Minimizándose el número de productos se está reducido la altura de la implementación y, por consiguiente, su área. • Estando reducido el número de literales, se reduce el número de transistores de la implementación digital, lo que minimiza la potencia disipada. Ej Sumador de 1 bit

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Mapas de Karnaugh

Conceptos Básicos • Implicante: una agrupación c es un implicante de una función f si para todo vector x donde c(x) = 1, tenemos que f(x) = 1. O sea c ∅ f

•En álgebra Booleana “²” es una relación de orden parcial, análoga a relación "está contenido en" entre conjuntos. Puede ser definida como “un conjunto de minterms de c está contenido en f”. Edopena

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Mapas de Karnaugh

Conceptos Básicos •Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido)

•Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un minterm que no está contenido en ningún otro implicante de la función.

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Mapas de Karnaugh

•Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterms de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos • Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función.

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Mapas de Karnaugh

Ejemplos

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Mapas de Karnaugh

COBERTURA MÍNIMA CON MAPA DE KARNAUGH •

Seleccione un minterm mi de la función.

•

Expanda mi en todas las direcciones posibles, generando así todos los implicantes primos que cubren mi .

•

Repita los pasos anteriores para todos los minterms de la función, generando todos los implicantes primos posibles.

•

Identifique y separe los implicantes esenciales. Los minterms cubiertos por ellos pueden ser considerados como puntos irrelevantes.

•

Seleccione un conjunto mínimo de implicantes que cubra los minterms restantes.

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Mapas de Karnaugh

Ejemplo

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Mapas de Karnaugh

Continuación Ejemplo

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Quine McClusky

MÉTODO DE QUINE McCLUSKY •Tome los minterms de la función y expanda sucesivamente los minterms en todas direcciones posibles (variables en espacio Booleano). • Obtener así todos los implicantes primos de la función. • Seleccione un subconjunto que cubra la función que tenga un costo mínimo. • Detección y remoción de primos esenciales. • Dominancia de línea y de columna. • Branch and bound cuando no hay dominancia.

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Quine McClusky

McCluskey: •Representar los implicantes en notación binaria : X= {x1, x2, x3}

x1·x3'

->

1-0

x3

->

--1

x1'·x2'·x3 ->

001

•Tabular los implicantes en grupos de mismo peso (1's) para reducir el número de comparaciones .

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Quine McClusky

Expansión de minterms Eje mplo: F = Σ (1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15)

Expansión de los minterms de los implicantes.

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Quine McClusky

Implicantes Primos:

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p1 = x1·x0

p3 = x2'·x1

p5 = x3·x1'·x0'

p2 = x2·x0

p4 = x3'·x0

p6 = x3·x2'·x0'

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p7 = x3·x2·x1'

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Quine McClusky

Cobertura de función

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Quine McClusky

Cobertura de función •Domi na nc ia de Lí nea: si todos los minterms de una línea lx están contenidos en una línea ly, entonces ly domina a lx y lx puede ser removida de la tabla esto indica que el implicante py cubre al implicante px

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Quine McClusky

Cobertura de función •Domi nan cia d e c ol umna : si todos los minterms de una columna cx están contenidos en una columna cy, entonces cy domina a cx y cy puede ser removida de la tabla cubriendo el minterm mx automáticamente se cubre my

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Quine McClusky

CAD PARA MINIMIZACIÓN Problemas con el método de Quine: •

Computacionalmente es ineficiente

• Genera todos los implicantes primos Complejidad de: (3 ^ n)/n • Parte de los minterms de la función Complejidad de: 2n-1

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Resumen

RESUMEN •Pu nto de partida: una suma de prod uctos (n o mint er mos) • Res pe te iterat iva men te la secuen cia de op erac ion es: Expand: Expande los implicantes hasta su tamaño máximo Extraer esenciale primos Cobertura Irredundante: generar una cobertura irredundante Reducir: reduzca los implicantes hasta su tamaño mínimo Respete los pasos anteriores hasta no obtener ganancias Last gasp: la inserción de un primo cualquiera no puede llevar a eliminación de dos primos de la cobertura

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Resumen

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Resumen

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