06 - Equilibre
Plan du cours 1- Equilibre dans le plan 2- Equilibre dans l’espace 3- Systèmes de forces équivalents
… Santiag Caltatra ne cherche pas à directement transposer des formes naturelles dans le domaine de la construction mais plutôt des principes statiques, des modèles mécaniques qui ont fait leur preuves dans le monde vivant. Ainsi l’emboîtement des articulations, le redoublement des os au niveau des membres, la complémentarité structurelle des os et des muscles autant d’observation glanées à l’étude du corps qui vont trouver des applications dans le domaine du construit… In Lemoine B, Santiago Caltrava, L’architecturee d’aujourd’hui, n*267, février 1990
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JL Zanforlin - ENSAM
1- Equilibre dans le plan Structures planes Même si les édifices sont des espaces à 3 dimensions, leur étude statique peut dans la grande majorité des cas se ramener à une étude dans le plan. Ce sont surtout ces aspects qui seront pris en compte dans la suite du cours.
Essais sur le système des coques In Pierre Mardaga Editeur , Prouvé - cours du CNAM 1957 - 1970, essai de reconstitution du cours à partir des archives de Jean Prouvé, Editons Mardaga : Liège, 1990, p. 63
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1- Equilibre dans le plan Structures planes Les forces F et les moments M agissent dans le plan. Le (vecteur) moment M agissant perpendiculairement au plan, son unique composante Mz lui est égale : on peut donc sans risque de confusion supprimer l’indice z.
Source : Marc André Studer et François Frey, Introduction à l’analyse des structures
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre Principe d’équilibre « Une structure est dite en équilibre si le système de forces auquel elle est soumise la laisse immobile ; un tel système de forces est aussi dit en équilibre. »
D’après ce principe, une structure, sous l’action de toutes les forces qui agissent sur elle doit rester en équilibre immobile
Alors pour que la structure ne bouge pas, ni en translation, ni en rotation, il faut et il suffit que, selon chaque axe, la somme de toutes les composantes soit nulles.
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre …la structure ne bouge pas, ni en translation, ni en rotation, il faut et il suffit que, selon chaque axe, la somme de toutes les composantes soit nulles.
translation
ΣF =O x
(a)
ΣF =O
(b)
y
rotation
ΣM =ΣM z
o
=0
(c) Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre Il y a donc 3 équations d’équilibre dans le plan qui s’associent aux 3 mouvements possibles d’une structure plane dans son plan. (a)
contrôle le déplacement de translation horizontale (selon X) et seules les composantes Fx interviennent
(b)
contrôle la translation verticale (selon Y) et seules les composantes Fy interviennent
(c)
vérifie le mouvement de rotation (autour de de Z ou O). Ici tant les moments M que les forces F jouent un rôle (car elles peuvent créer des moments) L’équation devient donc :
ΣM ≡ΣM tout
z
tout
o
= 0≡
Σ M + Σ (± Fd) = 0 o
tous les moments
toutes les forces
® les moments directement appliqués (actions) n’interviennent que dans l’équation de rotation et doivent être soigneusement distingués de ceux provoqués (autour de Z ou de O) par des forces de translation.
d 6 Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre - Précisions sur l’expression des moments (1) Moment d’une force par rapport à un point
M = Fd
Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre - Précisions sur l’expression des moments (2) Moment d’une force par rapport à un axe
Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
M = ± F Pd
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre - Précisions sur l’expression des moments (3) Forme analytique
Mz ≡ Mo = + xFy - yFx
Mz ≡ Mo = ± Fd
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Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre - Règles pratiques Pour résoudre un problème statique, on peut suivre les règles suivantes : a)
Dessiner la structure (esquisse) + forces en jeu
b)
On y dessine les forces et les moments connus avec leur sens réel
c)
Pour chaque force et moments inconnus, on les dessine avec un sens arbitraire
d)
Pour faire les calculs, on choisit les axes dont l’orientation n’est pas à priori aucunement liée à celle des forces ou de la géométrie : toutefois, un choix judicieux permet souvent de simplifier les calculs.
e)
En se basant sur le dessin pour fixer les signes, on écrit et résout les équations d’équilibre selon les axes : dans les résultats, si le signe d’une inconnue est : . Positif, son sens est supposé correct . Négatif, son sens est inverse à celui supposé
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre – Exemple 1 Studer Frey - Introduction à l’analyse des structures
Soit le bloc de béton en forme de parallélogramme ABCD maintenu en équilibre par 3 forces : l’une verticale en A et 2 horizontales en C et D. Déterminez les 3 forces
translation
Σ F = -C - D = 0 ΣF =A -P=0 x
x
y
(a)
x
(b)
y
rotation
ΣM
E
= -5P + 4Cx = 0
(c)
On en déduit que : (c)⇒ Cx= (5P)/4 Ay = P (b)⇒ (c)+(a) ⇒ Dx = - (5P)/4
Le point E a été choisi intentionnellement à l’intersection des supports de Ay et Dx de manière à éliminer les moments dus à ces forces ; Cx reste alors la seule inconnue.
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre – Exemple 2
RB
D
1 3
y
30°
2
C 160
x
B
A
RA
1350
800 P avec P = 2000daN
Revenons à la potence du cours précédent et déterminons les réactions non plus par la méthode graphique, mais par l’écriture générale de l’équilibre : Pour simplifier les calculs nous décomposons les réactions RA, RB suivants les axes Ox, Oy. 12
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1- Equilibre dans le plan Equations d’équilibre – Exemple 2 Dy D
Dx
1 3
y
30°
2
H
C
Ay
160
x
B
A 1350
Ax
800 P avec P = 2000daN
Traduisons le fait que le système soumis à toutes les forces intérieures (charge) et extérieures (réactions d’appui est en équilibre. Sur Ox: Sur Oy:
Ax –Dx = 0 d’où Ax = Dx Dy + Ay – P = 0
Pas de mouvement de rotation: Σ Μι = 0 par rapport à n’importe quel point et notamment au point A par exemple (sens >0 trigo) 13
Σ Μι/Α = 0 = Ay.0+ Ax.0 + Dy.0 +Dx.H – P.1,35m = 0
1- Equilibre dans le plan Tg30° = H / L
Equations d’équilibre – Exemple 2 H = (1,35+0,8)tg30° = 1,24m
Dy D
Dx
1 3
y
30°
2
160
x
B
A
Ax
H
C
Ay 1350
800 P avec P = 2000daN
L Sur Ox: Sur Oy:
Ax –Dx = 0 d’où Ax = Dx Dy + Ay – P = 0
ΣΜι/Α = 0 = Ay.0+ Ax.0 + Dy.0 +Dx.H – P.1,35m = 0 On en déduit directement Dx = 1,35m . P = 1,35 . 2000 daN = 2180 daN H 1,24m Ensuite Ax = Dx = 2180 daN
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1- Equilibre dans le plan Tg30° = H / L
Equations d’équilibre – Exemple 2 H = (1,35+0,8)tg30° = 1,24m
Dy D
Dx
1 3
Dy y
30
30°
2
Dx
H
C
Ay
160
x
B
A 1350
Ax
800 P avec P = 2000daN
L Sur Ox: Sur Oy:
Ax –Dx = 0 d’où Ax = Dx = 2180 daN Dy + Ay – P = 0 Μι/Α = 0 = Ay.0+ Ax.0 + Dy.0 +Dx.H – P.1,35m = 0 Dx, Dy étant dans le prolongement du câble, on a tg30° = Dy/Dx d’où Dy = Dx.tg30° = 1258 daN Et Ay = P – Dy = 2000 – 1258 = 742 daN 15
1- Equilibre dans le plan Tg30° = H / L
Equations d’équilibre – Exemple 2 H = (1,35+0,8)tg30° = 1,24m
Dy D
Dx
1 3
Dy y
30
30°
2
H
C
Ay
Dx
160
x
B
A
Ax
1350
800 P avec P = 2000daN
L On a donc Ax = 2180 daN, Ay = 742 daN Dx = 2180 daN, Dy = 1258 daN RA =
2180² + 742²
= 2302 daN
RD =
2180² + 1258²
= 2516 daN 16
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1- Equilibre dans le plan Théorème de 2 forces en équilibre Quelles conditions doivent-elles satisfaire pour être en équilibre ?
F1
F2
Si vous appliquez les équations d’équilibre sur un objet quelconque soumis à 2 forces quelconques (cf. figure ci-contre), on peut montrer que : « Une structure soumise à 2 seules forces n’est en équilibre que si ces 2 forces sont égales et directement opposées, donc si elles ont même ligne d’action, même intensité et des sens opposés. »
Pratiquement 2 seuls cas sont possibles : F
F
F
F
Les 2 forces se tournent le dos
Les 2 forces se font face
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1- Equilibre dans le plan Théorème de 3 forces en équilibre Dans quelles conditions 3 forces sont-elles en équilibre ? « le support de 3 forces en équilibre doivent être concourants* »
* Concourants : Qualifie des droites ou des axes qui se coupent en un même point.
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2- Equilibre dans l’espace Equations d’équilibre dans l’espace Dans l’espace il y a 6 mouvements à contrôler : 3 translations (selon les axes X, Y et Z) et 3 rotations (autour des axes X, Y et Z). Les équations d’équilibre dans l’espace sont donc :
translation
rotation
ΣF =O x
ΣM
X
=0
ΣF =O y
ΣM
Y
=0
ΣF =O
ΣM
Z
=0
z
équations d’équilibre en translation
équations d’équilibre en rotation
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3- Systèmes de forces équivalents Définition 2 systèmes de forces sont équivalents s’ils produisent le même effet statique. L’un peut donc se substituer à l’autre dans l’étude du jeu des forces qui agissent sur une structure. Le but recherché est une simplification : on remplace des forces par d’autres qui donnent une vue plus simple du problème. Il ne s’agit pas de remplacer réellement certaines forces par d’autres, ce qui est généralement interdit ou impossible ; on cherche à simplifier le calcul.
Forces ou moments concourants (cas plan)
Remarque : pour avoir équilibre, il faut que FR = O, c’est-à-dire que le polygone des forces soit fermé (point d’origine A et final confondu pour les calculs analytiques, on utilise les composantes sur les axes de coordonnées ces propriétés s’appliquent pour les moments concourants
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3- Systèmes de forces équivalents Cas général : Forces ou moments NON concourants (cas plan) Soit 3 forces non concourantes F1, F2 et F3 Pour trouver la résultante : - on combine d’abord F1 et F2 en une résultante R2 , puis R2 et F3 - dans la construction graphique, il faut chercher l’intersection A puis B des supports des forces pour construire le parallélogramme
On peut ainsi trouver la direction, le sens et la grandeur de la résultante. Par contre le point d’application n’est pas défini. 21
3- Systèmes de forces équivalents Exemple Soit un mur soumis à l’ensemble des forces ci-dessous. Va-t-il se renverser ?
F
P1
P2
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3- Systèmes de forces équivalents Exemple Soit un mur soumis à l’ensemble des forces ci-dessous. Va-t-il se renverser ?
R1
P2
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3- Systèmes de forces équivalents Exemple Soit un mur soumis à l’ensemble des forces ci-dessous. Va-t-il se renverser ?
R1 P2 R2
Réponse ? 24
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3- Systèmes de forces équivalents Pierre Varignon (1654 ; 1722), mathématicien et physicien français, laisse quelques découvertes scientifiques remarquables. Il est l'inventeur du manomètre (appareil qui mesure la pression), étudie la statique et la mécanique élémentaire et découvre la théorie des moments.
Le théorème de Varignon dont l'énoncé est très simple mène à une conclusion étonnante : En joignant les milieux d'un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme. 25
3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon Soit Fi (i=1,2 à n) des forces et FR leur résultante. Vu que le système de forces Fi est équivalent à FR on a :
Le moment des Fi est égal au moment de FR
ou
Σ Fd = F d i i
R R
Dans notre exemple, Moment en A de P1, P2 et F = Moment en A de R2
F
P1
R2 A
26 P2
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3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon - Cas des forces parallèles Soit Fi (i=1,2 à n) des forces et FR leur résultante. Vu que le système de forces Fi est équivalent à FR on a :
FR
A
a
b F1
A
dR
F2
F2
F1
FR = F1 + F2 MA = a F1 + (a+b) F2 = FR dR = (F1 +F2))dR
dR = [ a F1 + (a+b)F2] / (F1 + F2) 27
3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon - Cas des forces parallèles Soit Fi (i=1,2 à n) des forces et FR leur résultante. Vu que le système de forces Fi est équivalent à FR on a :
FR
b C C
b F1
F2
dR F1
F2
Si l’on calcule le Moments par rapport au point d’application de F1, on a: dR = [ 0. F1 + (b)F2] / (F1 + F2) = b.F2/ (F1+F2) Soit: dR = b .F2 F1+F2 Remarque: cela revient à déterminer le centre de gravité de deux forces (poids, pondération etc…) par la méthode des moments que nous avons admise avant de connaître le théorème de Varignon.
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3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon - Cas des forces parallèles Exemple: Calculer la valeur et l’abscisse de la Résultante R des Forces F suivantes:
20 daN
30 daN
R
10 daN 2m
1m
4m
A 15 daN
d=?
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3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon - Cas des forces parallèles Exemple: Calculer la valeur et l’abscisse de la Résultante R des Forces F suivantes:
20 daN
30 daN
R
10 daN
A
2m
1m
d=?
4m
15 daN
Calculons le moments des Forces par rapport au point A (sens trigo >0): Mfi/A = 10 daN.0m + 20 daN.2m - 15 daN.3m +30 daN.7m = + 205 daN.m R = + 10 daN + 20 daN - 15 daN + 30 daN = + 45 daN Position de cette résultante d = ? 30
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3- Systèmes de forces équivalents Théorème de Varignon - Cas des forces parallèles Exemple: Calculer la valeur et l’abscisse de la Résultante R des Forces F suivantes:
20 daN
30 daN
R
10 daN
A
2m
1m
4m
d = 4,55 m
15 daN
Théorème de Varignon MtFi = MtR par rapport à tout point et notamment au point A. MtR/A = + d.R = + d.45 daN = 205 daN D’où
d = 205 daN = 4,55 m 45daN 31
3- Systèmes de forces équivalents Couple / Rappel Considérons l’ensemble de 2 forces d’intensité égale, de support parallèles distincts mais de sens opposés. On appelle couple l’ensemble de ces 2 forces particulières. Quel effet exercent-elles sur B ?
Le couple ne produit donc qu’une tendance à la rotation
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3- Systèmes de forces équivalents Couple / Rappel Le couple ne produit donc qu’une tendance à la rotation comme par exemple l’action sur un volant comme sur le schéma ci-dessous :
M=Fd
Couples équivalents d’intensité Fd
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Bibliographie du cours . Studer Marc-André et Frey François, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2004, 368 p. . Lemoine B, Santiago Caltrava - Un sculpteur du jeu des forces, L’architecture d’aujourd’hui, n*267, février 1990 . Pierre Mardaga, Prouvé - cours du CNAM 1957 - 1970, essai de reconstitution du cours à partir des archives de Jean Prouvé, Editons Mardaga : Liège, 1990, p. 63 . Halik Daniel, Polycopié de cours - Statique, Ecole Nationale Supérieure d’Architecture de Marseille : Marseille, Novembre 2005. . Sandori Pierre, Petites logiques des forces, Editions Seuil Point Sciences : Paris, 1983.
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