Xx

§І-1 截面的静 矩和 形心位 置 一、 定 义 z

截面 对 z , y 轴的 静矩 为

：

S =∫ z

S

dA

A

y

ydA

= ∫ zdA A

z

o

静矩 可正 ，可负 ，也 可能等 于零 。

y

y

z 截面的 形心 C 的坐 标

dA

c

公式为： ydA

∫ y=

A

A

= Sz A

zdA S ∫ z= = A

A

S

z

= Ay

z

z o

y

A

y

y y

S

y

= Az

若截面 对某一 轴的静 矩等 于零， 则该 轴必过 形心 。 截面对形 心轴 的静矩 等于 零。

二 、

组合 截面

由几 个简 单图形组 成的 截面 称为组 合截 面

截面各组 成部 分对于 某一 轴的静 矩之 代数和 ，就 等于 该截 面对于 同一轴 的静 矩。

组合截 面静 矩的计 算公 式为 n

n

S =∑ Ay z

i =1

i

i

S =∑ Az y

i=1

i

i

其中： Ai —— 第 i 个简单截 面面 积

( y , z—— ) i i

第 i 个简单 截面 的形心 坐标

计算组合 截面 形心坐 标的 公式如 下：

n

n

y=

∑A y i

i =1

n

∑A i =1

i

i

z=

∑A z i =1 n

i

∑A i =1

i

i

例

1-1

试确定图 示截 面心 C 的位置 。

解：将 截面分 为 1 ， 2 两个矩 形。

y

10

取 x 轴和 y 轴分别 与截面 的底 边和 左边缘 重合

∑ Ai x i

A 1 x1 + A2 x 2 x= = A1 + A2 ∑ Ai i =1 n

i =1

A1 y1 + A2 y 2 y= A1 + A2

120

n

x1 1 y2

y1

2 10 o

x2

x 80

矩形 1 2 = 10 × 120 = 1200 mm A1

y

10

x1 = 5mm

矩形 2 2 = 10 × 70 = 700 mm A2 70 = 10 + = 45mm x2 2

y 2 = 5mm

x1

120

y1 = 60mm

1

y1

2

y2 10

o

x2 80

x

所以

A x1 +A2x2 37500 x= 1 = ≈20mm A1 +A2 1900 A1y1 +A2y2 75500 y= = ≈40mm A1 +A2 1900

y

10

1 120

x1

C(y, x ) y1

2

y2

10 o

x2 80

x

§ І -2

极惯性 矩

惯 性矩

惯性 积

z

定义：

z

dA

截面 对 o 点的极 惯性矩 为 0

ρ

y y

2 I p = ∫ Aρ dA

截面对

y ,z 轴的 惯性 矩分别为 2dA = ∫ z Iy

A

Iz = ∫

y

ρ 2 = y2 + z2

dA y

因为

A

y 2dA

所以

Ip = Ix + Iy

I p = ∫ Aρ 2dA

0

ρ

x x

截面 对 x , y 轴的惯 性积为

I xy = ∫ A xydA 惯性矩的 数值 恒为正 ，惯 性积则 可能 为正值 ，负值 ， 也可能等 于零 。 若

x , y 两坐标 轴中 有一个 为

y dA

y

dx

dx

截面的 对称轴 则截面 ， 对 x , y 轴的 惯性积一 定等 于零 。

x

截面 对 x , y 轴的惯 性半俓 为

iy

Iy = , A

Ix ix= A

例 2_1

x , y 轴的惯 性矩 。

求矩 形截 面对其对 称轴

dA = b dy

解：

h 2h − 2

2

I x = ∫A y dA 3

bh y by dy = I x = ∫A dA = ∫ 12 2

2

y

dy

3

Iy

hb = 12

y

h C

x

b

2 - 2 求圆形截 面对 其对称 轴

例

的惯 性矩 。 解：因为 截面 对其圆 心 O 的 极惯 性矩 为

y

4

πd = Iρ 32

d x

I x + I y = Iρ Ix = Iy

4

所以

πd = = Ix Iy 64

§ І -3 惯性 矩和惯 性积 的平行 移轴 公式 组合 截面的 惯性 矩和惯 性积 一 、 平 行移轴 公式

y

yc

x , y —— 任意一 对坐 标轴 C —— 截面形心 C(a,b)

a （ a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标 系 下的 xc , yc —— 过截面 的形 心 c坐标。 且与 x , y 轴平 行 的坐

o

b

xc x

Ix , Iy , Ixy

_____

截面对

x , y 轴的惯性 矩和 惯性积 。

Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面 对形 心轴 xc , yc 的惯 性矩 和惯性 积。 则平行 移轴公 式为

y

yc

a

C(a,b)

I x = I x +a A 2

c

2 = + I y I yc b A

I xy = I x y + abA c

c

o

b

xc x

二、 组合 截面 的惯性 矩

惯 性积

Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i 个简单 截面 对 x ,y 轴的惯 性矩 、 惯性积 。

组合截面 的惯 性矩， 惯性 积

n

I x =∑ I xi i= 1 I

y

n

∑ I yi i= 1

=

n

I xy =∑I xyi i= 1

例 3 -1 求梯形 截面对 其形 心轴 yc 的惯性矩 。 解： 将截 面分成 两个 矩形截 面。

zc 20

zc 上。

1 140

截面的形 心必 在对称 轴

yc

取过矩 形 2 的形心 且平行

记作 y 轴

。

20

于底边的 轴作 为参考 轴，

2

y 100

A1 = 20 × 140

Z1 = 80

A2 = 100 × 20

Z2 = 0 zc 20

所以 截面 的形心 坐标 为 140

1

ZC

2

20

A 1 Z1 + A2 Z 2 = 46.7mm ZC = A1 + A2

yc

y 100

1 yC

I

2

I yC

1 2 = × 20 ×1403 + 20 ×140 × (80−46.7 ) 12 1 2 3 = ×100 ×20 +100 ×20 ×( 46.7 ) 12 zc 20 2

1

4

140

1

yc

ZC

2

20

−6

I yC = I yC + I yC = 12.12 × 10 m

y 100

§ І -4 惯性 矩和惯 性积 的转轴 公式

一 、 转 轴公式

截面 的主 惯性轴 和主 惯性 矩

xoy 为过截面 上的 任 – 点 建立 的坐 标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后 形成的 新坐 标系 y

y1

逆時针 转取为 x1

o

α x

+ 号，

顺時 针转 取为 – 号

I x1 =

Ix + Iy

+

2 Ix + Iy

I y1 =

Ix − Iy

−

Ix

2 − Iy

cos 2α − I xy sin 2α

cos 2α + I xy sin 2α

2 2 Ix − Iy = sin 2α + I xy cos 2α 2

I x1 y1

上式称 为转轴 公式 y

y1

显然 x1

o

I x1 + I y1 = I x + I y

α x

二 、 截面的 主惯性 轴和 主惯性 矩

I x1 y1 =

Ix − Iy 2

sin 2α + I xy cos 2α

主惯性 轴 —— 总可 以找到 一个 特定的 角 对新 坐标 轴 于

0

, 使截面

x0 , y0 的惯 性积 等

0 , 则称 x0 , y0 为主 惯轴 。 主惯 性矩 ——截 面对 主惯性 轴的 惯性矩 。

形心主惯 性轴 —— 当一 对主惯 性轴 的交点 与截面 的形 心 重合时， 则称 为 形心主惯 性轴 。

形心主 惯性矩 —— 截面 对形 心主惯 性轴 的惯性 矩。

主惯性 轴的位 置： 设 

为主惯 性轴与 原坐 标

轴 之间的夹 角， 则有

Ix − Iy 2

sin 2α 0 +

I xy cos 2α 0

= 0

由此

tg 2α0 =



− 2I xy Ix − I y

求出后 ，主惯 性轴 的位置 就确 定出 来了。

主惯 性矩 的计算 公式

I x0 I y0

=

Ix + Iy 2

1 ± 2

(I x

−

I y)

2

+ 4I xy 2

过截面上 的任 一点可 以作 无数对 坐标轴 ，其 中必有 一对是主 惯性 轴。截 面的 主惯性 矩是所 有惯 性矩中 的极值。 即： Imax = Ix0 ,

Imin = Iy0

截面 的对 称轴一 定是 形心主 惯性 轴。

求形 心主 惯性矩 的步 骤 确定 形心 的位 置

Ai x i x= ∑ Ai ∑

,

y=

∑

Ai y i ∑

Ai

选择一 对通过 形心 且便于 计算 惯性 矩（积 ）的 坐 标轴 x ， y, 计算 Ix , Iy , Ixy

I x = ∑ I xi

I y = ∑ I yi

I xy = ∑ I xyi

确定主惯 性轴 的位置

2

α0

=

tg

−1

− 2 (

Ix

I xy ) − I y

计算 形心 主惯性矩

Ix I x + I y = Iy 2 0

0

1 ± 2

( I x − I y ) + 4 I xy 2 2

70

20

y

120 80

10

例 4-1 计算所 示图 形的形 心主 惯性 矩。

c 10

y

x

解：该图 形形 心 c 的位置已 确定 , 如图所 示。 过形心 c 选一对 座标轴 y 轴， 计算其 惯性矩 （积 ）。

X ,

70

20

y

10

120 80

c 10

I

x

y

x

1  3 2 =  × 120 × 10 + 15 × 120 × 10 12   1  2 +  × 703 × 10 + ( −25) × 70 × 10 12  = 100.4 × 104 mm 4

4 4 = 278 . 4 × 10 mm Iy

70

20

y

10

120 80

c 10

I xy

y

x

= [ 0 + 15 × 20 × 120 × 10] + [ 0 + ( −25) × ( −35) × 70 × 10] = 97.3 × 104 mm 4

tg 2 α0 = (

Ix < Iy

− 2 I xy Ix

− Iy

) = 1.093

2α 0 在第三象 限

α0

=

2α 0 = 227.60 0

113.8

x0 , y0 分别 由

形心主 惯性轴

x 轴和

y 轴绕

C点 逆时针 转 113.80 得出。 形心主惯 形矩 为 I x0 Ix + Iy 1 = ± I y0 2 2

(I

x

− Iy

)

2

( )

+ 4 I xy

2

321 × 10 4 4 = mm 57.4 × 10 4