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X JORNADAS DE MATEMÁTICAS B03 SESTAO B03 SESTAOKO MATEMATIKA X JARDUNALDIAK Organiza: B03 y Dpto. Educación Colabora: Ayuntamiento de Sestao

SESTAO, 16 DE FEBRERO DE 2009

CURRÍCULO, COMPETENCIAS, PRUEBAS PISA, RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS … ¿QUÉ PODEMOS HACER EN CLASE? Constantino de la Fuente Martínez IES “Cardenal López de Mendoza” Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán”

ESQUEMA DE LA SESIÓN -LA R. P. Y LAS PUEBAS PISA -LA R. P. Y EL CURRÍCULO DE ESO -LA R. P. EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA - EJEMPLOS PARA LA CLASE

El siguiente esquema muestra parte del sistema de transporte de una ciudad de Zedlandia, con 3 líneas de ferrocarril. Señala dónde se encuentra uno y a dónde tiene que ir:

Representa una estación de línea de ferrocarril

Desde aquí

Representa una estación donde se puede realizar transbordo entre líneas de ferrocarril (Líneas A, B o C)

Línea B

Línea A Línea C

Hasta aquí

El precio del billete se calcula en función del número de estaciones que se recorren. Cada estación que se recorre cuesta 1 zed. El tiempo que se tarda en ir de una estación a la siguiente es de 2 minutos aproximadamente. En los transbordos de una línea a otra se tarda unos 5 minutos.

Pregunta 7: SISTEMA DE TRANSPORTE En el esquema anterior se señala la estación en la que uno se encuentra en ese momento (Desde aquí), y la estación a donde tiene que ir (Hasta aquí). Marca en el esquema el mejor trayecto en términos de dinero y tiempo e indica abajo el precio del billete y el tiempo aproximado de viaje. Precio del billete: ................................... Zeds. Tiempo aproximado del viaje ............. minutos. Pruebas Pisa de Solución de Problemas (año 2003): SISTEMA DE TRANSPORTE

El precio del billete se calcula en función del número de estaciones que se recorren. Cada estación que se recorre cuesta 1 zed. Desde aquí Línea B

Línea A

Línea C

Hasta aquí

El tiempo que se tarda en ir de una estación a la siguiente es de 2 minutos aproximadamente. En los transbordos de una línea a otra se tarda unos 5 minutos.

ESTANTERÍAS

Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandes, 14 tornillos. El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero? Pruebas Pisa de Matemáticas (año 2003): Estanterías (pregunta nº 19)

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CURRÍCULO DE ESO

PRESENCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA INTRODUCCIÓN DEL CURRÍCULO DE ESO

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO INTRODUCCIÓN (1) Las matemáticas y los problemas

La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en Matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. La capacidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de su vida, y deberán usarla frecuentemente cuando dejen la escuela.

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO INTRODUCCIÓN (2) Conviene señalar que no todas las formas de enseñar matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana

COMPETENCIA MATEMÁTICA “La competencia matemática es la aptitud de un individuo para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, alcanzar razonamientos bien fundados y utilizar y participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.” “Marcos teóricos de PISA 2300. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura , Ciencia y Solución de problemas.” OCDE-MEC-INECSE

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y CAPACIDADES QUE INCLUYEN: - PENSAR MATEMÁTICAMENTE - PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS - MODELAR MATEMÁTICAMENTE - RAZONAR MATEMÁTICAMENTE - REPRESENTAR ENTIDADES Y OBJETOS MATEMÁTICOS - UTILIZAR SIMBOLOS - COMUNICARSE CON Y SOBRE LAS MATEMÁTICAS - UTILIZAR AYUDAS Y HERRAMIENTAS OCDE: “Marco Teórico de las pruebas PISA 2003” Moyens Niss: “Mathematical competencies

and the learning of mathematics: The Danish Kom Proyect”

COMPETENCIAS

CAPACIDADES QUE INCLUYEN

PENSAR MATEMÁTICAMENTE

1. Proponer cuestiones propias de las Matemáticas (¿Cuántos hay? ¿Cómo encontrarlo?, etc.) y conocer los tipos de respuestas que las Matemáticas pueden ofrecer a dichas cuestiones. 2. Entender la extensión y las limitaciones de los conceptos matemáticos y saber utilizarlos. 3. Ampliar la extensión de un concepto mediante la abstracción de sus propiedades, generalizando los resultados a un conjunto más amplio de objetos. 4. Distinguir entre distintos tipos de enunciados matemáticos (condicionales, definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, etc.).

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

1. Identificar, definir y plantear diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos, cerrados). 2. Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos, cerrados), planteados por otros o por uno mismo, a ser posible utilizando distintos procedimientos.

MODELAR MATEMÁTICAMENTE (analizar y diseñar modelos)

RAZONAR MATEMÁTICAMENTE

1. Analizar los fundamentos y propiedades de modelos existentes. 2. Traducir e interpretar los elementos del modelo en términos del mundo real. 3. Estructurar la realidad. 4. Matematizar. 5. Validar el modelo interna y externamente. 6. Analizar y criticar el modelo. 7. Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones). 8. Controlar el proceso de modelización. 1. Seguir y evaluar cadenas de argumentos propuestas por otros. 2. Conocer lo que es una demostración matemática y en qué difiere de otros tipos de razonamientos matemáticos. 3. Descubrir las ideas básicas de una demostración. 4. Diseñar argumentos matemáticos formales e informales y transformar los argumentos heurísticos en demostraciones válidas.

REPRESENTAR ENTIDADES MATEMÁTICAS (objetos y situaciones)

UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

1. Entender y utilizar diferentes clases de representaciones de objetos matemáticos, fenómenos y situaciones. 2. Utilizar y entender la relación entre diferentes representaciones de una misma entidad. 3. Escoger entre varias representaciones de acuerdo con la situación y el propósito. 1. Interpretar el lenguaje simbólico y formal de las Matemáticas y entender su relación con el lenguaje natural. 2. Entender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos formales (sintaxis y semántica). 3. Traducir del lenguaje natural al simbólico y formal. 4. Trabajar con expresiones simbólicas y fórmulas.

1. Entender textos escritos, visuales u orales sobre COMUNICARSE CON LAS temas de contenido matemático. MATEMÁTICAS Y 2. Expresarse en forma oral, visual o escrita sobre COMUNICAR SOBRE temas matemáticos, con diferentes niveles de MATEMÁTICAS precisión teórica y técnica. UTILIZAR AYUDAS Y HERRAMIENTAS (incluyendo las nuevas tecnologías).

1. Conocer la existencia y propiedades de diversas herramientas y ayudas para la actividad matemática, su alcance y sus limitaciones. 2. Usar de modo reflexivo tales ayudas y herramientas.

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO INTRODUCCIÓN (3) La resolución de problemas tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al desarrollo de esta competencia: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. La planificación está asociada a la comprensión en detalle de la situación planteada para trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva, para tomar decisiones; la gestión de los recursos incluye la optimización de los procesos de resolución; por su parte, la evaluación periódica del proceso y la valoración de los resultados permite hacer frente a otros problemas o situaciones con mayores posibilidades de éxito.

MONOPATÍN Marcos es un gran fan del monopatín. Entra en una tienda denominada PATINADORES para mirar algunos precios. En esta tienda puedes comprar un monopatín completo, o puedes comprar una tabla, un juego de cuatro ruedas, un juego de dos ejes y un conjunto de piezas, para montar tu propio monopatín. Los precios de estos productos de la tienda son: Producto

Precio en zeds

Monopatín completo

82 ó 84

Tabla

40, 60 ó 65

Juego de 4 ruedas

14 ó 36

Juego de 2 ejes

16

Conjunto de piezas (tornillos, tuercas, etc)

10 ó 20

Marcos quiere montar su propio monopatín. ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo de los monopatines montados por uno mismo en esta tienda?

La tienda ofrece tres tablas diferentes, dos juegos diferentes de ruedas y dos conjuntos diferentes de piezas. Sólo hay un juego de ejes para elegir. ¿Cuántos monopatines puede construir Marcos? A: 6

B: 8

C: 10

D: 12

Pruebas Pisa de Matemáticas (año 2003): Monopatín (preguntas 25 y 26)

PRESENCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS OBJETIVOS DEL CURRÍCULO DE ESO

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO OBJETIVOS GENERALES

1. Plantear y resolver, de manera individual o en grupo, problemas extraídos de la vida cotidiana, de otras ciencias o de las propias matemáticas, eligiendo y utilizando diferentes estrategias, razonando el proceso de resolución, interpretando los resultados y aplicándolos a nuevas situaciones para poder actuar de manera más eficiente en el medio social. 8. Integrar los conocimientos y modos propios de la actividad matemática exploración sistemática de alternativas, precisión en el lenguaje, flexibilidad y perseverancia- en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse para resolver problemas de forma creativa, analítica y crítica. 10. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito para adquirir un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.

Colocar los números del 1 al 7 en la figura, de tal manera que los tres alineados sumen siempre 12.

Colocar los números del 1 al 7 en la figura, de manera que los tres alineados sumen siempre lo mismo.

Si la “estrella” tuviera dos brazos más y hubiera que colocar los números del 1 al 9 con la misma condición, ¿qué soluciones hay? Colocar los números del 1 al n (siendo n impar) en una estrella semejante. Explicar qué números podemos poner en el centro y cuánto suman las ternas en cada caso. Recoger los resultados en una tabla.

Número en el centro 1 4 7 1 5 9

Suma de las ternas 10 12 14 12 15 18

....

….

….

1 al n (n impar)

1 (n+1)/2 n

n+3 (3n+3)/2 2n

Números a colocar 1 al 7

1 al 9

“La Matemática es, en mucha mayor medida de lo que normalmente se piensa, una verdadera ciencia experimental. (...) Nunca un teorema matemático de importancia ha surgido del ejercicio de la mera abstracción y de la mera lógica. Los resultados profundos son, en general, el producto de innumerables tentativas, experimentos mentales realizados en la penumbra de intuiciones y conjeturas. ¡Cuánta tentativa inicialmente frustrada, corrección y nuevo ensayo, precede al logro de un nuevo teorema, de una nueva realidad matemática!” Miguel de Guzmán “Enfoque heurístico de la enseñanza matemática”

LA HEURÍSTICA EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS - ESTILOS EUCLIDEO Y HEURÍSTICO - BÚSQUEDA DEL MÉTODO: - ARQUÍMEDES (PALIMPSESTO) - DESCARTES - LEIBNIZ (CARACTERÍSTICA UNIVERSAL) - HADAMARD, POINCARÉ, ETC. - MODELO DE R. P. DE GEORGE POLYA - TESIS DE IMRE LAKATOS: EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

IMPORTANCIA DE LA R. P. EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA -UTILIDAD EDUCATIVA DEL MODELO DE POLYA: - Enseñanza y aprendizaje de contenidos no conceptuales - RECOMENDACIONES DEL N.C.T.M. (U.S.A.) -

OTROS MODELOS DE R. P.: - J. Mason, L. Burton y K. Stacey. - Alan Schoenfeld. - Miguel de Guzmán.

¿Cuántos triángulos se pueden dibujar con la condición de que sus vértices sean tres puntos no alineados de la cuadrícula siguiente?

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Clasificar los triángulos según sus lados, según sus ángulos y según el valor de su área, suponiendo que la distancia, horizontal o vertical, entre dos puntos consecutivos es una unidad de longitud.

PRESENCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS CONTENIDOS DE LOS DIFERENTES CURSOS DE ESO

PRIMER CURSO. CURSO

Bloque 1. Contenidos comunes

Resolución de problemas: –Métodos generales para resolver problemas (Polya, Miguel de Guzmán). –Heurísticos más usuales para la resolución de problemas: ensayo/error, resolución de un problema más sencillo, división del problema en pequeños problemas, reformulación del problema, uso de tablas, recuento exhaustivo, diagramas o dibujos. –Resolución de problemas alfanuméricas o geométricas.

relacionados

con

pautas

numéricas,

–Expresión verbal del procedimiento seguido en la resolución de los problemas. –Justificación del proceso y comprobación de las soluciones. –Formulación de conjeturas tras hipotéticas modificaciones de los datos. –Realización de investigaciones matemáticas sencillas sobre números, medidas, geometría, azar, etc.

SEGUNDO CURSO. CURSO

Bloque 1. Contenidos comunes

Resolución de problemas: – Métodos generales para resolver problemas (Polya, Miguel de Guzmán). –Heurísticos más usuales para la resolución de problemas: ensayo/error, resolución de un problema más sencillo, división del problema en pequeños problemas, reformulación del problema, uso de tablas, recuento exhaustivo, cambio de estado, diagramas o dibujos. –Método analítico en la resolución de problemas: identificación de la incógnita, escribir las ecuaciones correspondientes, resolverlas y comprobar las soluciones. –Resolución de problemas relacionados con pautas numéricas, alfanuméricas o geométricas. –Expresión verbal del procedimiento seguido en la resolución de los problemas. –Justificación del proceso y comprobación de las soluciones. –Formulación de conjeturas tras hipotéticas modificaciones de los datos. –Realización de investigaciones matemáticas sencillas sobre números, medidas, geometría, azar, etc.

TERCER CURSO. CURSO

Bloque 1. Contenidos comunes

Resolución de problemas: –Métodos generales para resolver problemas (Polya, Miguel de Guzmán). –Heurísticos más usuales para la resolución de problemas: reformulación del problema, recuento exhaustivo, cambio de estados, búsqueda de problemas afines, suponer el problema resuelto, inducción, etc. –Método analítico en la resolución de problemas: identificación de la incógnita, escribir las ecuaciones correspondientes, resolverlas y comprobar las soluciones. –Resolución de problemas relacionados con pautas numéricas, alfanuméricas o geométricas. – Expresión verbal del procedimiento seguido en la resolución de los problemas. – Justificación del proceso y comprobación de las soluciones. – Formulación de conjeturas tras hipotéticas modificaciones de los datos. – Realización de investigaciones matemáticas sencillas sobre números, medidas, geometría, azar, etc.

CUARTO CURSO OPCIÓN B.

Bloque 1. Contenidos comunes

Resolución de problemas: – Métodos generales para resolver problemas (Polya, Miguel de Guzmán). –Heurísticos más usuales para la resolución de problemas: reformulación del problema, recuento exhaustivo, cambio de estados, búsqueda de problemas afines, suponer el problema resuelto, inducción, reducción al absurdo, etc. –Método analítico en la resolución de problemas: identificación de la incógnita, escribir las ecuaciones correspondientes, resolverlas y comprobar las soluciones. –Resolución de problemas relacionados con pautas numéricas, alfanuméricas o geométricas. –Expresión verbal del procedimiento seguido en la resolución de los problemas. –Justificación del proceso y comprobación de las soluciones. –Formulación de conjeturas tras hipotéticas modificaciones de los datos. –Realización de investigaciones matemáticas sencillas sobre números, medidas, geometría, azar, etc.

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS: - Evolución en los tipos de Heurísticos que se proponen. - El método analítico en todos los cursos excepto en 1º ESO. - En todos los cursos: -Modelos generales de G. Polya y M. de Guzmán. -Resolución de problemas con pautas numéricas, alfanuméricas o geométricas. -Elaboración de protocolos. -Formulación de conjeturas. -Justificación del proceso y comprobación de las soluciones. -Realización de investigaciones.

LA PROPORCIÓN CORDOBESA A=22º 30´ 1

1 b= 2 senA

senA = 2 b

b A

2− 2 senA = 2 b=

1 2− 2

1

OTROS PATRONES : POLÍGONO

RAZÓN

RECTÁNGULO CON ESAS MEDIDAS

TRIÁNGULO

3

RECTÁNGULO

3

CUADRADO

2

RECTÁNGULO

2

RECTÁNGULO

Φ2 +1 Φ2

PENTÁGONO

Φ2 +1 Φ2

EXÁGONO

1

OCTÓGONO DECÁGONO

1

2− 2

1+ 5 =Φ 2

CUADRADO RECTÁNGULO CORDOBÉS RECTÁNGULO ÁUREO

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN MATEMÁTICAS MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: -ASPECTOS HEURÍSTICOS: proceso de resolución, etapas, pautas, estrategias, patrones de razonamiento, … -ASPECTOS DIDÁCTICOS: método de trabajo, organización, protocolos , rotulado personal, … -ASPECTOS PSICOLÓGICOS: bloqueos mentales, monitor interno, estados emocionales, autorretrato heurístico…

ASPECTOS HEURÍSTICOS PAUTAS HEURÍSTICAS

- ¿Qué te piden en el problema? - ¿Qué datos te dan? - ¿Conoces alguna relación entre los datos?

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

- Particularizar y generalizar, conjeturar y justificar - Utilizar el lenguaje apropiado - Ensayo y error razonado

- ¿Qué significa y que consecuencias puedes sacar del dato …?

- Resolver subproblemas, plantearse submetas.

- Vuelve a leer el enunciado

- Utilizar un problema parecido

- Analiza las frases del enunciado, palabra por palabra

- Fijar unas variables, dejar libres otras y extraer consecuencias

- Si consigo calcular …, entonces puedo hacer … y ya lo tengo

- Ir del final al principio

- ¿Por dónde empiezo? - ¿Hay otras formas de resolverlo?

- Hacer un recuento exhaustivo - Replantear el problema en otro contexto

ASPECTOS DIDÁCTICOS ANALISIS DE PROTOCOLOS

ROTULADO PERSONAL

-Practicar y reflexionar sobre la práctica -Analizar, interiorizar, tomar conciencia de las ideas clave utilizadas y los pasos llevados a cabo. -Revisar de forma crítica: búsqueda de errores, validez de las justificaciones, coherencia de la solución, etc. - Vivir o revivir el proceso: relacionar el desarrollo del protocolo con las fases, estados emocionales, organización y orden, etc. - Mejorar aspectos del aprendizaje personal: la redacción de protocolos, el orden y la organización en lo escrito, los razonamientos, argumentaciones y justificaciones.

Forma personal de anotar durante el proceso: - Escribir todo lo que pasa (ideas, sensaciones, estados, …) - Utilizar frases hechas, claves, recuadros … - Hacer explícito, “sacar fuera”, plasmar en el papel lo que pasa en cada momento. - Conectar ideas y sensaciones con acciones. - Desarrollar un banco personal de datos y recursos para la mejora de la toma de decisiones durante el proceso.

- Contribuir al control del proceso, en la medida de lo posible.

ASPECTOS PSICOLÓGICOS MONITOR INTERNO

ESTADOS EMOCIONALES

Tutor personal que nos hace consciente de los pensamientos y actos: - Vigila la ejecución del plan y hace las preguntas oportunas - Valora sobre la marcha y nos sugiere modificaciones - Identifica atascos - Examina críticamente los resultados

- Primeros contactos: es un verdadero

- Se desarrolla mediante la reflexión consciente sobre los procesos seguidos -Ayuda a distinguir entre estar

sumergido en el proceso y controlar o dirigir ese proceso

problema

- Entrando en materia: hoguera,

mancharse las manos - Fermentación: detenerse y orientarse, cocer en la mente - Seguir avanzando: se puede hacer algo, el problema como amigo - Intuición: ajá, el problema o gran parte de él se derrumba - Mostrarse escéptico: del dicho al hecho …, ¿seguro? - En estado contemplativo: mezcla de reflexión y calma…

AUTORRETRATO HEURÍSTICO

Estamos en una habitación cuadrada en la que debemos colocar, junto a la pared, lámparas de pie como la del dibujo. Nos dicen que las coloquemos de manera que haya el mismo número de lámparas en cada una de las cuatro paredes de la habitación. Para ello, si fuera necesario, nos permiten poner, como máximo, una lámpara en cada uno de los cuatro rincones de la habitación. En ese caso, la lámpara se cuenta como perteneciente a las dos paredes que forman ese rincón. -Si tenemos 12 lámparas. ¿Cómo podemos colocarlas? Haz un dibujo que nos diga, de un vistazo, la solución. -Ahora tenemos 10 lámparas. ¿Cómo podemos colocarlas? Haz un dibujo que nos diga, de un vistazo, la solución.

- Resuelve el mismo problema para 11 y para 13 lámparas. -Prueba con otros cuatro números consecutivos, por ejemplo, 20, 21, 22 y 23 lámparas y comprueba que también es posible. Haz un dibujo explicativo en cada caso. - Para un número cualquiera de lámparas, ¿será posible colocarlas cumpliendo las condiciones del principio? ¿Cómo puedes hacerlo? ¿Cuántas habrá en cada pared? ¿podrías hacer unos dibujos que representen las diferentes soluciones del problema según sea el número de lámparas?

1

N N

Nº de lámparas: 4N

N N

1

N

N-1 1

1

N N-1

Nº de lámparas: 4N+1

1

N N

N N

1

Nº de lámparas: 4N+2

N-1

N-1

1 N-1

1

N-1

1

N

N

1

N+1

N+1 Nº de lámparas: 4N+3

USOS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA CON ENTIDAD PROPIA

MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

COMO METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

UNID. DIDÁCTICAS O PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO METODOLOGÍA HABITUALMENTE: CONTENIDO EJERCICIO DIFÍCIL

EJEMPLOS

EJERCICIOS SENCILLOS

¿ PROBLEMA ?

USANDO LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: SITUACIÓN-PROBLEMA MANIPULACIÓN-FAMILIARIZACIÓN ELABORACIÓN DE ESTRATEGIAS POSIBLES ENSAYOS DIVERSOS HERRAMIENTAS ELABORADAS A LO LARGO DE LA HISTORIA (CONTENIDOS MOTIVADOS) ELECCIÓN DE ESTRATEGIAS ATAQUE Y RESOLUCIÓN RECORRIDO CRÍTICO (REFLEXIÓN SOBRE EL PROCESO) AFIANZAMIENTO FORMALIZADO GENERALIZACIÓN NUEVOS PROBLEMAS TRANSFERENCIA DE RESULTADOS, IDEAS, MÉTODOS, …

INTEGRACIÓN DE LA R. P. EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS * Nivel 1. Entretenimiento, tratamiento lúdico o recreativo * Nivel 2. Problemas aislados. Uso de las Estrategias

* Nivel 3. Curso o Taller de Resolución de Problemas

* Nivel A. Problemas aislados como metodología * Nivel B. Programación didáctica de matemáticas usando la resolución de problemas como metodología * Nivel C. Enfoque Heurístico de la enseñanza de las matemáticas

En un corral hay gallinas y conejos. Si en total hay 19 cabezas y 81 patas, ¿cuántos animales hay de cada clase? - Fijar uno de los datos y ver qué valores pueden tomar los demás. - Cambiar algunos datos para que tenga solución. - Resolver el problema usando distintas estrategias: * Lenguaje algebraico

* Ensayo y error

* Lenguaje aritmético

* Lenguaje gráfico

- Cambiar la situación a una granja, con números grandes: * Proporcionales: 1.900, 8100, … ¿se mantiene la proporción en la solución? ¿para cualquier factor de proporcionalidad? * Otros números grandes. Resolverlo.

- Enunciar problemas parecidos: * bicicletas y triciclos (nº de vehículos y de ruedas) * coches y motos (nº de vehículos y de ruedas) * personas (chicos y chicas) y nº de manos * hotel (habitaciones sencillas y dobles) - Resolver el problema general (los datos son letras) - Enunciar y resolver el problema abierto: Prof: Se trata de averiguar cuántos animales hay en una granja. Alumn: Necesito algún dato … Prof: Son gallinas y conejos. Alumn: Necesito más datos. Prof: En total hay 8000 patas. Alumn: Pues pueden ser desde 4000 gallinas y 0 conejos hasta 0

gallinas y 2000 conejos.

PRESENCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LOS DIFERENTES CURSOS DE ESO

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO CRITERIOS DE EVAL. 1º ESO 3. Identificar y describir regularidades, pautas y relaciones en conjuntos de números, utilizando letras para simbolizar las distintas cantidades para obtener expresiones algebraicas como síntesis en secuencias numéricas, así como el valor numérico de fórmulas sencillas. 3.1. Obtiene el valor numérico de una fórmula. 3.2.Utiliza argumentos lógicos correctos para obtener conclusiones. 3.3. Organiza y ordena los resultados obtenidos. 3.4. Encuentra las regularidades que puedan existir en un conjunto de números. 3.5. Expresa mediante una fórmula verbal o algebraica la regularidad observada.

EL ROSAL DE ISABEL Isabel dice que el rosal de su casa, en 1998, que fue un año bueno, tuvo 80 flores. Desde entonces echa 80 flores los años buenos y 30 los años de heladas. Cada 3 años viene un año bueno. Todos los años, por julio, Isabel corta las flores para regalárselas a su padre Andrés. Todos los años se le estropean 5 y además ella deja 8 rosas en el rosal los años pares y 4 los impares. - ¿Cuántas rosas recibió Andrés en el año 2000? ¿Y en 2001? - ¿Cuántas recibirá este año? ¿Y en el año 2015? - ¿Cuántas flores recibirá desde el año 2000 hasta 2010? - Explica razonadamente el número de rosas que recibirá cualquier año.

8. Resolver problemas utilizando un modelo heurístico: analizando el enunciado, eligiendo las estrategias adecuadas (ensayo-error, resolución de un problema más sencillo, división del problema en pequeños problemas, dibujar un esquema, etc.) realizar los cálculos pertinentes, comprobando la solución obtenida y expresar, utilizando el lenguaje matemático adecuado a su nivel, el procedimiento que se ha seguido en la resolución. 8.1. Realiza una lectura comprensiva del enunciado del problema e identifica los datos y las incógnitas de los problemas propuestos. 8.2. Conoce y aplica distintas estrategias heurísticas para resolver el problema. 8.3. Conoce y aplica los métodos de resolución de problemas-tipo (mezclas, móviles, de proporcionalidad directa, etc.) 8.4. Examina y evalúa diferentes alternativas de cara a resolver el problema, pudiendo modificarlas a lo largo del proceso. 8.5. Comprueba la solución y reflexiona respecto al proceso seguido, sacando conclusiones que le puedan servir en la solución de otros problemas. 8.6. Comunica los resultados obtenidos y explica, mediante un lenguaje claro, las ideas y los procesos personales desarrollados.

CURRICULO DE MATEMÁTICAS ESO CRITERIOS DE EVAL. 4º ESO B 3. Utilizar con destreza el lenguaje algebraico, sus operaciones y propiedades, empleándolo para expresar relaciones matemáticas de tipo numérico, alfanumérico, geométrico, etc. 3.1.Realiza operaciones con igualdades algebraicas utilizando sus propiedades. 3.2. Realiza operaciones con polinomios y opera con productos notables. 3.3. Obtiene las raíces de un polinomio y lo factoriza utilizando el método más adecuado. 3.4. Encuentra las regularidades que puedan existir en un conjunto de números, expresando mediante una fórmula verbal o algebraica la regularidad observada. 3.5. Es capaz de razonar y expresar el proceso seguido para realizar demostraciones sencillas en el ámbito geométrico. 3.6. Aplica el lenguaje algebraico para estudiar los elementos geométricos del plano (puntos, rectas, propiedades, distancias,..).

Mercedes quiere hacer un regalo a cada uno de sus amigos María, José, Pedro, Eva y Juan. Para ello compra cinco regalos y se inventa el siguiente método de asignación: va contando los regalos como se describe en la figura y cuando llegue al número del DNI de cada uno, les da el regalo correspondiente.

Sabiendo que los DNI son: María 13074698, José 71546465, Pedro 71284868, Eva 18468311 y Juan 23710429, averiguar si el método es adecuado y, en ese caso, qué regalo corresponde a cada uno.

9. Resolver problemas utilizando un modelo heurístico: analizando el enunciado, eligiendo las estrategias adecuadas (recuento exhaustivo, inducción, búsqueda de problemas afines, empezar por el final, reducción al absurdo, suponer el problema resuelto, contraejemplos,..), realizar los cálculos pertinentes, comprobando la solución obtenida y expresar, utilizando el lenguaje matemático adecuado, el procedimiento que se ha seguido en la resolución. 9.1. Realiza una lectura comprensiva del enunciado del problema e identifica los datos y las incógnitas de los problemas propuestos. 9.2. Conoce y aplica distintas estrategias heurísticas para resolver el problema. 9.3. Examina y evalúa diferentes alternativas de cara a resolver el problema, pudiendo modificarlas a lo largo del proceso. 9.4. Comprueba la solución y reflexiona respecto al proceso seguido, sacando conclusiones que le puedan servir en la resolución de problemas nuevos. 9.5. Comunica los resultados obtenidos y explica, mediante un lenguaje claro, las ideas y los procesos personales desarrollados. 9.6. Aplica razonamientos, tanto de tipo inductivo como deductivo, para resolver problemas incluyendo demostraciones sencillas de teoremas matemáticos.

TAREAS DE CLASE Y TIPO DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO Thomas Romberg, SIGMA nº 15: “Cómo uno aprende:

modelos y teorías del aprendizaje de las matemáticas”

PENSAMIENTO DE ALTO NIVEL

PENS. DE BAJO NIVEL

NO ALGORÍTMICO

ALGORÍTMICO

(el camino para la acción no está completamente especificado)

COMPLEJO

CAMINOS VISIBLES

(no abordable con un único enfoque)

SOLUCIONES MÚLTIPLES

SOLUCIÓN ÚNICA

JUICIOS MATIZADOS E INTERPRETACIÓN

NO SE ESPERA NI JUICIO NI INTERPRETACIÓN

CRITERIOS MÚLTIPLES

CRITERIOS SENCILLOS

(algunos en conflicto)

INCERTIDUMBRE

CERTEZA

(no se conoce todo lo necesario)

AUTORREGULACIÓN

REGULACIÓN EXTERNA

ASIG. DE SIGNIFICADO

SIGNIFICADO DADO

(estructura con aparente desorden)

(o se le supone)

REQUIERE ESFUERZO

NO REQUIERE ESFUERZO

(trabajo mental, desc. de la estructura, desarrollo de elaboraciones y juicios)

(ejercicios estándar)

“Comienzo con un enunciado inicial, al

que llamaré “semilla”. Este enunciado ha de ser interesante y muy sencillo. El ejercicio tiene por propósito regar la semilla y hacerla crecer y convertirse en una planta recia. De ordinario ofrezco a mi clase una variedad de “simientes”, y ellos eligen la que quieren regar, en función de su experiencia”.

Philip Davis y Reuben Hersh “Experiencia Matemática”

PROBLEMAS SEMILLA: “SUMA DE Nº CONSECUTIVOS” Averiguar qué números se pueden expresar como suma de números naturales consecutivos.

- Escoge números naturales y prueba a ver si se pueden escribir como suma de naturales. ¿Puedes sacar alguna conclusión? Escribe tus conjeturas. …….. - ¿Cómo podrías demostrar la veracidad de la conjetura principal?

Si no sale, vamos a intentar resolver el problema empezando por casos sencillos: - ¿Qué números se obtienen al sumar dos números naturales consecutivos? …….. - ¿Y al sumar tres números naturales consecutivos? …….. - ¿Pasará lo mismo si lo hacemos para cuatro naturales consecutivos? …….. - ¿Pasará lo mismo si lo hacemos para cinco naturales consecutivos? -“Al sumar un número impar de números consecutivos, el resultado es un múltiplo del número de sumandos”. ¿Será cierta esta afirmación? ……..

- ¿Todo múltiplo de tres se puede poner como suma de tres números naturales consecutivos? …….. - ¿Se cumple lo mismo para los múltiplos de cinco? …….. - “Si un número tiene un divisor impar, entonces se puede poner como suma de números naturales consecutivos”. ¿Será cierta esta afirmación? …….. - “Si un número se puede poner como suma de números naturales consecutivos, entonces siempre tiene algún divisor impar.” Este enunciado es el recíproco del anterior. Demuestra su veracidad. ……..

- “Un número se puede poner como suma de naturales consecutivos si y sólo si tiene un divisor impar” Este es el resultado que tenemos demostrado. Si relacionamos este resultado con la conjetura que teníamos al principio, ¿podemos resolver definitivamente el problema?

MÁS EJEMPLOS DE PROBLEMAS IDEALES …

En un tablero de ajedrez, ¿cuántos cuadrados podemos dibujar, si sus lados son líneas (filas o columnas) del tablero y sus vértices son puntos de corte de esas líneas?

LOS MONTONES DE CERILLAS Tenemos tres montones de cerillas con 11, 7 y 6 cerillas en cada uno. Queremos conseguir el mismo número de cerillas en cada montón. Para ello debemos cumplir una condición: cada montón puede recibir el mismo número de cerillas que ya tenga, y deben provenir todas del mismo montón. ¿Cómo hacerlo en el menor número de movimientos posibles? Tenemos dos montones de cerillas con distinto número de cerillas cada uno. Pasamos sucesivamente del montón más grande al más pequeño tantas cerillas como haya en éste último. Terminamos el proceso cuando obtengamos el mismo número de cerillas en cada uno. ¿Cuántas cerillas debe haber inicialmente en cada montón para conseguir la igualdad?. ¿En cuántos pasos llegaremos a ella?

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¿El usuario forma parte del personal interno?

La biblioteca del IES Séneca tiene un sistema simple de préstamo de libros: para el personal interno, el periodo de préstamo es de 28 días; para los estudiantes, el periodo de préstamo es de 7 días. El siguiente esquema es un diagrama de flujo que muestra este sistema simple: Si

El periodo de préstamo es de 28 días

La biblioteca del IES Julio Verne tiene un sistema de préstamo similar, aunque más complejo: No - Las publicaciones clasificadas como reservadas tienen un periodo de préstamo de 2 días. El periodo de - El periodo de préstamo para los libros (no las préstamo es revistas) que no estén en la lista reservada es de 28 de 7 días días para el personal interno y 14 días para los estudiantes. - El periodo de préstamo para las revistas no incluidas en la lista reservada es, para todos, de 7 días. - Las personas con documentos que hayan sobrepasado la fecha de devolución no pueden recibir ningún nuevo préstamo.

Pregunta 1: SISTEMA DE PRÉSTAMO BIBLIOTECARIO

Eres un estudiante del IES Julio Verne y no tienes ningún documento que sobrepase la fecha de devolución. Quieres pedir prestado un libro que no está en la lista de los libros reservados. ¿Durante cuánto tiempo puedes tomar prestado el libro? Pregunta 2: SISTEMA DE PRÉSTAMO BIBLIOTECARIO

Dibuja un diagrama de flujo para el sistema de préstamo bibliotecario del IES Julio Verne, de modo que sirva para diseñar un sistema automatizado de comprobación para manejar el préstamo de libros y revistas de la biblioteca. El sistema de comprobación que diseñes ha de ser lo más eficiente posible (es decir, deberá tener el menor número de pasos de comprobación). Ten en cuenta que cada paso de comprobación debe tener sólo dos resultados y que los resultados deben estar adecuadamente etiquetados (por ejemplo Sí y No). Pruebas Pisa de Solución de Problemas (año 2003): SISTEMA DE PRÉSTAMO BIBLIOTECARIO

- Las publicaciones clasificadas como reservadas

tienen un periodo de préstamo de 2 días. - El periodo de préstamo para los libros (no las revistas) que no estén en la lista reservada es de 28 días para el personal interno y 14 días para los estudiantes. - El periodo de préstamo para las revistas no incluidas en la lista reservada es, para todos, de 7 días. - Las personas con documentos que hayan sobrepasado la fecha de devolución no pueden recibir ningún nuevo préstamo.

Averiguar qué relación existe entre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado: ax2+bx+c=0

cx2+bx+a=0

Averiguar qué relación existe entre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado: ax2+bx+c=0

ax2-bx+c=0

Dada la ecuación x2+3x=p, calcular el valor de p, para que las soluciones sean: a) Números enteros b) Números decimales

“Las matemáticas son un producto de las mentes humanas pero no pueden someterse a la voluntad humana. Explorarlas es como explorar un nuevo sendero en el terreno: quizá no sabes lo que hay en la siguiente curva del río, pero no tienes que escoger; Sólo tienes que esperar y descubrirlo. En cambio, el terreno matemático no existe hasta que uno lo explora.” Ian Stewart: “Cartas a una joven matemática”

En los procesos de enseñanza y aprendizaje, es muy fácil resaltar las dificultades, pensar que todo va a peor, regodearse en lo negativo… Tenemos que aprender a salir fuera de la clase y analizar nuestras verdaderas coordenadas (dónde estamos) y las dimensiones reales de nuestra profesión (qué somos)

MUCHAS GRACIAS Constantino de la Fuente Martínez I.E.S. “Cardenal López de Mendoza” Burgos Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán”

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