Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Colegiul Naţional de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava

Matrici Referat la Matematică

Elev : Profesor : Anul şcolar: 2008 - 2009 CUPRINS

1. MATRICI ……………………………………………………………………pg. 3 1.1. Tabel matriceal. Mulţimi de matrice 1.2. Operaţii cu matrice 1.2.1. Adunarea matricelor 1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari 1.2.3. Înmulţirea matricelor 1.2.4. Puterea unei matrice pătratice 1.2.5 Transpusa unei matrice 2. APLICAŢII…………………………………………………………………pg. 10 3. BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………...pg. 23

2

MATRICI Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip tablou cu m linii şi n coloane

m × n ) un

 a1 1 a1 2 . . . a1n     a2 1 a2 2 . . . a2n   . . . . . . . . . . . .    a a . . .a   m1 m2 m n ale cărui elemente a ij sunt numere complexe.

1.1 . Tabel matriceal. Mulţimi de matrice. Să considerăm următorul enunţ din domeniul economiei. „Un depozit de materiale se aprovizionează eşalonat pe o perioadă de 4 luni cu un anumit produs după urmatorul plan: - în prima lună se aprovizionează cu 100 de bucăţi, la preţul unitar de 3 000 unităţi monetare (u.m.). - În a doua lună se aprovizionează cu 120 bucăţi la preţul unitar de 3 500 u.m. - În luna a treia primeşte cu 10 bucăţi mai puţin decât în luna precedenentă, cu preţul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar în luna a patra comandă o cantitate dublă faţă de prima lună plătind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.” Pentru ţinerea unei evidenţe cât mai clare, aceste date pot fi ordonate şi clasate în diverse moduri, astfel încât obţinerea unor informaţii legate de acest proces de aprovizionare să se realizeze cât mai eficient. Astfel, datele de mai sus pot fi grupate într-un tabel de forma: Luna Cantitate Preţ unitar

1 100 3 000

2 120 3 500

3

3 110 3 200

4 200 3 200

Într-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate într-un tabel de forma:

 1 2 3 4  10     10 0 1 2 01 1 02 0  0   3 0 30 50 03 02 30 20  0 0  30   sau

01 2 1 0 1 2 0 0 0  03 05 3 00 2 30 0 2 0 0 0 0

Un astfel de tabel se numeşte tabel matriceal. Primul tabel matriceal este format din 3 linii şi 4 coloane (este de tipul 3 x 4), iar al doilea tabel matriceal este format din 2 linii şi 4 coloane (este de tipul 2 x 4). Daca se ia în considerare numai linia care conţine cantităţile achiyiţionate lunar, se obţine un tabel de forma (100 120 110 200) numit tabel matriceal linie. Dacă se consideră numai datele care caracterizează fenomenul în luna a treia se

obţine un tabel de forma

3 1     1 1 0   3 2  0 0 3   sau

1 0  2 0 0

, numit tabel matriceal coloană.

Aşadar, prin organizarea unor date legate de un fenomen în asemenea tabele matriceale, se stabileşte de fapt o corespondenţă între poziţia ocupată de un număr din tabel şi valoarea acestuia. Poziţia numărului din tabelul matriceal este uşor de identificat printr-o pereche ordonată de numere naturale (i, j) care arată că numărul se aflp pe linia i şi pe coloana j a tabelului. Generalizarea unei astfel de corespondenţe, făcându-se abstracţie de natura materială a datelor folosite, conduce la introducerea unei noi noţiuni matematice. Cazuri particulare 1) O matrice de tipul 1 ×n (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma A = ( a1 a 2 ... a n ) .

4

2) O matrice de tipul m ×1 (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma

 a1     a2  . B=   ...   a   m

3) O matrice de tip m × n se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O

 0 0 . . . 0    0 0 . . . 0 . O=  . . . . . . . . . .    0 0 . . . 0  

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.

 a1 1 a1 2 . . .a1n     a2 1 a2 2 . . .a2n  . A=   . . . . . .. . . . . .    a a . . .a   n1 n2 n n

Sistemul de elemente ( a11 a 22 ... a nn ) reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente a11 + a 22 +... + a nn se numeşte urma matricii

5

n

A notată Tr(A) = ∑ai i . Sistemul de elemente i =1

( a1n

a 2 n −1 ... a n1 ) reprezintă

diagonala secundară a matricii A. Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numeşte urma matricei A şi se noteaya Tr (A). Mulţimea acestor matrici se notează Μn ( C ) . Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind

 1 0 . . .0     0 1 . . .0  In =  . . . . . . . . . .    0 0 . . .1   

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea matricelor Fie matricele A, B ∈ Μm, n (C ) , A= ( ai j ) mxn , B= (bi j ) mxn . Definiţie. • Matricele A şi B se numesc matrice egale, dacă ai j = bi j , pentru fiecare i ∈ {1,2,…,m}, j ∈ {1,2,...,n}. Problemă rezolvată Să se determine a,b,x,y,m ∈ R astfel încât să aibă loc egalitatea de matrice A=B,

 a + 5 2bi + 1   1+ m 7  i A =  x y x  B =    2 + 3 2 + 2   3 16  2

pentru

,

.

Soluţie Din egalitatea a 11 =b 11 rezultă a 2 + 5i = 1 + mi . Aplicând egalitatea a două numere complexe se obţine a 2 =1 şi m = 5 , deci a ∈ {-1,1}, m=5. 6

22

Din egalitatea a 21 =b 21 , rezultă 2b+1=7 şi b=3 . Egalităţile a 21 =b 21 şi a 22 =b conduc la relaţiile 2 x + 3 y = 31 şi 2 x + 2 = 6. Se obţine x=2 si y=3. Observaţii 1. Folosind proprietăţile relaţiei de egalitate pe mulţimea C, relaţia de egalitate pe mulţimea Μm, n (C ) are următoarele proprietăţi: • Dacă A=A, ∀A ∈ Μm, n (C ) (proprietatea de reflexivitate). • Dacă A=B, atunci B=A, ∀A, B ∈ Μm, n ( C ) (proprietatea de simetrie). • Daca A=B şi B=c, atunci A=C, ∀A,B,C ∈ Μm, n ( C ) (proprietatea de tranzitivitate). 2. Dacă matricele A,B snu sunt egale, se scrie A ≠ B.

1.2.1. Adunarea matricelor Definiţie. Fie A = ( ai j ) , B = (bi j ) , C = ( ci j ) ∈ Μm, n ( C ) . Matricea C se numeşte c i j = a i j + bi j , (∀) i =1, m , (∀) j =1, n . suma matricelor A, B dacă:

Observaţii 1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B ∈ Μm, n (C ) . 2) Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:

7

 a1 1 a1 2 . . . a1n   b1 1 b1 2 . . . b1n       a2 1 a2 2 . . . a2n   b2 1 b2 2 . . . b2n  + =  . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . .      a a . . .a   b b . . .b   m1 m2 m n  m1 m2 m n  a1 1+ b1 1 a1 2+ b1 2 . . .a1n + b1n     a2 1+ b2 1 a2 2+ b2 2 . . .a2n + b2n  .  ... ... ... ...     a + b a + b . . .a + b   m1 m1 m2 m2 m n m n Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:

1.

 1 − 1 2   0 5 − 3 A=   ,B=   3 0 1 1 1 5 0 ;

8

2.

 1  0 1 A=  ,B=  . − 1  1 0

R. 1. Avem

9

 1 − 2   0 5 − 3  1 + 0 - 5 2 - 3   1 4 −  A+B= + = =  3 01  15 3+1 0 1+5  106 0 3

2. Avem

10

 1  0 1 + 0 1  1 2 A+B= + .= = −1  0 −1+ 0  1

.

Proprietăţi ale adunării matricelor A 1 (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , (∀) A, B, C ∈ Μm,n (C ) . A 2 (Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă, adică: A + B = B + A , (∀) A, B ∈ Μm, n (C ) . A 3 (Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică ∃ Om ,n ∈ Μm, n ( C ) astfel încât A + Om ,n = A, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) . A 4 (Elemente opuse). Orice matrice A ∈ Μm, n ( C ) are un opus, notat − A , astfel încât A + ( − A) = Om , n .

11

1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari Definiţie.Fie λ ∈ C şi A = ( ai j ) ∈ Μm, n ( C ) . Se numeşte produsul dintre scalarul λ ∈ C şi matricea A, matricea notată λA ∈ Μm, n (C ) definită prin λA = (λai j ) . Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci λA

 λ a1 1 λ a1 2 . . .λ a1n     λ a 2 1 λ a 2 2 . . .λ a 2 n  =  . . . . . .. . . . . .  .    λ a λ a . . .λ a   m1 m2 m n

Exemplu Fie

1  2  A=  0 

 − 3 5  2  1 3 

. Atunci 6A =

 3 − 1 83  0    0 4 6 .

Proprietăţi ale înmulţirii matricelor cu scalari S 1 λ( µA) = ( λ µ) A , (∀) λ, µ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) ; λ( A + B ) = λA + λB , (∀) λ ∈ C, (∀) A, B ∈ Μm, n ( C ) ; S2 S 3 ( λ + µ ) A = λA + µA , (∀) λ, µ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) ; S4 1 ⋅ A = A ,1 ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n (C ) ;

1.2.3. Înmulţirea matricelor 12

Definiţie. Fie A = ( a k i ) ∈ Μm, n ( R ) , B = (bi j ) ∈ Μn, p ( R ) . Produsul dintre matricele A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = (c k j ) ∈ Μm, p ( R ) definită prin n

c k j = ∑ a k i bi j , (∀)

k =1, m

, (∀)

j =1, n .

i =1

Observaţii 1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A ∈ Μm,n ( R ) , B ∈ Μn, p ( R ) , adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice C = AB ∈ Μm, p ( R ) . 2) Dacă matricile sunt pătratice A, B ∈ Μn ( R ) atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, AB ≠ BA adică înmulţirea matricelor nu este comutativă. Proprietăţi ale înmulţirii matricelor I 1 (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricelor este asociativă, adică Μp, s ( C ) .

( AB )C = A( BC ) , (∀) A ∈ Μm,n (C ) , (∀) B ∈ Μn, p (C ) , (∀) C ∈

I2

(Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică ( A + B )C = AC + BC , C ( A + B ) = CA + CB , (∀) A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. I 3 Dacă I n ∈ Μn ( C ) este matricea unitate, atunci I n A = AI n = A, (∀) A ∈ Μn ( C ) . Se spune că I n este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor. 1.2.4. Puterea unei matrice pătratice Proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor pătratice permite definirea puterii cu exponent natural a unei matrice pătratice. Fie A ∈ M n (C). Definim A 0 = I n , A1 = A, A 2 = A * A. Pentru n ∈Ν* se defineşte puterea n a matricei A prin A n = A n −1 * A . Exemplu:

13

Daca A=

 1 − 1    2 1  1 − 1  1 − 1  − 1 − 2        2 1  2 1  4 − 1 

A2 = A * A =

atunci :

*

=

A3 = A 2 * A =

 − 1 − 2  1 − 1  − 5 − 1        4 − 1   2 1  2 − 5 

A4 = A3 * A =

 − 5 − 1  1 − 1  − 7       2 − 5   2 1  − 8

*

*

=

=

14

4  − 7

1.2.5 Transpusa unei matrice Definiţii: • •

Fie matricea A= ( aij ) mxn . Se numeşte transpusa matricei A, matricea t A = (bkl ) nxm , unde bkl = a lk , pentru oricare k ∈{1,2,..., n} şi l ∈{1,2,..., m}. Operaţia prin care fiecărei marice A ∈M m , n (C ) i se asociază matricea transpusă t A ∈M n , m (C ) se numeşte operaţia de tramsăinere a matricelor. Observaţii:

1. Matricea transpusă t A se obţine din matricea A prin schimbarea liniilor în coloane şi a coloanelor în linii. t t t 2. Dacă A ∈M n (C ), atunci A ∈M n (C ) şi Tr ( A) =Tr ( A), unde Tr(A) este urma matricei A.

15

APLICAŢII 1. Manual Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile

a)

 1 − 32 yx   1 xy −− 1  1   =   7 x+− 6y 0  1 09

1 = 1   2 x − 3 y = y − x − 1 1⇒ 3x = 4 y − 1 1⇒ x = 4 y − 1 1  3 ⇒  − 7 x + 6 y = 1 9⇒ − 7 ⋅ 4 y − 1 1+ 6 y = 1 9⇒ 7 7− 2 8y + 1 8y = 5 7⇒ 1 0y = 2 0⇒ y = 2  3 0 = 0 

4 y − 1 1  8− 1 1 3  ⇒ x= ⇒ x= −1 3 d a yr = 2  x=

16

b)

 2 3 + yxx   y+ 3 8− y   =   − 7yx 2x  − 5 4y

 2x = y + 3 ⇒ 2 ⋅ 2 y = y + 3 ⇒ 3 y = 3 ⇒ y = 1  3x + y = 8 − y  ⇒  x − 7y = − 5  2 x = 4 y ⇒ x = 2 y

x = 2y   ⇒ x= 2 d a y r= 1

 + 3xy − 1  x 1 −+ 1   =   3 − xy   3 6 2

c)

17

 y + 3x = x 2 + 1 ⇒ 6 + x + 3x = x 2 + 1 ⇒ x 2 − 4 x − 5 = 0  − 1= −1 ⇒ 3 = 3  y − x = 6 ⇒ y = 6 + x x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇒ x 2 − 5 x + x − 5 = 0 ⇒ x( x − 5) + ( x − 5) = 0 ⇒ ( x − 5)( x + 1) = 0 ⇒ x1 = 5 ⇒ x 2 = −1

I. II.

d)

dacă x = 5 , atunci y =11 dacă x = −1 , atunci y = 5

 x 0 y x −− 5 0 z   =   y + y z − 3z x 4 − z  y

 x y= − x z− 5 ⇒ x( y + z ) + 5 = 0 0= 0    3  ⇒  y z+ y x= 4 ⇒ y( x + z ) − 4 = 0 ⇒ y x +  = 4 ⇒ x + y     3  z x− 3 = − z y⇒ z( x + y ) − 3 = 0 ⇒ z =  x+ y

 x 2 + x y+ 3   = 4 ⇒ x 2 y + y 2 x + 3 y = 4 x + 4 y y  x+ y 

2. Să se calculeze A + B în cazurile:

18

1)

 1 − 3  2 4  A =   B =    0 4   − 5 − 3 ,

.

 1 + 2 − 3 + 4   3 1 BA =+   BA =+⇒   0 + (− 5) 4+ (− 3)  − 5 1

2)

 1+ i − i A =   0 − 1− i

3i  − 1− 3i 2 + i 1  B =   i  i 1+ i − i  ,

19

 1+ i+ (− 1 3i) i 2++− i i+ 13   − 2i 2 i+ 13  BA =+   BA =+⇒   0 + i 1 i 1++−− ii + − i)(   i 0 0 3. Se consideră matricile

 2 m − 2 2  n m 1 − 1   − 1 − 4 − 1 1       A =  4 − 1 2m 5  B =  − 4 0 6 − 3  C =  0 − 1 − m 2   2 1 0− 1 21   − 1 − 5 6 0  p 5 − 6 1        ,

,

Să se determine m, n, p astfel încât A + B = C .

2 + n = −1⇒ n = −3  m + m = − 4 ⇒ 2m = − 4 ⇒ m = − 2  ⇒ . 2 m + 6 = − m   2 − 1 = p ⇒ p = 1

n = −3  Deci  m = − 2 p=1  20

.

4. Se consideră matricile A, B ∈Μ 2,3 (C ) .

 1 i − 1  − i 1 0  A =   B =    0 2 3i  1 i i + 1 ,

.

Să se calculeze: 3 A − 2iB , iA + 2 B .

21

 1 i −  1 0   3 i − 2 i 0  1 i − 3  3A−2i= −2i =B + =  023i 1 +069i−2 i−287+ 22

1 i −  1 0 i −  2 0  − i 1  i+2B= +2 = A+ =  023i 1 + 02i−3 2i+ 42i−1 5. Calculaţi produsele de matrici A ⋅ B , unde 3 1    2 1 1  B = 2 1 a) A =  şi     3 0 1 1 0    6 + 2 +1 2 +1 + 0   9  =  AB =   9 + 0 + 1 3 + 0 + 0  10

23

3  3 

2    A = 1  şi B = (1 b) 3   

2

3)

 2 4 6   AB =  1 2 3   3 6 9    1  − 2i

i i  şi B =   0 0

c) A = 

− 3i   1  

− 3i ⋅1 + i ⋅1   i − 2i   1⋅ i + i ⋅ 0  =   AB =   − 2i ⋅ i + 0 ⋅ 0 − 2i ⋅ ( − 3i ) + 0 ⋅1  2 − 6 

−1   2     −4 6  şi B =  − 4   5  2 −7      −5    AB =  52   − 33   

4  d) A =  3 5 

2

3  e) A = 5 5 

4

9 6  5   −1 6  şi B =  8 9   3 5 − 4 − 5 9 13   11   AB =  − 22 − 27 −17   29 32 26   

6. Să se calculeze f ( A) , dacă:

 1 − 1 A =    2 1

; f ( X ) = X 2 − 5 X + 7I 2

24

4   7  −3  

2 1−  1−  −1 2 A= ⋅A= ⋅ =  2 1 2 1  4−1

25

 − 1 2  1 −   1 0 f(A)= −5 +7 = 4 −1 2 1 0 1  − 1 2  − 5   7 0 = + + = 4 −1 −1 5 0 7 0  − 6 3  7 0 =  + =

26

7. Fie

 1 1 A =    0 1

. Să se calculeze A n , n ∈ N * .

2 1  1  12 A = A⋅ =  ⋅ =   0 1 01 01 27

23 12 1  13 A = A⋅ =  ⋅ =   0 1 01 01   1 n A =    0 1 n

Inducţie matematică P(k ) → P( k +1)

28

n+ 1 1 n + 1 A =    0 1

n+1 n 1 n 1  1 n+1 A = A⋅ =  ⋅ =   0 1 0 1 0 1 Deci

 1 n A =    0 1 n

(A)

.

29

8. Calculaţi determinanţii de ordinul doi:

1−1 1)

2)

= 1⋅3− ( 1)⋅ =+= 5232

23 −1 1 3−2

= (− 1)⋅(− 2)− 1⋅ −= = − 1323

31 3)

3 −− 3

()

= 3⋅ − 3 − ( 3)⋅1= =+− 033

9. Calculaţi determinanţii de ordinul trei: 2 −1 −2 6 −1 1 4 5 3 ¿ rli ¿ ¿ =2⋅−1⋅3−1⋅1⋅46⋅5⋅−2 − [ −2⋅−1⋅42⋅1⋅5−1⋅6⋅3 ] = 1) ¿ ¿ ∣¿∣∣¿∣¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = −6 − 4 − 60 −[8 +10 −18 ] = = −70

30

2 0−5 2) 5 3 3 = 2⋅ 3 6 + 0⋅ 3 0 + 5⋅ 4 (− 5) − [ ( 5)⋅ 3 0 + 2⋅ 3 4 + 0⋅ 5 6] = 046 = 36 + 0 −100 −[0 + 24 + 0] = = −64 − 24 = = −88

1 2−3

3)

3 − 1 2 = 1⋅(− 1)⋅ + 2⋅ ( 2)+− 3⋅ ( 3) [(−−− 1)⋅(− 2)⋅(− 3)+ 1⋅2 3+ 1⋅ 2 3] = −2 3 1 = −1 −8 − 27 −[ −6 + 6 + 6] = = −36 − 6 = = −42

10. Calculaţi determinanţii următori:

31

1)

a+ d b c+ d a b c d a b c 1 a b c abc abc abc+=+= dabc=0+d⋅ =0 1 1111 1 32

2)

a+ b − a − b a b b+c − =b− c+ = 1b c+− =−1⋅0+ = c+ a − c − a a c a a 11. Să se rezolve ecuaţiile:

33

1xx 1) x 1 x = 0 xx1

34

11x 12 1+++ 3x1 x 1 1 ⋅ (− ) + x 1 ⋅ (− ) = 0 ⇔ − x + = 0 ⇔ x1 x 1 x ⇔ 1 − x 2 − x( x − x 2 ) + x( x 2 − x) = 0 ⇔ 1 − x 2 − x 2 + x 3 + x 3 − x 2 = 0 ⇔ 2 x 3 − 3 x 2 + 1 = 0 ⇔ ⇔ 2 x 3 − 2 x 2 − x 2 + 1 = 0 ⇔ 2 x 2 ( x − 1) − ( x 2 − 1) = 0 ⇔ 2 x 2 ( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) = 0 ⇒

⇒ ( x − 1)(2 x 2 − x − 1) = 0 ⇒ ( x − 1) = 0 ⇒ x1 = 1

35

⇒ 2 x 2 − x −1 = 0 ⇒ ∆ = 1 + 8 = 9 ⇒ x2 = 1 ⇒ x3 = −  1   2 

Deci x ∈ − ,1 . 12. Să se rezolve ecuaţiile:

011x x 011 1) =0 1x01 11 x 0

36

1 2

01 x1 x01 x01 1+ 1+2 1+3 1+4

0⋅(−1) x01+ ⋅(−) 10 +1⋅(−) 1x + ⋅(−1) x0= ⇔ 1x0 1x0 1 0 1 x 37

x 1 x 01 x 0 1 ⇔ 0 10 1 −+− xx 1x 0= ⇔ 1x0 1 0 1 x ⇔ 0 − [ ( x ⋅ 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 ⋅1 + 1 ⋅ x ⋅1) − (1 ⋅ 0 ⋅1 + 1 ⋅ 0 ⋅1 + x ⋅ 1 ⋅ x)] + [ x ⋅ 0 ⋅ x + 0 ⋅1 ⋅1 + 1 ⋅1 ⋅1 − (1 ⋅ x ⋅1 + 1 ⋅ x ⋅1 + 0 ⋅ 0 ⋅1)] − − x[ ( x ⋅ x ⋅ x + 0 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1) − (1 ⋅ x ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 ⋅ x + 1 ⋅ 0 ⋅ x)] = 0 ⇔ ⇔ −( x + 1 − x 2 ) + (1 − 2 x ) − x( x 3 + 1 − x ) = 0 ⇔

⇔ x 2 − x − 1 − 2x + 1 − x 4 − x + x 2 = 0 ⇔ ⇔ − x 4 + 2x 2 − 4x = 0 ⇔ x 4 − 2x 2 + 4 = 0 ⇔ ⇔ x( x 3 − 2 x + 4) = 0 ⇒ x1 = 0 ⇒ x3 − 2x + 4 = 0 A, B ∈Μ 3 ( R) det( A) = det( B ) = det( A + B ) = det( A − B ) = 0 . Să se arate (∀) x, y ∈R .

13.

Fie

det( xA + yB ) = P ( x, y ) = λ1 x 3 + λ2 x 2 y + λ3 xy 2 + λ4 y 4 = 0

Pentru x = 0 şi y = 1

P (0,1) = det( B ) = 0 ⇒ λ4 = 0

Pentru x = 1 şi y = 0

P(1,0) = det( A) = 0 ⇒ λ1 = 0

Pentru x = 1 şi y = 1

P (1,1) = det( A + B) = 0 ⇒ λ2 + λ3 = 0

Pentru x = 1 şi y = −1

38

pentru care că det( xA + yB ) = 0 ,

P (1,−1) = det( A − B ) = 0 ⇒ λ2 − λ3 = 0 ⇒ λ 2 = λ3 = 0 Deci det( xA + yB ) = 0

2. Bacalaureat 1. Să se determine matricea X din ecuaţia

 2 − 3  1 3   − 3 6       3X +  − 1 2  = ⋅  7 4  +  − 9 3  2 − 3  − 2 6   3 0       39

 2 6   − 3 6   2 − 3     3 X =  1 8  +  − 9 3 −  1 2  4  − 4 1   3 0   2 − 3 2      − 1 1   − 2 3 2    3X =  5 1  +  1 − 2 1  − 1 1   − 2 3 2    40

 − 3 1  5  − 1 5     3X =  6 9 ⇒ X =  2 3   − 3 1  5  − 1 5     2. a) Găsiţi matricea X ∈ Μ 2 ( R) astfel încât

 1 2   − 2 1  2  X + =  0 1  3−  31

b) Să se determine m∈ R astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţi-l:

x+ y = 1   x − 2y = − 1  3x + y = m  41

a)

 1 2   − 2 1  2  X + =  0 1  3−  31

42

12 −12 −1 ⇒= − ⇒XX = + ⇒ 013 − 013 − 43

 1 2 3 1  ⇒ X =  0 1 4 x⋅1+y0x⋅2+y1 3 x2+y 31 ⇒  = ⇔  = ⇒ x y 2⋅z+t0 ⋅2+t1 04 2z +t 04 X=  

44

x= 3  2z = 0 ⇒ z = 0  ⇒  2x + y = 1 ⇒ 6 + y = 1 ⇒ y = − 5  2 z + t = 4 ⇒ t = 4

Deci

 3 − 5 X =    0 4

.

x+ y = 1  b)  x − 2 y = − 1  3x + y = m 

x + y =1 ⇒ x =1 − y

x − 2 y = −1 ⇒ 1 − y − 2 y = −1 ⇒ −3 y = −2 ⇒ y =

2 3

2 1 ⇒x= 3 3 1 2 2 5 3x + y = m ⇒ 3 ⋅ + = m ⇒ m = 1 + ⇒ m = 3 3 3 3 x =1− y =1−

3. a) Fie matricea A ∈ Μ 2 ( R) ;

 1 a A =    0 1

, a ≠ 0 . Să se calculeze A 2 şi A 3

şi apoi să se determine A n , n ∈ N * în funcţie de n. b) Să se afle x, y , u , v, numere reale astfel încât

45

 1  x y  1 0   =  0 1uv 1 

46

a)

2 1a 1⋅+a0 ⋅1+a  12a A= ⋅A ⋅ = =  0 1 0⋅1+ 1⋅+0a 0 1 47

23 12a1 1⋅+2a0 ⋅1+2a 13a A= ⋅A= ⋅ = =  0 10  0⋅1+ 1⋅+0a 0 1



1 n  a A =    0 1 n

Inducţie matematică P(k ) → P( k +1) 48

n+ 1 1 (n + 1)a A =    0 1

+1 nn 1n a 1⋅+n 0a⋅1+n  1a(n+ ) a a A = ⋅A ⋅ = =  0 1 0⋅1+ 1⋅+0a 0 1 (A)

1 na  n  . Deci A =   0 1

49

b)

 x + u = 1⇒ x 0 1 xy 10 x+uyv 10 y+v=0⇒y−1         = ⇒ = ⇒ 0 1uv 1 u v 1 u=1 v=1 50

Deci

 x y   0 − 1   =   u v 1 1

.

4. a) Să se determine x, y, u , v, astfel încât:

 −x y  xy  −31  − =  u +1v 3 1−2uv  −82

b) Să se detrmine matricea A astfel încât:

51

 4 1 − 5  7 − 1   1 5 2  0 1 2A+ = + . 6 1 −3 1 1 42  2 5 1

52

a)

−xy −31 xy− 31  − = ⇔ + = ⇔ u+1v3−28u+1v−328 53

 ( +− yx )= 3 yx =+⇒− 3   −− yx − xy   − 3 1  xy =− 1 ⇔   =   ⇒   u −+ 31 vv 2u−+ 1  − 8 2  u 3v+− 1= − 8  2 vu =−+ 21

 =3−yx  =3− yx 2y=4 y=2 ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ y −x=1 y+ −3=1  =3−yx x=1

54

 u 3v+− 1= − 8  u 3v−= 9  v= 3 ⇒ ⇔ ⇔ 2 vu =−+ 21  2(3v 9) v 3⇒=+− 7v= 2  u= 0 1

b)

 4 1 − 5  7 − 1   1 5 2  0 1 2A+ = +  6 1 −3 1 1 42  2 2 5 1 55

 8 4 1   − 5  8 4 1   − 5 3 0 3 0 ⇒2A= − ⇒2A= + ⇔ 1 2 61−3 12 −613 629 6 29 2 56

 4 − 6 18 2 − 3 9 2A=⇔   A=⇒   1 1 2  05 05 12 1 .

5. Să se rezolve ecuaţia:

xaaa axaa =0 aaxa aaax

57

x a x− a 0 0 0 a a x− a 0 0 0 a x a 0 x− a 0 0 a a 0 x− a 0 0 = 0⇔ + = 0⇔ = 0⇔ a x a 0 0 x− a 0 a a 0 0 x− a 0 a x 0 0 0 x− a a a 0 0 0 x− a 58

− ax 0 0 ⇔ ( − ax )⋅ (− 1)1+ 0 − ax 0 ⇒= (0 − )( − axax 3 ⇒=− (00) − ax )4 0⇒= x1,23,4 = a 0 0 − ax

[]

6. Dacă x1 , x 2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 − 2 x 2 + 2 x + 17 = 0 să se

x1 x2 x3 calculeze determinantul

d = x2 x3 x1

.

x3 x1 x2  x1 + x2 + x3 = 2  x3 − 2x 2 + 2x + 1 = 70 ⇒  x1x2 + x1x3 + x2 x3 = 2 xx x = −1 7  123

x1 x2 x3 3 33 2 3 1 123 1 2 3

x x x = 3x xx − (x + x + x ) x3 x1 x2

59

3

2

3

2

3

2

x1 − 2 x1 + 2 x1 + 1 7 = 0 x2 − 2 x2 + 2 x2 + 1 7 = 0 x 3 − 2 x 3 + 2 x3 + 1 7 = 0

(+ )

x1 + x 2 + x3 = 2( x1 + x2 + x3 ) − 2( x1 + x 2 + x3 ) − 5 1 3 3 3 ⇒ x + x + x = 2(2 − 2) − 2 ⋅ 2 − 5 1⇒  1 2 3 2 2 2 2 x1 + x 2 + x3 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2( x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3 )  3

3

3

3

3

2

2

2

3

⇒ x1 + x 2 + x3 = −55 3

3

3

d = 3x1 x 2 x3 − ( x1 + x 2 + x3 ) = 3 ⋅ (−17) + 55 ⇒ d = 4 7). Să se calculeze

lim

f ( x) x4

lim

f ( x) , dac ă f ( x ) = x 2 + x f ( x +1)

lim

f ( x) x2 − x

x →∞

f( x ) = (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 7) f ( x ) x 4 + .... = =1 x →∞ x4 x4

lim

8). Să se calculeze

lim x →∞

x →∞

x2 + x =1 x2 + x + x +1

9). Să se calculeze

x →0

f( x ) =(x – 1)arcsin x.

lim x →0

f ( x) ( x −1) arcsin x =1 = ( x −1) x2 − x

3. Bacalaureat 2009 1).

60

2).

3).

61

4).

62

5).

7).

63

8).

9).

64

10).

4). Olimpiada O1). Să se rezolve sistemul:

 l o g1 x + l o g1 y = 2  2 3   l o g1 x ⋅ l o g1 y ≥ 1 3  2 Rezolvare: Condiţii de existenţă: x,y ∈ R*+

65

log 1 x + log 1 y = 2 ⇒ log 1 y = 2 − log 1 x 2

3

3

2 2

log 1 x ⋅ log 1 y ≥ 1 ⇒ log 1 2

3

2

       x  2 − log 1 x  ≥ 1 ⇒ 2 log 1 x −  log 1 x  −1 ≥ 0  2  2  2  2

Ecuaţia ataşată:

  −2  −  log 1 x  + 2 log 1 x − 1 = 0 ⇒ ∆ = 4 − 4 = 0 ⇒ log 1 x = − 2 = 1  2  2 2

log 1 x

1

2 2

 − log 

1 2

 x  +2 log 

 − log 

1 2

 x  +2 log 

1 2

x −1

2

1 2

x −1 ≥ 0

-

-

-

-

-

-

-

- 0

-

-

-

-

-

-

1 2 1 ⇒y= 3

⇒ log 1 x = 1 ⇒ x = 2

1 2 1 y= 3

x=

Deci

O2) Să se găsească valorile lui x astfel încât: x

x

1  1  1  log 2 ( x + 1) + log 3 ( x + 1) + ... + log n ( x + 1) + n −1 =   +   + ...  2 3 n

x

Răspuns: Se observă că x=0 este soluţie log 2 ( x + 1) + log 3 ( x + 1) + ... + log n ( x + 1) + n − 1 1+ +1 + ...+  1 ⇒ n − 1 = n − 1( A)       = 1 0

0

n −1ori

0

Se consideră f ( x ) = log 2 ( x +1) + log 3 ( x +1) + ... + log n ( x +1) + n −1 şi x

x

1 1 1 g ( x ) =   +   + ...  2 3     n

 ⇒ 

x

f(x) este este soluţie strict crescătoare pe R x=0 unică a ecuaţiei g(x) este strict descrescătoare pe R

O3) Fie a ∈ R. Să se rezolve în R ecuaţia: ( a x ) Rezolvare:

(a )

x 2x

2

= 4 ⇒ a 2x = 4 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = ± 2

66

2x

=4

O4) Să se rezolve sistemul:

 l o 3gx + l o 2gy = 2 x y 3 − 2 = 2 3 Rezolvare: Condiţii de existenţă: x,y ∈ R*+

x= 3 Observăm că  este soluţie a sistemului  y= 2 Verificare:

log 3 x + log 2 y = 1 + 1 = 2

33-22=27-4=23 Cazul 1 x ∈ (0;3)

 l o3 x 1 ⇒ l o y g > 2 ⇒ y > 2(1)  2 2  l o3 + lg o2 y g= 2  3x < 2 7 y  x y ⇒ 2 < 4 ⇒ y < 2(2)  3 − 2 = 2 3

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x ∈ (0;3) (3) Cazul 2 x ∈ (3;+∞)

67

 l o3 x >g1 2 ⇒ l o y < g 1 ⇒ l o y < g 2  2 2 ⇒ y < 2(1)  l o3 x +gl o2 y =g 2  3x > 2 7 y  x y ⇒ 2 > 4 ⇒ y > 2(2)  3 − 2 = 2 3

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x ∈ (3;+∞) (4)

x= 3 Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică   y= 2 O5) Să se rezolve ecuaţia: 4x+9x+25x=6x+10x+15x Răspuns: Observăm că x=0 verifică ecuaţia. Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A) Soluţia 1: Notăm 2x=a 3x=b 5x=c ecuaţia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc a2+b2≥2ab a2+c2≥2bc b2+c2≥2ac + 2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac Egalitatea are loc dacă a=b=c → 3x=2x=5x→x=0 Soluţia 2 4x+9x-6x =+10x+15x-25x

⁄ :10x

68

x

x

x

x

x

4 9 6  10   15   25    +  −  =   +  −   10   10   10   10   10   10 

x

Definim următoarele funcţii: x

x

4 9  6  +  −   10   10   10 

x

f(x)= 

este strict descrescătoare

pe R x

x

x

 10   15   25   +   −   este strict crescătoare pe R  10   10   10 

g(x)= 

 ⇒ 

Soluţia unică este x=0

O6) Să se rezolve ecuaţia: (cos α ) x + (sin α ) x = 1,  

α ∈  0,

π  2

Rezolvare: Observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei. Verificare: (cos α ) 2 + (sin α ) 2 = 1 Definim următoarele funcţii:  

π 2

f(x)= (cos α) x , α ∈  0,  →f(x) este strict descrescătoare pe R g(x)=(sin

α )x, α ∈  0, π  →g(x) este strict crescătoare pe R 2 



f(x)+g(x)= (cos α) x + (sin α) x este strict descrescătoare pe R Deci x=2 este soluţie unică.

69

 ⇒ 

BIBLIOGRAFIE

1. Marius Burtea şi Georgeta Burtea, Manual de Matematică, clasa a XI-a, Editura Carminis. 2. C. Niţă, C. Năstăsescu, M. Brandiburu, D. Joiţa, Culegere de probleme pentru liceu - algebra - clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), Editura Rotech Pro. 3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Cătălin Zîrnă, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma. 4. Materia predată la oră, de către profesorul Oanea Călin. 5. Caietul de notiţe, dar şi de teme acasă. 6. Internet.

Powered by http://www.referat.ro/ cel mai tare site cu referate

70