Www.educativ.ro Puteri Si Radicali

5. PUTERI ŞI RADICALI Puteri cu exponent natural:

 (ab)n=anbn, ∀a,b∈|R, n∈|N*;  (am)n=amn, ∀a∈|R, m,n∈|N*;  am⋅ an=am+n, ∀a∈|R, m,n∈|N*;

 an unde a∈|R, n∈|N;  a0=1;  a1=a; a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a  an =    ;

n

de n ori

 

a – baza puterii; n – exponentul puterii;

an a    = n , b≠ 0, ∀a,b∈|R, n∈|N*; b b



am a

n

= a m −n , ∀a∈|R*, m,n∈|N*, m>n.

Puteri cu exponent întreg negativ:

 a-n=

  

1 unde a∈|R*, n∈|N; an

Puteri cu exponent raţional pozitiv: m n = a m , a≥0, n ∈ℚ+; p m p m p m + , ∈ℚ+; q n q , a≥0, n a ⋅a = a n q m m m m ( ab ) n = a n ⋅ b n , a,b≥0, n ∈ℚ+; m an



restul proprietăţilor se păstrează.

m

m

m an an    = m , a≥0, b>0, n ∈ℚ+; b bn



m   ( a ) n 

p

m



an a

p q

m p

⋅ q n q   =a 

=a

m p − n q

, a≥0,

, a>0,

p m , q ∈ℚ+; n

p m p m , q ∈ℚ+, > q . n n

Puteri cu exponent raţional negativ:



m − a n

=

1 m an

=

1 n

am

m , a>0, ∈ℚ+; n



restul proprietăţilor se păstrează.

Funcţia putere cu exponent natural nenul:

 f(x)=xn, f:|R→|R, n∈|N*;   

n par ⇒f(x) strict descrescat oare pe (- ∞, 0] monotonia: n par ⇒f(x) strict crescatoar e pe [0, ∞) ; n impar ⇒f(x) strict crescatoar e pe R n par ⇒f(x) para, graficul simetric fata de OY paritate: n impar ⇒f(x) impara, graficul simetric fata de origine

;

x > 0, n ∈ N, n ≥ 2 ⇒ f ( x ) > 0 semn: x < 0, n par ⇒ f ( x ) > 0 . x < 0, n impar ⇒ f ( x ) < 0 Funcţia putere cu exponent întreg negativ:

 f(x)=x-n, f:|R-{0}→|R, n∈|N*;   

n par ⇒f(x) strict crescatoar e pe (- ∞, 0) monotonia: n par ⇒f(x) strict descrescat oare pe (0, ∞) ; n impar ⇒f(x) strict descrescat oare pe R - {0} n par ⇒f(x) para, graficul simetric fata de OY paritate: n impar ⇒f(x) impara, graficul simetric fata de origine x > 0, n ∈ N, n ≥ 1 ⇒ f ( x) > 0 semn: x < 0, n par ⇒ f ( x) > 0 . x < 0, n impar ⇒ f ( x) < 0

;

 

Funcţia putere cu exponent raţional: m m f(x)= x n = n x m , f:(0, ∞) →(0, ∞), ∈ℚ*; n m dacă >0 ⇒ f strict crescătoare; n

 dacă

m <0 ⇒ f strict descrescătoare. n

Radicalul unui număr pozitiv:

 x, x > 0  x2 = | x |=  0 ,x = 0 ;  − x, x < 0 

 ecuaţia xn-a=0 (n∈|N, n≥ 2, a∈|R, a>0) are o singură 

rădăcină reală pozitivă; dacă a>0, n∈|N, n≥ 2 se numeşte radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a; notaţie x= n a ;

  notaţie 2  n 0 =0;

a =



a ;

  

Radicalul de ordin impar al unui număr negativ: ecuaţia xn-a=0 (n∈|N, n≥ 2, n impar, a∈|R, a<0) are o singură rădăcină reală negativă; dacă a<0, n∈|N, n≥ 2, n impar, se numeşte radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-a este a; notaţie x= n a = − n − a ;



Proprietăţile radicalilor: ∀ m, n, k∈ℕ*, m, n, k≥2 P1) n ab = n a ⋅ n b , ∀a,b≥0;

 P2)

n

 P3)

n

a = b

n

a

n

b

, ∀ a≥0, b>0;

 P4) ( n a )m = n a m ,∀ a≥0;  P5) n a m = nk a mk ,∀ a≥0;  P6) n m a = nm a ,∀ a≥0.

a mn = a m , ∀ a≥0;

Operaţii cu radicali: scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numărul de sub radical în factori, se aplică proprietăţile 1, 3 şi 5; introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizează proprietăţile 1, 3 şi 5; înmulţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietatea 1 şi 5;

1. 2. 3.  n a ⋅ m b = nm a m ⋅ nm b n  n a1 ⋅ n a2 ⋅ ... ⋅ n ak = n a1a2 ⋅ ... ⋅ ak , a1, a2, …, ak≥0; 4. împărţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietăţile 2 şi 5; n



n

a b

=n

a , ∀ a≥0, b>0; b



n

a

m

b

=

nm

am

nm

bn

= nm

=

nm

a m ⋅ b n , a, b≥0;

am , ∀ a≥0, b>0; bn

5. raţionalizarea numitorilor:  

operaţia de eliminare a radicalilor de la numitorul fracţiilor; expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin înmulţire dau o expresie fără radicali;

-

(

-

(

3

a + b

)(

)

a − b = a −b

, a, b≥0;

)

3 3 2 2  3 a ±3 b   a  ab + b  =a ±b  

, a, b≥0; Funcţia radical: f(x)= n x , f:[0, ∞)→[0, ∞), n∈|N, n≥ 2;

  monotonia: f strict crescătoare pe [0, ∞);  f(x)≥ 0 ∀x∈[0, ∞); 

funcţia este bijectivă; inversa ei este funcţia putere. f(x)= n x , f:|R→|R, n∈|N, n≥ 2, n impar;



Ecuaţii iraţionale: ecuaţii care conţin necunoscuta sub semnul radical;

 

-

(

n

)

n n n n− 1 a −n b  + a n −2b +... + ab  a 

n −2

n + b n −1   =a − 

n −2

n + b n −1   =a + 

, a, b≥0;

-

(

n

)

n n n n− 1 a +n b  − a n −2b +... − ab  a 

, a, b≥0, n impar;



rezolvarea constă în eliminarea radicalilor prin diferite transformări (ridicări la putere = cu ordinul radicalului, înmulţire cu expresia conjugată), reducându-le la ecuaţii studiate;

 condiţii de existenţă numai pentru radicali de ordin par

2k

f ( x) : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie în funcţie de x;