Wronxiano.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CONCEPTOS FUNDAMENTALES

DEFINICIÓN: Dependencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones f1  x  , f 2  x  ,... , f n  x  es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 ,c2 , que

, cn no todas nulas, tales

c1 f1  x   c2 f 2  x   ...  cn f n  x 

para toda x en el intervalo.

DEFINICIÓN: Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones f1  x  , f 2  x  ,... , f n  x  es linealmente independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las cuales

c1 f1  x   c2 f 2  x   ...  cn f n  x   0 para toda x en el intervalo, son c1  c2  . . .  cn  0 . Es decir, sólo admite la solución trivial.

EL WRONSKIANO

TEOREMA: Criterio para funciones linealmente independientes. Supóngase que f 1  x  , f 2  x  , ..., f n  x  tienen al menos n  1 derivadas. Si el determinante

f1

f2

...

fn

f1'

f2'

...

fn'

... f 1( n  1 )

f 2( n  1 )

...

f n( n  1 )

es diferente de cero por lo menos en un punto del intervalo I , entonces las funciones f 1  x  , f 2  x  , ..., f n  x  son linealmente independientes en el intervalo.

TEOREMA: Principio de superposición-ecuaciones homogéneas Sean y1 , y 2 , ..., y k soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden n en un intervalo I . Entonces la combinación lineal

y  c1 y 1  x   c 2 y 2  x   ...  c k y k  x  En donde las constantes c i , i  1 , 2 , ... ,k son constantes arbitrarias, es también una solución en el intervalo.

COROLARIOS (A) Si y 1  x  es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces un múltiplo constante de ella, y  c 1 y 1  x  , es también una solución. (B) Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre satisface a la solución trivial y  0 .

TEOREMA: Criterio para soluciones linealmente independientes Sean y 1 , y 2 , ..., y n

n soluciones de la ecuación diferencial lineal, homogénea de

orden n , en el intervalo I . Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si





W y 1 , y 2 , ..., y n  0 para toda x en el intervalo.

DEFINICIÓN: Conjunto fundamental de soluciones Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y 1 , y 2 , ..., y n de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en el intervalo I.

TEOREMA: Criterio para soluciones linealmente independientes Sean y 1 , y 2 , ..., y n un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I . Entonces para cualquier solución

Y  x  , pueden encontrarse constantes C1 , C 2 , ...,C n tales que Y  C 1 y 1  x   C 2 y 2  x   ...  C n y n  x 

DEFINICIÓN: Solución general-ecuaciones homogéneas Sean y 1 , y 2 , ..., y n un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I . La solución general de la ecuación, en el intervalo, se define como

y  c1 y 1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x  donde c i , i  1 , 2 , ... ,n , son constantes arbitrarias.

REDUCCIÓN DE ORDEN Una de las formas en las que es posible obtener una segunda solución de una EDO, cuando se conoce una solución de la misma, es a partir del proceso llamado Reducción de Orden, el cual se describe enseguida. Dada una solución no trivial * f  x  de la ecuación diferencial

y  p  x y  q  x  y  0 , es posible determinar una segunda solución

linealmente independiente y  x  , si se conoce una primera solución, como se enuncia enseguida.

La solución y  x  se puede obtener sustituyendo p  x  y f  x  directamente en la llamada fórmula de reducción de orden: y  x  f  x



 p x  d x e 

 f  x  

2

dx

Debe tenerse presente que si la ecuación diferencial no está normalizada, deberá normalizarse para aplicar ésta última expresión *La solución trivial es f  x   0 Para profundizar sobre este subtema, les comparto la siguiente liga de internet http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/4.LinealesOrdenSuperior/ImpReduccion.pdf

Luego de presentar esta recopilación de conceptos, y con el objeto de fortalecerlos se procederá a realizar lo que se indica a continuación. DEBERÁN ESTUDIARSE MUY BIEN ESTAS NOTAS (LA MAYORÍA DE LOS CONCEPTOS CORRESPONDEN A SUS ANTECEDENTES DE ÁLGEBRA LINEAL), ASÍ COMO LO VISTO EN CLASE, PARA RESPONDER CORRECTAMENTE LO QUE SE INDICA. LEAN CUIDADOSAMENTE LO QUE SE SOLICITA ANTES DE EMPEZAR A RESOLVER. TAREA 1) Considerando que y1  x   cos  3x  y y2  x   sen  3x  son soluciones de la ED

y  9 y  0 en   ,   , obtenga la solución general de esta ED.

2) Determine si las funciones y1  x   sen2 x  cos 2 x y y2  x   3 son linealmente independientes. También calcule el wronskiano 3) Determine si las funciones

W  y1, y2   x 

y1  x   e 3 x y y2  x   e 4 x son linealmente

independientes. También calcule el wronskiano

W  y1, y2   x 

4) A continuación se dan una ecuación diferencial y una solución no trivial

f  x

, obtenga una segunda solución linealmente independiente (EMPLEE LAS NOTAS SOBRE REDUCCIÓN DE ORDEN).

y  2 y  15 y  0 ; f  x   e 3 x x y   x  1 y  y  0 , donde x  0 , y la solución no trivial es f  x   e x 5) Verifique que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial indicada. Posteriormente, forme la solución general. y  y  12 y  0 ; e 3 x , e 4 x





6) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) c)

2 y  5 y  3 y  0 y  9 y  0 y  4 y  5 y  0

Con objeto de que recuerden y repasen algunos de los conceptos de su curso de Álgebra sobre polinomios, a continuación se pide obtener las raíces de los polinomios indicados: a ) P  x   x 3  6 x 2  12 x  8 b ) P  x   4 x3  4 x2  x c) P  x   x 4  x 3  x 2 d ) P  x   x 5  2 x 4  17 x 3