Wiskunde Uitwerkingen O.a

getal en ruimte vwo B 4 www.getalenruimte.epn.nl

eerste druk, eerste oplage, 2005

L.A. Reichard S. Rozemond J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal G.J. te Vaarwerk J.A. Verbeek G. de Jong N.J.J.M. Brokamp H.J. Houwing R. de Vroome J.D. Kuis F. ten Klooster F.G. van Leeuwen S.K.A. de Waal J. van Braak

uitwerkingen

basisontwerp binnenwerk: Gerard Salomons BNO, Groningen omslagontwerp: In ontwerp, Assen, i.s.m. GREET, Amsterdam opmaak: FITO Prepublishing, Almere ß 2005 EPN, Houten,The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopiee«n, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.Voorzover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl).Voor het overnemen van korte gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.cedar.nl/pro).Voor het overnemen van niet-korte gedeelte(n) dient men zich rechtstreeks te wenden tot de uitgever. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 90 11 08395 4

Inhoud

13

Mathematische statistiek

4

14

Integraalrekening

36

15

Afgeleide en tweede afgeleide

61

16

Goniometrie

96

Voorkennis

124

Gemengde opgaven

128

Voor sommige opgaven is geen antwoord opgenomen. Deze opgaven zijn aangeduid met *. Meestal is dit gedaan als er verschillende antwoorden mogelijk zijn.

hoofdstuk

13

Mathematische statistiek

bladzijde 2

j Twee keer L en drie keer R, dus

    5 ˆ 5 ˆ 10 routes. 2 3

Voor bakje F is er maar e¨e¨n route. Totaal ˆ 25 ˆ 32 j Voor de buitenste bakjes is er slechts e¨e¨n route, voor de middelste zijn er 10. j Totaal aantal routes is 220 ˆ 1 048 576.   Voor het middelste bakje zijn er 20 ˆ 184 756 routes. 10 Dus voor het middelste bakje verwacht je 184 756  30 000  5286 knikkers. 1 048 576 Voor de buitenste bakjes verwacht je

1  30 000  0 knikkers. 1 048 576

j  j 

13.1 Kansberekeningen bladzijde 4 1

a Zie het rooster. P…som is 10† ˆ 3  0,083 36 b P…som is 10† ˆ P…4 en 6†   2 ˆ 2 ˆ 1  0,067 6 15 2 c De kans is het antwoord op vraag a. Je hebt hier, net als bij het gooien met de dobbelsteen, te maken met trekken met terugleggen.

4 Hoofdstuk 13

SOM

6

7

8

9

10

11

12

5

6

7

8

9

10

11

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

bladzijde 5 2

Zie het rooster bij opgave 1. a P…som is geen 5† ˆ 1

P…som is 5† ˆ 1

b P…som is minstens 4† ˆ 1

4  0,889 36

P…som is minder dan 4† ˆ 1

3  0,917 36

c P…som is minstens 10† ˆ 6  0,167 36 d P…som is hoogstens 10† ˆ 1 3

P…som is meer dan 10† ˆ 1

3  0,917 36

a P…som is hoogstens 22† ˆ 1 P…som is 23 of som is 24† som is 23: 6665 of 6656 of 6566 of 5666 som is 24: 6666 Het aantal gunstige uitkomsten is 4 ‡ 1 ˆ 5. Het aantal mogelijke uitkomsten is 6  6  6  6 ˆ 1296. P…som is hoogstens 22† ˆ 1

5  0,996 1296 P…som is 4 of som is 5 of som is 6†

b P…som is minstens 7† ˆ 1 som is 4: 1111 som is 5: 1112 of 1121 of 1211 of 2111 som is 6: 1113 of 1131 of 1311 of 3111 of 1122 of 1212 of 2112 of 1221 of 2121 of 2211 Het aantal gunstige uitkomsten is 1 ‡ 4 ‡ 10 ˆ 15. P…som is minstens 7† ˆ 1 4

15  0,988 1296

a Zie het rooster. P…som is meer dan 4† ˆ 10 ˆ 0,625 16 b som is 9: 234, 243, 324, 342, 423, 432, 333, 144, 414, 441 som is 10: 334, 343, 433, 244, 424, 442 som is 11: 344, 434, 443 som is 12: 444 Het aantal gunstige uitkomsten is 10 ‡ 6 ‡ 3 ‡ 1 ˆ 20.

SOM

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

20 ˆ 20  0,313 P…som is meer dan 8† ˆ 1 2 4  4  4 64 c som is 14: 2444, 4244, 4424, 4442, 3344, 3434, 3443, 4334, 4343, 4433

3

4

P…som is 14† ˆ 104 ˆ 10  0,039 4 256 5

a zonder terugleggen b met terugleggen c met terugleggen Dus het kansprobleem bij a.

Mathematische statistiek

5

bladzijde 6

6

a P…minstens e¨e¨n hoofdprijs† ˆ 1

P…geen hoofdprijs† ˆ 1

  78  4   0,098 80 4

      2
8
70 b P…e¨e¨n hoofdprijs en e¨e¨n troostprijs† ˆ 1 1  2  0,024 80 4 c P…geen hoofdprijs en hoogstens twee troostprijzen† ˆ P…geen prijs† ‡ P…e¨e¨n troostprijs)‡P…twee troostprijzen†           8
70 70 8
70 1 3 4 ˆ   ‡   ‡ 2  2  0,899 80 80 80 4 4 4   43  7 a P…niets winnen† ˆ 3   0,630 50 3

        1
43 2
43 1 2 b P…100 euro† ˆ P…1  100† ‡ P…2  50† ˆ   ‡ 2  1  0,048 50 50 3 3 c P…minstens 30 euro† ˆ 1 P…minder dan 30 euro† ˆ 1 …P…niets† ‡ P…10 euro† ‡ P…20 euro†† 0          1 43 4
43 4
43 B 3  C 1 2 ‡   ‡ 2  1 A  0,173 ˆ1 @ 50 50 50 3 3 3

8

P…geen jongens of e¨e¨n jongen† 0      1 7 11
7 B 6  C ˆ1 @ ‡ 1  5 A  0,987 18 18 6 6     11
7 b P…evenveel jongens als meisjes† ˆ 3  3  0,311 18 6

a P…minstens twee jongens† ˆ 1

bladzijde 7



9

a

b

c

d

 19 P…zes getallen kleiner dan 20† ˆ  6   0,004 44 6     1
39 P…40 is het grootste getal† ˆ 1  5  0,082 44 6     6
38 P…derde prijs† ˆ 4  2  0,001 44 6       6
1
37 P…vierde prijs† ˆ 3 1  2  0,002 44 6

6 Hoofdstuk 13

10

a P…minstens twee bestuursleden† ˆ 1 ˆ1 ˆ1

P…0 of 1 bestuurslid† …P…0 bestuursleden† ‡ P…1 bestuurslid†† 0      1 59 6
59 B 5  C ‡ 1  4 A  0,063 @ 65 65 5 5

b P…minstens e¨e¨n van de supermarkten† ˆ 1

c Er zijn 65 zitten.

P…geen van de supermarkten†   57 ˆ 1  5   0,493 65 5 …8 ‡ 4† ˆ 53 leden die niet van een supermarkt zijn en ook niet in het bestuur

  53 P…geen van supermarkt en bestuur† ˆ  5   0,347 65 5

11

a P…rrw† ˆ 2  2  1 ˆ 0,0625  0,063 4 4 4 b Voor twee keer een rode en e¨e¨n keer een witte zijn de mogelijkheden rrw, rwr en wrr. Dus deze kans is 3
P…rrw† ˆ 3
0,0625 ˆ 0,1875  0,188. bladzijde10

13

 8 a P…geen enkele 3† ˆ 4  0,168 5  7   b P…precies e¨e¨n 2† ˆ 8
2
3  0,090 1 5 5 c P…minstens e¨e¨n 1† ˆ 1

P…geen enkele 1† ˆ 1

 8 3  0,983 5

   5  3 d P…vijf keer 1 en drie keer 3† ˆ 8
2
1  0,005 5 5 5  3      4 e P…vier keer 1 en e¨e¨n keer 3 en drie keer 2† ˆ 8
4
2
1
2  0,092 5 5 5 4 1 14

 5 a P…geen enkele voetballer† ˆ 4  0,328 5 b P…minstens e¨e¨n voetballer† ˆ 1

P…geen voetballer† ˆ 1

 7   c P…precies e¨e¨n voetballer† ˆ 8
1
4  0,336 1 5 5 15

 6 4  0,738 5

a Bij schakelschema a P…werken† ˆ 0,993  0,970 Bij schakelschema b P…werken† ˆ 0,99
…1 0,012 †  0,990 Bij schakelschema c P…werken† ˆ 1 0,013  1,000

Mathematische statistiek

7

b Bij schakelschema a P…werken† ˆ 1 0,013  1,000 Bij schakelschema b P…werken† ˆ 1 0,01
…1 0,992 †  1,000 Bij schakelschema c P…werken† ˆ 0,993  0,970 c Zie de vragen a en b. Bij serieschakeling is bij het ene type P…werken†  0,970 en bij het andere type is P…werken†  1,000: Bij parallelschakeling zijn deze kansen juist verwisseld. bladzijde11 16

17

a P…geen enkele ISDN† ˆ 0,8310  0,155   b P…drie ISDN† ˆ 10
0,173
0,837  0,160 3   c P…zeven telefoon en drie kabel† ˆ 10
0,597
0,243  0,041 7     d P…minstens twee kabel† ˆ 1 P…nul of e¨e¨n kabel† ˆ 1 0,7610 ‡ 10
0,24
0,769  0,733 1     e P…twee ISDN en vier kabel en vier telefoon† ˆ 10
8
0,172
0,244
0,594  0,037 2 4      3  8 a P…drie keer 2 en e¨e¨n keer 3 en acht keer geen 2 of 3† ˆ 12
9
1
1
4  0,060 3 6 6 6 1            12 b P…elk ogenaantal twee keer† ˆ 12
10
8
6
4
1  0,003 6 2 2 2 2 2 c P…gelijk† ˆ 6 , dus P…verschillende† ˆ 30, dus P…bij 12e meer dan 1e † ˆ 15  0,417 36 36 36  3 d P…vier keer gooien† ˆ P…= 6= 6= 66† ˆ 5
1  0,096 6 6 e P…minstens vijf keer† ˆ 1 P…1 of 2 of 3 of 4 keer†       1 ‡ 5
1 ‡ 5 2
1 ‡ 5 3
1  0,482 ˆ1 6 6 6 6 6 6 6

18

a P…baantje† ˆ P…b† ˆ 0,60, P…geen baantje† ˆ P…=b† ˆ 0,40 P…meer dan twaalf uur† ˆ P…m† ˆ 0,45 P…wel baantje maar minder dan twaalf uur† ˆ P…w† ˆ 0,15     P…drie = b en 12 m en vijf w† ˆ 20
17
0,403
0,4512
0,155  0,002 3 12 b P…minstens vijf keer bellen† ˆ 1 P…1 of 2 of 3 of 4 keer† ˆ 1 …0,15 ‡ 0,85
0,15 ‡ 0,852
0,15 ‡ 0,853
0,15†  0,522 c 16b, 5m en 11w 28 11 ˆ 17 P…vier leerlingen bellen† ˆ 17
16
15
11  0,091 28 27 26 25

8 Hoofdstuk 13

13.2 De verwachtingswaarde bladzijde13 19

De opbrengst per week is 1000  E 5 ˆ E 5000. De uitbetaling per week is E 2000 ‡ 100  E 20 ˆ E 4000. De winst per week is E 5000 E 4000 ˆ E 1000. Dat is gemiddeld per lot E 1. bladzijde 14

20

a U ˆ uitbetaling P…U ˆ 50† ˆ 1 ˆ 0,01 100 P…U ˆ 10† ˆ 3 ˆ 0,03 100 P…U ˆ 0† ˆ 96 ˆ 0,96 100 u P…U ˆ u†

0

10

50

0,96

0,03

0,01

b E…U† ˆ 0
0,96 ‡ 10
0,03 ‡ 50
0,01 ˆ 0,80 De winstverwachting is 0,80 2 ˆ E 1,20 per lot. c Een lot moet dan E 0,80 kosten. U ˆ uitbetaling per klant.

21

  2 P…U ˆ 100† ˆ P…2 rode † ˆ  2  ˆ 1 20 190     2 2
4 P…U ˆ 20† ˆ P…1 rode en 1 blauwe)† ˆ 1 1 ˆ 8 20 190 2 u P…U ˆ u†

100

20

0

1 190

8 190

181 190

E…U† ˆ 100
1 ‡ 20
8 ‡ 0
181 ˆ 260  E 1,37 190 190 190 190 bladzijde 15 22

a W ˆ winst per spel. Spelsituatie 1

P…W ˆ 1† ˆ P…som < 7† ˆ 15 36 E…W † ˆ 1
15 36

1
21 ˆ 36

6 ˆ 36

1 6

Spelsituatie 2

E…W † ˆ 1
15 36

1
21 ˆ 36

6 ˆ 36

1 6

Spelsituatie 3

E…W † ˆ 4
6 36

1
30 ˆ 36

6 ˆ 36

1 6

Mathematische statistiek

9

b Stel de uitbetaling is u dollar. 1†
6 1
30 ˆ 6u 6 30 ˆ 6u 36. 36 36 36 36 Eerlijk spel, dus E…W † ˆ 0. Dit geeft 6u 36 ˆ 0 6u ˆ 36 uˆ6 Dus een uitbetaling van 6 dollar.

Je krijgt E…W † ˆ …u

23

a P…drie gelijke ogen† ˆ 1
1
1 ˆ 1 6 6 36  2 P…precies twee enen† ˆ 3
1
5 , dus 6 6  2 P…twee gelijke aantallen ogen† ˆ 6
3
1
5 ˆ 15 ˆ 5 6 6 36 12 U ˆ uitbetaling u P…U ˆ u†

100

15

0

1 36

5 12

5 9

E…U† ˆ 100
1 ‡ 15
5 ‡ 0
5 ˆ 9 1 36 12 9 36 De winstverwachting per spel voor de organisator is 10

9 1 ˆ 35 euro  E 0,97 36 36

b Stel x prijzen van E 100,-. Daarbij horen 15x prijzen van E 15,-. 100x ‡ 15
15x ˆ 3930 100x ‡ 225x ˆ 3930 325x ˆ 3930 x  12,1 Dus 12 prijzen van E 100,- is het meest waarschijnlijk. 24

a O ˆ opbrengst bij de actie. o P…O ˆ o†

1039

789

0,2

0,8

E…O† ˆ 1039
0,2 ‡ 789
0,8 ˆ 839 Omdat 839 < 889 zal hij de fietsen tegen de adviesprijs van E 889,- verkopen. b Stel het percentage is p. o P…O ˆ o†

1039 1

0,01p

789 0,01p

E…O† ˆ 1039…1 0,01p† ‡ 789
0,01p ˆ 1039 10,39p ‡ 7,89p ˆ 1039 2,5p Los op 1039 2,5p ˆ 889 2,5p ˆ 150 p ˆ 60 Hij verwacht minder dan 60% van de klanten na twee jaar terug.

10 Hoofdstuk13

bladzijde16 25

a P…X ˆ 1† ˆ 0,9925  0,7778 P…X ˆ 26† ˆ 1 P…X ˆ 1†  1 0,7778 ˆ 0,2222 E…X † ˆ 1
0,7778 ‡ 26
0,2222  6,56 b 1000 is 40 groepen van 25 Je verwacht 40
6,56  262 tests. De besparing is 738 tests, dat is 73,8%. c P…X ˆ 1† ˆ 0,9920  0,8179 P…X ˆ 21† ˆ 1 P…X ˆ 1†  1 0,8179 ˆ 0,1821 E…X † ˆ 1
0,8179 ‡ 21
0,1821  4,64 1000 is 50 groepen van 20. Je verwacht 50
4,64  232 tests. d Y kan waarden 1 en n ‡ 1 aannemen. P…Y ˆ 1† ˆ 0,99n en P…Y ˆ n ‡ 1† ˆ 1 0,99n e E…Y † ˆ 1
0,99n ‡ …n ‡ 1†
…1 0,99n † ˆ 0,99n ‡ n n
0,99n ‡ 1 0,99n ˆ n ‡ 1 n
0,99n 1000 is 1000 groepen van n n Je verwacht 1000 …n ‡ 1 n

n
0,99n † ˆ 1000 ‡ 1000 n

1000
0,99n tests.

aantal tests f Voer in y1 ˆ 1000 ‡ 1000 1000
0,99x . x Neem Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 25, Ymin ˆ 190 en Ymax ˆ 250. De optie minimum geeft x  10,52 en y  195,4. Dus van 11 personen. 195,4 Bij n ˆ 11 horen ongeveer 196 tests. De besparing is 804 tests, dus 80,4%.

10,52

26

n

a P…Z ˆ 4† ˆ 3 ˆ 1 36 12 z

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P…Z ˆ z†

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

E…Z† ˆ 2
1 ‡ 3
2 ‡ 4
3 ‡ . . . ‡ 12
1 ˆ 7 36 36 36 36 c E…X † ˆ E…Y † ˆ 1
1 ‡ 2
1 ‡ 3
1 ‡ 4
1 ‡ 5
1 ‡ 6
1 ˆ 3,5 6 6 6 6 6 6  E…X ‡ Y † ˆ E…Z† ˆ 7 dus E…X ‡ Y † ˆ E…X † ‡ E…Y † E…X † ‡ E…Y † ˆ 3,5 ‡ 3,5 ˆ 7

Mathematische statistiek 11

bladzijde17 27

a P…ma en di en wo droog† ˆ 0,8
0,4
0,6 ˆ 0,192 b P…ma, di en wo regen en do en vrij droog† ˆ 0,2
0,6
0,4
0,6
0,9  0,026 c X ˆ 2 betekent dat het op twee van de vijf dagen regent.   Er zijn 5 ˆ 10 mogelijkheden waarvan de kans berekend moet worden. 2 d  e E…X † ˆ E…Xma † ‡ E…Xdi † ‡ . . . ‡ E…Xvr † ˆ 0,2 ‡ 0,6 ‡ 0,4 ‡ 0,4 ‡ 0,1 ˆ 1,7

28

a P…hoogstens e¨e¨n†ˆ P…nul† ‡ P…e¨e¨n† ˆ 0,95
0,90
0,95
0,99 ‡ 0,05
0,90
0,95
0,99 ‡ 0,95
0,10
0,95
0,99 ‡ 0,95
0,90
0,05
0,99 ‡ 0,95
0,90
0,95
0,01  0,986 b E…aantal† ˆ 0,05 ‡ 0,10 ‡ 0,05 ‡ 0,01 ˆ 0,21 c Te verwachten reparatiekosten per jaar zijn 12
0,21
E 550 ˆ E 1386,-

bladzijde18 29

a E…X † ˆ 1
0,05 ‡ 2
0,25 ‡ 3
0,4 ‡ 4
0,25 ‡ 5
0,05 ˆ 3 E…Y † ˆ 1
0,3 ‡ 2
0,15 ‡ 3
0,1 ‡ 4
0,15 ‡ 5
0,3 ˆ 3 b In het histogram bij Y .

bladzijde19 30 a Voer in lijst 1 ˆ f1; 2; 3; 4; 5g en lijst 2 ˆ f0:05; 0:15; 0:6; 0:15; 0:05g.

De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft E…X † ˆ 3 en X  0,84. b Voer in lijst 1 ˆ f1; 2; 3; 4; 5g en lijst 2 ˆ f0:3; 0:15; 0:1; 0:15; 0:3g. De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft E…Y † ˆ 3 en Y  1,64. 31

a x P…X ˆ x†

6

7

8

9

1 5

1 5

2 5

1 5

Voer in lijst 1 ˆ f6; 7; 8; 9g en lijst 2 ˆ f0:2; 0:2; 0:4; 0:2g. De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft E…X † ˆ 7,6 en X  1,020. b y P…Y ˆ y†

0

2

2 3

1 3

Voer in lijst 1 ˆ f0; 2g en lijst 2 ˆ f23 ; 13g. De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft E…Y †  0,667 en Y  0,943. c Bijvoorbeeld bij S ˆ 6 horen de kaartjes 6 0 en 6 0 , dat zijn 2 van de 15. 2 2 5 3 2 1 ; 15 ; 15 ; 15 ; 12 ; 15g. Voer in lijst 1 ˆ f6; 7; 8; 9; 10; 11g en lijst 2 ˆ f15 De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft E…S†  8,267 en S  1,389. d E…X ‡ Y † ˆ E…S†  8,267 E…X † ‡ E…Y †  7,6 ‡ 0,667 ˆ 8,267 Dus E…X ‡ Y † ˆ E…X † ‡ E…Y †. X ‡Y ˆ S  1,389 X ‡ Y  1,020 ‡ 0,943 ˆ 1,963 Dus X ‡Y is niet gelijk aan X ‡ Y . e 2X ‡Y ˆ 2S  1,3892  1,93 2X ‡ 2Y ˆ 1,0202 ‡ 0,9432  1,93 Dit klopt.

12 Hoofdstuk 13

bladzijde 20 32

a E…T † ˆ E…X † ‡ E…Y † ˆ 16 ‡ 30 ˆ 46 seconde q p p b T ˆ 2X ‡ 2Y ˆ 22 ‡ 32 ˆ 13  3,6 seconde

33 E…B† ˆ E…N† ‡ E…T † ˆ 230 ‡ 30 ˆ 260 gram

B ˆ

q p p 2N ‡ 2T ˆ 122 ‡ 52 ˆ 169 ˆ 13 gram

34 a De som X ‡ Y is steeds 7, dus de standaardafwijking is 0.

b X en Y zijn niet onafhankelijk.

13.3 Vuistregels bij de normale verdeling bladzijde 22 35

a Er is uitgegaan van 155 <160; 160 <165; . . . ; 185 <190. b De groep bestaat uit 15 ‡ 80 ‡ 235 ‡ 370 ‡ 210 ‡ 80 ‡ 10 ˆ 1000 personen. c Voer in lijst 1 ˆ f157:5; 162:5; 167:5; 172:5; 177:5; 182:5; 187:5g en lijst 2 ˆ f15; 80; 235; 370; 210; 80; 10g.   172,3 en   5,7. De optie 1-Var Stats of 1VAR geeft x Dus het gemiddelde is 172,3 cm en de standaardafwijking is 5,7 cm. d 680 is 68%. e 950 is 95%.

36 a De klassenbreedte is 1 cm.

b De frequentie van de klasse 172 <173 is ongeveer 375. c Nee, bij figuur 13.11 is de groep veel groter. In figuur 13.11 is het aantal mannen met een lengte 170 en 175 al ongeveer 5
350 ˆ 1750. bladzijde 24 37

Normale verdeling bij b, d, f, en g.

38 a 34% ‡ 34% ‡ 13 12 % ˆ 81 12 %

b 2 12 % c 13 12 % ‡ 2 12 % ˆ 16% d 13 12 % ‡ 34% ˆ 47 12 %

34% 2 21 %

13 21 % 160 165

34%

170

2 21 % 13 21 % 175 180

Mathematische statistiek 13

39 a 13 1 % ‡ 34% ‡ 34% ˆ 81 1 % 2 2

Dus 0,815
5000 ˆ 4075 goudrenetten. b 84%, dus 0,84
5000 ˆ 4200 goudrenetten. c 125 is 125  100% ˆ 2,5% 5000 Dus zwaarder dan 202 gram.

34% 2 21 %

13 21 % 158 169

34% 2 21 % 13 21 % 191 202

180

40 a Met stijgende leeftijd neemt iemands reactietijd toe. Bij de 18-jarigen hoort kromme A

(kleinste gemiddelde), bij de 60-jarigen hoort kromme C (grootste gemiddelde). b Bij kromme C hoort de grootste standaardafwijking, dus bij 60-jarigen is de genoemde kans het grootst. bladzijde 25 41

Kromme Kromme Kromme Kromme

A: B: C: D:

 ˆ 65 en  ˆ 1,5.  ˆ 66,5 en  ˆ 1.  ˆ 67,5 en  ˆ 2.  ˆ 70 en  ˆ 0,5.

bladzijde 26 42

a Lees af bij 50%. Je krijgt   7,8. b Bij  ‡  hoort 50% ‡ 34% ˆ 84%. Aflezen geeft  ‡   8,9. c  ˆ 8,9 7,8 ˆ 1,1

bladzijde 28 43 Normaal-waarschijnlijkheidspapier is gebaseerd op de theoretische normale verdeling waarbij

de cumulatieve normaalkromme een asymptoot heeft op hoogte 100. De relatieve cumulatieve frequentie 100 komt dus niet voor. 44 a

frequentie

3 5 11 14 26 18 13 4

cumulatieve frequentie 3 8 19 33 59 77 90 94

relatieve cumulatieve frequentie 3,2 8,5 20,2 35,1 62,8 81,9 95,7 100,0

De punten liggen redelijk op een rechte lijn, dus de normale benadering is toegestaan. b   21,9 mm  ‡   23,7, dus  ˆ 23,7 21,9 ˆ 1,8 mm

relatieve cumulatieve frequentie 99,99 99,9 99,8 99,5 99 98 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,01

14 Hoofdstuk 13

17,5 18,5 19,5 20,5

µ

µ + σ 25,5 26,5 breedte in mm

bladzijde 29 45

a frequentie

cumulatieve frequentie

relatieve cumulatieve frequentie

2 10 32 104 220 328 380 398 400

0,5 2,5 8,0 26,0 55,0 82,0 95,0 99,5 100

2 8 22 72 116 108 52 18 2

relatieve cumulatieve frequentie 99,99 99,9 99,8 99,5 99 98 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,01

1,58

1,61

1,64

1,67

b   1,69 mm  ‡   1,73 mm, dus  ˆ 1,73 c

1,70

1,73

1,76 1,79 1,82 diameter in mm

1,69 ˆ 0,04 mm.

2,5% 1,65

1,68

  1,68 mm.  2 ˆ 1,65 mm, dus 2 ˆ 0,03 en  ˆ 0,015 mm. 46 a Bij 10 mm hoort 11%.

Bij 13 mm hoort 74%. Dus 74% 11% ˆ 63%. b Lees af bij 80% hoort ongeveer 13,3 mm. Dus de grootste 20% van de olijven heeft een diameter van meer dan 13,3 mm.

Mathematische statistiek 15

c Bij de groene olijven is  ˆ 12 mm. Lees af bij 84% dat  ‡  ˆ 13,6 mm, dus  ˆ 1,6 mm. Dus bij de zwarte olijven is  ˆ 14 mm en  ˆ 0,8 mm. Teken dus een lijn door (14, 50) en (14,8; 84). 99,5 99 98

95

90

80

70 60 50 40

jven

30

zwar

te oli

20

10

5

2 1 0,5

8

9

10

11

12

13

14 15 16 diameter in mm

d P…groene heeft diameter meer dan 14 mm† ˆ 0,10. P…zwarte heeft diameter meer dan 14 mm† ˆ 0,50. Dus gevraagde kans ˆ 0,10
0,50 ˆ 0,05. bladzijde 30 47

a b c d

Evenwijdig betekent dezelfde standaardafwijking. Dat de bladlengte van soort A een kleinere standaardafwijking heeft dan die van soort C. Dat zowel bij soort C als bij soort D 80% van de bladeren korter is dan 45 mm. De lijnen bij B en D moeten elkaar dan snijden op een hoogte van 50.

16 Hoofdstuk 13

13.4 Oppervlakten onder normaalkrommen bladzijde 31 48 a Dit volgt uit de vuistregels van de normale verdeling.

b a b c d

oppervlakte ˆ 0,135 oppervlakte ˆ 0,975 oppervlakte ˆ 0,05 oppervlakte ˆ 0,84

bladzijde 32 49

a b c d

opp ˆ normalcdf… 1099 ; 5; 3:5; 1:1†  0,914 opp ˆ normalcdf…700; 1099 ; 850; 120†  0,894 opp ˆ normalcdf… 1099 ; 16; 17:1; 1:8†  0,271 opp ˆ normalcdf…1000; 1100; 1080; 60†  0,539

bladzijde 33 50 a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 480; 520; 18†  0,013

µ = 520 σ = 18

b opp ˆ normalcdf…510; 1099 ; 520; 18†  0,711

480

51

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 5:1; 5:8; 0:4†  0,040 Dus 4,0%. b opp ˆ normalcdf…5:25; 1099 ; 5:8; 0:4†  0,915 Dus 91,5%. c opp ˆ normalcdf…6:1; 6:4; 5:8; 0:4†  0,160 Dus 16,0%.

52

Deze oppervlakte is 1

520

0,65 ˆ 0,35.

bladzijde 34 53

a a ˆ invNorm…0:3; 16; 2†  15,0 b opp rechts ˆ 0,7, dus opp links ˆ 1 0,7 ˆ 0,3 a ˆ invNorm…0:3; 50; 8†  45,8 c a ˆ invNorm…0:86; 600; 70†  676 d opp rechts ˆ 0,08, dus opp links ˆ 1 0,08 ˆ 0,92 a ˆ invNorm…0:92; 0:8; 0:2†  1,08

bladzijde 35 54 a De oppervlakte van het gebied links van b is 23.

b a ˆ invNorm…13 ; 40; 5†  37,8 b ˆ invNorm…23 ; 40; 5†  42,2

Mathematische statistiek 17

55

a ˆ invNorm…15 ; 1000; 50†  958 b ˆ invNorm…25 ; 1000; 50†  987 c ˆ invNorm…35 ; 1000; 50†  1013 d ˆ invNorm…45 ; 1000; 50†  1042

56 a 1

b 1

c

0,5 ˆ 0,5 en

0,5 ˆ 0,25, dus a ˆ invNorm…0:25; 18; 2†  16,7 2 b ˆ invNorm…0:75; 18; 2†  19,3

0,82 ˆ 0,18 en

0,18 ˆ 0,09, dus a ˆ invNorm…0:09; 150; 15†  133,9 2 b ˆ invNorm…0:91; 150; 12†  166,1

0,12 ˆ 0,06, dus a ˆ invNorm…0:06; 58; 6†  48,7 2 b ˆ invNorm…0:94; 58; 6†  67,3

bladzijde 36 57

normalcdf… 1099 ; 45; 40; † ˆ 0,78 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 45; 40; x† en y2 ˆ 0,78 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 10, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  6,475. Dus   6,5. OF (Casio)   P 45 40 ˆ 0,78  Voer in y1 ˆ P……45 40† : x† en y2 ˆ 0,78 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 10, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  6,475. Dus   6,5.

bladzijde 37 58 a Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 170; x; 12† of y1 ˆ P……170

x† : 12† en y2 ˆ 0,08. b Een schatting van  is 200, dus kies Xmin ˆ 170 en Xmax ˆ 250. Omdat y2 ˆ 0,08 kies ik Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. c De optie intersect geeft x  186,86, dus   187.

59

µ=? σ = 3,8 opp = 0,28

17

normalcdf…17; 1099 ; ; 3:8† ˆ 0,28 Voer in y1 ˆ normalcdf…17; 1099 ; x; 3:8† en y2 ˆ 0,28 met venster Xmin ˆ 10, Xmax ˆ 17, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  14,785, dus   14,8.

18 Hoofdstuk 13

OF (Casio)   17  P ˆ 1 0,28 3,8 Voer in y1 ˆ P……17 x† : 3,8† en y2 ˆ 0,72 met venster Xmin ˆ 10, Xmax ˆ 17, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  14,785, dus   14,8. 60 1

0,62 ˆ 0,38

µ = 2200

σ=? 0,38 ˆ 0,19 opp links van 2080 is opp = 0,62 2 99 normalcdf… 10 ; 2080; 2200; † ˆ 0,19 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 2080; 2200; x† en y2 ˆ 0,19 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 200, 2080 2320 Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  136,69, dus   140. N.B. Je kunt ook de vergelijking normalcdf…2080; 2320; 2200; † ˆ 0,62 oplossen.

OF (Casio)   P 2080 2200 ˆ 0,19  Voer in y1 ˆ P……2080 2200† : x† en y2 ˆ 0,19 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 200, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  136,69, dus   140. 61

62

a opp ˆ normalcdf…82; 1099 ; 75; 4:8†  0,072 b opp ˆ normalcdf…70; 83; 75; 4:8†  0,803 c opp rechts ˆ 0,83, dus opp links ˆ 1 0,83 ˆ 0,17 a ˆ invNorm…0:17; 75; 4:8†  70,42 d b ˆ invNorm…0:25; 75; 4:8†  71,76 c ˆ 75 d ˆ invNorm…0:75; 75; 4:8†  78,24

µ = 75 σ = 4,8

b

a normalcdf…14:6; 1099 ; ; 3:5† ˆ 0,41 Voer in y1 ˆ normalcdf…14:6; 1099 ; x; 3:5† en y2 ˆ 0,41 met venster Xmin ˆ 10, Xmax ˆ 15, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  13,80, dus   13,8. OF (Casio)   14,6  P ˆ 1 0,41 ˆ 0,59 3,5 Voer in y1 ˆ P……14,6 x† : 3,5† en y2 ˆ 0,59 met venster Xmin ˆ 10, Xmax ˆ 15, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  13,80, dus   13,8.

c

d

µ=? σ = 3,5 opp = 0,41

14,6

Mathematische statistiek 19

b normalcdf…14:6; 1099 ; 12:3; † ˆ 0,41 Voer in y1 ˆ normalcdf…14:6; 1099 ; 12:3; x† en y2 ˆ 0,41 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 15, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  10,1 dus   10,1.

µ = 12,3 σ=? opp = 0,41

14,6

OF (Casio)   14,6 12,3 ˆ 1 0,41 ˆ 0,59 P  Voer in y1 ˆ P……14,6 12,3† : x† en y2 ˆ 0,59 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 15, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  10,1, dus   10,1. 63

De oppervlakte links van 2,18 is normalcdf… 1099 ; 2:18; 2:3; 0:08†  0,0668. De oppervlakte tussen 2,18 en 2,36 is normalcdf…2:18; 2:36; 2:3; 0:08†  0,7066. 0,7066  0,420. 2 Dit geeft a ˆ invNorm…0:420; 2:3; 0:08†  2,284. Dus de oppervlakte links van a is 0,0668 ‡

bladzijde 38 64 a Neem bijvoorbeeld een normale verdeling met  ˆ 0 en  ˆ 1.

Je krijgt opp ˆ normalcdf… 1; 1; 0; 1†  0,6827. Dus dat percentage is 68,27% b Ga weer uit van  ˆ 0 en  ˆ 1. Je krijgt opp ˆ normalcdf… 2; 2; 0; 1†  0,9545. Dat percentage is 95,45%.

13.5 Toepassingen van de normale verdeling bladzijde 39 65

a opp ˆ normalcdf…182; 1099 ; 178; 5:4†  0,229 b Van de jongens is 22,9% langer dan 182 cm. c De gevraagde kans is 0,229.

µ = 178 σ = 5,4

182

bladzijde 41 66 a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 23; 25; 3†  0,252

µ = 25 σ=3 opp = ?

Dus 25,2%.

23

20 Hoofdstuk13

b opp ˆ normalcdf…23:8; 25:3; 25; 3†  0,195 De kans is 0,195.

µ = 25 σ=3 opp = ?

23,8

25,3

c opp ˆ normalcdf…26; 1099 ; 25; 3†  0,369 Je verwacht 0,369
240  89.

µ = 25 σ=3 opp = ?

26

d opp ˆ 2
normalcdf… 1099 ; 23:5; 25; 3†  0,617 Dus 61,7%.

µ = 25 σ=3 opp = ?

23,5

67

a opp ˆ normalcdf…60; 1099 ; 78; 12†  0,9332 Dus 0,9332
1600  1493 zijn zwaarder dan 60 kg. opp ˆ normalcdf… 1099 ; 65; 78; 12†  0,1393 Dus 0,1393
1600  223 zijn lichter dan 65 kg. b opp ˆ normalcdf…70; 82; 78; 12†  0,378 De kans is 0,378. c opp ˆ normalcdf…105; 1099 ; 78; 12†  0,0122 Dus 0; 0122
1600  20. d opp links ˆ 1 0,1 ˆ 0,9 a ˆ invNorm…0:9; 78; 12†  93 Dus vanaf 93 kg.

26,5

µ = 78 σ = 12 opp = ?

60 µ = 78 σ = 12 opp = 0,1

a

68 a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 78; 85; 5†  0,081

µ = 85 σ=5 opp = ?

Dus 8,1%. b opp ˆ normalcdf… 1099 ; 78; 85; 3†  0,010 Dus 1,0%.

78

69

a opp I ˆ normalcdf… 1099 ; 9; 11:5; 1:8†  0,082 opp II ˆ normalcdf…9; 11; 11:5; 1:8†  0,308 opp III ˆ normalcdf…11; 13; 11:5; 1:8†  0,407 opp IV ˆ normalcdf…13; 1099 ; 11:5; 1:8†  0,202 De percentages zijn 8,2%, 30,8%, 40,7% en 20,2%.

µ = 11,5 σ = 1,8

II

III

I

IV 9

11

13

Mathematische statistiek

21

b a ˆ invNorm…13 ; 11:5; 1:8†  10,7 b ˆ invNorm…23 ; 11:5; 1:8†  12,3 De grenzen zijn 10,7 en 12,3 cm.

µ = 11,5 σ = 1,8

1 3

1 3

a

1 3

b

bladzijde 42 70

a opp ˆ normalcdf…17; 19; 18; 0:4†  0,988 Dus 98,8%.

µ = 18 σ = 0,4 opp = ?

17

19

b opp ˆ 2
normalcdf… 1099 ; 17:3; 18; 0:4†  0,080 De kans is 0,080.

µ = 18 σ = 0,4 opp = ?

17,3

18,7

c a ˆ invNorm…0:01; 18; 0:4†  17,1 b ˆ invNorm…0:99; 18; 0:4†  18,9 De diameter is minder dan 17,1 mm of meer dan 18,9 mm.

µ = 18 σ = 0,4 opp = 0,02

a

71

b

µ = 115,2 σ = 13,1 opp = 0,1

a opp links ˆ 1 0,1 ˆ 0,9 a ˆ invNorm…0:9; 115:2; 13:1†  132 Dus vanaf een IQ van 132.

a

b b ˆ invNorm…0:65; 115:2; 13:1†  120 Je krijgt een herkansing bij een IQ van 121 tot en met 131.

µ = 115,2 σ = 13,1

0,65 0,25

b

72

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 500; 501; 3†  0,369 Dus 36,9%.

µ = 501 σ=3 opp = ?

500

22 Hoofdstuk 13

0,10

a

b TI normalcdf… 1099 ; 500; ; 3† ˆ 0,05 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 500; x; 3† en y2 ˆ 0,05 met venster Xmin ˆ 500, Xmax ˆ 510, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  504,9. Dus op een gemiddelde van minstens 504,9 gram.

µ=? σ=3 opp = 0,05

500

Casio   500  P ˆ 0,05 3 Voer in y1 ˆ P……500 x† : 3† en y2 ˆ 0,05 met venster Xmin ˆ 500, Xmax ˆ 510, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  504,9 Dus op een gemiddelde van minstens 504,9 gram. c Ga te werk zoals bij vraag b. Je krijgt   507,0 gram. Omdat de vulmachine tot maximaal 505 gram afgesteld kan worden kan een gemiddelde van 500 507,0 gram niet ingesteld worden. 73

a TI normalcdf…245; 255; 250; † ˆ 0,90 Voer in y1 ˆ normalcdf…245; 255; 250; x† en y2 ˆ 0,90 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 5, Ymin ˆ 0,5 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  3,04. Dus maximaal   3,04 gram. Casio  P 245

µ=? σ=3 opp = 0,01

µ = 250 σ=? opp = 0,90

245

255

 250 ˆ 0,05

 Voer in y1 ˆ P……245 250† : x† en y2 ˆ 0,05 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 5, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  3,04. Dus maximaal   3,04 gram. b TI normalcdf… 1099 ; 250; ; 4† ˆ 0,10 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 250; x; 4† en y2 ˆ 0,10 met venster Xmin ˆ 250, Xmax ˆ 260, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,2. De optie intersect geeft x  255,1. Dus op een gemiddelde van 255 gram. 250

µ=? σ=4 opp = 0,10

Casio   250  P ˆ 0,10 4 Voer in y1 ˆ P……250 x† : 4† en y2 ˆ 0,10 met venster Xmin ˆ 250, Xmax ˆ 260, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,2. De optie intersect geeft x  255,1. Dus op een gemiddelde van 255 gram.

Mathematische statistiek

23

bladzijde 43 74

a opp ˆ normalcdf…31; 37; 35; 3†  0,6563 65,63% is 20 000, dus de fabrikant moet 100  20 000  30 474  30 500 moeren maken. 65,63 b opp ˆ normalcdf…38; 41; 35; 3†  0,1359 Dus 0,1359
30 500  4145 stuks.

75

µ = 35 σ=3 opp = ?

31

a Aanbieding A opp ˆ normalcdf…3:6; 4:4; 4; 0:2†  0,9545

37

µ=4 σ = 0,2 opp = ?

Dat kost dus 100  7,50 ˆ E 7,86 95,45 per 100 bruikbare leertjes 3,6

4,4

Aanbieding B opp ˆ normalcdf…3:6; 4:4; 4; 0:3†  0,8176

µ=4 σ = 0,3 opp = ?

Dat kost dus 100  6,50 ˆ E 7,95 81,76 per 100 bruikbare leertjes. Dus de aanbieding A is het aantrekkelijkst. 3,6

b TI normalcdf…3:8; 1099 ; ; 0:4† ˆ 0,04 Voer in y1 ˆ normalcdf…3:8; 1099 ; x; 0:4† en y2 ˆ 0,04 met venster Xmin ˆ 2, Xmax ˆ 4, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  3,1. De gemiddelde dikte is 3,1 mm.

µ=? σ = 0,4 opp = 0,04

3,8

Casio   3,8  P ˆ 0,96 0,4 Voer in y1 ˆ P……3,8 x† : 0,4† en y2 ˆ 0,96 met venster Xmin ˆ 2, Xmax ˆ 4, Ymin ˆ 0,9 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  3,1. De gemiddelde dikte is 3,1 mm. c TI normalcdf…4:5; 5:1; 4:8; † ˆ 0,95 Voer in y1 ˆ normalcdf…4:5; 5:1; 4:8; x† en y2 ˆ 0,95 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 0,3, Ymin ˆ 0,9 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  0,153. Dus van een standaardafwijking van 0,15 mm. 4,5

24 Hoofdstuk 13

4,4

µ = 4,8 σ=? opp = 0,95

5,1

Casio  4,5 P

 4,8

ˆ 0,025  Voer in y1 ˆ P……4,5 4,8† : x† en y2 ˆ 0,025 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 0,3, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,05. De optie intersect geeft x  0,153. Dus van een standaardafwijking van 0,15 mm. 76

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 2:5; 2:52; 0:12†  0,434 De kans is 0,434.

µ = 2,52 σ = 0,12 opp = ?

2,5

b opp ˆ 2
normalcdf… 1099 ; 2:26; 2:56; 0:12†  0,012 Dus 1,2%.

µ = 2,56 σ = 0,12 opp = ?

2,26

c TI normalcdf… 1099 ; 2:5; ; 0:12† ˆ 0,04 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 2:5; x; 0:12† en y2 ˆ 0,04 met venster Xmin ˆ 2,5, Xmax ˆ 3, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  2,71. De vulmachine moet worden ingesteld op een gemiddelde van 2,71 kg of meer.

2,86

µ=? σ = 0,12 opp = 0,04

2,5

Casio   2,5  P ˆ 0,04 0,12 Voer in P……2,5 x† : 0,12† en y2 ˆ 0,04 met venster Xmin ˆ 2,5, Xmax ˆ 3, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  2,71. De vulmachine moet worden ingesteld op een gemiddelde van 2,71 kg of meer. d 16  0,0188 853 TI normalcdf…2:72; 1099 ; ; 0:12† ˆ 0,0188 Voer in y1 ˆ normalcdf…2:72; 1099 ; x; 0:12† en y2 ˆ 0,0188 met venster Xmin ˆ 2,4, Xmax ˆ 2,6, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,03. De optie intersect geeft x  2,47. De vulmachine is ingesteld op een gemiddelde van 2,47 kg.

µ=? σ = 0,12 opp = 0,0188

2,72

Mathematische statistiek

25

Casio   2,72  P ˆ 1 0,0188 ˆ 0,9812 0,12 Voer in y1 ˆ P……2,72 x† : 0,12†† en y2 ˆ 0,9812 met venster Xmin ˆ 2,4, Xmax ˆ 2,6, Ymin ˆ 0,95 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  2,47. De vulmachine is ingesteld op een gemiddelde van 2,47 kg. bladzijde 44 77

a 29  0,0892 325

µ = 68 σ=? opp = 0,0892

TI normalcdf…70; 1099 ; 68; † ˆ 0,0892 Voer in y1 ˆ normalcdf…70; 1099 ; 68; x† en y2 ˆ 0,0892 met venster Xmin ˆ 1, Xmax ˆ 2, Ymin ˆ 0,05 en Ymax ˆ 0,1. De optie intersect geeft x  1,486. Dus   1,49%

70

Casio   P 70 68 ˆ 1 0,0892 ˆ 0,9108  Voer in y1 ˆ P……70 68† : x† en y2 ˆ 0,9108 met venster Xmin ˆ 1, Xmax ˆ 2, Ymin ˆ 0,9 en Ymax ˆ 0,95. De optie intersect geeft x  1,486. Dus  ˆ 1,49%. b opp ˆ normalcdf… 1099 ; 65:5; 68; 1:49†  0,0467 Dat zijn er 0; 0467
500  23.

µ = 68 σ = 1,49 opp = ?

65,5

78

a  ˆ 1 uur en 3 minuten ˆ 63
60 ˆ 3780 seconden 4 minuten ˆ 240 seconden 3780 240 ˆ 3540 3780 ‡ 240 ˆ 4020 opp ˆ normalcdf…3540; 4020; 3780; 125†  0,945 De kans is 0,945.

µ = 3780 σ = 125 opp = ?

3540

µ = 3780 σ=? opp = 0,30

b 2,5 minuten ˆ 150 seconden 3780 150 ˆ 3630 3780 ‡ 150 ˆ 3930

3620

26 Hoofdstuk 13

4020

3930

TI normalcdf…3630; 3930; 3780; † ˆ 0,70 Voer in y1 ˆ normalcdf…3630; 3930; 3780; x† en y2 ˆ 0,70 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 200, Ymin ˆ 0,5 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  144,7. Dus   145 seconden. Casio  P 3630

 3780 ˆ 0,30 2  Voer in y1 ˆ P……3630 3780† : x† en y2 ˆ 0,15 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 200, Ymin ˆ 0,1 en Ymax ˆ 0,2. De optie intersect geeft x  144,7. Dus   145 seconden. µ = 3780 σ=? opp = 0,2143

c 1500  0,2143 7000 66 minuten ˆ 66
60 ˆ 3960 seconden.

TI 3960 normalcdf…3960; 1099 ; 3780; † ˆ 0,2143 Voer in y1 ˆ normalcdf…3960; 1099 ; 3780; x† en y2 ˆ 0,2143 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 300, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  227,4. Dus   227 seconden. Casio  P 3960

 3780 ˆ 1

0,2143 ˆ 0,7857  Voer in y1 ˆ P……3960 3780† : x† en y2 ˆ 0,7857 met venster Xmin ˆ 100, Xmax ˆ 300, Ymin ˆ 0,5 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  227,4. Dus   227 seconden.

13.6 De normale verdeling op de computer bladzijde 45 79

a b c d e f

 Lees af: Kans rechts ˆ 0,0062, dus 0,6%. Lees af: Kans midden ˆ 0,8664, dus 86,6%. Lees af: Kans links ˆ 0,9599, dus de kans is 0,960. Lees af: Kans links ˆ 0,1056, dus bij 10,6% van de pakken. Lees af: Kans staart ˆ 0,4533, dus 45,3%.

Mathematische statistiek

27

bladzijde 46 80 a

b Voor merk A is P…X  950† ˆ 0,2638, dus P…X  950† ˆ 0,7362. Voor merk B is P…X  950† ˆ 0,1957, dus P…X  950† ˆ 0,8043. Merk B geniet de voorkeur, want 0,8043 > 0,7362. 81

a Kans rechts ˆ 0,15 geeft Grens ˆ 132,0174, dus vanaf IQ ˆ 132. b Kans links ˆ 0,75 geeft Grens ˆ 126,8778, dus vanaf IQ ˆ 127.

82

a  ˆ 500, Grens ˆ 495 en Kans links ˆ 0,10 geeft  ˆ 3,9015. Dus  ˆ 3,9 gram is nog acceptabel. b  ˆ 500, Linkergrens ˆ 493, Rechtergrens ˆ 507 en Kans staart ˆ 0,025 geeft  ˆ 3,5715. Dus  ˆ 3,6 gram is nog acceptabel.

83 a  ˆ 0,6, Grens ˆ 23,5 en Kans rechts ˆ 0,05 geeft  ˆ 24,4869.

Dus afstellen op  ˆ 24,49 cm. b  ˆ 0,6, Grens ˆ 22,8 en Kans links ˆ 0,02 geeft  ˆ 24,0322. Dus het gemiddelde was 24,03 cm. bladzijde 47 84 a 

b Lees af in de tabel: bij score 55 is opp links ˆ 0,066807, dus 6,7% van de scores is lager dan 55. Lees af in de tabel: bij score 72 is opp rechts ˆ 0,091211, dus 9,1% van de scores is hoger dan 72. c Lees af in de tabel: opp links ˆ 0,203328 bij score 59, dus je valt af bij scores tot en met 59.

28 Hoofdstuk 13

85

a

gewicht in kg mannen

vrouwen

gewicht in kg

hoogte kromme

opp links

opp rechts

hoogte kromme

opp links

opp rechts

50

0,0000

0,0000

1,0000

0,0006

0,0013

0,9987

51

0,0000

0,0000

1,0000

0,0010

0,0021

0,9979

52

0,0000

0,0000

1,0000

0,0014

0,0033

0,9967

53

0,0000

0,0000

1,0000

0,0021

0,0051

0,9949

54

0,0000

0,0000

1,0000

0,0030

0,0076

0,9924

55

0,0000

0,0000

1,0000

0,0042

0,0111

0,9889

56

0,0000

0,0000

1,0000

0,0057

0,0161

0,9839

57

0,0000

0,0000

1,0000

0,0077

0,0228

0,9772

58

0,0000

0,0000

1,0000

0,0102

0,0316

0,9684

59

0,0000

0,0000

1,0000

0,0131

0,0432

0,9568

60

0,0001

0,0001

0,9999

0,0166

0,0580

0,9420

61

0,0001

0,0002

0,9998

0,0205

0,0766

0,9234

62

0,0002

0,0003

0,9997

0,0249

0,0993

0,9007

63

0,0005

0,0007

0,9993

0,0297

0,1265

0,8735

64

0,0009

0,0013

0,9987

0,0346

0,1587

0,8413

65

0,0016

0,0026

0,9974

0,0395

0,1957

0,8043

66

0,0027

0,0047

0,9953

0,0442

0,2375

0,7625

67

0,0045

0,0082

0,9918

0,0484

0,2839

0,7161

68

0,0071

0,0139

0,9861

0,0520

0,3341

0,6659

69

0,0108

0,0228

0,9772

0,0547

0,3875

0,6125

70

0,0158

0,0359

0,9641

0,0564

0,4432

0,5568

71

0,0222

0,0548

0,9452

0,0570

0,5000

0,5000

72

0,0299

0,0808

0,9192

0,0564

0,5568

0,4432

73

0,0388

0,1151

0,8849

0,0547

0,6125

0,3875

74

0,0484

0,1587

0,8413

0,0520

0,6659

0,3341

75

0,0579

0,2119

0,7881

0,0484

0,7161

0,2839

76

0,0666

0,2743

0,7257

0,0442

0,7625

0,2375

77

0,0737

0,3446

0,6554

0,0395

0,8043

0,1957

78

0,0782

0,4207

0,5793

0,0346

0,8413

0,1587

79

0,0798

0,5000

0,5000

0,0297

0,8735

0,1265

80

0,0782

0,5793

0,4207

0,0249

0,9007

0,0993

81

0,0737

0,6554

0,3446

0,0205

0,9234

0,0766

82

0,0666

0,7257

0,2743

0,0166

0,9420

0,0580

83

0,0579

0,7881

0,2119

0,0131

0,9568

0,0432

84

0,0484

0,8413

0,1587

0,0102

0,9684

0,0316

85

0,0388

0,8849

0,1151

0,0077

0,9772

0,0228

86

0,0299

0,9192

0,0808

0,0057

0,9839

0,0161

87

0,0222

0,9452

0,0548

0,0042

0,9889

0,0111

88

0,0158

0,9641

0,0359

0,0030

0,9924

0,0076

89

0,0108

0,9772

0,0228

0,0021

0,9949

0,0051

90

0,0071

0,9861

0,0139

0,0014

0,9967

0,0033

91

0,0045

0,9918

0,0082

0,0010

0,9979

0,0021

92

0,0027

0,9953

0,0047

0,0006

0,9987

0,0013

93

0,0016

0,9974

0,0026

0,0004

0,9992

0,0008

94

0,0009

0,9987

0,0013

0,0003

0,9995

0,0005

95

0,0005

0,9993

0,0007

0,0002

0,9997

0,0003

96

0,0002

0,9997

0,0003

0,0001

0,9998

0,0002

97

0,0001

0,9998

0,0002

0,0001

0,9999

0,0001

98

0,0001

0,9999

0,0001

0,0000

0,9999

0,0001

99

0,0000

1,0000

0,0000

0,0000

1,0000

0,0000

100

0,0000

1,0000

0,0000

0,0000

1,0000

0,0000

Mathematische statistiek

29

b

gewicht mannen en vrouwen 0,0900 0,0800 0,0700 0,0600 0,0500 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 0,0000 50

60

70

80

c Lees af in de tabel: bij 71 kg is bij de mannen opp rechts ˆ 0,9452. Dat zijn dus 0; 9452
1800  1700 mannen. d Lees af in de tabel: bij 85 kg is bij de mannen opp rechts ˆ 0,1151 en bij de vrouwen opp rechts ˆ 0; 0228: Dat zijn dus 0,1151
1800 ‡ 0,0228
2500  264 personen. e Voer in A4 ˆ 50, B4 ˆ 1800  NORM.VERD(A4; 79; 5; 1), C4 ˆ 2500  NORM.VERD(A4; 71; 7; 1) en D4 ˆ B4 ‡ C4. Je krijgt de volgende tabel. gewicht g in kg

aantal mannen lichter dan g kg

aantal vrouwen lichter dan g kg

aantal personen lichter dan g kg

50

0

3

3

51

0

5

5

52

0

8

8

53

0

13

13

54

0

19

19

55

0

28

28

56

0

40

40

57

0

57

57

58

0

79

79

59

0

108

108

60

0

145

145

61

0

191

192

62

1

248

249

63

1

316

318

64

2

397

399

65

5

489

494

66

8

594

602

67

15

710

724

68

25

835

860

69

41

969

1010

70

65

1108

1173

71

99

1250

1349

72

145

1392

1537

73

207

1531

1738

74

286

1665

1950

75

381

1790

2172

30 Hoofdstuk 13

90

kg

100

gewicht g in kg

aantal mannen lichter dan g kg

aantal vrouwen lichter dan g kg

aantal personen lichter dan g kg

76

494

1906

2400

77

620

2011

2631

78

757

2103

2861

79

900

2184

3084

80

1043

2252

3294

81

1180

2309

3488

82

1306

2355

3661

83

1419

2392

3811

84

1514

2421

3935

85

1593

2443

4036

86

1655

2460

4114

87

1701

2472

4174

88

1735

2481

4216

89

1759

2487

4246

90

1775

2492

4267

91

1785

2495

4280

92

1792

2497

4288

93

1795

2498

4293

94

1798

2499

4296

95

1799

2499

4298

96

1799

2500

4299

97

1800

2500

4299

98

1800

2500

4300

99

1800

2500

4300

100

1800

2500

4300

f Kijk in de tabel. Er zijn 602 personen lichter dan 66 kg, dus de lichtste 600 personen zijn lichter dan 66 kg. g 10% van 4300 is 430. 4300 430 ˆ 3870. Er zijn 3811 personen lichter dan 83 kg en er zijn 3935 personen lichter dan 84 kg. Dus de 10% zwaarste personen zijn zwaarder dan ruim 83kg.

Diagnostische toets bladzijde 50 1

a som is 6:

114 3

123 6

222 1

P…som is 6† ˆ 1 10  0,954 216 9 6: 10  zie vraag a > > = 5: 113 3 122 3 20 mogelijkheden 4: 112 3 > > ; 3: 111 1

P…som is geen 6† ˆ 1 b som som som som

is is is is

P…som is minstens 7† ˆ 1

P…som is minder dan 7† ˆ 1

20  0,907 216

Mathematische statistiek

31



 22 5 2 a P…niemand uit Westervoort† ˆ    0,400 26 5     16
6 b P…drie uit Arnhem en twee uit Rheden† ˆ 3  2  0,128 26 5 c P…minstens twee uit Rheden† ˆ 1 P…nul of e¨e¨n uit Rheden† 0     1 20 6
20 B 5  C ‡ 1  4 A  0,322 ˆ1 @ 26 26 5 5 3

 8 a P…geen enkele 6† ˆ 5  0,233 6

   5  3 b P…vijf keer meer dan 4 en drie keer 2† ˆ 8
2
1  0,001 6 6 5        5 8 ‡ 8
1
5 7  0,395 c P…minstens twee keer 6† ˆ 1 P…nul of e¨e¨n keer 6† ˆ 1 6 1 6 6      2  3  3 d P…twee keer 3, drie keer 4 en drie keer 5 of 6† ˆ 8
6
1
1
2  0,003 2 6 6 6 3

4

a P…tweede lamp is eerste van 60 watt† ˆ 3
9  0,205 12 11 9 b P…vierde lamp is eerste van 40 watt† ˆ
8
7
3  0,127 12 11 10 9 c De enige mogelijkheid is 60, 40, 60, 40, 60, 40, 60. De kans is 9
3
8
2
7
1
6  0,005. 12 11 10 9 8 7 6

5

som ˆ 18

666 1

P…som ˆ 18† ˆ 1 216

som ˆ 17

665 3

P…som ˆ 17† ˆ 3 216

som ˆ 16

664 3

P…som ˆ 16† ˆ 6 216

655 3 U ˆ uitbetaling U P…U ˆ u†

100

15

5

0

1 216

3 216

6 216

206 216

E…U† ˆ 100
1 ‡ 15
3 ‡ 5
6 ‡ 0
206 ˆ 175  0,81 216 216 216 216 216 De winstverwachting per spel is 0,81 6

1ˆ

E 0,19.

a P…minstens e¨e¨n regio† ˆ 1 P…geen enkele regio† ˆ 1 0,67
0,75
0,85
0,90
0,93  0,642 b E…aantal ernstige stormschaden per jaar† ˆ 0,33 ‡ 0,25 ‡ 0,15 ‡ 0,10 ‡ 0,07 ˆ 0,9 E(uit te betalen bedrag) ˆ 0,9
25 ˆ 22,5 miljoen euro.

32 Hoofdstuk 13

bladzijde 51 7

E…T † ˆ E…X † ‡ E…Y † ˆ 2,75 ‡ 1,85 ˆ 4,60 cm q p T ˆ 2X ‡ 2Y ˆ 0,152 ‡ 0,082 ˆ 0,17 cm

8

a b c d

68% van 750 is 510 97,5% van 750 is 731 13,5% van 750 is 101 47,5% van 750 is 356

34%

34%

2,5%

13,5% 444 452

9

a klasse 8 <9 9 <10 10 <11 11 <12 12 <13 13 <14 14 <15 15 <16 16 <17

460

2,5% 13,5% 468 476 gram

frequentie

cumulatieve frequentie

relatieve cumulatieve frequentie

7 20 46 80 98 68 42 15 4

7 27 73 153 251 319 361 376 380

1,8 7,1 19,2 40,3 66,1 83,9 95,0 98,9 100

relatieve cumulatieve frequentie 99,99 99,9 99,8 99,5 99 98 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,01

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 µ lengte in cm

De punten liggen vrijwel op een rechte lijn, dus de verdeling is bij benadering normaal. b   12,4 en  ‡   14,0 dus   1,6.

Mathematische statistiek

33

10

a opp links ˆ

1

0,75 ˆ 0,125 2

a ˆ invNorm…0:125; 158; 12†  144,2 b TI normalcdf…112; 1099 ; ; 16† ˆ 0,71 Voer in y1 ˆ normalcdf…112; 1099 ; x; 16† en y2 ˆ 0,71 met venster Xmin ˆ 112, Xmax ˆ 130, Ymin ˆ 0,5 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  120,85 Dus   121. Casio   112  P ˆ 1 0,71 16 Voer in y1 ˆ P……112 x† : 16† en y2 ˆ 0,29 met venster Xmin ˆ 112, Xmax ˆ 130, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,5. De optie intersect geeft x  120,85. Dus   121. c TI normalcdf…14; 22; 18; † ˆ 0,74 Voer in y1 ˆ normalcdf…14; 22; 18; x† en y2 ˆ 0,74 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 10, Ymin ˆ 0,5 en Ymax ˆ 1. De optie intersect geeft x  3,55: Dus   3,55. Casio   1 0,74 P 14 18 ˆ 2  Voer in y1 ˆ P……14 18† : x†† en y2 ˆ 0,13 met venster Xmin ˆ 0, Xmax ˆ 10, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,25. De optie intersect geeft x  3,55. Dus   3; 55. 11

a opp ˆ normalcdf…30 000; 1099 ; 25 000; 2700†  0,032 Dus 3,2%.

µ = 25 000 σ = 2700 opp = ?

30 000

b a ˆ invNorm…0:03; 25 000; 2700†  19 920 Na 19 920 uur.

µ = 25 000 σ = 2700 opp = 0,03

a

34 Hoofdstuk13

12

TI normalcdf… 1099 ; 250; ; 4† ˆ 0,10 Voer in y1 ˆ normalcdf… 1099 ; 250; x; 4† en y2 ˆ 0,10 met venster Xmin ˆ 250, Xmax ˆ 256, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,2. De optie intersect geeft x  255,1: Dus bij een gemiddelde van 255,1 gram.

µ=? σ=4 opp = 0,10

250

Casio   250  P ˆ 0,10 4 Voer in y1 ˆ P……250 x† : 4† en y2 ˆ 0,10 met venster Xmin ˆ 250, Xmax ˆ 256, Ymin ˆ 0 en Ymax ˆ 0,2. De optie intersect geeft x  255,1. Dus bij een gemiddelde van 255,1 gram.

Mathematische statistiek

35

hoofdstuk

14

Integraalrekening

bladzijde 52

j De oppervlakte onder de grafiek is ongeveer 105 hokjes, dus er is ongeveer 10 500 m3 drinkwater afgenomen.

14.1 Riemann-sommen bladzijde 54 1

a In figuur 14.2 blijven onder de grafiek vlakdeeltjes boven de rechthoeken over die niet worden meegerekend. In figuur 14.3 steken de rechthoeken boven de grafiek yuit. b Zie de figuur hiernaast. ƒ Er zijn nu beurtelings vlakdeeltjes over en tekort. 4 c Een opdeling als in b met meer rechthoeken is nog nauwkeuriger. 3 2

1

O

36 Hoofdstuk 14

1

2

x

bladzijde 57 2

f …x† ˆ 0 8 x3 ˆ 0 x3 ˆ 8 xˆ2 200 rechthoekjes tussen 0 en 2 Voor ondersom: 0,01 0,02 0,03 . . . geeft de rij xn ˆ 0,01 ‡ 0,01n. 199   X Ondersom ˆ 0,01 8 …0,01 ‡ 0,01n†3 ˆ 11,9599

y 12 8

ƒ 4

V O

nˆ0

2

4

x

Voor bovensom: 0 0,01 0,02 0,03 . . . geeft de rij xn ˆ 0,01n. 199   X Bovensom ˆ 0,01 8 …0,01n†3 ˆ 12,0399 nˆ0

Dus 11,9599  oppervlakte V  12,0399. 3

f …x† ˆ 0 p 2x ‡ 10 ˆ 0 2x ‡ 10 ˆ 0 2x ˆ 10 xˆ 5 500 rechthoekjes tussen 5 en 0. Voor ondersom: 5 4,99 4,98 . . . geeft de rij xn ˆ 5 ‡ 0,01n. 499 X p Ondersom ˆ 0,01 2… 5 ‡ 0,01n† ‡ 10  10,5248

y ƒ

V –4

nˆ0

Voor bovensom: 4,99 4,98 4,97 . . . geeft de rij xn ˆ 499 X p Bovensom ˆ 0,01 2… 4,99 ‡ 0,01n† ‡ 10  10,5564

–2

x

O

4,99 ‡ 0,01n.

nˆ0

Dus 10,5248  oppervlakte V  10,5564. 4

f …x† ˆ 0

y

12 2x ˆ 0 ƒ x‡4 3 12 2x ˆ 0 2x ˆ 12 xˆ6 O 300 rechthoekjes tussen 0 en 6. Voor ondersom: 0,02 0,04 0,06 . . . geeft de rij xn ˆ 0,02 ‡ 0,02n. 299 X 12 2…0,02 ‡ 0,02n†  6,2958 Ondersom ˆ 0,02
0,02 ‡ 0,02n ‡ 4 nˆ0 Voor bovensom: 0 0,02 0,04 . . . geeft de rij xn ˆ 0,02n. 299 X 12 2
0,02n  6,3558. Bovensom ˆ 0,02
0,02n ‡ 4 nˆ0 Dus 6,2958  oppervlakte V  6,3558. 5

V 6

x

a De breedte van de rechthoek is 0,2. De hoogte van de rechthoek is f …1,1† ˆ 1,12 ˆ 1,21 De oppervlakte van de rechthoek is 0,2
1,21 ˆ 0,242. b De rij 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9, dus xn ˆ 1,1 ‡ 0,2n.

Integraalrekening

37

c oppervlakte V ˆ

4 X

0,2
…1,1 ‡ 0,2n†2 ˆ 2,33.

nˆ0

d De benadering is beter dan met een ondersom of bovensom. Een opdeling in veel meer rechthoeken was nog beter geweest. bladzijde 59 6

f …x† ˆ 0 geeft x ˆ 2 (zie opgave 2). 200 rechthoekjes tussen 0 en 2. De middens van de intervallen zijn 0,005 0,015 0,025 0,035 ... . Dit geeft xn ˆ 0,005 ‡ 0,01n. 199   X O…V †  0,01
8 …0,005 ‡ 0,01n†3  12,00005

y

ƒ

V

nˆ0

7

O

f …x† ˆ 0 geeft x ˆ 5 (zie opgave 3). 500 rechthoekjes tussen 5 en 0. De middens van de intervallen zijn 4,995 4,985 4,975 . . .. Dit geeft xn ˆ 4,995 ‡ 0,01n. 499 X p O…V †  0,01
2… 4,995 ‡ 0,01n† ‡ 10  10,5410 f …x† ˆ 0 geeft x ˆ 6 (zie opgave 4). 300 rechthoekjes tussen 0 en 6. De middens van de intervallen zijn 0,01 0,03 0,05 . . . Dit geeft xn ˆ 0,01 ‡ 0,02n. 299 X 12 2…0,01 ‡ 0,02n†  6,3258 O…V †  0,02
0,01 ‡ 0,02n ‡ 4 nˆ0

ƒ

V –4

3

V O

6

y y=3

W ƒ (x ) = x

1

O

1

f …x† ˆ 3 geeft O…W † ˆ 3
9

38 Hoofdstuk 14

2

p xˆ3 xˆ9 Z 9 p x
dx ˆ 27 0

9

18 ˆ 9.

x

O

ƒ

3

2

–2

y

bladzijde 60 9

x

2

y

nˆ0

8

8

x

x

10

y

y=8

8

W ƒ (x ) = x 2 + 1

1

–1

– 7

O

1

x

7

f …x† ˆ 8 geeft x2 ‡ 1 ˆ 8 x2 ˆ 7 p p x ˆ p 7 _ x ˆ 7 Z 7 p 2 O…W † ˆ 2 7
8 p …x ‡ 1†dx  24,69 7

11

y 9

ƒ (x ) = 6x – x 2

V

y=5

5

1

O

1

5

6

x

Integraalrekening

39

f …x† ˆ 5 geeft 6x x2 ˆ 5 x2 ‡ 6x 5 ˆ 0 2 6x ‡ 5 ˆ 0 x …x 1†…x 5† ˆ 0 xˆ1_xˆ5 Z 5 …6x x2 †dx 4
5  30,67 O…V † ˆ 1

20 ˆ 10,67

bladzijde 61 12

a

y ƒ (x ) = x 3 – 5x 2 + 6x + 1

W 1

y=1

V O

1

2

3

x

f …x† ˆ 1 geeft x3 5x2 ‡ 6x ‡ 1 ˆ 1 x3 5x2 ‡ 6x ˆ 0 x…x2 5x ‡ 6† ˆ 0 x…x 2†…x 3† ˆ 0 xˆ0_xˆ2_xˆ3 Z 3 …x3 5x2 ‡ 6x ‡ 1†dx  0,42 O…V † ˆ 1
1 2 Z 2 b O…W † ˆ …x3 5x2 ‡ 6x ‡ 1†dx 2
1  2,67 0

13

Het aantal mensen is N…1† ‡ N…2† ‡ N…3† ‡ N…4† ‡ N…5†. 5 X De Riemann som is 1
k2 …30 k†. Z 5;5 kˆ1 t2 …30 t†dt . De integraal is 0;5

14.2 Oppervlakten en inhouden bladzijde 62 14

a f …x† ˆ g…x† 10x x2 ˆ x ‡ 8 x2 ‡ 9x 8 ˆ 0 2 9x ‡ 8 ˆ 0 x …x 1†…x 8† ˆ 0 xˆ1_xˆ8 dus a ˆ 1 en b ˆ 8

40 Hoofdstuk14

Z b

1

Z

8

…10x

x2 †dx ˆ 144 2 3

8

…x ‡ 8†dx ˆ 87,5 Z c oppervlakte …V † ˆ 1

b a

Z f …x†dx

b a

g…x†dx

bladzijde 64 15

Voer in y1 ˆ x

p 2 x en y2 ˆ

x.

y

1

O

x

1

ƒ

g

De optie intersect geeft x ˆ 0 en x ˆ 1. Z 1 O…V † ˆ …y2 y1 †dx  0,33 0

16

Voer in y1 ˆ sin…x† en y2 ˆ 14 x. y

1

O

1 y = 4x

ƒ 2,50 π

x

De optie intersect geeft x  2,4746 Z p O…V † ˆ sin…x†dx ˆ 2 0 Z 2;4746 …sin…x† 14 x†dx  1,02 6ˆ 12 O…V †. 0

De lijn y ˆ 14 x verdeelt V niet in twee delen met gelijke oppervlakte.

Integraalrekening

41

17

Voer in y1 ˆ x3

1 2 x.

3x en y2 ˆ 1 y

l 2

ƒ

–1,32 –0,43 O

x

1,75

De optie intersect geeft x  1,32, x  0,43 en x  1,75. Z 0;43 Z 1;75 3 1 oppervlakte  …x 3x 1 ‡ 2 x†dx ‡ …1 12 x x3 ‡ 3x†dx  3,75 1;32

18

0;43

Met behulp van een Riemann som. n 1 X … f …xk †

x† ˆ lim O…V † ˆ lim
x!0

ˆ Z 19

a

2p

0

Z

p

0

Z

b

0


x!0

Z f …xk †

x ˆ

2p

! f …xk †

x

kˆ0

f …x†dx

f …x†dx ˆ 0

Z f …x†dx ˆ

113p

2p

3 1

kˆ0

Z

2 3p

Z c

n 1 X

f …x†dx ˆ 2 en

0

Z


x!0

kˆ0

lim

n 1 X

p 0

p

2p

f …x†dx ˆ Z

f …x†dx ‡

2p p

2 dus

f …x†dx ˆ 2 ‡ … 2† ˆ 0.

f …x†dx ˆ 0 j f …x† j dx ˆ 4. De uitkomst is O…V † ‡ O…W †.

bladzijde 65

Z 20

oppervlakte (paarse gebied) ˆ

3

0;5

j ln…x† j dx  1,449

bladzijde 66

Z

3

j x3

5x2 ‡ 6x j dx  3,084

21

oppervlakte (paarse gebied) ˆ

22

a Inhoud van cilinder met hoogte 1 en straal 22 ‡ 2 ˆ 6 is p
62
1 ˆ 36p. Inhoud van cilinder met hoogte 1 en straal 12 ‡ 2 ˆ 3 is p
32
1 ˆ 9p. b I…L† ˆ 121p ‡ 36p ‡ 9p ˆ 166p  522.

42 Hoofdstuk 14

0

bladzijde 67

Z 23

Inhoud ˆ

2

1

 2 p
1 dx  1,57 x

bladzijde 68 24 25

Z Inhoud ˆ

1 3

Voer in y1 ˆ

p
…3 ‡ 2x †2 dx  173,12 0,1x4 ‡ x2 ‡ x ‡ 3. y

ƒ

O

–3,14

3,83

x

De optie zero geeft x  3,14 en x  3,83. Z 3;83 I…L† ˆ p… 0,1x4 ‡ x2 ‡ x ‡ 3†dx  487,49 3;14

26

a Voer in y1 ˆ x ‡ 1. x y

ƒ

y=1

O

Z I…L† ˆ

1

4

1

 2 p
x ‡ 1 dx x

4

Z

4 1

x

p
12 dx  11,07

Integraalrekening

43

b f …x† ˆ x ‡ 1 ˆ 1 ‡ 1 x x Wentelen om de lijn y ˆ 1 geeft hetzelfde lichaam als het wentelen van de grafiek van g…x† ˆ 1 om de x-as. x Z 4  2 I…L† ˆ p
1 dx  2,36 x 1 27

Het gaat bij de Riemann sommen om de verschillen van de inhouden van twee cilindertjes, dus steeds p…f …xk ††2 p…g…xk ††2 of p…g…xk ††2 p…f …xk ††2 . De formules bij a en c zijn dus goed.

bladzijde 69 28

Voer in y1 ˆ

p x en y2 ˆ 12 x. l

y

ƒ

V O

1

x

4

De optie intersect geeft x ˆ 0 en x ˆ 4. Z 4   I…L† ˆ p …y1 †2 …y2 †2 dx  8,38 0

29

p 5 x en y2 ˆ x

Voer in y1 ˆ 2x

4.

y ƒ

O

y=x–4 x

1

V

De optie intersect geeft x ˆ 1 en x  2,88. Z 2;88   I…L† ˆ p …y1 †2 …y2 †2 dx  20,93 1

44 Hoofdstuk 14

30 a Voer in y1 ˆ ln…x† en y2 ˆ 5

x.

y

y=5–x

ƒ

O

1

3,69

5

x

De optie intersect geeft x  3,69 Z 3;69 Z 5 O…V † ˆ y1 dx ‡ y2 dx  2,13 ‡ 0,85  2,99. 1 3;69 Z 5 Z 3;69 p…y1 †2 dx ‡ p…y2 †2 dx  6,41 ‡ 2,34  8,75 b inhoud ˆ 1

3;69

bladzijde 70 31

a Er moet gelden f …x†  g…x†  0 voor x op [0; xB ], dus het laagste punt van g ligt op of boven de x-as. b Er moet gelden g…x†  f …x†  0 voor x op [0; xB ], dus het hoogste punt van de grafiek van f ligt op of onder de x-as.

y g

B C

D

x

E ƒ

A

14.3 Primitieve functies bladzijde 71 32

Proberen met de GR geeft Z p x2 dx ˆ 10 voor p  3,1. 0

Integraalrekening

45

33 a O…V † ˆ 12
p
12 p ˆ 14 p2

b O…x† ˆ 14 x2 c O…x† ˆ 12 ax2 bladzijde 73

a xn‡1 ‡ c geeft F 0 …x† ˆ …n ‡ 1†
a xn ˆ axn n‡1 n‡1

34 a F …x† ˆ

Voor iedere c geldt F 0 …x† ˆ f …x†. Dus voor iedere c is F …x† een primitieve van f …x†. a xn‡1 ‡ c niet. n‡1 Delen door nul is niet toegestaan.

b Voor n ˆ

35

1 bestaat F …x† ˆ

a f …x† ˆ 6x2 geeft F …x† ˆ 6
13 x3 ‡ c ˆ 2x3 ‡ c b f …x† ˆ 2x3 ‡ 5x4 geeft F …x† ˆ 2
14 x4 ‡ 5
15 x5 ‡ c ˆ 12 x4 ‡ x5 ‡ c 3x geeft F …x† ˆ 14 x4

c f …x† ˆ x3 d f …x† ˆ 3x e f …x† ˆ

4

4x

geeft F …x† ˆ 3
1 x 3 4

c h…x† ˆ

4

2x3

6 ˆ 1x 2

1 x 1

1

3

x

3

1 12 x2 ‡ c

‡c

‡ c ˆ 43 x

3

2

4x

‡cˆ

‡c 2

‡cˆ

x

2

geeft F …x† ˆ 12
12 x2

1 x 1

3x

3

geeft G…x† ˆ 12
12 x2

3
1 x 2

x2 ‡ 2x ‡ 3 ˆ x4

H…x† ˆ

‡cˆ

geeft F …x† ˆ 8
1 x 2

x4 2x ˆ 1x 2 2x3

b g…x† ˆ x

37

3

3

4
1 x 3

geeft F …x† ˆ

f f …x† ˆ 83 ˆ 8x x 36 a f …x† ˆ

3
12 x2 ‡ c ˆ 14 x4

x

‡2
1 x 2

2

‡ 2x

2

3

4

‡ 3x

‡3
1 x 3

3

1

4‡c x2

‡ c ˆ 14 x2 ‡ 1 ‡ c x 2

‡ c ˆ 14 x2 ‡ 3 2 ‡ c 2x

geeft

‡cˆ 1 x

1 x2

1 ‡c x3

x a F …x† ˆ a ‡ c geeft F 0 …x† ˆ 1
ax
ln…a† ˆ ax ln…a† ln…a† x b f …x† ˆ 10x geeft F …x† ˆ 10 ‡ c ln…10† x x g…x† ˆ 5
2x geeft G…x† ˆ 5
2 ‡ c ˆ 5
2 ‡ c ln…2† ln…2† x h…x† ˆ 3x ‡ x3 geeft H…x† ˆ 3 ‡ 14 x4 ‡ c ln…3†

38 a F …x† ˆ

1
eax‡b ‡ c geeft F 0 …x† ˆ 1
aeax‡b ˆ eax‡b a a

b f …x† ˆ e3x geeft F …x† ˆ 13 e3x ‡ c g…x† ˆ 12 e2x

5

geeft G…x† ˆ 12
12 e2x

x 2ˆe h…x† ˆ e ‡ e2x

46 Hoofdstuk14

x

‡ 2e

2x

5

‡ c ˆ 14 e2x

geeft H…x† ˆ

e

x

5

‡c

‡2
1 e 2

2x

‡cˆ

1 ex

1 ‡c e2x

1 ln j ax ‡ b j ‡c geeft F 0 …x† ˆ 1
1
a ˆ 1 a a ax ‡ b ax ‡ b

39 a F …x† ˆ

b f …x† ˆ g…x† ˆ

3 geeft F …x† ˆ 3
12 ln j2x ‡ 1j ‡ c ˆ 1 12 ln j2x ‡ 1j ‡ c 2x ‡ 1 x

5

2

‡ 3 geeft G…x† ˆ 5
ln jx

3 2 ˆ 1 ‡ 2x h…x† ˆ x ‡ x4 x

4

2j ‡ 3x ‡ c

geeft H…x† ˆ ln jxj ‡ 2
1 x 3

x ‡ c geeft F 0 …x† ˆ 1
ln…x† ‡ x
1 x

40 a F …x† ˆ x ln…x†

3

‡ c ˆ ln jxj

1 ˆ ln…x† ‡ 1

2 ‡c 3x3 1 ˆ ln…x†

b f …x† ˆ 2 ln…x† geeft F …x† ˆ 2…x ln…x† x† ‡ c ˆ 2x ln…x† 2x ‡ c g…x† ˆ ln…2x† ˆ ln…2† ‡ ln…x† geeft G…x† ˆ x ln…2† ‡ x ln…x† x ‡ c p 1 h…x† ˆ ln…x x† ˆ ln…x12 † ˆ 1 12 ln…x† geeft H…x† ˆ 1 12 …x ln…x† x† ‡ c ˆ 1 12 x ln…x† 1 12 x ‡ c bladzijde 74 41

a f …x† ˆ g log…x† ˆ

ln…x† geeft F …x† ˆ 1 …x ln…x† ln…g† ln…g†

b f …x† ˆ log…x† geeft F …x† ˆ

1 …x ln…x† ln…10†

  g…x† ˆ 2 log 1 ˆ 2 log…x 1 † ˆ x

2

x† ‡ c

x† ‡ c

log…x† geeft G…x† ˆ

1
…x ln…x† ln…2†

x† ‡ c

h…x† ˆ 5 log…2x† ˆ 5 log…2† ‡ 5 log…x† geeft H…x† ˆ 5x log…2† ‡ 5
ˆ 5x log…2† ‡ 42

f …x† ˆ …x2

1 …x ln…x† ln…10†

5 …x ln…x† ln…10†

x† ‡ c x† ‡ c

1†2 ˆ x4

2x2 ‡ 1 geeft  F …x† ˆ 15 x5 23 x3 ‡ x ‡ c 7 ˆ 15 23 ‡ 1 ‡ c …1; 7† op de grafiek van F 7 ˆc 6 15

Dus F …x† ˆ 15 x5

2 3 3x

7 ‡ x ‡ 6 15 .

43 a f …x† ˆ x2 geeft F …x† ˆ 13 x3 ‡ c

b O…0† ˆ 0 geeft F …0† ˆ 13
03 ‡ c ˆ 0 dus c ˆ 0.  c O…x† ˆ 13 x3 1 3 3 p ˆ 10 O…p† ˆ 10 p3 ˆp30  p ˆ 3 30 p  3,10723

Integraalrekening

47

bladzijde 76 44 x2 …3

y

x† ˆ 0 geeft x ˆ 0 _ x ˆ 3 Z 3 O…V † ˆ x2 …3 x†dx 0 Z 3  3 ˆ …3x2 x3 †dx ˆ x3 14 x4 0 0

ˆ …27

1 4


81†

0ˆ

ƒ

6 34

V

O

45

a

y ƒ

V x

O

y=6–x

x2 ˆ 6

x geeft x2 ‡ x 6 ˆ 0 …x ‡ 3†…x 2† ˆ 0 xˆ 3_xˆ2 Z 2 Z 2
2 …6 x† x dx ˆ … x2 x ‡ 6†dx O…V † ˆ 3 3  1 3 1 2 2

8 ˆ 2 ‡ 12 9 4 12 18 ˆ 20 56 3x 2 x ‡ 6x 3 ˆ 3 Z p
b …6 x† x2 dx ˆ 12
20 56 3 Z p 5 … x2 x ‡ 6†dx ˆ 10 12 3  1 3 1 2 p 5 3x 2 x ‡ 6x 3 ˆ 10 12

1 3 1 2 5 9 4 12 18 ˆ 10 12 3p 2 p ‡ 6p 1 3 3p

1 2 2p

5 ‡ 6p ‡ 13 12 ˆ 10 12

Voer in y1 ˆ

1 3 3x

1 2 2x

5 ‡ 6x ‡ 13 12 en y2 ˆ 10 12 .

De optie intersect geeft x ˆ

48 Hoofdstuk 14

0,50 dus p ˆ

0,50

1

2

3

4

x

46 a

x2 ‡ x ‡ 1 ˆ x

1 12

x2 ‡ x ‡ 1 ˆ

1 12 x

x2 ‡ 2 12 x ‡ 1 ˆ 0 …x ‡ 2†…x ‡ 12† ˆ 0 2 _ x ˆ 12  Z 1 2 2
x ‡ x ‡ 1 1 1 2 dx O…V † ˆ x 2 Z 1  2 ˆ x ‡ 1 ‡ 1 ‡ 1 12 dx x 2 Z 1  2 ˆ x ‡ 1 ‡ 2 12 dx x  2  1 ˆ 12 x2 ‡ ln jxj ‡ 2 12 x 22 xˆ

ˆ

1 8

‡ ln…12†

1 14†

…2 ‡ ln…2†

ˆ 1 78 ‡ ln…12† ln…2† ˆ 1 78 b Voor p > 1. O…W † ˆ 2  Z p x2 ‡ x ‡ 1 …x ‡ 1† dx ˆ 2 x 1 Z p  x ‡ 1 ‡ 1 x 1 dx ˆ 2 x 1 Z p 1 dx ˆ 2 x 1 ‰ln…x†Šp1 ˆ 2 ln…p† ln…1† ˆ 2 ln…p† ˆ 2 p ˆ e2

5†
2 ln…2† y

pˆe

2

x=p

ƒ

y=x+1

W

O

Voor 0 < p < 1 O…W † ˆ 2  Z 1 x2 ‡ x ‡ 1 …x ‡ 1† dx ˆ 2 x p Z 1  x ‡ 1 ‡ 1 x 1 dx ˆ 2 x p Z 1 1 dx ˆ 2 x p ‰ln…x†Š1p ˆ 2 ln…1† ln…p† ˆ 2 ln…p† ˆ 2

x=1

y

x

1

x=1

y=x+1 ƒ

W

ˆ 12 e

Dus p ˆ e _ p ˆ 12 e 2

O

x

1

x=p

Integraalrekening

49

47

x2 ˆ 0 geeft x ˆ 3 _ x ˆ Z 3  O…V † ˆ …9 x2 †dx ˆ 9x 0 Z a  …9 x2 †dx ˆ 9x O…V1 † ˆ

a 9

3

y

 1 3 3 3 x 0 ˆ 27  1 3 a 3 x 0ˆ

0

9a

9 ˆ 18

x=a

9

1 3 3a

O…V1 † ˆ 9 geeft 9a 13 a3 ˆ 9. Voer in y1 ˆ 9x 13 x3 en y2 ˆ 9. De optie intersect geeft x  1,04. Dus a  1,04.

V1

V2 ƒ

O

Z b I…L1 ‡ L2 † ˆ

3 0

p…9

Z

2 2

x † dx ˆ

3

0

p…81

18x2 ‡ x4 †dx

ˆ ‰p…81x 6x3 ‡ 15 x5 †Š30 ˆ p…243 162 ‡ 48 35† ˆ 129 35 p Z a Z a I…L1 † ˆ p…9 x2 †2 dx ˆ p…81 18x2 ‡ x4 †dx 0

ˆ ‰p…81x

0

6x3 ‡ 15 x5 †Ša0 ˆ p…81a

6a3 ‡ 15 a5 †

I…L1 † ˆ 12
129 35 p ˆ 64 45 p geeft 6a3 ‡ 15 a5 † ˆ 64 45 p

p…81a

6a3 ‡ 15 a5 ˆ 64 45

81a

Voer in y1 ˆ 81x

6x3 ‡ 15 x5 en y2 ˆ 64 45.

De optie intersect geeft x  0,84, dus a  0,84. 48 a

y

x=8

8

y=8

ƒ

V O

1

8

x

8 ˆ 8 geeft x ˆ 1 _ x ˆ 1 (v.n.) x2 Z 8 Z 8 8 dx ˆ 8 ‡ 8x 2 dx ˆ 8 ‡ ‰ 8x 1 Š81 O…V † ˆ 8
1 ‡ 2 x 1 1 h i8 8 ˆ8‡ ˆ 8 ‡ … 1† … 8† ˆ 15 x 1

50 Hoofdstuk 14

1

3

x

b

y

x=a

x=8

8

y=8

ƒ

V1 O

V2

1

8

x

x ˆ a verdeelt V in twee stukken die zich verhouden als 2 : 1, dus O…V1 † ˆ 5 of O…V1 † ˆ 10 O…V1 † ˆ 5 geeft 8a ˆ 5 a ˆ 58 Z a 8 dx ˆ 10 O…V1 † ˆ 10 geeft 8 ‡ 2 1 x Z a 8x 2 dx ˆ 2 1

‰ 8x 1 Ša1 ˆ 2 h ia 8 ˆ2 x 1 8 a

… 8† ˆ 2

8‡8ˆ2 a 8ˆ a aˆ

6 8ˆ4 6 3

Dus a ˆ 58 _ a ˆ 43.

Integraalrekening

51

49

a x2 ˆ x3 x2 x3 ˆ 0 x2 …1 x† ˆ 0 xˆ0_xˆ1 Z 1 O…V † ˆ …x2 ˆ

1

0

3

3x

ˆ

1 4 4p

1

p

…x3

1 3 3p †

W 1 4

ˆ

1 12

x2 †dx ˆ 1 4

O…W † ˆ O…V † geeft


1 3

1

 1 3 p 3x 1

4 4x

ˆ 14 p3

1 3 3p

1 3 3p

1 1 ‡ 12 ˆ 12

1 4 4p

1 3 3p

ˆ0

1 3†

1

1 ‡ 12

1 4 4p

p3 …14 p

ƒ1

ˆ0

p3 ˆ 0 _ 14 p

1 3

b ax2 ˆ x3 ax2 x3 ˆ 0 x2 …a x† ˆ 0 xˆ0_xˆa Neem a > 0. Z a …ax2 x3 †dx ˆ ‰13 ax3 Oˆ O ˆ 12 geeft

1 4 a 4 x Š0

O

ˆ 13 a4

1 4 4a

1

ˆ 12  p  a ˆ 144 4 a ˆ 144 a>0

x

1 4 ˆ 12 a

1 4 12 a 4

Neem nu a < 0. Z 0 Oˆ …x3 ax2 †dx ˆ ‰1 x4 1 ax3 Š0a 4 3 a 1 4 ˆ 0 …14 a4 13 a4 † ˆ 12 a 1 4 O ˆ 12 geeft 12 a ˆ 12  4 p  a ˆ 144 4 aˆ 144 a<0   p p   Dus a ˆ 4 144 _ a ˆ 4 144.

52 Hoofdstuk14

V g

ˆ0

p ˆ 0 _ p ˆ 43 v.n.

0

x=p

x3 †dx

 1 1 4 1 4 x 0ˆ 3

Z

O…W † ˆ

y

y

a

O

g ƒa

x

bladzijde 77 50 a 3x ˆ 81 geeft x ˆ 4

Z

y

4

ƒ

O…V † ˆ …81 3x †dx 0  4 3x ˆ 81x ln…3† 0     81 1 80 ˆ 324 ˆ 324 ln…3† ln…3† ln…3†  a Z a 3x b Oˆ …81 3x †dx ˆ 81x ln…3† 0  0    a 3 1 ˆ 81a ln…3† ln…3†

y = 81

V

O

3a ‡ 1 ln…3† ln…3†

ˆ 81a

O ˆ 12 O…V † geeft 81a

3a ‡ 1 ˆ 162 ln…3† ln…3†

x

4

40 ln…3†

3x ‡ 1 en y ˆ 162 2 ln…3† ln…3† De optie intersect geeft x  1,60. Dus a  1,60.

40 ln…3†

Voer in y1 ˆ 81x

Z

51

11 p I…V † ˆ p… x 2†2 dx 2 Z 11 p…x 2†dx ˆ 2

ˆ ˆ

y

ƒ

2x†Š11 2

‰p…12 x2 p…38 12

x = 11

x=a

… 2†† ˆ 40 1 p Z a p 2 Z 2 I…V1 † ˆ p… x 2† dx ˆ 2

2

V1 a

p…x

2†dx

O

ˆ ‰p…12 x2 2x†Ša2 ˆ p …12 a2 2a† … 2†† ˆ p…12 a2 I…V1 † ˆ 12 I…V † geeft p…12 a2 2a ‡ 2† ˆ 12
40 12 p 1 2 2a ‡ 2 ˆ 20 14 2a Voer in y1 ˆ 12 x2 2x ‡ 2 en y2 ˆ 20 14. De optie intersect geeft x  8,36. Dus a  8,36.

V2 x

2

2a ‡ 2†

14.4 Bijzondere integralen bladzijde 78 52

a L is een kegel. Z 6 Z b I…L† ˆ p…12 x†2 dx ˆ 0

6 0

1 3 6 p
14 x2 dx ˆ ‰p
12 x Š0 ˆ 18p

0 ˆ 18p

Integraalrekening

53

Z 53

a Iˆ

h

0

p…ax†2 dx ˆ

Z 0

h

pa2 x2 dx ˆ ‰pa2
13 x3 Šh0 ˆ pa2
13 h3 ˆ 13 pa2 h3

b x ˆ h invullen bij y ˆ ax geeft y ˆ ah, dus r ˆ ah. I ˆ 13 pa2 h3 ˆ 13 pa2 h2
h ˆ 13 p…ah†2
h ˆ 13 pr2 h bladzijde 79 54 Zie de figuur hiernaast.

C

4ABC is gelijkzijdig. CC 0 ˆ 8 2r

2r 8

A

60° r

r

C'

Uit CC 0 ˆ 8 volgt p AC 0 ˆ p8 ˆ 83 3 3

30˚

p 512 I…kegel† ˆ 13 pr2 h ˆ 13 p
…83 3†2
8 ˆ 13 p
64 3
8ˆ 9 p

2a

a 3

60˚

a

55

y

1

y = 2x + 2

V

x

O

–4

x=3

De inhoud van het lichaam is het verschil van twee kegels. De grote kegel heeft hoogte 10 en straal grondcirkel 5. De kleinere kegel heeft hoogte 7 en straal grondcirkel 3 12 . I ˆ 13 p
52
10 13 p
…3 12†2
7 ˆ 54 34 p 56 a Een bol met straal 3.

p b x2 ‡ y2 ˆ 9 en y  0 geeft y ˆ 9 x2 Z 3 p Z 3 I…bol† ˆ p… 9 x2 †2 dx ˆ p…9 x2 †dx ˆ ‰p…9x

54 Hoofdstuk14

3 1 3 3 3 x †Š 3

B

3

ˆ p……27

9†

… 27 ‡ 9†† ˆ 36p

x=6

57

a Een bol met straal r. b x2 ‡ y2 ˆ r2 geeft y2 ˆ r2

x2 Z r I…bol† ˆ 2
I…halve bol† ˆ 2
py2 dx 0 Z r p…r2 x2 †dx ˆ 2‰p…r2
x 13 x3 †Šr0 ˆ2 0

ˆ 2…p…r3 58

1 3 3r †

I…bol† ˆ 43 pr3

0† ˆ 2p
23 r3 ˆ 43 pr3

) 4 3 3 pr

I…bol† ˆ 10

ˆ 10

r3 ˆ 410 3p r3 ˆ 30 4p r 3 r ˆ 30 4p r  1,3 59 I…halve bol† ˆ 12
43
p
93 ˆ 486p

I…kegel† ˆ 13
p
92
6 ˆ 162p Inhoud ˆ 486p 162p ˆ 324p

60 I…bol† ˆ 43 pr3

Z

I…deel I† ˆ

r

1 3r

py2 dx ˆ

Z

r

1 3r

p…r2

ˆ ‰p…r2 x 13 x3 †Šr1 r ˆ p …r3 13 r3 † 3 3 80 3 I…deel II) ˆ 43 pr3 28 81 pr ˆ 81 pr

x2 †dx …13 r3




1 3 81 r †

3 ˆ 28 81 pr

bladzijde 80 61

a De inhoud van de schil is ongeveer de oppervlakte van de schil maal de dikte van de schil. De inhoud van de schil is ook I…x ‡
x† I…x†.  I…schil† ˆ I…x ‡
x† I…x† ˆ
I…x† O…x†

x 
I…x† I…schil†  O…x†

x
I…x†
x 
I…x† ˆ I 0 …x†, dus O…x† ˆ I 0 …x† lim
x!0
x O…x† ˆ 4px2 I…x† ˆ 43 px3

b O…x†

x 
I…x† geeft O…x† 

62

a O…bol† ˆ 4p
102 ˆ 400p I…bol† ˆ 43 p
103 ˆ 4000 3 p b O…halve bol) ˆ 12
400p ‡ p
102 ˆ 300p

Integraalrekening

55

63

I…bol† ˆ 43 pr3

) 4 3 3 pr

I…bol† ˆ 100

ˆ 100

r3 ˆ 100 4 3p

r3 ˆ 300 4p r 3 r ˆ 300 4p r2 3 300  104,19 O…bol† ˆ 4pr2 ˆ 4p
4p p p 22 ‡ 62 ˆ 40  6,32 q q b AC ‡ BC ˆ 12 ‡ …2 12†2 ‡ 12 ‡ …3 12†2  6,33

64 a AB ˆ

Deze benadering is beter omdat AB < AC ‡ BC < boog AB. c Heleen krijgt vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden
x en
yk . q De lengte van de schuine zijde is …
x†2 ‡ …
yk †2 . 3 q X …
x†2 ‡ …
yk †2 , De som van de schuine zijden is kˆ0

3 q X …
x†2 ‡ …
yk †2 . dus booglengte AB  kˆ0

s …
yk †2 d booglengte AB  ˆ …
x†2 ‡
…
x†2 2 …
x† kˆ0 s   q   2 3 3 X X
yk …
x†2 ‡ …f 0 …xk ††2
…
x†2 . …
x†2 ‡ ˆ
…
x†2 
x kˆ0 kˆ0 3 q X …
x†2 ‡ …
yk †2 kˆ0

bladzijde 81 65

f …x† ˆ 12 x2 geeft f 0 …x† ˆ x. p Voer in y1 ˆ 1 ‡ x2 . Z 4 y1 dx  6,3357 booglengte ˆ 2

66 f …x† ˆ 2x geeft f 0 …x† ˆ 2x
ln…2†

q 1 ‡ …2x
ln…2††2 . Z 5 y1 dx  31,8893 booglengte ˆ Voer in y1 ˆ

0

bladzijde 82 67

f …x† ˆ x3

3x2 ‡ 10 geeft f 0 …x† ˆ 3x2 q Voer in y1 ˆ 1 ‡ …3x2 6x†2 . Z 2 booglengte ˆ y1 dx  4,5920 0

56 Hoofdstuk 14

6x

3 X

68 De formule van de kabel is y ˆ ax2 ‡ b.

y

Voor (0, 5) geeft b ˆ 5.  y ˆ ax2 ‡ 5 2 door …640; 160† 160 ˆ 2a
640 ‡ 5 a
640 ˆ 155 a  0,0003784 y ˆ 0,0003784x2 ‡ 5 geeft y0 ˆ 0,0007568. q Voer in y1 ˆ 1 ‡ …0,0007568x†2 Z 640 y1 dx  1328 m. lengte ˆ

160

5 O

–640

640

x

640

69

a y ˆ 4…e0;062x ‡ e 0;062x † x ˆ 20 geeft y  15,0 m Dus op een hoogte van 15,0 m. b y0 ˆ 4…0,062e0;062x 0,062e 0;062x † ˆ 0,248e0;062 0,248e 0;062 q Voer in y1 ˆ 1 ‡ …0,248e0;062x 0,248e 0;062x †2 Z 20 y1 dx  43,2 m booglengte ˆ 20 Z 20 c oppervlakte ˆ 4…e0;062x ‡ e 0;062x †dx  409 m2

y

–20

O

20

x

20

Diagnostische toets bladzijde 86 1

a 100 rechthoekjes tussen 1 en 6 Voor ondersom: 1,05 1,10 1,15 ... geeft de rij xn ˆ 1,05 ‡ 0,05n . 99 X 10 Ondersom ˆ 0,05
 8,0944 …1,05 ‡ 0,05n†2 nˆ0 Voor bovensom: 1 1,05 1,10 ... geeft de rij xn ˆ 1 ‡ 0,05n. 99 X 10 Bovensom ˆ 0,05
 8,5805 …1 ‡ 0,05n†2 nˆ0 Dus 8,0944  O…V †  8,5805. b 500 rechthoekjes tussen 1 en 6. 1,005 1,015 1,025 ... geeft de rij xn ˆ 1,005 ‡ 0,01n. 499 X 10 O…V †  0,01
 8,3333 …1,005 ‡ 0,001n†2 nˆ0 Z 6 10 dx  8,3333 c O…V † ˆ 2 1 x

Integraalrekening

57

2

p p x ˆ 2 geeft x ˆ 2 x x ˆ 4 4x ‡ x2 x2 5x ‡ 4 ˆ 0 …x 1†…x 4† ˆ 0 xˆ1_xˆ4 xˆ1 v.n. Z 1 p …x ‡ x†dx  0,8333 O…W † ˆ 1
2

x‡

y ƒ

y=2

W

0

O

3

x

1

x2 ˆ x ‡ 3 x‡6ˆ0 x 2 x ‡x 6ˆ0 …x ‡ 3†…x 2† ˆ 0 x‡3ˆ0_x 2ˆ0 xˆ 3_xˆ2 Z 2
…9 x2 † …x ‡ 3† dx O…V † ˆ 3 Z 2 … x2 x ‡ 6†dx  20,83 ˆ 9

y

2

ƒ

y=x+3

V

3

O

–3

Z 4

5

O…paarse gebied† ˆ

0

3

j 13 x3

2xjdx  3,75

p a Voer in y1 ˆ 2x x en y2 ˆ ln…x†. De optie intersect geeft x  0,63. Z 1 I p…y21 y22 †dx  0,572

y ƒ

V

0;63

W O

0,63

b y1 ˆ 0 De optie zero geeft x ˆ 0 en x ˆ 0,25. Z 1 Z 0;63 py21 dx ‡ py22 dx  0,080 ‡ 0,074  0,154 I…W †  0;25

6

x

2

a f …x† ˆ x2

x

1

g x=1

0;63

6 geeft F …x† ˆ 13 x3

6x ‡ c

b g…x† ˆ 6 ‡22x ˆ 6x 2 ‡ 2 geeft G…x† ˆ 6x 1 ‡ 2 lnjxj ‡ c ˆ 6 ‡ lnjxj ‡ c x x x 6x‡1 1 6x‡1 5 6x‡1 c h…x† ˆ 5e geeft H…x† ˆ 5
6 e ‡ c ˆ 6e ‡c 2 geeft J…x† ˆ 2
13 lnj3x ‡ 4j ‡ c ˆ 23 ln j3x ‡ 4j ‡ c 3x ‡ 4 e k…x† ˆ 6 ln…x† geeft K…x† ˆ 6…x ln…x† x† ‡ c ˆ 6x ln…x† 6x ‡ c d j…x† ˆ

x

‡ 1 ˆ 2e f l…x† ˆ 2e 3x e

58 Hoofdstuk14

2x

‡e

3x

geeft L…x† ˆ 2
1 e 2

2x

‡ 1 e 3

3x

‡cˆ

e

2x

1 3x 3e

‡c

bladzijde 87 7

2 a f …x† ˆ x ‡ 1 ˆ x ‡ 1 geeft F …x† ˆ 1 x2 ‡ lnjxj ‡ c 2 x x door …1; e†

Dus F …x† ˆ 12 x2 Z 2 2

) e ˆ 12 ‡ ln…1† ‡ c 1 2

e

1 2.

‡ lnjxj ‡ e Z 2  x ‡ 1 dx ˆ b O…V † ˆ x ‡ 1 dx ˆ ‰12 x2 ‡ ln…x†Š21 x x 1 1 ˆ …2 ‡ ln…2†† 12 ˆ 1 12 ‡ ln…2† 2 c x ‡1ˆ 2 x x 2 x ‡1ˆ2 x2 ˆ 1 xˆ 1_xˆ1 v.n. !  2 Z 2  2 2 x ‡ 1 2 Iˆ p
p
dx x x 1  Z 2 4 2 ˆ p
x ‡ 2x2 ‡ 1 p
42 dx x x 1 Z 2 p…x2 ‡ 2 ‡ x 2 4x 2 †dx ˆ 1 Z 2 ˆ p…x2 ‡ 2 3x 2 †dx ˆ ‰p…13 x3 ‡ 2x ‡ 3x 1 †Š21

ˆc

y ƒ

W 1

g O

x

1

x=2

1

h  i2 ˆ p 13 x3 ‡ 2x ‡ 3 ˆ p 83 ‡ 4 ‡ 32† p…13 ‡ 2 ‡ 3† ˆ 17 6 p x 1 Z 1 …x ‡ e x †dx  5,521 8 O…V † ˆ 2 Z p …x ‡ e x †dx ˆ ‰12 x2 e x Šp 2 O…deel 1† ˆ 2

ˆ …12 p2

e p†

…2

e2 † ˆ 12 p2

O…deel I† ˆ 12 O…V † geeft

1 2 2p

p

e e

p

‡ e2

‡ e2

2 2 ˆ 2,76

Voer in y1 ˆ 12 x2 e x ‡ e2 2 en y2 ˆ 2,76. De optie intersect geeft x  1,213, dus p  1,213. 9

a

p 8x x2 ˆ 0 geeft x ˆ 0 _ x ˆ 8. De straal van de bol is 4. O…bol† ˆ 4p
42 ˆ 64p

y

I…bol† ˆ 43 p
43 ˆ 256 3 p O

4

8

Integraalrekening

x

59

Z 2 p b I…segment† ˆ p… 8x x2 †2 dx 0 Z 2 ˆ p…8x x2 †dx ˆ ‰p…4x2 13 x3 †Š20 0

ˆ p…16 83† p
0 ˆ 13 13 p c Zie de figuur. p p r ˆ AD ˆ 42 22 ˆ 12 hˆ6 p I ˆ 13 p
6
… 12†2 ˆ 24p

y C

4

O 4

A

10

x2 ‡ 2x ˆ 0 x…x ‡ 2† ˆ 0 xˆ0_xˆ 2 y ˆ x2 ‡ 2x geeft y0 ˆ 2x ‡ 2 Z 0 q 1 ‡ …2x ‡ 2†2 dx  2,96 booglengte ˆ 2

11

‡ ex geeft y0 ˆ e x ‡ ex Z 5 q 1 ‡ … e x ‡ ex †2 dx  294 cm lengte ˆ yˆe

x

5

60 Hoofdstuk14

r

x

M 2 D

B

y y = x 2 + 2x

–2

O

x

hoofdstuk

15

Afgeleide en tweede afgeleide

bladzijde 88

j v…0† ˆ 54 km/u ˆ 15 m/s. De oppervlakte onder de grafiek van v is 0,45. 1 2
15
t ˆ 0,45 tˆ

V 15

0,45 ˆ 0,06 s 7,5

j a ˆ 15 ˆ 250 m/s2 0,06

0,45

j ongeveer 250  25,5 keer zo groot 9,8 1 j 2
15
t ˆ 1,20 t ˆ 0,16 s

t

O

a ˆ 15 ˆ 93,75 m/s2 0,16 De versnelling is met

250

93,75  100% ˆ 62,5% afgenomen. 250

15.1 Raaklijnen aan krommen bladzijde 90 1

a rck ˆ


y yp ˆ
x xp

0 ep ˆ 0 p

b y ˆ ex geeft y0 ˆ ex   dy rck ˆ ˆ ep dx xˆp p c e ˆ ep p

1ˆ1 p pˆ1 dus P…1; e† rck ˆ e Raaklijn door O, dus k: y ˆ ex.

Afgeleide en tweede afgeleide

61

2

a rcl ˆ


y yQ … 2† eq ‡ 2 ˆ ˆ xQ 0 q
x

b f …x† ˆ ex geeft f 0 …x† ˆ ex rcl ˆ f 0 …q† ˆ eq q Dus rcl ˆ e ‡ 2 en rcl ˆ eq . q

eq ‡ 2 ˆ eq q q Voer in y1 ˆ e ‡ 2 en y2 ˆ eq . q De optie intersect geeft x  1,46 dus q  1,46. c rcl ˆ f 0 …1,46†  4,32 Door A…0; 2†, dus l: y ˆ 4,32x 2.

3

9 a rcm ˆ f 0 …p† = f …p†
y f …p† f 0 …p† ˆ rcm ˆ ˆ ; p p
x b f …x† ˆ ln…x† geeft f 0 …x† ˆ 1 x f …p† f 0 …p† ˆ p 1 ˆ ln…p† p p ln…p† ˆ 1 pˆe yp ˆ f …e† ˆ 1 dus P…e; 1† rcm ˆ f 0 …e† ˆ 1, dus m: y ˆ 1 x. e e

bladzijde 93 4

f …x† ˆ

p 1  x geeft f 0 …x† ˆ p 2 x

f …x† Raaklijn door A… 4; 0†, dus x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ . x‡4 p x 1  ˆ p Dit geeft 2 x x‡4 2x ˆ x ‡ 4 xˆ4 f …4† ˆ 2 dus B ˆ …4; 2† rck ˆ f 0 …4† ˆ 14  Stel k: y ˆ 14 x ‡ b 0ˆ 1‡b door A… 4; 0† 1ˆb Dus k: y ˆ 14 x ‡ 1.

62 Hoofdstuk 15

5

a f …x† ˆ x2 ‡ 1 geeft f 0 …x† ˆ 2x f …x† . Raaklijnen door O, dus x-coo«rdinaten van de raakpunten volgen uit f 0 …x† ˆ x 2 Dit geeft 2x ˆ x ‡ 1 x 2x2 ˆ x2 ‡ 1 x2 ˆ 1 xˆ1_xˆ 1 0 rck ˆ f …1† ˆ 2, dus k: y ˆ 2x rcl ˆ f 0 … 1† ˆ 2, dus l: y ˆ 2x. b Raaklijnen door A…1; 0†, dus x-coo«rdinaten van de raakpunten volgen uit f 0 …x† ˆ

f …x† . x 1

2

2x ˆ x ‡ 1 x 1 2 2x ˆ x2 ‡ 1 2x 2 2x 1 ˆ 0 x p p 2‡ 8 2 8 _xˆ xˆ 2 2 p p xˆ1‡ 2_xˆ1 2 p p p p f …1 ‡ 2† ˆ …1 ‡ 2†2 ‡ 1 ˆ 1 ‡ 2 2 ‡ 2 ‡ 1 ˆ 4 ‡ 2 2 p p p p 2 f …1 2† ˆ …1 2† ‡ 1 ˆ 1 2 2 ‡ 2 ‡ 1 ˆ 4 2 2 p p p p De raakpunten zijn …1 ‡ 2; 4 ‡ 2 2† en …1 2; 4 2 2†: Dit geeft

6

a

y

ƒ

x

O

f 0 …x† ˆ

x
2 x

…2 ‡ 2 ln…x††
1 x2

ˆ

2

2

2 ln…x† ˆ x2

2 ln…x† x2

f 0 …x† ˆ 0 geeft

2 ln…x† ˆ 0 ln…x† ˆ 0 xˆ1 max. is f …1† ˆ 2 Bf ˆ h ; 2Š b Raaklijn door O, dus x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ

f …x† . x

2 ln…x† 2 ‡ 2 ln…x† ˆ x2 x2 2 ln…x† ˆ 2 ‡ 2 ln…x† 4 ln…x† ˆ 2 ln…x† ˆ 12 1 xˆe 2 2
12 1 rck ˆ f 0 …e 2 † ˆ ˆ e, dus k: y ˆ ex. e 1 Dit geeft

Afgeleide en tweede afgeleide

63

c

y

y = ex y = ax ƒ

O

x

2 ‡ 2 ln…x† ˆ ax heeft twee oplossingen voor 0 < a < e. x 7

a f …x† ˆ …2x ‡ 1†ex geeft f 0 …x† ˆ 2ex ‡ …2x ‡ 1†ex ˆ …2x ‡ 3†ex Raaklijnen door O, dus de x-coo«rdinaten van de raakpunten volgen uit f 0 …x† ˆ …2x ‡ 3†ex ˆ

f …x† . x

…2x ‡ 1†ex x

2x ‡ 3 ˆ 2x ‡ 1 x 2 2x ‡ 3x ˆ 2x ‡ 1 2x2 ‡ x 1 ˆ 0 x2 ‡ 12 x 12 ˆ 0 …x ‡ 1†…x 12† ˆ 0 x ˆ 1 _ x ˆ 12 ˆ 1 dus raaklijn 1: y ˆ 1 x e e p p 1 rc2 ˆ f 0 …12† ˆ 4e2 ˆ 4 e dus raaklijn 2: y ˆ 4 e x b Zie de figuur. …2x ‡ 1†ex ˆ ax heeft twee oplossingen p als 0 < a < 1 of a > 4 e e c Raaklijn door A…1; 1†, dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt f …x† 1 . volgt uit f 0 …x† ˆ x 1 Voer in y1 ˆ …2x ‡ 3†ex en …2x ‡ 1†ex 1 . y2 ˆ x 1 De optie intersect geeft x  0,75. f … 0,75†  0,24 dus P… 0,75; 0,24†. rc1 ˆ f 0 … 1† ˆ e

64 Hoofdstuk15

1

y y = 4 ex

1

y = ex

ƒ O

y = ax x

8

x geeft f 0 …x† ˆ 1
ln…x† ‡ x
1 x

a f …x† ˆ x ln…x†

1 ˆ ln…x†

Raaklijn door A…0; e2 †, dus x-coo«rdinaat raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ ln…x† ˆ

f …x† ‡ e2 . x

x ‡ e2

x ln…x† x

x ln…x† ˆ x ln…x† x ‡ e2 x ˆ e2 rck ˆ f 0 …e2 † ˆ ln…e2 † ˆ 2  Stel k: y ˆ 2x ‡ b e2 ˆ b door A…0; e2 † Dus k: y ˆ 2x e2 . b

y ƒ (x ) = x ln(x ) – x

raaklijn door (b, –1)

x

O

(b, –1)

y = –1

f 0 …x† ˆ ln…x† f 0 …x† ˆ 0 geeft x ˆ 1 dus …1; f …1†† ˆ …1; 1† is de top. Voor b  1 is er geen raaklijn door B…b; 1† aan de grafiek te trekken met 0 < rcrkl < 1. f 0 …x† ˆ 1 ln…x† ˆ 1 xˆe f …e† ˆ e e ˆ 0. Dus de raaklijn door (e, 0) heeft rc ˆ 1. De vergelijking van deze raaklijn is y ˆ x e. De raaklijn door (e, 0) snijden met y ˆ 1 geeft x eˆ 1 x ˆ e 1. De raaklijn door …e 1; 1† aan de grafiek van f heeft rc ˆ 1. Dus b > 1 en b < e 1 ofwel 1 < b < e 1. f …x† . c Raaklijn door C…3; 0† dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ x 3 x ln…x† x . Voer in y1 ˆ ln…x† en y2 ˆ x 3 De optie intersect geeft x  4,54 en x  1,86. Raaklijn 1. rc  f 0 …4; 54† ˆ ln…4; 54†  1,51  Stel y ˆ 1,51x ‡ b 0 ˆ 1,51
3 ‡ b door …3; 0† 4,54 ˆ b Dus y ˆ 1,51x

4,54.

Afgeleide en tweede afgeleide

65

Raaklijn 2. rc  f 0 …1,86† ˆ ln…1,86†  0,62  Stel y ˆ 0,62x ‡ b 0 ˆ 0,62
3 ‡ b door …3; 0† 1,86 ˆ b Dus y ˆ 0,62x

1,86.

9

y

2

1

ƒ (x ) = x e1 – x –2

–1

O

1

2

x

–1

–2

De lijn y ˆ a…x ‡ 12† heeft rc ˆ a en gaat door … 12 ; 0†. Uit de schets is af te lezen dat f …x† ˆ a…x ‡ 12† precies e¨e¨n oplossing heeft als a  0 of als de lijn y ˆ a…x ‡ 12† raakt aan de grafiek van f . f …x† ˆ xe1 x geeft f 0 …x† ˆ x
… e1 x † ‡ 1
e1 x ˆ …1 x†e1 x . Raaklijn door … 12 ; 0†. De x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit: f …x† f 0 …x† ˆ x … 12† …1

x†e1

1

x

1 x

ˆ xe 1 x‡2

xˆ x 1 x ‡ 12 x ˆ x x2 ‡ 12 12 x x2 ‡ 12 x 12 ˆ 0 …x ‡ 1†…x 12† ˆ 0 x ˆ 1 _ x ˆ 12 p a ˆ f 0 … 1† ˆ 2e2 _ a ˆ f 0 …12† ˆ 12 e p Conclusie: a  0 _ a ˆ 12 e _ a ˆ 2e2 .

66 Hoofdstuk 15

bladzijde 94 10

a

3e raaklijn y

2e raaklijn

ƒ A

x

O

1e raaklijn is de x-as. 2e raaklijn: zie figuur. 3e raaklijn: zie figuur. (lijn doortrekken). b Punt B: e¨e¨n raaklijn, de x-as. Punt C: geen raaklijnen. Punt D: twee raaklijnen. Zie schets. y

ƒ

D 1e raaklijn 2e raaklijn x

O

Punt E: e¨e¨n raaklijn. (zie schets). y

ƒ x

O

E

Afgeleide en tweede afgeleide

67

c Er zijn drie punten op de x-as van waaruit je precies twee raaklijnen aan de grafiek kunt tekenen. Het eerste punt is O. De eerste raaklijn is de x-as. De tweede raaklijn staat in de schets. y

2e raaklijn

ƒ x

O

Het tweede punt is het snijpunt A van de raaklijn in het linker buigpunt van de grafiek van f met de x-as. De twee raaklijnen zijn de buigraaklijn en de x-as. Zie de schets hieronder y

ƒ O

x

A

Het derde punt is het snijpunt B van de raaklijn in het rechter buigpunt van de grafiek van f met de x-as. De twee raaklijnen zijn de buigraaklijn en de x-as. Zie de schets hieronder y C

ƒ O

B

x

d Zie de schets hierboven Vanuit C is precies e¨e¨n raaklijn aan de grafiek van f te tekenen.

68 Hoofdstuk 15

11

Vgem ˆ

p3 ‡ 6p2 ˆ p

Vgem

p2 ‡ 6p

dVgem ˆ 2p ‡ 6 dp dVgem ˆ 0 geeft 2p ‡ 6 ˆ 0 dp 2p ˆ 6 pˆ3 De gemiddelde snelheid is maximaal 9 m/s ˆ 32,4 km/u voor p ˆ 3. 12

O

3

p

2

a N ˆ 1000e 0;05…t 11† t ˆ 4 geeft N ˆ 1000e b dN ˆ 1000e dt

0;05…t 11†

2




0;05
…4 11†2

0,1…t

 86

11† ˆ

100…t

11†e

0;05…t 11†2

dN ˆ 0 geeft t ˆ 11 dt N

O

2

11

t Ngem

Het aantal nieuwe besmettingen is maximaal op dag 11. 0;05…t 11†2

c Het gemiddelde aantal is Ngem ˆ N ˆ 1000e t t Voer in y1 ˆ 1000e

.

0;05…x 11†2

. x De optie maximum geeft x ˆ 10 en y ˆ 95. Dus Ngem is maximaal voor t ˆ 10.

O

2

20

t

bladzijde 95 13

1 geeft 1 ‡ 24e 0;2t 0;02t †
0 1
24
e 0;2t
… 0,2† 4,8e 0;2t dH ˆ …1 ‡ 24e ˆ dt …1 ‡ 24e 0;2t †2 …1 ‡ 24e 0;2t †2 dH > 0 voor elke waarde van t, dus H is een stijgende functie. dt

a Hˆ

b Voor grote waarden van t nadert e

0;2t

naar 0.

1 De grenswaarde van H is dus ˆ1 1 ‡ 24
0 c 9500 m3 op 10 000 m2 dus H ˆ 0,95.

dH dt

1 en y2 ˆ 0,95 1 ‡ 24e 0;2x De optie intersect geeft x  30,6, dus na 31 jaar.

Voer in y1 ˆ

4,8e 0;2x . O …1 ‡ 24e 0;2x †2 De optie maximum geeft x ˆ 15,9 en y ˆ 0,05, dus na 16 jaar.

d Voer in y1 ˆ

Afgeleide en tweede afgeleide

20

t

69

e t ˆ 6 geeft H  0,12. De gemiddelde toename 

0,12 ˆ 0,02 m3 /jaar. 6

f Hgem ˆ H moet maximaal zijn. t

H t

1 . x…1 ‡ 24e 0;2x † De optie maximum geeft x  22,0 en y  0,035. De gemiddelde toename is maximaal voor t ˆ 22. De maximale opbrengst is 10 000
22
0,035  7729 m3 .

Voer in y1 ˆ

15.2 Rakende grafieken

O

30

bladzijde 96 14

a f …1† ˆ 0,5
12 ‡ 1 ‡ 1,5 ˆ 3 g…1† ˆ 12 ‡ 4
1 ˆ 3

 A…1; 3† ligt op de grafiek van f en op de grafiek van g:

b f …x† ˆ 0,5x2 ‡ x ‡ 1,5 geeft f 0 …x† ˆ x ‡ 1. Stel k: y ˆ ax ‡ b met a ˆ f 0 …1† ˆ 2  k: y ˆ 2x ‡ b 3ˆ2‡b door A…1; 3† 1ˆb Dus k: y ˆ 2x ‡ 1. g…x† ˆ x2 ‡ 4x geeft g0 …x† ˆ 2x ‡ 4 Stel l: y ˆ ax ‡ b met a ˆ g0 …1† ˆ 2.  l: y ˆ 2x ‡ b 3ˆ2‡b door A…1; 3† 1ˆb Dus l: y ˆ 2x ‡ 1. c A is het punt waar de raaklijnen aan de grafieken van f en g samenvallen. bladzijde 98 15

a De grafiek van gp …x† ˆ px is een raaklijn van de grafiek van f die door O gaat. f …x† . Raaklijn door O, dus x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ x x ln…x† Dit geeft 1 1 ˆ x x x 1 ˆ x ln…x† ln…x† ˆ 1 xˆe 1, dus p ˆ 1 1. e e f …e† ˆ e ln…e† ˆ e 1, dus het raakpunt is (e, e 1). p Dit lukt niet bij het andere voorbeeld omdat de grafiek van gp …x† ˆ p x geen rechte lijn is.

rcrkl ˆ f 0 …e† ˆ 1

70 Hoofdstuk 15

t

b Uit x

p p ln…x† ‡ 2 ˆ p x volgt p x ˆ x p ˆ px x p pˆ x

Uit 1

p 1ˆ p  volgt x 2 x

p p ˆ 1 2 x p pˆ2 x

1 x p 2 x x

p pˆ2 x

p2 x

ln…x† ‡ 2 ln…x† p ‡ p2 x x ln…x† p ‡ p2 x x

p ln…x† p ‡ p2 en y2 ˆ 2 x p2. x x x De optie intersect geeft x  2,93 en y  2,25. Dus p  2,25. Het voordeel van deze aanpak is dat hierbij formules te voorschijn komen die op de GR zijn in te voeren en waarbij p rechtstreeks is te berekenen. Voer in y1 ˆ

p x

16

f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x† geeft x2 ‡ 8x 12 ˆ x2 ‡ px ^ 2x ‡ 8 ˆ 2x ‡ p x2 ‡ 8x 12 ˆ x2 ‡ px ^ 4x ‡ 8 ˆ p x2 ‡ 8x 12 ˆ x2 ‡ … 4x ‡ 8†x x2 ‡ 8x 12 ˆ x2 4x2 ‡ 8x 2x2 ˆ 12 x2 ˆ 6 p p xˆ 6_xˆ 6  p p xˆ 6 pˆ 4 6‡8 p ˆ 4x ‡ 8  p p xˆ 6 pˆ4 6‡8 p ˆ 4x ‡ 8

17

f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x† x ex ˆ x2 ‡ px ^ 1 ex ˆ 2x ‡ p px ˆ x ex x2 ^ p ˆ 1 ex 2x pˆ1

ex x

x^pˆ1

ex

2x

ex x en y ˆ 1 ex 2x. 2 x De optie intersect geeft x  0,883 en y  2,351 en x  0,739 en y  Dus p  2,351 _ p  2,572.

Voer in y1 ˆ 1

2,572.

ALTERNATIEVE UITWERKING

f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x† x ex ˆ x2 ‡ px ^ 1 ex ˆ 2x ‡ p x ex ˆ x2 ‡ px ^ 1 ex 2x ˆ p x ex ˆ x2 ‡ …1 ex 2x†
x x ex ˆ x2 ‡ x xex 2x2 x2 ˆ ex xex

Afgeleide en tweede afgeleide

71

Voer in y1 ˆ x2 en y2 ˆ ex x ex . De optie intersect geeft x  0,739 en x   x  0,739 p  2,572 p ˆ 1 ex 2x  x  0,883 p  2,351 p ˆ 1 ex 2x 18

0,883.

a f3 …x† ˆ gq …x† ^ f30 …x† ˆ g0q …x† 2 ln…x† ‡ 3x ˆ x2 ‡ q ^ 2 ‡ 3 ˆ 2x x 2 ln…x† ‡ 3x x2 ˆ q ^ 2 ‡ 3x ˆ 2x2 2 ‡ 3x ˆ 2x2 2x2 3x 2 ˆ 0 x2 1 12 x 1 ˆ 0 …x 2†…x ‡ 12† ˆ 0 x ˆ 2 _ x ˆ 12 v.n.  xˆ2 q ˆ 2 ‡ 2 ln…2† q ˆ 2 ln…x† ‡ 3x x2 b fp …x† ˆ g2 …x† ^ fp0 …x† ˆ g02 …x† 2 ln…x† ‡ px ˆ x2 ‡ 2 ^ 2 ‡ p ˆ 2x x px ˆ x2 ‡ 2

2 ln…x† ^ p ˆ 2x

2 x

2 ln…x† ^ p ˆ 2x 2 x x 2 ln…x† en y2 ˆ 2x 2. Voer in y1 ˆ x ‡ 2 x x x De optie intersect geeft x  1,711 en y  2,252. Dus p  2,252. pˆx‡2 x

ALTERNATIEVE UITWERKING

fp …x† ˆ g2 …x† ^ fp0 …x† ˆ g02 …x† 2 ln…x† ‡ px ˆ x2 ‡ 2 ^ 2 ‡ p ˆ 2x x 2 ln…x† ‡ px ˆ x2 ‡ 2 ^ p ˆ 2x  2 ln…x† ‡ 2x

 2
x ˆ x2 ‡ 2 x 2 ˆ x2 ‡ 2

2 x

2 ln…x† ‡ 2x2 2 ln…x† ˆ 4 x2 Voer in y1 ˆ 2 ln…x† en y2 ˆ 4 x2 . De optie intersect geeft x  1,711 ) x  1,711 p  2,252 p ˆ 2x 2 x

72 Hoofdstuk15

bladzijde 99 19

a fp …x† ˆ 0 ^ fp0 …x† ˆ 0 2 2 ex ‡p ‡ x ˆ 0 ^ ex ‡p
2x ‡ 1 ˆ 0 2 2 ex ‡p ˆ x ^ ex ‡p
2x ‡ 1 ˆ 0 x
2x ‡ 1 ˆ 0 2x2 ‡ 1 ˆ 0 x2 ˆ 12 q q 1 x ˆ 12 _ x ˆ 2 ) x2 ‡p q ˆ x e q 1 1 e2‡p ˆ 2 x ˆ 12 geen oplossing ) 2 q ex ‡p ˆqx 1 1 2‡p ˆ e 1 2 xˆ q 2 1 1 ‡ p ˆ ln… 2 2†  q p ˆ 12 ‡ ln… 12† q 1 Het raakpunt is … 2; 0†. b f 2 …x† ˆ gq …x† ^ f 0 2 …x† ˆ g0q …x†
2x ‡ 1 ˆ 1 x 2 x2 2 ln…x† ˆ q ^ 2x e ‡xˆ1

ex

2

2

‡ x ˆ ln…x† ‡ q ^ ex

ex

2

2

‡x

2

2

2

Voer in y1 ˆ 2x2 ex 2 ‡ x en y2 ˆ 1. De optie intersect geeft x  0,742 en x  1,280 v.n.  x  0,742 2 q  1,275 q ˆ ex 2 ‡ x ln…x† 20

rcl ˆ


y ˆ
x

1 a

bladzijde100 21

fp …x† ˆ g…x† ^ fp0 …x†
g…x† ˆ p p p x ˆ 8 ^ p
28 ˆ 1 x 2 x x p 2 8  ^ p ˆ x x pˆ p 4 x x p 2 8  ˆ x x p 4 x x

1 geeft

x4 ˆ 32 p p p 1 x ˆ 4 32 ˆ 214 ˆ 2 4 2 _ x ˆ 4 32 voldoet niet

 8 8  ˆ 8 ˆ 23 ˆ 23 ˆ 2118 ˆ 2p 2 pˆ p 1 1 15 1 x x x12 …214 †12 2 8 p  p 3 3 4 g…2 4 2† ˆ 811 ˆ 211 ˆ 214 ˆ 2 8 4 2 4 2p  p Het snijpunt is …2 4 2; 2 4 8†.

Afgeleide en tweede afgeleide

73

22

a f …x† ˆ x2 4x geeft f 0 …x† ˆ 2x 4. f 0 …5† ˆ 10 4 ˆ 6 rck
6 ˆ 1 dus rck ˆ 1.  6 Stel k: y ˆ 16 x ‡ b 5 ˆ 56 ‡ b door A…5; 5† 5 56 ˆ b 1 5 Dus k: y ˆ 6 x ‡ 5 6. b g…x† ˆ 5x ‡ p ^ g0 …x†
rcl ˆ 1 2x 1 ˆ x‡2

5
5ˆ 1 …x ‡ 2†2 25 ˆ 1 ^ …x ‡ 2†2 …x ‡ 2†2 ˆ 25 x‡2ˆ5_x‡2ˆ xˆ3_xˆ 7

5x ‡ p ^

p ˆ 5x ‡ 2x 1 x‡2

xˆ3 p ˆ 5x ‡ 2x 1 x‡2 xˆ 7 p ˆ 5x ‡ 2x 1 x‡2

)

p ˆ 15 ‡ 5 ˆ 16 5

)

Dus p ˆ 16 _ p ˆ

5

35 ‡ 15 ˆ 5

pˆ 32.

32

p x2 ‡ 4
2

1 2x
p
2x 2 2 x 2x c h…x† ˆ p geeft h0 …x† ˆ p 2 ‡ 4 x2 ‡ 4 … x2 ‡ 4† p 2x2 2 x2 ‡ 4 p 2 2x2 x2 ‡ 4 ˆ 2…x ‡ 4† 8p p  ˆ ˆ x2 ‡ 4 …x2 ‡ 4† x2 ‡ 4 …x2 ‡ 4† x2 ‡ 4 h…x† ˆ

8x ‡ q

2x ˆ p x2 ‡ 4

^ h0 …x†
rcm ˆ

1

8p
…x2 ‡ 4† x2 ‡ 4 64 ˆ 1 ^ 1 2 …x ‡ 4†12

8x ‡ q ^

2x q ˆ 8x ‡ p x2 ‡ 4

8ˆ

1

1

…x2 ‡ 4†12 ˆ 64 x2 ‡ 4 ˆ 16 x2 ˆ 12 p p x ˆ 12 _ x ˆ 12 9 p p  = x ˆ 12 p p 12 ˆ 8 1 p q ˆ 8 12 ‡ 2p 12 ˆ 17 3 2x 2 q ˆ 8x ‡ p ; 16 x2 ‡ 4 9 p p = xˆ 12 p p p 2 p12 ˆ 8 1 12 ˆ 17 3 q ˆ 8 12 ‡ 2x q ˆ 8x ‡ p ; 2 16 x2 ‡ 4

74 Hoofdstuk 15

23

k: y ˆ 1 2x x 2ex

1 2

1 2x

1 2 2

ˆ …x

1 ˆ x2 2ex

snijdt de grafiek van fp …x† ˆ …x2 1 0 p†ex ^ 1 2
fp …x† ˆ p

p†ex loodrecht

^ fp0 …x† ˆ 2

p ˆ x2 ‡ xx ‡ 1x 2e 2e

^ …x2 ‡ 2x

p ˆ x2 ‡ x ‡x1 2e

^ x2 ‡ 2x

p ˆ x2 ‡ x ‡x1 2e

^ p ˆ x2 ‡ 2x

p†ex ˆ 2 p ˆ 2x e 2 ex

Voer in y1 ˆ x2 ‡ x ‡x1 en y2 ˆ x2 ‡ 2x 2x . 2e e De optie intersect geeft x  0,7048 en y  0,918 en x   x  0,705 y  0,852 y ˆ 12 x 12  x  5,122 y  2,061 y ˆ 12 x 12

5,122 en y 

319,407

Dus A…0,70; 0,85† of A… 5,12; 2,06†. ALTERNATIEVE UITWERKING

fp …x† ˆ …x2 p†ex geeft fp0 …x† ˆ 2x ex ‡ …x2 p†ex ˆ …x2 ‡ 2x fp …x† ˆ 12 x 12 ^ fp0 …x†
rck ˆ 1 …x2 p†ex ˆ 12 x 12 ^ …x2 ‡ 2x p†ex
12 ˆ 1 x2 ex p ex ˆ 12 x 12 ^ …x2 ‡ 2x p†ex ˆ 2 p ex ˆ x2 ex 12 x 12 ^ x2 ex ‡ 2x ex p ex ˆ 2 p ex ˆ x2 ex ‡ 12 x ‡ 12 ^ p ex ˆ x2 ex ‡ 2x ex 2 x2 ex ‡ 12 x ‡ 12 ˆ x2 ex ‡ 2x ex 2 2x ex 12 x 2 12 ˆ 0 Voer in y1 ˆ 2x ex 12 x 2 12. De optie zero geeft x  0,70 en x  5,12.  xA  0,70 yA  0,85 yA ˆ 12 xA 12  xA  5,12 yA  2,06 yA ˆ 12 xA 12

p†ex

Dus A…0,70; 0,85† of A… 5,12; 2,06†. bladzijde101 24

a f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x† p p ^ 3x2 1 ˆ 2 x x x4 x2 ˆ p ^ 3x4 x2 ˆ p p ˆ x4 x2 ^ p ˆ 3x4 ‡ x2 x4 x2 ˆ 3x4 ‡ x2 4x4 2x2 ˆ 0 x2 …4x2 2† ˆ 0 x2 ˆ 0 _ 4x2 ˆ 2 x ˆ 0 _ x2 ˆ 12 q q 1 x ˆ 0 _ x ˆ 12 _ x ˆ 2 x3

xˆ

v.n.

Afgeleide en tweede afgeleide

75

) q x ˆ 12 p ˆ 14 12 ˆ 14 p ˆ x4 x2 q ) 1 xˆ 2 p ˆ 14 12 ˆ 14 p ˆ x4 x2 ) q q q q x ˆ 12 1 ˆ 12 12 yA ˆ 12 12 2 yA ˆ x3A xA ) q q q q 1 xˆ 2 yA ˆ 12 12 ‡ 12 ˆ 12 12 yA ˆ x3A xA q q q q 1 1 1 Dus A… 12; 12 12† of A… 2; 2 2† en p ˆ b f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x†
g0p …x† ˆ x3 x4

p xˆ x x2 ˆ p

^ …3x2

ˆ 1 x2 ^ p…3x2 1† ˆ x2 …x4 x2 †…3x2 1† ˆ x2 …x2 1†…3x2 1† ˆ 1 3x4 4x2 ‡ 1 ˆ 1 3x4 4x2 ˆ 0 3x2 …x2 43† ˆ 0 x ˆ p _ x2 ˆ 43 v.n. q q 4 4 xˆ _ x ˆ 3 3 p ˆ 16 9

1†


1

p

4 3

ˆ 49

p ˆ 16 9

4 3

ˆ 49

Dus g…x† ˆ 4 . 9x r p  q  4 4 3 ˆ 4
3 ˆ 2 p3 4  q g
ˆ ˆ 3 4 9 2 9 9
43 9 q  p 4 2 g 3 ˆ 9 3 Dus B…

76 Hoofdstuk15

q p q 4 2 4 3 † of B… ; 3 9 3;

2 9

p 3† en p ˆ 49.

1 4.

15.3 Buigpunten bladzijde 102 25

a

y

ƒ –3

O

x

2

b De optie maximum geeft x ˆ 2 en y ˆ 10 13. De optie minimum geeft x ˆ 3 en y ˆ 10 12. dalend op h ; 3i en h2; !i stijgend op h 3; 2i toenemend stijgend op h 3; 12i afnemend stijgend op h 12 ; 2i c f 0 …x† ˆ x2 x ‡ 6 y

ƒ'

d xp ˆ

–3

O

3‡2ˆ 2

1 2

x

2

e Bij x ˆ xp gaat de grafiek over van toenemend stijgend in afnemend stijgend. 26

a g…x† ˆ 16 x3

1 12 x2 ‡ 2 12 x geeft g0 …x† ˆ 12 x2

3x ‡ 2 12

x

1

0

1

2

3

4

5

g…x†

4 16

0

1 16

1 3

1 12

3 13

4 16

g0 …x†

6

2 12

0

2

1 12

0

1 12

6

7

3

1 16

2 12

6

Afgeleide en tweede afgeleide

77

b

y

g x

O

c De raaklijnen raken aan de bovenkant voor x < 3. d De overgang vindt plaats in …3; 1 12†. e onder boven bladzijde104 26

Kim gebruikt de formule g log…an † ˆ n
g log…a† p 1 Uit deze formule volgt ln… 2† ˆ ln…22 † ˆ 12 ln…2†.

bladzijde105 27

f …x† ˆ x ex geeft f 0 …x† ˆ 1
ex ‡ x ex ˆ …1 ‡ x†ex f 00 …x† ˆ 1
ex ‡ …1 ‡ x†ex ˆ …2 ‡ x†ex f 00 …x† ˆ 0 geeft …2 ‡ x†ex ˆ 0 2‡xˆ0 xˆ 2 f … 2† ˆ

2e

2

ˆ

2 e2

1 e2 9 Stel k: y ˆ 12 x ‡ b =  e  buigpunt 2; 22 ; e

f 0 … 2† ˆ

e

2

ˆ

2 ˆ 1
e2 e2 4 ˆb e2

Dus de buigraaklijn is k: y ˆ

78 Hoofdstuk15

1x e2

2‡b

4. e2

28

a

y

x

O ƒ

1 4 1 3 0 1 3 b f …x† ˆ 12 x x2 3 x geeft f …x† ˆ 3x 00 2 f …x† ˆ x 2x 00 f …x† ˆ 0 geeft x2 2x ˆ 0 x… x 2† ˆ 0 xˆ0_xˆ 2 f …0† ˆ 0 en f … 2† ˆ 1 13 De buigpunten zijn …0; 0† en … 2; 1 13†. c f 0 …0† ˆ 13
03 02 ˆ 0 dus de raaklijn in (0, 0) is horizontaal.

29

a f …x† ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d f 0 …x† ˆ 3ax2 ‡ 2bx ‡ c f 00 …x† ˆ 6ax ‡ 2b

p p 4b2 12ac en x ˆ 2b 4b2 12ac B 6a 6a p p 2b ‡ 4b2 12ac ‡ 2b 4b2 12ac 4b 6a 6a 6a ˆ ˆ b ............... 3a 2 2

f 0 …x† ˆ 0 geeft xA ˆ

xA ‡ xB ˆ 2

f 00 …x† ˆ 0 geeft xC ˆ

2b ‡

2b ˆ 6a

Uit (1) en (2) volgt xC ˆ

b 3a

…1†

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …2†

xA ‡ xB . 2

Opmerking: Omdat gegeven is dat de grafiek twee toppen heeft, kan 4b2 aan nul zijn. …a 6ˆ 0† b f …x† ˆ ax3 ‡ bx2 ‡ cx ‡ d f 0 …x† ˆ 3ax2 ‡ 2bx ‡ c f 00 …x† ˆ 6ax ‡ 2b f 00 …x† ˆ 0 geeft 6ax ‡ 2b ˆ 0

12ac niet kleiner dan of gelijk

2b ˆ b 6a 3a 00 Dus f …x† ˆ 0 heeft precies e¨e¨n oplossing want a 6ˆ 0, dus f 0 …x† heeft precies e¨e¨n extreem en dus heeft de grafiek van f precies e¨e¨n buigpunt. Opmerking: Als a ˆ 0, dan is f geen derdegraadsfunctie. xˆ

Afgeleide en tweede afgeleide

79

30 a f5 …x† ˆ 1 x4 4

2x3 ‡ 5x2 5x 5 f50 …x† ˆ x3 6x2 ‡ 10x 5 f500 …x† ˆ 3x2 12x ‡ 10 f500 …x† ˆ 0 geeft 3x2 12x ‡ 10 ˆ 0 D ˆ … 12†2 4
3
10 ˆ 144

120 ˆ 24 > 0:

y ƒ5' x

O

De grafiek van f5 heeft twee buigpunten omdat f50 twee extremen heeft. b f6 …x† ˆ 14 x4 2x3 ‡ 6x2 5x 5 f60 …x† ˆ x3 6x2 ‡ 12x 5 f600 …x† ˆ 3x2 12x ‡ 12 f600 …x† ˆ 0 geeft 3x2 12x ‡ 12 ˆ 0 D ˆ … 12†2 4
3
12 ˆ 144 144 ˆ 0 De vergelijking f600 …x† ˆ 0 heeft e¨e¨n oplossing. y ƒ6'

O

x

De grafiek van f6 heeft geen buigpunten omdat f60 geen extremen heeft. c f …x† ˆ ax4 ‡ bx3 ‡ cx2 ‡ dx ‡ e f 0 …x† ˆ 4ax3 ‡ 3bx2 ‡ 2cx ‡ d f 00 …x† ˆ 12ax2 ‡ 6bx ‡ 2c f 0 heeft geen extremen, dus de grafiek van f heeft geen buigpunten.

ƒ ''

x

x

ƒ ''

ƒ '' 0

f heeft geen extremen, dus de grafiek van f heeft geen buigpunten.

x ƒ ''

ƒ '' 0

f heeft twee extremen, dus de grafiek van f heeft twee buigpunten. De grafiek van f heeft dus o¨f twee o¨f geen buigpunten.

80 Hoofdstuk15

x

ƒ '' x

x

bladzijde106 31

32

fp …x† ˆ x4 ‡ px3 ‡ 34 x2 ‡ 10 fp0 …x† ˆ 4x3 ‡ 3px2 ‡ 1 12 x fp00 …x† ˆ 12x2 ‡ 6px ‡ 1 12 D ˆ …6p†2 4
12
1 12 ˆ 36p2 72 D  0 geeft 36p2 72  0 p2 2  0 De grafiek van fp heeft geen buigpunten als

y = p2 – 2 p – 2

2

p p 2  p  2.

a y y g ƒ x

O x

O

b minimum is f …2† ˆ 0 f …x† ˆ …x

2

2†3 geeft f 0 …x† ˆ 23 …x

c xˆ2 p d g…x† ˆ 3 x 2 ˆ …x

1

2†

1 3

2 
1ˆ p dus f 0 …2† is niet gedefinieerd. 3 3 …x 2†

2†3 geeft g0 …x† ˆ 13 …x

2†

2 3

1 
1 ˆ q 3 3 …x 2†2

g0 …2† is niet gedefinieerd. g0 …x† ! 1 voor x ! 2, dus de raaklijn in (2, 0) is verticaal. 5 ‡ 10 ln…x† geeft x x
10 …5 ‡ 10 ln…x††
1 10 5 10 ln…x† 5 10 ln…x† x 0 f …x† ˆ ˆ ˆ x2 x2 x2 10 …5 10 ln…x††
2x x2
10x 10x ‡ 20x ln…x† x f 00 …x† ˆ ˆ x4 x4 20x ln…x† 20x 20 ln…x† 20 ˆ ˆ x4 x3 20 ln…x† 20 f 00 …x† ˆ 0 geeft ˆ0 x3 20 ln…x† 20 ˆ 0 ln…x† ˆ 1 xˆe 5 ‡ 10 ln…e† 15 ˆ f …e† ˆ e e   Het buigpunt is e; 15 . e

33 a f …x† ˆ

Afgeleide en tweede afgeleide

81

b Erratum: De opgave moet zijn: Er zijn twee lijnen door A…0; 2† die de grafiek van f raken. Toon aan dat voor de x-coo«rdinaten van de raakpunten geldt x ˆ 10 ln…x†. Raaklijn door (0,2), dus de x-coo«rdinaat van een raakpunt volgt uit f …x† 2 f 0 …x† ˆ x 5 ‡ 10 ln…x† 2 5 10 ln…x† x ˆ x x2 5

10 ln…x† 5 ‡ 10 ln…x† ˆ x2 x2

2x

5 10 ln…x† ˆ 5 ‡ 10 ln…x† 2x ˆ 20 ln…x† x ˆ 10 ln…x†

2x

1 1 1  e 12…x 10180†2 ˆ p 1  e 200 1  e 200 …x 180†2 u p ˆ p met u ˆ …x 10 2p 10 2p 10 2p 1 1 1  e 200 1
2…x 180† ˆ 1p
…x 180†
e 200 u u f 0 …x† ˆ p
200 10 2p 1000 2p   1 1 1 1
2…x 180† u p 1
e 200 ‡ …x 180†e 200u
f 00 …x† ˆ 200 1000 2p

34 a f …x† ˆ

ˆ

 1p 1 1000 2p

1 …x 100

 180†2 e

180†2

180†2

1 f 00 …x† ˆ 0 geeft 1 ˆ 100 …x

…x 180†2 ˆ 100 x 180 ˆ 10 _ x x ˆ 170 _ x ˆ 190

170 180 190

1 200…x

180 ˆ 10

x

Dus de x-coo«rdinaten van de buigpunten zijn x ˆ 170 en x ˆ 190.

82 Hoofdstuk15

180†2

1 x  2 b f …x† ˆ p1 e 2…  † ˆ p1 e  2p  2p

f 0 …x† ˆ p1 e  2p f 00 …x† ˆ ˆ

1 u 22




1 …x 22

1
2…x 22

†2

ˆ p1 e  2p 1  …x p 3 2p

† ˆ

 1  1
e 212 u ‡ …x †
e 212 u
p 3 2p   1  1 1 …x †2 e 212 …x †2 p 2 3 2p

f 00 …x† ˆ 0 geeft 1 ˆ 12 …x 

1 u 22

met u ˆ …x

†e

1
2…x 22

†2

1 u 22

 †

†2

…x †2 ˆ 2 x ˆ _x ˆ xˆ _xˆ‡ y ƒ x

µ–σ µ µ+σ

O

Dus de x-coo«rdinaten van de buigpunten zijn x ˆ  35

a

 en x ˆ  ‡ .

y

ƒ

x

O

b f …x† ˆ …ln…x††2 ‡ 2 ln…x†

2 geeft f 0 …x† ˆ 2 ln…x†
1 ‡ 2
1 ˆ 2 …1 ‡ ln…x††. x x x

f 0 …x† ˆ 0 geeft 2
…1 ‡ ln…x†† ˆ 0 x ln…x† ˆ xˆe   f 1 ˆ1 e

2

2ˆ

De top is het punt



1

1 ˆ1 e

3  1; 3 . e

Afgeleide en tweede afgeleide

83

c f 00 …x† ˆ

2 …1 ‡ ln…x†† ‡ 2
1 ˆ 2 x2 x x x2

2 ln…x† ‡ 2 ˆ 2
ln…x† x x2 x2

2
ln…x† ˆ 0 x2

f 00 …x† geeft

ln…x† ˆ 0 xˆ1 rcraaklijn ˆ f 0 …1† ˆ 2  Stel y ˆ 2x ‡ b f …1† ˆ 2 dus buigpunt …1; 2† De buigraaklijn is y ˆ 2x

2ˆ2‡b 4ˆb

4.

d Raaklijn door O, dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ 2 2 …1 ‡ ln…x†† ˆ …ln…x†† ‡2 ln…x† 2 x x 2 2 ‡ 2 ln…x† …ln…x†† ‡2 ln…x† 2 ˆ x x 2 2 ‡ 2 ln…x† ˆ …ln…x†† ‡2 ln…x† 2 …ln…x††2 ˆ 4 ln…x† ˆ 2 _ ln…x† ˆ 2

x ˆ e2 _ x ˆ e

2

f …x† . x

ˆ 12 e

f 0 …e2 † ˆ 62 en f 0 …e 2 † ˆ 22 ˆ 2e2 e e 6 De raaklijnen zijn y ˆ 2 x en y ˆ 2e2 x. e 36

1

3

a f …x† ˆ 6x e 24x geeft 1 3 1 3 f 0 …x† ˆ 6e 24x ‡ 6x e 24x
18 x2 1 3 ˆ …6 34 x3 †e 24x 1 3 f 0 …x† ˆ 0 geeft …6 34 x3 †e 24x ˆ 0 6 34 x3 ˆ 0 3 3 4x ˆ 6 x3 ˆ 8 xˆ2 De x-coo«rdinaat van de top is 2.

y

ƒ

O

84 Hoofdstuk 15

2

x

b f 00 …x† ˆ

9 2 4x e

1 3 24x

‡ …6

ˆ

9 2 4x e

1 3 24x

‡…

3 5 ˆ … 3x2 ‡ 32 x †e

f 00 …x† ˆ 0 geeft

3 3 4x † 6 2 8x


e

1 3 24x

3 5 ‡ 32 x †e




1 2 8x

1 3 24x

1 3 24x

3 5 3x2 ‡ 32 x ˆ0 2 1 3 1† ˆ 0 3x …32 x 2 1 3 1ˆ0 3x ˆ 0 _ 32 x x ˆ 0 _ x3 ˆ 32 p x ˆ 0 _ x ˆ 3 32 v.n.

y

ƒ

3

O

x 32

p De x-coo«rdinaat van het buigpunt is 3 32. c Raaklijn door A… 1; 0†, dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f …x† . f 0 …x† ˆ x‡1 1 3 24x

ˆ 6x e x‡1 1 3 1 3 3 3 …x ‡ 1†…6 4 x †
e 24x ˆ 6x e 24x …x ‡ 1†…6 34 x3 † ˆ 6x Voer in y1 ˆ …x ‡ 1†…6 34 x3 † en y2 ˆ 6x. De optie intersect geeft x ˆ 2 en x  1,478 Dus xB  2,000 en xC  1,478. 3 3 4 x †e

…6

37

1 3 24x

Methode 1 Bereken met de optie maximum of minimum op de GR de extremen van f 0 . Vul de gevonden x-coo«rdinaten in bij f . Methode 2 Bereken op de GR de x-coo«rdinaten van de snijpunten van de grafiek van f 00 met de x-as. Vul de gevonden x-coo«rdinaten in bij f .

15.4 Toepassingen van de tweede afgeleide bladzijde108 38 a

C

O

t

b Voer in y1 ˆ 0,004x3 ‡ 0,04x2 ‡ 0,28x. De optie maximum geeft x ˆ 70 en y ˆ 78,4. C is maximaal 78 mg/l na 70 minuten.

Afgeleide en tweede afgeleide

85

c dC ˆ dt

0,0012t2 ‡ 0,08t ‡ 0,28

dC is de snelheid in mg/liter/minuut waarmee C verandert. dt Voer in y1 ˆ 0,0012x2 ‡ 0,08x ‡ 0,28. De optie maximum geeft x  33,33 en y  1,61. dC is maximaal na ongeveer 33 minuten. dt bladzijde109 39 a

dN ˆ 2e 0;02t > 0 omdat 2 > 0 ^ e dt   d dN ˆ 0,04e 0;02t < 0 omdat dt dt

0;02t

> 0.

0,04 < 0 ^ e

0;02t

> 0.

b Uit dN > 0 volgt dat N een stijgende functie is. dt   Uit d dN < 0 volgt dat dN een dalende functie is. dt dt dt ) N stijgt dN daalt N is afnemend stijgend : dt   c dN > 0 en d dN > 0 dt dt dt 9 dN < 0 > = d dt  N is afnemend dalend d dN > 0 > ; dt dt 9 dN < 0 > = dt  N is toenemend dalend d dN < 0 > ; dt dt 40 T ˆ 20 ‡ 80e

  d dT ˆ dt dt

0;2t

geeft dT ˆ 80e dt


… 0,2† ˆ

0,2 ˆ 3,2e 0;2t 9 dT ˆ 16e 0;2t < 0 > = dt  T is afnemend dalend d dT ˆ 3,2e 0;2t > 0 > ; dt dt 16e

0;2t

0;2t




bladzijde110 41

a

V

O

86 Hoofdstuk15

t

16e

0;2t

2

b Voer in y1 ˆ 100e 0;01x en y2 ˆ 50. De optie intersect geeft x  8,33. Na ongeveer 500 seconden is de helft weggestroomd. 2 2 c dV ˆ 100
e 0;01t
0,02t ˆ 2t e 0;01t dt   d dV ˆ 2e 0;01t2 ‡ … 2t†
e 0;01t2
0,02t dt dt 2 2 2 ˆ 2e 0;01t ‡ 0,04t2 e 0;01t ˆ …0,04t2 2†e 0;01t   d dV ˆ 0 geeft …0,04t2 2†e 0;01t2 ˆ 0 dt dt 0,04t2 2 ˆ 0 t2 ˆ 50 p p t ˆ 50 _ t ˆ 50 voldoet niet p De uitstroomsnelheid is maximaal na 50 minuten, dus na ongeveer 424 seconden. h i d dV p  8,58. dt tˆ 50 De maximale uitstroomsnelheid is dus 8,58 l/minuut. De helft van de maximale snelheid is 4,29 l/minuut. 2 Voer in y1 ˆ 2x e 0;01x en y2 ˆ 4,29. De optie intersect geeft x  2,26 en x  13,59. v.n. p Na ongeveer 13,59 50  6,52 minuten  391 seconden is de uitstroomsnelheid afgenomen tot de helft van de maximale snelheid.

42

a

N

O

Nˆe

6

1

33 0;1t3 ‡0;5t2

geeft dN ˆ e dt

dN ˆ 0 geeft … 0,3t2 ‡ t†e dt

0;1t3 ‡0;5t2

0;1t3 ‡0;5t2

t


… 0,3t2 ‡ t† ˆ … 0,3t2 ‡ t†e

0;1t3 ‡0;5t2

ˆ0

0,3t2 ‡ t ˆ 0 t…0,3t 1† ˆ 0 t ˆ 0 _ 0,3t 1 ˆ 0 t ˆ 0 _ t ˆ 3 13 v.n. Na 3 13
24 ˆ 80 uur is het aantal bacterie«n maximaal. 3 2 b Voer in y1 ˆ … 0,3x2 ‡ x†e 0;1x ‡0;5x . De optie maximum geeft x  2,41 en y  3,00. De snelheid is maximaal na 2,41
24  58 uur. De maximale snelheid is ongeveer 3 miljoen/dag ofwel 125 000 bacterie«n per uur.

Afgeleide en tweede afgeleide

87

c

h

dN dt

i tˆ100 24



4,43 miljoen/dag.

Het aantal bacterie«n neemt af met ongeveer

4,43
106  3074 bacterie«n/minuut 24
60

3 2 d dN ˆ … 0,3t2 ‡ t†e 0;1t ‡0;5t geeft dt   d dN ˆ … 0,6t ‡ 1†
e 0;1t3 ‡0;5t2 ‡ … 0,3t2 ‡ t†
e 0;1t3 ‡0;5t2
… 0,3t2 ‡ t† dt dt 3 2 3 2 ˆ … 0,6t ‡ 1†e 0;1t ‡0;5t ‡ … 0,3t2 ‡ t†2 e 0;1t ‡0;5t 3 2 2 ˆ … 0,6t ‡ 1 ‡ … 0,3t2 ‡ t† †e 0;1t ‡0;5t 9 h  i d dN > >  2,89 > 0 = dt dt tˆ110 24 N is afnemend dalend na 110 uur: h i > dN >  4,12 < 0 ; dt tˆ110 24

43

f 00 …x† > 0 voor elke x. f 0 …x† > 0 voor elke x. De grafiek van f is toenemend stijgend.

f 00 …x† < 0 voor elke x. f 0 …x† > 0 voor elke x. De grafiek van f is afnemend stijgend. y

y

f 00 …x† < 0 voor elke x. f 0 …x† < 0 voor elke x. De grafiek van f is toenemend dalend. y

y

ƒ

ƒ ƒ x

O

f 00 …x† > 0 voor elke x. f 0 …x† < 0 voor elke x. De grafiek van f is afnemend dalend.

ƒ x

O

ƒ'

ƒ'

y x

O

O

x

O

y

O ƒ ''

O

Bijvoorbeeld: f …x† ˆ ex f 0 …x† ˆ ex f 00 …x† ˆ ex

88 Hoofdstuk15

x

y ƒ ''

y

y

x

x

O

ƒ ''

ƒ ''

x

O

Bijvoorbeeld: f …x† ˆ e x ‡ 3 f 0 …x† ˆ e x f 00 …x† ˆ e x

x

ƒ'

ƒ' O

x

O

y

y

y

x

O

Bijvoorbeeld: f …x† ˆ ex ‡ 3 f 0 …x† ˆ ex f 00 …x† ˆ ex

Bijvoorbeeld: f …x† ˆ e x f 0 …x† ˆ e x f 00 …x† ˆ e x

x

44 a vgem ˆ

s…3† 3

s…1† 2,1 0,3 ˆ 0,9 m/s ˆ 2 1

b v…t† ˆ ds ˆ 0,4t ‡ 0,1 m/s dt c v…4† ˆ 1,7 m/s v…5† ˆ 2,1 m/s d De snelheid is met 2,1 1,7 ˆ 0,4 m/s toegenomen op het interval [4, 5]. v…6† ˆ 2,5 m/s Op [5, 6] is de snelheid toegenomen met 2,5 2,1 ˆ 0,4 m/s. e v…t ‡ 1† v…t† ˆ 0,4…t ‡ 1† ‡ 0,1 …0,4t ‡ 0,1† ˆ 0,4t ‡ 0,4 ‡ 0,1 0,4t Op elk interval ‰t; t ‡ 1Š is de toename 0,4 m/s.

0,1 ˆ 0,4.

bladzijde111 45

a a ˆ t2 ‡ 6t v…0† ˆ 0

 v…t† ˆ

1 3 3t

‡ 3t2

v…6† ˆ 13
63 ‡ 3 
62 ˆ 36 m/s 1 3 2 b v…t† ˆ 3 t ‡ 3t 1 4 t ‡ t3 s…t† ˆ 12 s…0† ˆ 0 1 s…6† ˆ 12
64 ‡ 63 ˆ 108 m c v…6† ˆ 36 m/s s…10† ˆ s…6† ‡ 4
v…6† ˆ 108 ‡ 4
36 ˆ 252 m d Voor t  6 geldt s…t† ˆ s…6† ‡ …t 6†
v…6†. s…t† ˆ 500 geeft 108 ‡ …t 6†
36 ˆ 500 36t 108 ˆ 500 36t ˆ 608 t ˆ 16 89 8 Op t ˆ 16 9 is 500 m afgelegd.

bladzijde112 46 a v…0† ˆ 108 km/u ˆ 30 m/s

v…6† ˆ 0

a…t† ˆ 5 v…0† ˆ 30 v…t† ˆ s…0† ˆ 0

 a…t† ˆ

5 m/s2



v…t† ˆ 5t ‡ 30 m/s  5t ‡ 30 s…t† ˆ 2,5t2 ‡ 30t m

s…6† ˆ 90 m De remweg is 90 m. b Stel a…t† ˆ a m/s2  a…t† ˆ a v…t† ˆ at ‡ 30 v…0† ˆ 30  v…t† ˆ at ‡ 30 s…t† ˆ 12 at2 ‡ 30t s…0† ˆ 0 v…t† ˆ 0 geeft at ‡ 30 ˆ 0 tˆ s



30 a

   30 ˆ 1a 30 2 ‡30
30 ˆ 450 2 a a a a

900 ˆ a

450 a

Afgeleide en tweede afgeleide

89

s



 30 ˆ 60 geeft a

450 ˆ 60 a aˆ

tˆ

30 ˆ a

450 ˆ 60

7,5 m/s2

30 ˆ 4 7,5

De remtijd is 4 seconden. 47

a Voor de auto geldt:  a…t† ˆ 1,5 vA …t† ˆ 1,5t vA …0† ˆ 0  vA …t† ˆ 1,5t sA …t† ˆ 0,75t2 sA …0† ˆ 0 Voor de brommer geldt: sB …t† ˆ 10t. sA …t† ˆ sB …t† geeft 0,75t2 ˆ 10t 0,75t2 10t ˆ 0 t…0,75t 10† ˆ 0 t ˆ 0 _ 0,75t ˆ 10 t ˆ 0 _ t ˆ 13 13 De auto heeft de brommer na 13 13 seconde ingehaald. b vA …13 13† ˆ 1,5
13 13 ˆ 20 m/s ˆ 72 km/uur.

bladzijde113 48 a v…t†

b a…t† ˆ 4 v…0† ˆ 25

 v…t† ˆ

4t ‡ 25

v…t† ˆ 0 geeft

4t ‡ 25 ˆ 0 4t ˆ 25 t ˆ 6 14 Dus A ˆ …6 14 ; 0†. v…0† ˆ 25 dus B ˆ …0; 25†. 1 c opp…4OAB† ˆ 12
25
6 14 ˆ 625 ˆ 39 16 16 opp…4OAB† is de afgelegde afstand.

90 Hoofdstuk 15

Diagnostische toets bladzijde 116

2 1 f …x† ˆ x geeft f 0 …x† ˆ 2 ln…x†

x2
2
1 4x ln…x† 2x xˆ …2 ln…x††2 …2 ln…x††2

2 ln…x†
2x

f …x† . Raaklijn door O dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ x 2 4x ln…x† 2x ˆ x 2 2x ln…x† …2 ln…x†† 2 2 4x2 ln…x† ˆ 4x2 …ln…x††2 8x …ln…x†† 4x2 …ln…x††2 4x2 ln…x† ˆ 0 4x2 ln…x†…ln…x† 1† ˆ 0 4x2 ˆ 0 _ ln…x† ˆ 0 _ ln…x† 1 ˆ 0 xˆ0 _xˆ1 _ ln…x† ˆ 1 v.n. v.n. xˆe e2 ˆ 1 e2 2 ln…e† 2 Het raakpunt is …e; 12 e2 †.

f …e† ˆ

2

a f …x† ˆ x

ln…x† geeft f 0 …x† ˆ 1

1 x

Raaklijn door …0; 1† dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ 1ˆx x x 1ˆx ln…x† ˆ 2 x ˆ e2 1

ln…x† ‡ 1 x ln…x† ‡ 1

rck ˆ f 0 …e2 † ˆ 1 door A…0; 1† b

f …x† ‡ 1 . x

1 e2

)

 k: y ˆ 1

 1 x e2

1

y ƒ y = ax

O

x

Raaklijn door O dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ

f …x† . x

Afgeleide en tweede afgeleide

91

1ˆx x x 1ˆx ln…x† ˆ 1 xˆe 1

ln…x† x ln…x†

rcraaklijn ˆ f 0 …e† ˆ 1 De vergelijking x 3

sˆ vgem

1 e

ln…x† ˆ ax heeft geen oplossingen als a < 1

‡ 12 t2 1 3 t ‡ 12 t2 ˆ ˆ s ˆ 18 t t

1. e

1 3 18 t

dvgem ˆ 19 t ‡ 12 dt dvgem ˆ 0 geeft dt

1 2 18 t

‡ 12 t

1 9t 1 9t

‡ 12 ˆ 0 ˆ 12 t ˆ 4 12

Op t ˆ 4 12 is de gemiddelde snelheid vanaf t ˆ 0 maximaal. 4

De grafieken van f en gp raken elkaar als f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x†. x3 3x ˆ px ‡ 16 ^ 3x2 3 ˆ p x3 3x ˆ px ‡ 16 ^ p ˆ 3x2 3 x3 3x ˆ …3x2 3†x ‡ 16 x3 3x ˆ 3x3 3x ‡ 16 2x3 ˆ 16 3 x ˆ 8 xˆ 2 p ˆ 3x2 3 ˆ 12 3 ˆ 9

bladzijde117 5

De grafieken van fa en g snijden elkaar loodrecht dus fa …x† ˆ g…x† ^ fa0 …x†
g0 …x† ˆ 1 ax x2 ˆ 12 x2 ^ …a 2x†
x ˆ 1 ax x2 ˆ 12 x2 ^ ax 2x2 ˆ 1 ^ ax ˆ 2x2 1 ax ˆ 1 12 x2 2x2 1 ˆ 1 12 x2 1 2 2x ˆ 1 x2 ˆ 2 p p xˆ 2_xˆ 2 1 2 Uit ax ˆ 1 2 x volgt a ˆ 1 12 x. p  p xˆ 2 a ˆ 1 12 2 a ˆ 1 12 x p  p xˆ 2 a ˆ 1 12 2 a ˆ 1 12 x De grafieken van fa en g snijden elkaar loodrecht voor a ˆ

92 Hoofdstuk15

p p 1 12 2 en a ˆ 1 12 2.

6

a fp …x† ˆ g…x† ^ fp0 …x† ˆ g0 …x† p ex ˆ x ln…x† ^ p ex ˆ 1
ln…x† ‡ x
1 x ln…x† ‡ 1 p ˆ x lnx x ^ p ˆ ex e x ln…x† ln…x† ‡ 1 Voer in y1 ˆ en y2 ˆ . ex ex De optie intersect geeft y  0,27 en y  0,19. Dus p  0,27 of p  0,19. ALTERNATIEVE UITWERKING

fp …x† ˆ g…x†

^ fp0 …x† ˆ g0 …x†

p ex ˆ x ln…x† ^ p ex ˆ 1
ln…x† ‡ x
1 x p ex ˆ x ln…x† ^ p ex ˆ ln…x† ‡ 1 x ln…x† ˆ ln…x† ‡ 1 Voer in y1 ˆ x ln…x† en y2 ˆ ln…x† ‡ 1. De optie intersect geeft x  0,26 en x  2,24. x ln…x† Uit p ex ˆ x ln…x† volgt p ˆ . ex 9 x  0,26 = x ln…x† ; p  0,27 pˆ ex 9 x  2,24 = x ln…x† ; p  0,19 pˆ ex b p ex ˆ x ln…x† ^ p ex …1 ‡ ln…x†† ˆ x ln…x† 1 pˆ ^pˆ x ex e …1 ‡ ln…x†† Voer in y3 ˆ

1

1 . ex …1 ‡ ln…x††

y y3

y1 O

x

y3

De grafieken van y1 en y2 hebben geen gemeenschappelijke punten, dus er zijn geen waarden van p waarvoor de grafieken van fp en g elkaar loodrecht snijden. ALTERNATIEVE UITWERKING

fp …x† ˆ g…x† ^ fp0 …x†
g0 …x† ˆ 1 p ex ˆ x ln…x† ^ p ex
…ln…x† ‡ 1† ˆ p ex ˆ x ln…x† ^ p ex ˆ 1 ln…x† ‡ 1 x ln…x†
…ln…x† ‡ 1† ˆ

1

1 ln…x† ‡ 1

x ln…x† ˆ

1

Afgeleide en tweede afgeleide

93

Voer in y1 ˆ x ln…x†
…ln…x† ‡ 1† en y2 ˆ

1.

y y1

x

O

y2

y1 ˆ y2 heeft geen oplossingen, dus er zijn geen waarden van p waarvoor de grafieken elkaar loodrecht snijden. 7

f …x† ˆ x4 x3 9x2 5x f 0 …x† ˆ 4x3 3x2 18x 5 f 00 …x† ˆ 12x2 6x 18 f 00 …x† ˆ 0 geeft 12x2 6x 18 ˆ 0 x2 12 x 1 12 ˆ 0 …x 1 12†…x ‡ 1† ˆ 0 x ˆ 1 12 _ x ˆ 1 Stel k: y ˆ ax ‡ b a ˆ f 0 …1 12† ˆ 25 14 dus k: y ˆ 25 14 x ‡ b f …1 12† ˆ

1 1 26 16 ; dus buigpunt …1 12 ; 26 16 †

Dus k: y ˆ

) 1 ˆ 26 16

25 14
1 12 ‡ b

11 13 16 ˆ b

25 14 x ‡ 11 13 16.

Stel l: y ˆ ax ‡ b a ˆ f 0 … 1† ˆ 6  dus l: y ˆ 6x ‡ b 2ˆ6
1‡b f … 1† ˆ 2 dus buigpunt … 1; 2† 4 ˆ b dus l: y ˆ 6x ‡ 4 De buigraaklijnen zijn y ˆ 25 14 x ‡ 11 13 16 en y ˆ 6x ‡ 4.

94 Hoofdstuk 15

8

f …x† ˆ 4x e f 00 …x† ˆ

1 2 6x

8 3xe

1 2 6x

geeft f 0 …x† ˆ 4e 1 2 6x

1 2 6x

4 2 3 x †e

‡ …4

f 00 …x† ˆ 0 geeft … 4x ‡ 49 x3 †e

1 2 6x

‡ 4x e




1 3 x

1 2 6x

ˆ…




1 3 x

8 3x

ˆ …4 4 3x

4 2 3 x †e

‡ 49 x3 †e

1 2 6x

1 2 6x

ˆ … 4x ‡ 49 x3 †e

1 2 6x

ˆ0

4x ‡ 49 x3 ˆ 0 4x…19 x2

1† ˆ 0

4x ˆ 0 _ 19 x2

1ˆ0

x ˆ 0 _ x2 ˆ 9 xˆ0_xˆ3_xˆ f …0† ˆ 0

3

p f …3† ˆ 12 e e

12 f … 3† ˆ p e e

y

ƒ

x

O

 De buigpunten zijn

   12 , (0, 0), en 3; 12 p . 3; p e e e e

x
1 ln…x†
1 1 ln…x† ln…x† x 0 geeft g …x† ˆ ˆ 9 g…x† ˆ x x2 x2 1 ln…x† g0 …x† ˆ 0 geeft ˆ0 x2 ln…x† ˆ 1 xˆe

g…e† ˆ 1 e y g O

x

e

De top is

  e; 1 . e

Afgeleide en tweede afgeleide

95

x2
1 x g …x† ˆ 00

…1

ln…x††
2x

x4

ˆ

x

2x ‡ 2x ln…x† 2x ln…x† ˆ x4 x4

3x

g00 …x† ˆ 0 geeft 2x ln…x† 3x ˆ 0 2x…ln…x† 1 12† ˆ 0 2x ˆ 0 _ ln…x† 1 12 ˆ 0 x ˆ 0 _ ln…x† ˆ 1 12 p 1 x ˆ 0 _ x ˆ e1 2 ˆ e e v.n. p p 11 ln…e e† p ˆ p2 ˆ 3p g…e e† ˆ e e 2e e e e   p Het buigpunt is e e; 3p . 2e e 10

40t3 geeft dN ˆ 960t dt

N ˆ 480t2

120t2 .

  d dN ˆ 960 240t dt dt   d dN ˆ 0 geeft 960 240t ˆ 0 dt dt 240t ˆ 960 tˆ4 N

O

t

4

Om 13.00 uur is de snelheid waarmee het aantal bezoekers toeneemt maximaal. 11

a…t† ˆ 9,8 m/s2 v…0† ˆ 10 m/s v…t† ˆ 9,8t ‡ 10 s…0† ˆ 0

 v…t† ˆ

9,8t ‡ 10 m/s

s…t† ˆ

4,9t2 ‡ 10t m



s…t† ˆ 150 geeft 4,9t2 ‡ 10t ˆ 150 Voer in y1 ˆ 4,9x2 ‡ 10x en y2 ˆ 150. De optie intersect geeft x  6,65. Na ongeveer 6,65 seconden valt de steen op de bodem van de kloof.

96 Hoofdstuk 15

hoofdstuk

16 Goniometrie bladzijde118

j Neem x ˆ 16 p P0 is de loodrechte projectie van P op TM. TP0 ˆ 75 cos…16 p†  64,95 PP0 ˆ 75 sin…16 p† ˆ 37,5 p MP0 ˆ 802 37,52  70,67 L ˆ TP0 ‡ MP0  64,95 ‡ 70,67  136 cm

T 1 6π

75

Neem x ˆ 14 p TP0 ˆ 75 cos…14 p†  53,03 PP0 ˆ 75 sin…14 p†  53,03 p MP0 ˆ 802 53,032  59,90 L ˆ TP0 ‡ MP0  53,03 ‡ 59,90  113 cm j TP0 ˆ 75 cos…x† PP0 ˆ 75 sin…x† q MP0 ˆ PM 2 …PP0 †2 q ˆ 802 …75 sin…x††2 q ˆ 6400 5625 sin2 …x† q L ˆ TP0 ‡ MP0 ˆ 75 cos…x† ‡ 6400 5625 sin2 …x†

P

P'

80

M T x 75

P

P'

80

M

Goniometrie

97

j Voer in y1 ˆ 75 cos…x† ‡

q 6400 5625 sin2 …x† en y2 ˆ 100.

y 155 y = 100

O

π

0,91

x

De optie intersect geeft x  0,91 dus TM is groter dan 100 voor 0  x < 0,91. q j Voer in y1 ˆ 75 cos…x† ‡ 6400 5625 sin2 …x† en y2 is de numerieke afgeleide van y1 . y

1,16

O

x

–119,1

De optie minimum geeft x  1,16 en y  119,1. Dit betekent dat 119,1 cm/rad de grootste snelheid is waarmee TM afneemt.

16.1 Goniometrische formules bladzijde 120 1

a Voer in y1 ˆ sin… x† en y2 ˆ

sin…x†.

b Voer in y1 ˆ cos… x† en y2 ˆ cos…x†.

98 Hoofdstuk 16

c Voer in y1 ˆ sin…12 p

Ik vermoed sin…12 p

x†.

x† ˆ cos…x†.

Het vermoeden is juist. d Voer in y1 ˆ cos…12 p x†.

Ik vermoed cos…12 p

x† ˆ sin…x†.

Het vermoeden is juist. bladzijde121 2

a Uit de symmetrie van de figuur volgt yA ˆ yB sin…† ˆ sin…p † Uit de symmetrie van de figuur volgt xB ˆ xA cos…p † ˆ cos…†

y 1

B

A π–α α

α

O

1

Goniometrie

x

99

b Uit de stelling van Pythagoras volgt: y2A ‡ x2A ˆ 12 sin2 …† ‡ cos2 …† ˆ 1

y 1

A yA α

O

3

a Uit de symmetrie van de figuur volgt yB ˆ yA sin…p ‡ † ˆ sin…† Uit de symmetrie van de figuur volgt xB ˆ xA cos…p ‡ † ˆ cos…†

xA

1

x

y 1

A π+α α

–1

1

O

x

B –1

b Omdat de driehoeken OBB0 en OAA0 gelijk zijn geldt yB ˆ xA en xB ˆ yA . sin…12 p ‡ † ˆ cos…† en cos…12 p ‡ † ˆ sin…†

y B

1

1 2π

A

+α α

–1

B'

O

–1

4

a …sin…x† cos…x††2 ˆ sin2 …x† 2 sin…x† cos…x† ‡ cos2 …x† ˆ sin2 …x† ‡ cos2 …x† 2 sin…x† cos…x† ˆ 1 2 sin…x† cos…x†  2 2 sin2 …x† ‡ cos2 …x† 2 sin2 …x† cos2 …x† sin…x† ˆ ‡ ˆ 2 b ‡1 ˆ 2 tan2 …x† ‡ 1 cos2 …x† cos2 …x† cos2 …x† cos…x†   sin2 …3x† c …1 ‡ tan2 …3x††
cos2 …3x† ˆ 1 ‡
cos2 …3x† cos2 …3x† sin2 …3x†
cos2 …3x† ˆ cos2 …3x† ‡ sin2 …3x† ˆ 1 ˆ cos2 …3x† ‡ cos2 …3x†

5

a sin2 …x† ‡ 4 cos…x† ˆ 1 cos2 …x† ‡ 4 cos…x† ˆ cos2 …x† ‡ 4 cos…x† ‡ 1 b 2 cos2 …x† ‡ sin…x† 2 ˆ 2…1 sin2 …x†† ‡ sin…x† 2 ˆ 2 2 sin2 …x† ‡ sin…x† 2 ˆ 2 sin2 …x† ‡ sin…x† c 2 sin2 …x† ‡ cos2 …x† ‡ cos…x† ˆ 2…1 cos2 …x†† ‡ cos2 …x† ‡ cos…x† ˆ 2 2 cos2 …x† ‡ cos2 …x† ‡ cos…x† ˆ cos2 …x† ‡ cos…x† ‡ 2

100 Hoofdstuk 16

A' 1

x

6

a sin…x† ˆ 12 sin2 …x† ‡ cos2 …x† ˆ 1

b cos…x† ˆ 2 sin…x† sin2 …x† ‡ cos2 …x† ˆ 1





…12†2 ‡ cos2 …x† ˆ 1 cos2 …x† ˆ 34 p cos…x† ˆ 12 3 _ cos…x† ˆ

1 2

p 3

sin2 …x† ‡ …2 sin…x††2 ˆ 1 sin2 …x† ‡ 4 sin2 …x† ˆ 1 5 sin2 …x† ˆ 1 sin2 …x† ˆ 15 q q 1 sin…x† ˆ 15 _ sin…x† ˆ 5 p   p sin…x† ˆ 15 5 _ sin…x† ˆ 15 5

bladzijde 122 7

8

9

a sin…2…x ‡ 14 p†† ˆ sin…2x ‡ 12 p† ˆ sin…12 p … 2x†† ˆ cos… 2x† ˆ cos…2x† b cos…p…x 1†† ˆ cos…px p† ˆ sin…12 p …px ˆ sin…12 p px ‡ p† ˆ sin…1 12 p px† ˆ sin…px 1 12 p† ˆ sin…p…x 1 12††

p††

a 3 sin…2…x 13 p†† ˆ 3 sin…2x 23 p† ˆ 3 cos…12 p …2x 23 p†† ˆ 3 cos…12 p 2x ‡ 23 p† 7 p†† ˆ 3 cos… 2x ‡ 1 16 p† ˆ 3 cos…2x 1 16 p† ˆ 3 cos…2…x 12 1 2 2 b 3 sin…2…x 3 p†† ˆ 3 sin…2x 3 p† ˆ 3 sin… 2x ‡ 3 p† ˆ 3 cos…12 p … 2x ‡ 23 p†† 1 p†† ˆ 3 cos…12 p ‡ 2x 23 p† ˆ 3 cos…2x 16 p† ˆ 3 cos…2…x 12  a AB ˆ 2yA AB ˆ 2 sin…† yA ˆ sin…† b De cosinusregel in 4OAB geeft AB2 ˆ OA2 ‡ OB2 2
OA
OB
cos € AOB …2 sin…††2 ˆ 1 ‡ 1 2
1
1
cos…2† 4 sin2 …† ˆ 2 2 cos…2† 2 cos…2† ˆ 2 4 sin2 …† cos…2† ˆ 1 2 sin2 …†

bladzijde 123 10

a cos…t ‡ u† ˆ cos…t … u†† ˆ cos…t† cos… u† ‡ sin…t† sin… u† ˆ cos…t† cos…u† sin…t† sin…u† b sin…t u† ˆ cos…12 p …t u†† ˆ cos…12 p t ‡ u† ˆ cos…12 p t† cos…u† sin…12 p t† sin…u† ˆ sin…t† cos…u† cos…t† sin…u† c sin…t ‡ u† ˆ sin…t … u†† ˆ sin…t† cos… u† cos…t† sin… u† ˆ sin…t† cos…u† ‡ cos…t† sin…u†

11

sin…2A† ˆ sin…A ‡ A† ˆ sin…A† cos…A† ‡ cos…A† sin…A† ˆ sin…A† cos…A† ‡ sin…A† cos…A† ˆ 2 sin…A† cos…A† cos…2A† ˆ cos…A ‡ A† ˆ cos…A† cos…A† sin…A† sin…A† ˆ cos2 …A† sin2 …A† cos…2A† ˆ cos2 …A† sin2 …A† ˆ cos2 …A† …1 cos2 …A†† ˆ cos2 …A† 1 ‡ cos2 …A† ˆ 2 cos2 …A† 1 cos…2A† ˆ cos2 …A† sin2 …A† ˆ 1 sin2 …A† sin2 …A† ˆ 1 2 sin2 …A†

Goniometrie 101

12

a cos…2A† ˆ 2 cos2 …A† 1 2 cos2 …A† 1 ˆ cos…2A† cos2 …A† 12 ˆ 12 cos…2A† cos2 …A† ˆ 12 cos…2A† ‡ 12 b cos…2A† ˆ 1 2 sin2 …A† 2 sin2 …A† ˆ 1 cos…2A† sin2 …A† ˆ 12 12 cos…2A†

13

cos…2t† ˆ 1 2 sin2 …t† ˆ)1 2
…23†2 ˆ 1 89 ˆ 19 sin2 …2t† ‡ cos2 …2t† ˆ 1 1 ˆ1 sin2 …2t† ‡ 81 cos…2t† ˆ 19 2 80 sin …2t† ˆ 81 q q 80 sin…2t† ˆ 80 _ sin…2t† ˆ 81 81 q 1 80 2 p < t < p ofwel p < t < 2p dus sin…2t† ˆ 81 voldoet niet. q p   80 4 Dus sin…2t† ˆ 81 ˆ 9 5. p   Dus sin…2t† ˆ 49 5 en cos…2t† ˆ 19. ALTERNATIEVE UITWERKING

sin2 …t† ‡ cos2 …t† ˆ 1 4 2 9 ‡ cos …t† ˆ 1 2 cos …t† ˆ 59 q cos…t† ˆ 59 _ cos…t† ˆ

q 5 9

p voldoet niet cos…t† ˆ 13 5 …12 p < t < p† p sin…2t† ˆ 2 sin…t† cos…t† ˆ 2
23
13 5 ˆ cos…2t† ˆ 1 2 sin2 …t† ˆ 1 2
…23†2 ˆ 1

14

a cos…2A† ˆ 2 cos2 …A† A ˆ 2x

b 15

1 2

1



‡ 12 cos…4x† ˆ 12 ‡ 12 sin…12 p

p

4 9 5 8 1 9ˆ 9

cos…4x† ˆ 2 cos2 …2x†

1

2

2 cos …2x† ˆ 1 ‡ cos…4x† cos2 …2x† ˆ 12 ‡ 12 cos…4x† 4x† ˆ 12

1 2 sin…4x

1 2 p†

ˆ 12

1 2 sin…4…x

1 8 p††

a

evenwichtsstand 12 amplitude 12 periode p maximum 1 voor x ˆ 0, x ˆ p en x ˆ 2p dus y ˆ 12 ‡ 12 cos…2x†

y

1

O

b cos…2A† ˆ 1 2 sin2 …A† geeft sin2 …x† ˆ 12 12 cos…2x† y ˆ sin2 …x† ‡ cos…2x† ˆ 12 12 cos…2x† ‡ cos…2x† ˆ 12 ‡ 12 cos…2x†

102 Hoofdstuk16

π

2π

x

16

cos…2A† ˆ 1 A ˆ 12 x

yˆ1 ˆ1 17

cos…x† cos…x†

2 sin2 …A†

) 2 sin2 …12 x† 2 1 2 sin …2 x† ˆ 1 cos…x† sin2 …12 x† ˆ 12 12 cos…x†

cos…x† ˆ 1

sin2 …12 x† ˆ 1 cos…x† …12 1 1 1 1 2 ‡ 2 cos…x† ˆ 2 2 cos…x†

1 2 cos…x††

a sin…3x† ˆ sin…2x ‡ x† ˆ sin…2x† cos…x† ‡ cos…2x† sin…x† ˆ 2 sin…x† cos…x†
cos…x† ‡ …1 2 sin2 …x††
sin x ˆ 2 sin…x† cos2 …x† ‡ sin…x† 2 sin3 …x† ˆ 2 sin…x†
…1 sin2 …x†† ‡ sin…x† 2 sin3 …x† ˆ 2 sin…x† 2 sin3 …x† ‡ sin…x† 2 sin3 …x† ˆ 3 sin…x† 4 sin3 …x† b cos…3x† ˆ cos…2x ‡ x† ˆ cos…2x† cos…x† sin…2x† sin…x† ˆ …2 cos2 …x† 1† cos…x† 2 sin…x† cos…x† sin…x† ˆ 2 cos3 …x† cos…x† 2 sin2 …x† cos x ˆ 2 cos3 …x† cos…x† 2…1 cos2 …x†† cos x ˆ 2 cos3 …x† cos…x† 2 cos…x† ‡ 2 cos3 …x† ˆ 4 cos3 …x† 3 cos…x†

bladzijde124 18

a Je kunt sin2 …x† vervangen door 1 cos2 …x†. Je kunt cos…x† wel door een sinus vervangen maar dat is dan sin…12 p x†, maar dan heb je y ˆ sin2 …x† ‡ cos…x† niet in sin…x† uitgedrukt. b y ˆ sin…x† ‡ cos2 …x† kun je wel in sin…x† maar niet in cos…x† uitdrukken. y ˆ 2 sin2 …x† ‡ 3 cos2 …x† kun je zowel in sin…x† als in cos…x† uitdrukken.

19

a b c d e

cos…A† ˆ cos…p A† sin…A† ˆ cos…12 p A† sin2 …A† ˆ 12 12 cos…2A† cos2 …A† ˆ 12 ‡ 12 cos…2A† cos…A† ˆ sin…12 p A†

Goniometrie 103

16.2 Goniometrische vergelijkingen bladzijde125 20

a

b

y 1

–10

–8

–6

–4

–2

y = 0,8

O

2

4

6

8

10

x

–1

Op ‰ 10; 10Š heeft de grafiek van f …x† ˆ sin…x† zes snijpunten met de lijn y ˆ 0,8. c

y 1

–10

–8

–6 a

–4 b

–2

O

y = 0,8

c

2 d

4

6

–1

a ‡ 2p ˆ c c ‡ 2p ˆ e b ‡ 2p ˆ d d ‡ 2p ˆ f d dˆp c bladzijde126 21

a sin…x† ˆ 0,85 De GR geeft sin 1 … 0.85†  1,016. Dus x  1,016 ‡ k
2p _ x  p 1,016 ‡ k
2p x  1,016 ‡ k
2p _ x  4,158 ‡ k
2p b cos…12 x† ˆ 0,25 De GR geeft cos 1 …0.25†  1,318. Dus 12 x  1,318 ‡ k
2p _ 12 x  1,318 ‡ k
2p x  2,636 ‡ k
4p _ x  2,636 ‡ k
4p c sin…x ‡ 2† ˆ 0,9 De GR geeft sin 1 …0:9†  1,120. Dus x ‡ 2  1,120 ‡ k
2p _ x ‡ 2  p 1,120 ‡ k
2p x ˆ 0,880 ‡ k
2p _ x  0,022 ‡ k
2p

104 Hoofdstuk 16

e 8 f

10

x

d cos…2x ‡ 1† ˆ 0,4 De GR geeft cos 1 … 0:4†  1,982. Dus 2x ‡ 1  1,982 ‡ k
2p _ 2x ‡ 1  1,982 ‡ k
2p 2x  0,982 ‡ k
2p _ 2x ˆ 2,982 ‡ k
2p x  0,491 ‡ k
p _ x ˆ 1,491 ‡ k
p 22

p a Klopt omdat sin…13 p† ˆ 12 3. p b sin…x† ˆ 12 3 x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ p 13 p ‡ k
2p x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ 23 p ‡ k
2p

bladzijde127 23

a 2 sin…12 x† ˆ 1 sin…12 x† ˆ 12 sin…12 x† ˆ sin…16 p† 1 1 1 1 2 x ˆ 6 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ p 6 p ‡ k
2p 1 5 x ˆ 3 p ‡ k
4p _ x ˆ 3 p ‡ k
4p b 2 cos…x 13 p† ˆ 1 cos…x 13 p† ˆ 12 cos…x 13 p† ˆ cos…13 p† x

1 3p

ˆ 13 p ‡ k
2p _ x

1 3p

ˆ

1 3p

‡ k
2p

x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ k
2p p c 2 sin…2x 16 p† ˆ 2 p  sin…2x 16 p† ˆ 12 2 sin…2x 16 p† ˆ sin…14 p† 2x 16 p ˆ 14 p ‡ k
2p _ 2x 16 p ˆ p 14 p ‡ k
2p 5 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 11 2x ˆ 12 12 p ‡ k
2p 5 p ‡k
p x ˆ 24 p ‡ k
p _ x ˆ 11 p 24 1 d cos…4x p† ˆ 2 3 cos…4x p† ˆ cos…16 p† 4x p ˆ 16 p ‡ k
2p _ 4x p ˆ 16 p ‡ k
2p 4x ˆ 1 16 p ‡ k
2p _ 4x ˆ 56 p ‡ k
2p 7 5 p ‡ k
12 p _ x ˆ 24 p ‡ k
12 p x ˆ 24 24

25

 a sin… A† ˆ sin…A† 1 sin…16 p† ˆ sin… 2ˆ sin…16 p† ˆ 12 b sin…2x† ˆ 12 sin…2x† ˆ sin… 16 p† 1 2x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 2x ˆ p 6 p ‡ k
2p 1 7 x ˆ 12 p ‡ k
p _ x ˆ 12 p ‡ k
p p a sin…2x 14 p† ˆ 12 3 sin…2x 14 p† ˆ sin… 13 p† 2x 14 p ˆ 13 p ‡ k
2p _ 2x 14 p ˆ p 1 7 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 1 12 p ‡ k
2p 2x ˆ 12 1 19 x ˆ 24 p ‡ k
p _ x ˆ 24 p ‡ k
p

1 3p

1 6 p†

‡ k
2p

Goniometrie 105

p b cos…12 x† ˆ 12 3 cos…12 x† ˆ cos…16 p† cos…12 x† ˆ cos…56 p† 1 5 1 5 2 x ˆ 6 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ 6 p ‡ k
2p 5 5 x ˆ 3 p ‡ k
4p _ x ˆ 3 p ‡ k
4p p 2 c 2 sin…14 x† ˆ p sin…14 x† ˆ 12 2 sin…14 x† ˆ sin… 14 p† 1 1 1 1 4x ˆ 4 p ‡ k
2p _ 4 x ˆ p 4 p ‡ k
2p x ˆ p ‡ k
8p _ x ˆ 5p ‡ k
8p d 2 cos…3x p† ˆ 1 cos…3x p† ˆ 12 cos…3x p† ˆ cos…13 p† cos…3x p† ˆ cos…23 p† 3x p ˆ 23 p ‡ k
2p _ 3x p ˆ 23 p ‡ k
2p 3x ˆ 1 23 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 13 p ‡ k
2p x ˆ 59 p ‡ k
23 p _ x ˆ 19 p ‡ k
23 p 26

a 2 sin2 …x† ˆ 1 sin2 …x† ˆ 12 q p sin…x† ˆ 12 ˆ 12 2 _ sin…x† ˆ

1 2

p 2

sin…x† ˆ sin…14 p† _ sin…x† ˆ sin… 14 p† 1 x ˆ 14 p ‡ k
2p _ x ˆ p 14 p ‡ k
2p _ x ˆ 14 p ‡ k
2p _ x ˆ p 4 p ‡ k
2p 1 3 1 1 x ˆ 4 p ‡ k
2p _ x ˆ 4 p ‡ k
2p _ x ˆ 4 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 4 p ‡ k
2p b 2 cos2 …12 x† ˆ 1 cos2 …12 x† ˆ 12 p p cos…12 x† ˆ 12 2 _ cos…12 x† ˆ 12 2 cos…12 x† ˆ cos…14 p† _ cos…12 x† ˆ cos…34 p† 1 1 1 1 1 3 1 3 2 x ˆ 4 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ 4 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ 4 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ 4 p ‡ k
2p 1 1 1 1 x ˆ 2 p ‡ k
4p _ x ˆ 2 p ‡ k
4p _ x ˆ 1 2 p ‡ k
4p _ x ˆ 1 2 p ‡ k
4p c 4 sin2 …x 16 p† ˆ 1 sin2 …x 16 p† ˆ 14 sin…x 16 p† ˆ 12 _ sin…x 16 p† ˆ 12 sin…x 16 p† ˆ sin…16 p† _ sin…x 16 p† ˆ sin… 16 p† x 16 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ x 16 p ˆ p 16 p ‡ k
2p _ x 16 p ˆ 16 p ‡ k
2p 1 _ x 16 p ˆ p 6 p ‡ k
2p 1 x ˆ 3 p ‡ k
2p _ x ˆ p ‡ k
2p _ x ˆ k
2p _ x ˆ 43 p ‡ k
2p d 4 cos2 …x ‡ 14 p† ˆ 3 cos2 …x ‡ 14 p† ˆ 34 p p cos…x ‡ 14 p† ˆ 12 3 _ cos…x ‡ 14 p† ˆ 12 3 cos…x ‡ 14 p† ˆ cos…16 p† _ cos…x ‡ 14 p† ˆ cos…56 p† x ‡ 14 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ‡ 14 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ‡ 14 p ˆ 56 p ‡ k
2p _ x ‡ 14 p ˆ 56 p ‡ k
2p 1 7 7 p ‡ k
2p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 13 x ˆ 12 12 p ‡ k
2p 27

9 x ˆ 0 ‡ k
2p geeft . . . ; 0; 2p; 4p; . . . = x ˆ p 0 ‡ k
2p geeft . . . ; p; 3p; 5p; . . . x ˆ 0 ‡ k
2p _ x ˆ p 0 ‡ k
2p ; komt op hetzelfde neer als x ˆ k
p x ˆ k
p geeft . . . ; 0; p; 2p; 3p; . . .

106 Hoofdstuk16

bladzijde128 28

a sin…3x 12 p† ˆ 0 3x 12 p ˆ k
p 3x ˆ 12 p ‡ k
p x ˆ 16 p ‡ k
13 p b cos…12 x 16 p† ˆ 0 1 1 1 2x 6p ˆ 2p ‡ k
p 1 2 2x ˆ 3p ‡ k
p x ˆ 43 p ‡ k
2p c sin2 …2x† ˆ 1 sin…2x† ˆ 1 _ sin…2x† ˆ 1 2x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 1 12 p ‡ k
2p x ˆ 14 p ‡ k
p _ x ˆ 34 p ‡ k
p x ˆ 14 p ‡ k
12 p d cos2 …x 15 p† ˆ 1 cos…x 15 p† ˆ 1 _ cos…x 15 p† ˆ 1 x 15 p ˆ k
2p _ x 15 p ˆ p ‡ k
2p x ˆ 15 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 15 p ‡ k
2p x ˆ 15 p ‡ k
p

29

a sin2 …x† sin…x† ˆ 0 sin…x†…sin…x† 1† ˆ 0 sin x ˆ 0 _ sin…x† ˆ 1 x ˆ k
p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p b 4 sin3 …x† sin…x† ˆ 0 4 sin…x†…sin2 …x† 14† ˆ 0 sin…x† ˆ 0 _ sin2 …x† ˆ 14 x ˆ k
p _ sin…x† ˆ 12 _ sin…x† ˆ 12 x ˆ k
p _ sin…x† ˆ sin…16 p† _ sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ k
p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p _ x ˆ c 2 cos2 …x† ˆ cos…x† ‡ 1 2 cos2 …x† cos…x† 1 ˆ 0 cos2 …x† 12 cos…x† 12 ˆ 0 …cos…x† 1†…cos…x† ‡ 12† ˆ 0 cos…x† ˆ 1 _ cos…x† ˆ 12
x ˆ k
2p _ cos…x† ˆ cos 23 p x ˆ k
2p _ x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ x ˆ k
23 p d cos2 …x† cos…x† ‡ 14 ˆ 0 …cos…x† 12†2 ˆ 0 cos…x† ˆ 12 cos…x† ˆ cos…13 p† x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ 13 p ‡ k
2p

2 3p

1 6p

‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p

‡ k
2p

30 a sin…x ‡ 1† ˆ sin…2x ‡ 3†

x ‡ 1 ˆ 2x ‡ 3 ‡ k
2p _ x ‡ 1 ˆ p …2x ‡ 3† ‡ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ x ‡ 1 ˆ p 2x 3 ‡ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ 3x ˆ 4 ‡ p ‡ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ x ˆ 1 13 ‡ 13 p ‡ k
23 p

Goniometrie 107

b cos…2x 1† ˆ cos…x ‡ 1† 2x 1 ˆ x ‡ 1 ‡ k
2p _ 2x 1 ˆ …x ‡ 1† ‡ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ 2x 1 ˆ x 1 ‡ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ 3x ˆ k
2p x ˆ 2 ‡ k
2p _ x ˆ k
23 p c sin…2x 12 p† ˆ sin…x ‡ 13 p† 2x 12 p ˆ x ‡ 13 p ‡ k
2p _ 2x 12 p ˆ p …x ‡ 13 p† ‡ k
2p x ˆ 56 p ‡ k
2p _ 2x 12 p ˆ p x 13 p ‡ k
2p x ˆ 56 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 1 16 p ‡ k
2p 7 p ‡ k
23 p x ˆ 56 p ‡ k
2p _ x ˆ 18 1 d cos…x 3 p† ˆ cos…2x† x 13 p ˆ 2x ‡ k
2p _ x 13 p ˆ 2x ‡ k
2p x ˆ 13 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 13 p ‡ k
2p x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ 19 p ‡ k
23 p e sin…2px† ˆ sin…p…x 1†† sin…2px† ˆ sin…px p† 2px ˆ px p ‡ k
2p _ 2px ˆ p …px p† ‡ k
2p px ˆ p ‡ k
2p _ 2px ˆ p px ‡ p ‡ k
2p x ˆ 1 ‡ k
2 _ 3px ˆ 2p ‡ k
2p x ˆ 1 ‡ k
2 _ x ˆ 23 ‡ k
23 x ˆ 1 ‡ k
2 _ x ˆ k
23 f cos…12 px† ˆ cos…p…x 2†† cos…12 px† ˆ cos…px 2p† 1 2p ‡ k
2p _ 12 px ˆ …px 2p† ‡ k
2p 2 px ˆ px 1 2p ‡ k
2p _ 12 px ˆ px ‡ 2p ‡ k
2p 2 px ˆ x ˆ 4 ‡ k
4 _ 1 12 px ˆ 2p ‡ k
2p x ˆ k
4 _ x ˆ 43 ‡ k
43 x ˆ k
43 bladzijde130 31

sin…2x 13 p† ˆ cos…x ‡ 13 p† cos…12 p …2x 13 p†† ˆ cos…p …x ‡ 13 p†† cos…12 p 2x ‡ 13 p† ˆ cos…p x 13 p† cos…56 p 2x† ˆ cos…23 p x† 5 2x ˆ 23 p x ‡ k
2p _ 56 p 2x ˆ …23 p x† ‡ k
2p 6p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 56 p 2x ˆ 23 p ‡ x ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 1 12 p ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 12 p ‡ k
23 p

32

a sin…x ‡ 12 p† ˆ cos…2x† sin…x ‡ 12 p† ˆ sin…12 p 2x† x ‡ 12 p ˆ 12 p 2x ‡ k
2p _ x ‡ 12 p ˆ p …12 p 2x† ‡ k
2p 3x ˆ k
2p _ x ‡ 12 p ˆ p 12 p ‡ 2x ‡ k
2p x ˆ k
23 p _ x ˆ k
2p x ˆ k
23 p _ x ˆ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 0 _ x ˆ 23 p _ x ˆ 43 p _ x ˆ 2p.

108 Hoofdstuk 16

b sin…3x† ˆ cos…x† sin…3x† ˆ sin…12 p x† sin…3x† ˆ sin…x 12 p† 3x ˆ x 12 p ‡ k
2p _ 3x ˆ p …x 12 p† ‡ k
2p 2x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 3x ˆ p x ‡ 12 p ‡ k
2p x ˆ 14 p ‡ k
p _ 4x ˆ 1 12 p ‡ k
2p x ˆ 14 p ‡ k
p _ x ˆ 38 p ‡ k
12 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 38 p _ x ˆ 34 p _ x ˆ 78 p _ x ˆ 1 38 p _ x ˆ 1 34 p _ x ˆ 1 78 p. c cos…x 1† ˆ cos…2x ‡ 1† cos…x 1† ˆ cos…p …2x ‡ 1†† cos…x 1† ˆ cos…p 2x 1† x 1 ˆ p 2x 1 ‡ k
2p _ x 1 ˆ …p 2x 1† ‡ k
2p 3x ˆ p ‡ k
2p _ x 1 ˆ p ‡ 2x ‡ 1 ‡ k
2p x ˆ 13 p ‡ k
23 p _ x ˆ p ‡ 2 ‡ k
2p x ˆ 13 p ‡ k
23 p _ x ˆ p 2 ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 13 p _ x ˆ p 2 _ x ˆ p _ x ˆ 1 23 p. d 2 sin…x† cos…x† ˆ sin…x 1† sin…2x† ˆ sin…x 1† 2x ˆ x 1 ‡ k
2p _ 2x ˆ p …x 1† ‡ k
2p x ˆ 1 ‡ k
2p _ 2x ˆ p x ‡ 1 ‡ k
2p x ˆ 1 ‡ k
2p _ 3x ˆ p ‡ 1 ‡ k
2p x ˆ 1 ‡ k
2p _ x ˆ 13 p ‡ 13 ‡ k
23 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 13 p ‡ 13 _ x ˆ p ‡ 13 _ x ˆ 1 ‡ 2p _ x ˆ 1 23 p ‡ 13 33 a cos…2pt† ˆ sin…12 pt†

cos…2pt† ˆ cos…12 p 12 pt† 2pt ˆ 12 p 12 pt ‡ k
2p _ 2pt ˆ …12 p 12 pt† ‡ k
2p 2 12 pt ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2pt ˆ 12 p ‡ 12 pt ‡ k
2p t ˆ 15 ‡ k
45 _ 1 12 pt ˆ 12 p ‡ k
2p t ˆ 15 ‡ k
45 _ t ˆ 31 ‡ k
43 t op ‰0; 3Š dus t ˆ 15 _ t ˆ 1 _ t ˆ 1 45 _ t ˆ 2 13 _ t ˆ 2 35.   b sin pt ˆ cos…pt† 6   sin pt ˆ sin…12 p pt† 6   sin pt ˆ sin…pt 12 p† 6 pt ˆ pt 1p ‡ k
2p _ pt ˆ p …pt 1p† ‡ k
2p 2 2 6 6 pt ˆ 6pt 3p ‡ k
12p _ pt ˆ 6p 6pt ‡ 3p ‡ k
12p 5pt ˆ 3p ‡ k
12p _ 7pt ˆ 9p ‡ k
12p 9 12 t ˆ 35 ‡ k
12 5 _tˆ 7‡k
7 t op ‰0; 3Š dus t ˆ 35 _ t ˆ 1 27 _ t ˆ 3.

Goniometrie 109

34 a

y

ƒ y= x 2π

π

O

1 2

b sin…2x† ˆ 12 sin…2x† ˆ sin…16 p† 2x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 2x ˆ p 16 p ‡ k
2p 1 p ‡ k
p _ 2x ˆ 56 p ‡ k
2p x ˆ 12 1 5 p‡k
p x ˆ 12 p ‡ k
p _ x ˆ 12 1 5 1 5 p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ 1 12 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 12 1 1 5 1 5 p. Aflezen geeft sin…2x† > 2 voor 12 p < x < 12 p _ 1 12 p < x < 1 12 35

a

y

ƒ

O

g

π

x 2π

b f …x† ˆ g…x† sin…x† ˆ cos…2x† sin…x† ˆ sin…12 p 2x† sin…x† ˆ sin…2x 12 p† x ˆ 2x 12 p ‡ k
2p _ x ˆ p …2x 12 p† ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ p 2x ‡ 12 p ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 1 12 p ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 12 p ‡ k
23 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 56 p De gemeenschappelijke punten zijn …12 p; 1†, …1 16 p; 12† en …1 56 p; 12†. c Aflezen geeft sin…x†  cos…2x† voor x ˆ 12 p _ 1 16 p  x  1 56 p. 36 a f …x† ˆ 0

sin…2x 13 p† ˆ 0 2x 13 p ˆ k
p 2x ˆ 13 p ‡ k
p x ˆ 16 p ‡ k
12 p x op ‰0; 1 12 pŠ dus de nulpunten van f zijn x ˆ 16 p, x ˆ 23 p en x ˆ 1 16 p.

110 Hoofdstuk 16

g…x† ˆ 0 cos…x ‡ 16 p† ˆ 0 cos…x ‡ 16 p† ˆ 0 x ‡ 16 p ˆ 12 p ‡ k
p x ˆ 13 p ‡ k
p x op ‰0; 1 12 pŠ dus de nulpunten van g zijn x ˆ 13 p en x ˆ 1 13 p. b f …x† ˆ 12 sin…2x 13 p† ˆ sin…16 p† 2x 13 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ 2x 13 p ˆ p 16 p ‡ k
2p 2x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 1 16 p ‡ k
2p 7 p‡k
p x ˆ 14 p ‡ k
p _ x ˆ 12 1 7 p _ x ˆ 1 14 p x op ‰0; 1 2 pŠ dus x ˆ 14 p _ x ˆ 12 y

ƒ y= O

π

1

12π

1 2

x

7 Aflezen geeft f …x† > 12 voor 14 p < x < 12 p _ 1 14 p < x  1 12 p. c f …x† ˆ g…x† sin…2x 13 p† ˆ cos…x ‡ 16 p† sin…2x 13 p† ˆ sin…12 p …x ‡ 16 p†† sin…2x 13 p† ˆ sin…12 p x 16 p† sin…2x 13 p† ˆ sin…x 13 p† 2x 13 p ˆ x 13 p ‡ k
2p _ 2x 13 p ˆ p …x 13 p† ‡ k
2p x ˆ k
2p _ 2x 13 p ˆ p x ‡ 13 p ‡ k
2p x ˆ k
2p _ 3x ˆ 1 23 p ‡ k
2p x ˆ k
2p _ x ˆ 59 p ‡ k
23 p x op ‰0; 1 12 pŠ geeft x ˆ 0 _ x ˆ 59 p _ x ˆ 11 9 p. Aflezen geeft f …x† < g…x† voor 59 p < x < 11 9 p.

37

a 2 sin…x† ˆ sin…x† sin…x† ˆ 0 b sin…2x† ˆ sin…x† 2x ˆ x ‡ k
2p _ 2x ˆ p x ‡ k
2p c niet exact op te lossen d niet exact op te lossen e sin…2x† ˆ sin…x ‡ 13 p† 2x ˆ x ‡ 13 p ‡ k
2p _ 2x ˆ p …x ‡ 13 p† ‡ k
2p f 2 sin…x† ˆ sin…2x† 2 sin…x† ˆ 2 sin…x† cos…x†

Goniometrie 111

16.3 Goniometrische functies differentie«ren bladzijde132 38 a

b y ˆ cos…x†

c

yˆ

sin…x†

39 a Bij de draaiingshoek  radialen in de eenheidscirkel hoort een cirkelboog met lengte .

Dus bij de draaiingshoek  radialen in de eenheidscirkel hoort een boog met lengte . b Bij een kleine hoek valt de koorde vrijwel samen met de bijbehorende cirkelboog, dus boog AB ˆ koorde AB.  c € ABC ˆ € ABC !   ! 0, dus !  bladzijde133 40

g…x† ˆ cos…x† ˆ sin…12 p x† y ˆ sin…12 p x† ˆ sin…u† met u ˆ 12 p

x geeft

g0 …x† ˆ

cos…12p

112 Hoofdstuk16

dy dy du ˆ cos…u†
ˆ
dx du dx

1ˆ

x† ˆ

sin…x†.

bladzijde134 41

a f …x† ˆ cos…2x† ˆ cos…u† met u ˆ 2x geeft dy dy du ˆ
ˆ sin…u†
2 ˆ 2 sin…2x† dx du dx b g…x† ˆ x cos…x† geeft g0 …x† ˆ 1
cos…x† ‡ x
sin…x† ˆ cos…x† x sin…x† c h…x† ˆ 3 ‡ 4 sin…2x 13 p† ˆ 3 ‡ 4 sin…u† met u ˆ 2x 13 p geeft f 0 …x† ˆ

dy dy du ˆ
ˆ 4 cos…u†
2 ˆ 8 cos…2x 13 p† dx du dx d j…x† ˆ 10 ‡ 16 sin…12 …x 1†† ˆ 10 ‡ 16 sin…u† met u ˆ 12 …x h0 …x† ˆ

dy dy du j 0 …x† ˆ ˆ
ˆ 16 cos…u†
12 ˆ 8 cos…12 …x dx du dx

42

1† geeft

1††

a f …x† ˆ sin…ax ‡ b† ˆ sin…u† met u ˆ ax ‡ b geeft dy dy du ˆ cos…u†
a ˆ a cos…ax ‡ b† ˆ
dx du dx b y ˆ cos…ax ‡ b† ˆ cos…u† met u ˆ ax ‡ b geeft f 0 …x† ˆ

g0 …x† ˆ 43 a I

dy dy du ˆ
ˆ dx du dx

sin…u†
a ˆ

a sin…ax ‡ b†

f …x† ˆ x sin…2x†

dy ˆ cos…u†
2 ˆ 2 cos…2x† dx f 0 …x† ˆ 1
sin…2x† ‡ x
2 cos…2x† ˆ sin…2x† ‡ 2x cos…2x† II f …x† ˆ x sin…2x† geeft f 0 …x† ˆ 1
sin…2x† ‡ x
2 cos…2x† ˆ sin…2x† ‡ 2x cos…2x† b Methode II heeft de voorkeur, deze methode geeft in e¨e¨n keer de afgeleide. y ˆ sin…2x† ˆ sin…u† met u ˆ 2x geeft

44 a f …x† ˆ x cos…2x† geeft f 0 …x† ˆ 1
cos…2x† ‡ x


2 sin…2x† ˆ cos…2x† 2x sin…2x† b g…x† ˆ x sin…3x† geeft g …x† ˆ 2x sin…3x† ‡ x
3 cos…3x† ˆ 2x sin…3x† ‡ 3x2 cos…3x† c h…x† ˆ 2x sin…3x 1† geeft h0 …x† ˆ 2 sin…3x 1† ‡ 2x
3 cos…3x 1† ˆ 2 sin…3x 1† ‡ 6x cos…3x 1† d j…x† ˆ 1 ‡ 3x cos…12 x† geeft j 0 …x† ˆ 3 cos…12 x† ‡ 3x
12 sin…12 x† ˆ 3 cos…12 x† 1 12 x sin…12 x† 2

45

0

2

a I f …x† ˆ sin…x†
sin…x† geeft f 0 …x† ˆ cos…x†
sin…x† ‡ sin…x†
cos…x† ˆ 2 sin…x† cos…x† II y ˆ sin2 …x† ˆ u2 met u ˆ sin…x† geeft dy dy du ˆ
ˆ 2u
cos…x† ˆ 2 sin…x† cos…x† dx du dx III f …x† ˆ sin2 …x† ˆ 12 12 cos…2x† geeft f 0 …x† ˆ 12
2 sin…2x† ˆ sin…2x† b Methode III als je de formule sin2 …A† ˆ 12 12 cos…2A† paraat hebt. Anders voorkeur voor een van de methoden I en II. f 0 …x† ˆ

46 a f …x† ˆ cos2 …x† ˆ 12 ‡ 12 cos…2x† geeft f 0 …x† ˆ 12


b c d

2

2 sin…2x† ˆ

2…12

sin…2x†

1 cos…2x† geeft g0 …x† ˆ 2 sin…2x† g…x† ˆ 2 sin …x† ˆ 2 cos…2x†† ˆ 1 2 1 1 h…x† ˆ 1 ‡ 2 cos …x† ˆ 1 ‡ 2…2 ‡ 2 cos…2x†† ˆ 2 ‡ cos…2x† geeft h0 …x† ˆ j…x† ˆ x ‡ 3 sin2 …x† ˆ x ‡ 3…12 12 cos…2x†† ˆ x ‡ 1 12 1 12 cos…2x† geeft j 0 …x† ˆ 1 1 12
2 sin…2x† ˆ 1 ‡ 3 sin…2x†

2 sin…2x†

ALTERNATIEVE UITWERKING

a f …x† ˆ cos2 …x† ˆ u2 met u ˆ cos…x† geeft f 0 …x† ˆ 2u
sin…x† ˆ 2 cos…x† sin…x† ˆ sin…2x†

Goniometrie 113

b g…x† ˆ 2 sin2 …x† ˆ 2u2 met u ˆ sin…x† geeft g0 …x† ˆ 4u
cos…x† ˆ 4 sin…x† cos…x† ˆ 2 sin…2x† c h…x† ˆ 1 ‡ 2 cos2 …x† ˆ 1 ‡ 2u2 met u ˆ cos…x† geeft h0 …x† ˆ 4u
sin…x† ˆ 4 cos…x†
sin…x† ˆ 2 sin…2x† d j…x† ˆ x ‡ 3 sin2 …x† ˆ x ‡ 3 sin…x†
sin…x† geeft j 0 …x† ˆ 1 ‡ 3 cos…x†
sin…x† ‡ 3 sin…x†
cos x ˆ 1 ‡ 6 sin…x† cos…x† ˆ 1 ‡ 3 sin…2x† bladzijde 135 47

a f …x† ˆ sin3 …x† ˆ u3 met u ˆ sin…x† geeft f 0 …x† ˆ 3u2
cos…x† ˆ 3 sin2 …x† cos…x† 9 b g…x† ˆ x sin2 …x† geeft g0 …x† ˆ 1
sin2 …x† ‡ x
‰sin2 …x†Š0 = dy ˆ 2u
cos…x† ˆ 2 sin…x† cos…x† ˆ sin…2x† ; y ˆ sin2 …x† ˆ u2 met u ˆ sin…x† geeft dx g0 …x† ˆ sin2 …x† ‡ x
sin…2x† p p cos…x† 1 
cos…x† ˆ p  c y ˆ 2 ‡ sin…x† ˆ u met u ˆ 2 ‡ sin…x† geeft h0 …x† ˆ p 2 u 2 2 ‡ sin…x† dy d y ˆ cos…x2 † ˆ cos…u† met u ˆ x2 geeft ˆ sin…u†
2x ˆ 2x sin…x2 † dx j…x† ˆ 2x
cos…x2 † geeft j 0 …x† ˆ 2
cos…x2 † ‡ 2x
2x sin…x2 † ˆ 2 cos…x2 † 4x2 sin…x2 †

48 a f …x† ˆ cos3 …x† ˆ u3 met u ˆ cos…x† geeft

f 0 …x† ˆ 3u2
sin…x† ˆ 3 cos2 …x†
sin…x† ˆ 3…1 sin2 …x††
sin…x† ˆ 3 sin…x† ‡ 3 sin3 …x† b f …x† ˆ sin3 …x† ‡ sin…x† ˆ u3 ‡ u met u ˆ sin…x† geeft f 0 …x† ˆ …3u2 ‡ 1†
cos…x† ˆ …3 sin2 …x† ‡ 1† cos…x† ˆ 3 sin2 …x† cos…x† ‡ cos…x† ˆ 3…1 cos2 …x†† cos…x† ‡ cos…x† ˆ 3 cos…x† 3 cos3 …x† ‡ cos…x† ˆ 4 cos…x† 3 cos3 …x† c y ˆ sin2 …x† ˆ u2 met u ˆ sin…x† geeft y0 ˆ 2u
cos…x† ˆ 2 sin…x† cos…x† f …x† ˆ sin2 …x†
cos…x† geeft f 0 …x† ˆ 2 sin…x† cos…x†
cos…x† ‡ sin2 …x†
sin…x† ˆ 2 sin…x†
cos2 …x† sin3 …x† ˆ 2 sin…x†…1 sin2 …x†† sin3 …x† ˆ 2 sin…x† 2 sin3 …x† sin3 …x† ˆ 2 sin…x† 3 sin3 …x† 49

sin…x† geeft cos…x† cos…x†
cos…x† sin…x†
sin…x† cos2 …x† ‡ sin2 …x† 1 ˆ ˆ f 0 …x† ˆ cos2 …x† cos2 …x† cos2 …x† sin…x† geeft f …x† ˆ tan…x† ˆ cos…x† cos…x†
cos…x† sin…x†
sin…x† f 0 …x† ˆ cos2 …x†  2 2 cos …x† sin2 …x† sin…x† ‡ ˆ1‡ ˆ 1 ‡ tan2 …x† ˆ cos2 …x† cos2 …x† cos…x†

a f …x† ˆ tan x ˆ

1 2
2ˆ cos2 …u† cos2 …2x† 2 tan…x† 1 ˆ h…x† ˆ tan2 …x† ˆ u2 met u ˆ tan…x† geeft h0 …x† ˆ 2u
cos2 …x† cos2 …x†

b g…x† ˆ tan…2x† ˆ tan…u† met u ˆ 2x geeft g0 …x† ˆ

114 Hoofdstuk16

bladzijde136 50 a f …x† ˆ cos…2x†

2 sin…x† ‡ 2 geeft f 0 …x† ˆ Stel k: y ˆ ax ‡ b. a ˆ f 0 …p† ˆ 2 sin…2p† 2 cos…p† ˆ 2  Dus k: y ˆ 2x ‡ b 3 ˆ 2p ‡ b f …p† ˆ 3 dus P…p; 3† 3 2p ˆ b

2 sin…2x†

2 cos…x†

De raaklijn is k: y ˆ 2x ‡ 3 2p. b f 0 …x† ˆ 0 2 sin…2x† 2 cos…x† ˆ 0 sin…2x† ˆ cos…x† sin… 2x† ˆ sin…12 p x† 2x ˆ 12 p x ‡ k
2p _ 2x ˆ p …12 p x† ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2x ˆ p 12 p ‡ x ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 12 p ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 16 p ‡ k
23 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ 1 56 p. f …12 p† ˆ 1 2 ‡ 2 ˆ 1 dus A…12 p; 1† f …1 16 p† ˆ 12 ‡ 1 ‡ 2 ˆ 3 12 dus B…1 16 p; 3 12† f …1 12 p† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 2 ˆ 3 dus C…1 12 p; 3† f …1 56 p† ˆ 12 ‡ 1 ‡ 2 ˆ 3 12 dus D…1 56 p; 3 12† c f …0† ˆ f …2p† ˆ 3 Aflezen f …x† ˆ p heeft vier oplossingen voor 3  p < 3 12. 51

a f …x† ˆ 12 x ‡ cos…x† geeft f 0 …x† ˆ 12 sin…x† f 0 …x† ˆ 0 geeft 12 sin…x† ˆ 0 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ p 16 p ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p x op ‰0; 7Š dus x ˆ 16 p _ x ˆ 56 p _ x ˆ 2 16 p. b f 0 …x† ˆ 1 geeft 12 sin…x† ˆ 1 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ p … 16 p† ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p x op ‰0; 7Š dus x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 56 p.

52

f …x† ˆ 4 sin2 …x† ˆ 4u2 met u ˆ sin…x† geeft f 0 …x† ˆ 8u
cos…x† ˆ 8 sin…x† cos…x† ˆ 4 sin…2x† f 00 …x† ˆ 8 cos…2x† f 00 …x† ˆ 0 geeft 8 cos…2x† ˆ 0 cos…2x† ˆ 0 2x ˆ 12 p ‡ k
p x ˆ 14 p ‡ k
12 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 14 p _ x ˆ 34 p _ x ˆ 1 14 p _ x ˆ 1 34 p.

Goniometrie 115

f 0 …14 p† ˆ 4 sin…12 p† ˆ 4  y ˆ 4x ‡ b f …14 p† ˆ 2 dus …14 p; 2† 2 ˆ p ‡ b 2 pˆb buigraaklijn: y ˆ 4x ‡ 2 p f 0 …34 p† ˆ 4 sin…1 12 p† ˆ 4  y ˆ 4x ‡ b f …34 p† ˆ 2 dus …34 p; 2† 2 ˆ 3p ‡ b 2 ‡ 3p ˆ b buigraaklijn: y ˆ 4x ‡ 2 ‡ 3p f 0 …1 14 p† ˆ 4  y ˆ 4x ‡ b f …1 14 p† ˆ 2 dus …1 14 p; 2† 2 ˆ 5p ‡ b 2 5p ˆ b buigraaklijn: y ˆ 4x ‡ 2 5p f 0 …1 34 p† ˆ 4  y ˆ 4x ‡ b f …1 34 p† ˆ 2 dus …1 34 p; 2† 2 ˆ 7p ‡ b 2 ‡ 7p ˆ b buigraaklijn: y ˆ 53

4x ‡ 2 ‡ 7p

3 cos…x† ˆ0 2 sin…x† 3 cos…x† ˆ 0 cos…x† ˆ 0 x ˆ 12 p ‡ k
p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 1 12 p. De snijpunten met de x-as zijn …12 p; 0† en …1 12 p; 0†. 3 cos…x† …2 sin…x††
3 sin…x† 3 cos…x†
geeft f 0 …x† ˆ f …x† ˆ 2 sin…x† …2 sin…x††2 2 2 6 sin…x† ‡ 3 sin …x† ‡ 3 cos …x† 6 sin…x† ‡ 3 ˆ ˆ 2 …2 sin…x†† …2 sin…x††2 Stel y ˆ ax ‡ b.

a f …x† ˆ 0 geeft

a ˆ f 0 …12 p† ˆ y ˆ 3x ‡ b door …12 p; 0†

…2 

6‡3 ˆ 1†2

3

0 ˆ 1 12 p ‡ b 1 12 p ˆ b

raaklijn: y ˆ 3x ‡ 1 12 p Stel y ˆ ax ‡ b. a ˆ f 0 …1 12 p† ˆ yˆx‡b door …1 12 p; 0†

6‡3 ˆ9ˆ1 9 …2 1†2 

raaklijn: y ˆ x

116 Hoofdstuk16

0 ˆ 1 12 p ‡ b 1 12 p ˆ b 1 12 p

cos…x†

6 sin…x† ‡ 3 ˆ0 …2 sin…x††2 6 sin…x† ‡ 3 ˆ 0 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus xA ˆ 16 p en xB ˆ 56 p. c f …0† ˆ f …2p† ˆ 32 ˆ 1 12. Aflezen geeft f …x† ˆ p heeft drie oplossingen voor p ˆ 1 12.

b f 0 …x† ˆ 0 geeft

54 Bij y ˆ a ‡ b sin…c…x

c…x

d† ˆ

1 2p

d†† krijg je een top als

‡k
p

d ˆ 1 p‡k
p 2c c

x

xˆd ‡ 1 p‡k
p 2c c Bij y ˆ a ‡ b cos…c…x c…x d† ˆ k
p

d†† krijg je een top als

d ˆk
p c

x

xˆd ‡k
p c

16.4 Goniometrische functies integreren bladzijde138 55

a F …x† ˆ a cos…3x† geeft F 0 …x† ˆ a
F 0 …x† ˆ f …x† ˆ sin…3x†

3 sin…3x† ˆ

3a sin…3x†

b G…x† ˆ b sin…5x† geeft G0 …x† ˆ b
5 cos…5x† ˆ 5b cos…5x† G0 …x† ˆ g…x† ˆ cos…5x†

d j…x†ˆ 3 cos…12 x Z 57

a a

1 3p

0

1 6 p†

geeft J…x† ˆ 3
11 sin…12 x 2

 5b ˆ 1 b ˆ 15

1 6 p†

c

‡ c ˆ 6 sin…12 x

2 12 sin…2x† ‡ c 1 6 p†

‡c

1

…2x ‡ cos…12 x††dx ˆ ‰x2 ‡ 2 sin…12 x†Š3p .

ˆ ……13 p†2 ‡ 2 sin…16 p†† 0 ˆ 19 p2 ‡ 1 Z 1p 3 b …x2 2 sin…x 16 p††dx ˆ ‰13 x3 ‡ 2 cos…x 1 6p

3a ˆ 1 a ˆ 13

1 4 3 cos…3x† ‡ c ˆ 3 cos…3x† ‡ 2 1 3 1 5 cos…2x† geeft G…x† ˆ 3 x 5
2 sin…2x† ‡ c ˆ 13 x3 x 1 1 sin…2x ‡ 3 p† geeft H…x† ˆ 2 cos…2x ‡ 13 p† ‡ c

56 a f …x† ˆ 4 sin…3x† geeft F …x† ˆ 4


b g…x† ˆ c h…x† ˆ



1 1 3p 6 p†Š16p

ˆ …13
…13 p†3 ‡ 2 cos…16 p†† …13
…16 p†3 ‡ 2 cos…0†† p p 1 3 1 7 ˆ 81 p ‡ 3 648 p3 2 ˆ 648 p3 ‡ 3 2

Goniometrie 117

bladzijde 139 58 a

y

ƒ 2

1

π

O

x

2π

b f …x† ˆ 0 geeft 1 ‡ 2 sin…x 13 p† ˆ 0 2 sin…x 13 p† ˆ 1 sin…x 13 p† ˆ 12 sin…x 13 p† ˆ sin… 16 p† x 13 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ x 13 p ˆ 1 16 p ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 12 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 16 p _ x ˆ 1 12 p. Z 1 1p 2
 11p opp ˆ 1 ‡ 2 sin…x 13 p† dx ˆ x 2 cos…x 13 p† 1p2 1 6 6p

1 1 1 1 ˆ 1 2 p 2 cos…1 6 p† 2 cos… 6 p† 6p p p p ˆ 1 12 p 2
12 3 16 p ‡ 2
12 3 ˆ 1 13 p ‡ 2 3 0

59 a Nee, want ‰13 sin3 …x†Š ˆ sin2 …x†
cos…x†

b cos…2x† ˆ 1 2 sin2 …x† geeft sin2 …x† ˆ 12 12 cos…2x† f …x† ˆ sin2 …x† ˆ 12 12 cos…2x† geeft F …x† ˆ 12 x 12
12 sin…2x† ‡ c ˆ 12 x 14 sin…2x† ‡ c

60 a f …x† ˆ cos2 …x† ˆ 12 ‡ 12 cos…2x† geeft F …x† ˆ 12 x ‡ 12
12 sin…2x† ‡ c ˆ 12 x ‡ 14 sin…2x† ‡ c

b g…x† ˆ sin2 …3x† ˆ 12 Z

61

1 2 cos…6x†

Z

5 12p

geeft G…x† ˆ 12 x

1 2

5


16
sin…6x† ‡ c ˆ 12 x

12p 1 125 p 1 1 sin…x† cos…x†dx ˆ 2 sin…2x†dx ˆ 2
2 cos…2x† 0 0 0  1 125 p

1 5 1 ˆ cos…2x† ˆ cos… 4 4 6 p† 4 cos…0† 0 p p ˆ 14
12 3 … 14
1† ˆ 18 3 ‡ 14 Z p Z p
b …2 12 sin2 …x† dx ˆ …2 12 …12 12 cos…2x†††dx

a

1 3p

Z

ˆ

1 3p

p

1 3p


 p 1 34 ‡ 14 cos…2x† dx ˆ 1 34 x ‡ 18 sin…2x† 1p


ˆ 1 34 p ‡ 18 sin…2p†

118 Hoofdstuk16

3

7 12 p




‡ 18 sin…23 p† ˆ 76 p

1 16

p 3

1 12 sin…6x†

‡c

bladzijde140 62

f …x† ˆ 0 geeft sin2 …x† ‡ sin…x† ‡ 14 ˆ 0
2 sin…x† ‡ 12 ˆ 0 sin…x† ‡ 12 ˆ 0 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 56 p. Z 1 1p 6 …sin2 …x† ‡ sin…x† ‡ 14†dx O…V † ˆ 0 Z 11p 6
1 1 1 ˆ 2 2 cos…2x† ‡ sin…x† ‡ 4 dx 0 Z 11p 6
3 1 ˆ 4 2 cos…2x† ‡ sin…x† dx 0

ˆ ˆ

3

4x

1 4 sin…2x†

 1 1p cos…x† 06

7 8p

1 7 4 sin…3 p†

cos…76 p††

ˆ 78 p 63

… 1† p   p   p 1 1 7 3 8 3 ‡ 2 3 ‡ 1 ˆ 8p ‡ 8 3 ‡ 1

a f …x† ˆ 2 sin2 …x† ‡ sin…x† 1 geeft f 0 …x† ˆ 4 sin…x† cos…x† ‡ cos…x† f 0 …x† ˆ 0 geeft 4 sin…x† cos…x† ‡ cos…x† ˆ 0
4 cos…x† sin…x† ‡ 14 ˆ 0 cos…x† ˆ 0 _ sin…x† ˆ 14 x ˆ 12 p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ xD _ x ˆ xE 9 1 f …2 p† ˆ 2 ‡ 1 1 ˆ 2 = f …1 12 p† ˆ 2 1 1 ˆ 0 Bf ˆ ‰ 1 18 ; 2Š ; f …xD † ˆ f …xE † ˆ 2
… 14†2 ‡ … 14† 1 ˆ 1 18 b Stel k: y ˆ ax ‡ b. p p a ˆ f 0 …13 p† ˆ 4
12 3
12 ‡ 12 ˆ 3 ‡ 12 ) p 1 p p y ˆ … 3 ‡ 2†x ‡ b p p 12 ‡ 12 3 ˆ … 3 ‡ 12†
13 p ‡ b 1 1 1 1 1 1 f …3 p† ˆ 2 ‡ 2 3 dus A…3 p; 2 ‡ 2 3 1 1 p 1 p 1 2‡2 3 3p 3 6p ˆ b p   p   p 1 Dus k: y ˆ … 3 ‡ 2†x ‡ 12 ‡ 12 3 13 p 3 16 p. c f …x† ˆ 0 geeft 2 sin2 …x† ‡ sin…x† 1 ˆ 0 sin2 …x† ‡ 12 sin…x† 12 ˆ 0 …sin…x† ‡ 1†…sin…x† 12† ˆ 0 sin…x† ˆ 1 _ sin…x† ˆ 12 x ˆ 1 12 p ‡ k
2p _ sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ 1 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 16 p _ x ˆ 56 p _ x ˆ 1 12 p. Z 5p 6
oppervlakte ˆ 2 sin2 …x† ‡ sin…x† 1 dx 1 6p Z 5p 6
2…12 12 cos…2x† ‡ sin…x† 1†dx ˆ 1 p Z6 5p 6  1  5p ˆ … cos…2x† ‡ sin…x††dx ˆ sin…2x† cos…x† 61p 2 1 6 6pp p
p 1 p p 1 1 1 1 ˆ 4 3 … 2 3† … 4 3 2 3† ˆ 1 2 3

Goniometrie 119

Z 64 Inhoud ˆ

 ˆ p 12 x

1 3p

1 6p

p
…sin…2x††2 dx ˆ

65

1 3p

1 6p

p…12

1 2 cos…4x††dx

p
p
1 ˆ p…16 p 18
12 3† p 18
12 3† p…12 p
p p 1 1 1 1 1 2 1 12 p ‡ 16 3 ˆ p…12 p ‡ 8 3† ˆ 12 p ‡ 8 p 3

1 8 sin…4x†

p 1 3 ˆ p 16 p ‡ 16

Z


13p 1 6p

a

y

ƒ

–2π

O

–π

π

2π

b f …x† ˆ 0 geeft 1 12 3 sin…12 x† ˆ 0 sin…12 x† ˆ 12 sin…12 x† ˆ sin…16 p† 1 1 1 5 2 …x† ˆ 6 p ‡ k
2p _ 2 x ˆ 6 p ‡ k
2p 1 5 x ˆ 3 p ‡ k
4p _ x ˆ 3 p ‡ k
4p x op ‰ 2p; 2pŠ dus x ˆ 13 p _ x ˆ 53 p. Z 5p 3
 5p O…V † ˆ 1 12 3 sin…12 x† dx ˆ 1 12 x ‡ 6 cos…12 x† 31p 1 3 3p p 1 p p

1 5 1 1 1 ˆ 2 2 p ‡ 6 cos…6 p† ‡ 2 p ‡ 6 cos…6 p† ˆ 2 2 p ‡ 3 3 ‡ 2 p ‡ 3 3 ˆ 6 3 Z 5p 3
2 c J…V † ˆ p 1 12 3 sin…12 x† dx 1 p Z 5p 3 3
ˆ p 2 14 9 sin…12 x† ‡ 9 sin2 …12 x† dx 1 p Z3 5p 3
p 2 14 9 sin…12 x† ‡ 4 12 4 12 cos…x† dx ˆ 1 p Z3 5p 3
ˆ p 6 34 9 sin…12 x† 4 12 cos…x† dx 1 3p  5p ˆ p 6 34 x ‡ 18 cos…12 x† 4 12 sin…x† 31p 3

ˆ p …11 14 p ‡ 18 cos…56 p† 4 12 sin…53 p† 2 14 p ‡ 18 cos…16 p† 4 12 sin…13 p† p p
p p p ˆ p 11 14 p 9 3 ‡ 2 14 3 2 14 p 9 3 ‡ 2 14 3 ˆ 9p2 13 12 p 3 66 a f …x† ˆ tan2 …x† ˆ 1 ‡ tan2 …x†

1 geeft F …x† ˆ tan…x†

b g…x† ˆ x ‡ tan2 …x† ˆ x ‡ 1 ‡ tan2 …x† c h…x† ˆ x ‡

120 Hoofdstuk16

x‡c

1 geeft G…x† ˆ 12 x2 ‡ tan…x†

1 1 ˆ x ‡ 12
geeft H…x† ˆ 12 x2 ‡ 12 tan…x† ‡ c 2 cos2 …x† cos2 …x†

x‡c

2p

x

Diagnostische toets bladzijde144 1

2

3

4

a 2 sin…t p†
sin…t 12 p† 12 sin…2t†
1 ˆ 2…sin…t† cos…p† cos…t† sin…p††
sin…t† cos…12 p† cos…t† sin…12 p† 2 sin…2t† 1 1 ˆ 2 sin…t†
cos…t† 2 sin…2t† ˆ 2 sin…t† cos…t† 2 sin…2t† ˆ sin…2t† 12 sin…2t† ˆ 12 sin…2t† b 2 ‡ cos…2x† 2 cos2 …x† ˆ 2 ‡ 2 cos2 …x† 1 2 cos2 …x† ˆ 1 c 4 sin…x†
cos…x†
sin…12 p 2x† ‡ sin…4x† ˆ 2
2 sin…x† cos…x†
cos…2x† ‡ sin…4x† ˆ 2
sin…2x†
cos…2x† ‡ sin…4x† ˆ sin…4x† ‡ sin…4x† ˆ 2 sin…4x† d sin…t u† ‡ sin…t ‡ u† ˆ sin…t† cos…u† cos…t† sin…u† ‡ sin…t† cos…u† ‡ cos…t† sin…u† ˆ 2 sin…t† cos…u†
sin 3…x 12 p† ˆ sin…3x ˆ sin…3x†
0 cos…3x†
8 cos…x† ˆ 17 2 sin …x† ‡ cos2 …x† ˆ 1



a sin…t† ˆ 12 sin2 …t† ‡ cos2 …t† ˆ 1

1 12 p† ˆ sin…3x† cos…1 12 p† 1 ˆ cos…3x† sin2 …x† ‡ 64 ˆ 1 289 sin2 …x† ˆ 225 289 sin…x† ˆ 15 17 _ sin…x† ˆ



1 4

cos…3x† sin…1 12 p†

15 17

‡ cos2 …t† ˆ 1

cos2 …t† ˆ 34 p p cos…t† ˆ 12 3 _ cos…t† ˆ 12 3 p x op ‰1 12 p; 2pŠ dus cos…t† ˆ 12 3. 1 p sin…t† ˆ 1 p2 ˆ p1 ˆ 13 3 b tan…t† ˆ cos…t† 2 3 3 p p c sin…2t† ˆ 2 sin…t† cos…t† ˆ 2
12
12 3 ˆ 12 3 d cos…2t ‡ p† ˆ cos…p … 2t†† ˆ cos… 2t† ˆ cos…2t† ˆ ˆ 1 ‡ 2 sin2 …t† ˆ 1 ‡ 2
… 12†2 ˆ 1 ‡ 12 ˆ 12

1

2 sin2 …t†




2 sin…x† cos…x† sin…x† 2 2 sin…2x† 2 sin…x† cos…x† 2 tan…x† cos …x† cos…x† ˆ ˆ ˆ ˆ 5 tan…2x† ˆ cos…2x† cos2 …x† sin2 …x† cos2 …x† sin2 …x† sin2 …x† 1 tan2 …x† 1 cos2 …x† cos2 …x† 6

a sin…12 x ‡ 1† ˆ 0,25 sin…12 x ‡ 1†  sin…0,253† 1 1 0,253 ‡ k
2p 2 x ‡ 1  0,253 ‡ k
2p _ 2 x ‡ 1  p 1 1 0,747 ‡ k
2p _ 2 x  1,889 ‡ k
2p 2x  x  1,495 ‡ k
4p _ x  3,778 ‡ k
4p b cos…3x† ˆ 0,95 cos…3x†  cos…2,824† 3x  2,824 ‡ k
2p _ 3x  2,824 ‡ k
2p x  0,941 ‡ k
23 p _ x  0,941 ‡ k
23 p

Goniometrie 121

7

8

p a 2 sin…x 16 p† ˆ 2 p sin…x 16 p† ˆ 12 2 sin…x 16 p† ˆ sin…14 p† x 16 p ˆ 14 p ‡ k
2p _ x 16 p ˆ 34 p ‡ k
2p 5 p ‡ k
2p _ x ˆ 11 x ˆ 12 12 p ‡ k
2p b 2 cos…x† ‡ 1 ˆ 0 cos…x† ˆ 12 cos…x† ˆ cos…23 p† x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ 23 p ‡ k
2p c sin…3x 12 p† ˆ 12 sin…3x 12 p† ˆ sin… 16 p† 3x 12 p ˆ 16 p ‡ k
2p _ 3x 12 p ˆ p … 16 p† ‡ k
2p 3x ˆ 13 p ‡ k
2p _ 3x ˆ 1 23 p ‡ k
2p x ˆ 19 p ‡ k
23 p _ x ˆ 59 p ‡ k
23 p d cos2 …16 p x† ˆ 34 p p cos…16 p x† ˆ 12 3 _ cos…16 p x† ˆ 12 3 cos…16 p x† ˆ cos…16 p† _ cos…16 p x† ˆ cos…56 p† 1 x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 16 p x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 16 p x ˆ 56 p ‡ k
2p _ 16 p 6p x ˆ k
2p _ x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ p ‡ k
2p x ˆ k
2p _ x ˆ 13 p ‡ k
2p _ x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ p ‡ k
2p x ˆ k
p _ x ˆ 13 p ‡ k
p a sin…x†
…2 sin…x† 1† ˆ 0 sin x ˆ 0 _ 2 sin…x† 1 ˆ 0 sin…x† ˆ 0 _ sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ 0 _ sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ k
p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p b cos…12 p 2x† ˆ 0 1 2x ˆ 12 p ‡ k
2p 2p 2x ˆ k
p x ˆ k
12 p p c cos2 …x† ˆ 12 2 cos…x† p cos2 …x† 12 2 cos…x† ˆ 0 p
cos…x† cos…x† 12 2 ˆ 0 p cos…x† ˆ 0 _ cos…x† 12 2 ˆ 0 p cos…x† ˆ 0 _ cos…x† ˆ 12 2 cos…x† ˆ 0 _ cos…x† ˆ cos…14 p† x ˆ 12 p ‡ k
p _ x ˆ 14 p ‡ k
2p _ x ˆ 14 p ‡ k
2p d sin2 …x† sin…x† ‡ 14 ˆ 0 …sin…x† 12†2 ˆ 0 sin…x† 12 ˆ 0 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p

122 Hoofdstuk 16

xˆ

5 6p

‡ k
2p

9

a sin…2x† ˆ cos…x† sin…2x† ˆ sin…12 p x† 2x ˆ 12 p x ‡ k
2p _ 2x ˆ p …12 p x† ‡ k
2p 3x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2x ˆ p 12 p ‡ x ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
23 p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 16 p _ x ˆ 12 p _ x ˆ 56 p _ x ˆ 1 12 p. b cos…2x 12 p† ˆ cos…x† cos…2x 12 p† ˆ cos…p x† 2x 12 p ˆ p x ‡ k
2p _ 2x 12 p ˆ …p x† ‡ k
2p 3x ˆ 1 12 p ‡ k
2p _ 2x 12 p ˆ p ‡ x ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
23 p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 76 p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ 11 6 p. c sin…12 p x† ˆ cos…3x† cos…x† ˆ cos…3x† x ˆ 3x ‡ k
2p _ x ˆ 3x ‡ k
2p 2x ˆ k
2p _ 4x ˆ k
2p x ˆ k
p _ x ˆ k
12 p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 0 _ x ˆ 12 p _ x ˆ p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ 2p. d sin…x ‡ 13 p† ˆ 2 sin…2x† cos…2x† sin…x ‡ 13 p† ˆ sin…4x† x ‡ 13 p ˆ 4x ‡ k
2p _ x ‡ 13 p ˆ p 4x ‡ k
2p 3x ˆ 13 p ‡ k
2p _ 5x ˆ 23 p ‡ k
2p 2 p ‡ k
25 p x ˆ 19 p ‡ k
23 p _ x ˆ 15 x op ‰0; 2pŠ dus 2 8 20 13 26 p _ x ˆ 15 p _ x ˆ 79 p _ x ˆ 14 x ˆ 19 p _ x ˆ 15 15 p _ x ˆ 15 p _ x ˆ 9 p _ x ˆ 15 p.

bladzijde 145 10

a f …x† ˆ cos…2x† ‡ sin…2x† geeft f 0 …x† ˆ 2 sin…2x† ‡ 2 cos…2x† b g…x† ˆ 2 cos3 …x† ˆ 2u3 met u ˆ cos…x† geeft dy dy du ˆ
ˆ 6u2
sin…x† ˆ 6 sin…x† cos2 …x† dx du dx
c h…x† ˆ 2 cos2 …x† 2 sin2 …x† ˆ 2 cos2 …x† sin2 …x† ˆ 2 cos…2x† geeft h0 …x† ˆ 2
2 sin…2x† ˆ 4 sin…2x† cos…x† sin…x†
sin…x† cos…x†
cos…x† geeft k0 …x† ˆ d k…x† ˆ sin…x† sin
2 …x† sin2 …x† ‡ cos2 …x† sin2 …x† cos2 …x† 1 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 sin …x† sin …x† sin …x† g0 …x† ˆ

11

a f …x† ˆ sin…2x† 2 sin…x† geeft f 0 …x† ˆ 2 cos…2x† 2 cos…x† Stel de raaklijn is y ˆ ax ‡ b. a ˆ f 0 …p† ˆ 2 cos…2p† 2 cos…p† ˆ 2 ‡ 2 ˆ 4  y ˆ 4x ‡ b 0 ˆ 4p ‡ b f …p† ˆ sin…2p† 2 sin…p† ˆ 0 dus A…p; 0† 4p ˆ b De raaklijn is y ˆ 4x 4p. b f 0 …x† ˆ 0 geeft 2 cos…2x† 2 cos…x† ˆ 0 cos…2x† ˆ cos…x† 2x ˆ x ‡ k
2p _ 2x ˆ x ‡ k
2p x ˆ k
2p _ 3x ˆ k
2p x ˆ k
2p _ x ˆ k
23 p 2 Dus xB ˆ 3 p en xC ˆ 43 p.

Goniometrie 123

12

a f …x† ˆ

1 2 sin…2x

‡ 12 p† geeft F …x† ˆ 1 2 x†

b g…x† ˆ 3p cos…px Z 13

a

1 2

geeft G…x† ˆ 3p


1 2 cos…2x




1 cos…px 1

p

2

1 4p

1

1 2x†

1 2

p 1 p 2 ‡ 2 2†

y 1

1

– 2π

O

1 2π

x

f …x† ˆ 0 geeft cos2 …x† ˆ 0 cos…x† ˆ 0 x ˆ 12 p ‡ k
p 1 1 x op ‰ 2 p; 2 pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 12 p. Z 1p Z 1p 2 2 cos2 …x†dx ˆ …12 ‡ 12 cos…2x††dx O…V † ˆ ˆ ˆ

1

1 2p

1 1 2 x ‡ 2
2 sin…2x† 1 1 1 4p ‡ 4p ˆ 2p

124 Hoofdstuk 16

12p

1 2p

1 2p

ˆ

1 4p

‡ 14 sin…p†




‡ c ˆ 3p 1 cos…px p 2

p

…sin…x† ‡ cos…x††dx ˆ ‰ cos…x† ‡ sin…x†Š04 0
ˆ cos…14 p† ‡ sin…14 p† … cos…0† ‡ sin…0†† ˆ … Z 1p 2  12p 1 1 b sin…2x 12 p†dx ˆ 2 cos…2x 2 p† 0 0
1 1 ˆ 12 cos…12 p† 0ˆ0 2 cos… 2 p† ˆ 0

14

‡ 12 p† ‡ c ˆ 14 cos…2x ‡ 12 p† ‡ c

1 4p

‡ 14 sin… p†




… 1 ‡ 0† ˆ 1

1 2x†

‡c

Voorkennis 1 Rijen bladzijde 159 1

a b c d

rr met rr met mr met mr met

b ˆ 15 en v ˆ 8, dus un ˆ 8n ‡ 15. b ˆ 300 en v ˆ 16, dus un ˆ 16n ‡ 300: b ˆ 100 en r ˆ 1,2, dus un ˆ 100
1,2n . b ˆ 600 en r ˆ 23, dus un ˆ 600
…23†n .

2

a b c d

rr met rr met mr met mr met

b ˆ 150 en v ˆ 0,6, dus un ˆ un 1 ‡ 0,6 met u0 ˆ 150. b ˆ 700 en v ˆ 13, dus un ˆ un 1 13 met u0 ˆ 700. b ˆ 100 en r ˆ 4, dus un ˆ 4un 1 met u0 ˆ 100. b ˆ 1600 en r ˆ 15, dus un ˆ 15 un 1 met u0 ˆ 1600.

3

a rr met b ˆ 120 en v ˆ 15 dus directe formule un ˆ 15n ‡ 120 en recursieve formule un ˆ un 1 ‡ 15 met u0 ˆ 120. b mr met b ˆ 120 en r ˆ 2,5 dus directe formule un ˆ 120
…2,5†n en recursieve formule un ˆ 2,5un 1 met u0 ˆ 120. c rr met b ˆ 1200 en v ˆ 60 dus directe formule un ˆ 60n ‡ 1200 en recursieve formule un ˆ un 1 60 met u0 ˆ 1200. d mr met b ˆ 1200 en r ˆ 12 dus directe formule un ˆ 1200
…12†n en recursieve formule un ˆ 12 un 1 met u0 ˆ 1200.

4

a De 15e term is u14 ˆ 131 088. b De 15e term is u14 ˆ 907 065. c De directe formule van de rij is un ˆ n2 ‡ 2. De 15e term is u14 ˆ 142 ‡ 2 ˆ 196 ‡ 2 ˆ 198. d De directe formule van de rij is un ˆ n3 ‡ 1. De 15e term is u14 ˆ 143 ‡ 1 ˆ 2745.

Voorkennis 125

2 Somrijen bladzijde162 5

a TI Voer in un ˆ u…n 1† ‡ 2n u0 ˆ 20 vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ 20 De eerste zeven termen zijn 20, 42, 68, 100, 140, 190, 252. CASIO P Voer in an‡1 ˆ an ‡ 2…n ‡ 1† met a0 ˆ 20 en Display op On. De eerste zeven termen zijn 20, 42, 68, 100, 140, 190, 252. b TI Voer in nMin ˆ 0 un ˆ u…n 1† ‡ u…n 2† u…nMin† ˆ f6; 5g vn ˆ v…n 1† ‡ u v…nMin† ˆ f11; 5g De eerste zeven termen zijn 5, 11, 22, 39, 67, 112, 185. CASIO P Voer in an‡2 ˆ an‡1 ‡ an met a0 ˆ 5 en a1 ˆ 6 en Display op On. De eerste zeven termen zijn 5, 11, 22, 39, 67, 112, 185. c TI Voer in un ˆ n
u…n 1† u0 ˆ 10 vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ 10 De eerste zeven termen zijn 10, 20, 40, 100, 340, 1540, 8740. CASIO P Voer in an‡1 ˆ …n ‡ 1†an met a0 ˆ 10 en Display op On. De eerste zeven termen zijn 10, 20, 40, 100, 340, 1540, 8740. d TI Voer in un ˆ n3 ‡ n2 ‡ n ‡ 1 u0 ˆ 1 vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ 1 De eerste zeven termen zijn 1, 5, 20, 60, 145, 301, 560. CASIO P Voer in an ˆ n3 ‡ n2 ‡ n ‡ 1 en Display op On. De eerste zeven termen zijn 1, 5, 20, 60, 145, 301, 560.

126 Voorkennis

6

a TI Voer in un ˆ n2 ‡ 5n vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ 0 10 X Je krijgt v10 ˆ 660 dus …n2 ‡ 5n† ˆ 660. nˆ0

CASIO P Voer in an ˆ n2 ‡ 5n en Display op On. 10 X P Je krijgt a10 ˆ 660 dus …n2 ‡ 5n† ˆ 660. b TI Voer in un ˆ 5n=…n ‡ 1† vn ˆ vn 1 ‡ u v0 ˆ 0 Je krijgt v20  86,77 dus

nˆ0

20 X 5n  86,77. n ‡1 nˆ0

CASIO P Voer in an ˆ 5n=…n ‡ 1† en Display op On. 20 X P 5n  86,77. Je krijgt a20  86,77 dus n‡1 nˆ0 c TI Voer in nMin ˆ 10 un ˆ …n2 n†=…5n ‡ 10† vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ …102 10†=…5
1 ‡ 10† 20 X n2 n  27,21. Je krijgt v20  27,21 dus 5n ‡ 10 nˆ10 CASIO P Voer in an ˆ …n2 n†=…5n ‡ 10† met Table Start ˆ 10 en Display op On. 20 X P n2 n  27,21. Je krijgt a20  27,21 dus 5n ‡ 10 nˆ10 d TI Voer in nMin ˆ 5 un ˆ …2n ‡ 10†=…2n 10† vn ˆ v…n 1† ‡ u v0 ˆ …25 ‡ 10†=…25 10† 25 X 2n ‡ 10  22,61. Je krijgt v25  22,61 dus 2n 10 nˆ5 CASIO P Voer in an ˆ …2n ‡ 10†=…2n 10† met Table Start ˆ 5 en Display op On. 25 n X P 2 ‡ 10  22,61. Je krijgt a25  22,61 dus n 10 2 nˆ5

Voorkennis 127

bladzijde163 7

a un is een rr. S15 ˆ 12
16
…20 ‡ 140† ˆ 1280 b S24 ˆ 12
25
…20 ‡ 8
24 ‡ 20† ˆ 2900

8

a un is een rr. S20 ˆ 12
21
…80 ‡ 68† ˆ 1554 b S29 ˆ 12
30
…80 ‡ 62,6† ˆ 2139

9

un is een rr. un ˆ 0 geeft 150 4n ˆ 0 4n ˆ 150 n ˆ 37,5 u37 ˆ 2 > 0 en u38 ˆ 2 < 0 S37 ˆ 12
38
…150 ‡ 2† ˆ 2888 De som van de positieve termen van de rij is 2888.

10

a un is een mr. 200
…1 0,811 †  914,10 S10 ˆ 1 0,8 200
…1 0,815 † b S14 ˆ  964,82 1 0,8

11

un is een mr met b ˆ 8 en r ˆ 1,15. b…1 r10 † 8
…1 1,1510 † ˆ  162,43 S9 ˆ 1 r 1 1,15

12

a un is een rr met b ˆ 220 en v ˆ 4. 220 4n ˆ 136 4n ˆ 84 n ˆ 21 S21 ˆ 12
22
…220 ‡ 136† ˆ 3916 b un is een mr met b ˆ 1024 en r ˆ 12. 1024
… 12†n ˆ 1 …

1 n 2†

ˆ

1 1024

n ˆ 10 1024…1 … 12†11 † S10 ˆ ˆ 683 1 … 12† 13

a un is een mr met b ˆ 10 en r ˆ 1,2. 10
1,2n ˆ 35,831808 1,2n ˆ 3,5831808 nˆ7 10…1 1,28 †  164,991 S7 ˆ 1 1,2 b un is een mr met b ˆ 1,08 en r ˆ 1,08. un ˆ 1,08
1,08n ˆ 1,08n‡1 1,08n‡1 ˆ 1,0815 geeft n ‡ 1 ˆ 15 n ˆ 14 1,08…1 1,0815 †  29,324 S14 ˆ 1 1,08

128 Voorkennis

Gemengde opgaven 13 Mathematische statistiek bladzijde164 1

U ˆ uitbetaling u P…U ˆ u†

5000

1000

50

5

0

0,0001

0,0002

0,0007

0,0490

0,9500

E…U† ˆ 5000
0,0001 ‡ 1000
0,0002 ‡ 50
0,0007 ‡ 5
0,0490 ‡ 0
0,9500 ˆ 0,5 ‡ 0,2 ‡ 0,035 ‡ 0,245 ‡ 0 ˆ 0,98 De verwachte uitbetaling is E 0,98, dus de verwachtingswaarde van de winst is lot. b P(minstens e¨e¨n prijs † ˆ 1 P (geen prijs )   9500 ˆ 1  7   0,302 (in vijf decimalen 0,30174) 10 000 7 OF P(minstens e¨e¨n prijs †  1 0,957  0,302   9500 c P (minstens e¨e¨n prijs † ˆ 1  14   0,513 10 000 14 OF P(minstens e¨e¨n prijs †  1 0,9514  0,512 Omdat 0,513 6ˆ 2
0,302 heeft Niek niet gelijk. d 2
P (minstens e¨e¨n prijs bij Annet†  2
0,30174 ˆ 0,60348 Stel minstens n loten kopen.   9500 P (minstens e¨e¨n prijs † ˆ 1  n  10 000 n TI Voer in y1 ˆ 1 9500 nCr x : 10 000 nCr x. De tabel geeft voor n ˆ 18 is y1  0,60311 voor n ˆ 19 is y1  0,62299. Dus minstens 19 loten.

E 1,52 per

Gemengde opgaven 129

Casio Proberen geeft voor n ˆ 18 is P(minstens e¨e¨n prijs)  0,60311. voor n ˆ 19 is P(minstens e¨e¨n prijs)  0,62299. Dus minstens 19 loten. 2

a j De kosten zijn 4
2 ‡ 8 ˆ E 16, P(negatief) ˆ 0,954  0,8145 j P(postitief) ˆ 1 P(negatief) ˆ 1 0,954  0,1855 De totale kosten zijn E 16, ‡ 4
E 8, ˆ E 48, j K zijn de kosten bij een gecombineerde test van vier monsters. k P…K ˆ k†

16

48

0,8145

0,1855

E…K† ˆ 16
0,8145 ‡ 48
0,1855  21,94 euro 21,94  E 5,48. 4 b Bij negatief uitvallen zijn de kosten 5
2 ‡ 8 ˆ E 18, en is P(negatief) ˆ 0,955  0,7738. Bij positieve test zijn de totale kosten E 18, ‡ 5
E 8, ˆ E 58, . De kans is P(positief) ˆ 1 0,955  0,2262. E…K† ˆ 18
0,7738 ‡ 58
0,2262  27,05 euro Per monster is dat

27,05  E 5,41. 5 c Bij negatief uitvallen zijn de kosten n
2 ‡ 8 ˆ 2n ‡ 8 euro. De bijbehorende kans is 0,95n . Bij positieve test zijn de kosten 2n ‡ 8 ‡ n
8 ˆ 10n ‡ 8 euro. De bijbehorende kans is 1 0,95n . E…K† ˆ …2n ‡ 8†
0,95n ‡ …10n ‡ 8†…1 0,95n † ˆ 2n
0,95n ‡ 8
0,95n ‡ 10n 10n
0,95n ‡ 8 8
0,95n ˆ 10n 8n
0,95n ‡ 8 E…K† 10n 8n
0,95n ‡ 8 ˆ 10 8
0,95n ‡ 8. ˆ Dus E ˆ n n n Per monster is dat

d Voer in y1 ˆ 10

8
0,95x ‡ 8 . x

De tabel geeft voor n ˆ 4 is E  5,48 voor n ˆ 5 is E  5,41 voor n ˆ 6 is E  5,45 Dus E is minimaal voor n ˆ 5. bladzijde165 3

a klasse K opp ˆ normalcdf… 1099 ; 55; 60; 4†  0,10565 Dus 0,10565
5000  528 eieren. klasse M opp ˆ normalcdf…55; 63; 60; 4†  0,6677 K Dus 0,6677
5000  3339 eieren. 55 b In klasse G zitten 5000 528 3339 ˆ 1133 eieren. Opbrengst is 528
0,09 ‡ 3339
0,10 ‡ 1133
0,11 ˆ E 506,05. De kosten zijn 300 ‡ 5000
0,015 ˆ E 375, De winst is dus 506,05 375 ˆ E 131,05.

130 Gemengde opgaven

µ = 60 σ=4 opp = ?

M

63

c klasse

frequentie

cumulatieve frequentie

relatieve cumulatieve frequentie

2 5 14 23 25 15 5 1

2 7 21 44 69 74 79 80

2,5 8,8 26,3 55,0 86,3 92,5 98,8 100

4900-4919 4920-4939 4940-4959 4960-4979 4980-4999 5000-5019 5020-5039 5040-5059

relatieve cumulatieve frequentie 99,99 99,95 99,9 99,8 99,5 99 98 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01

4900

4920

4940 4960 µ–σ

4980 5000 5020 5040 aantal eieren per dag µ

Punten liggen redelijk op rechte lijn, dus een normale benadering is toegestaan. d Uit de figuur:   4976 en    4948 dus   4976 4948 ˆ 28. 4

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 50; 77; 13†  0,0189 Dus er worden ongeveer 0,0189
12 000  227 rozen afgekeurd.

µ = 77 σ = 13 opp = ?

b In klasse I normalcdf…50; 65; 77; 13†
12 000  95 bossen. 50 20 In klasse II normalcdf…65; 80; 77; 13†
12 000  248 bossen. 20 In klasse III normalcdf…80; 1099 ; 77; 13†
12 000  245 bossen. 20 De opbrengst is 95
5 ‡ 248
7,50 ‡ 245
8,75  4500 euro.

Gemengde opgaven 131

5

 ˆ 72 60 ˆ 1,2 uur opp ˆ normalcdf…10; 1099 ; ; 1.2† ˆ 14 350 Voer in y1 ˆ normalcdf…10; 1099 ; x; 1.2† en y2 ˆ 14 . 350 De optie intersect geeft x  7,90 dus   7,90. P…levensduur > 9 uur† ˆ normalcdf…9; 1099 ; 7.90; 1.2†  0,179 Van de batterijen gaan 350
0,179  63 langer mee dan 9 uur.

bladzijde166

2003-I Lengte 6

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 200; 180; 12.8†  0,941 P(alle vier korter dan 200)  0,9414  0,784

µ = 180 σ = 12,8

200

b opp ˆ normalcdf…177; 1099 ; 167; †  0,278 Voer in y1 ˆ normalcdf…177; 1099 ; 167; x† en y2 ˆ 0,278. De optie intersect geeft x  16,98. Dus   17,0.

µ = 167 σ=? opp = 0,278

167

177

2002-II Cesuur bij examens 7

a opp ˆ normalcdf… 1099 ; 44.5; 52; 16†  0,320, dus ongeveer 32,0%.

µ = 52,0 σ = 16,0 opp = ?

44,5

52

b g ˆ invNorm…0.25; 52; 16†  41,2 Dus de cesuur is 41/42.

µ = 52,0 σ = 16,0 opp = 0,25

g

bladzijde167

c Er waren 244 kandidaten. 25% van 244 is 61 Aflezen geeft de cesuur 37/38, want de cumulatieve frequentie van 37 is 60.

132 Gemengde opgaven

 d   ˆ 32,5 204 35 ˆ 169 kandidaten  69,3%:  ‡  ˆ 65,5   2 ˆ 16 236 3 ˆ 233 kandidaten  95,5%:  ‡ 2 ˆ 82 De verwachting was 68% en 95%, dus de verdeling voldoet redelijk aan de vuistregels van de normale verdeling. bladzijde168

2001-II Tennis 8

a X ˆ aantal sets P…X ˆ 2† ˆ 0,5
0,4 ‡ 0,5
0,4 ˆ 0,4 x P…X ˆ x†

2

3

0,4

0,6

E…X † ˆ 2
0,4 ‡ 3
0,6 ˆ 2,6 De verwachtingswaarde is 2,6. b Drie partijen in maximaal zeven sets, dus nul of e¨e¨n partij van 3 sets. ˆ 0,064 P…nul† ˆ 0,43 2 P…e¨e¨n† ˆ 3
0,4
0,6 ˆ 0,288 ‡ kans ˆ 0,352 c De kans dat Wim en Alex elkaar in de halve finale kunnen ontmoeten is 1
27 ˆ 27. De kans dat Wim en Alex beiden winnen in de eerste ronde is 12
12 ˆ 14. 1 . De kans dat Wim in de halve finale Alex ontmoet is dus 27
14 ˆ 14

14 Integraalrekening bladzijde169 9

a f …x† ˆ 3 14

y

2

x ‡ 3 ˆ 31 4 2x 2 x ‡ 3 ˆ 6 12 x x2 6 12 x ‡ 3 ˆ 0 …x 6†…x 12† ˆ 0 x ˆ 6 _ x ˆ 12  Z 6 2 x ‡ 3 1 O…V † ˆ 34 dx 1 2x 2 O  Z 6 1 12 1 1 34 2 x dx ˆ 1 x 2  6 ˆ 3 14 x 14 x2 1 12 ln…x† 1 ˆ 19 12 9 2

ˆ 8 15 16

1 12 ln…6† ‡ 1 12 ln…12† ˆ 8 15 16

1

y = 34 ƒ

V

6

1 2

1 12 ln…6†




…1 58

1 16

x

1 12 ln…12††

1 12 ln…12†

Gemengde opgaven 133

b O…rechthoek† ˆ 2p  Z 3 Z 3 1 12 x2 ‡ 3 dx ˆ 1 x ‡ dx 2 x 2x 1 1  3 ˆ 14 x2 ‡ 1 12 ln…x† 1

1 1 ˆ 2 14 ‡ 1 12 ln…3† 4 ‡ 1 2 ln…1†

y

y=p

2

ˆ 2 ‡ 1 12 ln…3† Z 3 f …x†dx ˆ 12
O…rechthoek†

1

1

2 ‡ 1 12 ln…3† ˆ 12
2p dus p ˆ 2 ‡ 1 12 ln…3† 10

O

3

b fp0 …x† ˆ 0 geeft x2 ‡ 2x 3 ˆ 0 …x ‡ 3†…x 1† ˆ 0 xˆ 3_xˆ1 xA > 0 dus xA ˆ 1 fp …1† ˆ 0 geeft 13
13 ‡ 12 3
1 ‡ p ˆ 0 p ˆ 1 23 1 3 Voer in y1 ˆ 3 x ‡ x2 3x ‡ 1 23. De optie zero geeft x ˆ 5 en x ˆ 1. Z 1 O…V † ˆ y1 dx  36,000. 5

134 Gemengde opgaven

x

3

x=1

a fp …x† ˆ 13 x3 ‡ x2 3x ‡ p geeft fp0 …x† ˆ x2 ‡ 2x Stel de raaklijn is y ˆ ax ‡ b.  a ˆ fp0 …0† ˆ 3 dus y ˆ 3x ‡ b pˆ0‡b fp …0† ˆ p dus door …0; p† pˆb De raaklijn is y ˆ 3x ‡ p. fp …x† ˆ 3x ‡ p 1 3 2 3x ‡ p ˆ 3x ‡ p 3x ‡ x 1 3 2 3x ‡ x ˆ 0 x2 …13 x ‡ 1† ˆ 0 xˆ0_xˆ 3 Z 0
O…V † ˆ fp …x† … 3x ‡ p† dx 3 Z 0 ˆ …13 x3 ‡ x2 3x ‡ p ‡ 3x p†dx 3 Z 0 1 4 …13 x3 ‡ x2 †dx ˆ ‰12 x ‡ 13 x3 Š0 3 ˆ 0 ˆ

2

1

x=3

3

y

ƒp

V

P –3

…81 12

9† ˆ 2 14

O

x

11

x2 ‡ y2 ˆ r2 geeft y2 ˆ r2 Z 3r 4 I…bolschijf† ˆ py2 dx 1 2r Z 3r 4 2 2 p…r x †dx ˆ 1 2r

 ˆ p…r2 x ˆ p…34 r3

x2

y

r

3 1 3 4r 3 x † 12r 9 3 64 r †

–r

p…12 r3

r

O

x

1 3 24 r †

29 3 29 ˆ p
192 r ˆ 192 pr3

I…bol† ˆ 43 pr3

–r

3

x = 4r 1 x = 2r

29 pr3 I…bolschijf†  100% ˆ 192
100%  11,3% 4 3 I…bol† 3 pr dus p  11,3.

12

a E is de projectie van D op AB. p DE ˆ 4 sin…60 † ˆ 2 3 AE ˆ 4 cos…60 † ˆ 2 I…lichaam† ˆ I…kegel† ‡ I…cilinder† p ˆ I…cilinder† ˆ 4
p
…2 3†2 ˆ 48p

D

4

b DM ˆ 4 sin…30 † ˆ 2 p AM ˆ 4 cos…30 † ˆ 2 3 I…lichaam† ˆ 2
I…kegel† p p ˆ 2
13
p
22
2 3 ˆ 5 13 p 3 p c opp ˆ 4pr2 ˆ 4p
MA2 ˆ 4p
…2 3†2 ˆ 48p d I ˆ 43 p
AM 3 43 p
DM 3 p ˆ 43 p
…2 3†3 43 p
23 p p ˆ 43 p
24 3 10 23 p ˆ 32p 3 10 23 p

1 3 3x ‡ 1 2 3 x…x

4x ˆ 0 12† ˆ 0 p x ˆ 0 _ x ˆ 12 _ x ˆ

4

2 3

60˚ 2

E

B

2

D

4

4

C

4

M

30˚

A

a f0 …x† ˆ 0 geeft

C

I…kegel†

A

13

4

30˚ 2

B

p 12

y

ƒ0

V – 12

x

O

12

x=p

Gemengde opgaven 135

Z O…V † ˆ

p 0

…

1 3 3x

‡ 4x†dx ˆ ‰

1 4 12 x

‡ 2x2 Šp0

1 4 1 4 ˆ … 12 p ‡ 2p2 † 0 ˆ 12 p ‡ 2p2 1 4 O…V † ˆ 10 geeft 12 p ‡ 2p2 ˆ 10. 1 4 Voer in y1 ˆ 12 x ‡ 2x2 en y2 ˆ 10. De optie intersect geeft x  2,66 dus p  2,66. Z 3 … 13 x3 ‡ 4x ‡ a†dx b

y

0

1 4 ˆ ‰ 12 x ‡ 2x2 ‡ axŠ30 ˆ … 6 34 ‡ 18 ‡ 3a† 0 ˆ 3a ‡ 11 14 O…W † ˆ 10 dus 3a ‡ 11 14 ˆ 10 _ 3a ‡ 11 14 ˆ 3a ˆ 1 14 _ 3a ˆ 21 14 5 1 a ˆ 12 _ a ˆ 7 12 voldoet niet

ƒ

10

O

ƒ

dus AM ˆ AT AN NT AM ˆ 20 12 16

12

15

Voer in y1 ˆ p…225 Z 9 y1 dx  12 667 15

x2 †.

I…kegel† ˆ 13
p
AN 2
NT ˆ 13
p
122
16  2413 I…L†  12 667 ‡ 2413 ˆ 15 080

136 Gemengde opgaven

16

N

Kies als oorsprong het punt M. De vergelijking van de cirkel is x2 ‡ y2 ˆ 225, dus y2 ˆ 225 Z 9 I…deel van de bol† ˆ p…225 x2 †dx.

1

–712

a Zie de figuur. p AT ˆ 122 ‡ 162 ˆ 20 1ANT ² 1MAT

AM ˆ 20
12 ˆ 15 16 De straal van de bol is 15. p p b MN ˆ 152 122 ˆ 81 ˆ 9

x

3

bladzijde170 14

5

– 12

M 12 20

A

x2 .

T

2001-I Oppervlakte 15

a f …x† ˆ

6 x‡2

3 geeft f 0 …x† ˆ

…x ‡ 2†
0 6
1 6 ˆ …x ‡ 2†2 …x ‡ 2†2

6 ˆ 1 1 dus y ˆ 1 1 x is de raaklijn aan de grafiek van f in O. 2 2 4 1 y ˆ 1 2 x snijden met de lijn BC geeft y 1 12x ˆ 2 x ˆ 43 A
O D ˆ 43 ; 2 opp…OABC† ˆ 5
2 ˆ 10 D C B opp…OCD† ˆ 12
2
43 ˆ 43 4 2 De oppervlakten verhouden zich als 3 : 8 3 1 y = –1 2 x x = 5 ofwel 2 : 13. b O…OPQR† ˆ 3b  Z b Z b 6 3 dx ˆ ‰6 ln…x ‡ 2† 3xŠb0 f …x†dx ˆ x‡2 0 0 Z b ˆ …6 ln…b ‡ 2† 3b† …6 ln…2†† ˆ 6 ln…b ‡ 2† 3b 6 ln…2† f …x†dx f 0 …0† ˆ

ˆ 12
3b geeft 6 ln…b ‡ 2† ‡ 3b ‡ 6 ln…2† ˆ 1 12 b Voer in y1 ˆ 6 ln…x ‡ 2† ‡ 3x ‡ 6 ln…x† en y2 ˆ 1 12 x. De optie intersect geeft x  5,03 dus b  5,03.

x

y = –2

0

bladzijde 171

2001-I Geneesmiddelen onderzoek 16

a opp ˆ O…I† ‡ O…II† ˆ 12

t
ck ‡ 12

t
ck‡1 ˆ 12 …ck ‡ ck‡1 †

t ck

I II

tk

b AUC ˆ 12 …c0 ‡ c1 †

t ‡ 12 …c1 ‡ c2 †

t ‡ . . . ‡ 12 …cn ˆ 12
t…c0 ‡ c1 ‡ c1 ‡ c2 ‡ c2 ‡ . . . ‡ cn

1

‡ cn

1

‡ cn †

t

1

‡ cn †

∆t

ck + 1

tk + 1

ˆ 12
t…c0 ‡ cn ‡ 2c1 ‡ 2c2 ‡ . . . ‡ 2cn 1 † ˆ 12
t…c0 ‡ cn † ‡ 12
t…2c1 ‡ 2c2 ‡ . . . ‡ 2cn 1 † ˆ 12
t…c0 ‡ cn † ‡
t
…c1 ‡ c2 ‡ . . . ‡ cn 1 † ˆ 12
t…c0 ‡ cn † ‡
t
ˆ

1 2 …c0

‡ cn † ‡

n 1 X

n 1 X

cp

pˆ1

!

cp



t

pˆ1

Gemengde opgaven 137

Z c AUC ˆ

5

1

32e

ˆ … 64e 2 †

1 1 2t‡2

dt ˆ ‰ 64e

1 1 2t‡2

Š51

64 e2

… 64e0 † ˆ 64

64  55,33854 e2 Met de formule van b:
 AUC ˆ 12
…32e0 ‡ 32e 2 † ‡ 32e

d AUC ˆ 64

ˆ 8e0 ‡ 8e

2

‡ 16…e

‡e

1 2

‡...‡e

‡ 32e 134

1 2

‡ . . . ‡ 32e

134




12

†

1 4

2

e  55,62646 1 e 4 1 55,62646 55,33854
100%  0,52% afwijking ˆ 55,33854 ˆ 8e0 ‡ 8e

2

‡ 16
e

1 4

1 4

bladzijde172

2003-II Gebroken functie 17

a f …x† ˆ x ‡ 4 ˆ x ‡ 4x x

1

geeft f 0 …x† ˆ 1

4 ˆ0 x2 x2 ˆ 4 xˆ2_xˆ f …2† ˆ 4 dus top (2, 4) f … 2† ˆ 4 dus top … 2; 4† b f …x† ˆ 5 geeft f 0 …x† ˆ 0 geeft

4x

2

4. x2

ˆ1

1

2

y

5 x‡4 ˆ5 x x2 ‡ 4 ˆ 5x 4 x2 5x ‡ 4 ˆ 0 …x 1†…x 4† ˆ 0 3 xˆ1_xˆ4 Z 4   2 opp ˆ 5 x ‡ 4 dx x 1 Z 4  1 5 x 4 dx ˆ ‰5x 1 x2 4 ln…x†Š41 ˆ x 2 1 ˆ …20 8 4 ln…4†† …5 12† ˆ 7 12 4 ln…4† O c De rechte grenslijn heeft lengte L1 ˆ 4 1 ˆ 3. De gebogen grenslijn heeft lengte Z 4 r Z 4 q  2 2 0 1 ‡ 1 42 dx. 1 ‡ …f …x†† dx ˆ L2 ˆ x 1 r 1 Voer in y1 ˆ 1 ‡ …1 42 †2 . x Z 4 y1 dx  3,79 1

Omtrek ˆ L1 ‡ L2  6,79.

138 Gemengde opgaven

1

2

3

4

5

x

2003-II Oppervlaktes 18

a f …x† ˆ 14 x2 geeft f 0 …x† ˆ 12 x f 0 …x† ˆ 1 1 2x ˆ 1 x ˆ 2 dus raakpunt A…2; 1†  yˆx‡b 1ˆ2‡b A…2; 1† 1ˆb Dus y ˆ x g…x† ˆ

1.

4 ˆ x2

4x

2

geeft g0 …x† ˆ 8x

3

ˆ 83 x

g0 …x† ˆ 1 8 ˆ1 x3 x3 ˆ 8 x ˆ 2 dus raakpunt B…2; 1†  yˆx‡b 1ˆ2‡b B…2; 1† 3ˆb Dus y ˆ x 3. De raaklijnen snijden de y-as in …0; 1† en …0; 3†. De diagonaal van het vierkant is dus 2. b f …a† ˆ 14 a2 dus C…a; 14 a2 † en D… a; 14 a2 †     g…a† ˆ 42 dus B a; 42 en A a; 42 a a a   opp…ABCD† ˆ 2a
14 a2 ‡ 42 ˆ 12 a3 ‡ 8 a a Za
  1 2 1 2 1 3 a opp(vlakdeel boven de grafiek van f ) ˆ 2
x 0 dx ˆ 2
14 a2 x 12 4a 4x ˆ 2 14 a3

1 12 a


3

0

ˆ 13 a3

opp(vlakdeel boven de grafiek van f ) ˆ 12
opp…ABCD† geeft 1 3 3a

ˆ 14 a3 ‡ 4 a

ˆ4 a a4 ˆ 48 p a ˆ 4 48

1 3 12 a

Gemengde opgaven 139

15 Afgeleide en tweede afgeleide bladzijde173 19

a f …x† ˆ …x2 32 x†ex geeft f 0 …x† ˆ …2x 32†ex ‡ …x2 32 x†ex ˆ …x2 ‡ 12 x 1 12†ex f 0 …0† ˆ 1 12 f 0 …0†
rck ˆ 1 geeft 1 12
rck ˆ 1 rck ˆ 23 2 Dus k: y ˆ 3 x. Voer in y1 ˆ …x2 32 x†ex en y2 ˆ 23 x. De optie intersect geeft x  1,63 en y  1,09 dus A(1,63; 1,09). b y

l

2

1

–3

–2

–1

O

1

2

3

x

m

f …1 12† ˆ 0 dus …1 12 ; 0† lig op de grafiek van f . p 1 f 0 …1 12† ˆ …2 14 ‡ 34 1 12†e12 ˆ 1 12 e e.  p   p Stel y ˆ 1 12 e e x ‡ b 1 0 ˆ 2p 4 e e ‡ b door …1 12 ; 0† 2 14 e e ˆ b p p Dus l: y ˆ 1 12 e e x 2 14 e e is de eerste gezochte lijn. Raaklijn door …1 12 ; 0†, dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ …x2 32 x†ex x 1 12 2 1 1 2 3 x ‡ 2x 12 x 2x ˆ …x 6ˆ 1 12† 1 x 1 12 …x2 ‡ 12 x 1 12†…x 1 12† ˆ x2 32 x …x2 ‡ 12 x 1 12†…x 1 12† ˆ x…x 1 12† x2 ‡ 12 x 1 12 ˆ x …x2 12 x 1 12 ˆ 0 …x 1 12†…x ‡ 1† ˆ 0 x ˆ 1 12 _ x ˆ 1 v.n. …x2 ‡ 12 x

1 12†ex ˆ

rcm ˆ f 0 … 1† ˆ …1 12 1 12†e 1 ˆ 1 e 9 1 Stel m: y ˆ 1 x ‡ b = 1 2 e 0ˆ ‡b ; e 1 door …1 2 ; 0† 3 ˆb 2e Dus m: y ˆ 1 x ‡ 3 is de tweede gezochte raaklijn. e 2e

140 Gemengde opgaven

f …x† . x 1 12

20

p 1 a f …x† ˆ x2 ‡ 3 3 x ˆ x2 ‡ 3x3 geeft f 0 …x† ˆ 2x ‡ x

1 ˆ 2x ‡ p 3 x2 0 rck ˆ f …0† is niet gedefinieerd, dus k is de verticale lijn door O. Dit is de y-as. rcl ˆ f 0 …1† ˆ 2 ‡ 11 ˆ 3  Stel y ˆ 3x ‡ b 4ˆ3‡b f …1† ˆ 4; dus A…1; 4† 1ˆb Dus l: y ˆ 3x ‡ 1 rcm ˆ f 0 … 1† ˆ 2 ‡ 11 ˆ

1

Stel y ˆ x ‡ b f … 1† ˆ 1 3 ˆ

2 dus B… 1; 2†

Dus m: y ˆ

3.

x

2 3

 2ˆ1‡b 3ˆb

y l

x

O

k

m

l en m snijden elkaar in … 1; 2†. k en l snijden elkaar in (0, 1) k en m snijden elkaar in …0; 3† De oppervlakte is 12
1
4 ˆ 2

f …x† . b Raaklijn door O, dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ x p  2 1 ˆ x ‡ 3 3 x 2x ‡ p 3 x x2 2 1 Voer in: y1 ˆ 2x ‡ x 3 en y2 ˆ …x2 ‡ 3x3 †=x. De optie intersect geeft x  1,516 en y  3,789. De rc van de raaklijn is ongeveer 3,789. 21

a f …x† ˆ x e x‡1 geeft f 0 …x† ˆ 1
e x‡1 ‡ x
e x‡1
1 ˆ …1 f 00 …x† ˆ 1
e x‡1 ‡ …1 x†e x‡1
1 ˆ … 2 ‡ x†e x‡1 f 00 …x† ˆ 0 geeft … 2 ‡ x†e x‡1 ˆ 0 2‡xˆ0 xˆ2   f …2† ˆ 2e 1 ˆ 2 dus het buigpunt is 2; 2 . e e

x†e

x‡1

Gemengde opgaven 141

b f 0 …0† ˆ e Zie de figuur. x e x‡1 ˆ ax heeft e¨e¨n oplossing voor a  0 _ a ˆ e

y

y = ex y = ax

ƒ x

O

c y ˆ b…x ‡ 1† heeft rc ˆ b en gaat door … 1; 0†. Er zijn twee raaklijnen van de grafiek die door … 1; 0† gaan. De x-coo«rdinaten van deze raakpunten volgen uit f …x† f 0 …x† ˆ x‡1

y

ƒ x

O

x‡1

ˆxe x‡1 …1 x†…x ‡ 1† ˆ x Voer in y1 ˆ …1 x†…x ‡ 1† en y2 ˆ x. De optie intersect geeft x  0,62 en x  1,62. rcraaklijn 1  f 0 …0; 62†  0,56 rcraaklijn 2  f 0 … 1; 62†  35,89 Aflezen: x e x‡1 ˆ b…x ‡ 1† heeft geen oplossing voor 0,56 < b < 35,89. …1

x†e

x‡1

d Raaklijn door C…c; 0† dus de x-coo«rdinaat van het raakpunt volgt uit f 0 …x† ˆ x‡1

ˆxe x c …1 x†…x c† ˆ x x c x2 ‡ cx ˆ x x2 cx ‡ c ˆ 0 De vergelijking heeft oplossingen dus D0 … c†2 4
1
c  0 c2 4c  0 c…c 4†  0 …1

x†e

x‡1

0

4

dus c  0 _ c  4

142 Gemengde opgaven

f …x† . x c

22

a Voor 0  t  5 geldt a…t† ˆ 2t dus v…t† ˆ t2 ‡ v…0† ˆ t2 ‡ 3. v…5† ˆ 25 ‡ 3 ˆ 28 m/s. Voor 5  t  12 geldt a…t† ˆ 10 dus  v…t† ˆ 10t ‡ c 28 ˆ 50 ‡ c v…5† ˆ 28 22 ˆ c Dus v…t† ˆ 10t 22. v…12† ˆ 120 22 ˆ 98 m/s. Z 5 b …t2 ‡ 3†dt ˆ ‰13 t3 ‡ 3tŠ50 ˆ 56 23 0 Z 12 …10t 22†dt ˆ ‰5t2 22tŠ12 5 ˆ 456 5

15 ˆ 441

Voor 12  t  14 geldt a…t† ˆ 5t ‡ 70, dus v…t† ˆ v…12† ˆ 98 geeft 98 ˆ 360 ‡ 840 ‡ c 382 ˆ c dus v…t† ˆ 2 12 t2 ‡ 70t 382 Voer in y1 ˆ 2 12 x2 ‡ 70x 382. Z 14 y1 dx ˆ 209 13

2 12 t2 ‡ 70t ‡ c.

12

De afgelegde weg is 56 23 ‡ 441 ‡ 209 13 ˆ 707,0 m c Vanaf t ˆ 12 geldt v…t† ˆ 2 12 t2 ‡ 70t 382. Voer in y1 ˆ 2 12 x2 ‡ 70x 382. De optie zero geeft x  20,57. De beweging duurt ongeveer 20,6 seconden. Z 20;57 y1 dx  473,2 14

Het deeltje heeft ongeveer 707,0 ‡ 473,2 ˆ 1180,2 m afgelegd. bladzijde174 23

24

fa …x† ˆ x3 4x2 ‡ a geeft fa0 …x† ˆ 3x2 8x en fa00 …x† ˆ 6x fa00 …x† ˆ 0 geeft 6x 8 ˆ 0 6x ˆ 8 x ˆ 43 0 4 rcbuigraaklijn ˆ f …3† ˆ 3
…43†2 8
43 ˆ 5 13 Buigraaklijn door O, dus de vergelijking is y ˆ 5 13 x. De y-coo«rdinaat van het buigpunt is y ˆ 5 13
43 ˆ 7 19. f …43† ˆ 7 19 geeft …43†3 4
…43†2 ‡ a ˆ 7 19 16 64 a ˆ 7 19 64 27 ‡ 4
9 ˆ 27

8.

a De grafieken van f en gp …x† raken als f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x† ˆ g0p …x† p 1 1 p e 2x ˆ p x ^ 12 e 2x ˆ p 2 x 1 x p  1 2 ep ˆ p ^ e 2x
x ˆ p x Dit stelsel heeft geen oplossingen omdat 1 p 1 2x ep > 0 en e 2x
x  0. x Er is dus geen waarde van p waarvoor de grafieken elkaar raken.

Gemengde opgaven 143

b De grafieken van f en gp snijden elkaar loodrecht, dus f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x†
g0p …x† ˆ 1 p 1 1 p e 2x ˆ p x ^ 12 e 2x
p ˆ 1 2 x p 1 x 4 x 2 p ˆ ep ^ p ˆ 1x x e 2 p 1 4 x 2x Voer in y1 ˆ ep en y2 ˆ 1x . x e 2 De optie intersect geeft x  0,2039 en y ˆ 2. 1 2x

p ˆ ep ˆ 2, dus voor p ˆ 2 snijden de grafieken elkaar loodrecht. x ALTERNATIEVE UITWERKING

De grafieken snijden elkaar loodrecht dus f …x† ˆ gp …x† ^ f 0 …x†
g0p …x† ˆ 1 p 1 1 p e 2x ˆ p x ^ 12 e 2x
p ˆ 1 2 x p 1 1 p Substitueren van e 2x ˆ p x in 12 e 2x
p ˆ 2 x p p 1 p ˆ 1 2p x
2 x

1 geeft

p2 ˆ 1 4 p2 ˆ 4 pˆ 2_pˆ2 v.n. Voor p ˆ 2 snijden de grafieken elkaar loodrecht. 25

p a f2 …x† ˆ 2 x 2  f20 …x† ˆ p 2 x f200 …x† ˆ

ln…x† geeft 1 ˆ p1 x x

1 112 2x

f200 …x† ˆ 0 geeft

‡x

2

1ˆx x ˆ

x

1

1 ‡ 1 p 2x x x2

1 ‡ 1 ˆ 0 p 2x x x2 1 ˆ 1p x2 2x x p x2 ˆ 2x x x4 ˆ 4x3 x4 4x3 ˆ 0 x3 …x 4† ˆ 0 xˆ0_xˆ4 v.n.

f2 …4† ˆ 4 ln…4† Het buigpunt is …4; 4

144 Gemengde opgaven

1 2

ln…4††.

y ƒ2

O

x

p b fp …x† ˆ p x

p ln…x† geeft fp0 …x† ˆ p 2 x

fp0 …x† ˆ 0 geeft

p p 2 x

1. x

1ˆ0 x

p p ˆ 1 2 x x p 2 x ˆ p2 pˆ x x p Substitutie van p ˆ p2 in y ˆ p x ln…x† geeft x p  y ˆ p2
x ln…x† x y ˆ 2 ln…x† De toppen liggen op de grafiek van y ˆ 2 ln…x†.

2002-I Bal te water 26

a v…0† ˆ 2 8e0 ˆ 6 m/s v…2† ˆ 2 8e 4  1,85 m/s 1,85 … 6†  3,93 m/s2 agem ˆ 2 De gemiddelde versnelling gedurende de eerste twee seconden is 3,93 m/s2 . b Op het diepste punt is de snelheid gelijk aan nul v…t† ˆ 0 geeft 2 8e 2t ˆ 0 8e 2t ˆ 2 e 2t ˆ 14 2t ˆ ln…14† tˆ

1 1 2 ln…4†

  1 t ˆ ln …14† 2 ˆ ln…2† De bal bereikt na ln…2† seconden het diepste punt. Z ln…2† ln…2† c 2 8e 2t dt ˆ ‰2t ‡ 4e 2t Š0 ˆ …2 ln…2† ‡ 4e 0

2 ln…2†

†

4 ˆ 2 ln…2† ‡ 1

4

1,61

De bal komt maximaal 161 cm diep.

16 Goniometrie bladzijde175 27

2 sin…x†
cos…x† sin…2x† ˆ tan…2x† ˆ cos…2x† 1 2 sin2 …x†
b cos4 …x† sin4 …x† ˆ cos2 …x† sin2 …x† …cos2 …x† ‡ sin2 …x††
ˆ cos…2x†
sin2 …x† ‡ cos2 …x† ˆ cos…2x†
1 ˆ cos…2x† sin…2x† 2 sin…x† cos…x† 2 sin…x† cos…x† sin…x† ˆ ˆ tan…x† ˆ ˆ c 1 ‡ cos…2x† 1 ‡ 2 cos2 …x† 1 2 cos2 …x† cos…x† d cos…x y† cos…y† sin…x y† sin…y† ˆ cos…x y ‡ y† ˆ cos…x†

a

Gemengde opgaven 145

28

a sin…x†
cos…x† ˆ 14 2 sin…x† cos…x† ˆ 12 sin…2x† ˆ sin…16 p† 2x ˆ 16 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 56 p ‡ k
2p 1 5 p ‡ k
p _ x ˆ 12 p‡k
p x ˆ 12 1 b cos…x 3 p† ˆ sin…2x† cos…x 13 p† ˆ cos…12 p 2x† x 13 p ˆ 12 p 2x ‡ k
2p _ x 13 p ˆ …12 p 2x† ‡ k
2p 3x ˆ 56 p ‡ k
2p _ x 13 p ˆ 12 p ‡ 2x ‡ k
2p 5 p ‡ k
23 p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p x ˆ 18 5 x ˆ 18 p ‡ k
23 p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p c cos…x ‡ 13 p† ˆ sin…x† cos…x ‡ 13 p† ˆ sin… x†
cos…x ‡ 13 p† ˆ cos 12 p … x† cos…x ‡ 13 p† ˆ cos…x ‡ 12 p† x ‡ 13 p ˆ x ‡ 12 p ‡ k
2p _ x ‡ 13 p ˆ …x ‡ 12 p† ‡ k
2p _ x ‡ 13 p ˆ x 12 p ‡ k
2p 0 ˆ 16 p ‡ k
2p geen oplossing 2x ˆ 56 p ‡ k
2p 5 p‡k
p x ˆ 12 2 d cos…2x† sin …x† ˆ 14 1 2 sin2 …x† sin2 …x† ˆ 14 3 sin2 …x† ˆ 34 sin2 …x† ˆ 14 sin…x† ˆ 12 _ sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin…16 p† _ sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p

29

a f …x† ˆ 2 cos2 …x† ‡ sin…2x† geeft f 0 …x† ˆ 4 cos…x†
sin…x† ‡ 2 cos…2x† ˆ Stel de raaklijn is y ˆ ax ‡ b. a ˆ f 0 …p† ˆ 2  Dus y ˆ 2x ‡ b 2 ˆ 2p ‡ b f …p† ˆ 2 dus A…p; 2† 2 2p ˆ b

4 sin…x† cos…x† ‡ 2 cos…2x†

De raaklijn is y ˆ 2x ‡ 2 2p. b f …x† ˆ g2 …x† geeft 2 cos2 …x† ‡ sin…2x† ˆ 2 sin…2x† 2 cos2 …x† sin…2x† ˆ 0 2 cos2 …x† 2 sin…x† cos…x† ˆ 0 2 cos…x†…cos…x† sin…x†† ˆ 0 cos…x† ˆ 0 _ cos…x† ˆ sin…x† x ˆ 12 p ‡ k
2p _ sin…12 p x† ˆ sin…x† x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 12 p x ˆ x ‡ k
2p _ 12 p x ˆ p x ‡ k
2p geen oplossing x ˆ 12 p ‡ k
2p _ 2x ˆ 12 p ‡ k
2p x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 14 p ‡ k
p x op ‰0; pŠ dus x ˆ 14 p _ x ˆ 12 p

146 Gemengde opgaven

Z O…V † ˆ Z ˆ

1 4p

Z ˆ

1 2p

1 4p

Z ˆ

1 2p

1 2p

1 4p

1 2p 1 4p

2 sin…2x†


2 cos2 …x† ‡ sin…2x†† dx
sin…2x† dx

2 cos2 …x†

2 sin…2x†


2…12 ‡ 12 cos…2x† ˆ

sin…2x† …sin…2x†

cos…2x†

1†dx ˆ



1 2 cos…2x†

1 2 sin…2x†

1p x 21p

ˆ …12 12 p† … 12 14 p† ˆ 1 14 p c f 0 …12 p† ˆ 2 gp …x† ˆ p sin…2x† geeft g0p …x† ˆ 2p cos…2x† dus g0p …12 p† ˆ 2p
Raken dus f …12 p† ˆ gp …12 p† ^ f 0 …1 p† ˆ g0 …1 p† ^

1ˆ

2p:

p 2

2

0ˆ0 klopt

4

2ˆ pˆ1

2p

Dus p ˆ 1. 30 a De lengte van AB is

sin…16 p†

1 2.

2 3p

dus de x-coo«rdinaat van A is

ˆ pˆ b Stel xA ˆ q. O…V † ˆ 1 geeft Z p q …sin…x† sin…q††dx ˆ 1

1 6 p.

q

‰ cos…x† x sin…q†Špq q ˆ 1 cos…p q† …p q† sin…q† ‡ cos…q† ‡ q sin…q† ˆ 1 Voer in y1 ˆ cos…p x† …p x†…sin…x† ‡ cos…x† ‡ x sin…x† en y2 ˆ 1. De optie intersect geeft q  0,368 en dit geeft p ˆ sin…q†  0,36. ALTERNATIEVE OPLOSSING

Uitproberen op de GR. Z p 0;3047 p ˆ 0,30 geeft …sin…x† 0;3047

Z p ˆ 0,35 geeft

0;3576

Z p ˆ 0,36 geeft

p 0;3683

0;3683

Z p ˆ 0,37 geeft

p 0;3576

p 0;3790

0;3790

0,30†dx  1,15

…sin…x†

0,35†dx  1,0242

…sin…x†

0,36†dx  1,0001

…sin…x†

0,37†dx  0,976

dus p  0,36.

Gemengde opgaven 147

c Het midden van CD ligt op de x-as dus f …q† ‡ g…q† ˆ 0 sin…q† ‡ cos…q† ˆ 0 sin…q† ˆ cos…q† sin…q† ˆ sin…12 p q† sin…q† ˆ sin…q 12 p† q ˆ q 12 p ‡ k
2p _ q ˆ p …q 12 p† ‡ k
2p geen oplossingen q ˆ p q ‡ 12 p ‡ k
2p 2q ˆ 1 12 p ‡ k
2p q ˆ 34 p ‡ k
p q op ‰0; pŠ dus q ˆ 34 p. bladzijde176 31

a f …x† ˆ

2

1 ˆ 2 sin…x† sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p 0 < x < p _ p < x < 2p dus x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 56 p. y

2 1 π

O –1

2π

x

y = –2

–2

2 voor 0 < x < p _ 1 16 p < x < 1 56 p. 0 cos…x†
1 cos…x† b f …x† ˆ 1 geeft f 0 …x† ˆ ˆ 2 sin…x† sin …x† sin2 …x† f 0 …x† ˆ 0 geeft cos…x† ˆ 0 x ˆ 12 p _ x ˆ 1 12 p. De toppen zijn …12 p; 1† en …1 12 p; 1†. Aflezen geeft f …x† >

2 p Stel l: y ˆ rcl ˆ

9 2x ‡ b= p 1ˆ ; door …12 p; 1† 1ˆ

2
1p ‡ b p 2 1‡b

2ˆb Dus l: y ˆ

148 Gemengde opgaven

2 x ‡ 2. Het snijpunt met de y-as is (0, 2). p

c

y ƒ

1

( 2 π, 1) 1

1 1 ( 2 π, 2 )

O

y = 2 sin(x ) π

1

1

(1 2 π, – 2 )

2π

x

1

(1 2 π, –1)

Zie de figuur. De grafiek van gp …x† ˆ p ‡ 12 sin…x† onstaat uit de grafiek van y ˆ 12 sin…x†   na translatie over 0 . p Aflezen geeft dat er twee snijpunten zijn voor p < 12 _ p > 12 . 32

0 6
sin…x† 6 sin…x† 6 ˆ geeft f 0 …x† ˆ 2 2 ‡ cos…x† …2 ‡ cos…x†† …2 ‡ cos…x††2 6 sin…x† y f 0 …x† ˆ 0 geeft ˆ0 …2 ‡ cos…x††2 6 sin…x† ˆ 0 xˆk
p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 0 _ x ˆ 2p _ x ˆ 2p f …0† ˆ 2 2 f …p† ˆ 6 f …2p† ˆ 2 O Het bereik is ‰2; 6Š.

a f …x† ˆ

π

2π

x

ALTERNATIEVE UITWERKING

1  cos…x†  1 1  2 ‡ cos…x†  3 1 3



1 1 2 ‡ cos…x†

6 6 2 ‡ cos…x† Dus Bf ˆ ‰2; 6Š.

2

Gemengde opgaven 149

b f …x† ˆ g412 …x† 6 ˆ 4 12 ‡ cos…x† 2 ‡ cos…x† …2 ‡ cos…x††…4 12 ‡ cos…x†† ˆ 6 cos2 …x† ‡ 6 12 cos…x† ‡ 9 ˆ 6 cos2 …x† ‡ 6 12 cos…x† ‡ 3 ˆ 0
…cos…x† ‡ 6† cos…x† ‡ 12 ˆ 0 cos…x† ˆ 6 _ cos…x† ˆ 12 geen oplossingen cos…x† ˆ cos…23 p† x ˆ 23 p ‡ k
2p _ x ˆ x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 23 p _ x ˆ 1 13 p

f 23 p ˆ 61 ˆ 4 en f 1 13 p ˆ 61 ˆ 4 12 12 2 De snijpunten zijn …3 p; 4† en …1 13 p; 4†.

2 3p

‡ k
2p

33 a f …x† ˆ 0

2 sin2 …x† ‡ sin…x† ˆ 0 sin…x†…2 sin…x† ‡ 1† ˆ 0 sin…x† ˆ 0 _ sin…x† ˆ 12 x ˆ k
p _ sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ k
p _ x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 0 _ x ˆ p _ x ˆ 1 16 p _ x ˆ 1 56 p _ x ˆ 2p. Z p Z p

2 b opp ˆ 2 sin …x† ‡ sin…x† dx ˆ 2…12 12 cos…2x†† ‡ sin…x†dx 0 0 Z p  p …1 cos…2x† ‡ sin…x††dx ˆ x 12 sin…2x† cos…x† 0 ˆ 0

ˆ …p 1† … 1† ˆ p ‡ 1 ‡ 1 ˆ 2 ‡ p c f …x† ˆ 2 sin2 …x† ‡ sin…x† ˆ 1 cos…2x† ‡ sin…x† geeft f 0 …x† ˆ 2 sin…2x† ‡ cos…x† ˆ 4 sin…x† cos…x† ‡ cos…x†. f 0 …x† ˆ 0 geeft 4 sin…x† cos…x† ‡ cos…x† ˆ 0 cos…x†…4 sin…x† ‡ 1† ˆ 0 cos…x† ˆ 0 _ sin…x† ˆ 14 x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 12 p _ x ˆ 1 12 p _ x ˆ a _ x ˆ b f …12 p† ˆ 2 ‡ 1 ˆ 3 f …1 12 p† ˆ 2 1 ˆ 1 f …a† ˆ 2
…

1 2 4†

‡

1 4

ˆ 18

1 4

ˆ

1 8

f …b† ˆ 2
…

1 2 4†

‡

1 4

ˆ 18

1 4

ˆ

1 8

y ƒ

O

π

2π

Aflezen: f …x† ˆ p heeft vier oplossingen voor

150 Gemengde opgaven

y=p x 1 8

< p < 0 _ 0 < p < 1.

34 a g…x† ˆ 2 sin…x† ‡ cos…2x† geeft g0 …x† ˆ 2 cos…x†

2 sin…2x†.

0

g …x† ˆ 0 geeft 2 cos…x† 2 sin…2x† ˆ 0 cos…x† ˆ sin…2x† cos…x† ˆ cos…12 p 2x† x ˆ 12 p 2x ‡ k
2p _ x ˆ …12 p 2x† ‡ k
2p 3x ˆ 12 p ‡ k
2p _ x ˆ 12 p ‡ 2x ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
23 p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p x ˆ 16 p ‡ k
23 p _ x ˆ 12 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 16 p _ x ˆ 12 p _ x ˆ 56 p _ x ˆ 1 12 p ) g…16 p† ˆ 2
12 ‡ 12 ˆ 1 12 de top …16 p; 1 12† ligt op de grafiek van f p f …16 p† ˆ 4
…12 3†2 3
12 ˆ 1 12 ) g…12 p† ˆ 2
1 1 ˆ 1 …12 p; 1† ligt niet op de grafiek van f f …12 p† ˆ 3 ) g…56 p† ˆ 2
12 ‡ 12 ˆ 1 12 de top …56 p; 1 12† ligt op de grafiek van f p f …56 p† ˆ 4
… 12 3†2 3
12 ˆ 1 12 ) g…1 12 p† ˆ 2 1 ˆ 3 de top …1 12 p; 3† ligt niet op de grafiek van f f …1 12 p† ˆ 3 Dus twee toppen van de grafiek van g liggen op de grafiek van f . b f …x† ˆ g…x† y 4 cos2 …x† 3 sin…x† ˆ 2 sin…x† ‡ cos…2x†
3 sin…x† ˆ 2 sin…x† ‡ 1 2 sin2 …x† 4 1 sin2 …x† 4 4 sin2 …x† 3 sin…x† ˆ 2 sin…x† ‡ 1 2 sin2 …x† 2 sin2 …x† 5 sin…x† ‡ 3 ˆ 0 sin2 …x† ‡ 2 12 sin…x† 1 12 ˆ 0
…sin…x† ‡ 3† sin…x† 12 ˆ 0 O sin…x† ˆ 3 _ sin…x† ˆ 12 voldoet niet sin…x† ˆ sin…16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 56 p ‡ k
2p x op ‰0; 2pŠ dus x ˆ 16 p _ x ˆ 56 p. Z 5p 6

O…V † ˆ 2 sin…x† ‡ cos…2x† 4 cos2 …x† 3 sin…x† dx Z ˆ

g π

2π

x

1 6p

5 6p

1 6p

Z ˆ

ƒ

5 6p

1 6p

2 sin…x† ‡ cos…2x† …5 sin…x†

p p ˆ 2 12 3 ‡ 14 3

cos…2x† 5 3 p†

4

1 2



‡ 12 cos…2x† ‡ 3 sin…x† dx

2†dx ˆ p … 2 12 3



5 cos…x† 1 4

p 3

1 3 p†

1 2 sin…2x†

p ˆ 5 12 3

 5p 2x 61p 6

1 13 p

Gemengde opgaven 151

c f …x† ˆ 4 cos2 …x† 3 sin…x† ˆ 2 ‡ 2 cos…2x† 3 sin…x† geeft f 0 …x† ˆ q Voer in y1 ˆ 1 ‡ … 4 sin…2x† 3 cos…x††2 . Z 5p 6 y1 dx  9,3625 L1 ˆ 0

4 sin…2x†

3 cos…x†.

1 6p

g …x† ˆ 2 cos…x† 2 sin…2x† q Voer in y2 ˆ 1 ‡ …2 cos…x† 2 sin…2x††2 . Z 5p 6 y2 dx  2,3614 L2 ˆ 1 6p

Omtrek van V ˆ L1 ‡ L2  11,72 bladzijde177 35


a fp …x† ˆ sin2 …x† ‡ p cos…2x† ˆ sin2 …x† ‡ p 1 2 sin2 …x† ˆ sin2 …x† ‡ p 2p sin2 …x† ˆ …1 2p† sin2 …x† ‡ p. De functie is constant als 1 2p ˆ 0 2p ˆ 1 p ˆ 12 2 b fp …x† ˆ sin …x† ‡ p cos…2x† ˆ 12 12 cos…2x† ‡ p cos…2x† geeft fp0 …x† ˆ sin…2x† 2p sin…2x† ˆ …1 2p† sin…2x† fp0 …x† ˆ 1 heeft geen oplossingen als 1 < 1 2p < 1 2 < 2p < 0 0 < 2p < 2 0
152 Gemengde opgaven

1 4† sin…2a†

3 cos…x† geeft 2 ‡ sin…x† …2 ‡ sin…x††
3 sin…x† 3 cos…x†
cos…x† 6 sin…x† 3 sin2 …x† 3 cos2 …x† ˆ f 0 …x† ˆ …2 ‡ sin…x††
2 …2 ‡ sin…x††2 2 2 6 sin…x† 3 sin …x† ‡ cos …x† 6 sin…x† 3 ˆ ˆ 2 …2 ‡ sin…x††2 …2 ‡ sin…x†† 6 sin…x† 3 f 0 …x† ˆ 0 geeft ˆ0 …2 ‡ sin…x††2 6 sin…x† 3 ˆ 0 sin…x† ˆ 12 sin…x† ˆ sin… 16 p† x ˆ 16 p ‡ k
2p _ x ˆ 1 16 p ‡ k
2p x op ‰ p; pŠ dus x ˆ 56 p _ x ˆ 16 p

36 a f …x† ˆ

3 ˆ 11 2 2 p   p 1 12 3 f … 56 p† ˆ ˆ 3 1 12 p 1 12 3 p 1 f … 6 p† ˆ ˆ 3 1 12 f … p† ˆ

f …p† ˆ

3ˆ 2

1 12 y

–π

π

O

Het bereik van f is ‰

x

p p 3; 3Š.

Gemengde opgaven 153

b f …x†
f … x† ˆ 97 3 cos…x† 3 cos… x†
ˆ9 2 ‡ sin…x† 2 ‡ sin… x† 7 3 cos…x† 3 cos…x†
ˆ9 2 ‡ sin…x† 2 sin…x† 7 9 cos2 …x† ˆ9 4 sin2 …x† 7 cos2 …x† ˆ1 4 sin2 …x† 7 7 cos2 …x† ˆ 4 sin2 …x†
1 cos2 …x† 7 cos2 …x† ˆ 4 7 cos2 …x† ˆ 4 1 ‡ cos2 …x† 6 cos2 …x† ˆ 3 cos2 …x† ˆ 12 p p cos…x† ˆ 12 2 _ cos…x† ˆ 12 2 cos…x† ˆ cos…14 p† _ cos…x† ˆ cos…34 p† x ˆ 14 p ‡ k
2p _ x ˆ 14 p ‡ k
2p _ x ˆ 34 p ‡ k
2p _ x ˆ x op ‰ p; pŠ dus x ˆ 34 p _ x ˆ 14 p _ x ˆ 14 p _ x ˆ 34 p.

154 Gemengde opgaven

3 4p

‡ k
2p

215276