Wiskunde Uitwerkingen H15

53 Getal en Ruimte

VWO B deel 4

hoofdstuk 15

Afgeleide en tweede afgeleide

blz.90 1. a.

rck  tan O 

PP ' yP e p   OP ' xP p

b. f ( x)  e x  f '( x)  e x rc k  f '( p)  e p c.  ep ep   e p  e p p  e p  e p ( p  1)  0  p  1 p   p p rc k  f '( p)  e  rck 

p  1  raakpunt (p, e p )  (1, e)  vergelijking raaklijn: y  e x  b door O  b  0  y  e x

2. yQ  2

rcl  tan A 

b.

f '( x )  e  f '(q )  eq en rcl  f '(q )  eq

q

x

Uit a. en b. volgt: c.



eq  2 q

a.

y1 

eq  2  eq q

ex  2 ; y2  e x x

Calc intersect geeft: x  q  1, 46

3. a. m is raaklijn in P  rc m  f '( p )  f ( p)  f ( p)   f '( p)  m door O  rcm  tan O  p p  b.

f ( x)  ln x  f '( x)  1x . Gebruik makend van de formule in a. geldt: 1 ln p   ln p  1  p  e  yP  ln e  1  P (e , 1) p p rc m  1e  y  1e x  b met m door O geeft b  0  y  e1 x

blz.93 4. 1

f ( x)  x  x 2  f '( x)  12 x f '( x ) 

f ( x)  y A x  xA

 12



1 2 x

met A (4 , 0) geeft:

2 x  x  x  4  2x x 4 f '( x ) 

1 2 x

x 0  x 4 2 x xB  4   B(4, 2) yB  f (4)  2 1



 f '(4)  14  raaklijn: y  14 x  b door: (4, 2) 2  1  b  y  14 x  1

54

5. a. f ( x)  x 2  1  f '( x)  2 x f ( x)  y A x2  1 f '( x )  met A (0, 0) geeft: 2 x   x  xA x 2 x 2  x 2  1  x 2  1  x  1  x  1 f '( x )  2 x  f (1)  2 door O geeft raaklijn: y  2 x f '( x )  2 x  f (1)  2 door O geeft raaklijn: y  2 x b. f ( x)  x 2  1  f '( x)  2 x f ( x)  y A x2  1  0 f '( x )  met A (1, 0) geeft: 2 x   x  xA x 1 2 8 2 x 2  2 x  x 2  1  x 2  2 x  1  0  x1,2  1 2 2 f (1  2)  1  2 ; f (1  2)  4  2 2  raakpunten: (1  2 , 4  2 2) ;

6. a.

(1  2 , 4  2 2)

2  2 ln( x) en plot (zie figuur hiernaast) x 2  2ln( x) f ( x)  ; t ' n  2x x 2 x t n '  (2  2 ln( x )) 1  2  2 ln( x )   2 ln( x)   2ln( x) f '( x )  ; f '( x )  0  2 ln( x )  0  x  1 x2 Zie grafiek: max f (1)  2  B f   , 2 ]

Voer in: y1 

b. f '( x ) 

f ( x)  y A x  xA

met A (0, 0) geeft:

2 ln( x)  x2

2 2ln x x

x

2ln( x)  2  2ln( x)  4ln( x)  2  ln( x)    x  e 1 2

1

Dus rc  f '(e 2 )  e ; raaklijn: y  e x c.

Zie figuur en uitkomst onderdeel b. twee oplossingen voor 0  a  e



 12

2ln( x) 2  2 ln x   x2 x2

55 7. a. f ( x)  (2 x  1)e x  f '( x)  2 e x  (2 x  1)e x  (2 x  3)e x f ( x)  y A (2 x  1)e x f '( x )  met A (0, 0) geeft: (2 x  3)e x   x  xA x (2 x 2  3x)e x  (2 x  1)e x  (e x  0) 2 x 2  3x  2 x  1  2 x 2  x  1  0 geeft: x  12  x  1 1

x  12  raaklijn y  4e 2 x ( 4 e x) x  1  raaklijn y  1e x

b. Zie de figuur hierboven: de raaklijnen moeten liggen in de grijze sectoren zoals die in de figuur zijn aangegeven. Voorwaarden voor de richtingscoëfficiënt a zijn: 0  a  e1 f '( x )  c.

8. a.

of

f ( x)  y A x  xA

a4 e met A (1, 1) geeft: (2 x  3) e x 

(2 x  1) e x  1 x 1

(2 x  1) e x  1 x 1 Calc intersect geeft: x  0,75131  P(0, 75 ;  0, 24) Voer in: y1  (2 x  3) e x ; y2 

f ( x)  x ln( x)  x  f '( x)  1 ln( x)  x 1x  1  ln( x ) f ( x)  y A x ln( x)  x  e 2 f '( x)  met A (0,  e 2 ) geeft: ln( x)   x  xA x x ln x  x ln( x)  x  e 2  x  e 2 .  rc  f '(e2 )  2  raaklijn: y  2 x  b door (0,  e 2 ) geeft b  e 2 , dus y  2 x  e 2

b. f ( x)  yB x  xB

x ln( x)  x  1  xb x 1 x ln x  b ln x  x ln x  x  1  b ln x  x  1  b  ln x 0 < rcl  1  0  ln x  1  1  x  e x 1 Dus we gaan het bereik van de functie b( x)  onderzoeken met D f  1, e ln x x 1 Voer in y1  ln x x 1 b( x )   t ' n  1 ln x  ln x ln x tn '  ( x  1) 1x  1  1x  f '( x ) 

met B (b ,  1) geeft: ln( x ) 

ln x  1x  1  b '( x) 

ln x  1x  1

 ln x 

Nu is op 1, e is b '  0  b( x) is stijgend   x 1 e 1   1  b  e 1 lim  1 en b(e)   e 1  x 1 ln x 1

2

56 c.

x ln x  x  0  x ln x  3ln x  x ln x  x  3ln x  x x3 Met Calc intersect krijgen we als oplossingen van de vergelijking voor x : 1, 85718 en 4,53640 De ln(…) van deze x-coördinaten levert de rc'n op van de respectievelijke raaklijnen: 0,6191 en 1,5121. y  0, 6191 x  b door (3, 0)  b  1,86 raaklijn: y  0, 62 x  1,86 ln x 

y  1,5121 x  b door (3, 0)  b  4,54 raaklijn: y  1,51x  4,54 9. f ( x)  x e1 x  f '( x )  e1 x  x e1 x 1  (1  x ) e1 x De waaier van lijnen y  a( x  12 ) gaat door A(  12 , 0) f ( x)  y A f '( x )  met A (1, 1) geeft: x  xA x e1 x  0 (1  x) e1 x   x  12 x(1  x) e1 x  12 (1  x) e1 x  x e1 x  x(1  x)  12 (1  x)  x  x  x 2  12  12 x  x  2 x 2  x  1  0  x  12  x  1 f ( 12 ) 

1 2

e ; f (1)  e 2 

raakpunten: ( 12 , 12 e) en (  1,  e 2 ) ( 12 , 12 e) invullen in y  a ( x  12 ) geeft: a 

1 2

e (raaklijn p )

(  1,  e 2 ) invullen in y  a ( x  12 ) geeft: a  2e 2 ( raaklijn q) Resumerend: één gemeenschappelijk punt voor a

1 2

e  a  2e 2  a  0

blz.94 10.

figuur A a.

zie figuur A: de lijnen genummerd 1, 2, 3.

b.

door B 1; door C 0 ; door D 2 en door E 1 (zie figuur A)

figuur B

57 c.

ja zie figuur B: de punten O, P en Q.

d.

ja zie figuur B: het punt R .

11. s (t ) t 3  6t 2   t 2  6t  g (t ) t t g '(t )  2t  6  g '(t )  0  2t  6  t  3 Op t  3 wisselt g ' van teken van  naar  .  g is maximaal voor t  3  p  3 gem. snelheid 

max. gem snelheid  g (3)  9m/s=9 3,6  32, 4 km/u

12. a.

N (t )  1000 e 0,05(t 11)

2

2

N (4)  1000 e 0,05( 7)  86, 29  86 besmettingen

 2

N '(t )  1000 e0,05( t 11)  0,10 (t  11)  100(t  11) e 0,05(t 11) b.

2

2

N '  0  100(t  11) e 0,05(t 11)  0  t  11 Dus op dag 11 is het aantal nieuwe besmettingen het hoogst

c. Gemiddeld aantal besmettingen 

N (t ) , dus voer in: t

y1 

1000 e 0,05(t 11) t

2

Calc max. geeft: x  t  10 blz.95 13. a. H (t ) 

1 1  24e 0,2t

t ' n  0 (1  24e 0,2t )



 0

t n '  1.  24 e 0,2t 0, 2  4,8 e0,2t  4,8 e 0,2t

H '(t ) 

4,8 e

0,2 t

 1  24e 

0,2 t 2



; H '(t )  0 voor alle t  H (t ) is stijgend

b. 1 1  1 0,2 t 1  24e 1  24 0 1 Dus de grenswaarde van H (t )  is 1. 1  24e 0,2t 9500 m3 geeft een opbrengst van 0,95 per m3 dus H = 0,95. Voer in: 1 y1  ; y2  0,95 Calc intersect geeft: t  30, 61 , dus na 31 jaar 1  24e 0,2 x lim e 0,2t  0 t 

c.

d.

e.



lim t 

y2  nDeriv ( y1 , x , x ) ; window  [ 0, 20]  [0, 0.1] Calc maximum geeft: voor x  t  15,89  16 jaar . Toename na 6 jaar is H (6)  H (0) . Gemiddelde toename per jaar na 6 jaar =

 H (6)  H (0)  / 6   y1 (6)  y1 (0)  / 6 

0, 0136 m3 / jaar .

58

f.

Voer in: y3   y1 ( x)  y1 (0)  / x Calc max . geeft: x  22, 48. Na 22 12 jaar zal hij kappen met als opbrengst  y1 (22, 48) 10000  7789 m3 . N.B. de antwoorden van e. en f. zijn in het antwoordenboekje van de uitgever niet correct. Daar is namelijk gemiddelde opbrengst verward met gemiddelde toename.

blz.96 14. a. f ( x)  12 x 2  x  1,5  g ( x)   x 2  4 x 

b.

c.

f (1)  3    punt (1,3) ligt op beide grafieken. g (1)  3

f ( x)  12 x 2  x  1,5  f '( x)  x  1  f '(1)  2 raaklijn: y  2 x  b door (1, 3)  k : y  2 x  1 2 g ( x)   x  4 x  g '( x)  2 x  4  g '(1)  2 raaklijn: y  2 x  b door (1, 3)  l : y  2 x  1 Dus k  l (vallen samen) A is een gemeenschappelijk punt van de grafieken met dezelfde raaklijn: A is het raakpunt van de grafieken.

blz.98 15. a. Vraagstuk wordt dan: lijn y  px door A (0,0) raakt de grafiek van f ( x)  x  ln x . f ( x)  x  ln( x)  f '( x)  1  1x f ( x)  y A x  ln( x) f '( x )  met A ( 0, 0) geeft: 1  1x   x  1  x  ln( x )  x  e x  xA x f (e)  e  ln(e)  e  1; raakpunt (e ;e  1) p  f '(e)  1  e1 In bovenstaande voorbeeld komt geen rechte lijn voor, dus kunnen we ook niet gebruik maken van een formule waarin een rechte lijn een rol speelt. b. x  ln( x)  2  p x  p 

x  ln( x)  2

 x

ln( x)



x x 1 p 1 2  1   p  2 x   1   2 x  x 2 x x x  ln( x) 2 2 y1  x   ; y2  2 x  x x x Calc intersect geeft: x  2,926  p  2, 252 Voordeel: direct in te voeren in GR. 16.

2  x  



 

59  f ( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x) 



  x 2  8 x  12  x 2  px   2 x  8  2 x  p  p  4 x  8  x 2  8 x  12  x 2  (4 x  8) x  x 2  8 x  12  x 2  4 x 2  8 x 2 x 2  12  x   6  p  4 6  8 of

p  4 6  8

17.  f ( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x)  

 x  e x  x 2  px  x x  1  e  2 x  p  p  2 x  e  1 x  e x  x 2   2 x  e x  1 x

x  e x  x 2  2 x 2  xe x  x Voer in: y1  e x ; y2   x 2  xe x Calc intersect geeft: x  0, 7391  x  0,8825 p  2,572  p  2,531 18. a.  f3  g q  f ' g '  q  3

 2 ln x  3x  x 2  q  2 2  x  3  2 x  2  3x  2 x

2 x 2  3x  2  0 x   12 (v.n.)  x  2 

q  2 ln(2)  2  f p  g2   f ' g'

b.



 2 ln( x)  px  x 2  2  2 2  x  p  2x  p  2x  x

2 ln( x)  (2 x  2x ) x  x 2  2 ln( x)  2 x 2  2  x 2  2 Voer in: y1  ln( x)  2 x 2  2 ; y2  x 2  2 Calc intersect: x  1,7110634  p  2, 252

blz.99 19. a. Stel g(x)=0  f ( x)  g ( x)  f ' g' 

 e x  p  x  0   x2  p 1  0  2 x e

 e x

2





2

p

 x

x2  p

1 2x

  e  x  2x1

2 x 2  1 x

1 2

(v.n.)  x  

coordinaten: (  x2  p

1 2

1 2

; 0)

x voldoet niet omdat e positief is en derhalve ook het rechterlid in het bovenstaande stelsel opositief moet zijn. 1 2

b.

60 f 2  e x I e

2

x2  2

2

x

g q  ln( x)  q 2

II 21x4e x2 243  1  1x { y

 x  ln( x)  q

y2

1

Calc intersect geeft: x  0, 74178957 Invullen in I geeft: q  1,275 20. blz.100 21.

a 1

rc k 

 a ; rcl 

1  a

p

  p

f 'g '  1 p

8 x

4 p

8

x x

2 x



8  1 x2

 1  x2 x p  14 x 2 x

x x 8

x  1, 27...(vn)

 1a

f g p x



 14 x 2 x 

8 23 13 x   4 32  2 4 2  4  x  2 2  y   5 24  x  0 x 24

x4  8 

1 4

(2 4 2 ; 2 4 8 ) 8 x x



8 5 4

2  2

5 4



8 5 4

2 2

5 8



23 2

15 8

9

 28  2 8 2

22. a. f ( x)  x 2  4 x



f '( x )  2 x  4 

f '(5)  rcl  6 rcl rc k  1  rc k   16

k : y   16 x  b door (5, 5)  b  5 56 k : y   16 x  5 56 b. l : y  5 x  p  2x  1 g ( x)   x2

t ' n  2( x  2)  2 x  4 tn '  (2 x  1) 1  2 x  1  5

g '( x)  15 

5 1 ( x  2)2 5

(3, 1) op y  5 x  p p  16

rc q  15

rcl  5  rcl rcq  1 

;





g '( x) 

( x  2) 2  25  x  2  5

5 ( x  2) 2 

x3  y  g (3)  1 (7, 3) op y  5 x  p p  32

x  2  5 x  7 y  g ( 7)  3

61 c. 2x

h( x ) 



x 4 2

t ' n  2 x2  4

 2 x2  4 2 x2

1

tn '  2 x 12 ( x 2  4) 2 2 x 

x2  4

 2 x2

2 x2  4 

x 4 2



8



2( x 2  4)  2 x 2 x 4 2

 8 x 4  3 1  8 2 6 2 2 1 2 2 2 2 2   2 3  8  ( x  4)  2  ( x  4)  2 2 ( x  4) x  4 x 4 2 ( x  4)   h '( x) 8  1  h '  18  h '( x) 



8 x 4 2

2





x 2  4  16 x 2  12  x   12  2 3

h( 12) 

2 12

 12 12  3  16 2 12 h( 12)    12 12   3  16 3) op y  8 x  q

(2 3 ;

(2 3 ;

3)

(2 3 ;  3)

 q  17 3

(2 3 ;  3) op y  8 x  q  q  17 3 23. Stel k ( x)   12 x  12 f ( x)  ( x 2  p) e x  f '( x)  2 x e x  ( x 2  p) e x Loodrecht snijden houdt in: k ( x)  f ( x)  k '  f '  1 2 x 1 1  2 x  2  ( x  p) e   12  2 x e x  ( x 2  p ) e x   1 ( x 2  p ) e x   12 x  12 ( x 2  p ) e x   12 x  12 14 2 43

 

2 x e x  ( x 2  p) e x  2 ( x 2  p ) e x   e x432 124x 2 y2

y1

y1  y2 met calc intersect levert op x  5,122175  x  0, 7048244 Invullen in k ( x) geeft als mogelijkheden voor A: (-5,12; 2,06) en (0,70; -0,85)

24.

a. f ( x)  x3  x  f '( x)  3x 2  1 ;

g ( x) 

p p  g '( x)   2 x x

Raken: f ( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x)  p p x3  x   3x 2  1    2  x x p  x4  x2  p  3x 4  x 2  x 4  x 2  3x 4  x 2  4 x 4  2 x 2  0  2 x 2 (2 x 2  1)  0  x  0 (v.n.) x

1 2

 y f(

of x  

1 2



x2  1 2

)

 y  f (

1 2

1 2 1 2

x

1 2



)   12

1 2

  12 1 2



 p   14

1 2

 A(

1 2 1 2



1 2

1 2

 A(

1 2

;  12

1 2

)

; 12

1 2

)

1 2



62 b. f ( x)  x3  x  f '( x )  3 x 2  1 ; Loodrecht snijden: f ( x)  g ( x )  p 3 x x  x p  x4  x2

g ( x) 

p p  g '( x)   2 x x

f '( x ) g '( x )  1   3x 2  1   xp2  1 x2 p 2  3x  1



x2  x 2  ( x 4  x 2 )(3x 2  1)  x 2  3x 6  4 x 4  x 2  x 4 (3x 2  4)  0  3x 2  1 x  0 (v.n.)  x 2  43  x   43 x4  x2  x x x

4 3 4 3

 p  x 4  x 2  16  43  9

y 4 3

p  x

y

4 9 4 3

 94 

4 9

3 2 9 3 2

 A(

4 3

;

4 p 3  9   94    92 3  B ( 4 x  3 2

2 9

3) 4 3

;  92 3)

blz.102 25. y1   13 x3  12 x 2  6 x  3 ; window : [6, 5]  [12, 14] a. Zie figuur. b. Dalend op , -3〉 en op 〈 2, →〉; stijgend op 〈-3 , 2〉. Bij benadering: toenemend stijgend op 〈-3 , -0,5〉; afnemend stijgend op 〈-0,5 ; 2〉. c. f ( x)   13 x 3  12 x 2  6 x  3

d. e.



f '( x)   x 2  x  6

y2   x 2  x  6 ; window als bovenstaand. Zie figuur xP  2ab  12   12 xP vormt de grens van de intervallen behorende bij toenemend stijgend naar afnemend stijgend.

26A. a.

b. c. d. e.

x g ( x)

-1 4 16

0 0

1 1 16

2

g '( x)

6

2 12

0

1 12

1 3

3 1 12

4 3 13

-2

1 12

x<3 (3,  1 12 ) toenemende g '( x) : rakend aan de onderkant afnemende g '( x): rakend aan de bovenkant.

5 -4 16 0

6 -3

7 1 16

2 12

6

63

blz.104 1

ln 2  ln 2 2  ln 2 2  12 ln 2

26B. blz.105 27.

f ( x)  x e x  1 e x  x e x  e x  x e x  f ''( x)  e x  1 e x  x e x  (2  x)e x 2 f "( x)  0  (2  x) e x  0  x  2  xBP  2  yBP  f (2)   2 , dus BP (-2 ,  22 ) e e rc buigraaklijn  f '(2)  e 2  2e 2   12  k : y   12 x  b e

invullen:

(-2 , 

dus k : y   28. a. b.

f (0)  0 ; f (2) 

29. a.

b.

x



2 e2



e 2 e2

b

 b 

4 e2

4 e2

y1   121 x 4  13 x 3 ; window : [5 , 3]  [5 , 4] : zie fig. 1 x 4  1 x3 f ( x)   12 3 f "( x)  0 

c.

1 e2

2) e2

 f '( x)   13 x3  x 2 f "( x)   x 2  2 x  x( x  2)  0  x  0  x  2 4 3

 buigpunten: (0, 0) en (  2, 43 ).

f '( x )   x 2  2 x  f '(0)  0

 raaklijn in (0, 0) is horizontaal.

De afgeleide van een derdegraadsfunctie f (x) is een tweedegraadsfunctie. Als de grafief van f twee toppen heeft wisselt f ' tweemaal van teken ( D < 0 ). De grafiek van f ' snijdt daarom tweemaal de x – as: zie de figuur hiernaast. De situatie is hier getekend voor een dalparabool, maar ook bij een bergparabool is de bewijsvoering hetzelfde. xC is de x-coördinaat van de top van de parabool, maar teven de x – coördinaat van het buigpunt (de helling heeft in een buigpunt een extreme waarde) Omdat een parabool symmetrisch is en de symmetrie-as door de top gaat, x  xB geldt: xC  A . q.e.d. 2 De afgeleide van f (x ) is f ' met als grafiek een parabool. Een parabool heeft precies één top en dus f ' één extreme waarde. Dus de grafiek van f (x) heeft precies één buigpunt.

30. a. f p ( x)  14 x 4  2 x3  px 2  5 x  5 

f5 ( x)  14 x 4  2 x3  5 x 2  5 x  5 

f5 '( x)  x3  6 x 2  10 x  5

f5 ''( x)  3x 2  12 x  10 D  144  4 3 10  24  0  f " wordt 2 maal 0 en wisselt 2 maal van teken  grafiek f5 heeft twee buigpunten.



b. f p ( x)  14 x 4  2 x3  px 2  5 x  5 

f 6 ( x)  14 x 4  2 x 3  6 x 2  5 x  5 

f5 '( x)  x3  6 x 2  12 x  5

f5 ''( x)  3x 2  12 x  12 D  144  4 3 12  0  Grafiek f " raakt de x-as.  f " wisselt niet van teken  grafiek f 6 heeft geen buigpunten.



64

c.

De tweede afgeleide van een vierdegraadsfunctie is een tweedegradsfunctie, zeg f ( x)  ax 2  bx  c . Doordat zowel a als D verschillende waarden kunnen hebben, zijn er 6 mogelijkheden.

D>0

D=0

D<0

a>0

a<0 Heel duidelijk wordt hiermee aangetoond dat f " òf tweemaal òf geen enkele maal van teken wisselt. Vertaald naar het aantal buigpunten wordt dit: òf twee òf geen buigpunten. blz.106 31. f p ( x)  x 4  px 3  34 x 2  10

 f p '( x)  4 x3  3 px 2  32 x  f p "( x)  12 x 2  6 px  32

f " is tweedegraads  geen buigpunten als D  0  36 p 2  4 32 12  0 

36 p 2  72

 p2  2 

 2 p 2

32. a. Voer in: y1  (( x  2) ^ 2) ^ (1/ 3) ; y2  ( x  2) ^ (1/ 3) ; window  [2, 6]  [3 , 3] Zie figuren hieronder.

b. c.

min f (2)  0 ; f '(2) bestaat niet (is niet gedefinieerd). verticale lijn, dus x = 2

65 d.

g ' (0) is niet gedefinieerd. Raaklijn aan de grafiek van g is eveneens de verticale lijn x = 2. De grafiek gaat in (2 , 0 ) wel "glad" over van bol naar hol.

33. a.

5  10 ln( x) x

f ( x) 

t ' n  10x x 

t n '  (5  10ln( x)) 1  5  10ln( x)  5  10 ln( x)

5  10 ln( x) f '( x )  x2

10 x 2 x

t 'n 

b.





10 x

t n '  (5  10 ln( x)) 2 x  10 x  20 x ln( x)  20 x  20 x ln( x)

20 x  20 x ln( x) f "( x)  ; x4 f (e)  15 e 

10

f "0 



20 x  20 x ln( x )  0



20 x(1  ln x )  0  x  0 (v.n.)  ln x  1  x  e

15 ) e

buigpunt: (e ,

De opgave moet als volgt luiden. Er zijn twee lijnen door (0, 2) die de grafiek van f raken. Toon aan dat voor de x-coördinaten van de raakpunten geldt: x  10 ln x . f ( x)  y A f '( x)  met A(0, 2) geeft: x  xA 5  10 ln x

2 5 -10 ln x 2   x2 x 5  10 ln x  5  10 ln x  2 x 

5 -10 ln x 5  10 ln  2 x   x2 x2 x  10 ln( x)

34. a. f ( x) 

1

 2 1

f '( x )  

e

10 2

2  12  x 

e

1000 2 1 1000 2 1



 2

1

f "( x) 



180   12  x10  

1 10 2

2

e

180   12  x10  



1

 x  180  1 1  10   10  2

e

180   12  x10  

( x  180)  2

e

180   12  x10  

2

180   12  x10  

1

1 ( x  180) 2  1 e   100  1000 2 2 2 1 f "( x)  0   100 ( x  180)  1  ( x  180)  102  x  180  10  x  180  10  x  190  x  170 zijn de x-coordinaten van de b.p.'n



b.



 12  1  x  180  1 ( x  180)   1   e  10 10 1000 2   

2

x180  10 



66

f ( x) 

1

 2 1

f '( x )  

e

e

 2 1

 3 2 1

f "( x) 

 3 2



2  12  x 

1







2  12  x 

e



1

 x 1 1      



2  12  x 

e





( x   ) 

2  12  x 

e





2  12  x  



1



 12  1  x 1  1   ( x   )   e   3   2  

x   2  



  12 ( x   )2  1

 2 f "( x)  0   12 ( x   )2  1  0  ( x   )2   2   x      x      x     x    zijn de x-coordinaten van de b.p.'n 35. a.

3

5

voer in: y1   ln( x)   2 ln( x)  2 ; window  0, 6  [4, 6] zie figuur. 2

y

f

4

3

2

1

x 1

b.

2

-1

f ( x)   ln( x)   2 ln( x)  2  2 ln( x) 2 2 ln( x)  2 f '( x )  2  ln( x )  1x  2 1x    x x x 2 ln( x) 2 f '( x )  0    2x  ln( x )  1  0 x x 2  0  ln( x)  1 x k .n. x  e 1  e1 2

-2

-3

1 1 grafiek: min = f (e )  3  top: (e ;  3)  ( e1 ,  3)

c. f '( x ) 

2 ln( x) 2   1 2x 3 x

t ' n  2x x 

2

h( x )

tn '  2 ln( x ) 1  2ln( x )  2  2 ln( x)  h '( x ) 

2  2 ln( x) x2

2  2 ln( x) 2 2 ln( x)  2  2 x x x2 2 ln( x ) f "( x)  0   0  2 ln( x)  0  xBP  1  x2 yBP  f (1)  2  BP  (1,  2) f '(1)  2  raaklijn y  2 x  b door (1,  2) geeft b  4  raaklijn: y  2 x  4 f "( x) 

d.

3

4

5

6

67 f ( x)  y A 2 ln( x)  2  ln( x)   2 ln( x)  2 f '( x )  met A(0, 0)    x  xA x x 2

2ln( x)  2   ln( x)   2 ln( x)  2   ln( x)   4  2

2

ln( x)  2  ln( x)  2  x  e2  x  e2 f '(e2 ) 

 y

6

e2

f '(e2 ) 

6

e2

x

 2e2  y  2e2 x

2

e2

36. a. f ( x)  6 x e f '( x )  6 e

1 x3  24

1 x3  24

  6 x e

e

f '( x )  0 

1 x3  24

1 x3  24

3 2  24 x e

1 x3  24

(6  34 x3 )

(6  34 x3 )  0  3 4

x3  6  x3  8  xtop  2

b. f '( x )  e

1 x3  24

f "( x)  e

(6  34 x3 ) 

1 x3  24

e e

1 x3  24 1 x3  24

81 x 2 (6  34 x 3 )  e

1 x3  24

 94 x 2 

  34 x 2  323 x5  94 x 2  

 3 x e

f "( x)  0 

2

 323 x5 

1 x3  24

 3 x

2

 323 x5   0  3x 2  323 x5  0 

32 x 2  x 5  0 

x 2 (32  x 3 )  0 

x  0 (2, dus v.n.) 

xBP  3 32

c. f '( x ) 

f ( x)  y A met A(1, 0)  x  xA  1 x3

6e 24 e1 4 4 (6  x ) 2 4 43 13 14x2 4 1 x3  24

3 4

y1

3

plot in [-3, 5]  [-8, 16]

y2

calc intersect geeft: x  1, 478

 x  2, 000

37. 1e y2  f "( x) , daarna calc zero 2e y2  f '( x ) , daarna calc maximum of calc minimum Daarna de gevonden x-coördinaat in f invullen. blz.108 38. a. Voer in: y1  0,0004 x3  0, 04 x 2  0, 28 x; Zie figuur window [0, 110]  [0, 100] b. Calc maximum geeft: x = 70; y ≈ 78 mg/l

100 90

mg/l 80 70 60

C

50

Dus na 70 is concentratie max.: 78 mg/l

40

c.

30 20 10

t -10

O -10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

68 C  0,0004t 3  0, 04t 2  0, 28t  dC  0, 0012t 2  0, 08t  0, 28 dt dC dt

geeft informatie over de toename van C per minuut

y2  0, 0012 x 2  0, 08 x  0, 28 Calc max imum geeft: na ongeveer 33 minuten . 39. a. dN  2 e0,02t e-macht > dt d dN  0, 04 e 0,02 t  0 { dt dt { pos neg

 

0  ddNt  0

b. dN  0 dt d dN dt dt

 



 N is stijgend 0

dN dt

  helling neemt af.

 N is afnemend stijgend

c. dN dt

N is stijgend 

0

 ddNt 

0

 toenemend dalend:  d  dt

 ddNt 

toenemend stijgend  ddNt neemt toe 

d dt

d. dalend  ddNt  0 : 

 afnemend dalend:

 

d dN dt dt

0

0

40. T  20  80e 0,2t T '( x)   16e 0,2t  T is dalend T"(x)=3,2 e0,2t  rc. neemt regelmatig toe. Dus afkoelingsproces verloopt steeds langzamer. blz.110 41. y1  100 * e ^ (0,01xx) window [0, 25]  [0, 110] a. b. y1  100 * e ^ (0,01xx ) ; y2  50 calc intersect  x  8,3255 geeft: 8,3255 60  500 sec . c. 2

V (t )  100 e0,01t  2

V '(t )  100 e0,01t 0, 02t  2t e0,01t 2

2

2

V "(t )  2 e0,01t  2t e0,01t 0, 02t 

 2  0, 04t  e0,01t 2

2

V "(t )  0  2  0, 04t 2  0  t 2  50  t   50  na 50 60  424 sec. d. max uitstroomsnelheid = V '( 50)  8,5776 De helft hiervan is  4, 2888 y2  nDeriv( y1 , x , x) ; y3  4, 2888 ; window [0, 20]  [10, 0] calc intersect geeft: x  13,5879  x  2, 2564 (v.n.) Aantal sec. na tijdstip  13,5879 60  424  391 sec.

69

42. a. 3

2

N  e0,1t 0,5t y1  e ^ (  0,1x ^ 3  0,5 x ^ 2) window [0, 6]  [0, 8] 0,1t 3  0,5t 2

0,1t 3  0,5t 2

N e  N'e (0,3t 2  t ) N '  0  0,3t 2  t  0  3t 2  10t  0  t (3t  10)  0  t  0 (vn)  t  103  3 13 3 13 24  80 uur . b.

c.

8.0

7.0

6.0

5.0

N 4.0

3.0

y2  nDeriv( y1 , x , x ) window [0, 6]  [5, 8] x  2, 4097 2, 4097 24  57,83  58 uur y  3,0047 3,0047 106  3 miljoen bact./dag 0,125 miljoen/dag = 125000 bact./uur

2.0

1.0

x O

1.0

2.0

3.0

4.0

y2  nDeriv( y1 , x , x )  y2 (100 / 24)  4, 42637 miljoen bact. /uur 1  1 106  3074 bact. /min 4, 42637 24 60

43.

f">0 f'>0 f'<0

f"<0

5.0

6.0

70 44. a. s  0, 2t 2  0,1t  s (3)  1,8  0,3  2,1 s (1)  0, 2  0,1  0,3  s   1,8 s 1,8 gem. snelheid =   0,9 m/sec t 2 b. v(t )  s '  0, 4t  0,1 c. d. e.

v(4)=1,6+0,1=1,7 m/sec v(5)= 2,0 +0,1 = 2,1 m/sec v  0, 4 m/s v(t  1)  0, 4(t  1)  0,1  0, 4t  0,5 v(t )   0, 4t  0,1  v  0, 4 m/sec. v is een lineaire functie van t en bij een lineaire functie is de toename per tijdseenheid gelijk aan de rc.

blz.111 45. a. s (0)  0; v(0)  0

a  v '(t )  t 2  6t

6

v(6)   (t 2  6t ) dx

 F (t )   13 t 3  3t 2

0

F (6)  72  108  36 F (0)   0  36 snelheid op t  6 is 36 m/sec b. v(t )   13 t 3  3t 2  c  2 1 3   c  0  v(t )   3 t  3t v(0)  0  6

s (t )     13 t 3  3t 2  dx 

1 t 4  t 3  G (6)  108  216  108 G (t )   12

0

G (0) 

afgelegde weg  108 m c. s (6)  108 m   s (10)  108  4 36  252 m v(6)  36 m/sec. d.

blz.112 46. a.

s (t )  500  108  36(t  6)  500  36(t  6)  392  392 t 6  10 89  t  16 89  16,89 sec. 36



0 108

71 108  m/s  30 m/s  3, 6  remtijd  6 sec.  na 6 sec is v  0, dus v(6)  0   versnelling = a is constant  v neemt gelijkmatig af    (zie figuur)  remweg  s (6)  opp. driehoek  12 30 6  90 m . v(0)  108 km/u 

b.

zie ook bovenstaande uitleg en figuur hiernaast. Noem de remtijd x seconden. Dan geldt: s ( x)  60 en tevens:   15 x  60, dus x  4 sec . s ( x)  opp. driehoek= 12 30 x  15 x 

47. a. a  v '  1,5 m/sec 2 t  0 ; vB  36 km/u  10 m/sec. v A (t )  1,5t  c    c  0  v A (t )  1,5t v A (0)  0  s (t )  34 t 2  c  3 2 v A (t )  1,5t  A   c  0  s A (t )  4 t s A (0)  0  vB  10  sB (t )  10t Inhalen  s A  sB

 34 t 2  10t  3t 2  40t  0 t (3t  40)  0  t  0 (v.n.)  t  13 13 sec .

Dus na 13 13 sec. heeft auto brommer ingehaald. b.

v A (t )  1,5t  vA (13 13 )  1,5 40 3  20 m/sec. = 72 km/u

blz.113 48. a. De functie behorende bij de rode lijn neemt constant af dus de snelheid = v(t) staat op de verticale as. b. Op t = 0 is v = 25 gevolg: B (0, 25). a  4 m/sec 2  De snelheid neemt regelmatig af met 4 m/sec. 25 Gevolg: na  6 14 sec is snelheid 0 of v( 6 14 )  0  A( 6 14 , 0) 4 c. O (OAB )  12 6 14 25  78,125 m ( 78 18 ) Betekenis: afgelegde weg  78 18 m (in 6 14 sec).