Weierstrass Function

‫‪ ‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس ‪ ‬‬ ‫اﺛﺒﺎت ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ روي ‪ R‬و ﻣﺸﺘﻖﻧﺎﭘﺬﻳﺮي در ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪ از‬ ‫‪ ‬‬ ‫اﻣﻴﺮ ﻣﺴﻌﻮد ﻋﺒﺪل ‪ ‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪  84‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪R‬‬

‫‪ ‬‬

‫در ﺟﻮﻻي ‪ 1872‬ﻛﺎرل واﻳﺮﺷﺘﺮاس در ﻳﻚ ﺳﺨﻨﺮاﻧﻲ در آﻛﺎدﻣﻲ ﺳﻠﻄﻨﺘﻲ ﻋﻠﻮم ﺑﺮﻟﻴﻦ از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اراﺋﻪ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪W ( x)   a k Cos (b k x‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﻛﻪ در آن ‪ 0  a  1‬و‬ ‫‪2‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪ ab  1 ‬و ‪ b  1‬ﻛﻪ ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫در ﺳﺨﻨﺮاﻧﻲ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ واﻳﺮﺷﺘﺮاس ﻋﻨﻮان‬

‫ﻛﺮد‪:‬‬

‫"ﺗﺎ ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻣﻦ از ﺑﺮﺧﻲ ﺷﺎﮔﺮدان رﻳﻤﺎن ﻣﻲداﻧﻢ او ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اوﻟﻴﻦ ﻓﺮدي ﻛﻪ )ﺣﺪود ‪ 1861‬ﻳﺎ زودﺗﺮ( ﻳﻚ ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺺ‬ ‫ﺑﺮاي ﻓﺮﺿﻴﺔ آﻣﭙﺮه)‪) (pere’s‬ﻛﻪ ﺷﺎﻳﺪ ﺑﺘﻮان اﻳﻨﻄﻮر ﺑﻴﺎن ﻛﺮد ‪ :‬ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺠﺰا ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ (.‬ﺑﺮاي‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ R‬در اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﺻﺪق ﻧﻤﻲﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣﺘﺎﺳﻔﺎﻧﻪ ﺑﺮﻫﺎن رﻳﻤﺎن اﻧﺘﺸﺎر ﻧﻴﺎﻓﺖ و آﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﻦ ﻓﻜﺮ ﻣﻲﻛﻨﻢ‪ ،‬ﻧﻪ در‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎﻳﺶ و ﻧﻪ در ﻧﻘﻞ ﻗﻮﻟﻬﺎي ﺷﻔﺎﻫﻲاش ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻦ رﻳﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﺑﺪون ﻣﺸﺘﻖ در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط را‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬اﺛﺒﺎت اﻳﻦ واﻗﻌﻴﺖ ﺧﻴﻠﻲ ﺳﺨﺖ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻲرﺳﺪ‪".‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس اوﻟﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮده ﻛﻪ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ اﻣﺮ در ﺳﺎل ‪ 1875‬ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ "ﭘﺎول‬ ‫دو ﺑﻮﻳﺲ‪-‬رﻳﻤﻮﻧﺪ‪ {1} "1‬اﺗﻔﺎق اﻓﺘﺎد‪ .‬در اﻳﻦ زﻣﺎن دو ﺑﻮﻳﺲ‪-‬رﻳﻤﻮﻧﺪ اﺳﺘﺎد داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎﻳﺪﻟﺒﺮگ در آﻟﻤﺎن ﺑﻮد و ﺑﻪ ﺳﺎل‬ ‫‪ 1873‬ﻣﻘﺎﻟﻪاش را ﺑﺮاي ﻣﺠﻠﺔ ﺑﻮرﺧﺎرت ارﺳﺎل ﻛﺮد‪.‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻛﻪ واﻳﺮﺷﺘﺮاس زودﺗﺮ درﺑﺎرهاش ﺑﺤﺚ ﻛﺮده ﺑﻮد)در‬ ‫ﺧﻼل ﭼﻨﺪ ﻣﻮﺿﻮع دﻳﮕﺮ(ﺳﺮوﻛﺎر دارد‪.‬ﺑﻮرﺧﺎرت ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﺮاي ﺧﻮاﻧﺪن ﺑﻪ واﻳﺮﺷﺘﺮاس داد‪ .‬واﻳﺮﺷﺘﺮاس در ﻧﺎﻣﻪاي ﺑﻪ ﺑﻮﻳﺲ‪-‬‬ ‫رﻳﻤﻮﻧﺪ اﻋﻼم ﻛﺮد ﺑﻪ ﺟﺰ ﭼﻨﺪ ﻧﻜﺘﻪ در ﺗﺎﺑﻊ رﻳﻤﺎن‪ ،‬ﭘﮋوﻫﺶ ﺗﺎزهاي ﻧﻜﺮده اﺳﺖ‪.‬در ﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﺑﻮﻳﺲ‪-‬رﻳﻤﻮﻧﺪ ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس را‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫)‪sin( a n x‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫‪f ( x)  ‬‬

‫اراﺋﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد ﻛﻪ ﻇﺎﻫﺮاً ﻗﺒﻞ از اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻮﻳﺲ‪-‬رﻳﻤﻮﻧﺪ ﺗﺬﻛﺮ واﻳﺮﺷﺘﺮاس را ﻗﺒﻮل ﻛﺮد و آن را ﺑﺎ ﻛﻤﻲ‬ ‫ﻳﺎدداﺷﺘﻬﺎي اﺿﺎﻓﻲ درﺑﺎرة اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع در ﻣﻘﺎﻟﺔ ﺧﻮد ﻗﺮار داد‪).‬ﻣﻘﺎﻟﺔ اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﻣﺠﻠﺔ ﺑﻮرﺧﺎرت ‪.(1875‬‬ ‫از زﻣﺎن اﻧﺘﺸﺎر اوﻟﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﺑﺴﻴﺎري ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اوﻟﻴﻦ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﺗﺎﺑﻌﻲ اﻳﻦ ﺑﻲﺗﻮﺟﻬﻲ ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس اوﻟﻴﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻔﻲ ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮﺧﻲ دﻳﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﺎر را ﻗﺒﻼً اﻧﺠﺎم داده‬ ‫ﺑﻮدهاﻧﺪ اﮔﺮ ﭼﻪ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از آﻧﻬﺎ ﺑﺎور ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ آﻧﺮا ﻗﺒﻞ از اﻧﺘﺸﺎر ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس‪ ،‬اﻧﺘﺸﺎر داده ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫)‪cos(3k x‬‬

‫‪                                                                 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫‪Paul de Bois‐Reymond ‬‬

‫‪1‬‬

‫در ﺳﺎل ‪ 1916‬ﻫﺎردي }‪ {2‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ W‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪة ﻓﻮق ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ 0  a  1‬و‬ ‫‪ ab  1‬و ‪) b  1‬ﻧﻪ اﻟﺰاﻣﺎً ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺮد(‬ ‫‪‬‬

‫ﻗﻀﻴﻪ‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ واﻳﺮﺷﺘﺮاس )‪ W ( x)   a k Cos (b k x‬ﺑﺮاي ‪ 0  a  1‬و ‪ ab  1‬و ‪ b  1‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﻫﻤﻪﺟﺎ ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﺛﺒﺎت‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎ ﺑﻨﺎ ﻧﻬﺎدن ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺷﺮوع ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ‪ 0  a  1‬اﻳﺠﺎب ﻣﻲﻛﻨﺪ ‪ ‬‬ ‫‪1 a‬‬

‫ﻫﻤﺮاه | ‪ sup x | a n cos(b nx)  a n‬و اﺳﺘﻔﺎده از آزﻣﻮن‬ ‫‪‬‬

‫)‪ a Cos(b x‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .  a k ‬اﻳﻦ ﺑﻪ‬ ‫‪k 0‬‬

‫‪- M‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ واﻳﺮﺷﺘﺮاس ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ‬

‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ در ‪ ‬ﺑﻪ )‪ W (x‬ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ‪ W‬از ﻫﻢ ﮔﺮاﻳﻲ ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ ﺳﺮيﻫﺎ‬

‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﭘﺲ از ﻓﺎرق ﺷﺪن از اﻳﻦ اﺛﺒﺎت ﻣﺎ ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻓﺮض اﺻﻠﻲ واﻳﺮﺷﺘﺮاس ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ab  1 ‬و ‪) b  1‬‬

‫‪ b‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺑﺮاي اﺛﺒﺎت ﻛﻠﻲ ﺑﺎ ‪ ab  1‬و ‪ b  1‬ﺑﻪ ﻫﺎردي }‪ {2‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﻫﺎن زﻳﺮ ﻛﻪ ﺑﺎ دﻗﺖ زﻳﺎدي از ﺑﺮﻫﺎنِ اﺻﻠﻲ ﻛﻪ )از ﺧﻮد( واﻳﺮﺷﺘﺮاس ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪) .‬ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺑﻮﻳﺲ‪-‬‬ ‫رﻳﻤﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ x0  ‬ﻧﻘﻄﻪاي دﻟﺨﻮاه اﻣﺎ ﺛﺎﺑﺖ و ‪ m  N‬دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ‪  m  Z .‬را ﻃﻮري اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫] ‪ b m x0   m  ( ,‬و ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ‪. xm1  b m x0   m‬ﻗﺮار دﻫﻴﺪ‬ ‫‪m 1‬‬ ‫‪bm‬‬

‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوي زﻳﺮ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷﻮد‬

‫‪ ym ‬و‬

‫‪m 1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪b‬‬

‫‪zm ‬‬

 m  1  x0 b m

1  x m 1  m  1  x0 b m 1  x m1   y m  x0  z m  x0  ‫و‬ bm bm bm bm 1  xm 1 1  xm 1 ym  x0   0  zm  x0 m b bm . z m  x0 ‫ و از ﺳﻤﺖ راﺳﺖ‬ym  x0 ‫ و از ﺳﻤﺖ ﭼﭗ‬m   ‫ از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ‬. y m  x0  z m ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬

،‫ﻧﺨﺴﺖ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ را ﺷﺮح ﻣﻲدﻫﻴﻢ‬ W ( ym )  W ( x0 )   n cos(b nym )  cos(b nx0 )      a ym  x0 ym  x0 n 0   n n   m  n cos(b m  ny m )  cos(b m  nx0 )   n cos(b y m )  cos(b x 0 )    S1  S 2   a    (ab)    ( y m  x0 ) b n ( y m  x0 ) n 0    n 0  sin( x) | 1 ‫ وﻗﺘﻲ‬.‫ ﺷﺮوع ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‬S1 ‫ اﺑﺘﺪا ﺑﺎ‬.‫ﻣﺎ اﻳﻦ دو ﻣﺠﻤﻮع را ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‬ ‫| ﻣﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ x m 1

:‫ ﻣﺠﻤﻮع را ﻛﺮاﻧﺪار ﻛﻨﻴﻢ‬،‫ﻳﻚ اﺗﺤﺎد ﻣﺜﻠﺜﺎت‬ | S1 || (





)  S1 |

  b n  ( y m  x0 )     sin   n m 1  2    b  y x ( )   n m 0     S ab  | | ( ) ( ) sin  1   n   2 n 0    b  ( y m  x0 )    2    b n ( y m  x0 )   sin  n 2   ‫ و‬sin b  ( y m  x0 )  ‫ﺑﺎ ﺧﺎرج ﻛﺮدن ﺟﻤﻼت‬ : ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷﻮد‬   2 b n ( y m  x0 )   2

m 1

   ab   n

n 0

 (ab) m  1  (ab) m ab  1



(I)

ab  1

‫ ﻣﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ از‬S 2 ‫ﺑﺮاي ﺗﺸﺮﻳﺢ ﻣﺠﻤﻮع‬





n  m 1  1  cos(b m  ny m )  cos b m  n m m   cos b n  m  1  (1) b  (1) m b   (.‫ ﺑﺎﺷﺪ‬ m  Z ‫ ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻓﺮد و‬b  1 ‫)ﺗﺎ وﻗﺘﻲ ﻛﻪ‬.‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ‬





 x   cos b m  nx0  cos b m  n m m m 1  b   n n  cosb  m  b x m 1 







        cosb x   0  (1) cosb x  

 cos b n m cos b nxm1  sin b n m sin b nxm1



  (1) b 

n



m

n

m 1

m

n

m 1



 (1) m  (1) m cos b nxm 1 1  xm 1 n 0  bm  1  cos b nxm1 m  ab  (1) m  a n 1  xm1 n 0 

S 2   a mn



: ‫ﺣﺎل ﻣﺠﻤﻮع را اﻳﻨﻄﻮر ﺑﻴﺎن ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‬





1 1 2 2

: ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﻛﺮان ﭘﺎﺋﻴﻦ ﺑﺮاي آن ﻳﺎﻓﺖ‬. xm1  ( , ] ‫ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪ در ﺳﺮي ﻓﻮق ﻧﺎ ﻣﻨﻔﻲ اﺳﺖ و‬





1  cos b nxm1 1  cosxm1  1 2 a     1 3 1  xm1 1  xm1 n 0 1 2 

n

(II) ‫ ﻃﻮري ﻛﻪ‬1  1 ‫ و‬ 1   1,1 ‫ وﺟﻮد‬ ‫ و‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎويﻫﺎي‬

W ( y m )  W ( x0 )   2  (1) m (ab) m1    1  y m  x0 ab  1  3

‫ ﺑﺮاي ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ‬،‫ ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ ﺑﺮاي ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﮔﻔﺘﻴﻢ‬.‫را ﺗﻀﻤﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﺪ‬ .‫ﻫﻤﺎن زﻳﺒﺎﻳﻲ اﻧﺠﺎم ﻣﻲدﻫﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺴﺮ ﻣﺬﻛﻮر‬ W ( z m )  W ( x0 )  S1  S 2 z m  x0

‫ﻃﺒﻖ ﻣﺮاﺣﻞ ﻗﺒﻞ ﻣﻲﺗﻮان اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻛﺮد ﻛﻪ‬ | S1 |

 (ab) m ab  1

(III) (  m  Z ‫ ﻳﻚ ﻋﺪد ﻓﺮد و‬b ‫ )دوﺑﺎره‬:‫ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺳﺎده ﺷﻮد‬z m ‫ ﺷﺎﻣﻞ‬cos ‫ﺟﻤﻠﺔ‬



n  1  cos b m nz m  cos b m n m m   cos b n ( m  1)  (1) b b     (1) m  (1) m cos b nxm1   S 2   a m n 1  xm1 n 0 bm  1  cos b nxm1         ab m (1) m  a n 1  xm1 n 0















 m 1

 (1) m





: ‫ﻣﺜﻞ ﻗﺒﻞ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻳﻚ ﻛﺮان ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺑﺮاي ﺳﺮي ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ‬

1  cosb nxm1  1  cosxm1  1 2   a   1 1  xm1 1  xm1 n 0 1  ( ) 3 2 

n

(IV)

‫ﺑﺎ ﺑﺤﺚ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ آﻧﭽﻪ در ﻣﻮرد ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﻧﺠﺎم دادﻳﻢ )وﻟﻲ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوي ‪ ‬و ‪ ( ΙV‬ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ‪  2   1,1‬و ‪2  1‬وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺎ ﻓﺮض‬ ‫‪ ab  1 ‬ﻛﻪ ﻫﻢ ارز ﺑﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ab  1‬‬

‫) ‪W ( z m )  W ( x0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (1) m (ab) m 2    2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z m  x0‬‬ ‫‪ab  1 ‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ و راﺳﺖ داراي ﻋﻼﻣﺖ ﻫﺎي‬

‫ﻣﺘﻔﺎوت دارﻧﺪ‪ ،‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ وﻗﺘﻲ ‪ m  ‬آﻧﮕﺎه ‪ ، (ab) m  ‬آﻧﮕﺎه واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ W‬در ‪ x0‬ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ x0‬از داﻣﻨﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﺑﻮد ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ )‪ W (x‬ﻫﻴﭻ ﺟﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺪارد‪.‬‬

‫ﺷﻜﻠﻲ از ﺗﺎﺑﻌﻲ واﻳﺮﺷﺘﺮاس ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﺷﻜﺴﺘﮕﻲﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺎﻧﻊ ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﻳﺮي ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ Cos 3i x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪x,4,4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪i 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪ ‬‬