Week 6

Physics I

บทที่ 8 การหมุน

วัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนที่ต รึงไว้กับที่  โดยวัดมุมที่วัตถุหมุนในหน่วย เรเดียน  1 rad คือมุมที่สว่ นโค้งซึง่ ยาวเท่ากับ รัศมีของวงกลมรองรับที่จุดศูน 360o ย์ ก ลางของวงกลม 1 rad   57.3o 

ความเร็วเชิงมุม

2    rad     deg  180

s  มุมที่รองรับส่วนโค้ง www.geocities.com/chanoknan_banglieng r

2

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย  2  1  av   t2  t1 t

ความเร็วเชิงมุมขณะหนึ่ง

 d   lim  t 0 t dt

บนวัตถุแข็งเกร็งทุกจุดจะหมุนไปเป็นมุมเดียวกันในช่วงเวลาเท่ากัน ดังนั้นที่เวลาใดๆ ทุกส่วนของวัตถุกำาลังหมุนมีความเร็วเชิงมุมเท่ากัน www.geocities.com/chanoknan_banglieng

3

ถ้าการหมุนมีความเร็วเชิงมุมคงที่ เราบอกอัตราการหมุนโดยใช้ความถี่ หรือจำานวนรอบที่หมุนต่อเวลา

1 รอบ = ∆θ = 2π radians คาบ หรือเวลาที่ใช้ในการหมุนครบ 1 รอบ ความถี่ของการหมุนคือ

2 T 

1  f   T 2 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

4

ความเร่งเชิงมุม ถ้าความเร็วเชิงมุมของวัตถุ 2  1   av   แข็งเกร็งมีการเปลี่ยนแปลง t2  t1 t ขึ้นกับเวลา  แสดงว่าวัตถุหมุนโดยมีคว ามเร่งเชิงมุม  d  d 2   lim   2 

t 0

t

dt

dt

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

5

ทิศของความเร่งเชิงมุมหาได้จาก d dt

0

d 0 dt

มีทิศเดียวกันกับ

มีทิศเตรงกันข้ามกับ

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

6

ตัวอย่างที่ 1 ล้อหมุนด้วยตำาแหน่งเชิงมุม

  2t

3

เส้นผ่านศูนย์กลางของล้อยาวเท่ากับ 0.36 เมตร จงหา a) มุมในหน่วยเรเดียนและองศา ที่เวลา t = 2 s และ t = 5 s b) ระยะทางที่อนุภาคๆ หนึ่งที่ขอบเคลื่อนที่ได้ในระหว่างช่วงเวลานัน้ c) ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในหน่วย rad/s และในหน่วย รอบต่อนาที d) จงหาความเร็วเชิงมุมขณะหนึง่ ที่เวลา t = 3 s www.geocities.com/chanoknan_banglieng

7

การหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่

  0   t 1 2    0  0t   t 2 2 2   0  2     0  www.geocities.com/chanoknan_banglieng

8

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่เชิงเส้น และการเคลื่อนที่เชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ตำาแหน่ง อัตราเร็ว

s r ds d  r dt dt

v  r

2 2 r T   v www.geocities.com/chanoknan_banglieng

9

dv d   r ความเร่ง dt dt

a//   r 2

v 2 a    r r

a  a a 2 //

2 

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

10

ตัวอย่างที่ 2 เครื่องเล่นแผ่นซีดี หมุนด้วยความถี่ 33 รอบต่อนาที และใช้เวลา 20 วินาทีในการหยุดหมุน จงหา 1) ความเร่งเชิงมุม

rad   33 rev  0  2 f   2   rev   60 second    3.46 rad / s

  0   t   0  t



0  3.46 2   0.173 rad / s 20 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

11

2) แผ่นซีดีหมุนกี่รอบก่อนที่มันจะหยุด

1 2      0  0t   t 2 1 2    3.46   20    0.173  20  2  34.6 rad

34.6  5.51 หมุน 1 รอบทำามุม 2π rad ดังนั้น 2

รอบ

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

12

3) ถ้ารัศมีของแผ่นซีดีเป็น 14 เซนติเมตร จงหาความเร่งเชิงเส้นที่ขอบแผ่น ณ เวลา t = 0

a//   r   0.173  0.14   0.024 m / s

a   r   3.46  2

2

2

 0.14   1.68 m / s

a  0.024  1.68  1.68 m / s 2

2

2

2

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

13



พลังงานจลน์ของการหมุน  

ถ้าแบ่งวัตถุแข็งเกร็งออกเป็นอ นุภาคเล็กๆ เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนหมุน อนุภาคเล็กๆ เหล่านี้ก็จะหมุนไปด้วยกัน พลังงานจลน์ของอนุภาค

1 2 K  mi vi 2



ดังนั้นพลังงานจลน์ในการหมุ นก็คือผลรวมของพลังงานจล น์ของอนุภาคเล็กๆทั้งหมด

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

14

โมเมนต์ความเฉื่อย 1 2 K   mi vi 2 1 2   mi   ri  2 1 2   mi ri  2





I   mi ri

2

เรียกปริมาณนี้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อย ของวัตถุรอบแกนหมุ น 1 2 K  I 2

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

15

ตัวอย่างที่ 3 มวล M และ m วางอยู่บนแกน xy ดังรูป ถ้าระบบใช้แกน y เป็นแกนหมุน หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม จงหาโมเมนต์ความเฉื่อย และพลังงานจลน์ของการหมุ นรอบแกน y

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

16

I   mi ri

2

 Ma  Ma 2

 2 Ma

2

2

1 2 K  I 2 1 2 2  2 Mb  2 2 2  Mb 





www.geocities.com/chanoknan_banglieng

17

วิธีคำานวณหาโมเมนต์ความเฉื่อย

I  lim

t 0

แทนค่า

 r m   r dm 2

2

i

i

i

dm   dV I   r  dV 2

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

18

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

19

ทฤษฎีแกนขนาน

I  I CM  Mh

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

2

20

ทอร์ค 

ทอร์ค คือแรงที่กระทำาให้วัตถุหมุน ขึ้นอยู่กับขนาดของแรงและตำาแหน่งที่แรงกระทำา

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

21

ขนาดของทอร์ค

  rF sin  นิยามของเวกเตอร์ทอร์ค

v v v   r F www.geocities.com/chanoknan_banglieng

22

ทอร์คและความเร่งเชิงมุม จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน 

 F// r  ma// r a//   r

  m   r  r   mr   2

  I www.geocities.com/chanoknan_banglieng

23

งานและกำาลังของการหมุน v v dW  F ds   F sin   rd

dW   d กำาลังในการหมุน

dW d    dt dt

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

24

แกนหมุนคงที่ ถ้าแกนหมุนไม่ได้หยุดนิ่งอยู่กับที่ เพราะมีการเลื่อนตำาแหน่งและหมุนไปพร้อม ๆ กันตัวอย่างเช่น ลูกบอลไหลลงมาตามพืน ้ เอียงโดยไม่ไถล 1 2 1 เป็นต้น 2

K

2

mv 

2

I CM 

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

25

โมเมนตัมและการดลเชิงมุม

v v v   r F

นิยามโมเมนตัมเชิงมุมว่า

v v v L  r  mv  mvr sin  www.geocities.com/chanoknan_banglieng

26

v v v dL  dr dv  v  v v v v v   mv   r  m    v  mv    r  ma  dt  dt dt   

v dL v v  r F dt

สำาหรับอนุภาคซึง่ ถูกกระทำาด้วยแรงสุทธิ F

Li  mi  ri  ri  mi ri  2

L   Li 

  m r    I 2

i i

v v dL   dt www.geocities.com/chanoknan_banglieng

27

ตัวอย่างที่ 3 พัดลมกังหันในเครื่องยนต์ไอพ่นเครื่องหนึ่ง มีโมเมนต์ความเฉือ่ ยขนาด 2.5 kg.m2 รอบแกนหมุนของเครื่อง ในขณะที่กังหันเริ่มหมุน ความเร็วเชิงมุมของกังหันในรูปฟังก์ชันของเวลาคือ

   400 rad/s  t 3

2

จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของใบพัดในรูปของฟังก์ชันของเวลา และให้หาค่าของโมเมนตัมเชิงมุมที่เวลา t = 3 s จงหาทอร์กสุทธิที่กระทำาต่อใบพัดในรูปฟังก์ชันของเวลา www.geocities.com/chanoknan_banglieng

28



  400 rad/s  t /s t

L  I   2.5 kg m



 1000 kg m



2

2

3

ที่เวลา t = 3 s L  1000 kg m / s 2

3

2

2

3

  3.0 s 

2

 9000 kg m / s 2

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

29

และจาก

v dL 2 3    1000 kg m / s   2t  dt 2 3   2000 kg m / s  t

ที่เวลา t = 3 s

   2000 kg m / s 2

3

  3.0 s 

 6000 N m www.geocities.com/chanoknan_banglieng

30

การคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม

v v dL  0 แสดงว่า L  I   constant ถ้า dt เมื่อทอร์กภายนอกสุทธิที่ทำาต่อระบบเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของระบบมีค่าคงตัว

I12  I 22 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

31