Week 5

Physic s 1 บทท่ี 7 การดลและโมเมนตัม

การดลและโมเมนตัม

v v dv d v v  F  ma  m dt  dt  mv 

พิจารณาอนุภาคท่ม ี ีมวลคงตัว เขียนกฎข้อท่ี 2 ของนิวตันได้ดังสมการข้างบน  แรงสุทธิท่ก ี ระทำาต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับอัตราการเปล่ย ี นแปลงของปริมาณ mv เทียบกับเวลา  เรียกปริมาณนีว ้ ่า “โมเมนตัม (momentum) หรือ โมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาค” 

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

2

v v p  mv v v dp  F  dt

นิยามของโมเมนตัม

กฎข้อท่ส ี องของนิวตันในรูปข องโมเมนตัม

แรงสุทธิท่ีกระทำำต่ออนุภำคมีค่ำเท่ำกับอัตรำกำรเปล่ย ี นแปลงโมเมนตัม ของอนุภำคเทียบกับเวลำ www.geocities.com/chanoknan_banglieng

3

ารณาอนุภาคท่ถ ี ูกกระทำาด้วยแรงสุทธิคงตัวในช่วงเวลา

t

ม การดล(Impulse) ของแรงสุทธิว่าเป็ นผลคูณของแรงสุทธิกับช่วง v v J   F t

จากกฎข้อท่ี 2 ของนิวตันในรูปโมเมนตัม v pv2  pv1 F  t t 2 1 v v v  F  t2  t1   p2  p1

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

4

 แรงท่ีกอ ่ ให้เกิดการด

ล เรียกว่า “แรงดล”  การดลคือพ้น ื ท่ีใต้กร าฟระหว่าง แรงกับเวลา t2

v v J   F  t  dt t1

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

5

ทฤษฎีการดล- โมเมนตัม v v v J  p2  p1 การเปล่ย ี นแปลงโมเมนตัมของอนุภาคระหว่ างช่วงเวลาหน่ึงมีคา่ เท่ากับการดลของแรงสุ ทธิท่ท ี ำาต่ออนุภาคในระหว่างช่วงเวลานัน ้

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

6

ตัวอย่างท่ี 1 ตีลก ู เบสบอลซ่งึ มีมวล 40 กรัม ท่ีขว้างมาในแนวระดับ วัดความเร็วของลูกเบสบอลขณะกระทบไม้ได้ vi = 39.0 m/s ก) น หลังจากนั ้ ลูกพุ่งออกจากไม้ไปด้วยความเร็ว vf = การดลของลูกเบสบอลขณะชนกับไม้เบสบอ 39.0 m/s ในทิศทางตรงกันข้าม จงหา ล งเวลาท่ล ี ูกบอลกระทบไม้ J ข)p fถ้าช่pว i  mv f  mvi

t=

1.20 ms    0.140 kg   39.0 m      0.140 kg   39.0 m   s  าต่ อลูกเบสบอล s   จงหาแรงเฉล่ ย ี ท่ีกระทำ  10.9 kg m

s www.geocities.com/chanoknan_banglieng

7

J 10.9 kg m s F  t 0.00120 s  9080 N

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

8

กฎการคงตัวของโมเมนตัม จาก

v dpv ถ้าไม่แรงสุทธิภายนอกที่มากระทำาที่วตั ถุ จะได้  F  dt v dp  0 หรือ p มีค่าคงที่ dt “ถ้าไม่มีแรงสุทธิภายนอกไปกระทำาที่วัตถุ โมเมนตัมของวัตถุจะมีค่าคงที่”

v v p  mv  constant www.geocities.com/chanoknan_banglieng

9

พิจารณาการชนของอนุภาค 2 ตัว ขณะท่ีชนกันจะมีแรง F1 และ F2 ท่ก ี ระทำาต่ออนุภาคตัวท่ี 1 และตัวท่ี 2 tf v F2 ในช่วงเวลาสัน ้ vๆ เม่ ือv แรง F1 และ p  p  F dt 1 f 1 i 1 เป็ นฟั งก์ชันของเวลา



และ

ti

tf

v v v p2 f  p2i   F2 dt ti

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

10

เม่ ือบวกสมการทัง้ 2 เข้าด้วยกันจะได้ tf v v v v v v p1 f  p1i  p2 f  p2i   F1  F2 dt ti





v v จากกฎข้อท่ี 3 ของนิวตัFน 1   F2 v v F1  F2  0

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

11

v v v v p1 f  p2 f  p1i  p2i “ผลรวมของโมเมนตัมหลังชนเท่ากับผล รวมของโมเมนตัมก่อนชน”

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

12

การชน

ถ้าในการชนมีแต่แรงภายในระหว่างอนุภาคเท่านัน ้ การชนจะเป็ นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม คือ โมเมนตัมก่อนชนเท่ำกับโมเมนตัมหลังชน พลังงานจลน์ก่อนการชนและภายหลังกาชนคือ 1 1 1 1 2 2 2 2 T  m v  m v Ti  m1v1i  m2 v2i f 1 1f 2 2f 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p1i p2i 1f 2f     2m1 2m2 2m1 2m2 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

13

ในการชนถึงแม้ว่าจะไม่มีแรงไม่อนุรก ั ษ์เข้ามา เก่ียวข้อง พลังงานกลรวมของอนุภาคก่อนชนกับหลังช นอาจไม่คQงท่ีกไ็ Tด้f  U f   Ti  U i 





ถ้าพลังงานศักย์คงท่ี

Q  T f  Ti www.geocities.com/chanoknan_banglieng

14

การชนแบบไม่ยดื หยุ่น  ถ้า

Q 0 คือพลังงานจลน์ทัง้หมดไม่คงท่ี เรียกการชนแบบนีว้่า “การชนแบบไม่ยืดหยุ่น (inelastic collision)”

m1v1i  m2 v2i   m1  m2  v f

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

15

ตัวอย่างท่ี 2 ballistic pendulum ใช้ในการหาความเร้วของลูกปื น เม่ ือเป้ ามวล m2 = 5.4 kg และกระสุนมวล m1 = 9.5 g ถ้ายิงกระสุนด้วยความเร็ว v กระสุนฝั งในเป้ ามวล m2 ทำาให้เคล่ อ ื นท่ีไปได้ความสูง h = 6.3 cm จงหาความเร็วก่อนชน v

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

16

จากกฎการอนุรักษ์คงตัว โมเมนตัมก่อนชน = โมเมนตัมหลังชน

จากโจทย์ ความเร็วเร่ิมต้นของมวล m2 มีค่าเป็ นศูนย์ และหลังชนมวล m1 และ m2 มีความเร็ว vf ดังนัน ้

m1v   m1  m2  v f m1  m2 v vf m1

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

17

หลังชนกระสุนฝั งไปในเป้ า และทำาให้เชือกแกว่ง โดยท่ีไม่มีแรงภายนอกมากระทำา พลังงานกลของระบบคงท่ี

 T U  i   T U  f

ท่จี ุดต่ำาสุดของการแกว่ง พลังงานศักย์มค ี ่าเป็ นศูนย์ และพลังงานจลน์มีค่ามากท่ส ี ุด และเม่ อ ื เป้ าแกว่งไปได้สูงท่ีสุด h Ti  Uงนี ซ่ ึงพลังงานจลน์ท่ต ี ำาแหน่ ้ ีค่าเป็ นศูนย์ f ม และพลังงานศั ี ุด 1 กย์มีค่า2มากท่ส 2

 m1  m2  v f   m1  m2  gh v f  2 gh www.geocities.com/chanoknan_banglieng

18

m1  m2 v m1



2 gh



 9.5 10  5.4    2  9.8   0.063 3 9.5 10   3

 630 m

s www.geocities.com/chanoknan_banglieng

19

การชนแบบยืดหยุ่น  ถ้า

Q = 0 ก็คือ พลังงานจลน์ทัง้หมดคงท่ี และเราเรียกการชนแบบนีว้่า “การชนแบบยืดหยุ่น (elastic collision)

m1v1i  m2 v2i  m1v1 f  m2 v2 f

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

20

พลังงานจลน์กอ ่ นชน = พลังงานจลน์หลังชน

ก่อนชน

u2  0

u1

v1

หลังชน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

v2

m1u1  m1v1  m2 v2 m1  u1  v1   m2 v2

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

21

1 1 1 2 2 2 กฎการอนุรักษ์พลังงานจลน์ m1u1  m1v1  m2 v2 2 2 2



m1 u  v 2 1

2 1

 m v

2 2 2

m1  u1  v1   u1  v1   m v

2 2 2

m1  u1  v1   m2 v2

v2  u1  v1 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

22

m1u1  m1v1  m2 v2

แทนค่vา2 ลงในสมการ

m1  m2 v1  u1 m1  m2 2m1 v2  u1 m1  m2

 ถ้ามวล

m1 = m2 จะได้ความเร็ว v1 = 0 และ v2 = u1

 ถ้ามวล

m1 >> m2 จะได้ v1 u 1 และ v2 u2

 ถ้ามวล

m2 >> m1

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

23

กรณีท่ีมวล m2 ไม่ได้หยุดน่ิง จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

m1u1  m2u2  m1v1  m2 v2

m1  u1  v1    m2  u2  v2 

กฎการอนุรักษ์พลังงานจลน์ 1 1 1 1 2 2 2 2 m1u1  m2u2  m1v1  m2 v2 2 2 2 2 2 2 2 2 m1  u1  v1    m2  u2  v2 

m1  u1  v1   u1  v1    m2  u2  v2   u2  v2  www.geocities.com/chanoknan_banglieng

24

u1  v1  u2  v2 v1  u2  u1  v2

m1u1  m2u2  m1v1  m2 v2 แทนค่v า1  ถ้ามวล m = m ลงในสมการ 1 2 จะได้ความเร็ว v1 = m1  m2 2m2 v1  u1  u2 u2 และ v2 = m1  m2 m1  m2 u1 2m1 m2  m1 v2  u1  u2  ถ้ามวล m1 >> m2 m1  m2 m1  m2 จะได้ v u 1

1

และ v2 u2  ถ้ามวล m >> m 2 1 25 www.geocities.com/chanoknan_banglieng

ตัวอย่างท่ี 3 กล่องสองใบเคล่ ือนท่ไี ปตามพ้ืนท่ไี ม่มีแรงฝื ดดังรูปจ งหา 3.1 ความเร็วของกล่องมวล 1.6 kg หลังการชน 3.2 การชนนีเ้ป็ นแบบยืดหยุ่นหรือไม่ s 3.3 ถ้5.5 าความเร็ วเร่ิมต้นของกล่องมวล 2.4 kg มีทิศตรงกั ี สดงในรู 2.4 ป 1.6 นข้ามกับท่แ ก่อนชน ความเร็วของกล่องมวล 1.6 kg m 4.9 s v หลังการชนเป็ นเท่าไร 2.4 1.6 หลังชน m

2.5 m s

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

26

โมเมนตัมก่อนชน = โมเมนตัมหลังชน m1u1  m2u2  m1v1  m2 v2

 1.6 kg   5.5 m / s    2.4 kg   2.5 m / s    1.6  v   2.4 kg   4.9 m / s  8.8  6.0  11.76 v 1.6  1.9 m / s

m/s

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

27

พลังงานจลน์ก่อนชน

1 1 m1u12  m2u22 2 2 1 1 2 2   1.6   5.5    2.4   2.5  2 2  24.2  7.5  31.7 J

Ti 

1 1 2 2 T  m v  m v พลังงานจลน์หลังชน f 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2   1.6   1.9    2.4   4.9  2 2  2.888  28.812  31.7 J

Q  T f  Ti  0การชนนีเ้ป็ นแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ www.geocities.com/chanoknan_banglieng

28

จาก

m1  m2 2m2 v1  u1  u2 m1  m2 m1  m2 1.6  2.4  2  2.4   v  5.5   2.5  1.6  2.4   1.6  2.4   1.1  3  4.1 m / s

งว่า กล่องมวล 1.6 kg หลังชนจะเคล่ อ ื นท่ีตรงกันข้ามกับความเร็วต้น

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

29

การชนแบบยืดหยุ่นในสองมิติ

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

30

ถ้าแรงลัพธ์ภายนอกเป็ นศูนย์ โมเมนต์ตัมก่อนชน = โมเมนตัมหลังชน ในแนวแกน x

m1u1  m1v1 cos 1  m2 v2 cos  2 ในแนวแกน y

0  m1v1 sin 1  m2 v2 sin  2 ถ้าเป็ นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ พลังงานจลน์ก่อนชน = พลังงานจลน์หลังชน www.geocities.com/chanoknan_banglieng

31

ตัวอย่างท่ี 4 ในการเล่นสนุกเกอร์เกมส์หน่งึ ผู้เล่นแทงลูกสีขาวพุ่งเข้าชน ลูกสีแดง ท่ม ี ีมวลเท่ากัน หลังชนลูกขาวเคล่ อ ื นท่ีด้วยความเร็ว 3.50 m/s ทำามุม ื นท่ ข ี องลู ก สี แ ดง ๐ 1) มุมระหว่างทิศการเคล่ อ 22 กับแนวเดิม ลูกสีแดงมีความเร็ว 2.00 m/s จงหา กับทิศทางเดิมของการเคล่ อ ื นท่ีของลูกขาว 2) ความเร็วเร่ิมต้นของลูกสีขาว

22๐ θ

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

32

แกน x

mu  mv1 cos 22o  mv2 cos 

แกน y

0  mv1 sin 22o  mv2 sin  v1 sin 22o  v2 sin  v1 sin   sin 22o v2 3.50  sin 22o 2.00  0.655

  sin 1 0.655  41o www.geocities.com/chanoknan_banglieng

33

u  v1 cos 22o  v2 cos 41o

  3.5   0.927    2.00   0.755   4.75 m / s

www.geocities.com/chanoknan_banglieng

34