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Ecuaciones de Cauchy-Riemann ●

La propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función: Ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Ecuaciones de Cauchy-Riemann ●

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Teorema: una condición necesaria para que una función sea diferenciable en es que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfagan. Consequentemente, si f es una función analítica en un conjunto abierto, entonces las ecs. de Cauchy-Riemann deben satisfacerse en cada punto del conjunto abierto.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann ●

Comentario: Que se satisfagan las ecs. de Cauchy-Riemann NO es suficiente para asegurar que la función sea diferenciable. Para ello hay que añadir condiciones de continuidad a las derivadas parciales de u y v

Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema: Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida en un conjunto abierto (entorno) que contiene a Si ●

Las derivadas parciales de u y v existen en dicho entorno.

●

Las derivadas parciales son continuas en

●

Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann Entonces f(z) es diferenciable en

y

Ecuaciones de Cauchy-Riemann Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de la vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica

Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Sea

definida en un

entorno de Si ●

las derivadas parciales con respecto a r y existen

●

Las derivadas parciales son continuas en

●

Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar). Entonces f(z) es diferenciable en

y

Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.

Funciones armónicas ●

Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace

Funciones armónicas Teorema Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica. ●

Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

Algunas funciones elementales Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0 ●

Función exponencial

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Función logaritmo

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Exponentes complejos

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Funciones trigonométricas

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Funciones hiperbólicas

●

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Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Polinomios ?

Algunas funciones elementales ●

Función exponencial Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones. Con

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tenemos:

De aquí que:

●

es decir, la función es multivaluada

Algunas funciones elementales Por ejemplos: a)

si y sólo si k:entero

b)

si y sólo si

Es decir que período

es una función periódica con

Algunas funciones elementales De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones

Algunas funciones elementales ●

Comentario: notemos que la función tomar el valor negativo -1:

Entonces ●

puede

e

Finalmente, hemos obtenido anteriormente que

Algunas funciones elementales ●

Funciones trigonométricas Hemos visto que

por lo que

●

De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a “ángulos complejos” como

Algunas funciones elementales

con derivadas

Algunas funciones elementales Algunas propiedades ● ● ● ● ● ● ●

si y sólo si

●

si y sólo si

Algunas funciones elementales Similarmente se definen las funciones

con derivadas