Vpn

Introducción al Valor Presente Neto (I) • Para lograr asignar recursos escasos, necesitamos tener una métrica única para comparar el valor de los activos. • El concepto de valor presente neto aparece como una respuesta a esta necesidad: un solo número resume un conjunto de flujos dispersos en el tiempo. • Ejemplo: – Usted tiene la posibilidad de invertir en una de las siguientes dos alternativas: •Proyecto inmobiliario (supongamos libre de riesgo)

$700

$200 0

1

2

$300 3

-$1000

•Bonos del Gobierno 0

$1060 $60

$60

1

2

-$1000 Otoño 2000--IN56A

1

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Introducción al Valor Presente Neto (II) • Para poder comparar las dos alternativas de inversión debemos resumir ambos flujos de caja a un sólo valor. • Por ejemplo: – Si definimos valor presente neto igual a:

Ct t t = 0 (1+ r ) T

VPN = ∑

• Podemos calcular el valor presente de ambos flujos suponiendo una tasa de descuento anual igual a 6%. – VPN@6% (proyecto inmobiliario) = $64 – VPN@6% (bono del gobierno) = $0

Es decir, preferiríamos el proyecto inmobiliario frente a invertir en bonos del gobierno. Otoño 2000--IN56A

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El concepto de valor presente está en nuestra propia valorización de consumir hoy versus mañana. • Recordando conceptos de microeconomía, en una economía con un sólo individuo y un bien, el equilibrio se alcanza cuando la tasa marginal de transformación es igual a la tasa marginal de substitución.

TMS = TMT C1

B

U2 U1

y1 C0 Otoño 2000--IN56A

y0

Pendiente = -(1+r) 3

Sin la existencia de un mercado de capitales, personas con el mismo conjunto de oportunidades inversión y patrimonio elegirían diferentes inversiones. C1

Individuo 2

Individuo 1 C0 Otoño 2000--IN56A

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Si suponemos que existen en la economía muchos individuos, las decisiones de producción no dependen de las preferencias subjetivas de las personas. • Representaremos la posibilidad de intercambio de paquetes de consumo entre individuos por la posibilidad de prestar y pedir prestado en cantidades ilimitadas a una tasa de interés de mercado igual a r.

P1

B D

C1

C A

y1 P0 Otoño 2000--IN56A

C0

y0 5

U3 (Producción e intercambio) U2 (Producción propia) U1 (Patrimonio inicial)

Supuestos y fórmulas básicas del valor presente • El valor presente es aditivo: PV (C1, C2, ...., Ct, ....., CT) = PV(C1) + PV(C2) + ....

• Los inversionistas descuentan por tiempo y riesgo PV (Ct) = FDt Ct, donde FD<1

• Convenciones de escritura 1 FDt = t (1+ rt ) T C1 C2 CT Ct VP = + + ..... + = ∑ 2 T t t =1 (1 + r t ) 1 + r1 (1 + r 2) (1 + r T ) • rt is la tasa relevante para el período t Otoño 2000--IN56A

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Inflación • En Chile las tasas de descuento están normalmente cotizadas en términos reales. Por el contrario, en Estados Unidos están normalmente cotizadas en términos nominales. • Si la tasa de inflación para un período es i, entonces: (1+r(real)) = (1+r(nominal)) / (1+i) • Lo clave es ser consistente en el tratamiento de la inflación.

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Atajos (I) • Perpetuidades – Ejemplo: Bono que paga un monto fijo (C1) cada año. C1 C1 C1 VP = + + + .... 2 3 1 + r (1+ r ) (1+ r ) VP (Flujos del bono) = C1/r – La rentabilidad de una perpetuidad es igual a: r = C1 / VP

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Atajos (II) • Perpetuidades crecientes – Ejemplo: Sueldos con incrementos reales anuales. C1 C2 C3 VP = + + + .... 2 3 1 + r (1+ r ) (1+ r ) C1 C1(1 + g ) C1 (1+ g ) VP = + + + .... 2 3 1+ r (1+ r ) (1+ r ) 2

C1 VP = r−g – En general hay que ser muy cuidadosos con asumir perpetuidades crecientes (ej: valor terminal de proyectos). Otoño 2000--IN56A

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Atajos (III) • Anualidades: activo que produce un flujo fijo por un número determinado de año

C1 C1 C1 VP = + + .... + 2 T 1 + r (1+ r ) (1+ r ) C1 VP = ∑ t t =1 (1+ r ) T

1 1  VP = C1 − T  r r (1+ r ) 

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Atajos (IV) • Ejemplo de anualidades: – Crédito hipotecario a 20 años – Pago anual $100.000 – Tasa de interés: 20%

 1  1 VP = 100.000 − = $487.000 20   0.2 0.2 (1.2) 

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Atajos (V) • Una anualidad puede ser vista como la diferencia entre dos perpetuidades:

Perpetuidad (primer pago año 1)

1

2 .............t.......t+1.................

 C1  1   t  r  (1+ r )

Perpetuidad (primer pago año t+1)

C1  C1  1 −  r  r  (1+ r )t

Anualidad desde año 1 a año t Otoño 2000--IN56A

C1 r

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Atajos (VI) • Similarmente se puede valorizar una anualidad creciente

Perpetuidad (primer pago año 1)

1

2 .............t.......t+1.................

 C1  (1+ g )t   t r − g ( 1 + r )  

Perpetuidad (primer pago año t+1)

C1  (1 + g) t 1 − r − g  (1 + r ) t

Anualidad desde año 1 a año t

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C1 r −g

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   

Atajos (VII) • Ejemplo de anualidades crecientes: – C1 = 50;

T=15

r=0.12

g=0.04

T C1  (1+ g )   PV = 1− T r − g  (1+ r ) 

 (1+ 0.04)15  50 1 −  = 419.36 PV = 15 0.12 − 0.04  (1+ 0.12) 

• Alternativamente, podríamos transformar el problema a una anualidad simple descontada a: 1 1.04 = ⇒ x = 0.07692 1 + x 1.12  C1  1  50  1   = 419.36 PV = 1− = 1− T 15    0.08  (1+ x )  0.08  (1.07692)  Otoño 2000--IN56A

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Interés Compuesto - Intervalos Interés Compuesto versus Simple 350 300

Dólares

250 200 150 100

compuesto s ré te in n o c Crecimiento

50

@10% Descontando

0 0

1

2

3

4

5

6 Años

Interés Simple

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7

8

9

10

11

Interés Compuesto @10%

15

12

Interés Compuesto – Capitalización Continua • Con pago de intereses compuestos continuamente, el valor presente de un flujo en el tiempo t es igual a:

VP = Ct limn →∞

1  r 1+   n

nt

= Ct e− rt

• Si un banco cotiza 10% compuesto continuamente, la tasa anual efectiva es igual a: e0.10 – 1 = 0.1052 o bien 10.52% • Con tasas compuestas continuamente, el valor presente de una perpetuidad es equivalente a que el siguiente pago sea inmediatamente: VP = Otoño 2000--IN56A

C0 r −g

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Capitalización Contínua – Ejemplo (I) • Perpetuidad de $1 a una tasa de 10% anual compuesta anualmente.

C1 1 VP = = = $10 r 0.10 • Una tasa de 10% compuesta anualmente es equivalente a: er = 1.1, es decir r = 0.953, o bien 9.53%

C0 1 VP = = = $10.492 r 0.0953 • Si comparamos con la convención de mediados de año usada en evaluación de proyectos con tasas compuestas anualmente: C1 1 1/ 2 1/ 2 VP = (1+ r ) = (1+ r ) = $10.488 r 0.10 Otoño 2000--IN56A

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Ejemplo (II) – Regla del 72 • Con composición discreta, el tiempo que se demora $1 en doblarse se puede aproximar usando: 72 Tiempo para doblar = r (%)

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