Vjezbe-10-v.pdf

Kvantitativni modeli u finansijama

OSIGURANJE RENTE 1. Osoba životne dobi 55 godina želi se osigurati na doživotnu godišnju ličnu rentu od 50.000 n.j. Koliko će iznositi jednokratna neto premija: a) za prenumerando rentu b) za postnumerando rentu?

x = 55 R = 50000 a) Äx = R ⋅

Nx Dx

Ä x = 50000 ⋅

N 55 69547,025 = 50000 ⋅ = 608930,9342 D55 5710,584

b) Ax = R ⋅

N x +1 Dx

A x = 50000 ⋅

N 56 63836,441 = 50000 ⋅ = 558930,9342 D55 5710,584

A' = A + R A' = 558930,9342 + 50000 = 608930,9342 2. Osobe A i B životne dobi po 40 godina, žele osigurati da od svoje 60. godine primaju godišnju doživotnu ličnu rentu. Osoba A želi primati prenumerando rentu i za nju uplati jednokratno 66.666,27 n.j. a osoba B želi primati postnumerando rentu i za nju uplati 66.442,79 n.j. Koliku će rentu primati osoba A a koliku osoba B?

Sedmica 10.

1

Kvantitativni modeli u finansijama

x = 40 k/Ä x = R ⋅

N x+k Dx

R = k /Ä x ⋅

Dx N x+k

R = k /A x ⋅

Dx N x + k +1

a) R=

66666,27 ⋅ D40 66666,27 ⋅ 13285,390 = = 20000 N 60 44284,359

b) R=

66442,79 ⋅ D40 66442,79 ⋅ 13285,390 = = 20000 N 61 40150,239

Komparacija između temporarne rente koja se uplaćuje odnosno prima kod osiguravajućih društava i banaka 3. Osoba životne dobi 40 godina uplatila je kod osiguravajućeg društva jednokratnu neto premiju od 100.000 n.j. za osiguranje neposredne privremene godišnje lične rente na rok od 10 godina. Koliko će iznositi: a) prenumerando renta, b) postnumerando renta? Da je pomenuto lice uložilo 100.000 n.j. u banku umjesto u osiguravajuće društvo pod istim uslovima koliku bi rentu onda primalo? Uporediti međusobno sve dobijene rezultate i izvesti odgovarajuće finansijske zaključke.

x = 40 n = 10 a) Ä xn] = R ⋅ R=

N x − N x+n Dx

Ä x n ] ⋅ Dx N x − N x+n

R = 100000 ⋅

D40 13285,390 = 100000 ⋅ = 12600 209264,107 − 195978,717 N 40 − N 50

Sedmica 10.

2

Kvantitativni modeli u finansijama

b) A xn] = R ⋅ R=

N x +1 − N x + n +1 Dx

A x n ] ⋅ Dx N x +1 − N x + n +1

R = 100000 ⋅

a)

(

D40 13285,390 = 1000000 ⋅ = 13307,73 195978,717 − 96146,587 N 41 − N 51

K = R ⋅ 1 + IV pn −1 R=

)

100000 = 12333,77 1 + IV59

b) K = R ⋅ IV pn R=

ƒ ƒ

ƒ

100000 = 12950,46 IV510

Iz dobijenih rezultata može se zaključiti: da su prenumerando rente manje od postnumerando renti jer se isplaćuju početkom godine i imaju jedan period manje kamaćenja u odnosu na postnumerando (dekurzivne) rente; da su rente uz uplatu iste premije i iste ostale elemente veće kod osiguravajućeg društva nego kod banke iz poznatih razloga determinističkih procesa kod banke i stohastičkih procesa kod društava za osiguranje. Dakle, kod banke biće isplaćeno svih 10 godišnjih renti na ime izvršene uplate ma kojeg broja lica i bez obzira na njihovu vjerovatnoću života i smrti, a kod društava za osiguranje broj osiguranih renti odnosno ukupan broj njihovih isplata zavisi od vjerovatnoće života i smrti i u ugovorenom roku biće isplaćene rente samo onim licima koja budu živa na dan isplate svake pojedinačne rente; zakonitost koja proizilazi iz samog karaktera ovakvih komparacija govori da ako bi se željele primati iste rente po svom efektivnom nominalnom iznosu paralelno i kod banke i kod osiguravajućeg društva i pod svim drugim istim uvjetima osim suštine determinističkih i stohastičkih procesa onda bi trebalo uplatiti veći iznos novčanih sredstava u banku a manji iznos u osiguravajuće drštvo (veći iznos bi se uplatio za mizu a manji iznos za jednokratnu neto premiju);

Komparacija neposredne privremene godišnje lične rente i anuiteta kod zajmova 4. Osoba životne dobi 70 godina uplatila je kod osiguravajućeg društva jednokratnu premiju od 500.000 n.j. za osiguranje neposredne prenumerando (anticipativne) privremene godišnje lične rente na rok od 4 godine odnosno najduže do ranije smrti.

Sedmica 10.

3

Kvantitativni modeli u finansijama

Koju ličnu rentu može dobijati? Izvršiti komparaciju te neposredne privremene godišnje lične rente i odgovarajućih anuiteta kod zajmova!

x = 70 Ä xn] = R ⋅

N x − N x+n Dx

Ä 70 4 ] = R ⋅

N 70 − N 74 D70

500000 = R ⋅

N 70 − N 74 D70

R = 144902,17 Iznos koji smo dobili za neposrednu prenumerando privremenu godišnju ličnu rentu od 144.902,17 n.j. možemo uvjetno shvatiti i tako da se 500.000 n.j. može amortizovati sa godišnjim iznosom od 144.902,17 n.j. Ovaj iznos rente, dakle, može se uvjetno shvatiti i kao anuitet kod kojeg se vodi računa i o tome da se dug smatra otplaćenim i ako ugovorna strana umre i prije ugovorenog roka (prirodnom smrću). U finansijskoj matematici je kazano da se dug (ovdje jednokratna neto premija) otplaćuje u onoliko anuiteta koliko je bilo ugovoreno. Ako uzmemo korištene podatke iz zadatka po tumačenju FM anuitet bi bio:

(

K ' = a ⋅ 1 + IV pn −1 K' 1 + IV pn −1

)

a=

(

a=

500000 = 134291,34 1 + IV53

)

Izračunati anuitet bi bio manji od osigurane rente što je i normalno jer dug za osiguravajuće društvo prestaje sa smrću određenog lica te je stoga potrebno plaćati veće rente da bi bio pokriven eventualni manjak koji nastaje ako lice umre prije vremena. Pretpostavimo da l 70 = 56240 posudi zajedno 500.000 n.j. Taj dug preuzima dakle, 56.240 lica. Pošto oni na početku godine svi zajedno plaćaju 144.902,17 n.j. to na pojedinca otpada 144.902,17 : 56.240=2,5764966 n.j. Na početku prve godine nema kamata pa je anuitet jednak otplati jednokratna neto premija (dug) - otplata = ostatak duga poslije prve godine Na početku druge godine l 71 = 53451 plaća po 2,5764966 n.j. - kamata 5% na ostatak duga (355.097,83) = otplata u drugoj godini ostatak duga poslije prve godine Sedmica 10.

500.000,00 144.902,17 355.097,83 137.716,31 17.754,89 119.961,42 355.097,83 4

Kvantitativni modeli u finansijama

- otplata u drugoj godini = ostatak duga poslije druge godine

119.961,42 235.136,41

Na početku treće godine l 72 = 50548 plaća po 2,5764966 n.j. - kamata 5% na ostatak duga (235.136,41) = otplata u trećoj godini ostatak duga poslije druge godine - otplata u trećoj godini = ostatak duga poslije treće godine

130.236,75 11.756,82 118.479,93 235.136,41 118.479,93 116.656,48

Na početku četvrte godine l 73 = 47541 plaća po 2,5764966 n.j. - kamata 5% na ostatak duga (116.656,48) = otplata u četvrtoj godini ostatak duga poslije treće godine - otplata u četvrtoj godini = ostatak duga poslije četvrte godine

122.489,22 5.832,82 116.656,40 116.656,48 116.656,40 0,08

OTPLATNI PLAN na početku godine

dug i ostatak duga

kamata

otplata

anuitet

1 2 3 4 KK

355.097,83 235.136,41 116.656,48 0,08 706.890,80

17.754,89 11.756,82 5.832,82 35.344,54

144.902,17 119.961,42 118.479,93 116.656,40 499.999,92

144.902,17 137.716,31 130.236,75 122.489,22 535.344,46

5. Lice životne dobi 50 godina želi osigurati godišnju ličnu rentu od 100.000 n.j. pod uvjetom da je prima dekurzivno u toku 20 godina s tim da odgoda primanja rente bude 10 godina nakon uplate premije. Premiju uplaćuje na svoj 50. rođendan. Kolika je jednokratna neto premija?

Sedmica 10.

5

Kvantitativni modeli u finansijama

x = 50 k = 10 n = 20 R = 100000 k/A x n ] = R ⋅

N x + k +1 − N x + k + n +1 Dx

10/A 50,10 ] = 100000 ⋅

N 61 − N 81 D50

10/A 50,10 ] = 498557,24 6. Lice životne dobi 60 godina želi osigurati dvomjesečnu anticipativnu (dekurzivnu) ličnu rentu od 2.000 n.j. koja će se isplaćivati do kraja života osiguranika ali najduže u toku narednih 15 godina. Kolika je jednokratna neto premija za: a. anticipativne, b. dekurzivne lične rente?

x = 60 m=6 R = 2000 n = 15

a) m −1 ⎡ ⎤ m ⋅ (N x − N x + n ) + ⋅ Dx + n ⎢ m − 1⎥ (m) 2 Äx n] = R ⋅ ⎢ − ⎥ 2 ⎥ Dx ⎢ ⎣ ⎦ 6 −1 ⎡ ⎤ ⎢ 6 ⋅ ( N 60 − N 75 ) + 2 ⋅ D75 6 − 1⎥ (6) Ä 60 15] = 2000 ⋅ ⎢ − ⎥ D60 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ (6) Ä 60 15] = 105999

Sedmica 10.

6

Kvantitativni modeli u finansijama

b) A (m) x n]

A (6) 60 15 ]

m +1 ⎤ ⎡ ⎢ m ⋅ ( N x − N x + n ) + 2 ⋅ D x + n m + 1⎥ = R⋅⎢ − ⎥ Dx 2 ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 6 +1 ⎡ ⎤ ⎢ 6 ⋅ ( N 60 − N 75 ) + 2 ⋅ D75 6 + 1⎥ = 2000 ⋅ ⎢ − ⎥ 2 ⎥ D60 ⎢ ⎣⎢ ⎦⎥

A (6) 60 15 ] = 104509,96 7. Lice životne dobi 55 godina želi osigurati tromjesečnu anticipativnu (dekurzivnu) ličnu rentu od 3.000 n.j. koja će se isplaćivati do kraja života osiguranika ali najduže u toku narednih 20 godina pod uvjetom da se prva renta primi po proteku 12 godina od dana zaključenja ugovora o osiguranju. Kolika je jednokratna neto premija za: a. anticipativne, b. dekurzivne lične rente?

x = 55 m=4 R = 3000 n = 20 k = 12

a) k/Ä (m) x n] = R ⋅

m −1 ⋅ ( D x + k + n − Dx + k ) 2 Dx

m ⋅ (N x+ k − N x+ k + n ) +

(4) = 3000 ⋅ 12/Ä 55 20 ]

4 −1 ⋅ (D87 − D67 ) 2 D55

4 ⋅ ( N 67 − N 87 ) +

(4) 12/Ä 55 = 41210,39 20 ]

Sedmica 10.

7

Kvantitativni modeli u finansijama

b) k/A (m) x n] = R ⋅

m +1 ⋅ (D x + k + n − D x + k ) 2 Dx

m ⋅ (N x+ k − N x+ k + n ) +

(4) 12/A 55 = 3000 ⋅ 20 ]

4 +1 ⋅ (D87 − D67 ) 2 D55

4 ⋅ ( N 67 − N 87 ) +

(4) 12/A 55 = 39988,61 20 ]

8. Osoba životne dobi 50 godina uplati osiguravajućem društvu 60.000 n.j. Koju će godišnju doživotnu prenumerando ličnu rentu osiguravajuće društvo isplaćivati za ovu jednokratnu neto premiju? Da li je godišnja doživotna postnumerando renta veća ili manja od prenumerando rente i za koliko?

x = 50 Ä x = 60000 a) äx=

Nx Dx

äx=

N 50 103824,29 = = 13,522872 D50 7677,68

x n.j. rente 1 n.j. rente

60.000 n.j. premije 13,522872 n.j. premije

x=

60000 = 4436,9273 13,522872

Osiguravajuće društvo će isplaćivati doživotnu godišnju prenumerando ličnu rentu u iznosu od 4.436,93 n.j.

b) ax=

N x +1 Dx

a 50 =

N 51 96146,61 = = 12,522872 7677,68 D50

x n.j. rente 1 n.j. rente

x=

60.000 n.j. premije 12,522872 n.j. premije

60000 = 4791,2331 12,522872

Sedmica 10.

8

Kvantitativni modeli u finansijama

Osiguravajuće društvo će isplaćivati doživotnu godišnju postnumerando ličnu rentu u iznosu od 4.791,2331 n.j. Postnumerando renta Prenumerando renta post>pre za 7,98%

4.791,23 4.436,93 354,30

9. Osoba životne dobi 42 godine želi osigurati anticipativnu / dekurzivnu doživotnu ličnu rentu koja će u prvoj godini iznositi 12.000 n.j. a svake sljedeće godine renta je veća/manja u odnosu na prethodnu godinu za 500 n.j. Kolika je jednokratna neto premija za: a. anticipativnu, b. dekurzivnu ličnu rentu?

x = 42 R1 = 12000 d = 500 a) Äx =

R1 ⋅ N x ± d ⋅ S x +1 Dx

Ä 42 =

12000 ⋅ N 42 ± 500 ⋅ S 43 D42

+ Ä 42 = 272062,22

b) Ax =

R1 ⋅ N x +1 ± d ⋅ S x + 2 Dx

A 42 =

12000 ⋅ N 43 ± 500 ⋅ S 44 D42

+ A 42 = 252883,72 − A 42 = 91684,06

− Ä 42 = 96505,56 10. Osoba životne dobi 58 godina želi osigurati godišnju doživotnu ličnu rentu koja će se konstantno povećavati / smanjivati za 1.000 n.j. pod uvjetom da se prva renta isplati po proteku 7 godina od dana uplate jednokratne premije. Kolika je jednokratna neto premija ako renta u prvoj godini iznosi 200.000 n.j.?

x = 58 R1 = 200000 d = 1000 k =7 k/Ä x =

R1 ⋅ N x + k ± d ⋅ S x + k +1 Dx

7/Ä 58 =

200000 ⋅ N 65 ± 1000 ⋅ S 66 D58

+ 7/Ä 58 = 1146756,03 − 7/Ä 58 = 1077147,50

Sedmica 10.

9

Kvantitativni modeli u finansijama

11. Osoba životne dobi 30 godina želi osigurati godišnju doživotnu ličnu rentu koja će se primati nakon 50. godine na kraju svake godine dok je lice živo. Renta će konstantno se povećavati / smanjivati za 1.000 n.j. Kolika je jednokratna neto premija ako renta u prvoj godini iznosi 50.000 n.j.?

x = 30 R1 = 50000 d = 1000 k = 20 R1 ⋅ N x + k +1 ± d ⋅ S x + k + 2 Dx

k/A x =

20/A 30 =

50000 ⋅ N 51 ± 1000 ⋅ S 52 D30

+ 20/A 30 = 255656,71 − 20/A 30 = 173970,79 12. Osoba životne dobi 65 godina želi osigurati anticipativnu / dekurzivnu ličnu rentu u toku narednih 15 godina koja će se konstantno povećavati / smanjivati za 500 n.j. pod uslovom da osiguranik bude živ za vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premija ako renta u prvoj godini iznosi 12.000 n.j.?

x = 65 n = 15 R1 = 12000 d = 500 a) Äxn] =

R1 ⋅ (N x − N x + n ) ± d ⋅ [S x +1 − S x + n − (n − 1) ⋅ N x + n ] Dx

Ä 6515] =

12000 ⋅ ( N 65 − N 80 ) ± 500 ⋅ [S 66 − S80 − (15 − 1) ⋅ N 80 ] D65

+ Ä 6515] = 121339,00 − Ä 6515] = 78780,61

Sedmica 10.

10

Kvantitativni modeli u finansijama

b) A xn] =

R1 ⋅ ( N x +1 − N x + n +1 ) ± d ⋅ [S x + 2 − S x + n +1 − (n − 1) ⋅ N x + n +1 ] Dx

A 6515] =

12000 ⋅ ( N 66 − N 81 ) ± 500 ⋅ [S 67 − S 81 − (15 − 1) ⋅ N 81 ] D65

+ A 6515] = 109031,75 − A 6515] = 71334,37 13. Osoba životne dobi 50 godina želi osigurati neposrednu godišnju ličnu rentu koja će se primati na kraju godine i koja se konstantno povećava / smanjuje za 200 n.j. Prva renta iznosi 3.000 n.j. Renta se isplaćuje u toku 10 godina, odnosno najduže do ranije smrti osiguranika. Kolika je jednokratna neto premija?

x = 50 n = 10 R1 = 3000 d = 200 A xn] =

R1 ⋅ ( N x +1 − N x + n +1 ) ± d ⋅ [S x + 2 − S x + n +1 − (n − 1) ⋅ N x + n +1 ] Dx

A 5010 ] =

3000 ⋅ ( N 51 − N 61 ) ± 200 ⋅ [S 52 − S 61 − (10 − 1) ⋅ N 61 ] D50

+ A 5010 ] = 27702,21 − A 5010 ] = 16058,13 14. Osoba životne dobi 50 godina želi osigurati godišnju ličnu rentu koja će se konstantno povećavati / smanjivati za 1000 n.j. Renta počinje teći 10 godina od dana početka osiguranja i isplaćuje se u toku 20 godina pod uslovom da osiguranik bude živ za vrijeme primanja rente. Kolika je jednokratna neto premija ako renta u prvoj godini iznosi 100.000 n.j.?

Sedmica 10.

11

Kvantitativni modeli u finansijama

x = 50 n = 20 k = 10 R1 = 100000 d = 1000 k/Ä x n ] =

R1 ⋅ ( N x + k − N x + k + n ) ± d ⋅ [S x + k +1 − S x + k + n − (n − 1) ⋅ N x + k + n ] Dx

10/Ä 50 20 ] =

100000 ⋅ ( N 60 − N 80 ) ± 1000 ⋅ [S 61 − S 80 − (20 − 1) ⋅ N 80 ] D50

+ 10/Ä 50 20 ] = 581590,43 − 10/Ä 50 20 ] = 510013,46

Sedmica 10.

12