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FÍSICA II VIBRACIONES MECANICAS (PARTE I)

Movimiento vibratorio Es la variación o cambio de configuración de un sistema en relación al tiempo, en torno a una posición de equilibrio estable, su característica fundamental es que es periódico, siendo frecuente el movimiento armónico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios. Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo, principalmente periódicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuración que perturban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida útil de los mecanismos. Actualmente, el estudio y análisis de las vibraciones mecánicas ha adquirido gran importancia en la supervisión de los sistemas mecánicos, sobre todo de elementos de tipo rotativo. Los planes de mantenimiento correctivo y preventivo, se basan principalmente en el estudio de las vibraciones mediante la instalación de sensores que permiten detectar vibraciones fuera de rango.

En general, se suponen vibraciones de pequeña amplitud porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayoría de las hipótesis que se establecen para su estudio. Supongamos el sistema de la figura, formado por un cuerpo de masa m, un resorte de constante elástica k y un dispositivo amortiguador de constante c.

L0 d

PE 0

x

k Fe

vx m

F

Fa c

Notación: m: masa del cuerpo k: constante elástica del resorte c: coeficiente de amortiguación L0: longitud inicial del resorte d: deformación en equilibrio estático PE: posición de equilibrio x: deformación, posición o elongación vx: velocidad Fe: fuerza elástica aplicada al cuerpo Fa: fuerza amortiguadora aplicada al cuerpo F: fuerza externa impulsora aplicada al cuerpo

Se consideran las siguientes hipótesis: a) El cuerpo se mueve rectilíneamente. b) El resorte tiene masa despreciable frente a la masa del cuerpo y la fuerza elástica es opuesta a la deformación y proporcional a ella. c) El dispositivo amortiguador tiene una masa móvil despreciable frente a la masa del cuerpo, el rozamiento es de tipo viscoso y la fuerza amortiguadora es opuesta a la velocidad y proporcional a ella. De la segunda ley de Newton: 𝐹𝑒 + 𝐹𝑎 + 𝐹 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑒 : fuerza elástica = −𝑘𝑥 𝐹𝑎 : fuerza amortiguadora = −𝑐𝑣𝑥 𝑎𝑥 : aceleración −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣𝑥 + 𝐹 = 𝑚𝑎𝑥 Como 𝑣𝑥 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

y 𝑎𝑥 =

𝑑2𝑥 𝑑𝑡 2

entonces se obtiene: 𝑑2 𝑥 𝑐 𝑑𝑥 𝑘 𝐹 + + 𝑥= 2 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑚

Clasificación de las vibraciones Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos internos. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en: Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema. Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.

Vibraciones libres sin amortiguamiento Un movimiento periódico se repite en un ciclo definido; se presenta siempre que un cuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza elástica que actúa cuando el cuerpo se desplaza del equilibrio. El periodo T es lo que tarda un ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de tiempo por lo que f = 1/T. La frecuencia angular w es el ángulo por unidad de tiempo por lo que w = 2p/T = 2p f. El movimiento armónico simple MAS es el movimiento oscilatorio y periódico de un cuerpo debido solamente a la fuerza elástica que actúa sobre el cuerpo. De la segunda ley de Newton: 𝑑2 𝑥 𝑘 + 𝑥=0 𝑑𝑡 2 𝑚 Si 𝜔 =

𝑘 , 𝑚

la solución es

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) donde A es la amplitud del oscilador (máxima deformación), 𝜑 es la fase inicial y 𝜔 es la frecuencia angular natural (no hay amortiguamiento). El cuerpo oscila alrededor de la PE con un periodo 𝑇 =

2𝜋 . 𝜔

Grafica de la deformación x vs el tiempo t

La energía mecánica 𝐸𝑚 es la suma de la energía cinética K y la energía potencial U, es decir: 1 1 2 2 𝐸𝑚 = 𝐾 + 𝑈 = 𝑚𝑣𝑥 + 𝑘𝑥 2 2

como 𝑣𝑥 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 = ±𝜔 𝐴2 − 𝑥 2

Al reemplazarlo en la ecuación anterior empleando 𝜔 = 1 2 𝐸𝑚 = 𝑘𝐴 2 La energía mecánica se conserva en un MAS.

𝑘

𝑚

se obtiene