V.f. V.7 Final.pdf

“PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO DE ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL”

Tesis para optar al título de: Ingeniero Civil en Obras Civiles Profesor Patrocinante: Sr. José Soto Miranda Ingeniero Civil M. Sc. Eng. Civil

CHRISTIÁN EDUARDO TENORIO HUENCHUAL VALDIVIA - CHILE 2017

“El niño con semblante triste echaba en su saco los obstáculos que chocaban uno a uno con sus pies mientras caminaba por su infancia, cada despertar era un pesar en su frente y su espalda día a día se encorvaba por el peso de su carga. Ese valiente joven pronto sería un hombre, con esfuerzo y responsabilidad se levantaba cada mañana esperando llegar sano al anochecer, era capaz de ser experto en cada materia de la vida, conoció muchas artes, muchas ciencias y en cada una aprendió a innovar gracias a su motivación de superar el cansancio y la pobreza. Un hombre visionario es aquel capaz de oler la tragedia en las cosas buenas y evitarla, el país sufría martillazos de crisis y cada hora de trabajo valía menos que un minuto, la nieve y el frío fueron compañeros en medio de trenes y bicicletas para el valiente hombre de bigote que cruzó la cordillera y aprendió de quienes aprendían de él. Muchos años de trabajo y dedicación lo tenían de vuelta a sus tierras, en las que abrió el suelo para plantar sus pesares y cosechar vida. Una mañana como muchas otras, entre el rocío y el cantar de las aves, narraba sus historias pasadas mientras su gorro rojo lo protegía del viento y el sudor caía de su nariz, cada pala con tierra sacada de su verde campo era una anécdota en los oídos de su nieto que escuchaba atónito dudando de la veracidad de ese anciano astuto y sonriente. Ahora, sentado en su trono de madera y con su bastón tallado cuida su territorio orgulloso al ver donde ha llegado y recordando cada día como un grato sueño; mientras yo lo veo desde la tierra y él me cuida desde el cielo”

Christián Tenorio H. En memoria de mi abuelo Domingo Huenchual Urrutia

Profundos agradecimientos a mis padres, hermana y novia que siempre en cada momento me dieron su apoyo inquebrantable y confiaron en mis capacidades haciendo posible que pueda alcanzar grandes objetivos. Especial saludo a mis familiares que siempre desde la lejanía aportaban a mi trabajo desde el cariño y la confianza. Un gran saludo a mis amigos muy leales que nunca han fallado, quienes han mostrado un gran interés y expectativa sobre mi trabajo en la ingeniería. Finalmente, quiero agradecer a mi profesor patrocinante y a cada uno de mis profesores durante estos seis años, ya que ellos me han dado las herramientas para poder finalizar este largo camino en la carrera.

ÍNDICE DE CONTENIDOS CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 1 1.1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA ................................................................................................................... 1 1.2 OBJETIVO GENERAL ....................................................................................................................................... 1 1.2.1 OBJETIVO ESPECÍFICO............................................................................................................................ 2 1.3 METODOLOGÍA DE TRABAJO......................................................................................................................... 2 CAPÍTULO II: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA DEL ESTADO DE ARTE ............................................................................ 3 CAPÍTULO III: ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL DE MOVIMIENTO PLANO ................................... 5 3.1 GENERALIDADES ............................................................................................................................................ 5 3.2 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO PLANO DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL ............................................ 6 CAPÍTULO IV: ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL ............................................... 9 4.1 GENERALIDADES ............................................................................................................................................ 9 4.2 MODELO DINÁMICO PARA EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS CONSIDERANDO ...........................10 TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO 4.2.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD ..................................13 POR PISO Y EXCITACIÓN SÍSMICA BASAL 4.2.2 FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA ......................................................................16 CAPÍTULO V: MODELO SIMPLIFICADO DE TRES GRADOS DE LIBERTAD PROPUESTO POR KELLY (1993) .........17 5.1 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS SOBRE PLACA RÍGIDA .............................................................................17 CAPÍTULO VI: ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE MODELOS ESTRUCTURALES FORMADOS POR ............................19 ELEMENTOS RESISTENTES PLANOS 6.1 CONSIDERACIONES GENERALES .................................................................................................................19

6.2 PARÁMETROS DINÁMICOS ...........................................................................................................................20 6.2.1 EDIFICIO ................................................................................................................................................20 6.2.2 SISTEMA BASAL ......................................................................................................................................21 6.3 MODELACIÓN ...............................................................................................................................................22 6.4 PROGRAMACIÓN...........................................................................................................................................22 6.5 MODELOS ESTRUCTURALES CONSIDERADOS............................................................................................23 6.5.1 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO I ..............................................................................................................23 6.5.2 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO II .............................................................................................................24 6.5.3 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO III ............................................................................................................24 6.6 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS CONSIDERADOS ...............25 CAPÍTULO VII: PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ..................................................................................................26 7.1 PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS ESTRUCTURALES ......................................................................27 7.1.1 EDIFICIO TIPO I - 1 PISO .......................................................................................................................27 7.1.2 EDIFICIO TIPO I - 4 PISOS .....................................................................................................................28 7.1.3 EDIFICIO TIPO I - 8 PISOS .....................................................................................................................29 7.1.4 EDIFICIO TIPO I – 12 PISOS..................................................................................................................30 7.1.5 EDIFICIO TIPO II - 1 PISO .....................................................................................................................31 7.1.6 EDIFICIO TIPO II - 4 PISOS....................................................................................................................32 7.1.7 EDIFICIO TIPO II - 8 PISOS....................................................................................................................33 7.1.8 EDIFICIO TIPO II – 12 PISOS ................................................................................................................34 7.1.9 EDIFICIO TIPO III - 1 PISO ....................................................................................................................35 7.1.10 EDIFICIO TIPO III - 4 PISOS ................................................................................................................36

7.1.11 EDIFICIO TIPO III - 8 PISOS ................................................................................................................37 7.1.12 EDIFICIO TIPO III – 12 PISOS .............................................................................................................38 7.2 PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELO DE MASAS DISTRIBUIDAS ..........................................................39 EN PLACA RÍGIDA CON AISLADORES SÍSMICOS 7.2.1 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 1 PISO ...............................................................39 7.2.2 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 4 PISOS .............................................................40 7.2.3 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 8 PISOS .............................................................41 7.2.4 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 12 PISOS ...........................................................42 CAPÍTULO VIII: CONCLUSIÓN Y COMENTARIOS FINALES .....................................................................................44 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................................................................46 ANEXO A - RESULTADOS DE PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS ESTRUCTURALES ..................................52 A.1.1 EDIFICIO TIPO I - 1 PISO...........................................................................................................................52 A.1.2 EDIFICIO TIPO I - 4 PISOS.........................................................................................................................54 A.1.3 EDIFICIO TIPO I - 8 PISOS.........................................................................................................................57 A.1.4 EDIFICIO TIPO I – 12 PISOS .....................................................................................................................60 A.2.1 EDIFICIO TIPO II - 1 PISO .........................................................................................................................63 A.2.2 EDIFICIO TIPO II - 4 PISOS .......................................................................................................................65 A.2.3 EDIFICIO TIPO II - 8 PISOS .......................................................................................................................68 A.2.4 EDIFICIO TIPO II – 12 PISOS ....................................................................................................................71 A.3.1 EDIFICIO TIPO III - 1 PISO ........................................................................................................................74 A.3.2 EDIFICIO TIPO III - 4 PISOS ......................................................................................................................76 A.3.3 EDIFICIO TIPO III - 8 PISOS ......................................................................................................................79

A.3.4 EDIFICIO TIPO III – 12 PISOS ...................................................................................................................82 ANEXO B - ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL CONSIDERANDO MODELO ....................................85 DE DOS GRADOS DE LIBERTAD B.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE MODELO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD...........................................85 B.2 DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN ...............................................................87 DEL MODELO SIMPLIFICADO ANEXO C - KTOTALSIM (): PROGRAMA MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURA DE BASE FIJA ..................................91 CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO ANEXO D - MODAL(): PROGRAMA DE ANÁLISIS MODAL PARA ESTRUCTURAS DE BASE FIJA ...............................93 CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO ANEXO E - MEFF(): PROGRAMA PARA DETERMINAR FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL .............................95 Y MASAS EFECTIVAS ANEXO F - WISO(): PROGRAMA PARA OBTENER PERÍODOS DE VIBRACIÓN DE EDIFICIOS ................................97 CON AISLACIÓN BASAL ANEXO G - WISOAPROX(): PROGRAMA PARA APROXIMAR EL PERÍODO DE VIBRACIÓN................................... 102 CONSIDERANDO EL MODO FUNDAMENTAL ANEXO H - KELLY(): PROGRAMA MODELO MASAS DISTRIBUIDAS SOBRE PLACA RÍGIDA ................................ 107

RESUMEN El análisis de edificios con aislación basal de movimiento plano permite obtener los parámetros dinámicos de la estructura para etapas de prediseño y está basado en modelos simplificados que representan los edificios como sistemas de múltiples grados de libertad, pero desprecian los efectos de la concentración de rigidez y la excentricidad en planta. Es posible que el análisis bidimensional no sea suficiente para representar el comportamiento real de estructuras con aisladores sísmicos basales; por lo tanto, es necesario establecer un procedimiento que permita realizar un análisis tridimensional. El objetivo principal de este trabajo es implementar un procedimiento simplificado de análisis de edificios con aislados sísmicos basales considerando tres grados de libertad por piso. Se analiza la influencia del efecto de la concentración de rigidez y distribución de masas en el comportamiento del sistema mediante simulaciones numéricas que calculan los parámetros dinámicos de los modelos estructurales considerados en este estudio. Los modelos se clasifican en tres tipos de plantas estructurales con distribución de masa uniforme; la primera con rigidez uniforme y el resto con una variación de excentricidad. Cada edificio tipo es modelado para 1,4, 8 y 12 pisos para evaluar la influencia de la altura en la aproximación del período de vibración del edificio con aislación basal considerando el modo fundamental del edificio de base fija. Una vez analizados los resultados se observa que las frecuencias y modos de vibrar del edificio de base fija condicionan los correspondientes al edificio con aisladores sísmicos; por lo tanto, para obtener una buena aproximación del período fundamental del edificio con aislación es necesario conocer el período fundamental del edificio de base fija. Se ha logrado determinar que el análisis considerando tres grados de libertad entrega resultados exactos, puede aproximarse mediante el uso de los cálculos del edificio de base fija y es más eficiente para edificios con variación en la concentración de rigidez, sin embargo, la influencia de la excentricidad no es muy relevante para los modelos estudiados lo que implica que el análisis bidimensional puede ser una buena aproximación.

ABSTRACT The building analysis with basal insolation of flat movement allows to obtain the dynamic parameters of the structure for stages of pre-design and it is based on simplified models which represent buildings as well as systems of multiple degrees of freedom; however they despise the effects of stiffness concentration and the eccentricity in plant. It is possible that the two-dimensional analysis is not enough to represent the real behavior of structures with seismic basal isolators; therefore, it is necessary to establish a procedure that allows to undertake a threedimensional analysis. The main aim of this work is to implement a simplified procedure of building analysis with isolated seismic basals taking into account three degrees of freedom per floor. The influence of the effect of stiffness concentration and mass distribution on the behavior of the system is analyzed by means of numerical simulations that calculate the dynamic parameters of the structural models considered in this study. The models are classified into three types of structural plants with uniform mass distribution; the first with uniform stiffness and the rest with a variation of eccentricity. Each type building is modeled for 1.4, 8 and 12 floors to evaluate the influence of height on the approximation of the vibration period of the building with basal isolation taking into consideration the fundamental mode of the fixed base building. Once the results have been analyzed, it is observed that the frequencies and shape modes of the fixed base building determine those corresponding to the building with seismic isolators; therefore, to obtain a good approximation of the fundamental period of building with isolation it is necessary to know the fundamental period of the fixed base building. It has been determined that the analysis considering three degrees of freedom gives exact results, can be approximated by using the calculations of the fixed base building and is more efficient for buildings with variation in the stiffness concentration; however, the influence of eccentricity is not very relevant for the studied models, which implies that two-dimensional analysis can be a good approximation.

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN 1.1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA El análisis de edificios con aislación basal requiere definir la matriz de rigidez lateral y la matriz de masa para calcular las frecuencias y modos de vibrar del sistema en estudio. Existen modelos bidimensionales a través de fórmulas simplificadas que entregan valores de parámetros dinámicos aceptables y están orientados a servir como prediseño de la estructura. Kelly (2004) aborda el problema de aislación basal de movimiento plano mediante un modelo de dos masas que entrega información importante sobre el comportamiento del sistema. Kelly (1993) presenta un modelo simplificado de tres grados de libertad en el que transforma el edificio en un conjunto de masas concentradas distribuidas sobre una placa rígida con aisladores sísmicos. Bozzo y Barbat (1999) extienden la teoría de movimiento plano a edificios de varios pisos, y determinan la influencia de cada modo del edificio sobre el comportamiento del sistema, además, mediante simplificaciones reducen el número de ecuaciones relacionadas. Considerando que en el edificio predomina el modo principal, el modelo aceptado que permite elaborar la ecuación de movimiento de edificios con aisladores basales, en la mayoría de los casos entrega valores muy cercanos a la realidad. El análisis de movimiento plano no permite verificar si existe algún tipo de influencia al considerar únicamente una dirección, de la distribución de masas y concentración de rigidez. Es posible que el análisis unidireccional no sea suficiente para representar correctamente el comportamiento real de estructuras con aislación basal. Por lo anterior, se plantea en este trabajo de tesis analizar estructuras con aisladores sísmicos basales mediante un procedimiento tridimensional simplificado que permita obtener valores de los períodos y modos de vibración rápidos y confiables para la etapa de prediseño de un proyecto. La metodología de trabajo consiste en analizar estructuras con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso a través de datos teóricos y programación. Se desea estudiar edificios de mediana y gran altura con una variación en la disposición de elementos estructurales con el objeto de evaluar la influencia de la distribución de masas y concentración de rigidez en el período de vibración. Los resultados finales serán comparados entre las simulaciones numéricas y un software de diseño estructural para definir las expresiones simplificadas del sistema tridimensional. 1.2 OBJETIVO GENERAL Implementar un procedimiento simplificado de análisis de edificios con aisladores sísmicos basales en tres dimensiones para determinar períodos y modos de vibración. 1

1.2.1 OBJETIVO ESPECÍFICO Analizar la influencia del comportamiento del sistema considerando concentración de rigidez y distribución de masas. 1.3 METODOLOGÍA DE TRABAJO La metodología de trabajo está dividida en tres etapas principales: Programación para el cálculo de parámetros dinámicos de estructuras de base fija; desarrollo y programación de la teoría de edificios con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso y elaboración de modelos estructurales para la determinación del período fundamental en forma exacta y aproximada. Los softwares utilizados para el desarrollo del trabajo son Matlab R2017a para tareas de programación y Sap2000 v19.2.1 para modelar las diferentes estructuras consideradas y respaldar los datos obtenidos de las rutinas de cálculo. La primera etapa de trabajo consiste en el estudio y programación del análisis modal de estructuras de base fija que permite obtener frecuencias y modos principales en cada una de las direcciones de movimiento, para utilizarlos en la aproximación del período de vibración de edificios con aislación basal. La teoría del análisis dinámico de estructuras considerando tres grados de libertad por piso se desarrollará a partir de la extensión del análisis de edificios con aislación basal de movimiento plano. Se crearán rutinas para la determinación de las frecuencias y modos de vibración del sistema compuesto asumiendo un problema de vibración libre no amortiguada. Posteriormente, se definirán los modelos estructurales para determinar sus parámetros dinámicos mediante simulaciones numéricas realizadas en Matlab R2017a. Los modelos se clasifican en tres plantas estructurales con distinta concentración de rigidez, distribución de masa uniforme y cada uno con variaciones de 1, 4, 8 y 12 pisos para evaluar el efecto de la altitud en el cálculo del período fundamental. Además, se realizarán modelos simplificados de masas distribuidas sobre una placa rígida de tres grados de libertad apoyada en aisladores sísmicos, basados en la teoría propuesta por Kelly (1993) con el objetivo de compararlos con los resultados obtenidos anteriormente.

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CAPÍTULO II: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA DEL ESTADO DE ARTE Las investigaciones sobre estructuras con aislación basal están orientadas a estudiar el comportamiento y respuesta sísmica de los edificios a través de modelos lineales y no lineales considerando un análisis de movimiento plano. Chang et al. (2002) señalan que para minimizar los desplazamientos entrepisos y aceleraciones, la utilización de un sistema de aislación constituye un sistema de control pasivo que puede reducir o filtrar las fuerzas transmitidas desde el suelo. Los aisladores basales permiten dar a la estructura una frecuencia fundamental menor que su frecuencia de base fija, el modo principal de vibración del sistema compuesto implica deformación solo en el sistema basal. Kelly (2004) indica que los modos superiores que producen deformación son ortogonales al modo principal, en consecuencia, al movimiento del suelo. Saavedra (2005) afirma que el hecho de implementar aisladores sísmicos en la base hace ventajoso el comportamiento de la estructura, debido a que evita los efectos más dañinos que se pueden producir a causa de los esfuerzos resultantes de los desplazamientos relativos entre pisos. Figura 2.1: Estructura aislada: a) Posición inicial b) Posición deformada

Fuente: Chang et al. (2002)

El análisis de edificios con aisladores sísmicos requiere de un procedimiento de cálculo no lineal paso a paso. Sin embargo, Bozzo y Barbat (1999) afirman que para ciertos sistemas es posible linealizar las ecuaciones y obtener un sistema equivalente. Este tipo de simplificación es propuesto por diversos autores como Kelly (2004) y Skinner et al. (1993), permitiendo comprender el comportamiento sismorresistente de los sistemas de apoyo. Naeim y Kelly (1999) establecen que se puede obtener información sobre el comportamiento de un edificio con aislación utilizando un modelo simple de dos grados de libertad con masas que representan la superestructura de un edificio sobre una base apoyada en aisladores.

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Este modelo es analizado por Kelly (2004) y Bozzo y Barbat (1999), quienes obtienen los parámetros dinámicos y establecen las ecuaciones de movimiento para sistemas solicitados por un desplazamiento del terreno que representa la acción sísmica. Naeim y Kelly (1999) desarrollan la teoría para edificios de varios pisos a partir de la extensión del modelo simple de dos grados de libertad. El modelo consiste en un edificio de varios pisos con diafragmas rígidos de un grado de libertad por planta sobre una losa basal apoyada en aisladores sísmicos. Kelly (1993) estudia el fenómeno de acoplamiento de los modos a causa del desequilibrio entre el centro de masa y el centro de rigidez, mediante un modelo que desprecia la flexibilidad de la superestructura y que consiste en un conjunto de masas dispuestas en una placa rígida con aisladores sísmicos. Este sistema simplificado posee tres grados de libertad, donde dos son de traslación y uno de rotación en torno al eje vertical. Actualmente, las investigaciones relacionadas al estudio de estructuras con aislación sísmica están orientadas a un análisis unidireccional.

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CAPÍTULO III: ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL DE MOVIMIENTO PLANO El propósito de este capítulo es plantear el modelo dinámico para analizar el comportamiento de edificios con aislación basal de movimiento plano para extenderlo a sistemas en tres dimensiones. El modelo consiste en un edificio de varios pisos sobre una losa basal apoyada en aisladores sísmicos, se asume que la estructura está compuesta por diafragmas rígidos con un grado de libertad por planta y posee un comportamiento lineal elástico. El sistema compuesto es solicitado por un movimiento del suelo y su respuesta es analizada mediante un sistema de ecuaciones que surge de la extensión del modelo de dos grados de libertad de Kelly (2004) (ver ANEXO B). 3.1 GENERALIDADES Paz (1992) establece un modelo de edificio de varios pisos conformado por diafragmas rígidos con rigidez lateral entrepiso que posee desplazamientos horizontales al estar sometido a una excitación basal. Para conseguir dicha deformación se deben suponer las siguientes condiciones:(1) toda la masa de la estructura está concentrada al nivel de los pisos, (2) las vigas en los pisos son infinitamente rígidas con relación a la rigidez de las columnas y (3) la deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en las columnas. La primera condición transforma un sistema de infinitos grados de libertad en uno que tiene solamente tantos grados de libertad como número de masas concentradas a nivel de pisos. La segunda condición indica que las uniones entre vigas y columnas están fijas sin rotación, y la tercera condición establece que las vigas rígidas en los pisos permanecen horizontales durante el movimiento. El análisis de edificios con aislación basal de movimiento plano considera lo propuesto por Paz (1992) y representa el edificio como un sistema de múltiples grados de libertad sobre una base apoyada en aisladores sísmicos lineales o no lineales que desacoplan el movimiento del edifico del movimiento del terreno. Figura 3.1.1: Modelo dinámico de un edificio de varios pisos

Fuente: Elaboración propia 5

3.2 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO PLANO DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL Según Bozzo y Barbat (1999) el diseño de edificios con aisladores sísmicos busca mantener la estructura en el rango lineal elástico, concentrando las no linealidades en la base y evitando grandes deformaciones entrepisos. A partir de este concepto, Naeim y Kelly (1999) superponen el modelo estructural de un edificio de base fija sobre un sistema de aislación basal con masa 𝑚𝑏 , rigidez 𝑘𝑏 y amortiguación 𝑐𝑏 y elaboran el modelo dinámico de un edificio de 𝑛 pisos con aisladores sísmicos basales mostrado en la figura (3.2.1). Figura 3.2.1: Modelo dinámico de un edificio con aislación basal

Fuente: Elaboración propia

Para el modelo se define 𝑢𝑔 : Excitación o movimiento del suelo 𝑣𝑏 : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio 𝑣𝑖 : Desplazamiento relativo de piso 𝑖th respecto a la base del edificio

A partir de la relación de desplazamientos establecida para el modelo lineal de dos grados de libertad (ver ANEXO B) la ecuación de movimiento del edificio con respecto a la base es Mv̈ + Cv̇ + Kv = −Mr(𝑣̈ 𝑏 + 𝑢̈ 𝑔 )

(3.2.1)

Donde v: Vector de desplazamientos relativos de cada piso respecto a la base, se considera v = [𝑣𝑖 ]𝑛x1 para 𝑖 = 1 … 𝑛 r: Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo. Para edificios de corte se considera r = [1]𝑛x1. 6

La ecuación de movimiento del sistema combinado formado por el edificio y la losa basal es r t M(v̈ + r𝑣̈ 𝑏 + r𝑢̈ 𝑔 ) + 𝑚𝑏 (𝑣̈ 𝑏 + 𝑢̈ 𝑔 ) + 𝑐𝑏 𝑣̇ 𝑏 + 𝑘𝑏 𝑣𝑏 = 0

(3.2.2)

La ecuación (3.2.2) puede escribirse en la forma r t Mv̈ + (r t Mr + 𝑚𝑏 )𝑣̈ 𝑏 + 𝑐𝑏 𝑣̇ 𝑏 + 𝑘𝑏 𝑣𝑏 = −(r t Mr + 𝑚𝑏 )𝑢̈ 𝑔

(3.2.3)

En la ecuación (3.2.3) r T Mr es la suma total de las masas participantes en el edificio, por lo tanto, r T Mr + 𝑚𝑏 es la masa total llevada por el sistema de aislación. La forma matricial de las ecuaciones que representan el comportamiento de una estructura con aisladores sísmicos es M ∗ v̈ ∗ + C ∗ v̇ ∗ + K ∗ v ∗ = −M ∗ r ∗ 𝑢̈ 𝑔 M M∗ = [ t rM

Mr r t Mr + 𝑚𝑏

]

C C∗ = [ 0

0 𝑐𝑏

K K∗ = [ 0

]

0 𝑘𝑏

]

(3.2.4) 0 r∗ = [ ] 1

v∗ = [

v 𝑣𝑏

]

Naeim y Kelly (1999) expresan el desplazamiento de relativo de cada piso de la estructura en coordenadas modales como 𝑛

v = Фq = ∑ ∅𝑖 𝑞𝑖

(3.2.5)

𝑖=1

Donde Ф corresponde a la matriz modal del edificio de base fija. Sustituyendo (3.2.5) en (3.2.1) y (3.2.3) se

obtiene r t MФv̈ + (r t Mr + 𝑚𝑏 )𝑣̈ 𝑏 + 𝑐𝑏 𝑣̇ 𝑏 + 𝑘𝑏 𝑣𝑏 = −(r t Mr + 𝑚𝑏 )𝑢̈ 𝑔 MФq̈ + Mr𝑣̈ 𝑏 + CФq̇ + KФq = −Mr𝑢̈ 𝑔

(3.2.6) (3.2.7)

Premultiplicando y dividiendo la ecuación (3.2.7) por ФT y por ФT MФ respectivamente; y dividiendo (3.2.6) por r T Mr + 𝑚𝑏 el sistema de ecuaciones resultante es r t MФ 𝑐𝑏 𝑘𝑏 𝑞̈ 𝑖 + 𝑣̈ 𝑏 + t 𝑣̇ 𝑏 + t 𝑣 = −𝑢̈ 𝑔 t (r Mr + 𝑚𝑏 ) (r Mr + 𝑚𝑏 ) (r Mr + 𝑚𝑏 ) 𝑏 q̈ +

Фt Mr Фt CФ Фt KФ Фt Mr 𝑣̈ + q̇ + q = − 𝑢̈ Фt MФ 𝑏 Фt MФ Фt MФ Фt MФ 𝑔

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(3.2.8)

(3.2.9)

Naeim y Kelly (1999) definen los factores de participación modal 𝐿𝑖 y las masas modales participantes 𝑀𝑖 del edificio de base fija mediante las siguientes expresiones t

𝐿𝑖 =

∅𝑖 Mr

t

𝑀𝑖 = ∅𝑖 M∅𝑖

t ∅𝑖 M∅𝑖

(3.2.10)

Según Cheng et al. (2008) el coeficiente de amortiguamiento de cada modo βi = 𝑐𝑖 /(2𝑚𝑖 ωi ), y las frecuencias del edificio de base fija ωi considerando 𝑖 = 1, … , 𝑛 están dados por 2β1 ω1 Ф CФ 0 =[ t ⋮ Ф MФ 0 t

0 2β2 ω2 ⋮ 0

ω12 Ф KФ = 0 Фt MФ ⋮ [0

⋯ 0 ⋯ 0 ] ⋱ ⋮ ⋯ 2βn ωn

t

0 ω22 ⋮ 0

⋯ 0 ⋯ ⋮ ⋱ 0 ⋯ ω2n ]

(3.2.11)

A partir de lo propuesto por Kelly (2004) para el modelo de dos grados de libertad, Saavedra (2005) define los parámetros estructurales para el modelo dinámico de un edificio con aislación basal. 𝑚𝑠 = r t Mr = 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛

2βb ωb =

𝑐𝑏 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏

𝑘𝑏 ωb = √ 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏

(3.2.12)

La frecuencia fundamental de la base aislada se denomina ωb y βb corresponde al factor de amortiguamiento de la base. Naeim y Kelly (1999) definen el sistema de 𝑛 + 1 ecuaciones que representa el comportamiento de edificios con aisladores sísmicos de movimiento plano como 𝑛

∑ 𝑖=1

𝐿𝑖 𝑀𝑖 𝑞̈ + 𝑣̈ 𝑏 + 2βb ωb 𝑣̇ 𝑏 + ω2𝑏 𝑣𝑏 = −𝑢̈ 𝑔 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 𝑖

𝐿𝑖 𝑣̈ 𝑏 + 𝑞̈ 𝑖 + 2βi ωi 𝑞̇ 𝑖 + ω2𝑖 𝑞𝑖 = −𝐿𝑖 𝑢̈ 𝑔

𝑖 = 1, … , 𝑛

(3.2.13)

(3.2.14)

Naeim y Kelly (1999) afirman que en la mayoría de los casos todos los modos a excepción del primero, no juegan un rol importante en el diseño de la estructura o el sistema de aislación; por lo tanto, solamente es necesario el modo fundamental para obtener resultados adecuados. Finalmente, al considerar el modo principal de vibración se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones 𝐿1 𝑀1 𝑞̈ + 𝑣̈ 𝑏 + 2βb ωb 𝑣̇ 𝑏 + ω2𝑏 𝑣𝑏 = −𝑢̈ 𝑔 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 1

(3.2.15)

𝐿1 𝑣̈ 𝑏 + 𝑞̈ 1 + 2β1 ω1 𝑞̇ 1 + ω12 𝑞1 = −𝐿1 𝑢̈ 𝑔

(3.2.16)

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CAPÍTULO IV: ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL En este capítulo se presentan los principios básicos del análisis tridimensional de edificios con aislación basal y se definen las ecuaciones necesarias para determinar las frecuencias y modos de vibrar de estructuras considerando tres grados de libertad por piso; además, se establecen los parámetros para definir las matrices de masa y rigidez de edificios de base fija para formar la ecuación de movimiento del sistema compuesto por el edificio y el sistema de aislación. 4.1 GENERALIDADES El análisis de edificios con aislación basal supone que un edificio está formado por elementos resistentes planos verticales, los cuales están conectados por diafragmas horizontales rígidos en los niveles de piso en los cuales se concentra la masa del edificio. Chopra (1995) para el jth diafragma considera tres grados de libertad definidos en el centro de masa, donde las traslaciones son 𝑢𝑗𝑥 y 𝑢𝑗𝑦 , en la dirección 𝑥 e 𝑦 respectivamente y la rotación es 𝑢𝑗𝜃 alrededor del eje vertical. Un edificio de base fija con diafragma rígido por piso posee 3𝑛 grados de libertad, donde 𝑛 es igual a la cantidad de pisos de la estructura. Figura 4.1.1: Grados de libertad para un diafragma rígido en el plano

Fuente: Chopra (1995)

Los aisladores sísmicos basales experimentan grandes deformaciones; por lo tanto, pueden experimentar un comportamiento no lineal, sin embargo, como su función es proteger la estructura de daños se espera un comportamiento lineal del edificio.

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4.2 MODELO DINÁMICO PARA EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO Un edificio con aislación basal puede ser analizado en tres dimensiones a través de un modelo dinámico que permita implementar la teoría del análisis de movimiento plano. El modelo consiste en un edificio de 𝑛 pisos superpuesto en una base con aisladores que posee los mismos grados de libertad considerados para cada diafragma rígido de la estructura. El sistema de aislación basal está conformado por aisladores sísmicos de comportamiento lineal o no lineal dispuestos entre la losa basal y la fundación. Cada aislador posee una rigidez lateral para cada una de las direcciones principales de traslación y una rigidez torsional despreciable. Figura 4.2.1: Modelo de edificio con aisladores sísmicos considerando tres grados de libertad por piso

Fuente: Elaboración propia

La matriz de masa Mb , la matriz de rigidez K b y la matriz de amortiguación Cb representan las propiedades de la base sobre el sistema de aislación para cada una de las componentes de desplazamiento. 𝑚𝑏 𝑥 [Mb ] = [ 0 0

0 𝑚𝑏 𝑦 0

0 0 ] 𝐽𝑏

𝜃

𝑘𝑏 𝑥 [K b ] = [ 0 0

0 𝑘𝑏 𝑦 0

0 0 ] 𝑘𝑏 𝜃

𝑐𝑏 𝑥 [Cb ] = [ 0 0

0 𝑐𝑏 𝑦 0

0 0 ] 𝑐𝑏 𝜃

(4.2.1)

El desplazamiento absoluto del piso 𝑖th se denomina 𝑢𝑖 𝑥 para la dirección 𝑥 , 𝑢𝑖 𝑦 para la dirección 𝑦 y 𝑢𝑖 𝜃 para la rotación en torno al eje vertical. Del mismo modo, los desplazamientos absolutos de la losa basal son 𝑢𝑏 𝑥 , 𝑢𝑏 𝑦 y 𝑢𝑏 𝜃 . [u]t = [𝑢1 𝑥 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝜃 𝑢2 𝑥 𝑢2 𝑦 𝑢2 𝜃 … 𝑢𝑛 𝑥 𝑢𝑛 𝑦 𝑢𝑛 𝜃 ] 10

[ub ]t = [𝑢𝑏 𝑥 𝑢𝑏 𝑦 𝑢𝑏 𝜃 ]

(4.2.2)

El vector v corresponde al desplazamiento relativo de cada piso respecto a la base y 𝑣𝑏 al desplazamiento relativo de la base respecto a la fundación. [v]t = [𝑣1 𝑥 𝑣1 𝑦 𝑣1 𝜃 𝑣2 𝑥 𝑣2 𝑦 𝑣2 𝜃 … 𝑣𝑛 𝑥 𝑣𝑛 𝑦 𝑣𝑛 𝜃 ]

[vb ]t = [𝑣𝑏 𝑥 𝑣𝑏 𝑦 𝑣𝑏 𝜃 ]

(4.2.3)

Además, el vector de desplazamientos relativos entre pisos puede ser expresado en coordenadas modales como [q]t = [𝑞1 𝑞2 … 𝑞3𝑛 ]

[v] = [Ф][q]

(4.2.4)

Donde Ф es la matriz modal que contiene los 3𝑛 modos del edificio tridimensional de base fija. La masa del sistema estructural sobre la base está definida para cada uno de los grados de libertad, está asociada con los desplazamientos horizontales y la rotación de cada piso. La matriz diagonal de masa es de orden 3𝑛x3𝑛 y es de la forma 𝑚1 𝑥 [ 0 0

0 𝑚1 𝑦 0

0 0] 𝐽1 𝜃

[0]

[M] =

[0] 𝑚2 𝑥 [ 0 0

⋮ [0]

0 𝑚2 𝑦 0 ⋮

0 0] 𝐽2 𝜃

…

[0]

…

[0]

⋱

[0]

…

[

𝑚𝑛 𝑥 [ 0 0

⋮ 0 𝑚𝑛 𝑦 0

(4.2.5) 0 0 ] 𝐽𝑛 𝜃 ]

Donde 𝑚𝑖 𝑥 y 𝑚𝑖 𝑦 corresponden a las masas traslaciones en la dirección 𝑥 e 𝑦 respectivamente y 𝐽𝑖 𝜃 a los momentos de inercia rotacional de cada piso. Falconi (2008) define la matriz de rigidez de un edificio considerando tres grados de libertad por piso como la suma de la contribución de todos los elementos resistentes planos verticales que lo conforman. El procedimiento básico para determinar la matriz de rigidez K s de estructuras tridimensionales en coordenadas globales depende de la rigidez lateral del pórtico plano 𝐾𝐿 en sus respectivas coordenadas locales. Según Salinas (2013) la matriz de rigidez de un edificio de base fija se puede escribir en coordenadas globales como ∑ cos𝛼𝑖 2 𝐾𝐿 (𝑖) 𝐾𝑋𝑋 [K𝑆 ] = [ 𝐾𝑋𝑌 𝐾𝑋𝜃

𝐾𝑋𝑌 𝐾𝑌𝑌 𝐾𝑌𝜃

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝐾𝑋𝜃 𝐾𝑌𝜃 ] = ∑ sen𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 𝐾𝐿 (𝑖) 𝐾𝜃𝜃

⁞

⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

(𝑖) [ ∑ cos𝛼𝑖 𝐾𝐿 𝑟𝑖

∑ sen𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 𝐾𝐿 (𝑖) 2

∑ sen𝛼𝑖 𝐾𝐿

(𝑖)

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞

∑ sen𝛼𝑖 𝐾𝐿 (𝑖) 𝑟𝑖

11

∑ cos𝛼𝑖 𝐾𝐿 (𝑖) 𝑟𝑖 ∑ sen𝛼𝑖 𝐾𝐿 (𝑖) 𝑟𝑖

(4.2.6)

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞

∑ 𝐾𝐿 (𝑖) 𝑟𝑖 2

]

Donde 𝛼𝑖 es el ángulo de ubicación del pórtico 𝑖th con respecto al eje de coordenadas global y 𝑟𝑖 es la distancia hasta el centro de masa. 𝑟𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥0 )sen𝛼𝑖 − (𝑦𝑖 − 𝑦0 )cos𝛼𝑖

(4.2.7)

Figura 4.2.2: Sistema de ejes globales

Fuente: Salinas (2013)

El análisis de un edificio con aislación basal en tres dimensiones requiere que el orden de los grados de libertad por diafragma coincida con los del sistema de aislación con el objeto de acoplar las propiedades dinámicas correspondientes en cada dirección. Por lo tanto, los grados de libertad son enumerados por piso, primero por el desplazamiento en dirección 𝑥 , luego la componente de desplazamiento en dirección 𝑦 y finalmente la rotación en torno al eje vertical. En la figura (4.2.3) se observa la asignación de los grados de libertad para un edificio de base fija y un edificio con aislación basal de dos pisos. Figura 4.2.3: Asignación grados de libertad por piso

Fuente: Elaboración propia 12

La matriz simétrica de rigidez de orden 3𝑛x3𝑛 requiere de un reajuste de elementos de acuerdo con el orden de los grados de libertad mostrado en la figura (4.2.3) para acoplar los valores de rigidez de la base con los de cada piso en la dirección correspondiente. Para el elemento K𝑆 (𝑖, 𝑗) se tiene 𝑖 = 𝑗 = 1, 2, … , 3𝑛

T = [1, 1 + 𝑛, 1 + 2𝑛, 2, 2 + 𝑛, 2 + 2𝑛, … , 𝑛, 𝑛 + 𝑛, 𝑛 + 2𝑛]

(4.2.8)

Donde T es el vector de transformación de coordenadas, se cumple T(1, s1) = 𝑖

T(1, s2) = 𝑗

(4.2.9)

Finalmente, la matriz de rigidez K de la estructura de base fija en tres dimensiones se obtiene a través del reordenamiento de cada elemento mediante K𝑆 (𝑖, 𝑗) = K(s1, s2)

(4.2.10)

4.2.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO Y EXCITACIÓN SÍSMICA BASAL Para implementar las ecuaciones del análisis de movimiento plano, es necesario transformar los parámetros dinámicos de una dirección a un sistema tridimensional. Chu et al. (2009) indican que cuando una estructura está sometida a una excitación del suelo 𝑢̈ 𝑔 la ecuación de movimiento puede escribirse en función de los tres componentes de la aceleración 𝑢̈ 𝑔 𝑥 , 𝑢̈ 𝑔 𝑦 y 𝑢̈ 𝑔 𝜃 . Las ecuaciones que representan un edificio con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso son Base 3𝑛

∑ 𝑖=1 3𝑛

∑ 𝑖=1 3𝑛

∑ 𝑖=1

𝐿𝑖 𝑥 𝑀𝑖

𝑥

𝑚𝑠 𝑥 + 𝑚𝑏 𝑥 𝐿𝑖 𝑦 𝑀𝑖

𝐿𝑖 𝜃 𝑀𝑖 𝑚𝑠 + 𝐽𝑏

(4.2.11)

𝑦

𝑚𝑠 𝑦 + 𝑚𝑏 𝑦

𝜃

𝑞̈ 𝑖 + 𝑣̈ 𝑏 𝑥 + 2βb 𝑥 ωb 𝑥 𝑣̇ 𝑏 𝑥 + ω2𝑏 𝑣𝑏 𝑥 = 𝑢̈ 𝑔 𝑥

𝑞̈ 𝑖 + 𝑣̈ 𝑏 𝑦 + 2βb 𝑦 ωb 𝑦 𝑣̇ 𝑏 𝑦 + ω2𝑏 𝑣𝑏 𝑦 = 𝑢̈ 𝑔 𝑦

𝜃

𝜃

𝑞̈ 𝑖 + 𝑣̈ 𝑏 𝜃 + 2βb 𝜃 ωb 𝜃 𝑣̇ 𝑏 𝜃 + ω2𝑏 𝑣𝑏 𝜃 = 𝑢̈ 𝑔 𝜃

Edificio 𝐿𝑖 𝑥 𝑣̈ 𝑏 𝑥 + 𝐿𝑖 𝑦 𝑣̈ 𝑏 𝑦 + 𝐿𝑖 𝜃 𝑣̈ 𝑏 𝜃 + 𝑞̈ 𝑖 + 2βi ω𝑖 𝑞̇ 𝑖 + ω2𝑖 𝑞𝑖 = 𝐿𝑖 𝑥 𝑢̈ 𝑔 𝑥 + 𝐿𝑖 𝑦 𝑢̈ 𝑔 𝑦 + 𝐿𝑖 𝜃 𝑢̈ 𝑔 𝜃 𝑖 = 1,2 … 3𝑛 (4.2.12)

13

El sistema anterior está compuesto por dos subsistemas, el primero formado por 3 ecuaciones correspondientes a la losa basal y el segundo por 3𝑛 ecuaciones que representan el comportamiento del edificio sobre la base. El factor de participación modal Li del edificio tridimensional de base fija está dado por T

∅𝑖 Mr

[Li ] =

T

∅𝑖 M∅𝑖

= [𝐿𝑖 𝑥

𝐿𝑖 𝑦

𝐿𝑖 𝜃 ]

(4.2.13)

Donde r es el vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo. Para edificios de corte se considera

[r]3nx3 = [r x

1 [0 0 1 [ 0 r𝜃 ] = 0 ⋮ 1 [0 [0

ry

0 1 0 0 1 0 ⋮ 0 1 0

0 0] 1 0 0] 1 ⋮ 0 0] 1 ]

(4.2.14)

Las masas modales del edificio de base fija pueden expresarse como t

𝑀𝑖 = ∅𝑖 M∅𝑖

(4.2.15)

Las masas modales efectivas pueden ser interpretadas como la parte de la masa total que responde al terremoto en cada modo y se obtienen de 2

T

[M𝑖 𝑒𝑓𝑓 ] =

(∅𝑖 Mr) t ∅𝑖 M∅𝑖

= [𝑀𝑖 𝑒𝑓𝑓 𝒙

𝑀𝑖 𝑒𝑓𝑓

𝑦

𝜃 𝐽𝑖 𝑒𝑓𝑓 ]

(4.2.16)

La matriz ωb representa las frecuencias fundamentales de la base aislada para cada una de las componentes del movimiento del suelo. 𝑘𝑏 𝑥

ωb 𝑥 [ωb ] = [ 0 0

0 ωb 𝑦 0

√ 𝑥 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 𝑥

0

0

√ 𝑦 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 𝑦

0

0

√ 𝑚𝑠 𝜃 + 𝐽𝑏 𝜃 ]

0 0 ]= ωb 𝜃

0 [

14

𝑘𝑏 𝑦

0

𝑘𝑏 𝜃

(4.2.17)

Los factores de amortiguamiento de la base βb pueden obtenerse a partir de 𝑐𝑏 𝑥

2βb 𝑥 ωb 𝑥 0 [

0 𝑦 2βb ωb 𝑦

0 0

0

𝜃

0

0

𝑚𝑠 𝑥 + 𝑚𝑏 𝑥

2βb ωb

𝑐𝑏 𝑦

0

]=

0

𝑚𝑠 𝑦 + 𝑚𝑏 𝑦

𝜃

0

[

0 (4.2.18)

𝑐𝑏 𝜃

0

𝐽𝑠 𝜃 + 𝐽𝑏 𝜃 ]

La masa llevada por el sistema de aislación considerando tres grados de libertad está representada por M𝑠 + Mb , donde M𝑠 es la matriz de la suma total de las masas participantes en cada dirección. 𝑚𝑠 𝑥 [M𝑠 ] = [r t Mr] = [ 0 0 𝑚𝑠 𝑥 = 𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑥 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑥

0 𝑚𝑠 𝑦 0

0 0] 𝐽𝑠 𝜃

(4.2.19)

𝑚𝑠 𝑦 = 𝑚1 𝑦 + 𝑚2 𝑦 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑦

𝐽𝑠 𝜃 = 𝐽1 𝜃 + 𝐽2 𝜃 + ⋯ + 𝐽𝑛 𝜃

Finalmente, el sistema de ecuaciones en forma matricial es [I]3𝑛𝑥3𝑛

⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

[r t MФ] t [[r Mr + Mb ]

[Фt Mr] [Фt MФ]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [ ⁞

[I]3𝑥3

⁞

[I]3𝑛𝑥3𝑛 = − ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

[Фt CФ] [Фt MФ]

[q̈ ]

]+ [v̈ b ]

]

⁞

[[rt Mr + Mb ]

[I]3𝑥3

[I]3𝑥3

[0]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [

⁞

[0]

[0]3𝑛𝑥3

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [

[rt MФ]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [

[Фt Mr] [Фt MФ]

⁞

[Cb ] t [r Mr + Mb ]]

[Фt KФ] [Фt MФ]

[q̇ ]

]+ [v̇ b ]

⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [

[0]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [

⁞

[0]

[q]

] [vb ] [K b ] [r t Mr + Mb ]]

] [ü g ]

(4.2.20)

]

Donde I es la matriz identidad y [Ф]3𝑛𝑥3𝑛 es la matriz modal del edificio de base fija. Multiplicando el conjunto de ecuaciones pertenecientes a la base por r t Mr + Mb y las del edificio sobre la base por Фt MФ se obtiene la ecuación de movimiento para un edificio con aisladores sísmicos basales en tres dimensiones. M ∗ v̈ ∗ + C ∗ v̇ ∗ + K ∗ v ∗ = −M ∗ r ∗ [ü g ] [Фt MФ] M = [ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [r t MФ]

⁞

∗

[Фt Mr]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ]

⁞

[r t Mr + Mb ] v∗ = [

[q]

] [vb ]

[Фt CФ]

⁞

∗

C = [∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [0] [0]3𝑛𝑥3 r∗ = [ ] [I]3𝑥3 15

[Фt KФ]

[0]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙] ⁞

(4.2.21)

[Cb ] t

⁞

∗

K = [∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [0]

[ü g ] = [𝑢̈ 𝑔 𝑥

𝑢̈ 𝑔 𝑦

𝑢̈ 𝑔 𝜃 ]

[0]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙] ⁞

[K b ]

4.2.2 FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA Para obtener las frecuencias y modos de vibrar del sistema combinado formado por la superestructura y la losa basal sobre el sistema de aislación, se debe resolver el problema generalizado de valor propio relacionado a la ecuación de movimiento asumiendo una vibración libre sin amortiguamiento. La matriz de masa está compuesta por submatrices que definen las masas participantes de la base y del edificio de base fija para cada una de las direcciones de análisis. Considerando los 3𝑛 modos del edificio de base fija la matriz de masa puede escribirse como 𝑀1 0 0 [0

0 𝑀2 0 0

0 0 ⋱ 0

0 0 0

𝑀3𝑛 ] M ∗ = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝐿1 𝑥 𝑀1 𝑦 [𝐿1 𝑀1 [ 𝐿1 𝜃 𝑀1

𝐿2 𝑥 𝑀2 𝐿2 𝑦 𝑀2 𝐿2 𝜃 𝑀2

… 𝐿3𝑛 𝑥 𝑀3𝑛 … 𝐿3𝑛 𝑦 𝑀3𝑛 ] … 𝐿3𝑛 𝜃 𝑀3𝑛

⁞ ⁞ ⁞

𝐿1 𝑥 𝑀1 𝐿2 𝑥 𝑀2 ⋮ [𝐿3𝑛 𝑥 𝑀3𝑛

𝐿1 𝑦 𝑀1 𝐿2 𝑦 𝑀2 ⋮ 𝐿3𝑛 𝑦 𝑀3𝑛

𝐿1 𝜃 𝑀1 𝐿2 𝜃 𝑀2 ⋮ 𝐿3𝑛 𝜃 𝑀3𝑛 ]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞ ⁞ ⁞

𝑚𝑠 𝑥 + 𝑚𝑏 𝑥 0 [ 0

𝑚𝑠

𝑦

0 + 𝑚𝑏 𝑦 0

(4.2.22)

0 0 ] 𝜃 𝜃 𝐽𝑠 + 𝐽𝑏 ]

La matriz de rigidez considerando las condiciones de ortogonalidad es equivalente a ω12

0

0 0 [0

ω22

K∗ =

0 0

0 0 ⋱

0 0 0

0 ω23𝑛 ]

⁞ ⁞ ⁞

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ [0] [

[0]

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ⁞ ⁞ ⁞

(4.2.23)

𝑘𝑏 𝑥 0 0 𝑦 0 ] [ 0 𝑘𝑏 0 0 𝑘𝑏 𝜃 ]

La solución del problema de eigenvalor entrega 3𝑛 + 3 raíces que representan las frecuencias de los modos de vibración que son posibles en el sistema. Los 3𝑛 + 3 eigenvectores pueden ser expresados en una matriz cuadrada Ф ∗ , donde cada columna corresponde a un modo de vibrar.

16

CAPÍTULO V: MODELO SIMPLIFICADO DE TRES GRADOS DE LIBERTAD PROPUESTO POR KELLY (1993) En este capítulo se plantea el modelo de Kelly (1993) que consiste en un sistema de tres grados de libertad conformado por masas distribuidas en una placa rígida apoyada sobre aisladores sísmicos. Este modelo es elaborado para estudiar la respuesta lateral-torsional acoplada de edificios con aislación basal en tres dimensiones mediante un procedimiento simplificado que transforma las masas totales participantes en pequeñas masas equivalentes. El objetivo es comparar los períodos de vibración de edificios con aislación basal obtenidos de los modelos estructurales considerados en este estudio con los resultantes del modelo simplificado de tres grados de libertad propuesto por Kelly (1993), para evaluar la influencia de la altura y distribución de masas en la aproximación del período fundamental. 5.1 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS SOBRE PLACA RÍGIDA Una característica inusual de edificios con aisladores basales es que las frecuencias en el movimiento lateral, longitudinal y torsional son muy cercanas. Kelly (1993) estudia el fenómeno de acoplamiento de los modos a causa del desequilibrio entre el centro de masa y el centro de rigidez, mediante un modelo que desprecia la flexibilidad de la superestructura y que consiste en un conjunto de masas dispuestas en una placa rígida con aisladores sísmicos. Este sistema simplificado posee tres grados de libertad, donde dos son de traslación y uno de rotación en torno al eje vertical. Figura 5.1.1: Sistema simplificado de tres grados de libertad

Fuente: Kelly (1993)

Los desplazamientos horizontales del centro de masa se expresan como 𝑢𝑥 y 𝑢𝑦 , donde 𝑥 e 𝑦 son las direcciones principales. La rotación de la placa rígida en torno al eje vertical se define como 𝜃 y la coordenada rotacional con 17

las dimensiones del desplazamiento es 𝑢𝜃 = r𝜃, donde r es el radio de giro de la placa. La rigidez horizontal del aislador ith en las direcciones 𝑥 e 𝑦 son 𝑘𝑥 𝑖 , 𝑘𝑦 𝑖 respectivamente y estas son usualmente similares. La rigidez torsional de un aislador es insignificante y no es incluida en el modelo. Kelly (1993) señala que entender la respuesta del sistema es útil para determinar las frecuencias y modos de vibración, los cuales son obtenidos de la ecuación de movimiento homogénea no amortiguada. Según Kelly (1993) la rigidez general del sistema de aislación en las direcciones 𝑥 e 𝑦 son 𝑁

K x = ∑ 𝑘𝑥

𝑁 𝑖

K y = ∑ 𝑘𝑦 𝑖

𝑖=1

(5.1.1)

𝑖=1

La ubicación del aislador ith respecto al centro de masa está dada por ( 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) y la rigidez torsional del sistema es 𝑁

𝑁 𝑖

K θ = ∑ 𝑘𝑥 𝑦𝑖 + ∑ 𝑘𝑦 𝑖 𝑥𝑖 2 2

𝑖=1

(5.1.2)

𝑖=1

El centro de rigidez del sistema de aislación está definido como el punto a través del cual una fuerza en cualquier dirección horizontal puede ser transmitida sin producir torsión, con respecto al centro de masa sus coordenadas son (𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ), donde 𝑒𝑥 =

𝑒𝑦 =

1 Ky

1 Kx

𝑁

∑ 𝑘𝑦 𝑖 𝑥𝑖

(5.1.3)

𝑖=1 𝑁

∑ 𝑘𝑥 𝑖 𝑦𝑖

(5.1.4)

𝑖=1

La masa llevada por el aislador 𝑖th se define 𝑚𝑖 . La masa total M y el momento de inercia rotacional de la placa rígida I cumplen la igualdad I = Mr2, por lo tanto 𝑁

M = ∑ 𝑚𝑖

(5.1.5)

𝑖=1 𝑁

I = ∑ 𝑚𝑖 (𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 ) 𝑖=1

18

(5.1.6)

CAPÍTULO VI: ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE MODELOS ESTRUCTURALES FORMADOS POR ELEMENTOS RESISTENTES PLANOS En este capítulo se presentan los modelos considerados para evaluar la influencia de la concentración de rigidez y distribución de masas en el período de vibración de edificios con aisladores sísmicos. Se establecen los procedimientos principales en la obtención de resultados; la metodología de análisis para la aproximación del período fundamental de edificios con aislación basal y se definen las propiedades dinámicas de cada edificio en estudio. 6.1 CONSIDERACIONES GENERALES Se asume que un edificio está formado por elementos resistentes planos verticales conectados por diafragmas rígidos, los cuales poseen tres grados de libertad definidos en su centro de masa. Los modelos estructurales están formados por pisos representados por una losa apoyada sobre cuatro elementos resistentes dispuestos simétricamente en planta, esta distribución permite simular estructuras con diferentes niveles de excentricidad mediante la variación de la rigidez lateral entrepiso de cada elemento resistente. El sistema basal consiste en una losa de propiedades similares a las de cada diafragma rígido de la estructura y está apoyada sobre aisladores sísmicos de comportamiento lineal distribuidos uniformemente entre la base y la fundación. El modelo de cada piso de los edificios en estudio está formado por dos elementos 𝑋𝑖 y dos 𝑌𝑖 para la dirección 𝑥 e 𝑦 respectivamente. Las rigideces laterales entrepiso están dadas por ∝𝑖 𝑘0 y 𝛽𝑖 𝑘0 , donde ∝𝑖 y 𝛽𝑖 corresponden a los factores de modificación de rigidez. Las masas del sistema son asignadas uniformemente, donde, 𝑚𝑖 𝑥 y 𝑚𝑖 𝑦 son las masas traslacionales de las direcciones principales y es 𝐽𝑖 𝜃 el momento de inercia rotacional respecto

al centro de masa. Figura 6.1.1: Modelo planta estructural tipo

Fuente: Elaboración propia

19

El sistema de aislación basal está conformado por cuatro aisladores de comportamiento lineal cuya rigidez lateral se denomina 𝑘𝑖𝑠𝑜 y su rigidez torsional se considera despreciable. La figura (6.1.2) muestra la distribución de los aisladores bajo la losa basal. Figura 6.1.2: Sistema de aislación basal

Fuente: Elaboración propia

6.2 PARÁMETROS DINÁMICOS 6.2.1 EDIFICIO Las masas traslacionales son iguales para las direcciones 𝑥 e 𝑦, son valores aproximados que representan el peso sísmico dividido por la gravedad, equivalente a la suma de los pesos propios de los elementos estructurales y un porcentaje de la sobrecarga de uso sobre las losas. Las dimensiones de la losa de cada piso y la base son 𝑎 = 10 m y 𝑏 = 16 m; por lo tanto, los momentos de inercia rotacional con respecto al centro de masa están dados por 𝐽𝑖 𝜃 =

𝑚𝑖

12

(𝑎2 + 𝑏2 )

Figura 6.2.1: Dimensiones losa

Fuente: Elaboración propia

20

Las masas consideradas para los modelos estructurales son Tabla 6.2.1: Masas consideradas para edificios de 1 piso

Masas traslacionales (tonf s2/cm)

Momento de inercia rotacional (tonf s2 cm)

𝒎𝒊 𝒙

𝒎𝒊 𝒚

𝑱𝒊 𝜽

0.6

0.6

178000

Fuente: Elaboración propia Tabla 6.2.2: Masas consideradas para edificios de n pisos

Masas traslacionales (tonf s2/cm)

Piso 𝒊 = 𝟏. . . 𝒏 − 𝟏 𝒏

Momento de inercia rotacional (tonf s2 cm)

𝒎𝒊 𝒙

𝒎𝒊 𝒚

𝑱𝒊 𝜽

0.66 0.6

0.66 0.6

195800 178000

Fuente: Elaboración propia

La rigidez del sistema depende directamente de la rigidez lateral entrepiso de cada elemento resistente y los factores de modificación. Para obtener la matriz de rigidez total se define el ángulo de ubicación del cada elemento resistente respecto al eje de coordenadas de piso, 𝛼𝑖 , y la distancia al centro de masa 𝑟𝑖 de cada elemento 𝑋𝑖 y 𝑌𝑖 . Tabla 6.2.3: Rigidez lateral entrepiso y coordenadas de piso de elementos resistentes planos

Elemento resistente 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐘𝟏 𝐘𝟐

Rigidez lateral entrepiso (tonf/cm) 𝑘0 𝑘0 𝑘0 𝑘0

=630 =630 =630 =630

𝜶°

𝒓 (cm)

0° 0° 90° 90°

-500 500 -800 800

Fuente: Elaboración propia

6.2.2 SISTEMA BASAL El sistema basal está constituido por la losa en la que está apoyada la superestructura y los aisladores sísmicos distribuidos uniformemente. Las masas participantes de la base son una aproximación que representa el peso propio de los elementos estructurales del primer piso, aisladores sísmicos y un porcentaje de la sobrecarga de uso. Tabla 6.2.4: Masas consideradas en la base

Masas traslacionales (tonf s2/cm)

Momento de inercia rotacional (tonf s2 cm)

𝒎𝒃 𝒙

𝒎𝒃 𝒚

𝑱𝒃 𝜽

0.45

0.45

133500

Fuente: Elaboración propia 21

En el modelo se consideran cuatro aisladores basales de rigidez lateral 𝑘𝑖𝑠𝑜 , los cuales representan un conjunto de aisladores de comportamiento lineal que poseen una rigidez lateral equivalente. La distribución de estos dispositivos es simétrica bajo la losa basal y están ubicados en cada vértice de la planta. Tabla 6.2.5: Rigidez del sistema de aislación basal

Rigidez lateral aislador (tonf/cm)

Rigidez lateral base (tonf/cm)

Rigidez torsional base (tonf cm)

𝒌𝒊𝒔𝒐

𝒌𝒃 𝒙

𝒌𝒃 𝒚

𝒌𝒃 𝜽

40

160

160

1.424x108

Fuente: Elaboración propia

6.3 MODELACIÓN La modelación de los edificios se realiza en el software de cálculo estructural SAP 2000 v19.2.1 y tiene por objetivo respaldar los resultados obtenidos mediante las simulaciones numéricas realizadas en el programa Matlab R2017a. En la elaboración de cada modelo se ingresan las dimensiones de la planta estructural definida y los elementos que conforman el sistema de aislación basal. En la estructura de base fija, para la representación de elementos resistentes se utiliza la opción frame y para losas elementos shell, luego, se asignan las rigideces correspondientes según el modelo y las masas participantes en el centro de masa de cada piso. La asignación de diafragmas rígidos se realiza mediante la opción de constrains que permite definir los grados de libertad UX, UY y RZ que serán considerados en el análisis. Para edificios de base fija se asignan apoyos empotrados sin considerar la presencia de la losa basal y para el análisis incluyendo los aisladores sísmicos se definen apoyos tipo link/support ingresando sus rigideces laterales correspondientes. 6.4 PROGRAMACIÓN Los procedimientos de cálculo requeridos en este trabajo son programados en el software Matlab R2017a y están incluidos en los ANEXOS (ver ANEXOS C, D, E, F, G, H), donde se explican las variables de entrada, funciones y variables de salida de cada una de las rutinas. Los resultados se obtienen al ingresar las propiedades dinámicas definidas en este capítulo en las programaciones realizadas para luego compararlos con los parámetros dinámicos entregados por la modelación en el programa SAP 2000 v19.2.1.

22

6.5 MODELOS ESTRUCTURALES CONSIDERADOS En la determinación de frecuencias y modos de vibrar de edificios con aislación basal, se analizan tres plantas con distinta concentración de rigidez considerando 1, 4, 8 y 12 pisos, con un total de 12 modelos en estudio. Para cada edificio se definen los factores de modificación de rigidez correspondientes y se asumen iguales para cada piso de la estructura. Figura 6.5.1: Número de pisos considerados en los modelos estructurales

Fuente: Elaboración propia

Para cada edificio se asume la distribución de elementos resistentes detallada en la figura (6.1.1) y se asignan las masas uniformemente de acuerdo con 6.2.1 y 6.2.2. 6.5.1 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO I Figura 6.5.2: Planta estructural tipo I

Tabla 6.5.1: Factores de modificación de rigidez planta estructural tipo I

Elemento resistente 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐘𝟏 𝐘𝟐

Factor de modificación 1.5 1.5 1 1

Rigidez lateral entrepiso (tonf/cm) 945 945 630 630

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

23

6.5.2 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO II Figura 6.5.3: Planta estructural tipo II

Tabla 6.5.2: Factores de modificación de rigidez planta estructural tipo II

Elemento resistente 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐘𝟏 𝐘𝟐

Factor de modificación 1 1.5 1 1

Rigidez lateral entrepiso (tonf/cm) 630 945 630 630

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

6.5.3 PLANTA ESTRUCTURAL TIPO III Figura 6.5.4: Planta estructural tipo III

Tabla 6.5.3: Factores de modificación de rigidez planta estructural tipo III

Elemento resistente 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐘𝟏 𝐘𝟐

Factor de modificación 1 1.5 2 1

Rigidez lateral entrepiso (tonf/cm) 630 945 1260 630

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

24

6.6 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS CONSIDERADOS La metodología consiste en determinar los parámetros dinámicos de los edificios de base fija para calcular las frecuencias y modos fundamentales de cada modelo. Luego, utilizando todos los modos de vibrar obtenidos se forman las matrices de masa y rigidez del edificio con aislación basal para determinar la solución exacta de los períodos de vibración del sistema compuesto. Posteriormente, mediante el análisis de los factores de participación modal y las masas modales efectivas se identifican los modos fundamentales de cada edificio de base fija para obtener de forma aproximada el período fundamental de edificios con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso. Finalmente, para verificar la variación de los parámetros dinámicos en función de la altura y la distribución de masas, se comparan los resultados obtenidos anteriormente con modelos simplificados basados en lo propuesto por Kelly (1993) que distribuyen la masa total del edificio en pequeñas masas equivalentes distribuidas en una placa rígida con tres grados de libertad apoyada en aisladores sísmicos. El modelo propuesto por Kelly (1993) se realiza manteniendo las propiedades de rigidez del sistema de aislación basal y las mismas dimensiones consideradas para las losas. El modelo simplificado de tres grados de libertad desprecia la flexibilidad de la superestructura y se aplica a cada uno de los edificios analizados mediante la división de la masa total traslacional en una dirección y su distribución en planta según el siguiente esquema. Figura 6.6.1: Distribución de masas en placa rígida con aisladores basales

Fuente: Elaboración propia

25

CAPÍTULO VII: PRESENTACIÓN DE RESULTADOS A continuación, se presentan los resultados del análisis dinámico de los modelos de edificios de base fija y edificios con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso. El primer tipo de análisis entrega los valores de frecuencias, modos de vibrar, factores de participación modal y masas modales efectivas; el segundo permite obtener la solución exacta de las frecuencias y modos de vibración y una aproximación considerando los modos principales en las direcciones X, Y y θ del edificio de base fija. Se muestran los resultados principales de los parámetros dinámicos de cada modelo estructural, los cuales pueden verse de forma detallada en el ANEXO A. Figura 7.1: Centro de masa y centro de rigidez de modelos considerados en estudio

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1: Identificación modelos considerados en estudio

Modelo

Tipo planta estructural

N° pisos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

I I I I II II II II III III III III Placa rígida Placa rígida Placa rígida Placa rígida

1 4 8 12 1 4 8 12 1 4 8 12 1* 4* 8* 12*

Fuente: Elaboración propia

C.M. (cm) x 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800

C.R. (cm)

y 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

x 800 800 800 800 800 800 800 800 533.33 533.33 533.33 533.33 800 800 800 800

y 500 500 500 500 600 600 600 600 600 600 600 600 500 500 500 500

𝒆𝒙 (cm)

𝒆𝒚 (cm)

0 0 0 0 0 0 0 0 -266.67 -266.67 -266.67 -266.67 0 0 0 0

0 0 0 0 100 100 100 100 100 100 100 100 0 0 0 0

*Estos modelos corresponden a una representación simplificada de edificios de 𝑛 pisos

26

7.1 PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS ESTRUCTURALES 7.1.1 EDIFICIO TIPO I - 1 PISO

Figura 7.1.1: Modelo edificio tipo I – 1 piso

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.1.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo I - 1piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

45.8258 56.1249 84.7634

0.1371 0.112 0.0741

0 100 0

100 0 0

0 0 100

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.1.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo I – 1 piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

12.0886 12.1737 20.9926

0.5198 0.5161 0.2993

En X En Y En 𝛉

56.1249 45.8258 84.7634

0.112 0.1371 0.0741

12.1737 12.0886 12.3443

0.5161 0.5198 0.509

Fuente: Elaboración propia

27

7.1.2 EDIFICIO TIPO I - 4 PISOS

Figura 7.1.2: Modelo edificio tipo I – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.2.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo I – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

15.4791 18.9579 28.6315

0.4059 0.3314 0.2194

0 89.469 0

89.469 0 0

0 0 89.469

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.2.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo I – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

6.6973 6.8766 11.7127

0.9382 0.9137 0.5364

En X En Y En 𝛉

18.9579 15.4791 28.6315

0.3314 0.4059 0.2194

6.8801 6.7017 7.2667

0.9132 0.9376 0.8647

Fuente: Elaboración propia

28

7.1.3 EDIFICIO TIPO I - 8 PISOS

Figura 7.1.3: Modelo edificio tipo I – 8 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.3.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo I – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

8.1495 9.9811 15.0741

0.771 0.6295 0.4168

0 85.677 0

85.677 0 0

0 0 85.677

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.3.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo I – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

4.5527 4.7764 8.0234

1.3801 1.3155 0.7831

En X En Y En 𝛉

9.9811 8.1495 15.0741

0.6295 0.771 0.4168

4.7805 4.5571 5.3121

1.3143 1.3788 1.1828

Fuente: Elaboración propia

29

7.1.4 EDIFICIO TIPO I – 12 PISOS Figura 7.1.4: Modelo edificio tipo I – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.4.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo I – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

5.5270 6.7693 10.2234

1.1368 0.9282 0.6146

0 84.233 0

84.233 0 0

0 0 84.233

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.4.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo I – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

3.5239 3.7628 6.2483

1.7830 1.6698 1.0056

En X En Y En 𝛉

6.7693 5.5271 10.2234

0.9282 1.1368 0.6146

3.7664 3.5273 4.3879

1.6682 1.7813 1.4319

Fuente: Elaboración propia

30

7.1.5 EDIFICIO TIPO II - 1 PISO Figura 7.1.5: Modelo edificio tipo II – 1 piso

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.5.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo II – 1 piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

45.8258 50.6887 82.4504

0.1371 0.124 0.0762

0 98.684 1.3162

100 0 0

0 1.3162 98.684

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.5.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo II – 1 piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

12.0886 12.1369 20.9615

0.5198 0.5177 0.2997

En X En Y En 𝛉

50.6887 45.8258 82.4504

0.124 0.1371 0.0762

12.1378 12.0886 12.3432

0.5177 0.5198

Fuente: Elaboración propia

31

0.509

7.1.6 EDIFICIO TIPO II - 4 PISOS

Figura 7.1.6: Modelo edificio tipo II – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.6.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo II – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

15.4791 17.1217 27.8502

0.4059 0.367 0.2256

0 88.292 1.1776

89.469 0 0

0 1.1776 88.292

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.6.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo II – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

6.6973 6.7974 11.6496

0.9382 0.9244 0.5394

En X En Y En 𝛉

17.1217 15.4791 27.8502

0.367 0.4059 0.2256

6.8028 6.7017 7.264

0.9236 0.9376 0.8650

Fuente: Elaboración propia

32

7.1.7 EDIFICIO TIPO II - 8 PISOS

Figura 7.1.7: Modelo edificio tipo II – 8 pisos

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.7.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo II – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

8.1495 9.0143 14.6628

0.771 0.6970 0.4285

0 84.549 1.1277

85.677 0 0

0 1.1277 84.549

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.7.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo II – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

4.5527 4.6755 7.9479

1.3801 1.3439 0.7906

En X En Y En 𝛉

9.0143 8.1495 14.6628

0.6970 0.771 0.4285

4.6811 4.5571 5.3077

1.3423 1.3788 1.1838

Fuente: Elaboración propia

33

7.1.8 EDIFICIO TIPO II – 12 PISOS Figura 7.1.8: Modelo edificio tipo II – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.8.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo II – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

5.5271 6.1136 9.9444

1.1368 1.0277 0.6318

0 83.125 1.1087

84.233 0 0

0 1.1087 83.125

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.8.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo II – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

3.5239 3.653 6.1706

1.783 1.72 1.0183

En X En Y En 𝛉

6.1136 5.5271 9.9444

1.0277 1.1368 0.6318

3.6577 3.5273 4.3818

1.7178 1.7813 1.4339

Fuente: Elaboración propia

34

7.1.9 EDIFICIO TIPO III - 1 PISO Figura 7.1.9: Modelo edificio tipo III – 1 piso

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.9.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo III – 1 piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

50.3555 53.159 97.062

0.1248 0.1182 0.0647

79.946 19.582 0.472

17.308 77.016 5.6762

2.7463 3.4019 93.852

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.9.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo III – 1 piso

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

12.1357 12.1593 21.0384

0.5177 0.5167 0.2987

En X En Y En 𝛉

50.3555 53.159 97.062

0.1248 0.1182 0.0647

12.1379 12.1602 12.3407

0.5177 0.5167 0.5091

Fuente: Elaboración propia

35

7.1.10 EDIFICIO TIPO III - 4 PISOS

Figura 7.1.10: Modelo edificio tipo III – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.10.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo III – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

17.0092 17.9561 32.7858

0.3694 0.3499 0.1916

71.527 17.52 0.4223

15.485 68.906 5.0784

2.4571 3.0436 83.969

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.10.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo III – 4 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

6.7947 6.8442 11.8174

0.9247 0.9180 0.5317

En X En Y En 𝛉

17.0092 17.9561 32.7858

0.3694 0.3499 0.1916

6.8021 6.8495 7.2578

0.9237 0.9173 0.8657

Fuente: Elaboración propia

36

7.1.11 EDIFICIO TIPO III - 8 PISOS Figura 7.1.11: Modelo edificio tipo III – 8 pisos

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta aisladores sísmicos basales

Planta estructural tipo III Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.11.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo III – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

8.9551 9.4536 17.2612

0.7016 0.6646 0.3640

68.495 16.777 0.4043

14.829 65.985 4.8631

2.3529 2.9146 80.409

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.11.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo III – 8 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

4.6717 4.7334 8.1652

1.345 1.3274 0.7695

En X En Y En 𝛉

8.9551 9.4536 17.2612

0.7016 0.6646 0.3640

4.6791 4.7389 5.2983

1.3428 1.3259 1.1859

Fuente: Elaboración propia

37

7.1.12 EDIFICIO TIPO III – 12 PISOS Figura 7.1.12: Modelo edificio tipo III – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.1.12.1: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio de base fija tipo III – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA (VER ANEXO A) 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

6.0734 6.4116 11.7068

1.0345 0.98 0.5367

67.341 16.495 0.3976

14.579 64.873 4.7812

2.3133 2.8655 79.055

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.1.12.2: Resultados de parámetros dinámicos principales de edificio con aislación basal tipo III – 12 pisos

PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL (VER ANEXO A) PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN EXACTA

PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉)

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Modo Principal

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

1 2 3

3.6486 3.7144 6.4107

1.7221 1.6916 0.9801

En X En Y En 𝛉

6.0734 6.4116 11.7068

1.0345 0.98 0.5367

3.6547 3.7191 4.3695

1.7192 1.6894 1.438

Fuente: Elaboración propia

38

7.2 PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELO DE MASAS DISTRIBUIDAS EN PLACA RÍGIDA CON AISLADORES SÍSMICOS 7.2.1 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 1 PISO Figura 7.2.1.1: Modelo Kelly (1993) de edificio de 1 piso

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.2.1.1: Masas participantes modelo Kelly (1993) de edificio de 1 piso

Masas totales edificio de 1 piso con aislación basal (tonf s2/cm) 𝒎𝒕 𝒙 𝒎𝒕 𝒚 1.05 1.05

Masa concentrada mc (tonf s2/cm) 0.2625

Masas traslacionales placa rígida (tonf s2/cm) 𝒎𝒅 𝒙 𝒎𝒅 𝒚 1.05 1.05

Momento de inercia rotacional placa rígida (tonf s2 cm) 𝑱𝒅 𝜽 467250

Fuente: Elaboración propia Figura 7.2.1.2: Sistema de aislación basal Tabla 7.2.1.2: Rigidez sistema de aislación basal

Rigidez lateral placa rígida (tonf/cm) 𝒙 𝒌𝒅 𝒌𝒅 𝒚 160 160

Rigidez torsional placa rígida (tonf cm) 𝒌𝒅 𝜽 1.424x108

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.2.1.3: Frecuencias y períodos de vibración

Tabla 7.2.1.4: Modos de vibración

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

Placa

Modo 1

Modo 2

Modo 3

1 2 3

12.3443 12.3443 17.4574

0.509 0.509 0.3599

𝒅𝒙 𝒅𝒚

0.0976 0 0

0 0.0976 0

0 0 0.0146

𝒅𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

39

7.2.2 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 4 PISOS Figura 7.2.2.1: Modelo Kelly (1993) de edificio de 4 pisos

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.2.2.1: Masas participantes modelo Kelly (1993) de edificio de 4 pisos

Masas totales edificio de 4 pisos con aislación basal (tonf s2/cm)

𝒎𝒕 𝒙 3.03

Masa concentrada mc (tonf s2/cm)

𝒎𝒕 𝒚 3.03

0.7575

Masas traslacionales placa rígida (tonf s2/cm) 𝒎𝒅 𝒙 𝒎𝒅 𝒚 3.03 3.03

Momento de inercia rotacional placa rígida (tonf s2 cm) 𝑱𝒅 𝜽 1348350

Fuente: Elaboración propia Figura 7.2.2.2: Sistema de aislación basal Tabla 7.2.2.2: Rigidez sistema de aislación basal

Rigidez lateral placa rígida (tonf/cm) 𝒙 𝒌𝒅 𝒌𝒅 𝒚 160 160

Rigidez torsional placa rígida (tonf cm) 𝒌𝒅 𝜽 1.424x108

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.2.2.3: Frecuencias y períodos de vibración

Tabla 7.2.2.4: Modos de vibración

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

Placa

Modo 1

Modo 2

Modo 3

1 2 3

7.2667 7.2667 10.2767

0.8647 0.8647 0.6114

𝒅𝒙 𝒅𝒚

0.0574 0 0

0 0.0574 0

0 0 0.0086

𝒅𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

40

7.2.3 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 8 PISOS Figura 7.2.3.1: Modelo Kelly (1993) de edificio de 8 pisos

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.2.3.1: Masas participantes modelo Kelly (1993) de edificio de 8 pisos

Masas totales edificio de 8 pisos con aislación basal (tonf s2/cm) 𝒎𝒕 𝒙 𝒎𝒕 𝒚 5.67 5.67

Masa concentrada mc (tonf s2/cm) 1.4175

Masas traslacionales placa rígida (tonf s2/cm) 𝒎𝒅 𝒙 𝒎𝒅 𝒚 5.67 5.67

Momento de inercia rotacional placa rígida (tonf s2 cm) 𝑱𝒅 𝜽 2523150

Fuente: Elaboración propia Figura 7.2.3.2: Sistema de aislación basal Tabla 7.2.3.2: Rigidez sistema de aislación basal

Rigidez lateral placa rígida (tonf/cm) 𝒙 𝒌𝒅 𝒌𝒅 𝒚 160 160

Rigidez torsional placa rígida (tonf cm) 𝒌𝒅 𝜽 1.424x108

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.2.3.3: Frecuencias y períodos de vibración

Tabla 7.2.3.4: Modos de vibración

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

Placa

Modo 1

Modo 2

Modo 3

1 2 3

5.3121 5.3121 7.5125

1.1828 1.1828 0.8364

𝒅𝒙 𝒅𝒚

0.0420 0 0

0 0.0420 0

0 0 0.0063

𝒅𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

41

7.2.4 MODELO MASAS DISTRIBUIDAS PARA EDIFICIO DE 12 PISOS Figura 7.2.4.1: Modelo Kelly (1993) de edificio de 12 pisos

Fuente: Elaboración propia Tabla 7.2.4.1: Masas participantes modelo Kelly (1993) de edificio de 12 pisos

Masas totales edificio de 12 pisos con aislación basal (tonf s2/cm) 𝒎𝒕 𝒙 𝒎𝒕 𝒚 8.31 8.31

Masa concentrada mc (tonf s2/cm) 2.0775

Masas traslacionales placa rígida (tonf s2/cm) 𝒎𝒅 𝒙 𝒎𝒅 𝒚 8.31 8.31

Momento de inercia rotacional placa rígida (tonf s2 cm) 𝑱𝒅 𝜽 3697950

Fuente: Elaboración propia Figura 7.2.4.2: Sistema de aislación basal Tabla 7.2.4.2: Rigidez sistema de aislación basal

Rigidez lateral placa rígida (tonf/cm) 𝒙 𝒌𝒅 𝒌𝒅 𝒚 160 160

Rigidez torsional placa rígida (tonf cm) 𝒌𝒅 𝜽 1.424x108

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia

Tabla 7.2.4.3: Frecuencias y períodos de vibración

Tabla 7.2.4.4: Modos de vibración

Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

Placa

Modo 1

Modo 2

Modo 3

1 2 3

4.3879 4.3879 6.2055

1.4319 1.4319 1.0125

𝒅𝒙 𝒅𝒚

0.0347 0 0

0 0.0347 0

0 0 0.0052

𝒅𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

42

Tabla 7.2.5: Comparación períodos de vibración de edificios con aislación basal Solución exacta vs. solución aproximada modelo Kelly (1993) N° pisos

1

4

8

12

Modo 𝒊

Edificio tipo I 𝐓𝒊 (s)

Edificio tipo II 𝐓𝒊 (s)

Edificio tipo III 𝐓𝒊 (s)

Modelo Kelly (1993) 𝐓𝒊 (s)

1

0.5198

0.5198

0.5177

0.509

2

0.5161

0.5177

0.5167

0.509

3

0.2993

0.2997

0.2987

0.3599

1

0.9382

0.9382

0.9247

0.8647

2

0.9137

0.9244

0.9180

0.8647

3

0.5364

0.5394

0.5317

0.6114

1

1.3801

1.3801

1.345

1.1828

2

1.3155

1.3439

1.3274

1.1828

3

0.7831

0.7906

0.7695

0.8364

1

1.7830

1.783

1.7221

1.4319

2

1.6698

1.72

1.6916

1.4319

3

1.0056

1.0183

0.9801

1.0125

Fuente: Elaboración propia

43

CAPÍTULO VIII: CONCLUSIÓN Y COMENTARIOS FINALES En este trabajo de tesis se planteó el cálculo de parámetros dinámicos de edificios con aislación sísmica basal considerando tres grados de libertad por piso para obtener un procedimiento simplificado que permite obtener valores de períodos de vibración rápidos y confiables para la etapa de prediseño. La teoría del análisis tridimensional se desarrolló mediante la implementación de la teoría de edificios de varios pisos con aislación basal de movimiento plano y se utilizó para analizar modelos estructurales con diferentes propiedades dinámicas de 1,4, 8 y 12 pisos. Los resultados de este estudio fueron obtenidos mediante simulaciones numéricas realizadas a partir de rutinas de programación realizadas en Matlab R2017a. •

A partir de los resultados obtenidos se desprende que los edificios sin excentricidad de rigidez en su planta (en toda altura) poseen un comportamiento desacoplado para cada una de las direcciones de análisis; por lo tanto, el edificio con aislación basal posee el mismo comportamiento y puede ser analizado unidireccionalmente sin la necesidad de un análisis tridimensional.

•

Según los modelos estudiados, es posible afirmar que el modo fundamental del edificio de base fija condiciona el comportamiento del sistema compuesto asumiendo una distribución uniforme de los aisladores sísmicos en la base, es decir, la dirección del modo fundamental del edificio con aisladores considerando tres grados de libertad por piso es la misma dirección que la del edificio de base fija concentrando los grandes desplazamientos en el sistema basal y aumentando su período de vibración.

•

El período fundamental de vibración del sistema con aislación basal en una dirección dada puede obtenerse sin la necesidad de usar todos los modos en la formación de las matrices de masa y rigidez. La mejor aproximación de los períodos de vibración de los modelos considerados se obtiene usando el modo fundamental del sistema de base fija, definido como el modo con mayor masa modal efectiva participante.

•

El porcentaje de variación en la aproximación considerando el período fundamental de base fija incrementa en los modelos con mayor cantidad de pisos, a medida que aumenta la altura del edificio la variación entre el valor exacto y el aproximado es mayor, sin embargo, dicha variación es menor a 0.01 s lo que se asume como despreciable. Para todas las estructuras de 1 piso consideradas el período de vibración aproximado es igual al resultado exacto.

•

Respecto al modelo de masas distribuidas sobre una placa rígida de Kelly (1993), se considera que entrega una buena aproximación del período de vibración de edificios con aislación basal de baja altura. Considerando los modelos en estudio, se experimentaron variaciones entre 0.1-0.4 s para edificios de 8 y

44

12 pisos, el modelo al despreciar la flexibilidad de la estructura aumenta el error ya que asume que toda la masa del edificio es llevada por el sistema basal. •

Luego de analizar los resultados obtenidos y verificar las pequeñas variaciones en los modelos estructurales en tres dimensiones con presencia de excentricidades, es posible afirmar que el análisis de edificios con aislación basal de movimiento plano puede ser una buena aproximación del período al considerar el modo fundamental correspondiente a la dirección en estudio.

Las posibles líneas de investigación para futuros estudios están orientadas a mejorar los procedimientos de cálculo presentados en este trabajo de tesis, considerando nuevas variaciones en las propiedades dinámicas tanto para el edificio como para el sistema de aislación basal. •

La primera recomendación es la de definir una distribución de masas adecuada para el modelo de Kelly (1993) e incluir la influencia de la altura del edificio.

•

La segunda línea de investigación es elaborar un procedimiento para determinar el período fundamental mediante la aproximación lineal del modo principal del edificio de base fija, lo que permitiría obtener el valor del período de vibración sin la necesidad de realizar previamente los cálculos de los parámetros dinámicos.

•

Finalmente, se recomiendan dos posibles líneas de estudio complementarias: la primera orientada a evaluar el efecto de la distribución no uniforme de aisladores sísmicos en la base y la segunda centrada en implementar la teoría de análisis considerando tres grados de libertad por piso en edificios con distintos tipos de aisladores (fricción, elastoméricos, etc.) de comportamiento lineal o no lineal, para analizar su respuesta ante solicitaciones sísmicas.

45

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGUIAR, R. 2008. Análisis sísmico de edificios. Ecuador, Centro de Investigaciones Científicas; Escuela Politécnica del Ejército. 322 p. BOZZO, L. M.; A. BARBAT. 1999. Diseño sismorresistente de edificios; Técnicas convencionales y avanzadas. España, Reverté. 400 p. CHANG, K. C.; Y. YANG; J. YAU. 2002. Base isolation. En: CHEN, W.F.; CH. SCAWTHORN, eds. Earthquake Engineering Handbook. CRC Press. eBook ISBN: 978-1-4200-4244-3. Ch 17. CHENG, F. Y.; H. JIANG; K. LOU. 2008. Base isolation systems. En su: Smart Structures; Innovative Systems for Seismic Response Control. CRC Press. EBook ISBN: 978-1-4200-0817-3. Ch 2. CHOPRA, A. K. 1995. Dynamics of structures; Theory and applications to earthquake engineering. United States of America, Prentice Hall. 729 p. CHU, Y.; J. SONG; G. C. LEE. 2009. Modal analysis of arbitrarily damped three-dimensional linear structures subjected to seismic excitations. Technical report MCEER-09-0001. 228 p. HERNÁNDEZ, D. 1997. Métodos numéricos para la solución de problemas de valores característicos en dinámica estructural. Tesis Maestro en Ingeniería de Estructuras. México, Universidad Veracruzana, Instituto de ingeniería. 146 p. KELLY, J. M. 1993. Earthquake-resistant design with rubber. London, Springer-Verlag. 134 p. KELLY, J. M. 2004. Seismic isolation. En: BOZORGNIA, Y.; V. BERTERO, eds. Engineering Seismology to Performance-Based Engineering. CRC Press. eBook ISBN: 978-0-2034-8624-5. Ch 11. NAEIM, F.; J. KELLY. 1999. Design of seismic isolated structures; From theory to practice. New York, John Wiley & Sons. 289 p. PAZ, M. 1992. Dinámica estructural; Teoría y cálculo. España, Reverté. 648 p. SAAVEDRA, M. 2005. Análisis de edificios con aisladores sísmicos mediante procedimientos simplificados. Tesis Ing. Civil en Obras Civiles. Valdivia, Universidad Austral de Chile, Fac. Cien. 161 p.

46

SALINAS,

B.

R.

¿2013?.

Fundamentos

del

análisis

dinámico

de

estructuras.

(Disponible

en:

http://bvpad.indeci.gob.pe/doc/pdf/esp/doc2177/doc2177.htm. Original no consultado, citado por: BAJAS, P. 2015. Comparación método pseudo tridimensional con compatibilidades verticales, versus el método de elementos finitos, con aplicación a un edificio real, conjunto Walker Martínez. Tesis Ing. Civil en Obras Civiles. Valdivia, Universidad Austral de Chile, Fac. Cien. 288 p). SKINNER, R. I.; W. ROBINSON; G. MCVERRY. 1993. An introduction to seismic isolation. England, John Wiley & Sons. 354 p.

47

ANEXOS ÍNDICE DE ANEXOS ANEXO A - RESULTADOS DE PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS ESTRUCTURALES ..................................52 A.1.1 EDIFICIO TIPO I - 1 PISO...........................................................................................................................52 A.1.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................52 A.1.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................53 A.1.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................53 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.1.2 EDIFICIO TIPO I - 4 PISOS.........................................................................................................................54 A.1.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................54 A.1.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................56 A.1.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................56 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.1.3 EDIFICIO TIPO I - 8 PISOS.........................................................................................................................57 A.1.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................57 A.1.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................59 A.1.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................59 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.1.4 EDIFICIO TIPO I – 12 PISOS .....................................................................................................................60 A.1.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................60 A.1.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................62 A.1.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................62 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.2.1 EDIFICIO TIPO II - 1 PISO .........................................................................................................................63 48

A.2.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................63 A.2.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................64 A.2.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................64 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.2.2 EDIFICIO TIPO II - 4 PISOS .......................................................................................................................65 A.2.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................65 A.2.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................67 A.2.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................67 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.2.3 EDIFICIO TIPO II - 8 PISOS .......................................................................................................................68 A.2.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................68 A.2.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................70 A.2.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................70 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.2.4 EDIFICIO TIPO II – 12 PISOS ....................................................................................................................71 A.2.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................71 A.2.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................73 A.2.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO ............................73 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.3.1 EDIFICIO TIPO III - 1 PISO ........................................................................................................................74 A.3.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................74 A.3.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................75 A.3.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................75 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) 49

A.3.2 EDIFICIO TIPO III - 4 PISOS ......................................................................................................................76 A.3.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................76 A.3.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................78 A.3.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................78 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.3.3 EDIFICIO TIPO III - 8 PISOS ......................................................................................................................79 A.3.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................79 A.3.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................81 A.3.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................81 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) A.3.4 EDIFICIO TIPO III – 12 PISOS ...................................................................................................................82 A.3.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA ...............................................................................82 A.3.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL .........................................................84 A.3.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO .............................84 FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-θ) ANEXO B - ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL CONSIDERANDO MODELO ....................................85 DE DOS GRADOS DE LIBERTAD B.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE MODELO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD ............................................85 B.2 DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN .................................................................87 DEL MODELO SIMPLIFICADO ANEXO C - KTOTALSIM (): PROGRAMA MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURA DE BASE FIJA ..................................91 CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO

50

ANEXO D - MODAL(): PROGRAMA DE ANÁLISIS MODAL PARA ESTRUCTURAS DE BASE FIJA ...............................93 CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO ANEXO E - MEFF(): PROGRAMA PARA DETERMINAR FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL .............................95 Y MASAS EFECTIVAS ANEXO F - WISO(): PROGRAMA PARA OBTENER PERÍODOS DE VIBRACIÓN DE EDIFICIOS ................................97 CON AISLACIÓN BASAL ANEXO G - WISOAPROX(): PROGRAMA PARA APROXIMAR EL PERÍODO DE VIBRACIÓN................................... 102 CONSIDERANDO EL MODO FUNDAMENTAL ANEXO H - KELLY(): PROGRAMA MODELO MASAS DISTRIBUIDAS SOBRE PLACA RÍGIDA ................................ 107

51

ANEXO A RESULTADOS DE PARÁMETROS DINÁMICOS DE MODELOS ESTRUCTURALES A.1.1 EDIFICIO TIPO I - 1 PISO

Figura A.1.1: Modelo edificio tipo I – 1 piso

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.1.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.1.1.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo I - 1 piso Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

45.8258 56.1249 84.7634

0.1371 0.112 0.0741

Factores de participación modal 𝑳𝒊

𝒙

0 7.746 0

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

7.746 0 0

0 0 42.19

Fuente: Elaboración propia Tabla A.1.1.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo I - 1 piso 𝒙

𝒚

𝜽

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

0.1371 0.112 0.0741

0 100 0

100 0 0

0 0 100

Fuente: Elaboración propia 52

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 100 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 100 100 100

𝒚

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 0 100

𝜽

Tabla A.1.1.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio tipo I - 1 piso Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

0 0.1291 0

0.1291 0 0

0 0 0.0237

𝟏𝜽

Fuente: Elaboración propia

A.1.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.1.1.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.1.1.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo I - 1 piso

con aislación basal tipo I - 1 piso

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0 0.0935 0 0 0.1005 0

1 12.0886 0.5198 2 12.1737 0.5161 3 20.9926 0.2993 4 71.4802 0.0879 5 86.9331 0.0723 6 131.8734 0.0476 Fuente: Elaboración propia

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽

Modo 2 (X)

0.0949 0 0 0.0996 0 0 Fuente: Elaboración propia

Modo 3 (𝛉) 0 0 0.0173 0 0 0.0184

A.1.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

56.1249

0.112

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

100

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

0

Modo fundamental dirección Y 𝒙

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

12.1737

0.5161

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

45.8258

0.1371

0

100

0

12.0886

0.5198

Modo fundamental dirección 𝜽 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

84.7634

0.0741

0

0

100

12.3443

0.509

53

A.1.2 EDIFICIO TIPO I - 4 PISOS

Figura A.1.2: Modelo edificio tipo I – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.1.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.1.2.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo I - 4 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15.4791 18.9579 28.6315 44.3916 54.3683 67.5599 82.1106 82.3407 82.7436 100.8464 124.9647 152.3047

0.4059 0.3314 0.2194 0.1415 0.1156 0.0930 0.0765 0.0763 0.0759 0.0623 0.0503 0.0413

Factores de participación modal 𝑳𝒊 𝒙

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

0 15.193 0 0 -4.6189 0 0 0 2.2192 0.9541 0 0

-15.193 0 0 4.6189 0 2.2192 0 0.9541 0 0 0 0

0 0 82.752 0 0 0 -25.158 0 0 0 12.087 5.1966

Fuente: Elaboración propia 54

Tabla A.1.2.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo I - 4 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.4059 0.3314 0.2194 0.1415 0.1156 0.0930 0.0765 0.0763 0.0759 0.0623 0.0503 0.0413

0 89.469 0 0 8.2691 0 0 0 1.9089 0.3528 0 0

89.469 0 0 8.2691 0 1.9089 0 0.3528 0 0 0 0

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

0 0 89.469 0 0 0 8.2691 0 0 0 1.9089 0.3528

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 89.469 89.469 89.469 97.738 97.738 97.738 97.738 99.647 100 100 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 89.469 89.469 89.469 97.738 97.738 99.647 99.647 100 100 100 100 100

𝒚

Fuente: Elaboración propia

Tabla A.1.2.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo I - 4 pisos Piso 𝒊 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

0 0.0289 -0.0289 0 0 0 0 0.0542 -0.0542 0 0 0 0 0.0726 -0.0726 0 0 0 0 0.0820 -0.0820 0 0 0 Fuente: Elaboración propia

55

Modo 3 (𝛉) 0 0 0.0053 0 0 0.0099 0 0 0.0133 0 0 0.0151

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 0 89.469 89.469 89.469 89.469 97.738 97.738 97.738 97.738 99.647 100

𝜽

A.1.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.1.2.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.1.2.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo I - 4 pisos

con aislación basal tipo I - 4 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6.6973 6.8766 11.7127 30.9398 37.2240 55.6252 56.8596 67.7672 74.0747 84.4201 90.5028 102.6883 103.3021 136.8913 156.0991

0.9382 0.9137 0.5364 0.2031 0.1688 0.113 0.1105 0.0927 0.0848 0.0744 0.0694 0.0612 0.0608 0.0458 0.0403

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0 0.0486 0 0 0.0540 0 0 0.0582 0 0 0.0609 0 0 0.0623 0

0.0514 0 0 0.0551 0 0 0.0580 0 0 0.0599 0 0 0.0608 0 0

0 0 0.0091 0 0 0.0100 0 0 0.0107 0 0 0.0111 0 0 0.0113

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

A.1.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

18.9579

0.3314

89.469

0

0

6.8801

0.9132

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

15.4791

0.4059

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

89.469

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

0

Modo fundamental dirección 𝜽 𝒙

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

6.7017

0.9376

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

28.6315

0.2194

0

0

89.469

7.2667

0.8647

56

A.1.3 EDIFICIO TIPO I - 8 PISOS

Figura A.1.3: Modelo edificio tipo I – 8 pisos

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.1.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.1.3.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo I - 8 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

8.1495 9.9811 15.0741

Factores de participación modal 𝑳𝒊 𝒙

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

0.771 0.6295 0.4168

0 21.148 0

-21.148 0 0

0 0 -115.186

53.0457 64.9250 64.9674

0.1184 0.0968 0.0967

0 0 2.5847

2.5847 -1.7750 0

0 0 0

91.3021 98.1180

0.0688 0.0640

1.2024 0

0 0

0 14.078

150.9683 158.9535

0.0416 0 0.0395 0 Fuente: Elaboración propia

0 0

-4.0875 -1.9688

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

57

Tabla A.1.3.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo I - 8 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

0.771 0.6295 0.4168

0 85.677 0

85.677 0 0

0 0 85.677

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 85.677 85.677

0.1184 0.0968 0.0967

0 0 1.2798

1.2798 0.6036 0

0 0 0

97.707 97.707 98.987

98.987 99.590 99.590

94.752 94.752 94.752

0.0688 0.0640

0.277 0

0 0

0 1.2798

99.867 99.867

100 100

97.707 98.987

0.0416 0.0395

0 0

100 100

100 100

99.975 100

𝒙

𝒚

𝜽

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 85.677 85.677 85.677

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 0 85.677

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

0 0.1079 0 0.0250 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.1.3.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo I - 8 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

0 -0.0111 0 0 -0.0219

0.0111 0 0 0.0219 0

0 0 -0.0020 0 0

-0.0319 0 0 -0.0408 0 0 -0.0483 0 0 -0.0540 0

0 0 0.0408 0 0 0.0483 0 0 0.0540 0 0

0 -0.0059 0 0 -0.0075 0 0 -0.0089 0 0 -0.0099

0 -0.0599 0

0.0599 0 0

0 0 -0.0110

𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 ⋮ 𝟑𝒚 𝜽

𝟑 𝟒𝒙 𝟒𝒚

𝟒𝜽 𝟓𝒙 𝟓𝒚 𝟓𝜽 𝟔𝒙 𝟔𝒚 𝟔𝜽 ⋮ 𝟖𝒙 𝟖𝒚 𝟖𝜽

Fuente: Elaboración propia

58

𝜽

A.1.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.1.3.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo I - 8 pisos

Tabla A.1.3.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo I - 8 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3

4.5527 4.7764 8.0234

1.3801 1.3155 0.7831

𝐛𝐱 𝐛𝐲

46.0130 56.1108 58.4938

0.1366 0.112 0.1074

0 0.0306 0 0 0.0342 0 0 0.0375

0.0338 0 0 0.0365 0 0 0.0389 0

0 0 0.0058 0 0 0.0064 0 0

84.3996 84.9739 86.3449

0.0744 0.0739 0.0728

0 0 0.0428 0 0 0.0448 0 0 0.0463 0

0 0.0427 0 0 0.0441 0 0 0.0452 0 0

0.0075 0 0 0.0079 0 0 0.0082 0 0 0.0084

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

9 10 11

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮

⋮

17 18 19

𝟑𝛉 𝟒𝐱 𝟒𝐲

⋮

25 142.8787 0.044 26 153.5757 0.0409 27 159.6977 0.0393 Fuente: Elaboración propia

𝟒𝛉 𝟓𝐱 𝟓𝐲 𝟓𝛉 𝟔𝐱 𝟔𝐲 𝟔𝛉 ⋮ 𝟖𝐱 𝟖𝐲

0 0.0462 0.0478 0 0 0 Fuente: Elaboración propia

𝟖𝛉

0 0 0.0087

A.1.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

9.9811

0.6295

85.677

0

0

4.7805

1.3143

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

8.1495

0.771

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

0

4.5571

1.3788

85.677

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

15.0741

0.4168

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

0

(%)

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0 59

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%) 85.677

𝑱

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

5.3121

1.1828

A.1.4 EDIFICIO TIPO I – 12 PISOS Figura A.1.4: Modelo edificio tipo I – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo I

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.1.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.1.4.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo I - 12 pisos Factores de participación modal Modo 𝒊 𝛚𝐢 (rad/s) 𝐓𝐢 (s) 𝒙 𝒚 𝜽 1 2 3 ⋮ 13 14 15 ⋮ 24 25 ⋮ 35 36

𝑳𝒊

𝑳𝒊

𝑳𝒊

5.5270 6.7693 10.2234

1.1368 0.9282 0.6146

0 -25.731 0

25.731 0 0

0 0 140.148

55.9612 57.6611 63.9409

0.1123 0.109 0.0983

0 2.5456 0

1.9508 0 -1.5138

0 0 0

86.8308 87.0835

0.0724 0.0722

1.1698 0

0 0

0 -13.865

156.6431 160.3849

0.0401 0 0.0392 0 Fuente: Elaboración propia

0 0

-2.2442 -1.1035

60

Tabla A.1.4.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo I - 12 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

1.1368 0.9282 0.6146

0 84.233 0

84.233 0 0

0 0 84.233

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 84.233 84.233

0.1123 0.109 0.0983

0 0.8244 0

0.4842 0 0.2915

0 0 0

98.048 98.873 98.873

99.357 99.357 99.648

96.546 96.546 96.546

0.0724 0.0722

0.1741 0

0 0

0 0.8244

99.822 99.822

100 100

98.048 98.873

0.0401 0.0392

0 0

100 100

100 100

99.995 100

𝒙

𝒚

𝜽

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 84.233 84.233 84.233

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 0 84.233

⋮

13 14 15 ⋮

24 25 ⋮

35 36

0 0.0216 0 0.0052 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.1.4.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo I - 12 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝐱 𝟏𝐲

0 0.0062 0 0 0.0124

-0.0062 0 0 -0.0124 0

0 0 0.0011 0 0

0.0240 0 0 0.0292 0

0 0 -0.0292 0 0

0 0.0044 0 0 0.0054

0 0 0.0449 0 0

0 -0.0449 0 0 -0.0471

0.0077 0 0 0.0082 0

0 0.0493 0

-0.0493 0 0

0 0 0.0091

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲 𝛉

𝟒 𝟓𝐱 𝟓𝐲

𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 𝟏𝟎 𝐱 ⋮ 𝟏𝟐 𝐱 𝟏𝟐𝐲 𝟏𝟐𝛉

Fuente: Elaboración propia 61

𝜽

A.1.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.1.4.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo I - 12 pisos

Tabla A.1.4.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo I - 12 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3

3.5239 3.7628 6.2483

1.7830 1.6698 1.0056

𝐛𝐱 𝐛𝐲

51.4889 59.5407 59.9857

0.1220 0.1055 0.1047

0 0.0221 0 0 0.0248 0 0 0.0273

0.0253 0 0 0.0274 0 0 0.0293 0

0 0 0.0043 0 0 0.0047 0 0

82.4095 85.2165 86.8534

0.0762 0.0737 0.0723

0.0318 0 0 0.0338 0

0 0 0.0341 0 0

0 0.0059 0 0 0.0062

0 0 0.0393 0

0 0.0382 0 0

0.0070 0 0 0.0072

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

14 15 16

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲

⋮

24 25 26

𝛉

𝟒 𝟓𝐱 𝟓𝐲

⋮

37 152.4027 0.0412 38 157.6068 0.0399 39 160.6464 0.0391 Fuente: Elaboración propia

𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 ⋮ 𝟏𝟐𝐱 𝟏𝟐𝐲

0 0.0394 0.0409 0 0 0 Fuente: Elaboración propia

𝟏𝟐𝛉

0 0 0.0074

A.1.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

6.7693

0.9282

84.233

0

0

3.7664

1.6682

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

5.5271

1.1368

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

0

3.5273

1.7813

84.233

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

10.2234

0.6146

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

0

(%)

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

84.233 62

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

4.3879

1.4319

A.2.1 EDIFICIO TIPO II - 1 PISO Figura A.2.1: Modelo edificio tipo II – 1 piso

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.2.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.2.1.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo II - 1 piso Factores de participación modal Modo 𝒊 𝛚𝐢 (rad/s) 𝐓𝐢 (s) 𝒙 𝒚 𝑳𝒊

1 2 3

45.8258 50.6887 82.4504

0.1371 0 0.124 7.694 0.0762 0.8887 Fuente: Elaboración propia

𝑳𝒊

𝑳𝒊 𝜽

-7.746 0 0

0 -4.8403 41.912

Tabla A.2.1.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo II - 1 piso Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

0.1371 0.124 0.0762

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0 98.684 1.3162

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒚

(%)

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

100 0 0 1.3162 0 98.684 Fuente: Elaboración propia

63

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 98.684 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 100 100 100

𝒚

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 1.3162 100

𝜽

Tabla A.2.1.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo II - 1 piso Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

0 -0.1291 0

0.1282 0 -0.0027

0.0148 0 0.0235

𝟏𝜽

Fuente: Elaboración propia

A.2.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.2.1.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.2.1.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo II - 1 piso

con aislación basal tipo II - 1 piso

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3 4 5 6

12.0886 12.1369 20.9615 71.4802 78.7977 128.3891

0.5198 0.5177 0.2997 0.0879 0.0797 0.0489

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0 0.0935 0 0 0.1005 0

0.0943 0 0 0.1000 0 -0.0001

0.0011 0 0.0172 -0.0002 0 0.0184

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

A.2.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

50.6887

0.124

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

𝑴

98.684

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

0

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

1.3162

Modo fundamental dirección Y 𝒙

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

12.1378

0.5177

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

45.8258

0.1371

0

100

0

12.0886

0.5198

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

82.4504

0.0762

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

1.3162

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0

64

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

98.684

12.3432

0.509

A.2.2 EDIFICIO TIPO II - 4 PISOS

Figura A.2.2: Modelo edificio tipo II – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.2.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.2.2.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo II - 4 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15.4791 17.1217 27.8502 44.3916 49.1023 67.5599 74.7292 79.87 82.3407 91.0785 121.5548 148.1488

Factores de participación modal

𝐓𝐢 (s)

𝑳𝒊 𝒙

0.4059 0 0.367 -15.093 0.2256 1.7430 0.1415 0 0.128 4.5884 0.0930 0 0.0841 -2.2046 0.0787 0.5299 0.0763 0 0.069 0.9478 0.0517 0.2546 0.0424 -0.1095 Fuente: Elaboración propia 65

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

15.193 0 0 4.6189 0 -2.2192 0 0 -0.9541 0 0 0

0 9.4939 82.2061 0 -2.8863 0 1.3868 24.992 0 -0.5962 12.008 -5.1623

Tabla A.2.2.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo II – 4 pisos Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.4059 0.367 0.2256 0.1415 0.128 0.0930 0.0841 0.0787 0.0763 0.069 0.0517 0.0424

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0 88.292 1.1776 0 8.1603 0 1.8838 0.1088 0 0.3482 0.0251 0.0046

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒚

(%)

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

89.469 0 0 1.1776 0 88.292 8.2691 0 0 0.1088 1.9089 0 0 0.0251 0 8.160 0.3528 0 0 0.0046 0 1.8838 0 0.3482 Fuente: Elaboración propia

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 88.292 89.469 89.469 97.63 97.63 99.513 99.622 99.622 99.970 99.995 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 89.469 89.469 89.469 97.738 97.738 99.647 99.647 99.647 100 100 100 100

𝒚

Tabla A.2.2.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo II - 4 pisos Piso 𝒊 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

0 -0.0287 0.0289 0 0 0.0006 0 -0.0538 0.0542 0 0 0.0011 0 -0.0721 0.0726 0 0 0.0015 0 -0.0814 0.0820 0 0 0.0017 Fuente: Elaboración propia

66

Modo 3 (𝛉) 0.0033 0 0.0053 0.0062 0 0.0099 0.0083 0 0.0132 0.0094 0 0.0150

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 1.1776 89.469 89.469 89.578 89.578 89.603 97.763 97.763 97.768 99.652 100

𝜽

A.2.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.2.2.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.2.2.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo II - 4 pisos

con aislación basal tipo II - 4 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6.6973 6.7974 11.6496 30.9398 33.931 55.4255 55.6252 61.3762 74.0747 81.8385 84.4201 93.3375 99.9547 133.197 151.8567

0.9382 0.9244 0.5394 0.2031 0.1852 0.1134 0.113 0.1024 0.0848 0.0768 0.0744 0.0673 0.0629 0.0472 0.0414

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0 0.0486 0 0 0.0540 0 0 0.0582 0 0 0.0609 0 0 0.0623 0

0.0501 0 0 0.0546 0 -0.0001 0.0581 0 -0.0002 0.0604 0 -0.0002 0.0614 0 -0.0002

0.0022 0 0.0090 0.0014 0 0.0100 0.0007 0 0.0107 0.0003 0 0.0112 0 0 0.0114

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

A.2.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

17.1217

0.367

88.292

0

1.1776

6.8028

0.9236

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

15.4791

0.4059

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

0

6.7017

0.9376

89.469

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

27.8502

0.2256

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

1.1776

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0

67

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%) 88.292

𝑱

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

7.264

0.8650

A.2.3 EDIFICIO TIPO II - 8 PISOS

Figura A.2.3: Modelo edificio tipo II – 8 pisos

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.2.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.2.3.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo II - 8 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

8.1495 9.0143 14.6628

Factores de participación modal 𝑳𝒊 𝒙

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

0.771 0.6970 0.4285

0 -21.008 -2.4262

-21.148 0 0

0 13.215 -114.426

53.0457 58.6748 64.925

0.1185 0.1071 0.0968

0 -2.5676 0

-2.5847 0 -1.7750

0 1.6151 0

85.9353 90.2793

0.0731 0.0696

0 -0.7455

-0.3615 0

0 0.4689

146.8488 154.6162

0.0428 0.0861 0.0406 0.0415 Fuente: Elaboración propia

0 0

4.0605 1.9558

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

68

Tabla A.2.3.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo II – 8 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

0.771 0.6970 0.4285

0 84.549 1.1277

85.677 0 0

0 1.1277 84.549

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 84.549 85.677

0.1185 0.1071 0.0968

0 1.263 0

1.2798 0 0.6036

0 0.0168 0

97.668 98.931 98.931

98.987 98.987 99.590

94.791 94.807 94.807

0.0731 0.0696

0 0.1065

0.0250 0

0 0.0014

99.839 99.945

100 100

97.735 97.737

0.0428 0.0406

0.0014 0

100 100

100 100

99.975 100

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

𝑴𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝒚

(%)

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 85.677 85.677 85.677

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 1.1277 85.677

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

0 0.1065 0 0.0247 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.2.3.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo II - 8 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

0 -0.0111 0 0 -0.0219

-0.0111 0 0.0002 -0.0218 0

-0.0013 0 -0.0020 -0.0025 0

-0.0319 0 0 -0.0408 0 0 -0.0483 0 0 -0.0540 0

0 0.0007 -0.0405 0 0.0009 -0.0479 0 0.0010 -0.0537 0 0.0011

0 -0.0058 -0.0047 0 -0.0074 -0.0055 0 -0.0088 -0.0062 0 -0.0099

0 -0.0599 0

-0.0595 0 0.0013

-0.0069 0 -0.0109

𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 ⋮ 𝟑𝒚 𝜽

𝟑 𝟒𝒙 𝟒𝒚

𝟒𝜽 𝟓𝒙 𝟓𝒚 𝟓𝜽 𝟔𝒙 𝟔𝒚 𝟔𝜽 ⋮ 𝟖𝒙 𝟖𝒚 𝟖𝜽

Fuente: Elaboración propia 69

𝜽

A.2.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.2.3.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo II - 8 pisos

Tabla A.2.3.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo II - 8 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3

4.5527 4.6755 7.9479

1.3801 1.3439 0.7906

𝐛𝐱 𝐛𝐲

46.013 50.7877 57.5852

0.1366 0.1237 0.1091

0 0.0306 0 0 0.0342 0 0 0.0375

0.0323 0 0 0.0355 0 -0.0001 0.0383 0

0.0026 0 0.0057 0.0022 0 0.0063 0.0018 0

82.6999 83.0487 85.4321

0.076 0.0757 0.0735

0 0 0.0428 0 0 0.0448 0 0 0.0463 0

-0.0002 0.0428 0 -0.0002 0.0444 0 -0.0002 0.0457 0 -0.0003

0.0074 0.0010 0 0.0079 0.0007 0 0.0082 0.0005 0 0.0085

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

9 10 11

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮

⋮

17 18 19

𝟑𝛉 𝟒𝐱 𝟒𝐲

⋮

25 139 0.0452 26 149.3977 0.0421 27 155.3444 0.0404 Fuente: Elaboración propia

𝟒𝛉 𝟓𝐱 𝟓𝐲 𝟓𝛉 𝟔𝐱 𝟔𝐲 𝟔𝛉 ⋮ 𝟖𝐱 𝟖𝐲

0 0.0478 0

𝟖𝛉

0.0469 0 -0.0003 Fuente: Elaboración propia

0.0003 0 0.0087

A.2.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

9.0143

0.6970

84.549

0

1.1277

4.6811

1.3423

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

8.1495

0.771

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

0

4.5571

1.3788

85.677

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

14.6628

0.4285

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

1.1277

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0 70

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%) 84.549

𝑱

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

5.3077

1.1838

A.2.4 EDIFICIO TIPO II – 12 PISOS Figura A.2.4: Modelo edificio tipo II – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo II

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.2.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.2.4.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo II - 12 pisos Factores de participación modal Modo 𝒊 𝛚𝐢 (rad/s) 𝐓𝐢 (s) 𝒙 𝒚 𝜽 1 2 3 ⋮ 13 14 15 ⋮ 24 25 ⋮ 35 36

𝑳𝒊

𝑳𝒊

𝑳𝒊

5.5271 6.1136 9.9444

1.1368 1.0277 0.6318

0 -25.561 2.952

25.731 0 0

0 16.079 139.223

52.0761 55.9612 61.8996

0.1207 0.1123 0.1015

2.5288 0 1.9379

0 -1.9508 0

-1.5907 0 -1.2190

84.7073 84.8679

0.0742 0.0740

-0.2920 0.8782

0 0

-13.773 -0.5524

152.3688 156.0085

0.0412 -0.0473 0.0403 -0.0232 Fuente: Elaboración propia

0 0

-2.2293 -1.0962

71

Tabla A.2.4.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo II – 12 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

1.1368 1.0277 0.6318

0 83.125 1.1087

84.233 0 0

0 1.1087 83.125

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 83.125 84.233

0.1207 0.1123 0.1015

0.8136 0 0.4778

0 0.4842 0

0.0109 0 0.0064

98.842 98.842 99.32

98.873 99.357 99.357

96.577 96.577 96.583

0.0742 0.0740

0.0109 0.0981

0 0

0.8136 0.0013

99.81 99.908

99.995 99.995

98.885 98.886

0.0412 0.0403

0.0003 0

100 100

100 100

99.995 100

𝒙

𝒚

𝜽

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 84.233 84.233 84.233

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 0 1.1087 84.233

⋮

13 14 15 ⋮

24 25 ⋮

35 36

0 0.0213 0 0.0052 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.2.4.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo II - 12 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

𝟏𝐱 𝟏𝐲

0 0.0062 0 0 0.0124

-0.0062 0 0.0001 -0.0123 0

0.0007 0 0.0011 0.0014 0

0.0240 0 0 0.0292 0

0 0.0005 -0.0290 0 0.0006

0 0.0044 0.0034 0 0.0053

0 0 0.0449 0 0

0.0009 -0.0446 0 0.0009 -0.0468

0.0076 0.0051 0 0.0082 0.0054

0 0.0493 0

-0.0490 0 0.0010

0.0057 0 0.0090

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲 𝛉

𝟒 𝟓𝐱 𝟓𝐲

𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 𝟏𝟎 𝐱 ⋮ 𝟏𝟐 𝐱 𝟏𝟐𝐲 𝟏𝟐𝛉

Fuente: Elaboración propia 72

𝜽

A.2.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.2.4.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo II - 12 pisos

Tabla A.2.4.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo II - 12 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (Y)

Modo 2 (X)

Modo 3 (𝛉)

1 2 3

3.5239 3.653 6.1706

1.783 1.72 1.0183

𝐛𝐱 𝐛𝐲

51.2593 56.6309 58.3957

0.1226 0.111 0.1076

0 0.0221 0 0 0.0248 0 0 0.0273

0.0238 0 0 0.0261 0 -0.0001 0.0283 0

0.0027 0 0.0041 0.0024 0 0.0046 0.0022 0

80.943 82.4095 85.2165

0.0776 0.0762 0.0737

0.0318 0 0 0.0338 0

0 -0.0002 0.0340 0 -0.0002

0 0.0059 0.0015 0 0.0062

0 0 0.0393 0

-0.0003 0.0387 0 -0.0003

0.0070 0.0007 0 0.0072

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

14 15 16

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲

⋮

24 25 26

𝛉

𝟒 𝟓𝐱 𝟓𝐲

⋮

37 148.2537 0.0424 38 153.3118 0.041 39 156.2645 0.0402 Fuente: Elaboración propia

𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 ⋮ 𝟏𝟐𝐱 𝟏𝟐𝐲

0 0.0400 0.0409 0 0 -0.0003 Fuente: Elaboración propia

𝟏𝟐𝛉

0.0005 0 0.0075

A.2.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

6.1136

1.0277

83.125

0

1.1087

3.6577

1.7178

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

5.5271

1.1368

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

0

3.5273

1.7813

84.233

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

9.9444

0.6318

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

1.1087

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

0

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

83.125 73

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

4.3818

1.4339

A.3.1 EDIFICIO TIPO III - 1 PISO Figura A.3.1: Modelo edificio tipo III – 1 piso

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.3.1.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.3.1.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo III - 1 piso Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

1 2 3

50.3555 53.159 97.062

Factores de participación modal

𝐓𝐢 (s)

𝑳𝒊 𝒙

0.1248 -6.9259 0.1182 -3.4277 0.0647 -0.5322 Fuente: Elaboración propia

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

3.2225 -6.7978 1.8455

6.9917 -7.7816 -40.873

Tabla A.3.1.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo III – 1 piso 𝒙

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

0.1248 0.1182 0.0647

79.946 19.582 0.472

𝒚

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

17.308 2.7463 77.016 3.4019 5.6762 93.852 Fuente: Elaboración propia

74

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 79.946 99.528 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 17.308 94.324 100

𝒚

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 2.7463 6.1481 100

𝜽

Tabla A.3.1.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo III - 1 piso Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

-0.1154 0.0537 0.0039

-0.0571 -0.1133 -0.0044

-0.0089 0.0308 -0.0230

𝟏𝜽

Fuente: Elaboración propia

A.3.1.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.3.1.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.3.1.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo IIII - 1 piso

con aislación basal tipo III - 1 piso

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

1 2 3 4 5 6

12.1357 12.1593 21.0384 78.3371 82.5623 150.2647

0.5177 0.5167 0.2987 0.0802 0.0761 0.0418

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0.0909 -0.0251 0 0.0964 -0.0266 -0.0001

0.0252 0.0912 0 0.0266 0.0961 0.0002

0.0009 -0.0024 0.0173 -0.0001 0.0003 0.0183

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽

A.3.1.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

50.3555

0.1248

79.946

17.308

2.7463

12.1379

0.5177

Modo fundamental dirección Y 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

53.159

0.1182

19.582

77.016

3.4019

12.1602

0.5167

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

97.062

0.0647

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0.472

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

5.6762

75

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

93.852

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

12.3407

0.5091

A.3.2 EDIFICIO TIPO III - 4 PISOS

Figura A.3.2: Modelo edificio tipo III – 4 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.3.2.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.3.2.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo III - 4 pisos Factores de participación modal Modo 𝒊 𝛚𝐢 (rad/s) 𝐓𝐢 (s) 𝒙 𝒚 𝜽 𝑳𝒊

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

17.0092 17.9561 32.7858 48.7795 51.4952 74.238 78.3711 90.4799 94.0243 95.5172 143.0963 174.4032

0.3694 13.585 0.3499 6.7232 0.1916 -1.0438 0.1288 -4.1299 0.1220 2.0439 0.0846 -1.9843 0.0802 0.9820 0.0694 -0.8531 0.0668 0.3173 0.0658 0.4222 0.0439 -0.1525 0.0360 -0.0655 Fuente: Elaboración propia

76

𝑳𝒊

𝑳𝒊

-6.3207 13.333 3.6197 1.9216 4.0535 0.9233 1.9476 0.3969 -1.1004 0.8373 0.5287 0.2273

-13.714 15.263 -80.168 4.1691 4.6402 2.0031 2.2294 0.8612 24.372 0.9585 -11.71 -5.0343

Tabla A.3.2.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo III – 4 pisos 𝒙

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.3694 0.3499 0.1916 0.1288 0.1220 0.0846 0.0802 0.0694 0.0668 0.0658 0.0439 0.0360

71.527 17.52 0.4223 6.6109 1.6193 1.5261 0.3738 0.2821 0.0390 0.0691 0.0090 0.0017

𝒚

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

15.485 2.4571 68.906 3.0436 5.0784 83.969 1.4312 0.2271 6.3686 0.2813 0.3304 0.0524 1.4702 0.0649 0.0611 0.0097 0.4694 7.7607 0.2717 0.0120 0.1084 1.7915 0.0200 0.3311 Fuente: Elaboración propia

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 71.527 89.047 89.469 96.08 97.699 99.225 99.599 99.881 99.920 99.989 99.998 100

𝒙

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 15.485 84.391 89.469 90.900 97.269 97.599 99.07 99.131 99.6 99.872 99.98 100

𝒚

Tabla A.3.2.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo III - 4 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

0.0258 -0.0120 -0.0009 0.0484 -0.0225 -0.0016 0.0649 -0.0302 -0.0022 0.0733 -0.0341 -0.0025

0.0128 0.0254 0.0010 0.0240 0.0475 0.0018 0.0321 0.0637 0.0025 0.0363 0.0719 0.0028

-0.0020 0.0069 -0.0051 -0.0037 0.0129 -0.0096 -0.0050 0.0173 -0.0129 -0.0056 0.0195 -0.0146

𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Fuente: Elaboración propia

77

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 2.4571 5.5007 89.469 89.696 89.978 90.03 90.095 90.105 97.865 97.877 99.669 100

𝜽

A.3.2.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.3.2.4: Períodos de vibración edificio

Tabla A.3.2.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio

con aislación basal tipo IIII - 4 pisos

con aislación basal tipo III - 4 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6.7947 6.8442 11.8174 33.7677 35.5034 60.9804 64.0309 64.5893 81.3226 85.8 92.7333 97.8752 117.153 156.4876 178.6387

0.9247 0.9180 0.5317 0.1861 0.177 0.1030 0.0981 0.0973 0.0773 0.0732 0.0678 0.0642 0.0536 0.0402 0.0352

𝒃𝒙 𝒃𝒚

0.0481 -0.0142 -0.0001 0.0524 -0.0154 -0.0001 0.0557 -0.0164 -0.0002 0.0579 -0.0171 -0.0003 0.0590 -0.0174 -0.0003

0.0144 0.0488 0.0001 0.0155 0.0527 0.0002 0.0164 0.0556 0.0003 0.0170 0.0576 0.0003 0.0173 0.0586 0.0004

0.0018 -0.0049 0.0093 0.0011 -0.0030 0.0100 0.0006 -0.0016 0.0106 0.0002 -0.0005 0.0110 0 0 0.0112

𝒃𝜽 𝟏𝒙 𝟏𝒚 𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝜽 𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝜽 𝟒𝒙 𝟒𝒚 𝟒𝜽

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia

A.3.2.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

17.0092

0.3694

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

71.527

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

15.485

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%) 2.4571

𝑱

Modo fundamental dirección Y 𝒙

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

6.8021

0.9237

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

17.9561

0.3499

17.52

68.906

3.0436

6.8495

0.9173

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

32.7858

0.1916

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0.4223

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

5.0784 78

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

83.969

7.2578

0.8657

A.3.3 EDIFICIO TIPO III - 8 PISOS

Figura A.3.3: Modelo edificio tipo III – 8 pisos

Edificio con aislación basal

Edificio de base fija

Planta aisladores sísmicos basales

Planta estructural tipo III Fuente: Elaboración propia

A.3.3.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.3.3.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo III - 8 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3

8.9551 9.4536 17.2612

Factores de participación modal 𝑳𝒊 𝒙

𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

0.7016 0.6646 0.3640

-18.909 -9.3582 1.4529

8.7980 -18.559 -5.0384

19.089 -21.245 111.589

58.2891 61.5343 71.3426

0.1078 0.1021 0.0881

2.3110 1.1437 1.5871

-1.0753 2.2683 -0.7385

-2.333 2.5966 -1.6022

94.4298 94.6791

0.0665 0.0664

0.3232 -0.3321

-0.1504 -0.6586

-0.3263 -0.7539

172.8729 182.0167

0.0363 -0.0516 0.0345 0.0248 Fuente: Elaboración propia

0.1788 -0.0861

-3.9598 1.9073

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

79

Tabla A.3.3.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo III – 8 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

0.7016 0.6646 0.3640

68.495 16.777 0.4043

14.829 65.985 4.8631

2.3529 2.9146 80.409

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 68.495 85.272 85.677

0.1078 0.1021 0.0880

1.0231 0.2506 0.4826

0.2215 0.9857 0.1045

0.0351 0.0435 0.0166

98.716 98.967 99.449

97.761 98.746 98.851

94.968 95.012 95.029

0.0665 0.0664

0.0200 0.0211

0.0043 0.0831

0.0007 0.0037

99.963 99.984

99.768 99.851

97.843 97.847

0.0363 0.0345

0.0005 0

100 100

99.999 100

99.977 100

𝒙

𝒚

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 14.829 80.813 85.677

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 2.3529 5.2675 85.677

⋮

9 10 11 ⋮

17 18 ⋮

23 24

0.0061 0.1013 0.0014 0.0235 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.3.3.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo III - 8 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

𝟏𝒙 𝟏𝒚

-0.0100 0.0046 0.0003 -0.0196 0.0091

-0.0049 -0.0098 -0.0004 -0.0097 -0.0192

0.0008 -0.0027 0.0020 0.0015 -0.0052

0.0133 0.0010 -0.0365 0.0170 0.0012 -0.0431 0.0201 0.0015 -0.0483 0.0225 0.0016

-0.0280 -0.0011 -0.0181 -0.0358 -0.0014 -0.0214 -0.0424 -0.0016 -0.0239 -0.0474 -0.0018

-0.0076 0.0057 0.0028 -0.0097 0.0073 0.0033 -0.0115 0.0086 0.0037 -0.0129 0.0096

-0.0535 0.0249 0.0018

-0.0265 -0.0525 -0.0020

0.0041 -0.0143 0.0106

𝟏𝜽 𝟐𝒙 𝟐𝒚 ⋮ 𝟑𝒚 𝜽

𝟑 𝟒𝒙 𝟒𝒚

𝟒𝜽 𝟓𝒙 𝟓𝒚 𝟓𝜽 𝟔𝒙 𝟔𝒚 𝟔𝜽 ⋮ 𝟖𝒙 𝟖𝒚 𝟖𝜽

Fuente: Elaboración propia 80

𝜽

A.3.3.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.3.3.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo IIII - 8 pisos

Tabla A.3.3.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo III - 8 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

1 2 3

4.6717 4.7334 8.1652

1.345 1.3274 0.7695

𝐛𝐱 𝐛𝐲

50.4783 53.2331 64.2073

0.1245 0.1180 0.0979

0.0308 -0.0097 -0.0001 0.0338 -0.0106 -0.0001 0.0364 -0.0115

0.0100 0.0316 0.0001 0.0109 0.0343 0.0002 0.0117 0.0368

0.0022 -0.0060 0.0060 0.0018 -0.0049 0.0066 0.0014 -0.0040

89.5796 91.2338 94.8709

0.0701 0.0689 0.0662

-0.0002 0.0408 -0.0129 -0.0003 0.0424 -0.0134 -0.0003 0.0436 -0.0137 -0.0003

0.0003 0.0129 0.0407 0.0004 0.0134 0.0421 0.0004 0.0137 0.0432 0.0005

0.0075 0.0008 -0.0022 0.0078 0.0005 -0.0015 0.0081 0.0003 -0.0010 0.0083

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

9 10 11

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮

⋮

17 18 19

𝟑𝛉 𝟒𝐱 𝟒𝐲

⋮

25 163.4803 0.0384 26 175.7771 0.0357 27 182.8407 0.0344 Fuente: Elaboración propia

𝟒𝛉 𝟓𝐱 𝟓𝐲 𝟓𝛉 𝟔𝐱 𝟔𝐲 𝟔𝛉 ⋮ 𝟖𝐱 𝟖𝐲

0.0447 0.0141 -0.0141 0.0443 -0.0004 0.0005 Fuente: Elaboración propia

𝟖𝛉

0.0001 -0.0004 0.0085

A.3.3.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

8.9551

0.7016

68.495

14.829

2.3529

4.6791

1.3428

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

9.4536

0.6646

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

16.777

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

65.985

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

2.9146

4.7389

1.3259

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

17.2612

0.3640

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0.4043

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

4.8631 81

𝑱

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

80.409

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

5.2983

1.1859

A.3.4 EDIFICIO TIPO III – 12 PISOS Figura A.3.4: Modelo edificio tipo III – 12 pisos

Edificio de base fija

Edificio con aislación basal

Planta estructural tipo III

Planta aisladores sísmicos basales Fuente: Elaboración propia

A.3.4.1 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO BASE FIJA Tabla A.3.4.1: Períodos de vibración y factores de participación modal edificio base fija tipo III - 12 pisos Modo 𝒊

𝛚𝐢 (rad/s)

𝐓𝐢 (s)

1 2 3 ⋮ 13 14 15 ⋮ 24 25 ⋮ 35 36

6.0734 6.4116 11.7068

1.0345 0.98 0.5367

57.5807 61.4928 64.9163

Factores de participación modal 𝑳𝒊 𝒚

𝑳𝒊 𝜽

-23.007 11.386 -1.7677

10.705 22.581 6.1303

23.225 25.849 -135.772

0.1091 0.1022 0.0968

0.3421 1.7443 0.8633

-1.1863 -0.8116 1.7120

26.273 -1.7608 1.9598

93.0572 94.3606

0.0675 0.0666

0.3684 -0.2814

-0.1714 -0.5581

-0.3719 -0.6389

179.3711 183.6557

0.0350 0.0283 0.0342 -0.0139 Fuente: Elaboración propia

-0.0982 0.0483

2.1741 -1.0690

𝑳𝒊

82

𝒙

Tabla A.3.4.2: Masas modales efectivas edificio base fija tipo III – 12 pisos 𝒙

𝒚

Modo 𝒊

𝐓𝐢 (s)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%)

1 2 3

1.0345 0.98 0.5367

67.341 16.495 0.3976

14.579 64.873 4.7812

2.3133 2.8655 79.055

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 67.341 83.836 84.233

0.1091 0.1022 0.0968

0.0149 0.3871 0.0948

0.1790 0.0838 0.3729

2.9602 0.0133 0.0165

98.862 99.249 99.343

98.740 98.824 99.197

96.689 96.703 96.719

0.0675 0.0666

0.0173 0.0101

0.0037 0.0396

0.0006 0.0018

99.971 99.981

99.828 99.868

98.165 98.167

0.0350 0.0342

0.0001 0

100 100

100 100

99.995 100

𝒙

𝒚

𝑱𝒊

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%)

Sum 𝑴𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 14.579 79.452 84.233

Sum 𝑱𝒊 𝒆𝒇𝒇 (%) 2.3133 5.1788 84.233

⋮

13 14 15 ⋮

24 25 ⋮

35 36

0.0012 0.0203 0 0.0049 Fuente: Elaboración propia

Tabla A.3.4.3: Modos de vibrar principales por dirección edificio base fija tipo III - 12 pisos Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

𝟏𝐱 𝟏𝐲

-0.0056 0.0026 0.0002 -0.0111 0.0051

0.0028 0.0055 0.0002 0.0055 0.0109

-0.0004 0.0015 -0.0011 -0.0009 0.0029

0.0100 0.0007 -0.0261 0.0122 0.0009

0.0210 0.0008 0.0129 0.0257 0.0010

0.0057 -0.0043 -0.0020 0.0070 -0.0052

0.0013 -0.0401 0.0187 0.0014 -0.0421

0.0014 0.0199 0.0394 0.0015 0.0209

-0.0075 -0.0031 0.0107 -0.0080 -0.0032

-0.0441 0.0205 0.0015

0.0218 0.0433 0.0017

-0.0034 0.0118 -0.0088

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲 𝟒𝛉 𝟓𝐱 𝟓𝐲 𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 𝟏𝟎 𝐱 ⋮ 𝟏𝟐 𝐱 𝟏𝟐𝐲 𝟏𝟐𝛉

Fuente: Elaboración propia 83

𝜽

A.3.4.2 PARÁMETROS DINÁMICOS EDIFICIO CON AISLACIÓN BASAL Tabla A.3.4.4: Períodos de vibración edificio con aislación basal tipo IIII - 12 pisos

Tabla A.3.4.5: Modos de vibrar principales por dirección edificio con aislación basal tipo III - 12 pisos

Modo 𝒊

𝛚𝐢 ∗ (rad/s)

𝐓𝐢 ∗ (s)

Piso 𝒊

Modo 1 (X)

Modo 2 (Y)

Modo 3 (𝜽)

1 2 3

3.6486 3.7144 6.4107

1.7221 1.6916 0.9801

𝐛𝐱 𝐛𝐲

56.2759 59.3747 65.3815

0.1117 0.1058 0.0961

0.0225 -0.0075 -0.0001 0.0247 -0.0082 -0.0001 0.0268 -0.0089

0.0078 0.0233 0.0001 0.0085 0.0254 0.0002 0.0092 0.0273

0.0022 -0.0062 0.0045 0.0020 -0.0056 0.0049 0.0018 -0.0050

89.0212 90.539 90.909

0.0706 0.0694 0.0691

-0.0102 -0.0003 0.0322 -0.0107 -0.0003

0.0307 0.0003 0.0108 0.0322 0.0004

-0.0037 0.0059 0.0011 -0.0032 0.0062

-0.0004 0.0368 -0.0122 -0.0004

0.0005 0.0122 0.0364 0.0005

0.0069 0.0005 -0.0014 0.0070

𝐛𝛉 𝟏𝐱 𝟏𝐲

⋮

14 15 16

𝟏𝛉 𝟐𝐱 𝟐𝐲 ⋮ 𝟒𝐲

⋮

24 25 26

𝛉

𝟒 𝟓𝐱 𝟓𝐲

⋮

37 174.4534 0.0360 38 180.4387 0.0348 39 183.9441 0.0342 Fuente: Elaboración propia

𝟓𝛉 ⋮ 𝟖𝛉 𝟗𝐱 𝟗𝐲 𝟗𝛉 ⋮ 𝟏𝟐𝐱 𝟏𝟐𝐲

0.0380 0.0126 -0.0126 0.0375 -0.0004 0.0006 Fuente: Elaboración propia

𝟏𝟐𝛉

0.0003 -0.0008 0.0073

A.3.4.3 PERÍODO DE VIBRACIÓN SOLUCIÓN APROXIMADA (CONSIDERANDO MODO FUNDAMENTAL EN DIRECCIÓN X-Y-𝛉) Modo fundamental dirección X 𝒙

Edificio con aislación basal

𝒚

𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑴𝒆𝒇𝒇 (%)

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

6.0734

1.0345

67.341

14.579

2.3133

3.6547

1.7192

Modo fundamental dirección Y 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

6.4116

0.98

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

16.495

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal (%)

64.873

𝑱𝒆𝒇𝒇 (%)

𝜽

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

2.8655

3.7191

1.6894

Modo fundamental dirección 𝜽 𝛚 (rad/s)

𝐓 (s)

11.7068

0.5367

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒙

(%)

0.3976

𝑴

𝒆𝒇𝒇 𝒚

Edificio con aislación basal

(%)

4.7812 84

𝒆𝒇𝒇 𝜽

(%) 79.055

𝑱

𝛚∗ (rad/s)

𝐓 ∗ (s)

4.3695

1.438

ANEXO B ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL CONSIDERANDO MODELO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD En este anexo se presenta la teoría simplificada de movimiento plano que representa el comportamiento de edificios con aislación basal mediante un sistema de dos grados de libertad. La primera masa corresponde a la superestructura y la segunda a la base apoyada en aisladores sísmicos. Este modelo es utilizado para desarrollar las ecuaciones de edificios de varios pisos en dos dimensiones y edificios considerando tres grados de libertad por piso. B.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE MODELO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Naeim y Kelly (1999) elaboran un modelo estructural de dos masas, como se observa en la figura (B.1.1). La masa 𝑚𝑠 representa la superestructura del edificio y 𝑚𝑏 la masa del piso base sobre el sistema de aislación. La rigidez y

amortiguación de la estructura son representadas por 𝑘𝑠 y 𝑐𝑠 respectivamente, mientras que la rigidez y amortiguación de la aislación son 𝑘𝑏 y 𝑐𝑏 . Bozzo y Barbat (1999) definen 𝑢𝑔 como el movimiento sísmico del terreno, el desplazamiento de la masa 𝑚𝑠 con respecto a la base es 𝑣𝑠 y el desplazamiento de la masa 𝑚𝑏 con respecto al terreno es 𝑣𝑏 . Figura B.1.1: Parámetros del modelo de sistema de aislación basal de dos grados de libertad

Fuente: Kelly (2004)

Kelly (2004) explica que los principales resultados son expresados en términos de los desplazamientos relativos 𝑣𝑠 y 𝑣𝑏 , derivados de los desplazamientos absolutos 𝑢𝑠 y 𝑢𝑏 . A partir de la figura (B.1.1) se cumple 𝑣𝑏 = 𝑢𝑏 − 𝑢𝑔

𝑣𝑠 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑏

85

(B. 1.1)

En función de las variables de desplazamiento, Saavedra (2005) define las ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo para cada una de las masas participantes como -Masa 𝑚𝑏

𝑚𝑠 𝑢̈ s + 𝑚𝑏 𝑢̈ 𝑏 + 𝑐𝑏 𝑣̇ 𝑏 + 𝑘𝑏 𝑣𝑏 = 0

(B. 1.2)

-Masa 𝑚𝑠

𝑚𝑠 𝑢̈ s + 𝑐𝑠 (𝑢̇ 𝑠 − 𝑢̇ 𝑏 ) + 𝑘𝑠 (𝑢𝑠 − 𝑢𝑏 ) = 0

(B. 1.3)

A partir de la relación (B. 1.1) descrita por Kelly (2004), las ecuaciones básicas de movimiento del sistema de dos grados de libertad son (𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 )𝑣̈ b + 𝑚𝑠 𝑣̈s + 𝑐𝑏 𝑣̇ 𝑏 + 𝑘𝑏 𝑣𝑏 = −(𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 )𝑢̈ 𝑔

(B. 1.4)

𝑚𝑠 𝑣̈ b + 𝑚𝑠 𝑣̈s + 𝑐𝑠 𝑣̇𝑠 + 𝑘𝑠 𝑣𝑠 = −𝑚𝑠 𝑢̈ 𝑔

(B. 1.5)

Escritas en forma matricial [

𝑀 𝑚𝑠

𝑐 𝑚𝑠 𝑣̈ b ][ ]+ [ 𝑏 𝑚𝑠 𝑣̈s 0

0 𝑣̇ 𝑏 𝑘 ][ ] + [ 𝑏 𝑐𝑠 𝑣̇𝑠 0

0 𝑣𝑏 𝑀 ] [𝑣 ] = − [ 𝑚 𝑘𝑠 𝑠 𝑠

𝑚𝑠 1 ] [ ] 𝑢̈ 𝑚𝑠 0 𝑔

(B. 1.6)

Donde 𝑀 = 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 , la expresión (B. 1.6) es equivalente a Mv̈ + Cv̇ + Kv = −Mr𝑢̈ 𝑔

(B. 1.7)

Kelly (2004) define los siguientes parámetros: La frecuencia de la estructura de base fija es ωs = √𝑘𝑠 /𝑚𝑠 , y la frecuencia de aislamiento es ωb = √𝑘𝑏 /(𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 ). La masa de la losa basal es menor que la masa del edificio, pero del mismo orden de magnitud, es decir, 𝑚𝑏 < 𝑚𝑠 . La frecuencia natural ωs es mucho mayor que la frecuencia basal ωb , por lo tanto, se cumple que ωs ≫ ωb . El parámetro 𝜀 = ω2b /ω2s , caracteriza la separación entre las dos frecuencias y varía entre 10−1y 10−2 . Los factores de amortiguación de la estructura y el sistema de aislación, βs y βb respectivamente, donde βs = 𝑐𝑠 /(2𝑚𝑠 ωs ) y βb = 𝑐𝑏 /(2ωb (𝑚𝑠 + 𝑚𝑏 )), son del mismo orden de magnitud

que 𝜀 . Naeim y Kelly (1999) definen la relación de masa 𝛾 como 𝛾=

𝑚𝑠 𝑚𝑠 + 𝑚𝑏

(B. 1.8)

En términos de los parámetros definidos anteriormente y (B. 1.8), las ecuaciones de movimiento de (B. 1.4) y (B. 1.5) son 𝛾𝑣̈s + 𝑣̈ b + 2ωb βb 𝑣̇ 𝑏 + ω2b 𝑣𝑏 = −𝑢̈ 𝑔

(B. 1.9)

𝑣̈s + 𝑣̈ b + 2ωs βs 𝑣̇𝑠 + ω2s 𝑣𝑠 = −𝑢̈ 𝑔

(B. 1.10)

86

B.2 DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DEL MODELO SIMPLIFICADO Saavedra (2005) señala que la solución del sistema de ecuaciones conformado por (B. 1.9) y (B. 1.10), se obtiene suponiendo un problema de vibración libre sin amortiguamiento. Se determina el valor de las frecuencias a partir de la representación matricial de la forma 1 [ 1

0 𝑣̇ ω2 ] [ 𝑏] + [ b 2ωs βs 𝑣̇𝑠 0

2ω β 𝛾 𝑣̈ b ][ ] + [ b b 0 1 𝑣̈s

0 𝑣𝑏 1 γ 1 ] = −[ ] [ ] 𝑢̈ 2 [ 𝑣𝑠 ] 1 1 0 𝑔 ωs

(B. 2.1)

Resolviendo el problema generalizado se obtiene la ecuación característica para la frecuencia (1 − 𝛾)ω4 − (ω2s + ω2b )ω2 + ω2b ω2s = 0

(B. 2.2)

Las soluciones de la ecuación (B. 2.2) están dadas por 1

ω12

1 2 2 = {ω2b + ω2s − [(ω2b − ω2s ) + 4𝛾ω2b ω2s ] } 2(1 − 𝛾)

ω22

1 2 2 = {ω2b + ω2s + [(ω2b − ω2s ) + 4𝛾ω2b ω2s ] } 2(1 − 𝛾)

(B. 2.3. a)

1

(B. 2.3. b)

La rigidez de la estructura, 𝑘𝑠 , es muy superior a la rigidez del aislador, 𝑘𝑏 ; por lo tanto, el parámetro 𝜀 es muy reducido. De esta forma, considerando que 𝜀 2 ≅ 0 y que (1 + 𝜀 2 ) ≅ 1, Bozzo y Barbat (1999) obtienen las expresiones simplificadas de las frecuencias del sistema combinado, definidas como ω∗b (frecuencia modificada del sistema de aislamiento) y ω∗s (frecuencia fundamental modificada del edificio). ω12

=

ω∗2 b

ω22 = ω∗2 s =

=

ω2b (1 −

𝛾ω2b ) = ω2b (1 − 𝛾𝜀) ω2s

ω2s 𝛾ω2b ω2s (1 + 𝛾𝜀) (1 + 2 ) = (1 − 𝛾) (1 − 𝛾) ωs

(B. 2.4. a)

(B. 2.4. b)

El período de la estructura con base fija se incrementa significativamente con el objeto de obtener un edificio con un período fundamental mayor que el período predominante de la excitación. Kelly (2004) afirma que la frecuencia de aislamiento es ligeramente afectada por la flexibilidad de la estructura, mientras que la frecuencia estructural aumenta significativamente por la presencia de la masa de la base 𝑚𝑏 . Naeim y Kelly (1999) definen los modos del sistema combinado como ∅1 y ∅2 , donde 𝑡

∅𝑖 = (∅𝑖 𝑏 , ∅𝑖 𝑠 ) 87

𝑖 = 1,2

(B. 2.5)

Sustituyendo cada una de las frecuencias naturales en la ecuación correspondiente al problema generalizado, para la frecuencia ω1 se obtiene ∅1 𝑏 (ω2b − ω2b (1 − 𝛾𝜀)) − ∅1 𝑠 ω2b (1 − 𝛾𝜀)𝛾 = 0

(B. 2.6. a)

−∅1 𝑏 ω2b(1 − 𝛾𝜀) + ∅1 𝑠 (ω2s − ω2b (1 − 𝛾𝜀)) = 0

(B. 2.6. b)

De forma similar para la frecuencia ω2 resulta ω2s ω2s (1 + 𝛾𝜀)) − ∅2 𝑠 (1 + 𝛾𝜀)𝛾 = 0 (1 − 𝛾) (1 − 𝛾)

(B. 2.7. a)

ω2s ω2s (1 + 𝛾𝜀) + ∅2 𝑠 (ω2s − (1 + 𝛾𝜀)) = 0 (1 − 𝛾) (1 − 𝛾)

(B. 2.7. b)

∅2 𝑏 (ω2b −

−∅2 𝑏

Finalmente, los modos de vibrar del sistema son t

t

∅1 = [1 𝜀 ]

∅2 = [1

1 − [1 − (1 − 𝛾)𝜀]] 𝛾

(B. 2.8)

Figura B.2.1: Modos de vibrar del modelo de sistema de aislación basal de dos grados de libertad

Fuente: Kelly (2004)

A partir de lo indicado por Bozzo y Barbat (1999), el vector propio correspondiente al primer modo de vibración indica que la totalidad del movimiento lateral de la estructura se concentra en la base y el desplazamiento relativo entre los pisos restantes es una variable del segundo orden. Por ello, se suele considerar que el comportamiento estructural de edificios aislados sísmicamente es similar al de los sólidos rígidos con desplazamientos laterales concentrados en la base.

88

Los factores de participación permiten expresar las ecuaciones de movimiento del sistema combinado en coordenadas modales, dando origen a las expresiones de los desplazamientos relativos 𝑣𝑏 y 𝑣𝑠 en tiempo continuo para una excitación 𝑢̈ 𝑔 . Los desplazamientos relativos en coordenadas modales según Naeim Y Kelly (1999) son 𝑣𝑏 = 𝑞1 ∅1 𝑏 + 𝑞2 ∅2 𝑏

𝑣𝑠 = 𝑞1 ∅1 𝑠 + 𝑞2 ∅2 𝑠

(B. 2.9)

Donde 𝑞1 y 𝑞2 son coeficientes modales dependientes del tiempo. Según Naeim y Kelly (1999) los factores de participación 𝐿1 y 𝐿2 están dados por t

𝐿𝑖 =

∅𝑖 Mr

(B. 2.10)

t

∅𝑖 M∅𝑖

El valor de la masa para el modo 𝑖 es t

𝑀𝑖 = ∅𝑖 M∅𝑖

(B. 2.11)

Conservando los términos en orden de 𝜀 , los valores de las masas modales son t 𝑀 𝑀1 = ∅1 M∅1 = [1 𝜀 ] [ 𝑚𝑠

2t

2

𝑀2 = ∅ M∅ = [1

𝑚𝑠 1 ][ ] 𝑚𝑠 𝜀

1 𝑀 − [1 − (1 − 𝛾)𝜀]] [ 𝑚 𝛾 𝑠

𝑀1 = M(1 + 2𝜀𝛾)

1 𝑚𝑠 1 ][ ] 𝑚𝑠 − [1 − (1 − 𝛾)𝜀] 𝛾 𝑀2 =

M (1 − 𝛾)[1 − 2𝜀(1 − 𝛾)] 𝛾

(B. 2.12)

En el mismo orden, los valores de los factores de participación modal son 𝐿1 = 1 − 𝛾𝜀

𝐿2 = 𝛾𝜀

(B. 2.13)

Cuando 𝑣𝑏 y 𝑣𝑠 en la ecuación (B. 1.4) y (B. 1.5) son expresados en términos de ∅1 y ∅2 , según Naeim y Kelly (1999) las ecuaciones de movimiento se pueden representar como 𝑞̈ 1 + 2ω1 β1 𝑞̇ 1 + λ1 𝑞̇ 2 + ω12 𝑞1 = −𝐿1 𝑢̈ 𝑔

(B. 2.14)

𝑞̈ 2 + 2ω2 β2 𝑞̇ 2 + λ2 𝑞̇ 1 + ω22 𝑞2 = −𝐿2 𝑢̈ 𝑔

(B. 2.15)

89

Los términos 2ω1 β1 y 2ω2 β2 se obtienen de la ecuación t 𝑐 𝑀𝑖 2ωi βi = ∅𝑖 [ 𝑏 0

0 𝑖 ]∅ 𝑐𝑠

(B. 2.16)

0 𝑖 ]∅ 𝑘𝑠

(B. 2.17)

𝑐𝑏 0

0 2 ]∅ 𝑐𝑠

(B. 2.18. 𝑎)

𝑐𝑏 0

0 1 ]∅ 𝑐𝑠

(B. 2.18. 𝑏)

Para la matriz de rigidez se cumple que t 𝑘 𝑀𝑖 ω2i = ∅𝑖 [ 𝑏 0

Los coeficientes de acoplamiento λ1 y λ2 se obtienen de t

λ1 𝑀1 = ∅1 [ t

λ2 𝑀2 = ∅2 [

En la mayoría de las aplicaciones estructurales se asume que el amortiguamiento es suficientemente pequeño, por lo que el efecto de los componentes fuera de la diagonal (λ1 y λ2 ) son considerados despreciables por Naeim y Kelly (1999) y la solución requerida pude ser obtenida de las ecuaciones modales de movimiento desacopladas. Finalmente (B. 2.14) y (B. 2.15) equivalen a 𝑞̈ 1 + 2ω1 β1 𝑞̇ 1 + ω12 𝑞1 = −𝐿1 𝑢̈ 𝑔

(B. 2.19)

𝑞̈ 2 + 2ω2 β2 𝑞̇ 2 + ω22 𝑞2 = −𝐿2 𝑢̈ 𝑔

(B. 2.20)

Si la excitación del movimiento del suelo 𝑢̈ 𝑔 (𝑡), es conocida, los componentes modales 𝑞1 (𝑡) y 𝑞2 (𝑡) son 𝑡

𝐿1 𝑞1 (𝑡) = − ∫ 𝑢̈ 𝑔 (t − τ)e−ω1 β1 τ sin ω1 τ 𝑑𝜏 ω1

(B. 2.21)

0

𝑡

𝐿2 𝑞2 (𝑡) = − ∫ 𝑢̈ 𝑔 (t − τ)e−ω2 β2 τ sin ω2 τ 𝑑𝜏 ω2 0

90

(B. 2.22)

ANEXO C KTOTALSIM (): PROGRAMA MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURA DE BASE FIJA CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO Se presenta la programación que permite obtener la matriz de rigidez total de los modelos estructurales de edificios de base fija considerando tres grados de libertad por piso. La rutina requiere de un documento excel llamado “Elementosresistentes.xlsx” que contiene las rigideces laterales entrepiso, factores de modificación y coordenadas de piso (𝛼𝑖 y 𝑟𝑖 ) de cada elemento resistente vertical plano. Se deben definir los parámetros correspondientes según el modelo en estudio para obtener la matriz total del sistema. function [kt]=ktotalsim () %Programa que encuentra la matriz de rigidez considerando 3GDL por piso %Calcula rigidez lateral KL de cada elemento resistente %Variables: %KL=matriz de rigidez lateral elemento vertical %a=ángulo alfa %r=distancia al pórtico desde el CM %nel=número de elementos %ni=nodo inicial %nj=nodo final %Datos extraídos de documentos excel modificable np=input('Numero de pisos:'); %Extracción de datos ko=xlsread('Elementosresistentes.xlsx',1,'B3:B6'); fmod=xlsread(' Elementosresistentes.xlsx',1,'C3:N6'); amat=xlsread(' Elementosresistentes.xlsx',1,'O3:O6'); rmat=xlsread(' Elementosresistentes.xlsx',1,'P3:P6'); %Para el modelo simétrico: número de elementos igual al número de pisos nel=np; %EDIFICIO BASE FIJA %FORMACIÓN MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES %GDL traslación for npor=1:4 CG=zeros(nel+1,1);ngl=0;k=1; for i=1:nel ngl=ngl+1;%Determina los grados de libertad horizontales for j=1 k=k+1;CG(k,1)=ngl; end end %Asignación de elementos verticales según cantidad de pisos %Nodos iniciales y finales de cada elemento ic=0;jc=1; for i=1:nel ic=ic+1;jc=jc+1;ni(i)=ic;nj(i)=jc; end 91

%Vector de Colocación VC for i=1:nel for k=1 %Escribe en VC a partir de CG VC(i,k)=CG(ni(i),1); %Lee GDL del nodo inicial VC(i,k+1)=CG(nj(i),1);%Lee GDL del nodo final end end %Matriz rigidez del elemento SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:nel subk=fmod(npor,nel)*ko(npor,1); K(1,1)=subk;K(1,2)=-subk; K(2,1)=-subk;K(2,2)=subk; for j=1:2 %Busca en VC el GDL local v=VC(i,j);%Encuentra el GDL global if v==0 continue end for m=1:2 %Busca en VC el GDL local mm=VC(i,m);%Encuentra el GDL global if mm==0 continue end SS(v,mm)=SS(v,mm)+K(j,m); end end end KL=SS; %Guardado variable de rigidez lateral del elemento assignin('base',['KL',num2str(npor)],KL) end %FORMACIÓN MATRIZ RIGIDEZ TOTAL EN TRES DIMENSIONES i=eye(np);Kt=0; for nport=1:4 %Obtiene la matriz global de la estructura KL=evalin('base',['KL',num2str(nport)]); a=amat(nport,1); r=rmat(nport,1); Kt=Kt+[cosd(a)^2*i*KL sind(a)*cosd(a)*i*KL cosd(a)*r*i*KL;sind(a)*cosd(a)*i*KL sind(a)^2*i*KL sind(a)*r*i*KL;cosd(a)*r*i*KL sind(a)*r*i*KL r^2*i*KL]; end assignin('base','KT',Kt)%Guarda la variable en la base del programa fprintf('\n Matriz de rigidez total de la estructura\n') disp(Kt) end

92

ANEXO D MODAL(): PROGRAMA DE ANÁLISIS MODAL PARA ESTRUCTURAS DE BASE FIJA CONSIDERANDO TRES GRADOS DE LIBERTAD POR PISO Se presenta la programación que calcula las frecuencias, períodos y modos de vibrar de edificios de base fija considerando tres grados de libertad por piso. La rutina requiere de la matriz de rigidez obtenida con el programa ktotalsim() (ver ANEXO C) y la matriz de masa definida directamente en Matlab R2017a. Este programa reordena los grados de libertad según el CAPÍTULO IV y determina los eigenvalores y eigenvectores utilizando el algoritmo M1/2. Los modos y frecuencias del sistema de base fija son guardados en la memoria para ser utilizados como variables de la rutina meff() presentada en el ANEXO E. function w= modal() %Cálculo de frecuencias y modos de vibrar en tres dimensiones empleando algoritmo de M^1/2 fprintf('El programa requiere matriz M y KT \n') k=evalin('base','KT'); m=evalin('base','M'); gdl=size(m,1); np=gdl/3; %REORDENAMIENTO GRADOS DE LIBERTAD EN MATRIZ DE MASA for i=1:np maux(1,i)=m(i,i); maux(2,i)=m(np+i,np+i); maux(3,i)=m(2*np+i,2*np+i); end %Formación nueva matriz de masa c1=1; for i=1:np for j=1:3 mn(c1,c1)=maux(j,i); c1=c1+1; end end %Guardado matriz de masa assignin('base','MN',mn) %REORDENAMIENTO GRADOS DE LIBERTAD EN MATRIZ DE RIGIDEZ %Ajuste grados de libertad %gdl1:Orden original de grados de libertad %gdl2:Nuevo orden de grados de libertad %gdl3:Ubicación de los grados de libertad en nueva matriz a partir de gdl2 for i=1:gdl%Generación matriz gdl1 gdl1(1,i)=i; end c2=1; for i=1:np%Reordenamiento matriz gdl2 for j=1:3 93

gdl2(1,c2)=gdl1(1,(j-1)*np+i); c2=c2+1; end end for i=1:gdl%Formación matriz gdl3 ele=gdl1(1,i); position=find(gdl2==ele); gdl3(1,i)=position; end %Ajuste elementos de nueva matriz de rigidez for i=1:gdl sub1=gdl1(1,i); sub2=gdl3(1,i); for j=1:gdl kin=k(sub1,j); sub3=gdl3(1,j); kn(sub2,sub3)=kin; end end %Guardado matriz de rigidez assignin('base','KTN',kn) %Algoritmo M1/2 m12=sqrt(mn); for i=1:gdl m12(i,i)=1/m12(i,i); end %Algoritmo M^1/2 ko=m12*kn*m12; [V,D]=eig(ko);Modos=m12*V;wn=sqrt(D);wi=diag(wn); for i=1:gdl T(i)=2*pi/wi(i); end fprintf('\n Frecuencias naturales de vibración \n')%Muestra frecuencias naturales for i=1:gdl fprintf(['w',num2str(i),': ',num2str(wi(i)),'\n']) end fprintf('\n Períodos de vibración \n')%Muestra períodos de vibración for i=1:gdl fprintf(['T',num2str(i),': ',num2str(T(i)),'\n']) end fprintf('\n Modos de Vibración \n')%Muestra los modos de vibración disp(Modos) %Guardar los modos de vibrar for i=1:gdl for j=1:gdl o(j,1)=Modos(j,i); end assignin('base',['o',num2str(i)],o)%Guarda todos los modos de vibrar en la base end assignin('base','o',Modos) end 94

ANEXO E MEFF(): PROGRAMA PARA DETERMINAR FACTORES DE PARTICIPACIÓN MODAL Y MASAS EFECTIVAS En este anexo se muestra el código del programa meff() que entrega los valores de los factores de participación modal y masas efectivas del edificio de base fija considerando los modos de vibración determinados con la rutina modal() (ver ANEXO D). function w=meff() %Cálculo de masa efectiva de cada modo %La función requiere de las Matrices de masa y los modos correspondientes a la estructura de base fija %Determina el porcentaje de masa efectiva en cada caso fprintf('El programa requiere matriz M \n') m=evalin('base','MN'); k=evalin('base','KTN'); gdl=size(m,1); np=gdl/3; %Formación matriz r r=zeros(gdl,3); f=0; for i=1:np %Iteración formación índices de matriz r for j=1:3 r(3*f+j,j)=1; end f=f+1; end %Masa total en cada dirección mt=r'*m*r; %Selección del modo y determinacón de porcentaje de masa for i=1:gdl o=evalin('base',['o',num2str(i)]); mef=(o'*m*r)'*(o'*m*r)/(o'*m*o);%Determinación del factor de masa efectiva for j=1:3 mfac=mef(j,j)/mt(j,j)*100; mxyo(i,j)=mfac; %Asignación de factores a matriz de datos end end %Modal Participation factors Li Lio=evalin('base','o'); Li=inv(Lio'*m*Lio)*(Lio'*m*r); for i=1:gdl Lix(i,1)=Li(i,1); Liy(i,1)=Li(i,2); Liz(i,1)=Li(i,3); end %IMPRESIÓN EN PANTALLA fprintf(['\n Modal Participating Mass Ratios/Factors \n']) summx(1,1)=0;summy(1,1)=0;summz=0; for i=1:gdl o=evalin('base',['o',num2str(i)]); 95

t=2*pi/sqrt(o'*k*o); nmodo(i,1)=i; ti(i,1)=t; mx(i,1)=mxyo(i,1); my(i,1)=mxyo(i,2); mz(i,1)=mxyo(i,3); %Suma de la masa efectiva por cada modo considerado if i==1 summx(i,1)=summx(1,1)+mxyo(i,1); summy(i,1)=summy(1,1)+mxyo(i,2); summz(i,1)=summz(1,1)+mxyo(i,3); else summx(i,1)=summx(i-1,1)+mxyo(i,1); summy(i,1)=summy(i-1,1)+mxyo(i,2); summz(i,1)=summz(i-1,1)+mxyo(i,3); end end %Tabla Modal Participating Mass Ratios T=table(nmodo,ti,Lix,Liy,Liz,mx,my,mz,summx,summy,summz,'Variablenames',{'Modo';'Ti';'Lix';'Liy';'Liz';'Mx';'My';'Mz';'Su; Mx';'SuMy';'SuMz'}) %Modos con mayor masa efectiva para cada dirección maxx=0;maxy=0;maxz=0;nx=0;ny=0;nz=0; for i=1:gdl if mxyo(i,1)>=maxx maxx=mxyo(i,1); nx=i; end if mxyo(i,2)>=maxy maxy=mxyo(i,2); ny=i; end if mxyo(i,3)>=maxz maxz=mxyo(i,3); nz=i; end end %Impresión en pantalla de los modos principales en cada dirección fprintf('\n Modos fundamentales en cada dirección \n') fprintf(['\n UX',' Modo ',num2str(nx),'\n']) fprintf(['\n UY',' Modo ',num2str(ny),'\n']) fprintf(['\n RZ',' Modo ',num2str(nz),'\n']) end

96

ANEXO F WISO(): PROGRAMA PARA OBTENER PERÍODOS DE VIBRACIÓN DE EDIFICIOS CON AISLACIÓN BASAL El programa wiso() determina los períodos y modos de vibración del edificio con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso, utiliza todos los modos del edificio de base fija para formar las matrices de masa y rigidez del sistema compuesto. La rutina requiere de la matriz de rigidez basal (KB) y matriz de masas basales (MB), además, utiliza las matrices de masa, rigidez y modal del edificio de base fija obtenidas en el programa modal() (ver ANEXO E). Los eigenvalores y eigenvectores son obtenidos utilizando el método de Jacobi generalizado. function p=wiso() %Considerando todos los modos de vibrar %Programa para el cálculo de la frecuencia del sistema %Edificio aislador %Programa requiere de matrices de base MB, KB, KTN,MN y o kb=evalin('base','KB'); mb=evalin('base','MB'); k=evalin('base','KTN'); m=evalin('base','MN'); o=evalin('base','o'); gdl=size(m,1); np=gdl/3; %Formación matriz r r=zeros(gdl,3); f=0; for i=1:np %Iteración formación índices de matriz r for j=1:3 r(3*f+j,j)=1; end f=f+1; end %Generación submatrices %masa subm1=r'*m*r+mb; subm2=r'*m*o; subm3=o'*m*r; subm4=o'*m*o; %rigidez subk1=kb; subk2=o'*k*o; %MATRIZ DE MASA SISTEMA EDIFICIO AISLADOR miso=zeros(gdl+3,gdl+3); %Traspaso submatrices %Subm1 for i=1:3 miso(i,i)=subm1(i,i); end 97

%Subm2 for i=1:3 for j=4:(gdl+3) miso(i,j)=subm2(i,j-3); end end %Subm3 for i=1:3 for j=4:(gdl+3) miso(j,i)=subm3(j-3,i); end end %Subm4 for i=4:(gdl+3) miso(i,i)=subm4(i-3,i-3); end %MATRIZ DE RIGIDEZ SISTEMA EDIFICIO AISLADOR kiso=zeros(gdl+3,gdl+3); %Traspaso submatrices %Subk1 for i=1:3 for j=1:3 kiso(i,j)=subk1(i,j); end end %Subk2 for i=4:(gdl+3) kiso(i,i)=subk2(i-3,i-3); end %-----JACOBI GENERALIZADO %Cálculo de períodos de vibración MISO=miso; KISO=kiso; mis=MISO; kis=KISO; gdl=size(mis,1); eigenvectors=1; barri=1; request=1; %Se requiere inicialmente hacer un barrido verificando la matriz %Barrido inicial while request==1 for k=1:gdl for l=k+1:gdl kisant=kis; misant=mis; i=k; j=l; f1=(mis(i,j)^2/(mis(i,i)*mis(j,j)))^(1/2);%7.35 f2=(kis(i,j)^2/(kis(i,i)*kis(j,j)))^(1/2); f3=10^(-2*barri); 98

if f1>=f3||f2>=f3%Realizar ecuación 7.26 v=kis(i,i)*mis(i,j)-mis(i,i)*kis(i,j); w=kis(j,j)*mis(i,j)-mis(j,j)*kis(i,j); z=kis(i,i)*mis(j,j)-mis(i,i)*kis(j,j); B=z/2+z/abs(z)*sqrt((z/2)^2+v*w);%Modificable y=-v/B;a=w/B; R=eye(gdl);%Formación matriz R R(i,i)=1; R(i,j)=a; R(j,i)=y; R(j,j)=1; else R=1; end kis=R'*kis*R; mis=R'*mis*R; %test for i=1:gdl test(i,i)=1/sqrt(mis(i,i)); end %test eigenvectors=eigenvectors*R; end end %Contador de barrido barri=barri+1; %CONVERGENCIA DE LA MATRIZ r=10; request=0; for i=1:gdl f4=abs((kis(i,i)/mis(i,i))-(kisant(i,i)/misant(i,i)))/(kis(i,i)/mis(i,i)); f5=10^-r; if f4<=f5 request=request+0;%No se require nuevo barrido else request=1;%REquiere de nuevo barrido end end %Verificar si elementos fuera de matriz tienden a 0 for k=1:gdl for l=k+1:gdl i=k; j=l; f6=(kis(i,j)^2/(kis(i,i)*kis(j,j)))^(1/2); f7=(mis(i,j)^2/(mis(i,i)*mis(j,j)))^(1/2); f8=10^-r; if f6<=f8 && f7<=f8 request=request+0;%No se require nuevo barrido else request=1;%REquiere de nuevo barrido 99

end end end end %Resultados Modales for i=1:gdl D(i,i)=kis(i,i)/mis(i,i); end eigenvectors=eigenvectors*test; %Resultados Modales %Normalización de modos Modos=eigenvectors; for i=1:gdl for j=1:gdl subo(j,1)=Modos(j,i); end norma=1/sqrt(subo'*MISO*subo); for s=1:gdl Modos(s,i)=Modos(s,i)*norma; end end wn=sqrt(D);wi=diag(wn); for i=1:gdl T(i)=2*pi/wi(i); end fprintf('\n Frecuencias naturales de vibración Sistema edificio-aislador \n') %Muestra frecuencias naturales for i=1:gdl fprintf(['w',num2str(i),': ',num2str(wi(i)),'\n']) end fprintf('\n Períodos de vibración Sistema edificio-aislador \n') %Muestra períodos de vibración for i=1:gdl fprintf(['T',num2str(i),': ',num2str(T(i)),'\n']) end max=0; for i=1:gdl if T(i)>=max max=T(i); end end max %Guardar matrices miso y kiso assignin('base','miso',miso) assignin('base','kiso',kiso) fprintf('\n Modos de Vibración relativos\n')%Muestra los modos de vibración disp(Modos) %Ajuste de modos de vibrar respecto a un mismo eje en la fundación Modoseje=Modos; for i=1:gdl for j=4:gdl 100

aux1(j-3,1)=Modoseje(j,i); end aux2=o*aux1; sum1=Modoseje(1,i); sum2=Modoseje(2,i); sum3=Modoseje(3,i); np=(gdl-3)/3; for k=4:gdl Modoseje(k,i)=aux2(k-3,1);%Transformación de amplitudes a desplazamientos end for l=1:np %Coordenadas de la matriz para sumar desplazamiento de la base cox(l,1)=3*l+1; coy(l,1)=3*l+2; coz(l,1)=3*l+3; end for n=1:np n1=cox(n,1); n2=coy(n,1); n3=coz(n,1); Modoseje(n1,i)=Modoseje(n1,i)+sum1; Modoseje(n2,i)=Modoseje(n2,i)+sum2; Modoseje(n3,i)=Modoseje(n3,i)+sum3; end end fprintf('\n Modos de Vibración absolutos\n')%Muestra los modos de vibración disp(Modoseje) assignin('base','oisoeje',Modoseje) end

101

ANEXO G WISOAPROX(): PROGRAMA PARA APROXIMAR EL PERÍODO DE VIBRACIÓN CONSIDERANDO EL MODO FUNDAMENTAL El programa wisoaprox() determina los períodos y modos de vibración del edificio con aislación basal considerando tres grados de libertad por piso de forma aproximada, permite elegir los modos del edificio de base fija para formar las matrices de masas y rigidez del sistema compuesto. La rutina requiere de la matriz de rigidez basal (KB) y matriz de masas basales (MB), además, utiliza las matrices de masa, rigidez y modal del edificio de base fija obtenidas en el programa modal() (ver ANEXO E). Los eigenvalores y eigenvectores son obtenidos utilizando el método de Jacobi generalizado. function x=wisoaprox() %Programa para el cálculo aproximado de la frecuencia del sistema %Edificio aislador LINEAL %Considera la cantidad de modos y los modos deseados por el usuario %Programa requiere de matrices de base MB, KB, KTn,Mn y o kb=evalin('base','KB'); mb=evalin('base','MB'); k=evalin('base','KTN'); m=evalin('base','MN'); o=evalin('base','o'); gdl=size(m,1); np=gdl/3; %Solo sirve para formar matriz r %INPUT DE CANTIDAD DE MODOS A CONSIDERAR nmodos=input('Numero de modos a considerar:'); while nmodos>gdl||0>=nmodos if 0>=nmodos fprintf(['\n El número de modos es incorrecto','\n']) nmodos=input('\n Numero de modos a considerar:'); end if nmodos>gdl fprintf(['\n El número máximo de modos es ',num2str(gdl),'\n']) nmodos=input('\n Numero de modos a considerar:'); end end %INPUT MODOS CONSIDERADOS aux=zeros(gdl,gdl); %Relleno matriz auxiliar que controla los modos for j=1:nmodos imodos=input('\n Modo (i):'); while imodos>gdl||0>=nmodos if 0>=imodos fprintf(['\n El número de modo es incorrecto','\n']) imodos=input('\n Modo (i):'); end 102

if imodos>gdl fprintf(['\n El número de modo es incorrecto ','\n']) imodos=input('\n Modo (i):'); end end aux(imodos,imodos)=1; end %Ajuste Matriz Modal a partir del Input co=1; for i=1:gdl if aux(i,i)==1 for j=1:gdl op(j,co)=o(j,i); end co=co+1; end end %Transformación matriz modal o=op; %Formación matriz r r=zeros(gdl,3); f=0; for i=1:np %Iteración formación índices de matriz r for j=1:3 r(3*f+j,j)=1; end f=f+1; end %Generación submatrices %masa subm1=r'*m*r+mb; subm2=r'*m*o; subm3=o'*m*r; subm4=o'*m*o; %rigidez subk1=kb; subk2=o'*k*o; %MATRIZ DE MASA SISTEMA EDIFICIO AISLADOR %Reasignación de variables gdl gdl=size(o,2); miso=zeros(gdl+3,gdl+3); %Traspaso submatrices %Subm1 for i=1:3 miso(i,i)=subm1(i,i); end %Subm2 for i=1:3 for j=4:(gdl+3) miso(i,j)=subm2(i,j-3); end 103

end %Subm3 for i=1:3 for j=4:(gdl+3) miso(j,i)=subm3(j-3,i); end end %Subm4 for i=4:(gdl+3) miso(i,i)=subm4(i-3,i-3); end %MATRIZ DE RIGIDEZ SISTEMA EDIFICIO AISLADOR kiso=zeros(gdl+3,gdl+3); %Traspaso submatrices %Subk1 for i=1:3 for j=1:3 kiso(i,j)=subk1(i,j); end end %Subk2 for i=4:(gdl+3) kiso(i,i)=subk2(i-3,i-3); end %-----JACOBI GENERALIZADO %Cálculo de períodos de vibración MISO=miso; KISO=kiso; mis=MISO; kis=KISO; gdl=size(mis,1); eigenvectors=1; barri=1; request=1; %Se requiere inicialmente hacer un barrido verificando la matriz %Barrido inicial while request==1 for k=1:gdl for l=k+1:gdl kisant=kis; misant=mis; i=k; j=l; f1=(mis(i,j)^2/(mis(i,i)*mis(j,j)))^(1/2);%7.35 f2=(kis(i,j)^2/(kis(i,i)*kis(j,j)))^(1/2); f3=10^(-2*barri); if f1>=f3||f2>=f3%Realizar ecuación 7.26 v=kis(i,i)*mis(i,j)-mis(i,i)*kis(i,j); w=kis(j,j)*mis(i,j)-mis(j,j)*kis(i,j); z=kis(i,i)*mis(j,j)-mis(i,i)*kis(j,j); B=z/2+z/abs(z)*sqrt((z/2)^2+v*w); y=-v/B;a=w/B; 104

R=eye(gdl);%Formación matriz R R(i,i)=1; R(i,j)=a; R(j,i)=y; R(j,j)=1; else R=1; end kis=R'*kis*R; mis=R'*mis*R; %test for i=1:gdl test(i,i)=1/sqrt(mis(i,i)); end %test eigenvectors=eigenvectors*R; end end %Contador de barrido barri=barri+1; %CONVERGENCIA DE LA MATRIZ r=10; request=0; for i=1:gdl f4=abs((kis(i,i)/mis(i,i))-(kisant(i,i)/misant(i,i)))/(kis(i,i)/mis(i,i)); f5=10^-r; if f4<=f5 request=request+0;%No se require nuevo barrido else request=1;%Requiere de nuevo barrido end end %Verificar si elementos fuera de matriz tienden a 0 for k=1:gdl for l=k+1:gdl i=k; j=l; f6=(kis(i,j)^2/(kis(i,i)*kis(j,j)))^(1/2); f7=(mis(i,j)^2/(mis(i,i)*mis(j,j)))^(1/2); f8=10^-r; if f6<=f8 && f7<=f8 request=request+0;%No se require nuevo barrido else request=1;%REquiere de nuevo barrido end end end end %Resultados Modales for i=1:gdl 105

D(i,i)=kis(i,i)/mis(i,i); end eigenvectors=eigenvectors*test; %Normalización de modos Modos=eigenvectors; for i=1:gdl for j=1:gdl subo(j,1)=Modos(j,i); end norma=1/sqrt(subo'*MISO*subo); for s=1:gdl Modos(s,i)=Modos(s,i)*norma; end end wn=sqrt(D);wi=diag(wn); for i=1:gdl T(i)=2*pi/wi(i); end fprintf('\n Frecuencias naturales de vibración Sistema edificio-aislador \n') %Muestra frecuencias naturales for i=1:gdl fprintf(['w',num2str(i),': ',num2str(wi(i)),'\n']) end fprintf('\n Períodos de vibración Sistema edificio-aislador \n') %Muestra períodos de vibración for i=1:gdl fprintf(['T',num2str(i),': ',num2str(T(i)),'\n']) end max=0; for i=1:gdl if T(i)>=max max=T(i); end end max %Guardar matrices miso y kiso assignin('base','misoaprox',miso) assignin('base','kisoaprox',kiso) end

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ANEXO H KELLY(): PROGRAMA MODELO MASAS DISTRIBUIDAS SOBRE PLACA RÍGIDA El programa kelly() permite calcular el modelo de masas distribuidas sobre una placa rígida con aisladores sísmicos propuesto por Kelly (1993), determina las frecuencias y modos de vibrar del sistema mostrado en el CAPÍTULO VI, el valor de cada masa concentrada se obtiene de la división de las masas traslacionales totales de los modelos considerados. function x=kelly() %Determinación de frecuencias de edificios con aisladores sísmicos %considerando tres grados de libertad por piso mediante método Kelly(1993) kb=evalin('base','KB'); mb=evalin('base','MB'); m=evalin('base','M'); gdl=size(m,1); np=gdl/3; kiso=kb(1,1)/4;%Rigidez lateral del aislador KL=kiso*2; mx=mb(1,1);my=mb(2,2);mz=mb(3,3); for i=1:np%Suma de masas totales en cada dirección mx=mx+m(i,i); my=my+m(np+i,np+i); mz=mz+m(2*np+i,2*np+i); end %Calculo masa concentrada syms aux mc=solve(4*aux==mx,aux); mcc=double(mc); cmy=(mcc*0+mcc*10+mcc*5*2)/(4*mcc); cmx=(mcc*0+mcc*16+mcc*8*2)/(4*mcc); fprintf(['\n C.M.X (cm):',num2str(cmx*100),'\n']) fprintf(['\n C.M.Y. (cm):',num2str(cmy*100),'\n']) fprintf(['\n mc (tonf s2/cm):',num2str(1*mcc/100,15),'\n']) %Formación matriz de rigidez basal kb(1,1)=cosd(90)^2*KL*2+cosd(0)^2*KL*2; kb(1,2)=sind(90)*cosd(90)*KL*2+sind(0)*cosd(0)*KL*2;kb(2,1)=kb(1,2); kb(1,3)=cosd(90)*(0-cmx)*KL+cosd(90)*(16-cmx)*KL+cosd(0)*(0-cmy)*KL+cosd(0)*(10-cmy)*KL;kb(3,1)=kb(1,3); kb(2,2)=sind(90)^2*KL*2+sind(0)^2*KL*2; kb(2,3)=sind(90)*(0-cmx)*KL+sind(90)*(16-cmx)*KL+sind(0)*(0-cmy)*KL+sind(0)*(10-cmy)*KL;kb(3,2)=kb(2,3); kb(3,3)=4000*((cmx-0)^2+(cmy-0)^2)+4000*((cmx-0)^2+(cmy-10)^2)+4000*((cmx-16)^2+(cmy0)^2)+4000*((cmx-16)^2+(cmy-10)^2); %Matriz de masa de placa rígida mtot(1,1)=4*mcc; mtot(2,2)=4*mcc; mtot(3,3)=2*mcc*(5^2)+2*mcc*(8^2); %Cálculo de momento de inercia rotacional de masas concentradas

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fprintf(['\n Masa total x (tonf s^2/cm) :',num2str(mtot(1,1)/100,15),'\n']) fprintf(['\n Masa total y (tonf s^2/cm) :',num2str(mtot(2,2)/100,15),'\n']) fprintf(['\n Momento de inercia rotacional total (tonf s^2 cm) :',num2str(mtot(3,3)*100),'\n']) m12=sqrt(mtot); for i=1:3 m12(i,i)=1/m12(i,i); end ko=m12*kb*m12; [V,D]=eig(ko);Modos=m12*V;wn=sqrt(D);wi=diag(wn); for i=1:3 T(i)=2*pi/wi(i); end fprintf('\n Frecuencias naturales de vibración \n')%Muestra frecuencias naturales for i=1:3 fprintf(['w',num2str(i),': ',num2str(wi(i)),'\n']) end fprintf('\n Períodos de vibración \n')%Muestra períodos de vibración for i=1:3 fprintf(['T',num2str(i),': ',num2str(T(i)),'\n']) end fprintf('\n Modos de Vibración \n')%Muestra los modos de vibración disp(Modos) end

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