Vektr Uzay Ve Lineer Dnm

2

ℜ nin Altuzayları ve Lineer Dönüşüm 2

2

Soru 1. ℜ nin R üzerinde vektör uzayı olduğu biliniyor. ℜ nin alt uzaylarını belirleyebilir misiniz? 1.Vektör Uzayları Giriş.Vektör uzayları cisim üzerine kurulan cebirsel yapılardır.Bunun nedeni cismin sıfırdan farklı her elemanının tersi olmasına rağmen bunun halka veya grup vb. yapılarda geçerli olmamasıdır.Vektör uzayları üzerine kurulu oldukları cisme göre adlandırılır.Örneğin cisim Reel Sayılar ise reel vektör uzayı,cisim Kompleks Sayılar ise kompleks vektör uzayı olarak adlandırılır. Tanım. u,v ∈ ℜ n olmak üzere u=(u 1 ,u 2 ,…,u n ) ve v=(v 1 ,v 2 ,…,v n ) olsun.c ∈ R olsun.O zaman vektör uzayında, iki vektörün toplamı u+v = (u 1 ,u 2 ,…,u n )+(v 1 ,v 2 ,…,v n ) =( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,…, u n + v n ) ve bir vektörün skaler ile çarpımı cu =c(u 1 ,u 2 ,…,u n ) =(cu 1 ,cu 2 ,…,cu n ) şeklinde tanımlanır. Tanım. Bir reel vektör uzayı boştan farklı bir V kümesi üzerinde tanımlı “+,.” işlemleri ile birlikte bazı özellikleri sağlayan cebirsel bir yapıdır.Bu özellikler; 1.(V,+) değişmeli gruptur. 2.c ∈ R,u ∈ V için cu∈ V 3.u,v ∈ V,c ∈ R c(u+v)=cu+cv 4.c,d ∈ R,u ∈ V (c+d)u=cu+du 5.c(d.u)=(c.d)u 6.Her u ∈ V için 1.u=u şartları sağlandığı takdirde (V,+,.) sıralı üçlüsüne vektör uzayı adı verilir. V nin elemanlarına “vektör”,R nin elemanlarına “skaler” adı verilir. Tanım.(Altuzay)V bir vektör uzayı ve W,V nin boştan farklı bir altkümesi olsun.Eğer W,V deki işlemlere göre bir vektör uzayı ise o zaman W,Vnin bir altuzayıdır denir. Her vektör uzayı kendisi ve sadece sıfır vektöründen oluşan {0}”sıfır uzayı” olmak üzere en az iki alt vektör uzayına sahiptir. 2

ℜ nin Altuzayları 1.{0} “sıfır uzay” 2. ℜ

2

3.R (Reel Sayılar) 4.V 1 ={(x,0): x ∈ R } vektör uzayı 5.V 2 ={(0,y): y ∈ R} vektör uzayı 6.V 3 ={(ax,bx) : x ∈ R,a,b sabitler} orijinden geçen doğrulardır.

Soru 2.”Lineer Dönüşüm” kavramındaki lineer kelimesinin size göre anlamı nedir? Açıklayınız. 2.Lineer Dönüşüm Tanım. V,W iki vektör uzayı ve L:V  W bir fonksiyon olsun.Eğer L fonksiyonu 1.u,v ∈ V için L(u+v)=L(u)+L(v) 2.u ∈ V,c ∈ R olmak üzere L(cu) = cL(u) şartlarını sağlıyorsa L fonksiyonuna bir lineer dönüşüm adı verilir. u+v,V de bir toplama işlemi iken L(u)+L(v) W da bir toplama işlemine,cu,V de bir çarpma işlemi iken cL(u) ise W da bir çarpma işlemine karşılık gelir. Lineer dönüşümün bir başka açıklaması ise şudur: Bir Lineer Dönüşüm vektör uzayının esas iki işlemi olan vektörlerin toplamı ve bir skaler ile bir vektörün çarpım işlemlerini koruyan dönüşümdür. 2

ℜ Düzleminde lineer dönüşümün geometrik açıklaması

Burada d orijinden geçen herhangi bir doğru ve L dönüşümü vektörleri d doğrusuna göre yansıtan bir dönüşümdür.Sonuç olarak denilebilir ki bir lineer dönüşüm; Doğruları doğrulara,vektörleri vektörlere,yönlü doğru parçalarını yönlü doğru parçalarına dönüştürür. KAYNAKLAR

1. ”Uygulamalı Lineer Cebir (7.Baskıdan Çeviri)”- Bernard Kolman,David R.Hill Çeviri Editörü: Prof.Dr.Ömer Akın, Palme Yayıncılık 2. ”Lineer Cebir”- Dursun Taşçı, Selçuk Üniversitesi Yayınları