Vektoren | Mathe-lk Jahrgang 12.2 Zusammenfassung (2009)

Kommutativgesetz

v w=wv

Assoziativgesetz

r st=r  st

EEA-Gesetz (Existenz [Lösung], Eindeutigkeit [Eind. Lösung], Abgeschlossenheit) – EEA – Nullelement – Inverses Element – Ass.Gesetz => Gruppe – Kom.Gesetz => kommutative Gruppe Definition a 1k 2  a 2k 3 a a n mit a a i ∈ℝ heißt Linearkombination 3...k n  i ∈V und  Der Ausdruck k 1  a  der Vektoren n . k i heißen Koeffizienten. Definition n Vektoren a1 bis an heißen linear abhängig, wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Drei Vektoren sind genau dann l.a., wenn sie auf einer Ebene liegen. Zwei Vektoren parallel. Satz n Vektoren a1 bis an sind genau dann l.u., wenn aus dem Ansatz

k 1 a 1k 2  a 2k 3  a 3...k n  a n= 0 zwingend folgt

k 1=k 2=k n =0 .

n Vektoren sind genau dann l.a., wenn aus dem Ansatz folgt

k i≠0 .

Definition Eine nicht leere Menge V nennt man Vektorraum und ihre Elemente Vektoren, wenn 1. es eine „Addition“ gibt, die Elementen  a , b∈V jeweils genau ein Element a b ∈V zuordnet, und hierbei gilt:  1.1 es gibt ein Nullelement 1.2 es gibt ein Inv. Element  a − a = 0 1.3 es gilt das Ass.Gesetz 1.4 es gilt das Kom.Gesetz 2. es eine „Multiplikation“ gibt, die jeweils einer reellen Zahl r und einem Element a ∈V genau ein Element r∗ a ∈V zuordnet, und hierbei gilt:  2.1 es gilt das Distributivgesetz 2.2 es gilt das Ass.Gesetz 2.3 für alle a  ∈V gilt 1∗a  =a  Satz Ein homogenes Gleichungssystem hat entweder eine oder unendlich viele Lösungen. Satz

n1 Vektoren des Vektorraums

V n sind immer linear Abhängig.

Definition Je n l.u. Vektoren b1, b 2, bn eines Vektorraums V heißen Basis von V, wenn man jeden Vektor von V als Linearkombination dieser Vektoren darstellen kann. Definition Die Anzahl der Vektoren einer Basis eines Vektorraums V heißt Dimension von V. Länge eines Vektors



a1 a= a2  a3

,

  a a  a =∣a∣ 2 1

2 2

2

2 3

Strecke zw. 2 Vektoren

∣ ∣ b1−a 1

2 2 2 ∣ AB∣=∣b− a∣= b 2−a 2 =  b1−a 1  b2 −a 2   b 3−a 3 

b3−a 3

Lagebeziehungen von Geraden im – Identisch: ∞ gem. Punkte – Schneiden: 1 gem. Punkt – Orthogonal – Windschief: Kein gem. Punkt, l.u. – Parallel: Kein gem. Punkt, l.a.

ℝ

3

Satz x = pt∗ u und eine Ebene E : x = q r∗v s∗w Für eine Gerade g :   gilt: – g und E schneiden sich in einem Punkt, wenn die Gleichung q r∗v s∗w p t∗u =  genau eine Lösung hat. – g ist parallel zu E und liegt nicht in E, wenn die Gleichung q r∗v s∗w p t∗u =  keine Lösung hat. – G liegt in E, wenn die Gleichung p t∗u =q  r∗v s∗w  unendlich viele Lösungen hat. Definition Schnittpunkte einer Geraden mit einer Koordinatenebene heißen Spurpunkte. Der Schnitt einer Ebene mit einer Koordinatenebene heißt Spurgerade. Mittelpunkt einer Strecke

m=  a 0.5  AB= a 0.5 b− a =

 a  b 2

Satz x = pr∗u s v und E ' : x ' = p 'r ' ∗ u ' s ' v ' Für zwei verschiedene Ebenen E :  gilt: x = x ' unendlich viele – E und E' schneiden sich in einer Geraden, wenn die Gleichung  Lösungen besitzt. x = x ' keine Lösung besitzt. – E und E' sind zueinander Parallel, wenn die Gleichung 

(1. Klausur)

Winkel zwischen Vektoren

cos =

u 1 v 1u 2 v 2u 3 v 3  u∗ v = ∣ u∣∗∣ v∣   u21u 22u 23∗ v 21v 22v 23 

Winkel zwischen 2 Ebenen Winkel zwischen den beiden Normalen (Siehe Winkel zwischen Vektoren) Winkel zwischen Ebene und Gerade

sin=

 nE∗vg  ∣nE∣∗∣vg∣

Definition Vektorprodukt / Kreuzprodukt Für Vektoren und

 

a1 a a2  a3

b1  , b b2 b3

 b . Die Schreibform

heißt



a 2 b 3−a 3 b2  a × b= a 3 b1−a 1 b3  a 1 b 2−a 2 b1

a x b nennt man auch Spat. 



das Vektorprodukt von

a 

Kreuzprodukt



−1∗2−0∗2=−2 0∗1−1∗2=−2 1∗21∗1=3



 −2 −2 3

 n

Normalenform Man kann eine Ebenengleichung dieser Form

   E : x = Hinführendervektor a r∗ Richtungvektor bs∗ Richtungvektor c= a r   bs c 

in eine Normalenform umformen, dessen Form so aussieht: E : n∗x −n∗ a  =0 . Beispiel: Ausgangsebene:

     

0 6 0 E : x = 0 r 0 s 10 4 −1 0

n-Vektor bestimmen (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren)

1 n= 0 6

Skalarprodukt:

1 x 10 x 26 x3 −1∗00∗06∗4=0 1 x 16 x 3−24=0 1 x 16 x 3=24

Abstand zwischen Punkt und Ebene 1.) Lotgerade (Abstandsgerade zwischen Punkt und Ebene) aufstellen: g : x = pr∗nE (n-Vektor der Ebene ist gleich dem Richtungsvektor der Gerade) 2.) g schneidet E (Schnittpunkt Gerade und Ebene), ergibt Punkt L (Lotfußpunkt) 3.) Berechne d(L,P) (Abstand zwischen zwei Punkten) mittels “Länge einses Vektors” Oder siehe “Hesse'sche Normalenform”

Abstand zwischen Punkt und Gerade Gegeben sind Punkt P und Gerade g 1.) H ist orthogonal zu g und enthält P n =vg 2.)  p 3.) H : vg∗x−vg∗  4.) H schneidet g, Ergebnis: Punkt L 5.) Berechne d(P;L) -> “Länge eines Vektors”

Abstand windschiefer Geraden x = pt  u und h : x = q t v Satz: Sind g und h windschiefe Geraden im Raum mit g :  u und n0 ⊥ v , dann haben g und h den und ist n0 ein Einheitsvektor mit n0 ⊥  Abstand:

d =∣q − p ∗n0∣

Oder: (Beispielhafte Erklärung für den Weg) g : x = pr u  , h : x =q  s v g und h sind windschief. u s v ->  u ×v =n -> E : n∗x −n∗p =0 (Hilfs-) E : pr  -> Abstand E und h ausrechnen (Abstand zwischen Gerade und Ebene) Matrix / Matrizen

 

a11 a 12⋯ a 1j 〈 a ij 〉= Aij a 21 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋮ ai1 ⋯ ⋯ aij

<- Matrix, i = Zeilen, j = Spalten

Einen Vektor kann man auch als Matrix angeben



v1 v = v 2 =〈 v 3,1 〉 v3 a) Wenn i=j dann handelt es sich um eine “quadratische Matrix” b) Addition zweier Matrizen: Je zwei Elemente mit der gleichen Zeile und Spalte addieren. Man kann nur gleichartige Matrizen addieren. c) Multiplikation mit reeller Zahl: Jedes Element mit der Zahl multiplizieren. d) Multiplikation zweier Matrizen Aij∗B jk =C ik - Es muss unbedingt gegeben sein: j=j !

 31 40 31



∗ 2102 1243

3,2

z.B.:

 

7 549 = 8 408 2,4 7 549



3,4

c 1,1=3∗21∗1=7 oder c 3,3=3∗01∗4=4 Achtung: Kommutativgesetz gilt nicht! Hesse'sche Normalenform x − p∗n0 die Hesse'sche Normalenform einer Gleichung der Ebene E, so gilt Satz 1: Ist   r von der Ebene E: für den Abstand d eines Punktes R mit dem Ortsvektor 

d =∣r − p∗n0∣

Satz 2: Ist a 1 x1 a 2 x 2a 3 x 3=b eine Koordinatengleichung der Ebene E, so gilt für den Abstand d eines Punktes R r 1∣r 2∣r 3  von der Ebene E:

∣

d=

∣

[ a1 r 1a 2 r 2a 3 r 3−b ]   a 1 a 2a3  2

2

2